Integral
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Integral

on

  • 6,231 views

Materi integral kelas XII IPA

Materi integral kelas XII IPA

Statistics

Views

Total Views
6,231
Views on SlideShare
6,230
Embed Views
1

Actions

Likes
3
Downloads
327
Comments
1

1 Embed 1

http://www.slashdocs.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

11 of 1

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Integral Integral Document Transcript

    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. 1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tertentu . 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. INTEGRAL TAK TENTUDEFINISI Diketahui fungsi F ( x ) dengan F’ ( x ) = f ( x ) , maka :  f (x)d x  F( x)CBentuk  f (x)dx dinamakan integral tak tentu karena hasilnya masih mengandung suatukonstanta C .A . TEOREMA INTEGRAL TAK TENTUTeorema-teorema integral tak tentu adalah sebagai berikut : 1.  d x  x C 2. k d x  k d x  C  k x  C , dengan k bilangan riil x a 1 3.  xa d x  a 1 C 4. [ f ( x )  g ( x ) ] d x   f ( x ) d x   g ( x ) d x dx 5.  x  ln x  C1.  4 dx  4 x  C x 61 x72.  x 6 dx  6 1 C  7 C 1 1 1 3 3 x2  2 20 23.  10 x 2 dx   10  C   10 x 2 .  C   x C 1 3 3 1 2 2 5   3 3 3 3 3 2 x dx  dx  x C  x5  C  x x C 3 34. 2 x3 5 5 5 1 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1  (3x 3 65. 5  2 x  10 ) dx  x  x 2  10 x  C 66.  1  2xx  6 2    dx   1  2 x  x 2  12 x  36 dx   36  84 x  25x 2  2 x 3 dx  25 3 1 4  36 x  42 x 2  x  x C 3 2 1   x3  x   x3 x  3  2 2  x  x2 2  dx  x  x  C  x  2  C7.    x2    dx       2  dx   x2 x      2 1 2 x   2 Selesaikan integral berikut : 1.   8 dx 9.  x ( x  12 ) dx 2.  x dx 10.  ( x  1 ) ( x  2 ) ( 1  2 x ) dx 16  x dx 11.  ( x  3 ) ( x  4 ) dx 2 3. 6  ( x  x ) ( x  x ) dx 1 1 12. 4.  x dx 5 2 ( 1 1  x dx 13. x x 5. )( ) dx 3 x x ( x2  1) 6.  ( 2 x 3  3 x 2  x  10 ) dx 14.  dx 3 x2  ( x  x  x ) dx 6 1 1 7. ( 2 x 1)( x  4 )  2 15. dx x4 8.  ( 4 x  5 ) ( x  6 ) dxB . PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTUSalah satu penerapan dari integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva darisuatu fungsi yang diketahui turunan atau persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsitersebut.Jika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) . F ‘ ( x ) = f ( x ) = m adalah persamaangradien garis singgung pada kurva fungsi F ( x ) .Jika F ‘ ( x ) = f ( x ) diketahui , maka persamaan kurva fungsi F ( x ) dapat ditentukan sebagaiberikut :1. Tentukan y =  f (x)d xF ( x)C. Persamaan y = F ( x ) + C adalah persamaan himpunan kurva-kurva. Letak dari tiap kurva pada sistem koordinat kartesius berbeda- beda tergantung dari nilai C.2. Salah satu anggota himpunan kurva tersebut dapat ditentukan jika diketahui ada titik yang dilalui oleh kurva tersebut. Jika koordinat titik tersebut disubstitusikan pada persamaan y = F ( x ) + C , maka akan diperoleh nilai C.3. Substitusikan nilai C yang diperoleh pada persamaan y  F ( x)  C , sehingga diperoleh persamaan kurva yang dimaksud. 