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TRABAJO MONOGRAFCO

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My proyecto terminado My proyecto terminado Document Transcript

  • 34925588010UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDACTICO CABRI II PLUS.<br />CARLOS ANDRES DIAZ HERNANDEZ<br />CARLOS EDUARDO MARTINEZ NUÑEZ<br />UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR<br />FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION<br />LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA<br />VALLEDUPAR – CESAR<br />5506085828040002011<br />550608566103500<br />UNIDAD DIDACTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN A LA SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS MEDIANTE EL USO DEL SOFTWARE DIDÁCTICO CABRI II PLUS.<br />Asesores:<br />ISIDORO GORDILLO<br />LIC. MATEMÁTICAS E INFORMATICA<br />SAÚL ENRIQUE VIDES GOMEZ<br />Magister en Matemática Aplicada<br />UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR<br />FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION<br />LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA<br />VALLEDUPAR – CESAR<br />5500370506730002011<br />CONTENIDO TOC o "1-3" h z u 1.PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA PAGEREF _Toc291410456 h 41.1.DESCRIPCION DEL PROBLEMA PAGEREF _Toc291410457 h 51.2.ELEMENTOS DEL PROBLEMA PAGEREF _Toc291410458 h 51.3.DELIMITACION DEL PROBLEMA PAGEREF _Toc291410459 h 51.4.FORMULACION DEL PROBLEMA PAGEREF _Toc291410460 h 62.JUSTIFICACIÓN PAGEREF _Toc291410461 h 73.OBJETIVOS: PAGEREF _Toc291410462 h 93.1.GENERAL PAGEREF _Toc291410463 h 93.2.ESPECIFICOS: PAGEREF _Toc291410464 h 94.METODOLOGÍA PAGEREF _Toc291410465 h 94.1.Tipo de investigación PAGEREF _Toc291410466 h 94.2.Población PAGEREF _Toc291410467 h 104.3.Técnicas de obtención de información PAGEREF _Toc291410468 h 104.4.Fases de la investigación PAGEREF _Toc291410469 h 105.MARCO TEORICO PAGEREF _Toc291410470 h 105.1.RAZÓN DE SEGMENTOS PAGEREF _Toc291410471 h 105.1.1.Definición 1 PAGEREF _Toc291410476 h 115.1.2.Definición 2 PAGEREF _Toc291410477 h 115.2.TEOREMA 1 PAGEREF _Toc291410478 h 125.3.TEOREMA 2 PAGEREF _Toc291410479 h 135.4.TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES PAGEREF _Toc291410480 h 145.5.TEOREMA 4 PAGEREF _Toc291410481 h 155.6.TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULO PAGEREF _Toc291410482 h 155.7.TEOREMA 7 PAGEREF _Toc291410483 h 175.8.TEOREMA 8 PAGEREF _Toc291410484 h 195.9.TEOREMA 9 PAGEREF _Toc291410485 h 195.10.TEOREMA 10 PAGEREF _Toc291410486 h 205.11.TEOREMA 11 PAGEREF _Toc291410487 h 215.12.TEOREMA 12 PAGEREF _Toc291410488 h 225.13.TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES PAGEREF _Toc291410489 h 235.14.TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA PAGEREF _Toc291410490 h 245.14.1.TRASLACIÓN PAGEREF _Toc291410491 h 245.14.2.ROTACIÓN PAGEREF _Toc291410492 h 255.14.3.SIMETRÍA CENTRAL PAGEREF _Toc291410493 h 255.14.4.SIMETRÍA AXIAL PAGEREF _Toc291410494 h 255.15.TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA PAGEREF _Toc291410495 h 265.15.1.HOMOTECIA PAGEREF _Toc291410496 h 265.15.2.DEFINICIÓN 3 PAGEREF _Toc291410497 h 275.15.3.PROPIEDADES PAGEREF _Toc291410498 h 275.15.4.EJES DE HOMOTECIA PAGEREF _Toc291410499 h 285.16.SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS PAGEREF _Toc291410500 h 295.16.1.PROPIEDADES DE SEMEJANZA PAGEREF _Toc291410501 h 306.ANEXO 1 PAGEREF _Toc291410502 h 31ANEXO 2 PAGEREF _Toc291410503 h 32ANEXO 3 PAGEREF _Toc291410504 h 33ANEXO 4 PAGEREF _Toc291410505 h 357.PRESUPUESTO DEL PROYECTO PAGEREF _Toc291410506 h 368.CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES PAGEREF _Toc291410507 h 369.BIBLIOGRAFÍA PAGEREF _Toc291410508 h 37<br />PLANTEAMENTO DEL PROBLEMA<br />El uso de las nuevas tecnologías hoy en día, facilita la realización de una gran cantidad de actividades que antes generaban mayor tiempo y esfuerzo. El campo de la educación no es la excepción, en particular en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, donde resulta reveladoramente importante su empleo para potenciar la aprehensión de los conceptos fundamentales, concretamente teoremas como el de Thales y su aplicación para determinar cuándo dos o más triángulos son semejantes.