MATEMATICARLOS - CONJUNTOS

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MATEMATICARLOS - CONJUNTOS

  1. 1. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 5 CONJUNTOSCOPYRIGHT ® Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2005 Edição V www.matematicarlos.com.br
  2. 2. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 4 SUMÁRIO1. Conjuntos __________________________________ 05 1.1. Conjunto 1.2. Representação de um conjunto I – Extensão ou elementar II – Compreensão ou forma abstrata III – Diagrama de Venn IV – Representação num eixo 1.3. Elementos 1.4. Subconjunto 1.5. Conjuntos com elementos que são conjuntos 1.6. Conjunto-Solução 1.7. Conjunto das partes de um conjunto2. Tipos de conjuntos conforme a quantidade de elementos_ 08 2.1. Conjunto Vazio 2.2. Conjunto Unitário 2.3. Conjunto Universo3. Nomes de conjuntos conforme os tipos de conjuntos____ 09 3.1. Naturais 3.2. Inteiros 3.3. Racionais 3.4. Irracionais 3.5. Reais4. Diagrama de Venn______________________________ 12 4.1. Contando uma história 4.2. Leitura de diagramas de Venn5. Operações com conjuntos________________________ 13 5.1. União 5.2. Intersecção 5.3. Diferença 5.4. Complementar6. Reta numérica________________________________ 16 6.1.1. Reta numérica natural 6.1.2. Reta numérica dos números inteiros 6.1.3. Reta numérica dos números racionais 6.1.4. Reta numérica dos números Irracionais 6.1.5. Reta numérica dos números Reais7. Sinais______________________________________ 18 www.matematicarlos.com.br
  3. 3. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 5 1 – OS CONJUNTOS - Há casos em que é necessário separar elementos com ponto e vírgula.1.1 - CONJUNTO Ex: O conjunto dos decimais : 1,2, 2,4,- É um grupo ou coleção de coisas. 3,6, 7,8, 154,14, 3.141,11.Ex: Vários alunos reunidos em um só Quantos elementos temos acima ?lugar forma um conjunto de Alunos. Percebeu o quanto é complicadoVárias revistas reunidas num só lugar distinguir os elementos ? As vírgulas dosformam um conjunto de revistas. decimais são confundidas com as vírgulas de separação.- É importante saber que só é conjunto sehouver delimitação de espaço. - Por isso, em casos como decimais, costuma-se separar os elementos não- Logo, 3 elementos soltos não são um com vírgulas, mas com ponto e vírgulas :conjunto, mas uma coleção. A = { 1,2; 2,4; 3,6; 7,8; 154,14; 3.141,11 }. Não ficou mais fácil ?- Mas se eu coloco esses 3 elementos emum diagrama, ou dentro de chaves, ou - Não coloque “e “ para finalizar a citação.dentro de qualquer símbolo, aí será um Ao colocar qualquer letra, você estaráconjunto. dizendo que ela é um elemento. Ex: { 0,1,2 e 3}.- Para dar nome a um conjunto, usamosletras maiúsculas. - Citar os elementos em outra ordem nãoEx: Conjunto A, Conjunto B, Conjunto K, altera um conjunto, pois a ordemConjunto X... seqüencial não altera: { 7 , 5 , 6 , 1 , 4 , 2 , 0 , 3 , 9 , 8 }.- Os objetos dentro de um conjuntorecebem o nome de ELEMENTOS. - Citar elementos repetidos também não altera o conjunto :- Logo, num conjunto há elementos, a {0,0,1,1,2,2,3,4,4,4,5,5,5,menos que esteja vazio. 5 , 0 , 1... } II – COMPREENSÃO ou FORMA1.2 – REPRESENTAÇÃO DE UM ABSTRATACONJUNTO A = { X ∈ IN / X < 5 }.- Representa-se um conjunto de quatro - É bastante flexível para ser montada.formas: - Dá idéia de como são os seusI - EXTENSÃO ou FORMA ELEMENTAR elementos, mencionando deles as suas A = { 0,1,2,3,4} propriedades (ou prejudicados) que se definem o referido conjunto.- A forma elementar ou extensãosimplesmente cita os elementos que - A vantagem desta forma é que ganhapertencem ao conjunto. tempo, visto que não precisaria citar elemento por elemento.-É feita colocando entre chaves os Observe : A = { x é par / 1 < x < 11 }elementos separados por vírgulas. Aqui diz que X é um elemento genérico do conjunto. www.matematicarlos.com.br
