Presentacion Proyecto Grupo Nro 02

Lo mas valioso no es lo que tienen en sus vidas, si no a quién tienen en sus vidas…
anónimo

GRUPO 2 Integrantes:
Santiago Peñarreta
Diego Celi
Roberto Paredes
Oscar Muñoz
Anderson Jiménez
Mariuxi Granda
Jorge Ulloa
Jorge Medina
Amparo Collaguazo

PROYECTO MATEMÁTICAS DISCRETAS

TEMAS
CAPITULO 1.- LOGICA PROPOSICIONAL
EJERCICIOS
CAPITULO 2.- LOGICA DE PREDICADOS
APLICACIONES
CAPITULO 3.- ALGEBRA BOOLEANA
TEORIA
CAPITULO 4.- SISTEMAS NUMERICOS
EJERCICIOS
CAPITULO 5.- TEORIA DE GRAFOS
APLICACIONES
CAPITULO 6.- ARBOLES
TEORIA
CAPITULO 7.- MODELOS DE REDES
EJERCICIOS

Siempre habrá alguien mejor o peor que tú “NO RENIEGES DE TU VIDA”
Anónimo

Si hace frio entonces llueve
Hace frio solo si llueve
Hace frio si ¬ llueve
Hace frio si es necesario para que llueva
Hace frio implica que llueve
Cada vez que hace frio llueve
Llueve siempre que hace frio
Hace frio cuando llueve

Marcos trabaja si y solo si Juan estudia
Marcos trabaja solo y cuando Juan estudia
Marcos trabaja cuando y solo cuando Juan estudia
BICONDICIONAL (“si y solo si”, “solo y cuando”,”cuando y solo cuando”)

SIMBOLIZACIÓN Y TABLAS DE VERDAD

NEGACIÓN(¬)
1. Laura no estudia (¬p)
2. 5 no es un numero par (¬q)
3. No es cierto que 4 > 1(¬r)

CONJUNCIÓN ( ^ )
1.Juan canta y estudia (p ^ q)
2.Carlos y Kevin son hermanos (q ^ r)
3.Lorena sonríe y x + 2 = 7 (r ^ s )

DISYUNCIòN (V)
1.Mañana llueve o hace sol (p v q)
2.Maria sonríe o bien Luis es amigo de Rosa (q V r)
3.Marcos canta o Pedro trabaja (r V s)

CONDICIONAL( -> )
1. Si x + 2 = 7, entonces z > 9 (p -> r)
2. Si llueve entonces es una ciudad (s -> t)
3. 6 es numero para, entonces 6 < 9 cuando 9 es un número impar ( p-> q)-> r

BICONDICIONAL(↔)
Z > 9 si y solo si Z > 9 (p↔ q)
si nieva cuando y solo cuando llueve (s↔ t)
2 + 3 = 5 si y solo si 2 < 10 (p ↔ q)

TAUTOLOGIA
[(¬P V q ) ^ (¬ q V ¬ p)] ¬ p

CONTINGENCIA
(P V P) ^ (q V¬ p)

CONTRADICCIÓN
¬ q ^ q

EQUIVALENCIA
¬(pVq)Ξ¬pΛ¬q Si se escriben las tablas de verdad para P=¬(pVq) y Q=¬, se puede verificar que ; a partir de cualesquiera valores de verdad para p y q, P y Q son ambas verdaderas o P y Q son ambas falsas.
Entonces P y Q son equivalentes lógicos

SIMPLIFICACION de PROPOSICIONES
PASO1.- Aplicamos [ Morgan] ^ [( ¬) ^Morgan] ^ [condicional]
PASO2.- Aplicamos conmutativa ^ [ complemento] ^ [asociativa]
PASO3.- Aplicamos 1 ^ [ ¬qvr] ^ [idenpotencia v p v¬q]
PASO4.- Aplicamos 1 ^ [ ¬qvr] ^ [asociativa v ¬q]
PASO5.- Aplicamos 1 ^ [ ¬qvr] ^ [Morgan v ¬q ]
PASO6.- Aplicamos 1 ^ [ ¬qvr] ^ [conmutativa]
PASO7.- Aplicamos [ asociativa] ^ complemento
PASO8.- Aplicamos [ conmutativa ]^1
PASO9.- Aplicamos (complemento) ^ 1
PASO10.-- Aplicamos (complemento ) y esto
es el mínimo es decir el resultado

¿Qué sentido tiene correr cuando estamos en la carretera equivocada?
Anónimo

2.- LOGICA DE PREDICADOS _APLICACIONES 1.- A nivel profesional; se lo aplica en un programa llamado LISP, el cual sirve como constructor de sistemas expertos.