<br />DESCRIPCION DEL PROBLEMA<br />En las instituciones educativas se presentan dificultades para comprender el teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos, debido a las limitaciones que tienen las herramientas pedagógicas tradicionales. Es evidente que actualmente hace falta incentivar el uso de las nuevas tecnologías para potenciar el aprendizaje significativo de la Geometría.<br />ELEMENTOS DEL PROBLEMA<br />Se consideran elementos del problema en este proyecto:<br />La motivación de los estudiantes por el aprendizaje de la Geometría, principalmente el teorema de Thales.<br />La implementación de la nueva tecnología como herramienta o instrumento pedagógico para la apropiación y uso del teorema de Thales.<br />La exploración de los conceptos de congruencia y semejanza en los triángulos.<br />DELIMITACION DEL PROBLEMA<br />El proyecto va dirigido a los grados octavo y noveno de la FUNDACION ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de Valledupar, donde se realizarán actividades didácticas dentro de la sala de nuevas tecnologías.<br />FORMULACION DEL PROBLEMA<br />Según se encuentra registrado en un informe del DEPARTEMENTO DE MÉTODO ATENEO, en la FUNDACIÓN ATENEO EL ROSARIO existen antecedentes del efecto positivo del uso de estrategias y herramientas pedagógicas en el aula de clases, en particular en la geometría, donde se conocen proyectos tales como: tangram y relaciones espaciales.<br />También registra el informe que existen evidencias de uso del software didáctico CABRI II PLUS, como lo fue una exposición para la semana de la ciencia y tecnología en el 2010 a cargo de un grupo de estudiantes de los grado octavo y noveno; quienes construían un bicicleta usando conceptos fundamentales de geometría. Sin embargo, no existen evidencias de uso de estrategias y herramientas pedagógicas para la enseñanza del teorema de Thales y su empleo para la semejanza de triángulos, ni mucho menos el uso del software CABRI II PLUS.<br />Se realizó una prueba en los estudiantes de grado noveno y se encontró deficiencias en los conceptos de semejanza de polígonos (véase el anexo). Algunos estudiantes no tienen claro el concepto de forma. Otros relacionan a Thales con el teorema de Pitágoras. Los estudiantes presentan dificultad para establecer relación de proporción entre números. <br />De las circunstancias expuestas con anterioridad, surge el siguiente interrogante: ¿Será posible a través de actividades didácticas implementadas bajo el software CABRI II PLUS potenciar la comprensión del Teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos?<br />JUSTIFICACIÓN<br />Se vive en un mundo de globalización de la economía, el cual demanda el uso de las herramientas tecnológicas que facilitan el manejo eficaz de la información y proporcionan condiciones propicias para el pleno desarrollo del pensamiento, el análisis y la solución de situaciones problemas. Las nuevas tecnologías están revolucionando las prácticas educativas en la mayoría de los campos del saber. Acorde con esto, uno de los fines de la educación es preparar al estudiante para corresponder y contribuir al desarrollo de la sociedad. Con este objetivo se obtienen grandes beneficios al utilizar las nuevas tecnologías en la enseñanza de la Geometría. <br />La demostración rigurosa de teoremas de la Geometría plana requiere necesariamente de representaciones gráficas, bosquejos y construcciones auxiliares. Resulta entonces muy útil el uso de las herramientas didácticas para facilitar la construcción de dichas gráficas y así potenciar el proceso de enseñanza y aprendizaje. La Geometría plana de por sí, goza de la virtud de que la mayoría de sus conceptos pueden ilustrarse gráficamente. Aunque haciendo uso de las herramientas tradicionales (reglas y compás) se puede llegar a la comprensión de conceptos de Geometría, estas herramientas siguen teniendo sus limitaciones.