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Conjuntos numéricos, mdc e mmc
 

Conjuntos numéricos, mdc e mmc

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    Conjuntos numéricos, mdc e mmc Conjuntos numéricos, mdc e mmc Document Transcript

    • matematicaconcursos.blogspot.comProfessor: Rômulo GarciaEmail: machadogarcia@gmail.comConteúdo Programático: Conjuntos Numéricos, mdc e mmc "Se as condições forem favoráveis, venceremos. Se as condições forem desfavoráveis, ainda assimvenceremos. E se, de tudo, as condições forem totalmente desfavoráveis mesmo assim estaremos no páreo." Ayrton SennaMódulo 1 - Conjuntos Numéricosa) Os Naturais (N):N = {0, 1, 2, 3, ...}N* = {1, 2, 3, ...}b) Os Inteiros (Z):O conjunto dos inteiros é dado por números que expressam quantidades positivas (+) e negativas (-). No caso dasquantidades negativas, podemos entendê-las como uma falta de algum objeto.Z = {...–1,0,1,...}.Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos) Z+* = {1, 2, 3, ...} (inteiros positivos)Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) Z-* = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros negativos)Para melhor entender a parte negativa dos inteiros veja a seguinte situação:Pedro tinha 3 reais mas devia a Aline 5 reais, pagou os 3 que possuía e ainda ficou devendo 2. Logo ficou com – 2 reais.• Números Primos e Compostos: Um número inteiro positivo (diferente de 1) é dito primo quando admiti somente dois divisores positivos: a unidade e ele mesmo.Obs: Se um número possuir mais de dois divisores então ele é chamado de composto.c) Os Racionais (Q):É todo número que pode ser escrito na forma de uma fração com o numerador sendo um nº inteiro e o denominador umnúmero inteiro não nulo. Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com asfrações positivas e negativas.Q = {a/b; a∈ Z e b ∈ Z*}Exemplos: ହ ଵ଴a) 5 = = ଵ ଵଶ ସ ି଼b) – 2 = = ିଶ ସ ସଶଷc) 4,23 = ଵ଴଴ ଻d) 1,1666... = ଺Observe que os números naturais, inteiros, decimais exatos e as dízimas periódicas são exemplos de números racionais.Fração geratriz de uma dízima periódica:Exemplos: ଻ଶa) 0,72727272... = ଽଽ72: período ଶ૛૜૞ ିଶ ଶଶଷଷb) 2,235235235... = ᇩ, ᇪ ᇫ235235... = ณᇭ૛૜૞ 2 ᇭ = ଽଽଽ ଽଽଽ235: período ଶଵૢ૛૟૝ି ଶଵૢ૛ ଶଵ଻଴଻ଶc) 21,92646464... = 21, ૢ૛ᇭᇫ6464... = ᇩᇭ ૟૝ ᇭᇪᇭ ᇣᇤᇥ = ଽ଴଴଴ ଽଽ଴଴64: período
    • matematicaconcursos.blogspot.com92: anti-período ଽ଴ଶ૙૜૝૛ି ଽ଴ଶ૙૜૝d) 902,034222222... = ᇩᇭ ૙૜૝ ૛22222... = 902, ᇭᇫ ᇭᇪᇭ ଼ଵଵ଼ଷ଴଼ ᇣᇧ ᇧᇥ ᇧᇤᇧ = ଽ଴଴଴ ଽ଴଴଴2: período034: anti-períodoRegra prática para determinar a fração que gerou uma determinada dízima periódica.Numerador: escreva o número até o fim do período e subtraia pelo número que aparece antes desse período. :Denominador: para cada algarismo do período, um algarismo 9, e para cada algarismo do anti : anti-período, um algarismo 0.d) Os Irracionais (I ou R – Q) e os Reais (R):√2 = 1,4142135...√3 = 1,7320508... Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritona forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadr quadrada de 2 e a raizquadrada de 3.Um número irracional bastante conhecido é o número π =3,1415926535... onal Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento. Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale . E quanto é ?Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de númerosinteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá de chamá-lonúmero racional. Por este motivo houve a necessidade de c criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números seracionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao secontrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto érepresentado por .As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.Por exemplo: Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamadosde números irracionais. Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número eroirracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional. Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima. Todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estãoneste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros. =3,141592...), número Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais ados irracionais,como:
    • matematicaconcursos.blogspot.com(Obs.: Essa representação é equivocada, pois dá a entender que além dos números naturais estarem contidos nosinteiros, o conjunto dos números inteiros possui mais elementos que os naturais. E isso não é verdade!. Os doistêm a mesma cardinalidade – “tamanho” – e essa representação usada por muitos autores é incorreta e, para nósaqui, é meramente ilustrativa) Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntosimportantes de IR temos:IR* = IR-{0}IR+ = conjunto dos números reais não negativosIR_ = conjunto dos números reais não positivosObs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: • Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... • Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...Módulo 2 – Múltiplos e DivisoresMúltiplos de um número M(a): Chamamos de múltiplos de um número a e representamos por M(a) ao conjunto formado quando se efetua oproduto de a por todos os inteiros.Assim: M(5) = {.., -5, 0, 5, 10, ...} são os múltiplos de 5.Obs1: zero é múltiplo de qualquer número.Obs2: um produto é zero quando ao menos um de seus fatores é zero (principio do anulamento do produto).Divisores de um número D(a): Chamamos de divisores de um número a e representamos por D(a) ao conjunto formado por todos os inteirosque dividem o a. Divisor de um número é todo aquele que o divide exatamente. Um número é divisível por outro se o resto dadivisão for igual a zero.Assim: D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} são os divisores de 12.Obs1: um é divisor de qualquer númeroObs2: zero não é divisor de ninguém: “Jamais dividiras por zero” (1º mandamento da matemática).Obs3: todo número é divisível por si mesmo.• Queremos saber quantos são os divisores positivos de um número α. Para isso decompomos α em um produto defatores primos: α = 2β1. 3β2, 5β3... . O número de divisores positivos de α é dado por: (β1 + 1) . (β2 + 1) . (β3 + 1). ....Ex1: Calcule o número de divisores positivos de 24.Solução: Temos que 24 = 23 . 31. O número de divisores de 24 é dado pelo produto (3+1).(1+1) = 4 x 2 = 8
    • matematicaconcursos.blogspot.comEx2: Calcule o número de divisores de 360Solução: 360 = 23 . 32 . 51, logo o número de divisores positivos de 360 é dado pelo produto (3+1) . (2+1). (1+1)= 4 x 3x 2 = 24 divisores positivos.Como o número de divisores positivos é igual ao de divisores negativos temos um total de 48 números divisores 360.Módulo 3 - Máximo Divisor Comum (MDC) Podemos determinar o m.d.c. de dois números, dividindo-se o maior pelo menor deles. Se a divisão não forexata, dividi-se o menor pelo resto e assim sucessivamente. O último divisor será o m.d.c. O m.d.c é dado pelo produto dos fatores comuns com menores expoentes. Obs: quando dois ou mais números admitirem somente a unidade como divisor comum eles serão chamados deprimos entre si. Ex.: Determine o m.d.c entre 12, 18, 30 12, 18, 30 2 6, 9, 15 3 2, 3, 5 2.3 = 6 = MDC (observe que usamos na coluna da direita apenas os fatores primos que dividem,AO MESMO TEMPO, todos os números da coluna da esquerda) É bom lembrar que 6 é o maior número natural “que separa em partes” os valores 12, 18 e 30.Módulo 4 - Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O m.m.c é dado pelo produto dos fatores comuns e não-comuns com maiores expoentes. 12, 18, 30 2 6, 9, 15 2 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 22.32.5 = 180 = MMC (observe que usamos na coluna da direita os fatores primos que dividem,PELO MENOS UM, dos números da coluna da esquerda) É bom lembrar que 180 é o menor número natural que ao ser dividido pelos valores 12, 18 e 30 deixam restozero. Importante: m.d.c. (a,b). m.m.c (a,b) = | ab |Exercícios resolvidos:1) Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários,verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerentede produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguaise de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? Devemos encontrar o MDC entre 156 e 254, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado.Decomposição em fatores primos234 = 2 * 3 * 3 * 13156 = 2 * 2 * 3 * 13MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78 Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.