2 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 dy1 . Diketahui persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsi y adalah  2 x  10 . Jika dx kurva tersebut melalui titik ( −4 , 8 ), tentukan persamaan kurva tersebut ! d2 y2 . Turunan kedua dari fungsi y adalah  10 x  3 . Untuk x = 1 , gradien garis d x2 singgungnya sama dengan 5. Kurva tersebut melalui titik ( 6 , 12 ). Tentukan persamaan kurva fungsi tersebut ! dy1. Persamaan gradien garis singgung pada kurva fungsi y adalah  2 x  10 . dx  d y  ( 2 x  10 ) d x  y  ( 2 x  10 ) d x  y  x 2  10 x  C Melalui ( 4 , 8 ) , jadi y  x  10 x  C  8  (4) 2  10 (4)  C  C  32 2 Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah : y  x 2  10 x  322. Persamaan kurva fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut : dy dx   ( 10 x  3 ) d x  5 x 2  3 x  C Untuk x = 1 , gradien garis singgungnya sama dengan 5 , diperoleh : dy  5  5 .12  3.1  C  C  3 dx dy Jadi : dx   5 x 2  3 x  3 , sehingga d y  ( 5 x 2  3 x  3 ) d x  y  ( 5 x 2  3 x  3 ) d x 5 3 3 2  y x  x  3x  C . 3 2 5 3 Melalui titik ( 6 , 12 ) , sehingga :  12  . 6 3  . 6 2  3 . 6  C  C   336 3 2 5 3 Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah y  x 3  x 2  3 x  336 . 3 2 Tentukan persamaan kurva y = F ( x ) , jika diketahui : 1. y  8  2 x , kurva melalui titik ( 12 , 4 ) d y 1 1 2.  4  2 , kurva melalui titik ( , 1 ) dx x 2 d y 3.  x  4 , dan F ( 9 ) = 6 dx d y 4.  3 x 2  6 x  1 untuk x = 10 , nilai y = 3 . dx d2 y 5.  4 , untuk x = 2 gradien garis singgungnya sama dengan 1. Kurva melalui titik d x2 (7,5) 3 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 INTEGRAL TERTENTU bNotasi dari integral tertentu adalah :  f (x)d x . aNilai a dinamakan batas bawah integrasi , sedangkan nilai b dinamakan batas atas integrasi.C . TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRALJika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) , maka : b b  f ( x )d x  F( x)  F(b) F(a) a aD . TEOREMA INTEGRAL TERTENTU a 1. a f (x)d x 0 b a 2. a f (x)dx   b f (x)dx b b 3. a k.f (x)dx k  a f (x)d x , dengan k  R b b b 4.  [ f ( x)  g( x )] d x  a a f (x) dx   g( x ) a dx b c c 5. a f (x) d x   b f( x ) dx   a f (x) d xHitunglah nilai integral berikut : 6 9 4  x 11.  ( 2x 3) d x 2.  x (1 x ) d x 3.    dx x3  2 1 2 x 6  61.  ( 2x 3) d x  3x ( 6 2  3. 6 )  ( 2 2  3. 2 )  ( 36  18 )  ( 4  6 )  18  2  20 2 2 2 9 9 9 1 3 3 5 2 2 2 2 92.  x (1 x ) d x   ( x x x )dx   ( .x 2  x 2 ) d x  [ 3 x  x ] 5 1 1 1 1 3 5 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 486 2 2 1192 7  ( .9  .9 )( .1  .1 )  18        79 3 5 3 5 5 3 5 15 15 4  x  4 4 4  x 1   1 1   1 1   1 1   1 1 7   23.  3  dx   2  3  dx   x 3 dx    2             2  x  2 x x  2  x x   4 16   2 4  16 2 4 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 Hitunglah integral berikut : 10 81 6 dx 1.  6 12 d x 5.  16 4 x 9.  ( x  10 ) ( x  3 ) d x 3 6 4 20   (3x  7 ) d x  ( 6  x )( 5 x 1)d x 1 2. dx 6. 10. 2 x3 2 8 3 10 16   (6x  9 3. 2 dx 7. 2  4 x 1)d x 11. x (3x 8)d x 5 x 6 4 32 8 64 ( 12  x ) 4.  8.  (1 5 x ) 12.  