  4. 4. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6“x é par” - é feita uma prévia de que tipo 1.3 - ELEMENTOSde elemento estamos nos propondo adescrever É o que se tem nos conjuntos.“1 < x < 11” – Podemos dar uma ouvárias propriedades que venham a - Pode ser letras, números, etc. No nossodeterminar os elementos : caso, serão números, pois o conjunto em A = { x ∈ IN / 2 ≤ x ≤ 10 } estudo é numérico. A = { x ∈ IR / √ 4 ≤ x ≤ √ 100 } - Para dar nome aos elementos, usamosEntretanto é bom evitar complicar a forma letras minúsculas.abstrata. Afinal, esta forma serve para Ex: Elemento a, Elemento c, Elementofacilitar a compreensão e não complicar x...ainda mais. - Conforme o número de elementos, eleIII – DIAGRAMA DE VENN recebe nomes diferentes: Vazio,- Os diagrama de Venn são ótimos Unitário...visualizadores de um ou vários conjuntos.- São muito usados para operação entre 1.4 - SUBCONJUNTOconjuntos (veremos mais adiante) - É um conjunto menor dentro de outroExemplo : conjunto maior.Dado o conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 },represente-o pelo diagrama de Venn: - A relação entre conjuntos eA subconjuntos é representada com os .1 .2 .3 sinais ⊂, ⊄ ou ⊃ .4 .5 - Dizemos que um Subconjunto A está- Na verdade, pegamos os elementos e contido no Conjunto B : A ⊂ B ou B ⊃ A.colocamos dentro de um “círculo”. - A = { 0,1,2,3,4 } e B = {- Veremos mais sobre Venn e sua história 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }. Logo, A ⊂ B.em “Diagrama de Venn” - Observe que todo elemento de A é também elemento de B. Logo, A ⊂ B.IV – REPRESENTAÇÃO NUM EIXO - No diagrama temos o subconjunto- É claro que só poderão ser dentro do conjunto:representados no eixo os elementos queforem números. B A 0 1 2- É importante que se respeite as relações 3 4de grandeza.Ex: 5 6 7 8 9 10 11Representar o conjunto B= { 6 , 7 , 2 , 5 ,8 } na reta numérica. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|---- 2 5 6 7 8 www.matematicarlos.com.br
  5. 5. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 71.5 - CONJUNTOS COM ELEMENTOS Exemplo : Conjunto A = { a,b }. QuantosQUE SÃO CONJUNTOS. subconjuntos você pode ter ? Veja : {a} , { b} , { a,b } podem ser- A relação entre elementos e conjuntos subconjuntos de A. (é só fazer trocassão representados com o sinal ∈. possíveis).- Entre Subconjuntos e Conjuntos são - Fazendo tentativas conseguimos formarrepresentados pelo sinal ⊂. 3 subconjuntos.- Entretanto, quando um conjunto for um - Mas não podemos esquecer que oelemento, o sinal de relação entre eles Conjunto Vazio pode ser Subconjunto deserá ∈ e não ⊂. - O conjunto M = { {a} , qualquer outro conjunto.{b} , {c} , {d} , {a,b,c} }. - Logo, invês de 3, teremos 4 : {a} , { b} , {- Logo, {a} ∈ { {a} , {b} , {c} , {d} , {a,b,c} }, a,b } , ∅.e não {a} ⊂ { {a} , {b} , {c} , {d} , {a,b,c}} - Existe uma fórmula para saber isso : 2n ( Dois elevado a N ). - n será o expoente que você vai elevar o1.6 - CONJUNTO–SOLUÇÃO 2.- É o conjunto da resposta. - O expoente (n) será a quantidade de-Toda a resposta entre operações será elementos que o conjunto tem.um conjunto Solução :S= { a, b , c , d , e }. - No caso A = { a,b }, temos 2 elementos. Então, n = 2 Joga na fórmula:2n=22 (dois elevado ao1.7 - CONJUNTO DAS PARTES DE UM quadrado)=4CONJUNTO No Conjunto A você poderá ter 4 subconjuntos, como vimos acima.- É representado por P(X), sendo x= Outro exemplo : B = { m,n,p }. Temosnome do elemento. três elementos, então, n = 3. Joga na fórmula: 2n = 23 ( dois ao cubo )- Lê-se : “P de x” ou “P de A”... ou “P de = 2x2x2 = 8qualquer nome que tenha o elemento. Teremos 8 subconjuntos no conjunto B = { m,n,p }- Serão todos os Subconjuntos possíveis Será ? Verifiquemos :de um conjunto. { m } , { n } , { p } , { m,n } , { m,p ] , { n,p } , { m,n,p } , ∅.- Determinar P(A) é o mesmo que 8 mesmo ! Certíssimo !determinar todos os subconjuntos quepodemos ter em um Conjunto A.Explicação- Você já parou para pensar em quantossubconjuntos pode ter um conjunto ? www.matematicarlos.com.br
