MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS

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Continuação da apostila Matematicarlos - Conjuntos

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MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS

  1. 1. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 5 CONJUNTOS NUMÉRICOSCOPYRIGHT ® Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2012 Edição I www.matematicarlos.com.br
  2. 2. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6 SUMÁRIO1. Conjuntos Numéricos___________________________ 3.1. Naturais 3.2. Inteiros 3.3. Racionais 3.4. Irracionais 3.5. Reais2. Reta numérica________________________________ 16 6.1.1. Reta numérica natural 6.1.2. Reta numérica dos números inteiros 6.1.3. Reta numérica dos números racionais 6.1.4. Reta numérica dos números Irracionais 6.1.5. Reta numérica dos números Reais www.matematicarlos.com.br
  3. 3. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS - Seu símbolo é IN.- Vamos estudar Conjuntos Numéricos, - Todo número do Conjunto Natural seráque é o mesmo que Conjuntos de SEMPRE positivo.números. - Não precisa apresentar os números- Conforme o tipo de números, ele recebe naturais com o sinal de + na frentenomes diferentes : (+1,+2,+3 fica apenas 1,2,3 )Naturais, Inteiros, Racionais ou - Não é necessário escrever IN+. SeFracionários, Irracionais e Reais. escrever só IN, já sabe que é positivo. - Não existe IN- , porque não tem Naturais1.1 - NATURAIS ( IN ) negativo.São números a partir de zero, até o - N* é um subconjunto de N, que significainfinito. todos os números de N, menos o Zero.Ex: ( N* ( Asterisco ) = Números Naturais sem0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15... o Zero ) Antes de você estudar o conjunto dos- Tem começo. Não tem fim. números inteiros, gostaria que você fosse até as folhas “SIMETRIA” e “VALOR- Você sabia que para representar um ABSOLUTO ou MÓDULO DE UMconjunto como infinito usa-se reticências NÚMERO”.?- Se você não usar reticências (...), você 1.2 - INTEIROS ( Z )erra a questão, porque limita o conjunto.{ 0,1,2,3,4,5,6...} = Conjunto natural. - São os números Naturais mais os seus{0,1,2,3,4,5,6} = Conjunto qualquer. simétricos. ( Você se lembra o que é simetria ? São- Mas as reticências só representam algarismos iguais com valores diferentes.infinito quando ela está no final dos É só inverter os seus sinais. Ex : Oelementos. simétrico de 5 é -5. De -4 é 4. De -2 é 2. De 0 é 0 mesmo)- Se tiver outro elemento depois dela, nãosignifica infinito, porque termina no último - Números Inteiros são os Naturais maiselemento antes das chaves : os seus negativos.{1,2,3,4,5,6,7,8,9...50}. - Ex: ... -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,- 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...- Com as reticências eu quero dizer quecontinua do 9 até chegar no 50. Logo, não - Você pode estar estranhando por que osé infinito, porque esse conjunto tem fim. O números negativos estão em ordemseu final é 50. decrescente. Veja em A RETA NUMÉRICA.- O menor número Natural é Zero ( 0 ). - O conjunto dos números Inteiros não- Não existe o maior número natural (é tem começo e nem fim.infinito). www.matematicarlos.com.br
