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Factorización y fracciones algebraicas
 

Factorización y fracciones algebraicas

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    Factorización y fracciones algebraicas Factorización y fracciones algebraicas Document Transcript

    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 4 FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICASFACTORIZACIONFactorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.Cuando realizamos las multiplicaciones: 2 3 2 1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x 2 2. (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresionesa factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.CASOS DE FACTORIZACIÓN1. FACTOR COMUN1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada unode los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresionesalgebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z)Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.Pero el resultado será otro polinomio.Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7)Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) = Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso delos dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así: 1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y) 2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y) Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio. Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS2.1 Trinomio cuadrado perfectoPara que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada yel segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.Ejemplo:Factorizar 9 x 2 − 30 x + 25 ° 21° Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x ° 25 con el signo del segundo término; −5 · −52° Halla la raíz principal del tercer término luego la factorización de 9 x − 30 x + 25 = ( 3 x − 5 )( 3 x − 5 ) = ( 3 x − 5 ) 2 22.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que sepueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4Resolviéndolo queda: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 + 4m 2 n 2 − 4m 2 n 2 m 4 − 6m 2 n 2 + 9 n 4 − 4 m 2 n 2 (m 2 − 3n 2 ) − (2mn ) 2 2Aplicamos diferencia de cuadrados: ( m 2 − 3n 2 ) + ( 2mn )  ( m 2 − 3n 2 ) − ( 2mn )    2.3 Trinomio de la forma: x 2n + bx n + cEl trinomio de la forma x 2n + bx n + c se puede descomponer en dos factores binomiales medianteel siguiente proceso:Ejemplo 1:Descomponer x2 + 6x + 5 °1° Hallar dos factores que den el primer término x·x °2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 1 y 5 ó -1 y - 5 Pero la suma debe ser +6 luego serán ( x + 5)( x + 1)⇒ x + 6 x + 5 = ( x + 5 )( x + 1) 2Ejemplo 2:Factorizar x + 4 x y − 12 y 4 2 2 4 2 21º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · yPero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir: x 4 + 4 x 2 y − 12 y 2 = ( x 2 + 6 y )( x 2 − 2 y )2.4 Trinomio de la forma ax 2n + bx n + cEjemplo:Factorizar 2 x − 11x + 5 21º El primer término se descompone en dos factores 2x · x2º Se buscan los divisores del tercer término 5·1 ó -5 · -13º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) 2 Pero no sirve pues da: 2x + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) 2 y en este caso nos da: 2x - 11x + 5Por lo tanto, 2 x 2 − 11x + 5 = ( x − 5 )( 2 x − 1)Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiereBaldor.3. FACTORIZACION DE BINOMIOS3.1 Diferencia de dos cuadrados:Ejemplo:Factorizar 9 x 2 − 16 y 2Raíz cuadrada del primer término 9 x2 = 3xY raíz cuadrada del segundo término 16 y 2 = 4 yLuego la factorización de 9 x 2 − 16 y 2 = ( 3x + 4 )( 3x − 4 )3.2 Cubo perfecto de un binomioEjemplo:Factorizar a 3 + 3 a 2 + 3a + 1
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERTodos los signos de los términos son positivos 3 a 3 = a : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio.3 1 = 1 : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio. ( )3 a 2 (1) = 3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.3(a )(1) = 3a Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raízcúbica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.Por lo tanto: a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = (a + 1) 33.3 Suma o diferencia de cubos perfectos3.3.1 Diferencia de cubos: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )Ejemplo: 8 − x3 = ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 )3.3. 2 Suma de cubos: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )Ejemplo: 27 a 3 + 1 = ( 3a + 1) ( 9a 2 − 3a + 1)FRACCIONES ALGEBRAICASDEFINICIONESFracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma p( x) donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q( x)q(x) ≠ 0.Ejemplos: x+5 8  3(a) ( x ≠ 3) (b) x ≠ −  x −3 2x + 3  2 2x − 3y 3x + 4(c ) (d ) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2) 7 x − 2x − 8Simplificación de fracciones algebraicasSimplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínimaexpresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y sudenominador se pueden dividir por un mismo factor.
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a 3b 3 8a 2 ⋅ 3ab3 8a 2 (a) = = 21ab5 7b 2 ⋅ 3ab3 7b 2 x 2 − 7x + 12 (b) x 2 − 16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)( x − 3) x 2 − 16 = ( x + 4)( x − 4) Luego: x 2 − 7 x + 12 ( x − 4)( x − 3) x−3 = = x − 16 2 ( x + 4)( x − 4) x+4Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicasLa operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste enconvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menorposible.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en susfactores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada casoel de mayor exponenteEjemplo:Reducir al mínimo común denominador x 3 2x x+3 , 2 , ,x + 5x + 6 x + 6x + 9 2 x + 3x + 2 x + 2 2Al factorizar los denominadores obtenemos: ( x + 2)( x + 3) , ( x + 3)2 , ( x + 2)( x + 1) , ( x + 2) ; m.c.m. = ( x + 2)( x + 3) 2 ( x + 1)OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASEn las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan enaritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER1. Suma y RestaReglas: • Se simplifican las fracciones, si es posible. • Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador • Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. • Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común. • Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. • Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.Ejemplo: 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b (5a − 9b) + (7 a − 2b) − (8a − 5b) 4a − 6b + − = = 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene: 2(2a − 3b) =2 (2a − 3b) 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b Entonces: + + = 2 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2. Multiplicación Reglas: • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. Ejemplo: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m 2 − 7 3 2 Factoricemos y simplifiquemos (m − 3)(m − 2) m(m 2 − 1) 7(m + 3) ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 2m − 8) 7(m 2 − 1) 2 (m − 3)(m − 2) m(m + 1)(m − 1) 7(m + 3) 1 ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 4)(m − 2) 7(m + 1)(m − 1) m+4 Entonces: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 1 ⋅ 3 ⋅ = m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m − 7 2 2 m+4
    • UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER3. DivisiónReglas: • Se multiplica el dividendo por el divisor invertido • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.Ejemplo: 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 2 x − 4 y 15 x + 45 y ÷ = • 5 x + 15 y 15 x + 45 y 5 x + 15 y 6 xy − 12 y 2Factoricemos y simplifiquemos 2( x − 2 y ) 15( x + 3 y ) 1 • = 5( x + 3 y ) 6 y ( x − 2 y ) y 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 1Entonces: ÷ = 5 x + 15 y 15 x + 45 y y4. Operaciones combinadasPara resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugaraquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienenprioridad.Ejemplo:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2  2 ÷  • 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y 2 2Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos. 3( x − y ) 2( x + y ) x2 − y2 • • 2 ( x + y ) 2 6( x − y ) x − xy + y 2Factoricemos y simplifiquemos 3( x − y ) 2( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y • • 2 = 2 ( x + y ) 6( x − y ) x − xy + y 2 2 x − xy + y 2Entonces:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2 x− y  2 ÷  • 2 = 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y x − xy + y 2 2 2