  6. 6. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 8 - Usa-se confundir Conjunto Unitário com2 – TIPOS DE CONJUNTOS Elemento. lembre-se : O conjunto unitárioCONFORME A QUANTIDADE estará sempre dentro das chaves. O elemento não. DE ELEMENTOS Ex: 1 = elemento um. 2 = elemento dois. X = elemento xis.2.1 - CONJUNTO VAZIO { 1 } = Conjunto unitário com elemento 1. { x } = Conjunto unitário com elemento xis.- Não possui nenhum elemento.- Representa-se com chaves vazia { } ou 2.3 - CONJUNTO UNIVERSOcom uma bola com um traço no meio: ∅ - É aquele que tem todos os elementos- Nunca coloque ∅ dentro das chaves: que se deseja trabalhar.{∅}. Você estaria dizendo que há umelemento dentro do conjunto. Para dizer - É representado geralmente pela letra U.que o elemento está vazio, ou deixe aschaves vazia, ou escreva ∅ , mas nuncadentro das chaves.- O conjunto Vazio é subconjunto dequalquer outro conjunto.- Qualquer conjunto tem comosubconjunto o Conjunto Vazio.- Logo, ∅ ⊂ { qualquer conjunto }.2.2 - CONJUNTO UNITÁRIO- Quando possui apenas um elemento.- Ex: { 1 } , { -2 } , { 557 } , { x } , { xy } ...- Analise essa questão : Seja o Conjuntodo preço de uma mercadoria : $ 2,22.Quantos elementos tem nesse conjunto ?Resposta : 1 elemento. Que elemento ?R: o 2.- Não interessa quantas vezes umelemento se repita, ele será contadocomo um elemento apenas. Isso porquenos conjuntos, não se coloca em um sóconjunto, o mesmo elemento repetido. Seele já está, não precisa escrever de novo. www.matematicarlos.com.br
  7. 7. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 9 - O menor número Natural é Zero ( 0 ). 3 – NOMES DECONJUNTOS CONFORME - Não existe o maior número natural ( é infinito ).OS TIPOS DE NÚMEROS - Seu símbolo é IN.- Vamos estudar Conjuntos Numéricos,que é o mesmo que Conjuntos de - Todo número do Conjunto Natural seránúmeros. SEMPRE positivo.- Conforme o tipo de números, ele recebe - Não precisa apresentar os númerosnomes diferentes : naturais com o sinal de + na frente ( +1,+2,+3 )Naturais, Inteiros, Racionais ouFracionários, Irracionais e Reais. - Pode escrever sem o sinal, que já sabe que um número sem o sinal “- “ é positivo.3.1 - NATURAIS ( IN ) - Não é necessário escrever IN+. Se escrever só IN, já sabe que é positivo.São números a partir de zero, até oinfinito. - Não existe IN- , porque não tem NaturaisEx: negativo.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15... - N* é um subconjunto de N, que siginifica- Tem começo. Não tem fim. todos os números de N, menos o Zero. ( N* ( Asterisco ) = Números Naturais sem- Você sabia que para representar um o Zero )conjunto como infinito usa-se reticências Antes de você estudar o conjunto dos? números inteiros, gostaria que você fosse até as folhas “SIMETRIA” e “VALOR- Se você não usar reticências (...), você ABSOLUTO ou MÓDULO DE UMerra a questão, porque limita o conjunto. NÚMERO”.{ 0,1,2,3,4,5,6...} = Conjunto natural. {0,1,2,3,4,5,6} = conjunto qualquer. 3.2 - INTEIROS ( Z )- Mas as reticências só representaminfinito quando ela está no final dos - São os números Naturais mais os seuselementos. simétricos. ( Você se lembra o que é simetria ? São- Se tiver outro elemento depois dela, não algarismos iguais com valores diferentes.significa infinito, porque termina no último É só inverter os seus sinais. Ex : Oelemento antes das chaves : simétrico de 5 é -5. De -4 é 4. De -2 é 2.{1,2,3,4,5,6,7,8,9...50}. De 0 é 0 mesmo)- Com as reticências eu quero dizer que - Números Inteiros são os Naturais maiscontinua do 9 até chegar no 50. Logo, não os seus negativos.é infinito, porque esse conjunto tem fim. O - Ex: ... -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-seu final é 50. 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9... www.matematicarlos.com.br
  8. 8. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 10- Você pode estar estranhando por que os - Repare que além dos inteiros, foramnúmeros negativos estão em ordem acrescidas algumas frações.decrescente. Veja em A RETANUMÉRICA. - Por isso os Racionais são também conhecidos como números Fracionários- O conjunto dos números Inteiros nãotem começo e nem fim. - Mas porque a fração 14/3 está entre o 4 e o 5 ? No deveria estar depois do 14?- Reticências tanto para a esquerda - Para saber esta resposta, veja emquanto para a direita. Se não colocar , FRAÇÕES e DECIMAIS, e RETAerra. NUMÉRICA.- Não existe menor número Inteiro, por - O conjunto dos números racionais nãoser infinito. tem começo nem fim.- Não existe o maior número Inteiro ( é - Seu símbolo é ( Q ).infinito ). - O conjunto Q tem subconjuntos :- Seu símbolo é ( Z ). Q* = Números Racionais sem o Zero Q+ = Números Racionais não negativos- O conjunto Z tem subconjuntos : ou positivos incluindo o Zero.Z * , Z- , Z+ , Z*- , Z*+ . Q- = Números Racionais não positivos ouZ* = Números Inteiros sem o Zero. {... negativos incluindo o Zero.