  4. 4. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 7- Reticências tanto para a esquerda - Para saber esta resposta, veja emquanto para a direita. FRAÇÕES e DECIMAIS, e RETA NUMÉRICA.- Não existe menor número Inteiro, por - O conjunto dos números racionais nãoser infinito. tem começo nem fim.- Não existe o maior número Inteiro ( é - Seu símbolo é ( Q ).infinito ). - O conjunto Q tem subconjuntos :- Seu símbolo é ( Z ). Q* = Números Racionais sem o Zero Q+ = Números Racionais não negativos- O conjunto Z tem subconjuntos : ou positivos incluindo o Zero.Z * , Z- , Z+ , Z*- , Z*+ . Q- = Números Racionais não positivos ouZ* = Números Inteiros sem o Zero. {... negativos incluindo o Zero.-2,-1,1,2,...} Q*+ = Números Racionais positivos sem oZ-= Números Inteiros não positivos ( inclui zero.o Zero ) Q*- = Números Racionais negativos sem{...-4,-3,-2,-1,0} o zero.Z+= Números Inteiros não negativos (inclui o Zero ). - Quem são os números Racionais :{0,1,2,3,4,5...} 1) Todo número Natural.Z*-= Números Inteiros só negativos sem o 2) Todo número Inteiro.Zero. 3) Todo número fracionário ( toda fração ){...-3,-2,-1} 4) Todo decimal exato.Z*+ = Números Inteiros só positivos sem o 5) Todo decimal periódico.Zero. - Mas você não precisa decorar isso.{1,2,3,4,5...} Basta compreender o seguinte : 1) Todo o número que puder ser escrito- Analise : Z é infinito para a direita e para em forma de fração, é um númeroa esquerda. Já Z+ é infinito só para a Racional ou Fracionário. Exemplo: Odireita, e Z- para a esquerda. Z+ = IN número Natural 2 pode ser escrito em(naturais ). forma de fração : 2/1 = 2. O Inteiro também : -5 = -5/1. A fração já está escrita em forma de1.3 - RACIONAIS ( Q ) fração ( lógico ). O número decimal exato é resultado deSão todos os números Inteiros, mais as uma fração : 2/4 = 0,5. Logo, 0,5 podefrações ou decimais. ser escrito em forma de fração : 0,5 = 2/4. Você sabe transformar um número- Ex: ... -9,-8,-15/2,-7,-6,-16/3,-5,-4,-3,- decimal numa fração ? Veja em2,-1,0,1/2,2,3,4,14/3,5,6,7,8,9... GERATRIZ DE UMA FRAÇÃO.- Repare que além dos inteiros, foram Da mesma forma um decimal periódicoacrescidas algumas frações. também pode ser representado em forma de fração, porque ele é o resultado de- Por isso os Racionais são também uma fração. 3/9 = 0,333... = 3/9.conhecidos como números Fracionários- Mas porque a fração 14/3 está entre o 4 -Numa prova, viu que é fração, não teme o 5 ? No deveria estar depois do 14? erro, é um número Racional (Fracionário) www.matematicarlos.com.br
  5. 5. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 81.4 - IRRACIONAIS - Raízes exatas são raízes cujo resultadoSão todos os números que não podem não dá decimal. Dá número Inteiro.ser escritos em forma de fração. - Para saber, é só você resolver cada-São decimais que não tem fim (infinitas), Raiz.e que não são periódicas. (Veja Dízimas)Ex: 0,14576435654... 0,4986452... - Você sabe resolver uma raiz quadrada ?2,4656798345... 102,654323421... veja em RAÍZES, ou pegue uma calculadora, aperte a tecla do número que- Um irracional terá sempre reticências, você quer, e depois aperte a tecla √.porque ele tem que ser infinito. Veja : Raiz Exata √ 9 = 9 / 9 é um número Racional.- Se não for infinito, não é irracional. É um Raiz não Exata √ 3 = 1,7320508...decimal exato, sendo então Racional. - O número Irracional mais famoso é o π (- Observe que se você tentar me pi ), que vale 3,141592...responder um número irracional, você nãovai conseguir. Porque ele é infinito e não - Em resumo, Irracionais são todos osse repete. No caso das dízimas números que não podem colocar emperiódicas, elas também são infinitas, forma de fração. Serão decimais infinitosmas você consegue me responder, e não periódicos, mas às vezes aparecemporque sabe que os números se repetirão em raízes não exatas.sempre. Podemos dizer que ele éirracional, porque você não consegueraciocinar. 