Unidad nº1 naturales 1º ciclo básico
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Unidad nº1 naturales 1º ciclo básico Unidad nº1 naturales 1º ciclo básico Document Transcript

  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves • Objetivos Didácticos En esta unidad se pretende que todo lo comprendido en números naturales se presente desdeuna nueva perspectiva con respecto a lo visto en niveles anteriores, con una elevación del nivel deformalización de conceptos, y la incorporación de otros que serán base para el resto del curso y de laformación matemática del alumno. Es importante que se comiencen a incorporar pequeños problemas en los diferentes apartados,ya que ésta es una forma de visualizar cuan arraigado se encuentra el conocimiento en el alumno,además en general son motores que desestabilizan la estructura cognitiva del alumno. Sin abusar dedichos problemas, pueden llegar a caracterizar a las propuestas como un poco más innovadoras, sindespreciar y dejar de lado los aportes que puedan realizar las clases expositivas y de refuerzo. Se considerará también la posibilidad de agregar hacia el rumbo del curso a la mayor cantidadde alumnos posible, por lo que se prevé como estrategia diversos problemas de complejidad menorpara que en muchas ocasiones los alumnos tengan la posibilidad de integrarse. • Contenidos  Procedimentales - Incorporación e identificación de nueva notación, como una nueva forma de enunciar los conceptos. - Desarrollar habilidades de cálculo mental y estimación. - Incorporación de la calculadora, como herramienta que facilita el cálculo numérico. - Extracción, ordenamiento y conexión de datos de un problema para la resolución del mismo. - Manejo de diagramas de árbol para la resolución de problemas de conteo.  Conceptuales - Conjunto de Números Naturales - Operaciones en N. Propiedades. - Prioridades entre las operaciones. Uso de paréntesis. - Orden en N  Actitudinales - Fomentar la actitud crítica frente a lo aprendido. De a poco se plantearán situaciones en que los alumnos manifiesten su postura frente a lo que se enseña.(Propuestas con más de una solución). - Comenzar la integración y consolidación del grupo, con actividades que ayuden a que todos se conozcan con todos. - La participación constante e interesada por parte de los alumnos, así como la manifestación de los mismos ante conceptos que no comprendieron. 1
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves - Demostración del manejo de un lenguaje que se adecua al ámbito liceal y específicamente a la materia. • Introducción al conjunto de los Números Naturales Mucho antes de que surgiera la historia, el hombre ha tenido la necesidad de contar.Al comienzo los pueblos son “pastoriles” y nómadas, por lo que necesitan contar sus animalesdomésticos (su ganado. Al principio lo hicieron con piedras (que es el significado de la palabra cálculo),haciendo incisiones en huesos o nudos en una cuerda, pero a medida que las civilizaciones se vandesarrollando, aparece la agricultura y con ella los excedentes de producción y el comercio, resultandopoco práctica la forma utilizada de contar hasta ese momento. El surgimiento de los sistemas numéricoses la respuesta a esta necesidad.Existen varios sistemas numéricos, entre ellos el que utilizamos nosotros hoy en día para contar objetos(que es en base diez o sistema decimal), y a estos números que utilizamos para contar los denominamosNúmeros Naturales.-Para referirse al conjunto de los números naturales, se usa el símbolo N. También se suele escribirse elconjunto de los números naturales: N = { 0,1,2,3,.....}. lo que se lee, N es el conjunto formado por0,1,2,3,4, etc.Los números naturales tienen su utilidad como números cardinales y como números ordinales. Losprimeros representan a un conjunto: al contar los elementos del mencionado conjunto, cardinal es elnúmero que corresponde al último elemento.Ejemplo: Sea el conjunto de letras M, N, O y P. A = {M, N, O, P} , cardinal del conjunto A = 4.Como número ordinal, representan el elemento teniendo en cuenta el orden.Ejemplo: M es la 2ª letra de la palabra AMORSi dos números son tales que uno es el siguiente del otro, como por ejemplo 4 es el siguiente de 3, sedenominan consecutivos.El primer número natural es el cero y cada número tiene un sucesor o siguiente, que se obtienesumándole 1.Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural.  Actividad Nº1Escribe los números ordinales de los siguientes días de la semana:Lunes ___________ Jueves ____________ Domingo __________Martes __________ Viernes ____________ Sábado ___________  Actividad Nº2Une con una línea cada orden con su correspondiente:1º TERCERO 6º QUINTO2º CUARTO 3º NOVENO7º DÉCIMO 5º SEGUNDO 2