-2,-1,1,2,...} Q*+ = Números Racionais positivos sem oZ-= Números Inteiros não positovos ( zero.inclui o Zero ) Q*- = Números Racionais negativos sem{...-4,-3,-2,-1,0} o zero.Z+= Números Inteiros não negativos ( - Quem são os números Racionais :inclui o Zero ). 1) Todo número Natural.{0,1,2,3,4,5...} 2) Todo número Inteiro.Z*-= Números Inteiros só negativos sem o 3) Todo número fracionário ( toda fração )Zero. 4) Todo decimal exato.{...-3,-2,-1} 5) Todo decimal periódico.Z*+ = Números Inteiros só positivos sem oZero. - Mas você não precisa decorar isso.{1,2,3,4,5...} Basta compreender o seguinte : 1) Todo o número que puder ser escrito- Analise : Z é infinito para a direita e para em forma de fração, é um númeroa esquerda. Já Z+ é infinito só para a Racional ou Fracionário. Exemplo: Odireita, e Z- para a esquerda. Z+ = IN número Natural 2 pode ser escrito em(naturais ). forma de fração : 2/1 = 2. O Inteiro também : -5 = -5/1. A fração já está escrita em forma de3.3 - RACIONAIS ( Q ) fração ( lógico ). O número decimal exato é resultado deSão todos os números Inteiros, mais as uma fração : 2/4 = 0,5. Logo, 0,5 podefrações ou decimais. ser escrito em forma de fração : 0,5 = 2/4. Você sabe transformar um número- Ex: ... -9,-8,-15/2,-7,-6,-16/3,-5,-4,-3,- decimal numa fração ? Veja em2,-1,0,1/2,2,3,4,14/3,5,6,7,8,9... GERATRIZ DE UMA FRAÇÃO. www.matematicarlos.com.br
  9. 9. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 11Da mesma forma um decimal periódico - Assim como uma fração vira decimaltambém pode ser representado em forma exato ou periódico, uma raiz quadradade fração, porque ele é o resultado de não exata vira um decimal irracional.uma fração. 3/9 = 0,333... = 3/9. - Isso não vale para raízes exatas.-Numa prova, viu que é fração, não tem Raízes exatas não são irracionais. Sãoerro, é um número Racional (Fracionário) Racionais. - Raízes exatas são raízes cujo resultado3.4 - IRRACIONAIS não dá decimal. Dá número Inteiro.São todos os números que não podem - Para saber, é só você resolver cadaser escritos em forma de fração. Raiz.- São decimais que não tem fim ( infinitas - Você sabe resolver uma raiz quadrada ?), e que não são periódicas. (Veja veja em RAÍZES, ou pegue umaDízimas) calculadora, aperte a tecla do número queEx: 0,14576435654... 0,4986452... você quer, e depois aperte a tecla √.2,4656798345... 102,654323421... Veja : Raiz Exata √ 9 = 9 / 9 é um- Um irracional terá sempre reticências, número Racional.porque ele tem que ser infinito. Raiz não Exata √ 3 = 1,7320508...- Se não for infinito, não é irracional. É um - O número Irracional mais famoso é o π (decimal exato, sendo então Racional. pi ), que vale 3,141592...- Observe que se você tentar me - Em resumo, Irracionais são todos osresponder um número irracional, você não números que não podem colocar emvai conseguir. Porque ele é infinito e não forma de fração. Serão decimais infinitosse repete. No caso das dízimas e não periódicos, mas às vezes aparecemperiódicas, elas também são infinitas, em raízes não exatas.mas você consegue me responder,porque sabe que os números se repetirão 3.5 - REAIS -sempre. Podemos dizer que ele é São todos os números existentesirracional, porque você não consegueraciocinar. - Qualquer número racional, irracional, Natural e inteiros são números reais.- A representação dele pode ser seupróprio nome “ Irracional “ , “ I “ ou “ Ir “, -Apenas os números que não existem nãodependendo do autor. pertencem ao conjunto dos números Reais- Há autores que expressam os Irracionaiscomo Q’. Que seria números Reais - Não é um número Real as Raízesmenos os Racionais, que só sobraria os quadrada, quarta, sexta... de um númeroIrracionais mesmo. negativo. Exemplos : √ -4, √ -8...Q’ = Conjuntos Reais excluindo osRacionais ( Q ) = Irracionais. * Curiosidades: O adjetivo “real” começou a ser usado para distinguir- Mas não é só em decimais que um esses números de números como √-1,número irracional aparece. Ele pode que era antigamente encarados comoaparecer “disfarçado” em raiz quadrada, ïrreais” ou ïmaginários”.cúbica, etc. Veja :√ 3 , √ 5 , √ 2 , √ 7 , √ 8 ... www.matematicarlos.com.br