1.5 - REAIS São todos os números existentes- A representação dele pode ser seupróprio nome “ Irracional “ , “ I “ ou “ Ir “, - Qualquer número racional, irracional,dependendo do autor. Natural e inteiros são números reais.- Há autores que expressam os Irracionais -Apenas os números que não existem nãocomo Q’. Que seria números Reais pertencem ao conjunto dos númerosmenos os Racionais, que só sobraria os ReaisIrracionais mesmo.Q’ = Conjuntos Reais excluindo os - Não é um número Real as RaízesRacionais ( Q ) = Irracionais. quadrada, quarta, sexta... de um número negativo. Exemplos : √ -4, √ -8...- Mas não é só em decimais que umnúmero irracional aparece. Ele pode * Curiosidades: O adjetivo “real”aparecer “disfarçado” em raiz quadrada, começou a ser usado para distinguircúbica, etc. Veja : esses números de números como √-1,√ 3 , √ 5 , √ 2 , √ 7 , √ 8 ... que era, antigamente, conhecido como "irreais” ou "imaginários”.- Assim como uma fração vira decimalexato ou periódico, uma raiz quadradanão exata vira um decimal irracional.- Isso não vale para raízes exatas.Raízes exatas não são irracionais. SãoRacionais. www.matematicarlos.com.br
  6. 6. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 9 2.3 - Qual é o maior número ? 2 – RETA NUMÉRICA - Para saber qual o número é maior, veja a posição de ambos na Reta Numérica.2.1 - Reta Numérica natural. - O número que estiver à direita será- Trace uma reta : maior (já que é crescente para a direita).- Dê um nome a esta reta (letra - Assim, quanto mais o número estiver àminúscula) direita, maior será ele.- Marque um ponto nela, que será o ponto - Veja que entre o 2 e o 10, o 2 está aorigem : esquerda e o 10 à direita. Logo o 10 é- Dê um nome a esse ponto de origem : maior.Ponto A. - No caso dos nº naturais não é muito- Coloque uma régua em cima desta reta. difícil.Sem precisar ver na Reta Numérica,- Coloque o zero da régua em cima do você já sabe que 10>2 (10 é maior que 2)Ponto A. - Já quantos aos Números Inteiros- A partir dai, marque 1 ponto em cima de Negativos é mais complicado :cada centímetro até chegar no 15 cm. - Qual número é maior ? -2 ou -10 ?- Tire a régua. Obs: agora o resultado não será -10.- Os números de 0 em diante pertence a - Isso porque na Reta Numérica o -10que conjunto numérico ? Naturais. está à esquerda e o -2 está a direita.- Podemos dizer que esta reta numérica é - Logo, o maior número será aquele queuma RETA NUMÉRICA NATURAL. estiver à direita na Reta Numérica.- Lembre-se que a distância de um ponto - Jeito Mais Fácil : Para saber qualpara o outro deve ser a mesma. número é maior, é só ver :- Nós deixamos um espaço de 1 cm, mas - Dois Números Positivos : Maior Valoro espaço pode ser qualquer um, contando Absoluto.que sejam sempre congruentes. - Dois Números Negativos : Menor Valor- Embora tenha que ter o mesmo espaço Absoluto.entre um e outro, ninguém vai ficar - Um Número Positivo e um Númeromedindo os espaços. Por isso será Negativo : O número positivo.normal você daqui para frente fazer e ver Exemplo para entender melhor :retas numeradas com distâncias não - Suponhamos que seu pai queira te darexatas entre um número e outro. uma caderneta de poupança.- Observe que o número começa no Zero, - Ele tem 3 contas, e manda vocêe vai aumentando para o infinito : 0,1,2... escolher uma. - Você pede para olhar os saldos de cada2.2 - Reta Numérica Z. uma para ver qual conta tem mais valor.- Pegue a reta que você já numerou, e -A primeira : 142,00faça o mesmo processo, só que desta vez A segunda :-613,50para o lado esquerda ( o contrário ). A terceira : -974,11 - Qual você escolhe ? Acredito que você- Os números naturais mais os seus tenha escolhido o 142,00. Por quê ?simétricos(opostos) pertencem ao - Se fosse escolher por valor absolutoconjunto numérico Inteiro. (ignorando o sinal ), você escolheria o -- Observe que o primeiro inteiro é infinito 974,11, que é maior que 142,00 e -(não tem começo ). 