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Artigo GravitaçãO Emedio Asignificativa

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  • 1. Revista Brasileira de Ensino de F´sica, v. 26, n. 3, p. 257 - 271, (2004) ı www.sbfisica.org.br Hist´ ria da F´sica e Ciˆ ncias Afins o ı e ¸˜ A Gravitacao Universal (Um texto para o Ensino M´ dio) e (The Universal Gravity (A text for highschool students)) Penha Maria Cardoso Dias1 , Wilma Machado Soares Santos e Mariana Thom´ Marques de Souza e Instituto de F´sica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, RJ, Brasil ı Recebido em 10/05/04; Aceito em 12/08/04 Neste trabalho, propomos uma forma alternativa para apresentar o conceito de Gravitac ao Universal ao ¸˜ aluno do Ensino M´ dio. A Hist´ ria da F´sica — por apresentar os problemas que levaram a formulacao de um e o ı ` ¸˜ dado conceito — mostra os elementos que d˜ o significado ao conceito. Por isso, acreditamos que ela possa a ser integrada ao processo de ensino-aprendizagem, tendo papel fundamental na inclus˜ o dos novos conceitos a a estrutura cognitiva, funcionando como os organizadores pr´ vios da teoria da Aprendizagem Significativa, de ` e David Ausubel. O m´ todo e ilustrado por uma aplicacao a alunos do Col´ gio de Aplicacao da Unigranrio, escola e ´ ¸˜ e ¸˜ da rede privada, no Rio de Janeiro. Palavras-chave: Hist´ ria da F´sica, aprendizagem significativa. o ı In this paper, we propose an alternative way to introduce the concept of Universal Gravity to high school students. The History of Physics discloses the elements that give meaning to a concept, in so far as it presents the problems that led to the formulation of the concept. Therefore we believe that it can be brought into the process of teaching and learning, performing a fundamental role in the assimilation of new concepts to the cognitive structure; this role can be understood in the context of David Ausubel’s theory of Meaningful Learning. The method is illustrated by its application to students in Col´ gio de Aplicacao da Unigranrio, a private school in e ¸˜ Rio de Janeiro. Keywords: History of Physics, meaningful learning. ¸˜ 1. Introducao ´ E, justamente, nessa qualidade que acreditamos jazer seu potencial para o aprendizado de ciˆ ncia [2]. Mas, e A Hist´ ria da F´sica e, sem d´ vida, um excelente auxi- o ı ´ u se assim, a Hist´ ria s´ e valiosa ao entendimento da o o ´ liar no ensino de F´sica. Entretanto, se existe algum ı ciˆ ncia, na medida em que enfatize aquelas qualidades. e consenso nessa afirmativa, esse consenso desaparece, Do ponto de vista de teorias do aprendizado, foi pro- quando se pergunta sobre os atributos da Hist´ ria que a o posto por duas de n´ s que a Hist´ ria da F´sica pode o o ı tornam “excelente auxiliar”. Em um trabalho anterior, servir como um organizador pr´ vio ([1], [3]). e comentamos que [1, p. 490]: Organizador pr´ vio e um conceito da Teoria e ´ A Hist´ ria da F´sica apresenta os problemas que o ı da Aprendizagem Significativa, de David Ausubel ([4], levaram a formulacao de um particular conceito; ela ` ¸˜ [5], [6]). Nessa teoria, um conhecimento torna-se revela os ingredientes, l´ gicos ou emp´ricos, que o ı significativo por uma interac ao com alguns conheci- ¸˜ foram realmente importantes nesse processo [de mentos pr´ vios relevantes, que existem na mente do e criacao intelectual]. Portanto, a Hist´ ria da F´sica ¸˜ o ı aprendiz. Nesse processo, h´ conceitos — chamados a clarifica conceitos, revelando-lhes o significado. subsunc ores — relevantes aos novos conceitos a serem ¸ 1 Enviar correspondˆ ncia para P.M.C. Dias. E-mail: penha@if.ufrj.br. e Copyright by the Sociedade Brasileira de F´sica. Printed in Brazil. ı
  • 2. 258 Dias et al. aprendidos e que os modificam e podem ser por eles 3. Uma aula com base no texto e ministrada, antes ´ modificados. A “ponte” entre esses e o novo conheci- que a aula te´ rica de F´sica, nos moldes tradi- o ı mento e feita por algum outro conjunto de conceitos — ´ cionais, seja ministrada. chamados organizadores pr´ vios ([4], [5]). e Pode-se considerar que a avaliac ao de que a apren- ¸˜ Neste artigo, apresentamos um material instru- dizagem de um dado tema tenha sido significativa cional — a Hist´ ria da Gravitacao Universal — para o ¸˜ possa ser feita pelo uso, ao longo de uma vida, que o alunos do Ensino M´ dio. O material e um desenvolvi- e ´ indiv´duo faz do conhecimento adquirido. Entretanto, ı mento da id´ ia proposta em [11] e est´ na secao 2. e a ¸˜ n˜ o h´ , infelizmente, “receita de bolo” nem para se a a O m´ todo de ensino foi aplicado a alunos da rede e identificar conhecimentos pr´ vios nem para produzir e particular do Rio de Janeiro, mas os resultados obtidos alguma evidˆ ncia de que um aprendizado tenha sido e s˜ o, ainda, preliminares. Mesmo assim, a secao 3 foi a ¸˜ significativo. Um modo de se descobrir conhecimen- inclu´da como ilustrac ao do m´ todo; as respostas antes ı ¸˜ e tos pr´ vios e por meio de avaliac ao das respostas dos e ´ ¸˜ da aplicacao do m´ todo forneceriam sugest˜ es para a ¸˜ e o aprendizes a um question´ rio [7]. a preparac ao do material instrucional. ¸˜ Duas de n´ s (W.M.S.S. e P.M.C.D.) tˆ m pro- o e ` ¸˜ 2. Da queda dos corpos a Gravitacao posto uma sistem´ tica de elaborac ao de material a ¸˜ did´ tico sobre F´sica para o Ensino M´ dio ([1], [3]): a ı e Universal 1. Um question´ rio e aplicado em sala de aula, a ´ 2.1. Arist´ teles o antes que um tema espec´fico de F´sica seja ı ı 2.1.1. O movimento [12] lecionado. As respostas dadas pelos aprendizes indicariam conceitos subsunc ores e como est˜ o ¸ a Pensadores helˆ nicos colocaram o problema de ex- e sendo utilizados, mesmo se misturados