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Desigualdades Desigualdades Document Transcript

  • UNIDAD 6 DESIGUALDADESEn unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la soluciónde ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valoraproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto.La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para elloutilizamos los símbolos:>: Mayor que.  : Mayor o igual que.<: Menor que.  : Menor o igual que.Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolosde desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “  ”, “mayor o igual que”; “  ”, “menor o igualque”.PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADESSi a, b y c son tres números reales, se cumple que:1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c2. Si a > b, entonces (a  c) > (b  c) Si a < b, entonces (a  c) < (b  c).3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c < 0, entonces ac < bc. a b4. Si a > b y c > 0, entonces  c c a b Si a > b y c < 0, entonces  c c
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn 1 18. Si a > b, entonces  a b a  0  b  0 a  0  b  0  9. a  b  0, si   a  b  0, si   a  0  b  0 a  0  b  0  10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.Ejemplo 36  63Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionalesa. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades. Son satisfechas por todos los números Reales 2abEjemplo:  ab abSu validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de lasdesigualdades).b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidosEjemplo: 2x  6  0INTERVALOSLos intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, quese representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, lasoperaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación lasdiferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.CLASES DE INTERVALOSING. EDGAR VARGAS RUIZ 2 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREjemploSean los intervalos A = [–5, 5], B = (–  , 8] y C = (2,  ); hallar en las diferentes notaciones:1. AC 2. B C 3.  AC  BSolución:1. A  C = [–5,  ] Notación intervalo AC = x / x   5 Notación de conjunto2. B C =  2, 8  Notación intervalo B C = x / 2  x  8  Notación de conjunto3.  A  C   B =  2, 5    , 8 =  , 8 Notación intervalo  A  C   B = x / x  8  Notación de conjuntoINECUACIONESUna inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Lasinecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionóanteriormente. La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.ING. EDGAR VARGAS RUIZ 3 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERPara resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan lainecuación.La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdadesanteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución auna inecuación se da mediante un intervalo).Solución de inecuacionesResolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antesexpuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de unainecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes:en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases deintervalos”)CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONESLas inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresiónalgebraica que aparece en ellas.Ejemplo: INECUACIÓN TIPO 2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnitaINECUACIONES DE UNA VARIABLE1. Inecuaciones Lineales o de Primer GradoLas inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formasbásicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:1. Quitar los paréntesis, si los hay.ING. EDGAR VARGAS RUIZ 4 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.6. Despejar la x (la incógnita).7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica. x  2 5( x  7) 7  xEjemplo 1: Resolver   3 4 2 4( x  2)  3(5 x  35) 6(7  x)  12 12 4 x  8 15x  105  42  6 x   5x  55 5x  55  x  11 S= x  (-, 11)Ejemplo 2: Resolver 2x  3  x  5Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene: 2x  x  3  5Reduciendo términos: x  8 S  8,    x  R / x  8  ( 8  x 5xEjemplo 3: Dada la siguiente inecuación 7    6 . Halle el conjunto solución y 2 3grafíquelo.Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42  3x  10x  36Trasponiendo términos: 3x 10x   36  36 13x  78Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original: 13x  78ING. EDGAR VARGAS RUIZ 5 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 78Dividiendo por 13: x < o sea, x<6 13S   ,6   x  R / x<6 )  6  x  3 x 1   x 1  3x 2Ejemplo 4: ResolverEfectuando las operaciones indicadas: x 2  2 x  3  x 2  2 x  1  3xSuprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo: 2 x  2 x  3x  1  3 x4 S   , 4  x  R / x<4   ) 4 x  2 2x 2  1 1Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación    x 2 . Halle el conjunto solución y 3 2 4grafíquelo.Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación paraobtener: 4  x  2   6  2 x 2  1  3  12 x 2 4 x  8 12 x2  6  3  12 x2Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene: 4x  6  3  8Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:ING. EDGAR VARGAS RUIZ 6 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 5  5  5 x S   ,    x  R / x   4  4  4   5/4  Solución de inecuaciones simultáneas de primer gradoUna inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:S  x / x  a  x / x  bEjemplo: Hallar el conjunto solución de 6  4x  2  7Separando en dos desigualdades: 4x  2  6  4x  2  7 4x  6  2  4x  7  2 8 9 x  x 4 4 9  9 x2  x Sol: x  2,   4  42. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADOLas inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de lassiguientes formas básicas:ax2  bx  c  0, ax2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0ProcedimientoPrimer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de laecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al casoseleccionado.ING. EDGAR VARGAS RUIZ 7 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERCuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.EjemploDada la siguiente inecuación x2  5x  6  0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo.Primer paso: Factorizar el polinomio dado x 2  5x  6   x  3 x  2  , quedando una inecuaciónde la forma:  x  3 x  2  0Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:  x  3  0 y  x  2  0Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:  x  3  0 y  x  2  0Solución Caso I:Sea SA el conjunto solución de la inecuación  x  3  0 y SB al conjunto solución de lainecuación  x  2   0 , la solución del Caso I viene dada por: SI  SA  SBSolución para SA x3 0 S A   3,    x  R / x  3 x  3Solución para SB x20 SB   2,    x  R / x  2 x  2La solución para SI es entonces: SI  SA  SB   3,     2,     2,  ING. EDGAR VARGAS RUIZ 8 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SI   2,    x  R / x  2 (  ( –3 –2Solución Caso II:Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación  x  3  0 y SD al conjunto solución de lainecuación  x  2   0 , la solución del Caso II viene dada por: SII  SC  SDSolución para SC : x 3  0 Sc   , 3  x  R / x  3 x  3Solución para SD : x20 Sd   , 2   x  R / x  2 x  2La solución para SII es entonces: SII  Sc  Sd   , 3   , 2    , 3 SII   , 3  x  R / x  3  )  ) -3 -2Solución General:La solución general será la unión de SI y SII , es decir: SG  SI  SII   2,     , 3ING. EDGAR VARGAS RUIZ 9 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREl método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama métodoanalítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como elmétodo del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuacionescuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático,encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera aintervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinarel signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cadaintervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos paralos cuales se cumple la desigualdad.Ejemplo 1Dada la siguiente inecuación x2  5x  6  0 , halle el conjunto solución y grafique.Se factoriza el polinomio x 2  5x  6   x  3 x  2  , quedando la inecuación de la forma:  x  3 x  2  0Las raíces que anulan  x  3 x  2  son x  3 y x  2 . (Valores críticos) Se ubican sobre larecta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinanlos signos. Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución vienedada por:ING. EDGAR VARGAS RUIZ 10 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SG   , 3   2,  Ejemplo 2  x  1  x  1 2 2 8Dada la siguiente inecuación   , halle el conjunto solución y grafique. 2 3 3Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y sereducen términos semejantes, obteniendo: x2  2 x  15  0Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2  2 x  15   x  5 x  3 , resultando unainecuación de la forma:  x  5 x  3  0Las raíces de  x  5 x  3 son x  5 y x  3 (valores críticos), las cuales se ubican sobre larecta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de ladesigualdad.Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elproducto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por: SG   3,5  x  R / 3  x  5Gráficamente:ING. EDGAR VARGAS RUIZ 11 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER  )  ) -3 5Casos especiales1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: Solución (ax + b)2 ≥ 0 (ax + b)2 > 0   valor critico (ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a (ax + b)2 < 0Ejemplo: x2  2 x  1  0 2  22  4 2  0x  2x  1  0 2  Usando la fórmula cuadrática : x   1 2 2  x  1 0 2Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:  El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es   El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio). Solución x  x 1  0 2  x  x 1  0 2  x  x 1  0 2  x2  x  1  0   INECUACIONES DE GRADO SUPERIORING. EDGAR VARGAS RUIZ 12 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERPasos:1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación .Ejemplo:Resolver la inecuación x 3  4x  0Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo(<0).El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacarfactor común x) x  x 2  4   0 , o lo que es lo mismo x  x  2  x  2   0Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantesvalores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo.El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores quehacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial paraver el signo de la operación. Observa la gráfica: _ + _ + -2 0 2Los valores de la x que hacen negativo el producto son  ,2  0,2 .ING. EDGAR VARGAS RUIZ 13 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER3. INECUACIONES RACIONALESSon inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador soninecuaciones polinómicas. ax  b ax  b ax  bExpresión general: son del tipo  0 , o todas sus equivalentes  0, o  0, cx  d cx  d cx  detc.