Your SlideShare is downloading. ×
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Transformasi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Transformasi

2,179

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
2,179
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
183
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. 1 D E F I N I S I Transformasi bidang adalah suatu aturan yang memindahkan sebuah titik atau sekumpulan titik pada bidang. Jika titik A dipindahkan oleh transformasi T ke titik A’ , maka titik A’ dinamakan bayangan atau peta dari titik A oleh tranformasi T. A . MENYATAKAN SUATU TRANSFORMASI Jika titik A dipindahkan ke titik A’ oleh suatu transformasi T, maka transformasi tersebut dapat dinyatakan dengan beberapa macam cara, yaitu : 1. Bentuk Pemetaan :    ','', yxAyxA T  2. Persamaan Aljabar : ybxay ybxax 22 11 ' '   3. Persamaan Matriks :                   y x ba ba y x 22 11 ' ' atau                   y x a a y x 2 1 ' ' JENIS-JENIS TRANSFORMASI B . TRANSLASI ( PERGESERAN ) Definisi : Translasi adalah transformasi yang memindahkan sebuah titik atau sekumpulan titik dalam arah garis lurus. T A A’  yxA ,        b a T  ','' yxA
  • 2. 2 Jika titik  yxA , dipindahkan ke titik  ','' yxA oleh translasi        b a T , maka translasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : 1. Dengan Pemetaan :    ','', yxAyxA b a T          2. Dengan Persamaan Aljabar : byy axx   ' ' 3. Dengan Persamaan Matriks :                   b a y x y x ' ' 1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A( −5 , 2 ) , B ( 4 , 8 ) dan C ( −6 , −9 ) , jika ditranslasikan oleh translasi         1 4 T 2. Tentukan bayangan dari lingkaran 2522  yx , jika ditranslasikan oleh translasi        3 8 T 1. Bayangan dari segitiga ABC adalah :                              10 2 71 81 1 4 11 44 9 6 82 45 ' ' '' '' C C BA BA y x yy xx Jadi : A’ ( −1 , 1 ) , B’ ( 8 , 7 ) , dan C’ ( −2 , −10 ) . 2. Persamaan aljabar dari translasi : )2.....3'3' )1.....8'8'   yyyy xxxx Jadi bayangan dari lingkaran 2522  yx oleh translasi tersebut adalah :         2538253'8' 2222  yxyx 1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A ( −11 , 2 ) , B ( 3 , −8 ) , dan C ( 5 , 16 ) , jika dipindahkan oleh translasi          12 4 T 2. Suatu translasi memindahkan titik A ( −3 , −18 ) ke titik A’ ( 6 , −14 ). a. Tentukan translasi tersebut. b. Dengan translasi tersebut tentukan bayangan dari titik B ( 30 , 16 ) 3. Titik C dipindahkan oleh translasi         2 12 T ke titik C ‘ ( 24 , −13 ) . Tentukan koordinat titik C
  • 3. 3 A A’ x y O A’ A y x O y x O A A’ y = x 4. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut : a. garis 532  yx dengan translasi         4 1 T b. lingkaran 016222  yxyx dengan translasi         3 6 T c. elips     1 4 1 16 4 22     yx dengan translasi          2 10 T d. hiperbola 1 2549 22  yx dengan translasi        3 7 T C . REFLEKSI ( PENCERMINAN ) A’ A Definisi : Refleksi adalah transformasi yang memindahkan sebuah titik atau sekumpulan titik dalam arah tegak lurus sebuah garis yang invarian. Garis yang invarian tersebut dinamakan sumbu pencerminan atau cermin. Dinamakan garis yang invarian karena titik-titik pada garis tersebut tidak berpindah ( tetap ). JENIS-JENIS REFLEKSI 1. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU x Persamaan aljabar : yy xx   ' ' Persamaan matriks :                    y x y x 10 01 ' ' 2. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU y Persamaan aljabar : yy xx   ' ' Persamaan matriks :                    y x y x 10 01 ' ' 3. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x Persamaan aljabar : xy yx   ' ' Persamaan matriks :                   y x y x 01 10 ' '