a crencas ¸ plicar a Natureza. O problema era buscar “o porquˆ ” e ou ficcao. Para inspirar a elaborac ao do ques- ¸˜ ¸˜ das transformac oes ou “movimentos”, que s˜ o obser- ¸˜ a tion´ rio, procura-se satisfazer a duas condic oes: a ¸˜ vados; entre essas transformac oes, est´ o chamado ¸˜ a movimento local ou deslocamento. (a) As quest˜ es devem tentar seguir os o Na tradicao herdada por Arist´ teles, havia qua- ¸˜ o Parˆ metros a Curriculares Nacionais tro elementos b´ sicos — terra, agua, ar e fogo; a a ´ (PCNs) [8], que recomendam que o Ensino cada um estavam associadas duas de quatro qualidades M´ dio deva contemplar a interdisciplinari- e prim´ rias fundamentais: quente ou frio, umido ou seco. a ´ dade e o cotidiano do aprendiz. Em uma corrente filos´ fica mais antiga, o mundo o seria explicado por um elemento b´ sico e suas quali- a (b) As quest˜ es devem ser baseadas em o dades. Arist´ teles aderiu a uma corrente filos´ fica pos- o o quest˜ es de livros did´ ticos consagrados, o a terior: As propriedades de um corpo seriam parte de usados no Ensino M´ dio, como o de Bea- e sua “essˆ ncia” ou “forma”. A cada um dos elementos e triz Alvarenga e Antˆ nio M´ ximo [9] e o o a acima mencionados corresponderia um lugar natural e de Alberto Gaspar [10]. um movimento natural: Aos corpos pesados, o centro do Universo; a agua, ao ar e ao fogo, respectivamente, ` ´ 2. Busca-se, na Hist´ ria da F´sica, o “como” e o o ı esferas concˆ ntricas com a Terra, com raios crescentes e “porquˆ ” um dado tema e seus conceitos perti- e nessa ordem. Um corpo s´ poderia se mover, quando o nentes foram propostos: Esse tipo de Hist´ ria o se encontrasse fora de seu lugar natural; portanto, a da F´sica mostra o quˆ e preciso saber para fun- ı e´ corpos pesados corresponderia um movimento natu- damentar um tema e seus conceitos. A enfase ˆ ral em linha reta para baixo, em direcao ao centro do ¸˜ em problemas, no modo como foram colocados Universo; os corpos leves (fogo) movimentar-se-iam e como vieram a ser solucionados e o diferencial ´ em linha reta para cima, em direcao a sua esfera; a ¸˜ ` que torna a Hist´ ria adequada como organizador o agua, quando na terra, movimentar-se-ia para cima e, ´ pr´ vio potencial. e quando no ar, para baixo; o ar, quando na terra ou Um texto de Hist´ ria e preparado, no qual con- o ´ na agua, movimentar-se-ia para cima, mas, quando no ´ ceitos subsunc ores dos aprendizes d˜ o seq¨ encia ¸ a uˆ fogo, para baixo. Quando se encontram em seu lugar a formacao do conceito correto. ` ¸˜ natural, os corpos n˜ o se movem. a
  • 3. A Gravitacao Universal ¸˜ 259 2.1.2. Corpos celestes pressaram as id´ ias de Arist´ teles assim: e o Os corpos celestes foram tratados diferentemente. W v= , A eles foi atribu´do um movimento circular uniforme. ı R Isso tem bases observacionais: Os astros nascem a onde v e a “velocidade” de queda; W , o “peso”; R, ´ leste e se p˜ em a oeste, parecendo percorrer um arco o a “resistˆ ncia”. Esses termos n˜ o podem ser enten- e a de c´rculo, no c´ u. Por´ m, dentro do esquema con- ı e e didos em seu sentido moderno: “Velocidade” e mais ´ ceitual, e preciso postular um novo tipo de mat´ ria, a ´ e ` bem entendida como simples celeridade ou rapidez, qual corresponderia um movimento circular uniforme sem indicar “espac o percorrido em um tempo”; “peso” ¸ — o eter. O eter tinha as caracter´sticas de incorrupti- ´ ´ ı designa a simples “tendˆ ncia natural” de queda, que e bilidade e imutabilidade. Isso pode ser entendido de difere, segundo Arist´ teles, de corpo a corpo; “re- o ´ v´ rios modos. E suficiente pensar que o movimento a sistˆ ncia” e um conceito suficientemente vago para in- e ´ circular possui uma simetria: Uma esfera e sempre´ cluir, em termos modernos, tanto uma resistˆ ncia do e igual a ela mesma, quando e girada em torno de seu ´ meio, quanto a in´ rcia dos corpos. e eixo. Os gregos associaram a imutabilidade a id´ ia de ` e Uma outra quest˜ o complicada para Arist´ teles foi a o perfeicao: Aos objetos celestes perfeitos corresponde o ¸˜ o car´ ter n˜ o-inercial de sua descric ao do movimento: a a ¸˜ movimento perfeito. Al´ m disso, os astros j´ se encon- e a Um corpo que se move e empurrado ou puxado por ´ tram em seu lugar natural e, como, ent˜ o, n˜ o haveria a a “algo”; esse “algo” estaria sempre em contato com o necessidade de movimento, a solucao foi entender que ¸˜ corpo (n˜ o existiria acao a distˆ ncia), mas n˜ o e parte a ¸˜ a a ´ os astros se movem “por amor a perfeic ao”. ` ¸˜ da natureza do corpo. O problema e, ent˜ o, identificar ´ a O Universo foi, correspondentemente, dividido em esse “algo”. Arist´ teles atribuiu ao meio — o ar — o sublunar e supra-lunar: Aquele e corrupt´vel, mut´ vel ´ ı a a capacidade de empurrar o corpo; o movimento n˜ o a e imperfeito; esse, incorrupt´vel, imut´ vel e perfeito. ı a natural ou violento e, ent˜ o, explicado: No caso de ´ a uma pedra lancada (proj´ til), o movimento inicial se- ¸ e ria proveniente de quem a atirou; esse movimento se- ria transmitido a camada de ar subjacente, que, ent˜ o, ` a empurraria a pedra e transmitiria movimento a camada ` seguinte e, assim, sucessivamente. 