Productos y cocientes notables

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 3 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLESPRODUCTOS NOTABLESTanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasosconducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una reglacuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre deproductos notables.Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resultamuy conveniente conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez.Algunos de ellos son los siguientes:1. Cuadrado de un BinomioRecordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. Elproducto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo deun cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura.Tenemos dos casos. • El cuadrado de la suma de dos cantidades • El cuadrado de la diferencia de dos cantidadesEn ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble delproducto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”La estructura que representa esta fórmula es: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2Algunos ejemplos: ( p + 2b ) = p 2 + 2( p )(2b) + ( 2b ) = p 2 + 4 pb + 4b 2 2 2 (5x − y ) = ( 5 x ) + 2(5 x )( y ) + ( y ) = 25 x 2 + 10 xy + y 2 2 2 22. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidadesConsideremos el producto de la suma de dos términos “ a + b ” por su diferencia “ a − b ”. Aldesarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREs decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadradosde los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer términomenos el cuadrado del segundo”Algunos ejemplos: ( 2 p5 + 6q 4 )( 2 p5 − 6q 4 ) = (2 p5 )2 − (6q 4 )2 = 4 p10 − 36q8 2 1 2  1 2 1 ( ) 2 1  − 3x   + 3x  =   − 3x = − 9x4 2 4  4  4 163. Cubo de un binomioConsideramos también dos casos: • Cubo de la suma de dos cantidades • Cubo de la diferencia de dos cantidadesEn ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio:“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto delcuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por elcuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término”La estructura que representa esta fórmula es: ( a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3a b 2 + b3Algunos ejemplos: ( 5a b + 3a )3 3 = (5a 2b)3 + 3(5a 2b) 2 (3a 3 ) + 3(5a 2b) ( 3a 3 ) + (3a 3 )3 2 2 = 125a 6b3 + 225a 7 b 2 + 135a 8b + 27 a 9 ( 2x − y ) 2 3 = ( 2 x ) − 3(2 x)2 ( y 2 ) + 3(2 x) ( y ) − ( y 2 )3 3 2 = 8 x3 − 12 x 2 y 2 + 6 xy 2 − y 64. Multiplicación de Binomios con un Término ComúnEste producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a + b ” por “ a + c ”.Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente: (a + b ) ⋅ (a + c ) = a 2 + (b + c )a + bcLa fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue:“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el términocomún y más el producto de los términos distintos”

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREjemplos: 3 + 2 = 5 • ( x + 3) ⋅ ( x + 2 ) = x 2 + ( 3 + 2 ) x + 3(2) = x2 + 5x + 6 , observa que   3⋅ 2 = 6 • ( a + 8) ⋅ ( a − 7 ) = a 2 + ( 8 − 7 ) a + 8(−7) = a 2 + a − 56 , observa que  8 + (−7) = 1   8 ⋅ (−7) = − 56COCIENTES NOTABLESExistirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues susrespuestas son conocidasDefinición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritospor simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.a. Primer caso: a + b ( n n ) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar. 5 5Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x + y ) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por 5-1 4x = x A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). 3En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x ), pero 3además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x y.Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término. 5 5 4 3 2 2 3 4(x + y ) ÷ (x + y) = x -x y + x y -xy +yb. Segundo caso: a − b ( n n ) ÷ (a − b)En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número paro impar. 6 6Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x - y ) ÷ (x - y)La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en larespuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más). 6 6 5 4 3 2 2 3 4 5(x + y ) ÷ (x + y) = x +x y + x y +x y +xy +y (c. Tercer caso: a − b n n ) ÷ (a + b)En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par. 4 4Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x - y ) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por 4-1 3x = x A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). 2En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x ), pero 2además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término. 4 4 3 2 2 3(x - y ) ÷ (x + y) = x -x y + xy -y

Productos y cocientes notables

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