2 5 x3 d x dx dx 3 1 3 8 x PENERAPAN INTEGRAL TERTENTUE . LUAS DAERAH1 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva y = f ( x ) dan Sumbu xLuas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbux , untuk daerah yang terletak di atas sumbu x , adalah f(x): b L   a f (x)dx x a b a bLuas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbu x ,untuk daerah yang terletak di bawah sumbu x , adalah : x a b L   f (x)dx f (x)dx b a f(x)Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh1 . garis x  2 y  4 , garis x = 5, garis x = 7, dan sumbu x !2 . kurva y  x 2  2 x  15 , garis x = 5 , dan garis x = 2 , dan sumbu x !3 . kurva y  6  x  x 2 , dan sumbu x4 . kurva y  x 2  3x  4 , sumbu y , dan garis x = 4 5 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 11 . Sketsa : Untuk menghitung luas daerah yang diarsir, y persamaan garis x  2 y  4 , diubah dahulu menjadi x4 x bentuk : y   y  2 2 2 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah : 4 x 7 5 7 x 7   x2  −2  L    2 dx    2 x  5   4  2  5  49   25     14     10   2 SL  4   4 2 . Sketsa daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  2 x  15 , sumbu x , garis x = 5 , dan garis x = 2 : y  x 2  2 x  15  ( x  5 ) ( x  2 ) Titik potong kurva dengan sumbu x adalah ( 5 , 0 ) dan ( 2 , 0 ). Luas daerah : −2 2 x 3 3 L  ( x 2  2 x  15 ) d x   (x  2 x  15 ) d x 2 −5 5 5 2 1 3 3 1 3  [ x  x 2  15 x ]  [ x 3  x 2  15 x ] 3 5 3 2 1 1  {[ (3) 3  (3) 2  15 (3) ]  [ (5) 3  (5) 2  15 (5) ]} 3 3 1 1  {[ (3) 3  (3) 2  15 (3) ]  [ 2 3  2 2  15. 2 ]} 3 3 1 1 1 8  {[ (27)  9  45 ]  [ (125)  25  75 ]}  {[ (27)  9  45 ]  [  4  30 ]} 3 3 3 3 125 8   9  9  45   25  75  9  9  45   4  30  77 SL 3 33 . Sketsa : Luas daerah yang diarsir : y 2  6  x  x  2  1 1  L 2 dx   6 x  x 2  x 3   2 3  3 3 x −3 2  8  9  7  12  2      18   27   SL  3  4  12 y4 . Luas daerah : 4   4 1 3  L x  3x  4 dx   x 3  x 2  4 x  2 0  3 2  0 x  64 48  1    16   0  61 SL 0 4  3 2  3 6 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva berikut : 1. y  6 , sumbu x , garis x = 2 dan garis x = 4 2. x  2 y  4 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 7 3. 3 x  4 y  12 sumbu x , garis x = 3 dan garis x = 6 4. y  x 2 sumbu x , dan garis x = 3 5. y  x 2  6 x  8 sumbu x dan sumbu y 6. y  6  x  x 2 dan sumbu x 7. x 2  y 2  16 , di kuadran pertama y x2 y2 8.   1 , di atas sumbu x 16 4 7 2 9. y  2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 4 x 10. y  x 3 sumbu x , dan garis x = 3 3 11. y  x 4  8 x 2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 3 12. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di x samping: −5 −2 12 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva x = f ( y ) dan Sumbu y y Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan sumbu y , untuk daerah b yang terletak di kanan sumbu y , adalah : b y L   f ( y)d y b a Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan sumbu y , untuk daerah yang terletak di kiri sumbu a y , adalah : a b L   f ( y)d y f ( y)d y a b a y 6Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3 x  y   3 ,sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 6 3 2 x y 3Diketahui : 3 x  y   3  x −1 3 7 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 2 6 1  y2  1  y2  2 6  y3   y3 L  d y  d y   3y    3y  3  3  3  3  3 2   3 3  2   3 1   22   32  1   6 2   32  5L  2  3 .2     2  3 . 3      3   2  3 .6     2  3 . 3    SL  3 3          Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut : 1. x  4 y  8 , sumbu x , sumbu y , garis y = 4 2. y 2   8 x , sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 1 x2 y2 3.   