    • matematicaconcursos.blogspot.com2) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A áreaadministrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final doano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participemativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determinequantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.Decomposição em fatores primos:48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 336 = 2 * 2 * 3 * 330 = 2 * 3 * 5MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6Determinando o número total de equipes:48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipesO número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.3) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, apósquantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.4) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente deacordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C,de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário deingestão dos mesmos?Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.Exercícios:1) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa,foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números deinserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre amesma, e a maior possível. Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissãofoi igual aa) 32 b) 30 c) 24 d) 18 e) 16
    • matematicaconcursos.blogspot.com2) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de lápis, cada qualcom 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15unidades. Sabe-se que:a) todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e encaminhados adiferentes setores dessa Unidade;b) todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos;c) cada pacote deverá conter um único tipo de objeto.Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número compreendido entre:a) 10 e 20 b) 20 e 30 c) 30 e 40 d) 40 e 50 e) 50 e 603) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos serãodivididos em equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que todos osagentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de agentes porequipe seráa) 3 b) 4 c) 5 d) 64) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2.Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhasretangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderáobter éa) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 1475) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, acada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriramhoras-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá ema) 9 de dezembro de 2010. b) 15 de dezembro de 2010. c) 14 de janeiro de 2011.d) 12 de fevereiro de 2011. e) 12 de março 2011.6) Duas polias conectadas por uma correia têm comprimentos de 12 cm e 22 cm.O menor número de voltas completas que a polia menor deve dar para que a polia maior dê um número inteirode voltas éa) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 117) Um agente administrativo foi incumbido de tirar cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só dispõe deuma impressora que apresenta o seguinte defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8)o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as páginas do texto aparecem destaques na corvermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, o número de páginas que serão impressas sem essa falha éa) 226 b) 225 c) 224 d) 223 e) 2228) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e oterceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram deplantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foia) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/029) Analise as afirmativas a seguir:
    • matematicaconcursos.blogspot.comAssinale:a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.b) se somente a afirmativa II estiver correta.c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.d) se somente a afirmativa I estiver correta.e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.10) Se a fração irredutível é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b :a) 670 b) 1809 c) 2010 d) 590 e) 54011) O texto seguinte é um extrato do testamento do senhor Astolfo:Deixo da quantia que tenho no Banco à minha única filha, Minerva, e o restante à criança que ela estáesperando, caso seja do sexo feminino; entretanto, se a criança que ela espera for do sexo masculino, tal quantiadeverá ser igualmente dividida entre os dois." Considerando que, 1 mês após o falecimento de Astolfo, Minervateve um casal de gêmeos, então, para que o testamento de Astolfo fosse atendido, as frações da quantia existenteno Banco, recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente:a) b) c) d) e)12) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismosdas unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual aa) 6480 b) 6686 c) 6840 d) 5584 e) 59601613) Seja N um número inteiro positivo, no qual x é o algarismo das centenas, y o das dezenas e z o das unidades.Se y > 5, z < 6 e 36x + 9y + z = 347, entãoa) N < 500 b) 500 < N < 600 c) 500 < N < 700 d) 700 < N < 800 e) N > 80014) Uma loja vende certo artigo por 15 reais. Em uma promoção, o preço de venda desse artigo foi baixado parax reais e isso fez que todas as n unidades em estoque, que não eram mais do que 30, fossem vendidas. Se com avenda das n unidades foi arrecadado o total de 253 reais e sendo x um número inteiro, então n - x é igual aa) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 1415) Sejam x e y números reais dados por suas representações decimaisPode-se afirmar que:a) x + y = 1 b) x - y = 8 / 9 c) xy = 0,9 d) 1 / ( x + y ) = 0,9 e) xy = 1Gabarito:1) E 2) B 3) D 4) B 5) D 6) E 7) C 8) D 9)E10) A 11) D 12) E 13) E 14) D 15) C