SEMEJANZA DE   TRIÁNGULOSALUMNOS DE CUARTO GRADO
• En esta presentación encontrarás :  Descripción                                  Criterios de  del concepto     Definici...
SEMEJANZA
Descripción: Dos figuras son        semejantes cuando tienen la misma        “forma”, pero no necesariamente el        mis...
No son figuras semejantes
Definición geométrica: Dos figuras son       semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados        homólogos (c...
Triángulos SemejantesDos triángulos son semejantes si        sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus      lados ho...
Criterios de Semejanza de         TriángulosExisten algunos principios que nos permitendeterminar si dos triángulos son se...
Existen tres casos de semejanza         de triángulos   1. AA ( ángulo-ángulo)   2. LLL (lado-lado-lado)   3. LAL (lado-án...
I.    Primer Caso                       AA  Dos triángulos que tienen los dos ángulos   congruentes son semejantes entre s...
Ejemplo¿Son los siguientes triángulos semejantes?                                65            65   25                    ...
II. Segundo Caso                      LLL    Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales                    so...
Ejemplo    Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes                                                           ...
III. Tercer Caso                          LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el     ángulo comprendi...
Ejemplo    ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?    Veamos si dos de sus lados    son proporcionales                  ...
Algunas aplicaciones de   estos conceptos
Ejercicio   Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son   semejantes y halla la razón de s...
Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escal...
OTRO EJERCICIO SIMILAR     Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los          lados de ...
UNA APLICACIÓN      Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué      altura tiene un árbol que a l...
Para terminar una pequeña       demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC                            B                  A                 C           ...
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Semejanza de Triangulos

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Concepto de semejanza, criterios de semejanza, ejercicios resueltos y una demostración

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Semejanza de Triangulos

  1. 1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSALUMNOS DE CUARTO GRADO
  2. 2. • En esta presentación encontrarás : Descripción Criterios de del concepto Definición y semejanza de semejanza ejemplos del de triángulos y ejemplos concepto de y ejemplos semejanza Algunos Todos estos elementos ejercicios son la base de los sencillos contenidos relacionados con la unidad de semejanza
  3. 3. SEMEJANZA
  4. 4. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamañoEjemplos defigurassemejantes
  5. 5. No son figuras semejantes
  6. 6. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? 10cm 10 4 5cm = 5 2 Así es, ya que los productos 2cm “cruzados” son 4cm iguales 10 •2 = 5 • 4¿Son sus ángulos correspondientescongruentes? Al cumplirse las dos Efectivamente, al tratarse de dos condiciones anteriores, rectángulos, todos los ángulos podemos decir que los miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son dos rectángulos son congruentes semejantes
  7. 7. Triángulos SemejantesDos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
  8. 8. Criterios de Semejanza de TriángulosExisten algunos principios que nos permitendeterminar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todossus lados y todos sus ángulos. Estosprincipios se conocen con el nombre decriterios de semejanza de triángulos ocasos de semejanza.
  9. 9. Existen tres casos de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
  10. 10. I. Primer Caso AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ α´ α β γ B C γ´ β C’ ´ B´Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ ´Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  11. 11. Ejemplo¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 2 5 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
  12. 12. II. Segundo Caso LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ b b´ a a´ C B c Es decir: C’ B´ a b c c´ a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre síEntonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
  13. 13. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes PVerifiquemos si las medidas de los B 1,5lados son proporcionales C 3,5 1,5 3,5 5 7 3 = 7 = 10 5 A 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 QPor lo tanto Triángulos ABC y PQR son 3semejantes por criterio LLL R
  14. 14. III. Tercer Caso LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a a´ α C B c α´ C’ c´ B´Es decir: a c a´ = c´ y α = α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B ´C´
  15. 15. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 3 E = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque,¿Los ángulos formados por tal como se señala en elestos dos lados son dibujo, ambos son rectoscongruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
  16. 16. Algunas aplicaciones de estos conceptos
  17. 17. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780Comprobemos que las medidas de loslados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
  18. 18. Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Representamos la situación x=9 5 3 12 = y 4 z =15Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X = 3 X= 3· 3 = 9 3 Y Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12 ampliación La razón de semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
  19. 19. OTRO EJERCICIO SIMILAR Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=48030 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40Comprobemos que las medidas de los Para calcular la razón delados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
  20. 20. UNA APLICACIÓN Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen p el criterio AA, tienen iguales el o ángulo recto y el s 3m ángulo de t x elevación que e forman los rayos solares con el suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tantoFormamos la proporción 3 2 X= 3 • 4,5 = 6,75m x = 4,5 De donde 2
  21. 21. Para terminar una pequeña demostración
  22. 22. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D EDemostración Afirmaciones Razones ∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre // ∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

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