2.1.4. O v´ cuo a O Universo de Arist´ teles n˜ o apresenta espacos o a ¸ vazios, pois ele supunha que o v´ cuo n˜ o existisse. A a a raz˜ o para isso e que era dif´cil para os gregos entender a ´ ı o “nada”, pois o que pode existir e a mat´ ria e o v´ cuo ´ e a e, de certo modo, uma esp´ cie de “nada”. ´ e Uma consequˆ ncia interessante segue-se da e f´ rmula acima: Como a resistˆ ncia no espaco vazio o e ¸ e zero, a velocidade de qualquer corpo no v´ cuo se- ´ a ria infinita e um corpo cairia instantaneamente, em Figura 1 - Universo Aristot´ lico. A Terra est´ no centro do Uni- e a verso. Os planetas giram em torno dela, na seguinte ordem: Lua, contradic ao com o fato de que corpos mais pesados ¸˜ Merc´ rio, Vˆ nus, Sol, Marte, J´ piter e Saturno. A ultima esfera e u e u ´ ´ caem mais rapidamente. A f´ rmula parece levar a um o a das estrelas. absurdo, a menos que se negue a existˆ ncia do v´ cuo, e a em cujo caso o racioc´nio n˜ o se aplicaria. ı a ´ E importante mencionar outro argumento de ¸˜ 2.1.3. Descric ao do movimento Arist´ teles contra o v´ cuo. No v´ cuo, n˜ o h´ lu- o a a a a Arist´ teles entendeu que corpos mais pesados o gar natural, pois cada regi˜ o seria igual a qualquer a caem mais rapidamente que corpos mais leves. Ele outra regi˜ o (dir´amos que o v´ cuo e homogˆ neo e a ı a ´ e nunca escreveu uma f´ rmula, nem poderia, pois o o isotr´ pico). Assim, n˜ o existiria raz˜ o para que um o a a mundo sublunar n˜ o era matematizado, somente o a corpo, uma vez em movimento, parasse em um lugar movimento dos astros. Entretanto, historiadores ex- em vez de em outro, pois o que faz o corpo mover e ´
  • 4. 260 Dias et al. sua “ida” para seu lugar natural. O movimento seria, no tempo e a conceitualizac ao de velocidade ins- ¸˜ ent˜ o, eterno (como o movimento inercial), o que n˜ o a a tantˆ nea. a e poss´vel em um Universo fechado e finito, como o de ´ ı 3. A definicao de acelerac ao como variacao de ve- ¸˜ ¸˜ ¸˜ Arist´ teles. o locidade no tempo. 2.2. Galileu Galilei 4. A considerac ao de movimentos uniformes ¸˜ e movimentos uniformemente acelerados. 2.2.1. Antecedentes medievais Tracaram os gr´ ficos v × t desses movimen- ¸ a tos e entenderam que as distancias percorridas ˆ Uma modificacao profunda do entendimento do ¸˜ nesses movimentos s˜ o dadas, respectivamente, a movimento foi feita no s´ culo XIV, em Oxford, na e pelas areas do retˆ ngulo e do triˆ ngulo, forma- ´ a a Inglaterra. William of Ockham, um te´ logo e frade o dos pelo conjunto das ordenadas (velocidade). franciscano, definiu o movimento com conceitos bem diferentes dos aristot´ licos. Ele enuncia um princ´pio e ı 5. A formulacao e demonstrac ao do Teorema da Ve- ¸˜ ¸˜ epistemol´ gico, que ficou conhecido como Navalha de o locidade M´ dia. e Ockham, que significa algo como (apud [12], p. 537) O problema colocado pelos Mertonianos foi o de “[. . . ] e f´ til usar mais entidades [para explicar alguma ´ u como qualidades podem ser somadas ou subtra´das: ı coisa], se for poss´vel usar menos [. . . ]”. Por exem- ı Por exemplo, Santa Clara e Madre Tereza de Calcut´ , a plo, se for poss´vel entender “movimento”, sem pos- ı trabalhando juntas, formariam uma santidade maior? tular “entidades” (conceituais) — tais como lugar na- Para tratar esse problema, os Mertonianos atribu´ram a ı tural, corpo pesado, corpo leve ou, ainda, como pen- uma qualidade uma intensidade e uma extens ao: A in- ˜ sava Arist´ teles, um “algo” para empurrar o corpo de o tensidade e medida por graus; saber como uma quali- ´ modo que ele se mantenha em movimento — ent˜ o e a ´ dade varia consiste, agora, em saber como o grau desnecess´ rio usar tais “entidades” para definir “movi- a de sua intensidade varia ao longo de uma linha ar- mento”. E, de fato, segundo Ockham, “movimento” bitr´ ria e imagin´ ria, chamada extens ao. Uma felici- a a ˜ pode ser concebido como o mero deslocamento do dade na Hist´ ria da F´sica foi terem concebido o movi- o ı corpo (no tempo), o que torna “f´ til” o uso de outras u mento como uma qualidade: O grau e a velocidade ins- ´ “entidades” ([12], p. 537): tantˆ nea e a extens˜ o, o tempo, embora se saiba que, a a durante muitos anos, Galileu usou a dist ancia ao inv´ s ˆ e [. . . ] e claro que movimento local e para ser con- ´ ´ do tempo [13]. cebido como se segue: Afirmando que o corpo est´ a Galileu usou as id´ ias Mertonianas de maneira e em um lugar, depois em outro lugar, assim proce- original. Ele deu ao Teorema da Velocidade M´ dia uma e dendo sem qualquer repouso ou qualquer coisa aplicac ao que jamais seria concebida no s´ culo XIV: ¸˜ e intermedi´ ria, al´ m do pr´ prio corpo, n´ s temos a e o o Ele o usou para resolver o problema da queda dos cor- movimento local, verdadeiramente. Portanto, e f´ til ´ u pos [13]. postular outras tais coisas. As id´ ias de Ockham influenciaram seus contem- e 2.2.2. O teorema da velocidade m´ dia e a queda dos e porˆ neos, em Oxford. Um grupo de pensadores, per- a corpos tencentes ao Col´ gio de Merton, inventaram o que e O teorema diz que a distˆ ncia percorrida em a se chama, hoje, Cinem´ tica. Embora n˜ o tivessem a a um movimento uniformemente acelerado e igual a ´ ` as categorias matem´ ticas para desenvolver um trata- a distˆ ncia que seria percorrida no movimento uniforme a mento matem´ tico anal´tico, puderam utilizar Geome- a ı feito com a velocidade m´ dia. e tria. Importantes contribuic oes foram [13]: ¸˜ 1. Uma clara distinc ao entre descric ao do movi- ¸˜ ¸˜ mento e causa do movimento. Obviamente, isso decorre da definicao de movimento dada por ¸˜ Ockham. Figura 2 - Teorema da Velocidade M´ dia. A area do triˆ ngulo e ´ a 2. A definicao de velocidade (no sentido de “rapi- ¸˜ AEM e igual a area do triˆ ngulo M DC, de modo que o triˆ ngulo ´ `´ a a dez” ou de “vagarosidade”) como deslocamento ABC e o retˆ ngulo BCDE tˆ m a mesma area. a e ´