  10. 10. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 12 Ele escreveu a Lógica de Chance em 1866,4 – DIAGRAMA DE VENN que Keynes descreveu como: "notavelmente original e consideravelmente influenciou o- Os diagrama de Venn são ótimos desenvolvimento da teoria de estatísticas".visualizadores de um ou vários conjuntos. Venn publicou Lógica Simbólica em 1881 e- São muito usados para operação entre Os Princípios da Lógica Empírica em 1889. Oconjuntos (veremos mais adiante) segundo destes é menos original, mas oExemplo : primeiro foi descrito por Keynes comoDado o conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, provavelmente o seu trabalho mais duradouro em lógica.represente-o pelo diagrama de Venn: Em 1883 Venn foi eleito um membro da Sociedade Real. A partir daí, carreira dele A mudou de direção. Ele já tinha deixado a .1 .2 .3 Igreja em 1870 mas o interesse dele virou agora a história. Ele escreveu uma história da .4 .5 sua faculdade, publicando The Biographical History of Gonville and Caius College 1349-- Na verdade, pegamos os elementos e 1897 em 1897.colocamos dentro de um “círculo”. Ele empreendeu a imensa tarefa de compilar uma história da Universidade de Cambridge. O primeiro volume foi publicado em 1922. Ele foi ajudado pelo seu filho nesta tarefa que foi descrita por outro historiador nesses termos: "É difícil para qualquer um que não viu o trabalho em sua fabricação perceber a imensa quantia de pesquisa envolvida neste Contando um a história... grande empreendimento." A HISTÓRIA DE JOHN VENN Venn teve também outras habilidades e Nasceu no dia 4 de agosto de 1834 em interesses, inclusive uma habilidade rara deHull, Inglaterra, e morreu no dia 4 de abril de construir máquinas. Ele usou a sua habilidade1923 em Cambridge, Inglaterra. para construir uma máquina para bolas de Veio de uma Igreja de fundo Evangélico e cricket que era tão boa que quando o timequando ele entrou em Gonville e na australiano de cricket visitou Cambridge emFaculdade de Caius Cambridge em 1853 ele 1909, a máquina de Venn foi utilizada porteve um leve contato com livros de qualquer uma de suas principais estrelas quatro vezes.tipo e pode ser dito que lá tinha começado oseu conhecimento de literatura. Ele se formou em 1857, e dois anos depoisfoi ordenado um padre. Em 1862 ele voltou a Universidade deCambridge como um conferencista em 4.2 – LEITURA DE DIAGRAMAS DECiência Moral, estudando e ensinando lógica VENNe teoria da probabilidade. Ele desenvolveu alógica matemática de Boole e é melhorconhecido pelo seu diagrama de representar Os conjuntos de A e B não possuemconjuntos e as sua uniões e interseções. elementos comum : Venn considerou três discos R, S, e T comosubconjuntos típicos de um conjunto U. Asinterseções destes discos e seus A Bcomplementos dividem U em 8 regiões nãojustapostas, das quais a união dá 256combinações de Boolean diferentes doconjunto original R, S, T. www.matematicarlos.com.br
  11. 11. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 13Os conjuntos de A e B possuem Temos então dois conjuntos : O conjuntoelementos comum : de revistas do irmão mais velho ( V ) e o conjunto de revistas do irmão mais novo A B (N). O irmão mais novo não tem a coleção completa.Só tem os números 1,2,3,6,7,8 e 9. O irmão mais velho também não tem a coleção completa. Ele tem os exemplaresO conjunto B está contido no conjunto A 1,2,4,5,6,7,10,11 e 12. Logo : Conjunto V = { 1,2,3,6,7,8,9 } e A N = { 1,2,4,5,6,7,10,11,12 }. Os dois irmãos chegam ao acordo (já que nenhum dos dois tem a coleção completa), e resolvem unir suas coleções. Assim, pegaram uma terceira caixa, para 5 – OPERAÇÕES fazer uma só coleção. Logo, teríamos V ∪ N = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }. COM CONJUNTOS Completou a coleção. Resumindo : União de Conjuntos, é- A relação entre os conjuntos e números formar um teceiro conjunto comsão expressas com sinais peculiares. elementos do primeiro mais os elementos ∅, ∪ , ∩ , ∩ , =, > , < , = , ∈ , ∉ ... do terceiro. ( veja em “os sinais” ). - Os elementos repetidos não devem ser- Outra forma de representar operação mencionados no