1 , sumbu x , sumbu y , dan garis y = 6 25 16 4. y  x 2 , sumbu y , garis y = 0 , garis y = 3 , di kuadran pertama.3 . Luas Daerah Yang Dibatasi Dua KurvaLuas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f ( x ) dan g ( x ) dengan f ( x ) ≥ g ( x ) , adalah : f(x) b L   [ f ( x) g ( x)]d x a Dengan a dan b adalah absis titik potong antara kedua kurva. g(x) x a b y 7Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  x  18 , dan y  6  x !Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  x  18 , dan y  6  x adalah : xAbsis titik potong : 7  ( x  6 )( x  4 )  0 4 x 2  x  18  6  x  x   6 atau x  4 7 x 2  2 x  24  0 4 4 4  x3  L  6 [( 6  x )  ( x 2  x  18 )] d x   6 ( 24  2 x  x 2 ) d x   24 x  x 2    3  6  43      24 . (6)  (6) 2  (6) 3    166 2 SL   24 . 4  4 2   3   3  3     8 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut : 1. y  x 2  10 x  10 dan y  3 x  20 2. y   x  5 x  3 dan 2 y 2x 7 3. y  x  6 x  9 dan y   x 2  4 x  3 2 4. y  2 x 2  4 x  12 dan y  x 2  8 x  20 5. y  x 2 dan y 2  x 6. y  x 2  4 x  5 dan y   x 2  4 x  1 7. y  x2  6 x  2 , y   x 2  2 x  12 , x = 1 , dan x = 4 8. y  x 2  7 x  13 dan y   x 2  x  3 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut : 9. 10. y  x3 y y yx x  2 y  1 2x  y 8 x 1 3 xF . VOLUME BENDA PUTAR1 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x f(x) Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva : y = f ( x ) , sumbu x , garis x = a dan x = b , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  , adalah : x b V   [ f ( y)] 2 dy a b a 9 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1Hitunglah volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurvay = x 2  2 x  24 , sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  !Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2  2 x  24 ,sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  , sama dengan :     4 2 4 V    x 2  2 x  24 d x    x 4  4 x 3  44 x 2  96 x  576 d x 1 1  x5 44 x 3  4   x4   48 x 2  576 x   5  3  1   4 5 44 . 4 3   (1 ) 5 44 . (1 ) 3     44   48 . 4 2  576 . 4     (1 ) 4   48 . (1 ) 2  576 . (1 )   5  3   5   3    1024 2816 1 44   1023 2860    256   768  2304   1   48  576       2416   5 3 5 3   5 3   3069  14300  36240   25009  4       1667  SV  15   15  15 Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  ! 1. 4 x  3 y  12 , sumbu x , garis x = 4 , dan x = 7 2. 8 x  5 y  40 , sumbu x , dan x = 1 3. y  x 2 , sumbu x , garis x = 1 , dan x = 3 4. y  x 2  4 , sumbu x . 5. y  x 2  8 x , sumbu x , garis x = 5 , dan x = 0 6. y  x 2  4 x  3 , sumbu x , garis x = 2 , dan x = 6 Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 ! 7. 8. y y x −7 x 3 4 7 y = 4x2 x2 y2  1 49 16 10 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 12 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva : x= f ( y ) , sumbu y , garis y = a dan y = b , diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360  , adalah : b V   [ f ( y)] 2 dy aHitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis x 2y6 ,sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360  !Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi olehgaris x  2 y  6 , sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar ymengelilingi sumbu y sejauh 360  , adalah : 6 x 2y6  x 2y6 2 x  2 6 6 V    2 y  6 d y   y2  6 y 6 2 −3      62  6 . 6  22  6. 2      72  16   56  SV Hitunglah volume benda putar yang terjadi , jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360  ! 1. y   4 x , sumbu y , garis y = 2 dan y = 3. 2. y  12 x , sumbu y , garis y = 0 dan y = 4. 3. y  x 2  6 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 3. x2 y2 4.   1 , sumbu y , garis y = 0 dan y = 1. 16 4 x2 y 2 5.   1 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 6. 25 16 11 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 TURUNAN FUNGSI KOMPOSISIF . DALIL RANTAIDiketahui fungsi y   f  g  x  , turunan fungsi tersebut dapat ditentukan denganmenggunakan dalil rantai yaitu : d y d f du   d x du d xdengan u  g  x Tentukan turunan dari fungsi f ( x)  sin 4 ( 8x 5  2 x ) !Misal : u  8x 5  2 x maka y  sin 4 u v  sin u maka y  v 4 , jadi :d y d y dv du     4 v 3 . cos u . ( 40 x 4  2 )  8 ( 20 x 4  1 ) . sin 3 u . cos ( 8 x 5  2 x )d x dv du d x 8 ( 20 x 4  1 ) . sin 3 ( 8 x 5  2 x ) . cos ( 8 x 5  2 x )  4 ( 20 x 4  1 ) . sin 2 ( 8 x 5  2 x ) . sin ( 16 x 5  4 x ) 1. Tentukan turunan dari fungsi berikut : a.  f ( x )  2 x5  3 7 b.  f ( x )  3 sin 2 6 x 3  2 x  c. f ( x )  cos 4 3x7  d. f ( x )  sin (2 x 6  1 ) . cos 2 4  x 2 3   e. f(x) 5 (4 x 3  1 ) 2  sin  x  1  2 2. Hitunglah nilai turunan dari fungsi berikut : a. f(x)4 x 2 2  3 , untuk x  16 2 b. f(x) sin 3 2 x , untuk x   3 12 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 TEKNIK PENGINTEGRALANF . INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSIBentuk umum integral dengan substitusi , adalah :  f ( u ).u d x  u  C x 2 dx1 . Tentukan hasil dari :  4 x3  9 42 . Hitunglah : x 1 2 x 2  1 d x  ..... 11. Misal : u  x 3  9  d u  3 x 2 d x  d u  x2 d x , jadi : 3 1 du 1 3 x 2 dx     3 1 1 4 4   u 4 d u  . .u 4  C  4 x3  9  C 4 x 9 3 4 u 3 3 3 9 42. x 1 2 x 2  1 d x  ..... CARA I : 1 Misal : u  2 x 2 1  d u  4 x d x  du xd x 4 2 x  1 3    1 1 1 2 2 1 3 x 2 x 2 1 d x  u. du  u2 du  . .u  C  2 1 C 4 4 4 3 6 4 2 x   2.4   2 .1  4 1  1  1   3 3 3 2 x 2 1 d x   1   1   1  2 2 2 Jadi : x   6  1 6 1 6    31 1  31  6 6 CARA II : 1 Misal : u  2 x 2 1  d u  4 x d x  du xd x 4 Perubahan batas : untuk x  1 maka u  2 . 12  1  1 untuk x  4 maka u  2 . 4 2  1  31 Jadi : 4 31 31 1  1 2 3  31  1  31 x   1 1 31 1 2 x 1 d x  2 u . du  u2 d u   . .u 2    u  3  31  4 4 4 3    1  6  6 6 1 1 1 1 13 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 Selesaikan integral-integral berikut :   2  3x  64   4x  7  dx 10 1. 7. 8  4 x  3x 2 dx  1 12. dx 3 4 x7  20 x dx   2x  8  dx 5  8 2. 3 8. 9 x6  4 3. 2 x dx  4 x 1 2 13.  6 x  1 dx   6 x  3  dx 4 2 9. 4 9  0 x dx 14. 6 x  1 dx 4.  10  8 x 4 x 2 10. x  1 dx 2 4  x  2  dx  1 5. x2  4 x  7 3 x2 11.  dx 6.  x2 x 3  2 dx 0 x3  2F . INTEGRAL TRIGONOMETRIRumus-rumus integral trigonometri : 1.  sin x dx   cos x  C 5.  cos a x  b dx  a sin a x  b  C 1 2.  cos x dx  sin x  C sin m1 x 6.  sin m x . cos x dx  m 1 C 3.  tan x dx  ln  sec x   C cos m1 x 7.  