  • 5. A Gravitacao Universal ¸˜ 261 Galileu usou esse teorema para provar que, se um [. . . ] corpo se move com movimento uniformemente ace- Salviati: [. . . ]. Durante quanto tempo vocˆ acha e lerado, as distˆ ncias, s1 e s2 , percorridas, respectiva- a que a bola permanecer´ rolando e com qual veloci- a mente, em tempos t1 e t2 obedecem a seguinte relacao ` ¸˜ dade? Lembre-se que eu disse que era uma bola [12]: perfeitamente esf´ rica e uma superf´cie altamente e ı polida, de modo a remover todos os impedimentos s1 t1 2 acidentais e externos. Da mesma forma, eu quero = ; s2 t2 que vocˆ despreze, tamb´ m, qualquer impedimento e e do ar, causado por sua resistˆ ncia a separacao, e e ` ¸˜ em notacao moderna: s = 1 gt2 . Ele tamb´ m demons- ¸˜ 2 e todos os outros obst´ culos acidentais, se existir al- a trou o corol´ rio a gum. 2 s1 v1 Simpl´cio: Eu o compreendi perfeitamente e lhe re- ı = ; spondo que a bola continuaria a mover indefinida- s2 v2 mente, t˜ o longe quanto a inclinacao da superf´cie a ¸˜ ı em notacao moderna: v 2 = 2gs. ¸˜ se estendesse e com um movimento continuamente acelerado. Pois tal e a natureza dos corpos pesa- ´ dos [. . . ]; e, quanto maior a rampa, maior seria sua velocidade. Salviati: E se algu´ m quisesse que a bola se e movesse para cima, nessa mesma superf´cie, vocˆ ı e acha que a bola [poderia] ir? Simpl´cio: N˜ o espontaneamente; n˜ o. Mas arras- ı a a tada ou atirada forcadamente, ela iria. ¸ Salviati: E se a bola fosse arremessada com um Figura 3 - Demonstracao da Lei da Queda “ ” ¸˜ “ ” dos Corpos. Pelo Teo- ´mpeto forcadamente impresso nela, qual seria seu ı ¸ rema da Velocidade M´ dia: s2 = v1 × t1 ; por definicao de e s1 v2 t2 ¸˜ movimento e qu˜ o r´ pido [seria ele]? a a “ ”2 v1 t1 s1 t1 movimento uniformente acelerado: v2 = t2 ; logo: s2 = t2 . Simpl´cio: O movimento iria constantemente ı “ ”2 diminuir e seria retardado, sendo contr´ rio a na- a ` Segue-se um corol´ rio: s1 = v1 . a s2 v2 tureza, e teria uma duracao maior ou menor, de ¸˜ acordo com um maior ou menor impulso e menor ou maior aclive. ı e ¸˜ 2.2.3. O princ´pio da in´ rcia e a gravitac ao Salviati: Muito bem; at´ aqui vocˆ me explicou o e e Galileu formulou o Princ´pio da In´ rcia no con- ı e movimento sobre dois planos diferentes. Em um texto de uma discuss˜ o sobre a origem da queda dos a declive, o corpo pesado desce espontaneamente e corpos, em seu livro Di´ logo sobre os Dois Sistemas do a continua acelerando e mantˆ -lo em repouso requer e o uso de forca. No aclive, uma forca e necess´ ria ¸ ¸ ´ a Mundo: O Ptolomaico e o Copernicano. Nesse livro, para arremess´ -lo e at´ para mantˆ -lo parado e o a e e as discuss˜ es acontecem entre trˆ s personagens: Um, o e movimento impresso diminui continuamente at´ ser e que representa Galileu (Salviati); outro, que representa inteiramente aniquilado. Vocˆ diz, tamb´ m, que e e o pensamento comum arraigado (Simpl´cio); o ultimo, ı ´ uma diferenca nos dois casos se origina na maior ¸ ou menor inclinacao do plano, de forma que, em ¸˜ o leigo inteligente (Sagredo) que, e claro, vai ser con- ´ um declive, uma velocidade maior se segue de uma vencido por Salviati. O di´ logo e o seguinte [14, p. a ´ maior inclinacao, enquanto que, ao contr´ rio, em ¸˜ a 144-148]: um aclive, um dado corpo em movimento, arremes- sado com uma forca dada, move-se mais longe, de ¸ Salviati: [. . . ] Agora me diga: Suponha que vocˆe acordo com uma menor inclinacao. ¸˜ tenha uma superf´cie plana, lisa, feita de um mate- ı rial como o aco. Ela n˜ o est´ paralela com o solo ¸ a a Agora, diga-me o que aconteceria, se o mesmo e, em cima dela, vocˆ coloca uma bola perfeita- e corpo em movimento fosse colocado numa su- mente esf´ rica e feita de um material pesado, como e perf´cie sem aclive ou declive [plana]. ı o bronze. O que vocˆ acredita que ir´ acontecer, e a Simpl´cio: [. . . ]. N˜ o havendo declive, n˜ o have- ı a a quando a bola for solta? Vocˆ n˜ o acredita, como e a ria tendˆ ncia natural ao movimento; n˜ o havendo e a eu, que ela permanecer´ parada? a aclive, n˜ o haveria resistˆ ncia a ser movido. As- a e Simpl´cio: A superf´cie est´ inclinada? ı ı a sim, haveria uma indiferenca quanto a propens˜ o e ¸ ` a Salviati: Sim, isso foi assumido. a resistˆ ncia ao movimento. Parece-me que a bola ` e deveria permanecer naturalmente est´ vel. [. . . ]. a Simpl´cio: N˜ o acredito que ela permanecer´ ı a a parada; pelo contr´ rio, tenho certeza de que ela ir´ a a Salviati: [. . . ]. Acho que isso e o que aconteceria, ´ espontaneamente rolar para baixo. se a bola fosse colocada firmemente. Mas o que
  • 6. 262 Dias et al. aconteceria, se fosse dado a esfera um impulso, em ` Simpl´cio: Muitas delas; tal seria a superf´cie de ı ı qualquer direcao? ¸˜ nosso globo terrestre, se ele fosse liso e n˜ o ondu- a Simpl´cio: Deve ser conclu´do que ela se moveria ı ı lado e montanhoso, como e. [. . . ]. ´ naquela direcao. ¸˜ Salviati: Mas com que tipo de movimento? Um O erro de Galileu parece ter origem na limitacao do ¸˜ continuamente acelerado, como no declive, ou um sistema f´sico que considera (queda livre) e do aparato ı continuamente retardado, como no aclive? conceitual de que disp˜ e: A origem da Gravitac ao, o ¸˜ Simpl´cio: N˜ o havendo aclive ou declive, n˜ o ı a a para ele, e a maior ou menor proximidade do centro ´ posso ver uma causa para desaceleracao ou ¸˜ da Terra, como explicitado no di´ logo; nesse contexto, a aceleracao. ¸˜ sua conclus˜ o e inevit´ vel, pois, de fato, uma superf´cie a ´ a ı Salviati: Exatamente. Mas, se n˜ o existe causa a que n˜ o se aproxime e nem se afaste do centro s´ pode a o para a retardacao da bola, deve haver ainda menos ¸˜ [causa] para que venha ao repouso; assim, at´ onde e ser uma esfera (no caso, a Terra). Acontece que, para se vocˆ sup˜ e que a bola se moveria? e o andar sobre uma esfera, por exemplo, ao longo, de um Simpl´cio: T˜ o longe quanto a extens˜ o da su- ı a a grande c´rculo, a pessoa faz curvas, o que exige uma ı perf´cie continuasse sem se levantar ou abaixar. ı acelerac ao centr´peta e