  • 4. 4 y x O A A’ y = -x y x O A A’ y x O A A’ h y x O A A’ k 4. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = − x Persamaan aljabar : xy yx   ' ' Persamaan matriks :                     y x y x 01 10 ' ' 5. PENCERMINAN TERHADAP TITIK O ( 0 , 0 ) Persamaan aljabar : yy xx   ' ' Persamaan matriks :                     y x y x 10 01 ' ' 6. PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = h Persamaan aljabar : yy xhx   ' 2' Persamaan matriks :                    0 2 ' ' h y x y x 7. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k Persamaan aljabar : yky xx   2' ' Persamaan matriks :                    ky x y x 2 0 ' ' ` 1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A( 8 , − 4 ) , B ( 3 , 1 ) dan C ( −12 , 2 ) , jika dicerminkan terhadap garis y = − x 2. Tentukan bayangan dari lingkaran 02041022  yxyx , jika dicerminkan terhadap titik O 3. Tentukan bayangan dari lingkaran xy 322  , jika dicerminkan terhadap garis x = 10 1. Bayangan dari segitiga ABC adalah :                               12 2 38 14 2 12 14 38 01 10 ' ' '' '' C C BA BA y x yy xx Jadi : A’ ( 4 , −8 ) , B’ ( −1 , −3 ) , dan C’ ( −2 , 12 ) .
  • 5. 5 y x O A A’  2. Persamaan aljabar dari pencerminan terhadap titik O adalah : )2.....'' )1.....'' yyyy xxxx   Jadi bayangan dari lingkaran 02041022  yxyx oleh pencerminan tersebut adalah :         020'4'10''020410 2222  yxyxyxyx 020'4'10'' 22  yxyx Jadi persamaan bayangannya : 02041022  yxyx 3. Persamaan aljabar dari pencerminan terhadap garis x = 10 adalah : )2.....'' )1.....'2020' yyyy xxxx   Jadi bayangan dari lingkaran xy 322  oleh pencerminan tersebut adalah :    20'32''2032'32 222  xyxyxy Jadi persamaan bayangannya :  20322  xy 1. Tentukan bayangan dari titik ( 4 , −16 ) jika dipindahkan oleh pencerminan terhadap : a. sumbu x b. sumbu y c. garis y = x d. garis y= −x e. titik O f. garis x = 5 g. garis y = −8 2. Tentukan bayangan dari segiempat ABCD , dengan A ( −5 , −2 ) , B ( 8 , −3 ) , C ( 7 , 5 ) , dan D ( −4 , 6 ) jika dicerminkan terhadap : a. garis y = x b. garis y = 12 3. Titik A ( −6 , 12 ) dicerminkan terhadap garis x = h , bayangannya adalah titik A’ ( 14 , 12 ) .Tentukan nilai h ! 4. Tentukan bayangan dari kurva berikut : a. garis 102  xy dicerminkan terhadap sumbu x b. lingkaran     10052 22  yx dicerminkan terhadap sumbu y c. elips 1 64144 22  yx dicerminkan terhadap garis y = x d. hiperbola 0164811694 22  yxyx dicerminkan terhadap garis y = − x e. parabola 04416122  xyy dicerminkan terhadap titik O f. lingkaran 09120822  yxyx dicerminkan terhadap garis x = 2 g. elips     1 16 3 49 8 22     yx dicerminkan terhadap garis y = −1 D . ROTASI ( PERPUTARAN ) Definisi : Rotasi adalah transformasi yang memindahkan sebuah titik atau sekumpulan titik dalam arah busur lingkaran dengan pusat pada titik tertentu dan sudut putar yang tertentu pula. Jika titik  yxA , dirotasikan ke titik  ','' yxA dengan pusat titik
  • 6. 6 − O ( 0 , 0 ) dan sudut putar α , maka : 1. Persamaan aljabar :   cossin' sincos' yxy yxx   2. Persamaan matriks :                    y x y x   cossin sincos ' ' 1. Tentukan bayangan dari titik A ( −8 , 6 ) jika dirotasikan dengan pusat O dan sudut putar 60° . 2. Tentukan bayangan dari parabola xy 162  jika dirotasikan dengan pusat O dan sudut putar  4 3 . 1.                                                   