cos m x . sin x dx   C  sin a x  b dx   a cos a x  b  C 1 4. m 1 Selesaikan :  3 x  4 sin 2 x d x   sin 5 21. 4. x dx cos x 1 2.  1  sin x d x 5.  0 2 sin x dx 3 cos 2 x3.  sin 4x . cos 2x dx   3 x  4 sin 2 x  d x 1 61. 5  x  2 cos 2 x  C 2 cos x2.  1  sin x d x  ... Misal : u  1  sin x  d u  cos x d x , jadi : 14 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1 cos x du  1  sin x d x   u  ln u  C  ln ( 1  sin x )  C3.  sin 4x . cos 2x d x  ... 1 1 Ingat rumus : sin  . cos   sin (    )  sin (    ) 2 2 1 1 1 1 Maka : sin 4 x . cos 2 x  sin ( 4 x  2 x )  sin ( 4 x  2 x )  sin 6 x  sin 2 x 2 2 2 2  1    1 1 1 Jadi : sin 4 x . cos 2 x d x   sin 6 x  sin 2 x  d x   cos 6 x  cos 2 x  C  2 2  12 44.  sin x d x  ... 2 1  cos 2  1 1 Ingat rumus : cos 2  .  1  2 sin 2   sin 2     cos 2 2 2 2  1 1   sin  1 1 2 x d x    cos 2 x  d x  x  sin 4 x  C  2 2  2 4 1  sin x5. 0 2 3 cos 2 x d x  ... 1  1 1   2 sin x 2  2  1 2  0 3 cos 2 x dx   0 cos 3 x . sin x d x      3 cos 3 x   0  0 3  3 Selesaikan integral berikut :  sin x .  1  cos x  d x 3 9. 2  4   x  cos x  d x  1  cos  4   2 x  d x  3 1.   15.   10.  3 cos 8 x . cos 4 x d x 0   2.  cos 3 x d x 11.  cos x  1cos x 1d x   cos 2 16. x dx 3.  sin  4 x 1  d x 12.  x sin  5 x 1  d x 3 4 1  3 4.  cos  10  5 x  d x 1   1  sin x  d x cos x  13.  cos  3  sin x . cos x d x 3 5. 5 17. 2 x  sin 2 x d x 1 0   6 cos 2 x . sin 2 x d x 5 6. 2  sin 2 14. x . cos x d x 2 cos x 7.  sin x d x 5 1 6   sin x d x 3 8. 18. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  sin 2 x , sumbu x , garis x  0 , dan x   19. Hitunglah luasdaerah yang dibatasi oleh kurva y  sin x , y  cos x , garis x  0 1 dan x   4 20. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  cos x , 1 3 sumbu x , garis x   dan x   , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  ! 2 2 15 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1F . INTEGRAL PARSIALRumus integral parsial :  u d v  u .v   v d uSelesaikan : x x 1 d x x 21. 2. cos x d x1. x x  1 d x  ... Misal : ux  dud x 1 3   x 1   x  1 2 2 d v  x 1 d x  v  x 1 d x  2 dx C 3 3 3 Jadi : x x 1 d x  x . 2  x 1 2   2  x 1 2 . dx 3 3 u v v du 5 x  x 1  .  x 1 2  C 2 2 2  x 1  3 3 5 x  x 1   x  1 2 x  1  C 2 4  x 1  3 152. x cos x d x  ... 2 CARA I : Misal : u  x2  du  2xd x  d v  cos x d x  v  cos x d x  sin x  C Jadi : x cos x d x  sin x   2 x2 . sin x . 2 x d x u v v du   x 2 sin x  2 x sin x d x  x sin x d x  ... Misal : ux  du d x  d v  sin x d x  v  sin x d x   cos x  C Jadi :  x sin x dx  x .   cos x     cos x dx u v v du 16 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com
    • Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1   x cos x   cos x d x   x cos x  sin x  C Kesimpulan : x cos x d x  .x 2 sin x  2 (  x cos x  sin x )  C 2  .x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C CARA II : x 2 cos x d x  x 2 d  sin x    x 2 sin x  sin x d x 2    x 2 sin x   2 x sin x d x  x 2 sin x  2 x d   cos x     x 2 sin x  2  x cos x   cos x d x   x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C Selesaikan integral berikut :  x 1 x  d x 16 1. 2 2  x 4. dx x 1  x 1 d x x 4 2. 1 3  4  x sin 2 x d x 5.  sin 2 3. 2 x dx 0 17 | halhttp://berbagimedia.wordpress.com