“ La primera regla para poder amar es tener cariño por uno mismo”
Anónimo

2.- La lógica también es aplicada para enseñar a programar en los diferentes lenguajes de programación. Por ejemplo java, c++, etc.

“ Nunca es tarde para bien hacer; has lo que no hiciste ayer ”
Anónimo

ALGEBRA BOOLEANAS Y CIRCUITOS COMBINATORIOS
Constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.
Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel.

CIRCUITOS COMBINATORIOS
En una computadora digital solo hay dos posibilidades, que se escriben como 0 y 1, para el objeto indivisible más pequeño. En última instancia, todos los programas y datos se pueden reducir a combinaciones de bits.
A través de los años se ha usado una variedad de dispositivos en las computadoras digitales para almacenar bits. Los circuitos electrónicos permiten que estos dispositivos de almacenamientos se comuniquen entre si. Un bit en una parte del circuito es trasmitido a otra parte del circuito como un voltaje. Entonces se necesitan dos niveles de voltajes; por ejemplo, un voltaje alto puede comunicar un 1 y un voltaje bajo, un 0.

DEFINICIÓN 1:
Una compuerta AND recibe entradas X1 y X2, donde X1 y X2 son bits, y produce una salida denotada X1  X2, donde
1 si X1= 1 y X2=1
X1  X2 = 0 de otra manera
Una compuerta AND se dibuja como se indica en la figura 1

X1  X2

DEFINICIÓN 2:
Una compuerta OR recibe entradas X1 y X2, donde X1 y X2 son bits, y produce una salida denotada X1  X2, donde

X1  X2 = 1 si X1= 1 o X2=1
0 de otra manera.
Una compuerta OR se dibuja como se indica en la figura 2.

X1  X2

DEFINICIÓN 3:
Una compuerta NOT (o inverso) recibe una entrada X, donde X es un bits, y produce una salida denotada por
= 1 si X = 0
0 si X = 1.
Una compuerta NOT se dibuja como se indica en la figura 3

Tabla lógica
La tabla lógica de un circuito combinatorio lista todas las entradas posibles junto con las salidas posibles.
AND
X1 X2 X1  X2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

OR NOT X1 X2 X1  X2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 X 1 O 0 1

Aprende de quienes puedan enseñarte
Anónimo

4.- SISEMAS DE NUMERACIÓN_ EJERCICIOS
DECIMALES A BINARIOS
En esta conversión se tiene un número en forma decimal dicho numero se lo dividirá para 2 tantas veces como sea posible y se tomara como numero binario el residuo que deje este y se lo tomara en cuenta desde abajo hasta arriba, teniendo en cuenta que el numero siempre se dividirá para el numero 2 únicamente.

DECIMALES A OCTALES
En esta conversión se tiene un número en forma decimal dicho numero se lo dividirá para 8 tantas veces como sea posible y se tomara como numero octal el residuo que deje este y se lo tomara en cuenta desde abajo hasta arriba, teniendo en cuenta que el numero siempre se dividirá para el numero 8 únicamente.

DECIMALES A HEXAGESIMALES
En esta conversión se tiene un número en forma decimal dicho numero se lo dividirá para 16 tantas veces como sea posible y se tomara como numero hexagesimal el residuo que deje este y se lo tomara en cuenta desde abajo hasta arriba, teniendo en cuenta que el numero siempre se dividirá para el numero 16 únicamente y se remplazara los números mayores a 9 con sus respectivas letras.