o movimento nessa superf´cie ¸˜ ı ı Salviati: Ent˜ o, se tal espaco fosse ilimitado, o a ¸ n˜ o seria inercial. a movimento nele seria, da mesma forma, ilimitado? Isto e, perp´ tuo? ´ e 2.2.4. O movimento da Terra, o princ´pio da in´ rcia ı e Simpl´cio: Assim parece-me [. . . ]. ı ¸˜ e a Gravitac ao Tendo feito a opini˜ o comum concordar com a exis- a Um dos argumentos usados desde a Antig¨ idade u tˆ ncia de um movimento (que chamamos de) inercial, e contra a possibilidade de se atribuir um movimento Galileu pergunta a causa do comportamento de corpos de rotacao a Terra era que uma flecha atirada verti- ¸˜ ` em uma superf´cie inclinada [14, p. 148]: ı calmente para cima nunca poderia cair, de volta, no mesmo lugar, se a Terra movesse: Enquanto a flecha Salviati: Agora, diga-me, o que vocˆ considera ser e est´ em vˆ o, a Terra se move de oeste para leste, de a o a causa da bola se mover espontaneamente, quando em declive, e somente forcadamente, quando em ¸ forma que a flecha cai de volta em um ponto mais a aclive? oeste da pessoa que a atirou. Simpl´cio: Que a tendˆ ncia dos corpos pesados e ı e ´ Para derrubar o argumento, alguns pensadores de se mover para o centro da Terra e de se mover imaginaram que, em seu movimento para leste, a Terra para cima, a partir de sua circunferˆ ncia, somente e arrastasse o ar e tudo que nele estivesse, como p´ ssaros a [forcadamente]; ora, a superf´cie em declive e a ¸ ı ´ e a flecha do exemplo; assim, embora a Terra se que se aproxima do centro [da Terra], enquanto que movesse, a flecha, por ser arrastada pela Terra, pode- aquela em aclive se afasta para longe [do centro da ria cair no mesmo lugar [12]. Terra]. Por´ m, essa resposta e dif´cil de ser sustentada no e ´ ı caso, por exemplo, em que em vez de flechas se tivesse Embora, nessa passagem, Galileu associe “gravidade” uma bala de canh˜ o. Assim, a descoberta do canh˜ o a a com uma maior ou menor proximidade com o centro permitiu um argumento mais forte contra o movimento da Terra, ele foi suficientemente inteligente para notar, da Terra: Se a Terra se move de oeste para leste, o al- em uma outra passagem [14, p. 234], que “gravidade” cance do tiro para oeste seria maior do que o alcance do e o nome de algo, cuja natureza ele n˜ o conhece . ´ a tiro para o leste. De fato, diz o argumento, enquanto a Posto isso, Galileu apresenta um exemplo do que Terra move para leste, a bala move para oeste, de modo seria a superf´cie inercial. Existe uma ironia na ı que o alcance seria o que a Terra moveu acrescido do situacao, pois o exemplo e o de uma superf´cie, na ¸˜ ´ ı que a bala moveu; no caso do tiro para leste, seria o que qual um movimento inercial seria imposs´vel; no en- ı a Terra moveu diminu´do do que a bala moveu. Se a ı tanto, erros de grandes homens s˜ o grandes erros [14, a Terra est´ em repouso, os alcances s˜ o iguais. Como o a a p. 147]: observado e a igualdade dos alcances, conclui-se que a ´ Terra e im´ vel [14]. ´ o Salviati: Ent˜ o para que uma superf´cie n˜ o esteja a ı a nem em aclive e nem em declive, todas as suas O Princ´pio da In´ rcia foi utilizado por Galileu ı e partes devem ser igualmente distantes do centro. para justificar a possibilidade da Terra estar em movi- Existe tal superf´cie no mundo? ı mento. A resposta de Galileu e que o movimento co- ´
  • 7. A Gravitacao Universal ¸˜ 263 mum a Terra e a tudo que nela se encontra n˜ o desa- ` a 6, ora indo em um sentido, ora voltando para tr´ s e se a parece (pelo Princ´pio da In´ rcia); assim, a bala de ı e aproximando da Terra. canh˜ o e a flecha do primeiro exemplo, durante seus a A outra anomalia era mais dif´cil de ser tratada. ı vˆ os, continuam a compartilhar com a Terra a veloci- o Por´ m, e f´ cil entender (Fig. 4) que a introduc ao de e ´ a ¸˜ dade que compartilhavam antes de serem lancadas. O ¸ uma excentricidade — isto e, deslocando o centro do ´ resultado e que uma pessoa sobre a Terra s´ pode ob- ´ o deferente do centro da Terra para um ponto D — per- servar o movimento que a bala tem e que a Terra n˜ o a mite considerar um movimento que seja n˜ o uniforme a tem, isto e, o movimento da bala relativo a Terra. Um ´ ` do ponto de vista da Terra, embora uniforme, do ponto modo curioso de ler esse argumento e que Galileu colo- ´ de vista do centro do deferente. cou a Lei da In´ rcia no lugar do ar que, ao ser arrastado e pela Terra, arrastaria, com ele, tudo o que nele se en- contrasse, como queriam os antigos. Um outro argumento contra o movimento da Terra era que, se ela girasse em torno de seu eixo, tudo o que se encontrasse em sua superf´cie seria atirado ı para fora, como pessoas, arvores, casas, etc (tendˆ ncia ´ e centr´fuga). Galileu tentou responder a esse argumento ı [14], mas sua resposta, al´ m de trabalhosa e cheia de e argumentos sutis, est´ inteiramente errada. a Figura 4 - Excentricidades. Visto de D, os arcos AB e CE, so- bre o deferente, s˜ o iguais e s˜ o subtendidos por angulos iguais, a a ˆ 2.3. Johann Kepler angulo ADB = angulo CDE, logo s˜ o percorridos no mesmo tempo, ˆ ˆ a pois a velocidade angular e suposta ser uniforme. Por´ m, visto da ´ e ˆ 2.3.1. Modelos astronomicos [15] Terra (T ), os arcos s˜ o subtendidos por angulos diferentes, respec- a ˆ tivamente angulo ATB = angulo CTE; como os arcos s˜ o supostos ˆ ˆ a A Astronomia descrevia matematicamente o movi- serem percorridos no mesmo tempo, o observador em T vˆ arcos e mento dos astros. De acordo com a natureza dos corpos (ou angulos) diferentes percorridos no mesmo tempo e a veloci- ˆ celestes, como j´ explicado, os astros deveriam mover- a dade angular n˜ o pode ser uniforme. a se, uniformemente, em c´rculos, ao redor da Terra. ı Mas o modelo e bem mais complexo. Para melho- ´ Por´ m, as observac oes mostram desvios desse movi- e ¸˜ rar os resultados experimentais, foi necess´ rio intro- a mento, chamados anomalias [15]: duzir outra excentricidade, o ponto equante: A rotacao ¸˜ 1. Os planetas de tempos em tempos parecem an- uniforme n˜ o mais seria o do centro do epiciclo sobre a dar para tr´ s, em seu movimento nos c´ us (re- a e o deferente, mas o da linha Equante-centro do epiciclo, trogress˜ o). a em torno do equante. 