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves9º PRIMERO 10º OCTAVO4º SEXTO 8º SÉPTIMO Definición: Se conforman a partir 0 1 2 3 4 ....... del 0 y se suma 1 Orden 1 < 4 determinando el 7>3 NÚMEROS NATURALES consecutivo 0+1=1 1+1=2 Representación: N = { 0,1,2,3,.....} Se simboliza por N, notación Determinada por los matemáticos • Sistemas numéricos Las formas de representar cantidades han ido variando a través del tiempo según lasnecesidades y conocimientos numéricos de cada época y dieron lugar a los diferentes sistemas denumeración. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que indican de qué manera se combinan para representar cantidades.Existen dos grandes tipos de sistemas numeración: los aditivos y los posicionales. El sistema romanoes aditivo, porque un número se escribe con una sucesión de símbolos y para conocer su valor ennecesario sumar (y a veces restar) los valores de cada símbolo, que no cambian según su posición.En los sistemas posicionales como el decimal, que es el que usamos actualmente, cada cifra tiene unvaloren sí misma y, a la vez, tiene un valor relativo, que depende de la posición en el número.Por ejemplo el número 3256, la cifra 5 vale cinco veces diez: 3256= 3 x 1000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 6y en 2541 vale cinco veces cien: 2541= 2 x 1000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 1 • Recta numérica Una manera de representar los números naturales es señalarlos en la recta numérica.En una recta, se marca el 0, que es el origen desde donde se empieza a contar; la unidad es la distanciaque separa dos números naturales consecutivos, y la flecha indica el orden creciente.Quedando formada la semirrecta de los números naturales 3 View slide
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves • Operaciones con números naturales Tenemos dos operaciones definidas en los números naturales “ + “ y “ x “.Son operaciones en los naturales las funciones que toman dos elementos cualesquiera del conjunto, yme devuelven un elemento del mismo conjunto.  Suma: Es la operación que me permite obtener como resultado la adición de números.PropiedadesI) Asociativa: Es posible agrupar o asociar, distintos sumandos sin modificar el resultado de la suma. a B c a +( b + c) (a+b)+c 2 3 9 2 + 12 = 14 5 + 9 = 14 Cualesquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica: a + (b + c) = (a + b) + c ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ NII) Conmutativa: La suma es una operación conmutativa pues al cambiar el orden de los sumandos no semodifica el resultado. a b a+b b+a 2 5 2+5=7 2+5=7Cualesquiera sean los números naturales a, b, se verifica: a+b =b+a ∀a ∈ N , ∀b ∈ N , ∀c ∈ NIII) Neutro: Para todo número natural se cumple que si le sumamos cero me da el mismo númeronatural. Tenemos que ∀a ∈ N a + 0 = a 2+0=2  ProductoMuchas veces utilizamos el punto "." en lugar del "x" para simbolizar el producto entre númerosI) Asociativa: Es posible multiplicar agrupando distintos factores sin modificar el resultado. a b C a x( b x c) (axb)xc 2 3 9 2 x 27 = 54 6 x 9 = 54Cualquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica: 4 View slide
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves a × (b × c) = (a × b) × c ∀a ∈ N , ∀b ∈ NII) Conmutativa: Es posible cambiar el orden de los factores y no se modifica el resultado de lamultiplicación. a b axb bxa 2 7 2 x 7 = 14 7 x 2 = 14Cualquiera sean los números naturales a, b, se verifica: a×b = b×a ∀a ∈ N , ∀b ∈ NIII) Neutro: Para todo número natural se cumple que si lo multiplicamos por uno me da el mismonúmero natural. Tenemos que ∀a∈ N a x 1 = a En la multiplicación el cero se llama absorbente porque cualquier número natural multiplicado por 0 da 0.  Distributiva del producto respecto de la suma Dados tres números naturales a, b y c cualesquiera, si a la suma de b y c se la multiplica por c, seobtiene el mismo resultado que si se multiplica a por b , y a por c, y se suman ambos productos. a b c b+c a.(b + c) a.b a.c a.b + a.c 3 2 8 2+8=10 3.10=30 3.2=6 3.8=24 6+24=30Conclusión: Cualquiera sean los números naturales a, b, c, se verifica: a (b + c) = ab + ac ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ∀c ∈ N Si observamos la siguiente igualdad vemos que: Desarrollar el producto a.(b + c) es sustituirlo por la suma a.b + a.c Factorizar la suma a.b + a.c es sustituirla por el producto a.(b + c) D Desarrollar 5 Factorizar