<br />La facilidad que brinda el software especializado en geometría para la construcción, el análisis y la verificación de propiedades con la dinámica del movimiento y la variación de parámetros en tiempo real, deja ver lo útil de esta herramienta en comparación con los instrumentos tradicionales. Cabri II Plus cumple con estas características a cabalidad. Este programa está especialmente diseñado para la enseñanza e investigación en el campo de la Geometría, además, es fácil de manejar y tiene las herramientas que se necesitan para enseñar cualquier concepto fundamental de la misma. <br />Se presenta en este proyecto el teorema de Thales por dos razones. La primera es que este teorema no es muy conocido; de hecho, en las escuelas es más conocido el teorema de Pitágoras. Para los estudiantes Thales sólo fue un filósofo, pero pocos conocen sobre los aportes que este erudito le hizo a la geometría antes de Euclides.<br />La segunda razón, es porque este teorema ayuda a comprender mejor el concepto de semejanza, dicho concepto está incluido en el pensamiento espacial y geométrico de los estándares básicos fijados por el ministerio de educación nacional para los grados octavo y noveno. Se sostiene que trabajar o enseñar a utilizar Cabri es incentivar a los alumnos y maestros en el uso de las nuevas tecnologías para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Aunque las herramientas tecnológicas por sí solas no garantizan el éxito en el proceso enseñanza y aprendizaje, si facilitan el planeamiento de las actividades para que sean más eficaces y surtan el efecto deseado para el cual fueron concebidas mediante el modelo IAP (investigación – acción - participación). Este tipo de investigación fomenta una mejor calidad en la educación y al compartir estas experiencias con otros educadores, se enriquece el análisis del teorema de Thales.<br />OBJETIVOS:<br />GENERAL<br />Contribuir a la enseñanza y aprendizaje del teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos, mediante el diseño e implementación de unidades didácticas con el software geométrico didáctico CABRI II PLUS. <br />ESPECIFICOS: <br />Emplear nuevas tecnologías en el aula para potenciar el aprendizaje de la geometría.<br />Diseñar actividades para la justificación del teorema de Thales y a través del software didáctico CABRI II PLUS.<br />Diseñar actividades para la comprensión de concepto de semejanza de triángulos aplicando el teorema de Thales con el software CABRI II PLUS.<br />METODOLOGÍA<br />Tipo de investigación<br />La investigación es de tipo cualitativo ya que los investigadores participan a través de la interacción con los alumnos mediante unas actividades diseñadas para analizar el impacto del uso de las nuevas tecnologías, particularmente el uso del programa Cabri Geometre II Plus en la enseñanza y aprendizaje de teoremas fundamentales de la geometría plana como es el caso del teorema de Thales y su aplicación a la semejanza de triángulos.<br />Población<br />Conformada por los estudiantes del grupo octavo y noveno de la jornada de la mañana de la FUNDACION ATENEO EL ROSARIO de la ciudad de Valledupar.<br />Técnicas de obtención de información<br />Desarrollo de actividades didácticas en el aula de clases para observar de manera directa todas las dificultades y fortalezas relacionadas con el Teorema de Tales y su aplicación a la semejanza de triángulos seguidas de las guías para su desarrollo con el software didáctico Cabri II Plus.<br />Fases de la investigación<br />Revisión bibliográfica.<br />Identificación de dificultades y fortalezas en los estudiantes de noveno 9º grado.<br />Capacitación sobre el software Cabri II plus.<br />Diseño y elaboración de la secuencia de actividades. <br />Experimentación de la unidad didáctica.<br />Análisis y resultados.<br />Informe final.<br />MARCO TEORICO<br />RAZÓN DE SEGMENTOS<br />3158490391160Un segmento u se puede tomar como unidad representativa de otros segmentos los cuales se pueden expresar una función del segmento u asignándole cualquier número real. La razón entre segmentos se define como la razón numérica de los segmentos expresada en la unidad convenida.<br />Expresado así: <br /> PQRS=mUPQmURS , donde mu (PQ) es la medida de PQ y mu (RS) es la medida de RS respecto a la unidad u como unidad de medida. <br />Definición 1<br />Dos pares de segmentos son proporcionales si la razón entre los mismos segmentos de cada par son iguales, o al comparar la razón de los segmentos con una combinación en particular da como resultado un mismo número real.