Conjunto União.entre conjunto muito usada é através de Ex: Observe que na caixa do irmão maisdiagramas de Venn. velho tinham 7 revistas. Na caixa do irmão- Veremos mais à frente em “Diagramas mais novo tinham 9 revistas. Na terceirade Venn” sua história. caixa deveria ter 7 + 9 = 16 revistas. Entretanto foram encontrados apenas 125.1 - UNIÃO DE CONJUNTOS revistas. O que aconteceu ? Aconteceu que os exemplares 1,2,6 e 7- É a soma dos conjuntos. eram repetidos, e não havia necessidade de colocá-los na terceira caixa, porque já- Também chamado de Reunião de tinha. Assim, conclui-se que : Na uniãoconjuntos. de conjuntos, os números repetidos contam apenas uma vez, não sendo- Representa-se União com o símbolo ∪. necessário sua repetição: A = { 0,1,2,3 } B = { 2,3,4,5 }- É unir os elementos que estão em A ∪ B = { 0,1,2,2,3,3,4,5 } = { 0,1,2,3,4,5 }.grupos diferentes, fazendo um sóconjunto com todos os elementos. - Como descobrir a quantidade deEx: Dois irmãos colecionam gibis da elementos numa União de Conjuntos ?Mônica. Numa caixa estão as revistas do Fórmula :irmão mais velho, e na outra caixa estão n ( A ∪ B ) = n (A) + n ( B ) - n ( A ∩ B ).os gibis do irmão mais novo. Obs: n = número de elementos. Chamemos de CONJUNTOS as caixasonde os irmãos guardam as revistas. www.matematicarlos.com.br
  12. 12. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 14Exemplo : Sendo n(A) = 10, n(A∩B) = 3 e Lembre: O Conjunto V citadon(A ∪ B) = 12, calcular o número de anteriormente {1,2,3,6,7,8,9} eelementos de B. N={1,2,4,5,6,7,10,11,12}.Jogar na fórmula : n ( A ∪ B ) = n (A) + n (B) - n ( A ∩ B ) Observe que os números 1,2,6 e 7 12 = 10 + n ( B )- 3 aparecem tanto no primeiro conjunto, 12 - 10 + 3 = n ( B ) quanto no segundo conjunto. Por isso 5 = n ( B ). dizemos que a Interseção dos conjuntos Resposta : 5 elementos. A e B = 1,2,6,7.- A união pode ser entre dois ou mais - A representação da interseção é “ ∩ “ .conjuntos. - A = { 0,1,2,3 }, B = { 1,2,3,4} . Determine A ∩ B : A ∩ B = { 1,2,3 }. - Quando não houver elementos em- Representando a União de dois comum ( repetidos ), é porque não houveConjuntos no DIAGRAMA de Venn: interseção. Logo, o conjunto ficará vazio, porque não teve elementos repetidos: - A = { 0,1,2,3 } , B = { 4,5,6,7 }. Determine A ∩ B : A ∩ B = { } ou ∅. - Quando não há interseção entre dois - É só pintar tudo. conjuntos, dizemos que eles são DISJUNTOS5.2 - INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS - Lembre-se : Ou use { } ou use ∅.- São os elementos comum entre os Nunca use { ∅ }. Para dizer que oconjuntos. conjunto está vazio, você deve deixar o espaço entre as chaves vazio- Quando dois conjuntos tem elementossemelhantes, dizemos que os - Pode haver interseção entre dois ousemelhantes são a interseção entre eles. mais conjuntos.- Interseção de conjuntos serão os - Representando no diagrama de Venn aelementos que está tanto em um, quanto Interseção :no outro.Exemplo : Lembra das quatro revistasrepetidas que não foram colocadas nacaixa das revistas no irmão mais novo e oirmão mais vellho no exemplo anterior ?Essas quatro revistas que sobraramseriam colocadas em que caixa ? Nacaixa de revistas do irmão mais novo, ou A ∩ B = área rabiscadana caixa do irmão mais velho ? Nenhumadas duas. Seria necessário uma quartacaixa : A caixa das revistas repetidas. Aessa caixa chamaremos de Interseção deconjuntos. www.matematicarlos.com.br
  13. 13. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 15 - Representando no diagrama a Diferença entre conjuntos : A ∩ B = área pintada - É só pintar o A, e não pintar o B. A ∩ B = { } ou ∅ 5.4 - COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO.- É só pintar as partes que estão tanto em –É a mesma coisa que diferença entreA quanto em B. conjuntos, apenas invertendo a ordem deles : Se era A-B, o complementar será B-A5.3 - DIFERENÇA DE CONJUNTOS -Observe que você vai ouvir dizer mais sobre Complementar do que Diferença.- É todo elemento que tem no primeiro -A representação é :conjunto, que não tem no segundo.