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves  Actividad Nº3Anota en los casilleros números del 1 al 8, sin que haya números consecutivos juntos, ni aúndiagonalmente no se permite además repetir números.  Actividad Nº4Completa las hileras del triángulo con los números del 1 al 9 de manera que cada hilera sume 17. • Operaciones definidas en el conjunto de los naturales  Definición: Para que una operación esté bien definida en un conjunto numérico, es necesario que si tomamos dos o más elementos de dicho conjunto y lo combinamos mediante una operación, el resultado de la misma pertenezca siempre al mencionado conjunto.Por tal motivo, las operaciones suma y multiplicación, están bien definidas en el conjunto de losnúmeros naturales, en cambio las operaciones resta y división no lo están.Ejemplos: 1) 5 + 3 = 8 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 8 ∈ N 2) 5 x 3 = 15 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 15 ∈N 3) 5 – 3 = 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 2 ∈ N 4) 3 – 5 = - 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y – 2 ∉ N 5) 8 % 4 = 2 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 2 ∈ N 6) 5 % 3 = 5/3 donde 5 ∈ N , 3 ∈ N y 5/3 ∉ N a + b = c ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ⇒ c ∈ N  Resumen: 1) a x b = d ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, ⇒ d ∈ N operaciones bien definidas en el conjunto.   a − b = e ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, e ∈ N ⇔ a > b  2) a / b = f ∀a ∈ N, ∀b ∈ N, f ∈ N ⇔ a esmúltiplo de b operaciones no definidas. ¿Cómo se usan las letras al trabajar con números?En algunas expresiones, cuando se usan letras, como n, a, b, c y otras, éstas representan cualquiernúmero.Las letras permiten expresar los números de manera general.  Cálculo mentalLas propiedades vistas, tanto de la suma como del producto, nos permiten muchas veces simplificar loscálculos.Estos ejemplos son a modo de resumen del que se pretende apliquen los alumnos con el calculo mental. 6
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos NevesEjemplos: 1) 6 + 12 + 4 + 5 + 8 + 5 + 7 + 20 + 13 = Aplicando propiedad conmutativa de la suma 6 + 4 + 12 + 8 + 5 + 5 + 7 + 13 + 20= Aplicando asociativa de la suma 10 + 20 + 10 + 20 + 20 = 80 2) 16 x 25 x 5 x 4= Aplicando propiedad conmutativa del producto 16 x 5 x 25 x 4 = Aplicando propiedad asociativa del producto 80 x 100 = 800 3) 120 x 12 = Podemos descomponer uno de los factores en dos números usando una suma. 120 x ( 10 + 2 )= Desarrollamos, propiedad distributiva del producto respecto de la suma 120 x 10 + 120 x 2 = 1200 + 240 = 1440 4) 45 x 18 = Podemos descomponer uno de los factores en dos números usando una resta. 45 x (20 – 2) Aplicando propiedad distributiva del producto respecto de la resta 45 x 20 – 45 x 2 En una multiplicación podemos factorizar uno o más factores sin que cambie el resultado. 45 x 10 x 2 – 45 x 2 = 450 x 2 – 90 = 900 – 90 En una suma o una resta, podemos sumar y restar el mismo número sin variar el resultado 900 – 90 – 10 + 10 = 900 – 100 + 10 = 810.  Uso de paréntesis y prioridad de las operaciones en ausencia de paréntesis Al resolver un cálculo que involucra distintas operaciones, hay que prestar particular atención alorden en que se realizan dichas operaciones. Este orden esta dado por convención, al igual que paragramática existen reglas para realizar las operaciones matemáticas. Siempre, cuando hay que resolver cálculos donde aparecen varias operaciones en ausencia deparéntesis, se resuelven en el siguiente orden: = 2 + 5 x 7 − 6 : 3 x9 + 8 : 4 − 2 = Las operaciones de  Multiplicaciones y divisiones igual jerarquía se realizan de izquierda a derecha = 2 + 35 − 18 + 2 − 2 = 7
