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Integración numerica método de Simpsom
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Integración numerica método de Simpsom

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL "FRANCISCO DE MIRANDA" REGLA DE SIMPSONRegla de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) se puedeobtener una estimación más exacta de la integral. El método consiste enusar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función ytomar las integrales bajo tales polinomios.Regla de Simpson 1/3 simple:Considérese la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x0 = ay x2 = b, si hay otro punto a la mitad x1 = (x0+ x2)/2 como se muestra en la figura.Si utilizamos un polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como unaaproximación de f(x): ( x − x1 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x1 )P2 ( x) = f ( x0 ) ⋅ + f ( x1 ) ⋅ + f ( x2 ) ⋅ ( x0 − x1 ) ( x0 − x 2 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x 2 ) ( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 )El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre loslímites a y b f(x) Integrando este polinomio: b x2 ⎡ ( x − x1 ) ( x − x 2 ) ∫a f ( x)dx ≅ ∫x0 ⎢ f ( x0 ) ( x0 − x1 ) ⋅ ( x0 − x2 ) + f ( x1 ) ⎣ f(x2) ( x − x0 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x1 ) ⎤ ⋅ + f ( x2 ) ⋅ ( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 ) ⎥ f(x0) dx P(x) ( x1 − x0 ) ( x1 − x 2 ) ⎦ Después de la integración y manipulación algebraicas, se obtiene la siguiente formula: x0 x1 x2 b f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∫a f ( x)dx ≅ ( x2 − x1 ) 6 b h ∫a f ( x)dx ≅ 3 ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 ))Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b − a)/2.Geométricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo unacurva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos.Ejemplo:Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral 1∫1 / 2 arcsen( x)dx
  • 2. Solución: 5π − 6 3La solución exacta de esta integral es: ≈ 0.4429715 12 ∫1 / 2 arcsen( x)dx ≅ (1 −6 / 2) ( f (1) + 4 f (3 / 4) + f (1 / 2)) 1 1 1 1 ≅ (1.5707963 + 0.8480621 + 0.5235988) = 0.4572203 12 El error relativo porcentual que se cometió al aplicar −1 1 la regla del trapecio simple esta dado por: p − p* −1 Er = ⋅ 100 p 0.4429715 − 0.4572203 ⋅ 100 ≈ 3.22% 0.4429715 El error de la estimación es menor que el obtenido con la Regla del Trapecio simple.Regla de Simpson 1/3 compuesta:En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error alcalcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmulacompuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalosiguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n. f(x) b x2 x4 ∫a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + L x0 x2 xn +∫ f ( x)dx xn − 2 f(b) f(a) Aplicando la regla de Simpson 1/3 en cada una de las integrales, obtenemos: h h ≅ ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 )) + h ( f ( x 2 ) + 4 f ( x3 ) 3 3 h + f ( x 4 )) + L + ( f ( x n −2 ) + 4 f ( x n −1 ) + f ( x n )) a b 3Agrupando términos: n / 2−1 b h⎛ n/2 ⎞ ⎜ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( x 2i ) + 4 ∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n ) ⎟∫a f ( x)dx ≅ ⎜ 3⎝ ⎟ i =1 i =1 ⎠
  • 3. n / 2−1 n/2 b f ( x0 ) + 2 ∑ f ( x 2i ) + 4 ∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n ) i =1 i =1∫a f ( x)dx ≅ (b − a) 3nQue es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Se debeutilizar un número par de divisiones para implementar el método.Ejemplo:Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 subintervalos para aproximar 1la integral ∫1 / 2 arcsen( x)dxSolución: b − a 1 − 1/ 2 h= = = 0.125 n 4 P= {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1} 1 1 ∫1 / 2 arcsen( x)dx 0.125 −1 1 ≅ ( f (0.5) + 4 f (0.625) + 2 f (0.75) + 3 + 4 f (0.875) + f (1)) =0.4480329 −1 La solución exacta de esta integral es: 5π − 6 3 ≈ 0.4429715 12El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla de Simpson 1/3compuesta esta dado por: p − p* 0.4429715 − 0.4480329Er = ⋅ 100 = ⋅ 100 ≈ 1.14% p 0.4429715Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con estemétodo, reduciendo el error relativo verdadero de un 3.22% hasta un 1.14%.Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:n Snumérica Er%10 0.4442541593 0.289550049850 0.4430863307 0.02591491573
  • 4. 100 0.4430121240 0.009162891245200 0.4429858860 0.003239711554250 0.4429818040 0.0023182076471000 .4429728180 0.0002896348633Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.