- É representado com o sinal de cABsubtração “– “. (Complementar de B em relação a A)- A – B = Diferença entre A e B. - Observe que as letras poderão mudar- Não é a diferença entre B e A. Não de acordo com o nome do conjunto.confundir. Exemplo : - A letra que estiver em cima ou na frente,- A = { 0,1,2,3 } , B = { 2,3,4,5,6 }. será COMPLEMENTAR DE... Determine A – B : - A letra que estiver em baixo será EM A-B = { 0,1 } RELAÇÃO A... Exemplo: A – B = A menos B. - Outra forma de representar o Ou seja, A tirando o que está em B. Complementar de algum conjunto, é só colocar o nome do conjunto ( ex: B ), eMacete: colocar um traço sobre ele :B ( A= 0 , 1 , 2 , 3. complementar de B ). B= 2 , 3 , 4 , 5 , 6. - Para resolver, é só substituir por : A - B. Macete : Observe que na representação– Coloque um sobre o outro. cAB- Olhe para o B. Risque os números A primeira letra é A e a segunda B.repetidos entre o B e o A. Neste caso - Assim estabelecemos um macete :serão dois: 2 e 3. - Se primeiro é A e depois B, logo : A - B. -Complementar de B em relação a A, é o- Observe que o A era { 0,1,2,3 }. Mas que falta para complementar ( completar )você tirou os elementos de A que tinha B, que está no conjunto A.em B (A-B), e só ficou com 0,1. Logo, A-B = { 0,1 }.- ( A – B ) é tirar de A os elementos deInterseção entre A e B. www.matematicarlos.com.br
  14. 14. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 16 - Percebeu que quanto mais o número 6 – RETA NUMÉRICA cresce, menor fica o número absoluto ? - Veremos este estudo agora.6.1.1 - Reta Numérica natural.- Trace uma reta : 6.1.2.b - Qual é o maior número ?- Dê um nome a esta reta (letra - Para saber qual o número é maior, vejaminúscula) a posição de ambos na Reta Numérica.- Marque um ponto nela, que será o ponto - O número que estiver à direita seráorigem : maior (já que é crescente para a direita).- Dê um nome a esse ponto de origem : - Assim, quanto mais o número estiver àPonto A. direita, maior será ele.- Coloque uma régua em cima desta reta.- Coloque o zero da régua em cima do - Veja que entre o 2 e o 10, o 2 está aPonto A. esquerda e o 10 à direita. Logo o 10 é- A partir dai, marque 1 ponto em cima de maior.cada centímetro até chegar no 15 cm. - No caso dos nº naturais não é muito- Tire a régua. difícil. - Sem precisar ver na Reta Numérica,- Os números de 0 em diante pertence a você já sabe que 10 > 2 ( 10 é maior queque conjunto numérico ? Naturais. 2).- Podemos dizer que esta reta numérica é - Já quantos aos Números Inteirosuma RETA NUMÉRICA NATURAL. Negativos é mais complicado :- Lembre-se que a distância de um ponto - Qual número é maior ? -2 ou -10 ?para o outro deve ser a mesma.- Nós deixamos um espaço de 1 cm, mas Obs: agora o resultado não será -10.o espaço pode ser qualquer um, contando - Isso porque na Reta Numérica o -10que sejam sempre congruentes. está à esquerda e o -2 está a direita.- Embora tenha que ter o mesmo espaço - Logo, o maior número será aquele queentre um e outro, ninguém vai ficar estiver à direita na Reta Numérica.medindo os espaços. Por isso será - Jeito Mais Fácil : Para saber qualnormal você daqui para frente fazer e ver número é maior, é só ver :retas numeradas com distâncias não - Dois Números Positivos : Maior Valorexatas entre um número e outro. Absoluto.- Observe que o número começa no Zero, - Dois Números Negativos : Menor Valore vai aumentando para o infinito : 0,1,2... Absoluto. - Um Número Positivo e um Número6.1.2.a - Reta Numérica Z. Negativo : O número positivo.- Pegue a reta que você já numerou, e Exemplo para entender melhor :faça o mesmo processo, só que desta vez - Suponhamos que seu pai queira te darpara o lado esquerda ( o contrário ). uma caderneta de poupança. - Ele tem 3 contas, e manda você- Os números naturais mais os seus escolher uma.simétricos(opostos) pertecem ao conjunto - Você pede para olhar os saldos de cadanumérico Inteiro. uma para ver qual conta tem mais valor.- Observe que o primeiro inteiro é infinito ( - A primeira : 142,00 Anao tem começo ). segunda : -613,50 A terceira : -- Mas nesta reta,o 1º representado é o - 974,1111. - Qual você escolhe ? Acredito que você- A reta vai crescendo : -11,-10,-9,-8,-7,- tenha escolhido o 142,00. Por quê ?6... www.matematicarlos.com.br