334 334 6 8 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 60cos60sin 60sin60cos ' ' A A A A y x y x Jadi :  343,334'A  2. Persamaan aljabar rotasi dengan pusat titik O dan sudut putar  4 3 , adalah :                                              y x y x y x 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 3 cos 4 3 sin 4 3 sin 4 3 cos ' '   )1......'2 2 1 '2 2 1 2'2'2 '222 2 1 2 2 1 ' '222 2 1 2 2 1 ' yxyyyx yxyyxy yxxyxx    )2......'2 2 1 '2 2 1 2'2'2 '2 '2 xyxxyx yxy yxx                 '2 2 1 '2 2 1 16'2 2 1 '2 2 1 16 2 2 xyyxxy    '2'2 2 1 .16'''2' 2 1 22 xyyyxx  0'216'216'''2''216'216'''2' 2222  yxyyxxxyyyxx Jadi persamaan bayangannya : 02162162 22  yxyyxx +
  • 7. 7 1. Tentukan bayangan dari titik berikut jika diputar dengan pusat titik O : a. ( 6 , −3 ) dan sudut putar 135 ° b. ( -10 , −16 ) dan sudut putar  6 1  c. (−2 , 4 ) dan sudut putar −210 ° d. ( 8 , 12 ) dan sudut putar  3 4 2. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( −12 , −4 ) , B ( 16 , 20 ) , dan C ( 14 , 3 ) jika diputar dengan pusat titik O dan sudut putar  6 7 ! 3. Titik B ( 40 , −60 ) diputar dengan pusat O ke titik B ‘ ( 33020 , 32030 ) . Tentukan sudut perputarannya ! 4. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut ini jika diputar dengan pusat O : a. garis 1172  yx dengan sudut putar 90 ° . b. lingkaran 3622  yx dengan sudut putar 180 ° . c. elips 1 416 22  yx dengan sudut putar 270 ° . d. parabola    349 2  xy dengan sudut putar 120 ° . e. lingkaran     4925 22  yx dengan sudut putar 210 ° . f. garis 63  yx dengan sudut putar 330 ° . E . DILATASI ( PERKALIAN ) Definisi : Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah suatu transformasi yang memindahkan titik A ke bayangannya A ‘ , dengan panjang OA’ sama dengan k kali panjang OA. Jika titik  yxA , didilatasikan ke titik  ','' yxA dengan pusat titik O ( 0 , 0 ) dan faktor skala k , maka : 1. Persamaan aljabar : yky xkx   ' ' 2. Persamaan matriks :                   y x k k y x 0 0 ' ' Ada beberapa kemungkinan nilai k dan letak bayangan titik A pada dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k , yaitu : 1. 1k panjang OA’ lebih dari panjang OA , dan titik A’ sepihak dengan titik A. 2. 10  k panjang OA’ kurang dari panjang OA , dan titik A’ sepihak dengan titik A. 3. 1k panjang OA’ lebih dari panjang OA , dan titik A’ berlainan pihak dengan titik A. 4. 01  k panjang OA’ kurang dari panjang OA , dan titik A’ berlainan pihak dengan titik A. 1. Tentukan bayangan dari titik A ( 50 , 24 ) jika didilatasikan dengan pusat titik O dan faktor skala −5 ! 2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 01010222  yxyx jika didilatasikan dengan pusat titik O dan faktor skala 4 ! y x O A A’ B C B’ C’
  • 8. 8 1.                             120 250 24 50 50 05 ' ' A A y x Jadi A ‘ ( −250 , −120 ) 2. Persamaan aljabar dari dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 , adalah : ' 4 1 4' ' 4 1 4' yyyy xxxx   Jadi : 010' 4 1 10' 4 1 2' 4 1 ' 4 1 010102 22 22                          yxyxyxyx 0160'40'8''010' 2 5 ' 2 1 ' 16 1 ' 16 1 2222  yxyxyxyx Jadi persamaan bayangannya adalah : 016040822  yxyx 1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( 9 , 6 ) , B ( −4 , 8 ) dan C ( −1 , −10 ) jika didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala : a. 6 b. 2 1 c. −3 d. 4 3  2. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut ini , jika didilatasikan dengan pusat O a. garis 163  xy dengan faktor skala 6 b. lingkaran 8122  yx dengan faktor skala −2 c. elips 1 449 22  yx dengan faktor skala 5 2 d. parabola  682  xy dengan faktor skala 7 3  e. hiperbola 1 2536 22  yx dengan faktor skala −5 f. lingkaran 019301222  yxyx dengan faktor skala 4 F . TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS 2 × 2 Selain transformasi yang sudah diuraikan di atas, ada juga jenis transformasi dengan sembarang matriks 2 × 2 . Matriks transformasinya dapat dinyatakan dalam bentuk       d b c a dengan dcba dan,,, bilangan riil. 1. Tentukan bayangan dari titik A ( −13 , 27 ) pada transformasi dengan matriks        6 3 1 2