<br />Definición 2<br />Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales. <br />Es decir:<br />Sean αn y α'n los ángulos homólogos, ln y l'n los segmentos homólogos de dos polígonos; si se cumple que αn=α'n , ln=k*l'n donde k∈R y lnl'n =k dichos polígonos son semejantes. Si k=1 se dice que los polígonos son congruentes<br />TEOREMA 1<br />338709015684500Si varias paralelas son cortadas transversalmente por dos rectas no paralelas, y se forman en una de las rectas segmentos congruentes también formaran segmentos congruentes en la otra recta (ver grafica #2). <br />HIPÓTESIS: P, Q, R y S son puntos de L en los cuales pasan rectas paralelas, que también interceptan a L’ en los puntos P’, Q’, R’ y S’; mPQ=mQR=m(RS)<br />TESIS: mP'Q'=mQ'R'=m(R'S')<br />Construcción auxiliar: por P’, Q’, R’ y S’ se trazan P'F, Q'G, R'H paralelos a la recta a L<br />DEMOSTRACIÓN<br />mPQ=mQR=m(RS)Hipótesism∡1=m∡3=m(∡5)Correspondientes entre paralelasm∡2=m∡4=m(∡6)Correspondientes entre paralelasΔP'FQ'≅ΔQ'GR≅ΔR'MS'ALAmP'F=mQ'G=m(R'H)Lados homólogos de triángulos congruentesmP'F=mPQLados opuestos del paralelogramomQ'G=mQRLados opuestos del paralelogramoR'H=mRSLados opuestos del paralelogramomP'Q'=mQ'R'=m(R'S')Sustitución de 6), 7) y 8) en 5)<br />TEOREMA 2<br />La proyección paralela de la suma de dos segmentos de la recta L es igual a la suma de las proyecciones paralelas de dichos segmentos sobre la recta L.<br />HIPÓTESIS: Rectas L y L’ transversales cortadas por rectas paralelas en los puntos P, Q y R de L y P’, Q’, R’ de L’<br />m(PQ)+m(QR)=m(PR) ;m(P'Q')+m(Q'R')=m(P'R') ; ppmPQ=m(P'Q'); ppmQR=m(Q'R')<br />TESIS: pp(mPQ+QR)=pp(mPQ)+pp(mQR)<br />DEMOSTRACIÓN<br />mPR=m(PQ)+m(QR)Hipótesis mP'R'=m(P'Q')+m(Q'R') HipótesisppmPQ=m(P'Q')Proyección de paralelappmQR=m(Q'R')Proyección de paralelappmPR=m(P'R')Proyección de paralelappmPR= m(P'Q')+m(Q'R') Sustitución de 2) en 5)ppmPR=ppmPQ+ppmQRde 3) y 4) en 6)<br />Si los segmentos PQ, QR, RS,.. de la recta L son congruentes, también lo serán los segmento P'Q', Q'R', R'S',.. de la recta L’, y si la razón de las longitudes entre dos segmentos de L es r, la razón entre los segmentos proyectados en L’ también será r.<br />En general se cumple que la proyección paralela del segmento obtenido al multiplicar la longitud del segmento PQ por cualquier número real r es el segmento que se obtiene al multiplicar por r la longitud del segmento P'Q'. Simbólicamente, pp(r*PQ) = r*P'Q'.<br />356362052959000TEOREMA 3: TEOREMA DE THALES<br />Si varias paralelas son cortadas por dos transversales forman segmentos homólogos en cada recta que son proporcionales(ver figura #3).<br />HIPÓTESIS: Rectas paralelas pasan por los puntos P, Q, R Y S de la recta L y P’, Q’, R’ y S’ de la recta L’; L y L’ son transversales. <br />TÉSIS: m(PQ)m(RS)=m(P'Q')m(R'S')<br />DEMOSTRACIÓN<br />Sea x un segmento tal que este contenido m veces en PQ y n veces en RS<br />m(PQ)=mxm es un número real y x es un segmentom(RS)=nxn es un número real y x es un segmentom(PQ)m(RS)=mnDividiendo miembro a miembro y simplificandom(P'Q')m(R'S')=mnEn las paralelas que son cortadas por dos transversales, la razón cualesquiera de una de ellas es igual a la razón correspondiente de la otram(PQ)m(RS)=m(P'Q')m(R'S')Ley transitiva de 3) y 4)<br />La figura #3 muestra que en la recta L se ha elegido el segmento u como unidad de medida, cuya proyección en L’ es el segmento u’, de modo que la medida del segmento PQ se puede representar en función del segmento unidad u como mu(PQ) y la medina del segmento P'Q' se puede representar en función del segmento proyección unidad u’ como mu’(P'Q'). Las propiedades que hemos enunciado nos permiten afirmar según el Teorema de Thales que las medidas deben ser iguales, ya que dichas medidas están basadas en unidades que son proporcionales como proyecciones entre L y L’ y con segmentos en su misma recta.<br />42075105143500TEOREMA 4<br />Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos en segmentos proporcionales (figura #4). <br />HIPÓTESIS: ΔABC; BC∥LN<br />TESIS: m(AL)m(LB)=m(AN)m(NC)<br />Construcción auxiliar: se traza la recta R paralela a BC, formando el segmento LN y S∥BC en A.