… y de grados mayores que uno.Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tenerpresente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden serresueltos usando el método analítico o el método gráfico.Pasos:1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.Ejemplo: x 2  3x  101. Dada la siguiente inecuación  0 halle el conjunto solución y grafique. x2  x  2Factorizando los polinomios dados: x2  3x  10   x  5 x  2  , x2  x  2   x  2 x  1Resultando una inecuación de la forma:  x  5 x  2   0  x  2  x  1ING. EDGAR VARGAS RUIZ 14 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERLas raíces que anulan el numerador son x  5 y x  2 , y las que anulan el denominador sonx  2 y x  1 , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x encada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde elcociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto lasolución viene dada por: SG   5, 2   1, 2 Gráficamente:   ( ) ( ) -5 -2 1 2 x 12. Resolver 1 x 1 x 1  1  0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos x 1cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x  1  x  1 y compara los resultados.ING. EDGAR VARGAS RUIZ 15 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER x 1 x 1 x 1 2Para nuestro caso, operando 1  0    0 , y todo se reduce a x 1 x 1 x 1averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en  ,1 .4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTORECORDEMOS:El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Sudefinición formal es:  a para a  0 a  , a  R a para a  0y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.Ejemplo:  5  5  5Propiedades del valor absolutoLa solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominiode algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan laspropiedades que serán usadas en el tema en cuestión.Sean a, b  R.1. a 02. a2  a3. a  a4. a 2  a25. a b  a  b a a6.  , si b  0 b b7. a  b  a  b Desigualdad triangular8. a b  b0  a  b  a  bDesigualdades con valor absolutoING. EDGAR VARGAS RUIZ 16 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERSea x, y, a  R . Se tiene entonces:1. x  a sii a  0  x  a  x  a ó  a  x  a  [ ]  -a a2. x  a sii x  a  x  a  ] [  -a a3. x  y sii x 2  y 2Inecuaciones de primer grado con valor absolutoSon aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto dela misma.Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a losteoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución deinecuaciones.Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:Sean x, a, b, c  R . ax  b  c   1) ax  b  c   y  ó  c  ax  b  c ax  b  c   Ejemplos:ING. EDGAR VARGAS RUIZ 17 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERa) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x  10  15 y grafique.Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:  15  5 x  10  15  [ ] 15  10  5 x  10  10  15  10 -5 1  25  5 x  5 25 5 x 5   5 5 5 S   5,1  x  R /  5  x  1 5  x 1 xb) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:  2 < 1 y grafique. 3 x 1 <  2< 1 3  ( )  x 3 < <  1 -9 -3 3 x 3  3 <  3<  1 3 3 S   9, 3  x  R /  9 < x <  3 9 < x <  3 ax  b  c   2) ax  b  c   ó  ó ax  b  c  ax  b  c ax  b  c   Ejemplos:a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3x  8  2 y grafique.ING. EDGAR VARGAS RUIZ 18 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER3x  8  2  3 x  8  2 3x  2  8 3 x  2  8 10 3 -2 -3 x  6  3 x  10 2x 6 3 x 10 3   , 10 3   2,  x  2b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x  3 < 7 y grafique.5 x  3>7  5 x  3<  7  ) ( 45 x >7+3 5 x <  7+3 5 25 x >10 5x<  4x >10 5 x < 4 5  4x >2   ,     2,    5Otro ejemplo 2x 1Resolvamos la desigualdad 3 x3Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdadesequivalentes: 2x 1 3 x3 2x 1  3 x  3  2 x 1   3x  9  2 2  2 x 1   3x  9   0 2 2  2 x  1   3x  9   2 x  1   3x  9   0      x 10  5x  8  0ING. EDGAR VARGAS RUIZ 19 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERElaborando un diagrama de signos tenemosSigno de   x  10 + ─ ─Signo de  5 x  8 ─ ─ +Signo de   x  10  5 x  8 ─ + ─  8Vemos que la solución de la desigualdad es  10,    5 Problemas que se resuelven por medio de inecuacionesLas inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre elpeso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve nodebe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar,como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajóny planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kgING. EDGAR VARGAS RUIZ 20 2011
  • [Escribir texto] UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 875 − 4. X  415Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x  415 - 875 Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x  - 460 1 Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por  4 (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,  1 debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x       460  4 Hacemos el cálculo x  115Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata deun peso, x > 0.Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo(0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:ING. EDGAR VARGAS RUIZ 21 2011