  • 9. 9 2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 036222  yyx pada transformasi dengan matriks        3 4 1 5 1.                           149 107 27 13 61 32 ' ' A A y x Jadi A ‘ ( 107 , 149 ) 2. Persamaan matriks dari transformasi tersebut , adalah :                    y x y x 31 45 ' ' Persamaan aljabar dari transformasi tersebut , adalah : )1..... 19 '5' 19'5' 155'553' 45'145' yx yyyx yxyyxy yxxyxx     )2..... 19 '4'3 19'4'3 124'443' 1215'3345' yx xxyx yxyyxy yxxyxx     Maka : 036 19 '5' 2 19 '5' 19 '4'3 0362 22 22                       yxyxyx yyx 036 19 '10'2 361 '25''10' 361 '16''24'9 2222        yxyyxxyyxx 0 361 12996 361 '190'38 361 '25''10' 361 '16''24'9 2222        yxyyxxyyxx 012996'190'38'25''10''16''24'9 2222  yxyyxxyyxx 012996'190'38'41''14'10 22  yxyyxx Jadi persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah : 01299619038411410 22  yxyyxx 1. Tentukan bayangan dari titik-titik berikut : a. ( −16 , 1 ) pada transformasi dengan matriks         2 6 3 0 b. ( 2 , −8 ) pada transformasi dengan matriks       12 0 4 16 c. ( 7 , 14 ) pada transformasi dengan matriks        9 1 0 7 d. ( −20 , −5 ) pada transformasi dengan matriks        0 8 12 5 e. ( 22 , 4 ) pada transformasi dengan matriks        3 4 1 1 f. ( −6 , 32 ) pada transformasi dengan matriks         9 8 7 4 − +
  • 10. 10 2. Tentukan bayangan dari kurva berikut a. garis 1326  yx pada transformasi dengan matriks        4 2 1 0 b. lingkaran 12122  yx pada transformasi dengan matriks        2 1 6 2 c. elips 1 1216 22  yx pada transformasi dengan matriks         5 2 1 3 d. parabola    543 2  xy pada transformasi dengan matriks        5 4 2 6 e. hiperbola 922  yx pada transformasi dengan matriks         0 3 2 8 G . LUAS BANGUN HASIL TRANSFORMASI Jika suatu bangun geometri ditransformasikan dengan matriks transformasi       dc ba , maka luas dari bangun hasil transformasinya, dinyatakan dengan rumus :   LbcadL d b c a L ' , dengan : sitransformahasilbangunluas'L semulabangunluasL Suatu transformasi dinamakan transformasi yang isometri jika luas bangun hasil transformasi sama dengan luas bangun semula. Yang termasuk transformasi yang isometri adalah : translasi , refleksi , dan rotasi. Hitunglah luas dari bayangan segitiga ABC dengan A ( −2 , 2 ) , B ( 3 , 7 ) dan C ( 6 , −3 ) pada transformasi dengan matriks       32 86 A B C x y D EF Luas segitiga ABC : Cara 1 : ABFCEBACDDCEFABC LLLLL  SL       55 2 1 310 2 1 58 2 1 108 SL       2 25 152080 SLSL 2 65 2 25 152080        Cara 2 : 3 7 2 6 3 2 1 1 1 3 7 2 6 3 2 2 1 1 1 1 3 7 2 6 3 2 2 1 1 1 1 2 1         C B A C B A ABC y y y x x x L + + + − − −
  • 11. 11          SL231213176331612172 2 1    SLSLSL 2 65 2 65 664291214 2 1  Jadi luas segitiga bayangan :   SLLL ABCCBA 65 2 65 1618 3 8 2 6 '''  Tentukan luas bangun bayangan berikut jika ditransformasikan dengan matriks : 1. Segitiga ABC dengan A ( −6 , 12 ) , B ( 9 , 20 ) , dan C ( 4 , −7 ) ditransformasikan dengan matriks        13 42 2. Segiempat ABCD dengan A ( −10 , −9 ) , B ( −6 , 18 ) , C ( 8 , 12 ), dan D ( 14 , −11 ) ditransforma-sikan dengan matriks         34 15 H . KOMPOSISI TRANSFORMASI Jika titik A ( x , y ) dipindahkan oleh transformasi T1 ke titik  ','' yxA kemudian titik  ','' yxA dipindahkan oleh transfor-masi T2 ke titik  '','''' yxA , maka titik A ( x , y ) dipindahkan ke titik  '','''' yxA oleh komposisi transformasi : 12 TT o 1. Tentukan bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika : a. dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan dilatasi berpusat O dengan faktor skala 3. b. dicerminkan terhadap titik O dilanjutkan dengan translasi         30 12 T 2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 1622  yx jika ditransformasikan dengan matriks transformasi       12 34 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = − x ! 1. a. Matriks pencerminan terhadap sumbu y :        10 01 Matriks dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 :       30 03 Matriks pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala 3 : 2T 1T  '','''' yxA ','' yxA  yxA ,
  • 12. 12       30 03        10 01 =        30 03 Bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan dilatasi berpusat O dan faktor skala 3 , adalah :                                        21 15 7 5 30 03 30 03 '' '' A A A A y x y x Jadi : A’’ ( 15 , 21 ) b. Matriks pencerminan terhadap titik O :         10 01 Matriks dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 :       30 03 Matriks translasi :         30 12 T Bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika dicerminkan terhadap titik O dilanjutkan dengan translasi         30 12 T , adalah :                                                  7 5 10 01 30 12 10 01 30 12 '' '' A A A A y x y x                       23 7 7 5 30 12 Jadi : A’’ ( −7 , 23 ) 2. Matriks komposisi transformasi :         01 10       12 34 =         34 12 Persamaan matriks dari transformasi dengan matrik       12 34 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = − x :                     y x y x 34 12 '' '' Persamaan aljabar dari komposisi transformasi tersebut adalah : )1..... 5 ''''2 5''''2 34''134'' 24''222'' yx yyyx yxyyxy yxxyxx     )2..... 10 ''''3 10''''3 34''134'' 36''332'' yx xxyx yxyyxy yxxyxx     Maka persamaan bayangannya : 16 5 ''''2 10 ''''3 16 22 22                yxyx yx 16 25 ''''''4''4 100 ''''''6''9 2222      yyxxyyxx 16 100 ''4''''16''16 100 ''''''6''9 2222      yyxxyyxx 1600''5''''10''25 22  yyxx 0320''''''2''5 22  yyxx Jadi persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah : 032025 22  yyxx − − −
  • 13. 13 1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( 36 , −20 ) , B ( −8 , 14 ) dan C ( 2 , −18 ) , jika : a. diputar dengan pusat O dan sudut putar 270° , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x. b. digeser dengan translasi         30 60 T dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 11 2. Tentukan matriks transformasi dari : a. pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi dengan pusat O dan sudut putar 240°. b. dilatasi dengan pusat O dan faktor skala −10 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = x c. transformasi dengan matriks       50 48 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O . 3. Tentukan persamaan bayangan dari kurva pada transformasi berikut : a. garis xy 216 digeser dengan translasi          1 4 T dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y . b. lingkaran 017422  xyx diputar dengan pusat O dan sudut putar 30° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala −6 . c. parabola    10203 2  xy dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = 3 . d. elips     1 4 4 36 1 22     yx dicerminkan terhadap garis y = − x dilanjutkan dengan transformasi dengan matriks        12 11 .

×