<br />DEMOSTRACIÓN<br />m(AL)m(LB)=m(AN)m(NC)Teorema de Thales<br />4372610102044500TEOREMA 5: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULO<br />Toda paralela a un lado de un triángulo determina con las rectas a las que pertenecen los otros lados, un triángulo semejante al dado. <br />HIPÓTESIS:ΔABC; ML∥AC<br />TESIS: ΔABC∽ΔLBM<br />Construcción auxiliar: se traza ΔABC; ML∥ AC <br />DEMOSTRACIÓN<br />m∡B=m∡BLey idénticam∡2=m∡4Correspondientes entre paralelasm∡1=m∡3Correspondientes entre paralelasm(BL)m(BA)=m(BM)m(BC)Teoremas de Thalesm(BM)m(BC)=m(AN)m(AC)Teoremas de Thalesm(BL)m(BA)=m(BM)m(BC)=m(AN)m(AC)Transitividad 4) y 5)mAM=mLMANML es un paralelogramo<br />392493517780000TEOREMA 6<br />Toda paralela a un lado del triángulo cuyo vértice opuesto es el origen de las las semirrectas que contienen los otros dos lados, interceptan la paralela formando un triángulo semejante al primero. <br />HIPÓTESIS: ΔABC ; r semirrecta de origen B que contiene a AB ; s semirrecta de origen B que contiene a BC ; t paralela a AC<br />TESIS: ΔABC∽ΔLBM<br />Construcción auxiliar: t intercepta a r en L y s en M<br />DEMOSTRACIÓN<br />m∡B=m∡BPropiedad idénticam∡A=m∡LCorrespondientes entre paralelasm∡C=m∡MCorrespondientes entre paralelasΔLBMConstrucciónm(LB)m(AB)=m(BM)m(BC)=m(ML)m(CA)∆ con lados proporcionalesΔLBM∽ΔABCDefinición de semejanzaΔABC∽ΔLBMPor carácter simétrico<br />360616519875500TEOREMA 7<br />Toda paralela a un lado del triángulo en cuyos extremos se originan semirrectas que se cortan en el vértice opuesto y que contienen los otros dos lados forma otro triángulo exterior que es semejante al primero. <br />HIPÓTESIS: ΔABC; r∥AC<br />TESIS: ΔABC∽ΔBML<br />Construcción auxiliar: ΔNBO; ΔBLM s∥AC; segmento paralelo a MO que pasa por L en r y L’ es s; segmento paralelo a LN que pasa por M en r y M’ en s; mNB=m(BL) <br />DEMOSTRACIÓN <br />∡1=m∡5Internos alternos∡2=m∡4Opuestos por el vértice∡3=m∡6Internos alternosm(NB)m(AB)=m(BO)m(BC)=m(NO)m(CA)∆ semejantesmNB=m(BL)Por construcciónm(NO)m(OL)=m(NB)m(BL)Segmentos proporcionales entre paralelasmML=m(OL')Lados opuestos del paralelogramom(NO)m(ML)=m(NB)m(BL)De 6) y 7)m(NO)m(NM')=m(OB)m(BM)Segmentos proporcionales entre paralelasmNM'=m(ML)Lados opuestos del paralelogramom(NO)m(ML)=m(OB)m(BM)De 9) y10)m(NB)m(BL)=m(NO)m(ML)=m(OB)m(BM)=1Transitividad de 8) y 11)ΔNBO≅ΔBMLDe 2), 2), 3) y 12)ΔNBO∽ΔBMLDe 13)ΔABC∽ΔNBOTeorema de Thales ΔABC∽ΔBMLTransitividad <br />TEOREMA 8<br />37604701714500Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido congruente, son semejantes (FIGURA #8). <br />HIPÓTESIS:ΔABC; ΔA'B'C'; m∡C'=m∡C'; m(CA)m(C'A')=m(CB)m(C'B')<br />ΔABC∽ΔA'B'C'<br />Construcción auxiliar: trácese MN∥AB; que corta AC en M y CB en N y mCM=m(C'A')<br />DEMOSTRACIÓN<br />ΔABC∽ΔMNCMN∥ABm(CA)m(CM)=m(CB)m(CN)ΔABC∽ΔMNCm(CA)m(C'A')=m(CB)m(CN)mCM=m(C'A') construcciónm(CA)m(C'A')=m(CB)m(C'B')HipótesismCN=mC'B';La cuarta proporcional de 3) y 4) son igualesΔMNC≅ΔA'B'C'LALΔABC∽ΔA'B'C'Definición de semejanza<br />418211069850000TEOREMA 9<br />Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente iguales son semejantes (FIGURA #9). <br />HIPÓTESIS: ΔABC y ΔA'B'C'; m∡C=m∡C';<br /> m∡A=m∡A'<br />TESIS: ΔABC∽ΔA'B'C'<br />Construcción auxiliar: Trácese MN∥AB; que corta AC en M y CB en N y mCM=m(C'A')<br />DEMOSTRACIÓN<br />ΔABC∽ΔMNCMN∥ABm∡C=m∡C'HipótesismCM=m(C'A')Construcción m∡A=m∡MCorrespondientes entre paralelasΔMNC≅ΔA'B'C'ALAΔABC∽ΔA'B'C'Definición de semejanza<br />TEOREMA 10<br />367728511049000Dos triángulos que tienen tres lados proporcionales son semejantes (FIGURA #10)<br />HIPÓTESIS: ΔABC y ΔMNC; m(AC)m(A'C')=m(CB)m(C'B')=m(BA)m(B'A')<br />TESIS: ΔABC∽ΔA'B'C'<br />Construcción auxiliar: Trácese MN∥AB; que corta AC en M y CB en N y mCN=m(C'A')<br />DEMOSTRACIÓN<br />ΔABC∽ΔMNCMN∥ABm(AC)m(A'C')=m(CB)m(C'B')=m(BA)m(B'A')Hipótesism(AC)m(CN)=m(CB)m(CM)=m(BA)m(NM)∆ semejantes lados proporcionalesm(CB)m(C'B')=m(CB)m(CM) Y m(BA)m(B'A')=m(BA)m(NM)Transitividad de 3) y 4)mCN=m(C'A')Por construcciónmC'B'=m(CM)Igualdad de 4)mB'A'=m(NM)Igualdad de 4)ΔMNC≅ΔA'B'C'LLLΔABC∽ΔA'B'C'Definición de semejanza<br />TEOREMA 11<br />363474031178500<br />Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos igual, son semejantes (FIGURA #11).