División

DECIMALES: 0 al 9 BINARIOS: 1 al 0 OCTAL: 0 al 7 HEXADECIMAL: 0 al 9 y del alfabeto de la A a la F EQUIVALENCIAS DE ESTOS ENUNCIADOS

Convertir binarios a decimales
Convertir decimales a binarios
Convertir decimales a octales
Convertir decimales a hexadecimales
Convertir binarios a octales
Convertir octales a binarios
Convertir binarios a hexadecimales
Convertir hexadecimales a binarios

TABLA DE NUMERACIÓN: TABLA DE NUME RACION: TABLA DE NUME RACION: TABLA DE NUME RACION:

En esta tabla yo descubrí una forma de aprender mas rápido los números binarios la clave esta en darse cuenta simplemente en los 3 primeros números que son “01” “10” “11” y en que la tabla los números mas altos son el 100 y el 1000 y el resto simplemente se le sustituye los dos últimos números por los números de las tres primeras filas es decir por ejemplo con el 100 dense cuenta que el numero que le sigue es 101 y hay ya contiene al primer numero que es 01 el numero que le sigue es 110 hay ya contiene al 10 y el otro que le sigue es 111 y hay ya contiene al 11. En la del 1000 es igual hasta el 1011 después de este numero esta 1100 simplemente hacemos de cuenta como si fuera 100 y el proceso es el mismo.

BINARIOS A OCTALES

En esta conversión los números tienen que ser agrupados de 3 en 3 desde la derecha y en caso de que no hubiese como agrupar al ultimo grupo de tres por circunstancia de que faltase números se le debe aumentar los ceros que sean necesarios para completar la agrupación. Luego de esto a los números agrupados de tres en tres se los va sustituyendo por los números que representen según la tabla con el ejemplo se entenderá mejor.

EJERCICIOS:

Como pueden darse cuenta es similar al anterior solo que ahora los números de azul son remplazados a ceros y unos y ese cero que esta de rojo en el segundo ejercicio lo puse de ese color para explicarles que también al remplazar esos números pro binarios siempre tienen que quedar conformados de 3 números y en caso de al pasarlo a binario solo quede de 2 números tenemos que aumentar un cero para que quede conformado de tres números

BINARIO A HEXADECIMAL

Antes de empezar tengo de decirles que este es igual de binario a octal simplemente lo único que cambia es que aquí se agrupa de 4 en 4

EJERCICIOS:

Como podemos darnos cuenta solo lo único que cambio fue el numero de agrupación y nada mas lo ceros en rojo son los que tuve que agregar para completar la agrupación. Y también nos podemos dar cuenta que aquí esos números binarios a sido una letra es lo único que también cambia que aquí aparecen letras.

HEXADECIMAL A BINARIO

Es similar al de octal a binario lo único que cambia es que aparecen letras y las letras también son sustituidas por números binarios

EJERCICIOS:

COMVERTIR UNA BASE DE CUALQUIER TIPO A DECIMAL

Ahora les explicare mejor los números de color azul son los números que nos fueron dados los verdes son las posiciones de los azules según la enumeración que les di empezando desde la derecha y comenzando desde cero los números de amarillo son el procedimiento ya explicado hay vemos que el tres que es el numero ya dado se lo multiplica por la base y la base es elevada según la posición del numero que en este caso seria elevada a dos

OPERACIONES BINARIAS Las operaciones que veremos serán las cuatro operaciones que son las siguientes:

SUMA:
Las reglas a cumplir serán las siguientes:

NOTA: (En este caso en la respuesta no se colocara el 10 en si solo se colocara el 0 y el uno se le sumara al número de alado pero siguiendo las reglas solo se colocara el 10 en caso de ser ya el último número sumado). Para su mejor entendimiento aquí les dejo unos ejercicios resueltos y explicados:

EJERCICIOS:
Para las siguientes sumas de este tamaño tenemos que sumar las filas de 2 en 2 para no confundirnos es decir la fila 1 y 2 y se saca el resultado luego la fila 3 y 4 y se saca el resultado y así sucesivamente luego de la misma forma se suma los resultados es decir el resultado de la fila 1 y 2 con el resultado de la fila 3 y 4 y se saca un resultado y ese resultado con la fila 5 como seria en el caso del ejercicio a realizar que esta debajo

MULTIPLICACION: Las reglas a cumplir serán las siguientes:

En la multiplicación de estas operaciones binarias no cambien en nada su metodología común es decir que estas se multiplican tal y como si se estuviera multiplicando en una operación normal pero siguiendo las reglas planteadas. Y para multiplicar con decimales es igual simplemente se cuenta cuantos números hay después de la coma tanto de multiplicador como del multiplicando y según la cantidad de dichos números en el resultado final se comienza a contar los números desde la derecha y se coloca la coma a continuación unos ejercicios:

EJERCICIOS:
NOTA: En este ejercicio voy a explicar mejor lo de los decimales cuenten cuantos números hay después de la coma del multiplicador y multiplicando súmenlos, les da un total de 4 y ahora en el resultado final cuenten desde la derecha los números que fueron encontrados después de la coma del multiplicando y multiplicador y coloquen la coma tal y como esta en el ejemplo

LAS FORMAS COMPLEMENTARIAS Y EL SIGNO
Para hacer estos ejercicios primero el numero que nos den tenemos que convertirlo a binario luego hacer que queden en 7 dígitos en caso de no ser así simplemente se le aumenta los ceros que sean necesarios y luego de eso si dichos números están en negativo o alguno de ellos esta dado en negativo utilizamos el complemento 1 que consiste en cambiar todos los “1” por “0” y viceversa y luego utilizamos el complemento2 el cual consiste en; al complemento 1 sumarle 1 y después de todo esto si sumar los binarios y en caso de no existir ningún número en negativo simplemente convertir a binario y sumar

EJERCICIOS:

Ahora voy a explicarles para convertir esto a binarios tenemos que dividir manualmente el numero dado para 2 hasta ya no poder luego el residuo es lo que pasara a ser los números binarios empezando desde el ultimo número hasta el primero para mejor entendimiento e puesto en un circulo rojo los números que pasaron a ser binarios pero los dígitos de este tienen que constar de 7 dígitos así que la regla será igual en todas simplemente aumentar los ceros necesarios que los e colocado en rojo. Uno vez hecho esto se pasa a sumarlos como ya les e enseñado.

En este ejercicio estamos aplicando lo que les dije si es que un número es negativo pero como el número fue el 13 y ya teníamos convertido a binario pero en positivo nos ahorramos el volver a sacar el binario y solo nos toco aplicar los complementos pero si el numero dado hubiese sido por decir el 36 pero en negativo hubiéramos tenido que hacer lo mismo que hicimos con el 36 positivo para encontrar el binario y luego de eso aplicar los complementos y luego si la operación

En este ejercicio lo que hemos hecho es la respuesta final que nos dio negativa pasarla a positivo utilizando los complementos estos nos sirven para pasar números positivos a negativos o viceversa este ultimo ejercicio era para demostrar esto

“ ACEPTA LA VIDA TAL CUAL ES.
ALEGRATE SI RAZON ALGUNA”
Giroux André

CABLEADO ESTRUCTURADO

GPS PARA AUTOS

“ Antes de juzgar a alguien, respira un poco y piensa si vale la pena”
Anónimo

TEORIA DE ARBOLES

ARBOLES Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértice. Arboles con Raíz Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz. Ejemplo de árbol raíz:

Arboles Binarios
Se define un árbol binario como un conjunto finito de elementos (nodos) que bien está vacío o está formado por una raíz con dos árboles binarios disjuntos, es decir, dos descendientes directos llamados subárbol izquierdo y subárbol derecho.
Los árboles binarios (también llamados de grado 2) tienen una especial importancia.
Las aplicaciones de los arboles binarios son muy variadas ya que se les puede utilizar para representar una estructura en la cual es posible tomar decisiones con dos opciones en distintos puntos.

Clasificación de Arboles Binarios
Existen cuatro tipos de árbol binario:.
Árbol Binario Distinto.
Árbol Binario Similares.
Árbol Binario Equivalentes.
Árbol Binario Completos.
A continuación se hará una breve descripción de los diferentes tipos de árbol binario así como un ejemplo de cada uno de ellos.
Árbol Binario Distinto
Se dice que dos árboles binarios son distintos cuando sus estructuras son diferentes.
Árbol Binario Similar
Dos arboles binarios son similares cuando sus estructuras son idénticas, pero la información que contienen sus nodos es diferente.
Árbol Binario Equivalente
Son aquellos arboles que son similares y que además los nodos contienen la misma información.
Árbol Binario Completo
Son aquellos arboles en los que todos sus nodos excepto los del último nivel, tiene dos hijos; el subárbol izquierdo y el subárbol derecho.