  15. 15. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 17- Se fosse escolher por valor absoluto - Mas para não ter que imaginar a reta, a(ignorando o sinal ), você escolheria o - maior fração será o maior decimal.974,11, que é maior que 142,00 e -613,50. Ex : Qual é maior ? 9/12 ou 7/8 ?- Entretanto você levou em consideração Parece que 9/12 é maior que 7/8. Maso sinal (-). E você sabe que quanto maior não é.for número com sinal negativo, maior será - Numeradores iguais e denominadoresa sua dívida, e menos valor tem a conta. diferentes, maior fração será o de menor denominador ( denominador é a- Assim, quanto maior for o número quantidade que se divide . Quanto maisnegativo, menor será o seu valor. você divide, menor fica a fração ). - Numeradores diferentes e denominadores iguais, maior fração será6.1.3.a - Reta Numérica Q. a de numerador maior.- É importante saber que entre os - Mas você não precisa decorar isso.principais números que vimos até agora Basta você resolver a fração, e com o(os inteiros) , existem números que não resultado (que será um decimal ousão inteiros. São parte de um inteiro. número inteiro ) você verá qual é maior.- Exemplo : Tinha 1 Real inteiro em uma Exemplo : 9/12 = 0,75 7/8 = 0,875.nota. Queria dividir em 4, tive que trocar Logo, 0,875 é maior que 0,75.por 4 moedas de 0,25. Cada moeda vale - Logo, maior fração será a maior decimal1/4 do real. que a fração resultar.- Sendo 1/4 um número que não é inteiro,mas uma fração, em que posição deveriaele estar colocado na reta numérica ? 6.1.4 - Reta Numérica Ir- Muitos colocariam 1/4 depois do 1 eantes do 4. Mas está errado. - Os irracionais na maioria das vezes- Para saber em que posição ele deve aparecerão em decimais.estar, você deve transformá-lo em - Pelos decimais você saberá onde eledecimal ( ou seja, deve resolver essa deve ficar na reta numérica.divisão, já que 1/4 é a mesma coisa que Exemplo : π = 3,141592... Ele ficará na1:4 = 0,25. reta depois do 3, antes do 4.- Tendo o número 0,25, já podemos - Mas os Irracionais podem aparecer emcolocá-lo na reta. Logo, ele será maior raízes : √ 3.que 0 e menor que 1. Na reta, estará - Neste caso, onde colocar essa raiz naentre o 0 e 1. reta ? Isso mesmo. É só resolver e achar- Você pode não estar vendo, mas entre o decimal que ela representa : √ 3 =um número e outro há infinitos números 1,7320508... Logo, fica depois do 1 eracionais e irracionais. antes do 2.- Se pedirem para representar uma fração 6.1.5 - Reta Numérica Rna reta numérica, você não deverepresentar com uma decimal. - Daqui para frente você não vai ouvir- Resumindo : Ache o decimal da fração falar de reta numérica dos númerospara saber onde colocá-la na reta. naturais, inteiros, racionais ou irracionais (6.1.3.b - Qual é a maior fração ? a não ser em casos raríssimos ).- A maior fração será aquela que estiver à - Será mais comum você ver Retaesquerda na reta numérica. numérica dos números Reais, que englobam todos os números. www.matematicarlos.com.br
  16. 16. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 18- Logo, na reta numérica dos números Reais estão todos os números que existem.- Ainda que seja representado na Reta Numérica apenas os números que interessaremno momento, você não pode esquecer que antes, entre e depois de qualquer númerorepresentado nessa Reta existem infinitos números escondidos, que não convémrepresentá-lo naquele momento. 7 - SINAISA é igual a B ......................... A=BA é diferente a B .................... A ≠ Ba pertence a A ........................ a ∈ Aa não pertence a A ................. a ∉ AA está contido em B ............... A ⊂ BA não está contido em B ........ A ⊄ BA contém B ........................... A⊃BConjunto Vazio ..................... ∅ ou { }.Conjunto Universo ................. ∪A união B .............................. A∪BA interseção B ....................... A∩BA menos B ............................ A-BA maior que B ...................... A>BA menor que B ........................... A < BA maior ou igual a B ................... A ≥A menor ou igual a B .................. A ≤ BConjunto dos números Naturais . . INConjunto dos números Inteiros .. . ZConjunto dos números Racionais.. QConjunto dos números Reais .... IR www.matematicarlos.com.br

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