<br />HIPÓTESIS: ΔABC y ΔMNC; mAC>m(CB); mA'C'>m(C'B'); m(AC)m(A'C')=m(CB)m(C'B') ; m∡B=m∡B'<br />TESIS: ΔABC∽ΔA'B'C'<br />Construcción auxiliar: Trácese MN∥AB; que corta AC en M y CB en N y mCN=m(C'A')<br />DEMOSTRACIÓN<br />ΔABC∽ΔMNCMN∥ABm(AC)m(A'C')=m(CB)m(C'B')Hipótesism(AC)m(CN)=m(CB)m(CM)Lados homólogos de ∆ semejantes mCN=m(C'A')Por construcciónmCM=m(C'B')Transitividadm∡B=m∡B'HipótesisΔMNC≅ΔA'B'C'ALAΔABC∽ΔA'B'C'Definición de semejanza<br />TEOREMA 12<br />35560005969000Los elementos homólogos de los triángulos semejantes: alturas bisectrices y medianas, son proporcionales a los lados homólogos y proporcionales entre sí (FIGURA #12). <br />HIPÓTESIS: ΔABC~∆DEF; AD Y EH alturas homólogas; BM y FN alturas homólogas <br />TESIS: m(AC)m(EG)=m(AD)m(EH)=m(BM)m(FN)<br />DEMOSTRACIÓN<br />ΔADC∽ΔEHGTriángulos rectángulos con ángulos agudos igualΔCMB∽ΔGNFTriángulos rectángulos con ángulos agudos igualm(AC)m(EG)=m(AD)m(EH)Triángulos semejantes lados proporcionalesm(CB)m(GF)=m(BM)m(FN)Triángulos semejantes lados proporcionalesm(AC)m(EG)=m(AD)m(EH)=m(BM)m(FN)Igualdad entre 3) y 4)<br />TEOREMA 13: SEGUNDO TEOREMA DE THALES<br />416877515557500El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos. Consiste en el siguiente enunciado:<br /> Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto (FIGURA #13). <br />HIPÓTESIS: Dado que los segmentos m(OA)=m(OC)=m(OB) son todos radios de la misma circunferencia, ∆OAC y ∆OCB son isósceles por lo cual se puede decir que cada uno tiene por lo menos un par de ángulos iguales. De modo que m∡A=m(∡1); ∡c=m∡1+m(∡2); m∡B=m(∡2)<br />TESIS: m∡C=π2<br />Construcción auxiliar: trácese un radio perpendicular al diámetro AB formando los triángulos rectángulos ∆OAC y ∆OCB<br />DEMOSTRACIÓN<br /> m∡A+m∡B+m∡C=πSuma de ángulos internos de un ∆∡c=m∡1+m(∡2) Hipótesism∡A=m(∡1)Hipótesism∡B=m(∡2)Hipótesism∡1+m∡2+m∡1+m∡2=π2), 3) y 4) en 1)2m∡1+2m∡2=πTérminos semejantes[m∡1+m∡2]=π2Dividiendo por 2m∡C=π2De 2)<br />Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales, por Pitágoras: AB²=CA²+CB².<br />En conclusión se forma un triángulo rectángulo.<br />TRANSFORMACIÓN ISOMÉTRICA<br />La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metrie (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.<br />Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.<br />TRASLACIÓN <br />38265106413500Se llama traslación de un objeto m respecto a el vector v a la isometría en que a cada punto de m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, si A y A’ son puntos tales que A pertenece a m y A’ pertenece a m’ entonces AA' es igual a v (figura #14). <br />-3734435516255En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.400000En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.ROTACIÓN <br />33191452730500Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del objeto, este permanece a una distancia constante de un punto fijo o denominado centro de rotación (FIGURA #15). <br />SIMETRÍA CENTRAL <br />35896553810000La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen (FIGURA #16), que debe cumplir las siguientes condiciones: <br />a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. <br />b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.<br /> Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.<br />SIMETRÍA AXIAL <br />233299037274500La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto a una recta llamada eje, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen (FIGURA #17), que cumple con las siguientes condiciones: <br />a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.<br />b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.-304482550800Simetría Axial00Simetría Axial<br />TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA<br />El concepto de movimiento rígido se ha usado para definir de manera precisa la noción de congruencia de figuras, que suele describirse de manera informal como “figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma”. La noción informal de figuras semejantes como las que tienen la misma forma puede ser precisada utilizando las transformaciones del plano que se conocen como homotecias y semejanzas.