2. Os planetas parecem n˜ o se mover uniforme- a mente, em sua jornada pelo c´ u, isto e, arcos e ´ iguais, no c´ u, n˜ o s˜ o, necessariamente, percor- e a a ridos em tempos iguais. 3. O brilho dos planetas varia, o que era atribu´do a ı um menor ou maior afastamento da Terra. No s´ culo II, Cl´ udio Ptolomeu escreveu o mais e a completo tratado de Astronomia da Antig¨ idade, Al- u magesto. Para responder a primeira e terceira anomalias, foi ` proposto que o planeta se movesse em um c´rculo (epi- ı ciclo), cujo centro moveria ao longo de outro c´rculo ı (deferente), centrado na Terra; o movimento do plan- Figura 5 - Sistema Ptolomaico. O modelo considera trˆ s c´rculos: e ı eta seria a composicao desses dois movimentos e, visto ¸˜ A ecl´ptica, que e o c´rculo com centro na Terra; o deferente, que ı ´ ı da Terra, sua trajet´ ria formaria “lacos”, como na Fig. o ¸ tem centro em D; o c´rculo regular, que tem centro em E. O plane- ı
  • 8. 264 Dias et al. ta est´ em P , no c´rculo epiciclo, com centro no deferente. Uma a ı paralaxe. Como as estrelas est˜ o muito longe, o angulo de para- a ˆ hip´ tese fundamental feita por Ptolomeu, que n˜ o se consegue jus- o a laxe e muito pequeno e s´ foi observado no final do s´ culo XIX, ´ o e tificar, e: ED = DT ; por´ m, ela e consistente com o fato que ´ e ´ com potentes telesc´ pios. A observacao de Tycho era a olho n´ . o ¸˜ u Ptolomeu desenha os c´rculos com o mesmo raio. O c´ lculo da ı a Tycho n˜ o observou a paralaxe, mas n˜ o aceitou integralmente o a a excentricidade, T D, a partir de dados observacionais (ˆ ngulos em a sistema ptolomaico; ele propˆ s seu pr´ prio sistema, intermedi´ rio o o a que o planeta e visto em v´ rias ocasi˜ es), e o ponto para o qual ´ a o ´ entre os dois outros: A Terra estaria no centro, com o Sol orbitando convergem os c´ lculos no Almagesto. a em torno dela, enquanto os outros planetas orbitariam em torno do Sol. Johann Kepler trabalhou como assistente de Tycho. Ele usou os dados de Tycho para resolver o problema de determinar a orbita de Marte. Inicialmente, o pro- ´ blema de Kepler foi o mesmo de Ptolomeu: Calcular excentricidades (ED e T D, na Fig. 5), direcao do ¸˜ peri´ lio e af´ lio, etc. Mas ele tinha melhores dados e e e pˆ de almejar uma melhor precis˜ o dos c´ lculos. Ele o a a teve de fazer hip´ teses tentativas para ajustar seus da- o Figura 6 - Movimento do Planeta visto da Terra. dos aos c´ lculos e test´ -las para muitas posicoes [16]. a a ¸˜ Nicolau Cop´ rnico colocou o Sol no centro e a e Foi um trabalho arduo, que lhe consumiu, aproximada- ´ Terra girando em seu redor, mas n˜ o abandonou as a mente, 5 ou 6 anos e que resultou na publicac ao do ¸˜ orbitas circulares de Ptolomeu. Historiadores tˆ m dito ´ e Astronomia Nova, em 1609. que o ganho de Cop´ rnico se encontra nas explicacoes e ¸˜ Dos c´ lculos de Kepler resultaram as leis: a qualitativas, por´ m seu sistema se complica, quando e 1. As orbitas planet´ rias s˜ o el´pticas, com o Sol ´ a a ı detalhes quantitativos se tornam importantes [15]; em em um foco. particular, a colocac ao da Terra em orbita, analoga- ¸˜ ´ mente aos outros planetas, permite explicar de modo 2. A linha ligando o Sol ao planeta descreve areas ´ muito simples a “anomalia” da retrogress˜ o [15]. a iguais em intervalos de tempo iguais. Tycho Brahe construiu melhores instrumentos que, Anos depois, ele acrescenta nova lei: A raz˜ o entre o a junto com sua inata habilidade para observar o c´ u, lhe e quadrado do per´odo da orbita do planeta e o cubo do ı ´ permitiram obter medidas mais precisas de posicoes ¸˜ raio m´ dio de sua orbita e uma constante. e ´ ´ (angulares) de Marte. Marte representava um desafio; hoje, sabemos que a orbita de Marte e acentuadamente ´ ´ el´ptica, o que n˜ o e t˜ o acentuado, no caso dos outros ı a ´ a planetas. Figura 8 - O Modelo de Kepler. O planeta descreve uma elipse com o Sol no foco. Quando o Planeta vai de A a B, a linha do Sol a ele descreve a area SAB; e, quando o Planeta vai de C a D, ´ a linha descreve a area SCD. Se o tempo gasto pelo Planeta de ´ ir de A a B for igual ao tempo para ir de C a DC, segue-se que area SAB =´ rea SCD. ´ a 2.4. Isaac Newton [17] Figura 7 - A Paralaxe. Tycho n˜ o aceitou o sistema copernicano, a ¸˜ 2.4.1. O Caso da maca por raz˜ es t´ cnicas: O sistema copernicano prediz a paralaxe, um o e fenˆ meno n˜ o predito pelo ptolomaico: Uma pessoa em 1 observa o a Em 1687, Isaac Newton publicou seu livro uma estrela (S) projetada contra o pano de fundo do c´ u, em A; seis e meses depois, como a Terra girou, a pessoa est´ diametralmente a Princ´pios Matem´ ticos da Filosofia Natural, no qual ı a oposta, em 2, e vˆ a estrela projetada em B; ela pensa que a estrela e estabelece as categorias para o desenvolvimento de moveu de A para B; angulo ASB = angulo 1S2 e chamado angulo de ˆ ˆ ´ ˆ uma Filosofia Natural mecanicista: As trˆ s leis da e