Árbol binario de búsqueda.
Los árboles binarios se utilizan frecuentemente para representar conjuntos de datos cuyos elementos se identifican por una clave única. Si el árbol está organizado de tal manera que la clave de cada nodo es mayor que todas las claves su subarbol izquierdo, y menor que todas las claves del subarbol derecho se dice que este árbol es un árbol binario de búsqueda.

Operaciones básicas
Una tarea muy común a realizar con un árbol es ejecutar una determinada operación con cada uno de los elementos del árbol. Esta operación se considera entonces como un parámetro de una tarea más general que es la visita de todos los nodos o, como se denomina usualmente, del recorrido del árbol.
Si se considera la tarea como un proceso secuencial, entonces los nodos individuales se visitan en un orden específico, y pueden considerarse como organizados según una estructura lineal. De hecho, se simplifica considerablemente la descripción de muchos algoritmos si puede hablarse del proceso del siguiente elemento en el árbol, según un cierto orden subyacente.
Hay dos formas básicas de recorrer un árbol: El recorrido en amplitud y el recorrido en profundidad.

Recorrido de un Árbol Binario
Recorrido en amplitud
Es aquel recorrido que recorre el árbol por niveles, en el último ejemplo sería:
12 - 8,17 - 5,9,15
Recorrido en profundidad
Recorre el árbol por subárboles.
Hay tres Preorden, orden central y postorden .
Hay tres formas: en enorden, preorden y postorden . Cada una de ellas tiene una secuencia distinta para analizar el árbol como se puede ver a continuación:
1. Enorden
Recorrer el subarbol izquierdo en enorden.
Examinar la raíz.
Recorrer el subarbol derecho en enorden.
 Preorden
Examinar la raíz.
Recorrer el subarbol izquierdo en preorden.
recorrer el subarbol derecho en preorden.
 Postorden
Recorrer el subarbol izquierdo en postorden.
Recorrer el subarbol derecho en postorden.
Examinar la raíz.
A continuación se muestra un ejemplo de los diferentes recorridos en un árbol binario.

RECORRIDO EN ARBOLES BINARIOS

Una de las operaciones mas importantes a realizar en un árbol binario es el recorrido de los mismos, recorrer significa visitar los nodos del árbol en forma sistemática, de tal manera que todos los nodos del mismo sean visitados una sola vez.
$Existen 3 formas diferentes de efectuar el recorrido y todas ellas de naturaleza recursiva, estas son:
RECORRIDO PREORDEN: En el que se procesa el nodo y después se procesan recursivamente sus hijos.
RECORRIDO POSTORDEN: Donde el nodo dado se procesa después de haber procesado recursivamente a sus hijos.
RECORRIDO INORDEN: En este se procesa recursivamente el hijo izquierdo, luego se procesa el nodo actual y finalmente se procesa recursivamente el hijo derecho.
Hay un último recorrido que implementa a estos 3.

RECORRIDO POR NIVELES

Concluimos implementando el recorrido por niveles. este recorrido procesa los nodos comenzando en la raíz y avanzando en forma descendente y de izquierda a derecha.
El nombre se deriva del hecho de que primero visitamos:
los nodos del nivel 0 (la raíz),
después los del nivel 1 (los hijos de la raíz),
los del nivel 2 (los nietos de la raíz),
y así sucesivamente.

Árboles de expansión.-
Un grafo ponderado o grafo con pesos es un grafo G(V, E) , en el que a cada arista se le asigna un valor real no negativo o peso. Sobre el conjunto de aristas se introduce una función peso .
El peso de un subgrafo de un grafo ponderado es la suma de los pesos de todas sus aristas.
Dado el grafo con pesos :
El peso total del grafo es

Isomorfismos de árboles

ÁRBOLES BINARIOS ISOMORFOS : Dos árboles binarios son isomorfos si tienen la misma estructura, aunque el contenido de cada uno de los nodos sea diferente .

“ El sabio no enseña con palabras si no con Actos”
Anónimo

EJERCICIOS MODELO DE REDES

Hallar los flujos faltantes y el peso de entrada (a) y de salida(b)

Hallar los flujos faltantes y el peso de entrada(a) y de salida(b)

Presentacion Proyecto Grupo Nro 02

by matediscretas

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