<br />331406550419000HOMOTECIA<br />Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial: <br />DEFINICIÓN 3<br />Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea O un elemento (visto como un punto) de E. La homotecia de centro O y de razón k, denotada hO,k envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que: <br />OM'=kOM<br />Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k. Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen O que pasa por P. <br />PROPIEDADES<br />La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:<br />El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A, B, C, D, E y F) y (A', B', C', D’, E’ y F’) en la figura 19. <br />El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. <br />Además la homotecia conserva:<br />El cociente de longitudes: AEED=A'E'E'D' en la figura 19<br />Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura 19. <br />La imagen de una recta es otra recta paralela. <br />Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón. <br />Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos) <br />Si k ≠ 0, hO,k admite como trasformación recíproca hO,1/k (cuando k = 0, no es biyectiva) <br />Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: hO,k o hO’,k’ = hO,k*k’. <br />Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k•k' cuando k•k' ≠1, y una traslación. Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo. <br />k = - 1 corresponde a la simetría de centro O, o una rotación alrededor de O de ángulo π radianes (180°)<br />|k| > 1 implica una ampliación de la figura.<br />|k| < 1 implica una reducción.<br />K < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro O con una homotecia sin inversión.<br />EJES DE HOMOTECIA<br />Dadas un par de circunferencias, estas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra. En la figura #19, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de S1 bien sea en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1. Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia S1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia S3 es homotética a la circunferencia S2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia S1 en la circunferencia S3. Es por esta razón que 2279015111823500los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 son colineales. <br />En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas. Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.<br />SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS <br />Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la homotecia se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Diremos que una transformación es de semejanza si y sólo si es una secuencia de homotecias (transformaciones de tamaño) y movimientos rígidos.<br /> Para los triángulos, la forma sólo depende de sus ángulos (para el caso del triángulo rectángulo, la forma de este depende del cociente base / altura). <br />En general según la definición 2 puede decir que: dos triángulos son semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales. Si dicha razón es igual a uno los triángulos son congruentes.<br />2792730142049500En la figura #20, los ángulos correspondientes son ∡A=∡A',∡B=∡B' y ∡C=∡C'. Para denotar que dos triángulos ∆ABC y ∆A'B'C' son semejantes se escribe ∆ABC~∆A'B'C', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: ∡A, ∡B y ∡C se corresponden con ∡A', ∡B' y∠∡C', respectivamente.<br />Dado que todos los triángulos equiláteros tienen sus ángulos internos sesenta grados cada uno todos los triángulos equiláteros son semejantes. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. La razón es que siempre la suma de los ángulos internos de un triángulo es ciento ochenta grados.<br />PROPIEDADES DE SEMEJANZA<br />Propiedad reflexiva, refleja o idéntica: Todo triángulo es semejante a sí mismo.<br />Propiedad idéntica o simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.