  • 9. A Gravitacao Universal ¸˜ 265 Mecˆ nica, os conceitos de forca, massa e o tratamento a ¸ ultimo rascunho do Princ´pios, por volta de ´ ı de trajet´ rias curvas. Na ultima parte do livro, ele for- o ´ 1685. Logo, a hist´ ria da maca e falsa, pois teria o ¸˜ ´ mula a Lei da Gravitac ao Universal. ¸˜ ocorrido 20 anos antes. Uma lenda na Hist´ ria da F´sica e a da queda o ı ´ da maca. Newton tentava entender porque a Lua ¸˜ 3. Foi aplicando o m´ todo de Hooke que Newton e n˜ o se afasta da Terra; na d´ cada de 1660, quando a e aprendeu a tratar trajet´ rias curvas. o passeava em um jardim, observou uma maca caindo ¸˜ de uma arvore; isso o teria feito pensar que, talvez, ´ o “poder” respons´ vel pela queda da maca atuasse, a ¸˜ 2.4.2. O M´ todo de Hooke e tamb´ m, na Lua, de modo que a Lua estaria continu- e A id´ ia de Hooke consiste em separar um movimento e amente “caindo” para a Terra, o que a impediria de se central em duas componentes: Uma componente iner- afastar. cial, o movimento que o corpo teria, se continuasse a Segundo Isaac Bernard Cohen, na epoca da ale- ´ se mover com a velocidade instantˆ nea, sem atuacao a ¸˜ gada queda da maca Newton n˜ o estava preparado para ¸˜ a da atracao; um “soco” em direcao a um centro atrativo ¸˜ ¸˜ descobrir a Gravitac ao Universal, pois n˜ o possu´a, ¸˜ a ı (centr´peto), isto e, o que n´ s chamar´amos “impulso ı ´ o ı ainda, as ferramentas conceituais que, de fato, o instantˆ neo”, radial, na direcao de um centro de forcas. a ¸˜ ¸ levaram a conceber a lei. A “est´ ria” teria sido in- o A Fig. 9 ilustra a aplicacao do m´ todo de Hooke, feita ¸˜ e ventada pelo pr´ prio Newton para fortalecer e tornar o por Newton, no Princ´pios, para demonstrar a Lei das ı cr´vel sua alegacao de que a descoberta da Gravitac ao ı ¸˜ ¸˜ ´ Areas, de Kepler. Universal ocorrera cerca de 20 anos antes de sua publicac ao, no Princ´pios; ele se envolveu em uma ¸˜ ı contenda com Robert Hooke pela paternidade da lei r12 e, ent˜ o, antecipou a descoberta da Gravitac ao Uni- a ¸˜ versal para um per´odo anterior a uma troca de cartas ı com Hooke. Essa troca de cartas est´ na origem do a Princ´pios. ı Em novembro de 1679, Hooke escreveu a New- ton, convidando-o a comentar sobre um m´ todo de sua e ´ Figura 9 - O M´ todo de Hooke e a Lei das Areas. Na figura da e autoria para descrever movimentos curvil´neos. New- ı esquerda, o corpo move-se uniformemente ao longo da linha reta horizontal; em intervalos de tempo iguais, o corpo ter´ , suces- a ton respondeu a Hooke que esse m´ todo lhe era des- e sivamente, as posicoes A, B, C, D; esses pontos s˜ o ligados a ¸˜ a conhecido. Hooke apresentou, ainda, a Newton um um ponto P , acima do ponto O (origem), formando os triˆ ngulos a problema, que pode ser parafraseado como se segue: P AB, P BC, P CD; esses triˆ ngulos tˆ m a mesma area, pois tˆ m a e ´ e Se um corpo sofre uma atracao em direcao a um cen- ¸˜ ¸˜ base de comprimentos iguais (AB = BC = CD) e mesma altura (P O). Suponha, agora (figura do centro), que o corpo receba, em tro, que tipo de curva seria sua orbita, se a “atracao” ´ ¸˜ C, um “soco” (impulso instantˆ neo ou durando um tempo muito a varia inversamente com o quadrado da distˆ ncia? New- a pequeno) na direcao do ponto P ; ap´ s o impulso, o corpo move- ¸˜ o ton n˜ o lhe respondeu, mas apresentou um outro pro- a se em uma linha reta, mas em outra direcao; ap´ s um intervalo ¸˜ o blema. Quando, em 1684, Edmund Halley, o famoso de tempo igual aos anteriores, ele est´ em D, mas n˜ o necessaria- a a mente CD = AB ou CD = BC (s´ o ser´ , se o “soco” for per- o a astrˆ nomo, visitou Newton e lhe fez a mesma pergunta, o ´ pendicular a CD, que e o caso do movimento circular). E poss´vel ´ ı Newton teria respondido, imediatamente, que, segundo mostrar, com pequeno trabalho, que as areas dos triˆ ngulos ainda ´ a seus c´ lculos, era uma elipse, por´ m n˜ o achou os a e a s˜ o iguais: area PAB = area PBC = area PCD. Se o corpo re- a ´ ´ ´ c´ lculos. Halley insistiu, ent˜ o, que ele escrevesse a a cebesse “socos” a iguais intervalos de tempo, sua trajet´ ria for- o maria uma poligonal, ao redor do ponto P (figura da direita) e os seus c´ lculos; o resultado, ap´ s alguns pequenos trata- a o triˆ ngulos formados teriam a mesma area. No caso limite em que a ´ dos (verdadeiros rascunhos do trabalho maior) foi o o intervalo de tempo entre “socos” sucessivos for muito pequeno, Princ´pios Matem´ ticos da Filosofia Natural. ı a tendendo a zero, a forca se torna cont´nua, sempre direcionada para ¸ ı Com uma leitura cuidadosa do livro de Newton e o ponto P , e o pol´gono se torna uma curva suave. ı de seus cadernos de notas, I.B. Cohen prop˜ e que:o 1. Newton chegou a Gravitac ao Universal por uma ` ¸˜ ` ¸˜ 2.4.3. Da Terceira Lei a Gravitac ao Universal aplicac ao de sua Terceira Lei. ¸˜ No ultimo rascunho que antecedeu ao Princ´pios, New- ´ ı 2. A Terceira Lei s´ foi formulada por ele no o ton formula a Terceira Lei [apud 17]:
  • 10. 266 Dias et al. As acoes de corpos que atraem e s˜ o atra´dos s˜ o ¸˜ a ı a outra ponta do fio. A solucao de Newton (c.1664- ¸˜ m´ tuas e iguais. Se existirem dois corpos, nem o u 1665) foi anterior a de Huygens, por´ m Huygens publi- ` e atra´do nem o que atrai podem estar em repouso. ı cou seus resultados antes de Newton, em 1673, no O Rel´ gio Oscilat´ rio (Horologium Oscillatorium); a o o Newton compreendeu que, se o Sol atrai a Terra, a demonstrac ao dos resultados de Huygens, contudo, s´ ¸˜ o Terra deveria tamb´ m atrair o Sol, com uma forca de e ¸ foi publicada postumamente, em 1703, no Sobre a mesma intensidade. Ora, se cada planeta e, por sua ´ Forca Centr´fuga [18]. O modo como Huygens con- ¸ ı vez, atra´do pelo Sol, ent˜ o ele atrai o Sol, pela Ter- ı a cebeu o problema e conceitualmente mais rico do que ´ ceira Lei. Ent˜ o, cada planeta e um centro de forca a ´ ¸ o de Newton. atrativa, tamb´ m. Mas, se assim, cada planeta n˜ o s´ e a o atrai como e atra´do pelo Sol, mas tamb´ m atrai e e ´ ı e ´ Considere a