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves  Sumas y restas En caso de que se necesite modificar este orden, se utilizan paréntesis y lo que está dentro deéstos se debe resolver primero.  Actividad Nº5 En el campeonato de fútbol, se juegan 4 partidos por fin de semana. En la cancha del club A se vendieron 83 entradas, en la del club B se vendieron 235, en la del club C se vendieron 126 mientras que en la cancha del club D se vendieron 173. Las entradas cuestan $ 20. a) Calcula mentalmente lo recaudado en el fin de semana. 83 x 20 + 235 x 20 + 126 x 20 + 173 x 20 = 83 x 10 x 2 + 235 x 10 x 2 + 126 x 10 x 2 + 173 x 10 x 2 = 1660 + 4700 + 2520 + 3460 = $ 12340 b) Expresa de la manera más simple las operaciones necesarias para realizar el cálculo de recaudación. (83 + 235 + 126 + 173) x 20 = (617) x 20 = 617 x 10 x 2 = 6170 x 2 = 12340.  Orden Para comparar dos números naturales es necesario conocer los símbolos que nos permitenindicar cuando dos números son iguales, o cuando uno es mayor o menor que el otroEl signo de igualdad es “ = ” , e indica cuando dos números son iguales. Por ejemplo 37 = 37, o de modomás general a = b indica que a y b son números iguales.Los signos de desigualdad son: menor “ <”, mayor “>”, mayor o igual “ ≥ ” y menor o igual “ ≤ ” . Ejemplo: 6<12 6 es menor que 12 15>4 15 es mayor que 4Se pretende que de una actividad se desprenda la propiedad de tricotomía.Dados dos números naturales a y b siempre se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones: a=b a<b a>b (Se puede trabajar sobre la recta numérica)  Potencia Cuando en una multiplicación todos los factores son iguales, es posible definir una nuevaoperación: la potenciación. Por ejemplo, en 2x2x2x2= 24 , que se lee dos a la cuarta, el número 4, llamado exponente, indicala cantidad de veces que se repite el 2 como factor. El factor que se repite se denomina base y se llamapotencia al resultado. Base Exponente Desarrollo Resultado 3 5 (5 veces 3 ) 3x3x3x3x3 35 = 243 (4 veces 2) 2 4 24 = 16 2x2x2x2 a n (n veces a) axaxa..xa an 8
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Números NaturalesProf. Carlos Neves Las potencias de 2 y 3 se usan con bastante frecuencia en cálculos de medidas de figuras ycuerpos. Si recordamos el área del cuadrado, o el volumen del cubo.Dado un número natural a distinto de cero, que se multiplica “n” veces por sí mismo (axaxaxa....xa),podemos expresar este producto como an. A esta notación la denominamos potencia de un númeronatural.En la misma aparece el factor a, al cual llamamos base de la potencia, y “n” al que denominamosexponente de la potencia, que nos indica el número de veces que la base está multiplicada por símisma. Exponente n a Base an = a.a.a.a.a.....a a≠ 0 n veces Potencia Actividad Nº6: Calcula las siguientes potencias. ¿Puedes llegar a una conclusión? a) (2.3)3 = b) 23.33 = c) (22)3 = d) 26 = e) (3.5)2 = f) 32.52 = g) (32)3 = h) 36= i) 35/33= j) 66/63= 9
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Los Números. Números NaturalesProf. Carlos Neves Observamos que: (22)3 = 26 3 3 3 . (2.3) = 2 .3 (am)n = am n n n n (a.b) = a .b 2 3 (3 ) = 3 6 2 2 2 (3.5) = 3 .535 3.3.3.3.3  = = 3.3 = 32  am33 3.3.3  m−n ⇒ n = a m≥n6 6 6.6.6.6.6.6 a = = 6.6.6 = 63 6 3 6.6.6    Propiedades de la Potencia  Producto de potencias de igual base am.an = a m + n ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N y a ≠ 0.-  (a.b)n = an.bn ∀ a ∈ N , ∀ b ∈ N , ∀ n ∈ N , a ≠ 0 b ≠ 0.-  Potencias de potencia (am)n = am.n ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N y a ≠ 0.-  Cociente de potencias de igual base am n = a m–n ∀ a ∈ N, a ≠ 0, ∀ n ∈ N , ∀ m ∈ N que cumplen que m ≥ n.- a  Por definición de potencia. Si a ≠ 0 ⇒ a0 = 1 Notación científica – potencia de base 10.Completa el siguiente cuadro: Potencia de 10 Definido por Resultado en not. decimal 0 10 Definición 1 101 10 10 102 10.10 100 106 10.10.10.10.10.10 1000000 1011 10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10 100000000000“Una potencia de 10 y exponente natural, es igual a un 1 seguido de tantos ceros como indica elexponente”.  Notación científica.
  • Matemática. 1er año Ciclo BásicoUnidad Nº 1. Los Números. Números NaturalesProf. Carlos Neves Las potencias de 10 facilitan a (por ejemplo) los astrónomos al trabajo con “números enormes” como la distancia que nos separa de la constelación de Andrómeda: 9500000000000000000, la cuál se puede expresar como 9,5 x 1018 “Un número esta expresado en notación científica si esta escrito como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10”.  Actividad Nº 7) Escribe como una potencia de 10 10000 Cien millones 1000 Cien mil 1000000000 Cien mil millones  Actividad Nº 8) Halla en cada caso el producto 359 x 108 0,91 x 104 4,263 x 102 95,3 x 105 832,5 x 103 121 x 100  Actividad Nº 9) Expresemos los siguientes números utilizando potencia de 10 2000 = 2 x 1000 = 2 x 103 1250000 = 422 =  Actividad Nº 10) Completa: Notación decimal Notación científica 238000 7100 12000 10000000 4000000000 123456789 239,5