613,50.- Mas nesta reta,o 1º representado é o - - Entretanto você levou em consideração11. o sinal (-). E você sabe que quanto maior- A reta vai crescendo : -11,-10,-9,-8,-7... for número com sinal negativo, maior será- Percebeu que quanto mais o número a sua dívida, e menos valor tem a conta.cresce, menor fica o número absoluto ? www.matematicarlos.com.br
  7. 7. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 10- Assim, quanto maior for o número - Numeradores diferentes enegativo, menor será o seu valor. denominadores iguais, maior fração será a de numerador maior.2.2 - Reta Numérica Q.- É importante saber que entre os - Mas você não precisa decorar isso.principais números que vimos até agora Basta você resolver a fração, e com o(os inteiros) , existem números que não resultado (que será um decimal ousão inteiros. São parte de um inteiro. número inteiro ) você verá qual é maior.- Exemplo : Tinha 1 Real inteiro em uma Exemplo : 9/12 = 0,75 7/8 = 0,875.nota. Queria dividir em 4, tive que trocar Logo, 0,875 é maior que 0,75.por 4 moedas de 0,25. Cada moeda vale - Logo, maior fração será a maior decimal1/4 do real. que a fração resultar.- Sendo 1/4 um número que não é inteiro,mas uma fração, em que posição deveria 2.4 - Reta Numérica Irele estar colocado na reta numérica ?- Muitos colocariam 1/4 depois do 1 e - Os irracionais na maioria das vezesantes do 4. Mas está errado. aparecerão em decimais.- Para saber em que posição ele deve - Pelos decimais você saberá onde eleestar, você deve transformá-lo em deve ficar na reta numérica.decimal ( ou seja, deve resolver essa Exemplo : π = 3,141592... Ele ficará nadivisão, já que 1/4 é a mesma coisa que reta depois do 3, antes do 4.1:4 = 0,25. - Mas os Irracionais podem aparecer em- Tendo o número 0,25, já podemos raízes : √ 3.colocá-lo na reta. Logo, ele será maior - Neste caso, onde colocar essa raiz naque 0 e menor que 1. Na reta, estará reta ? Isso mesmo. É só resolver e acharentre o 0 e 1. o decimal que ela representa : √ 3 =- Você pode não estar vendo, mas entre 1,7320508... Logo, fica depois do 1 eum número e outro há infinitos números antes do 2.racionais e irracionais. 2.5 - Reta Numérica R- Se pedirem para representar uma fração - Daqui para frente você não vai ouvirna reta numérica, você não deve falar de reta numérica dos númerosrepresentar com uma decimal. naturais, inteiros, racionais ou irracionais (- Resumindo : Ache o decimal da fração a não ser em casos raríssimos ).para saber onde colocá-la na reta. - Será mais comum você ver Reta numérica dos números Reais, que2.3 - Qual é a maior fração ? englobam todos os números.- A maior fração será aquela que estiver à - Logo, na reta numérica dos númerosesquerda na reta numérica. Reais estão todos os números que existem.- Mas para não ter que imaginar a reta, a - Ainda que seja representado na Retamaior fração será o maior decimal. Numérica apenas os números que interessarem no momento, você não podeEx : Qual é maior ? 9/12 ou 7/8 ? esquecer que antes, entre e depois deParece que 9/12 é maior que 7/8. Mas qualquer número representado nessanão é. Reta existem infinitos números escondidos, que não convém representá-- Numeradores iguais e denominadores lo naquele momento.diferentes, maior fração será o de menordenominador. www.matematicarlos.com.br

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