<br />Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. <br />Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia. <br />left303530ANEXO 1<br />71501069850El que invento el teorema de PitágorasUn guerrero griego de la antigüedadUn filósofo y matemáticoUn emperador romano00El que invento el teorema de PitágorasUn guerrero griego de la antigüedadUn filósofo y matemáticoUn emperador romano<br />left161925<br />625475146685Es la igualdad entre dos razonesEs la igualdad de dos expresiones matemáticasEs una relación directamente proporcionalEs una relación inversamente proporcional00Es la igualdad entre dos razonesEs la igualdad de dos expresiones matemáticasEs una relación directamente proporcionalEs una relación inversamente proporcional<br />left-2540<br />524510-3810Cuando tienen la misma forma y el mismo tamañoCuando los ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionalesCuando tienen el mismo color y la misma texturaSi son iguales00Cuando tienen la misma forma y el mismo tamañoCuando los ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionalesCuando tienen el mismo color y la misma texturaSi son iguales<br />81915313055ANEXO 2<br />right62865Son las que se parecenSon los que tienen el mismo colorSon los triángulosCuando tienen la misma forma y el mismo tamaño00Son las que se parecenSon los que tienen el mismo colorSon los triángulosCuando tienen la misma forma y el mismo tamaño<br />left70485<br />71755203200La proporción de los segmentos homólogos generados por paralelas secantes a dos rectasDel teorema de PitágorasLa proporción de segmentos de una circunferenciaLa hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos elevados al cuadrado00La proporción de los segmentos homólogos generados por paralelas secantes a dos rectasDel teorema de PitágorasLa proporción de segmentos de una circunferenciaLa hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos elevados al cuadrado<br />left56515<br />40157403829053/12=9/43/9=12/43/9=4/1212/9=3/4003/12=9/43/9=12/43/9=4/1212/9=3/4<br />right5391157. FIGURASSi las figuras tienen la misma formaSi las figuras tienen el mismo tamañoSi las figuras tienen la misma forma y el mismo tamañoSi las figuras no tienen ni la misma forma ni el mismo tamaño007. FIGURASSi las figuras tienen la misma formaSi las figuras tienen el mismo tamañoSi las figuras tienen la misma forma y el mismo tamañoSi las figuras no tienen ni la misma forma ni el mismo tamañoANEXO 3<br />-47625242570<br />7. FIGURASCATEGORIASabcD1 y 285,7%0,0%0,0%14,3%1 y 314,3%0,0%0,0%85,7%1 y 457,1%0,0%14,3%28,6%2 y 30,0%16,7%0,0%83,3%2 y 433,3%16,7%0,0%50,0%3 y 40,0%16,7%50,0%33,3%<br />160655104775Confundió formasNo confundió formas 00Confundió formasNo confundió formas left22534<br />ANEXO 4<br />PRESUPUESTO DEL PROYECTO<br />DESCRIPCIÓNCOSTO ($)IMPRESIÓN DE PROYECTO, FOTOCOPIAS ELABORACION DE LAS GUIAS Y PAPELERIA EN GENERAL50.000HORAS EN INTERNET30.000OTROS GASTOS ADICIONALES20.000ASESORES5’000.000TOTAL5’100.000<br />CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES<br />ACTIVIDADESAÑO 2010AÑO 20111. VISITA AL COLEGIO Y PLANTEAMIENTO DEL          PROBLEMA2. ELABORACIÓN DEL MARCO TEORICO         3. ENTREGA DE ANTEPROYECTO         4. OBSERVACIONES         5. DISEÑO Y PLANEACIÓN DE ACTIVIDADES         6. OBSERVACIONES         7. EJECUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES         8. OBSERVACIONES         9. ANALISIS E INTERPRETACIÓN          10. INFORME FINAL         MESES1,23,45,67,89,111,121,23,45,6<br />BIBLIOGRAFÍA<br />AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN (1983), Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México<br />CHEVALLARD Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectives aportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1) 73-112.<br />Estándares básicos de matemáticas y lenguaje edición 2004.Ministerio De Educación Nacional.<br />GODINO J. D. y BATANERO C. (1994), Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques,14 (3) 325-355<br />GODINO J. D. (2002), Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques. 22 (2/3) 237-284.<br />Lineamientos curriculares de matemáticas.2002.Moreno s. Ministerio De Educación Nacional. <br />Montero G.1992, Matemática constructiva 1996 edit. Libros & libros<br />Martínez p 1997 Pensamiento matemático moderno. edit libros y libros<br />Fuentes F. Castanñez O. Gordillo I. 2010 Geometría plana de Euclides al Cabri<br />