Fig. 10 ([18], p. 261), onde o c´rculo ı atra´do por cada um dos outros planetas. ı BEFG e uma grande roda vertical (pode ser a Terra), ´ A lei do inverso do quadrado seria, apenas, uma tal que uma pessoa possa estar de p´ em B, segurando e parte da Gravitac ao Universal. A descoberta impor- ¸˜ um fio do qual pende uma esfera. Quando a roda gira tante — feita por Newton — e a interacao m´ tua. Co- ´ ¸˜ u em torno de A, caso a esfera se soltasse, ela se moveria hen argumenta que a forma r12 era suficientemente co- ao longo da reta BCDH. nhecida e e uma conseq¨ encia da Terceira Lei de Ke- ´ uˆ pler, junto com a express˜ o da tendˆ ncia centr´fuga. a e ı Newton e, antes dele, Chistiaan Huygens, haviam de- monstrado que a tendˆ ncia centr´fuga pode ser ex- e ı 2 pressa (em notacao moderna) a = vr , onde v e a ve- ¸˜ ´ locidade e r e o raio da trajet´ ria. Ent˜ o, em termos ´ o a modernos, se um corpo de massa m se move em um movimento circular uniforme, de raio r: v2 2πr F =m× ; v = r τ r3 onde τ e o per´odo e ´ ı τ2 e constante, pela Terceira Lei, ´ de Kepler. 2πr 2 r3 1 F =m× τ ≡ m × (2π)2 r τ2 r2 1 = m × constante × Figura 10 - A “Tendˆ ncia Centr´fuga” (Huygens). O homem e a e ı r2 esfera percorrem distˆ ncias iguais, respectivamente, sobre a roda e a Newton reconheceu que a interacao gravitacional ¸˜ sobre a reta, pois tˆ m a mesma velocidade. Para distˆ ncias muito e a m´ tua implica que as leis de Kepler n˜ o s˜ o estrita- u a a pequenas, pode-se considerar que o homem, a esfera e o centro da roda estejam alinhados. Al´ m disso, “a vertical” (direcao AB) n˜ o e ¸˜ a mente verdadeiras, mas v´ lidas, somente, na situacao a ¸˜ difere muito desse alinhamento, de modo que n˜ o importa — caso a ideal em que a Terra e reduzida a um ponto com massa ´ a roda seja a Terra — se a atracao da Terra e ao longo da vertical ¸˜ ´ e o Sol, sem massa, a um centro im´ vel de forca. De o ¸ ou ao longo do alinhamento. fato, o Sol tamb´ m e atra´do pela e para a Terra. Para e ´ ı lidar com situacoes reais, Newton procedeu de acordo ¸˜ Huygens argumenta que, para distˆ ncias muito pe- a com o que I. B. Cohen chamou de estilo newtoniano: quenas, pode-se considerar que as posicoes da esfera ¸˜ Ele parte de uma construc ao abstrata e introduz novas ¸˜ sobre a reta (C, D) tendem a se afastar das posicoes ¸˜ condicoes, para adaptar a situacao concreta. ¸˜ ` ¸˜ do homem sobre a roda (E, F ) ao longo de uma reta passando pelo centro da roda, pelo homem e pela esfera (EC, FD). Ora, se a pessoa e a esfera gi- 2.5. Christiaan Huygens: A tendˆ ncia e rassem sempre juntas, o fio estaria sempre tencionado centr´fuga ı pelo peso da esfera, de acordo com a pessoa; por- Newton e Huygens, independentemente, procu- tanto, a “tendˆ ncia” de se afastar do centro da roda e raram uma express˜ o para a tendˆ ncia que qualquer a e (distˆ ncias EC, FD) estaria, nesse caso, sendo anulada a corpo tem de tensionar um fio a ele amarrado por uma pelo peso; a “tendˆ ncia” (EC, FD) deve, pois, ser de- e 1 ponta, quando uma pessoa gira o corpo, segurando a scrita de modo similar a “queda livre”: EC ≈ 2 gt2 , `
  • 11. A Gravitacao Universal ¸˜ 267 etc. Posto isso, Huygens demonstra uma s´ rie de teo- e remas, que, juntos, significam, em notacao moderna, ¸˜ 2 (x + r)2 = (vt)2 + r 2 ⇒ x2 + (2r) x − (vt)2 = 0 ⇒ forca centr´fuga = m vr ; apesar de n˜ o possuir o con- ¸ ı a ceito de massa, Huygens se refere a “quantidade s´ lida ` o v2 x=r±r× 1+ t2 ≈ do corpo” ([18], p. 266). r2 1 v2 1 −r ± r × 1 + × × t2 ; 2.6. A forca centr´peta ¸ ı 2 r r Os conceitos de massa, forca centr´peta e forca ¸ ı ¸ o sinal + foi escolhido, pois x ≥ 0; o sinal ≈ significa em geral foram introduzidos por Newton no Princ´pios ı o seguinte: Para y muito pequeno — como e o caso ´ (vt) 2 2 [19], como j´ mencionado. Apesar da Lei da In´ rcia a e de y = r2 , se (vt) for muito pequeno, quando com- ter sido formulada por Galileu (ainda que com erros, parado com r 2 — nota-se que 1 + y = 1+y+ y4 ≈ 2 2 como j´ visto) e por Descartes, a leitura dada a essa lei a √ 2 1 + y, de modo que 1 + y ≈ 1 + y . Logo: 2 por Descartes e Huygens foi peculiar [20]: Um corpo que gira possui uma tendˆ ncia centr´fuga; a palavra e ı 1 v2 x≈ t2 . tendˆ ncia ou o termo latino usado por Newton, antes e 2 r do Princ´pios, conatus, de algum modo remetem a uma ı Esse resultado significa o seguinte: A tendˆ ncia e propriedade j´ existente e n˜ o a presenc a de algo extra, a a ` ¸ da massa e prosseguir em movimento linear uniforme, ´ nossa forca (Fig. 11). ¸ com a velocidade instantˆ nea, tangencial. Logo, para a que a massa tenha uma trajet´ ria circular, ela tem de o “cair”, em cada instante de tempo, tomado separada- mente, da reta para o c´rculo. Ela o faz em queda ı 2 livre, com aceleracao (instantaneamente) uniforme vr , ¸˜ ao longo da reta passando pelo centro do c´rculo. Por- ı tanto, a forca tem de ser centr´peta e n˜ o centr´fuga, ¸ ı a ı como pensaram Descartes, Huygens e Newton (antes de seu Princ´pios). ı Figura 11 - O Movimento Circular (Descartes). Um corpo, ao se Para um movimento curvo qualquer, a forca ¸ soltar de uma funda, move-se ao longo de uma reta com veloci- dade uniforme (v0 ). Em qualquer ponto da reta, por exemplo, P : centr´peta e a componente da forca que responde so- ı ´ ¸ v0 = vr + vθ . Se a componente radial (vr ) for “impedida” pela mente pela curvatura da trajet´ ria, logo e a compo- o ´ disposicao da mat´ ria ao redor, o corpo move-se em um c´rculo, de ¸˜ e ı nente perpendicular a velocidade, portanto direcionada ` raio OP . para o centro de curvatura e vale: forca centr´peta = ¸ ı (velocidade instantˆnea)2 a raio de curvatura . Os conceitos de raio de curvatura 2.6.1. ´ Par´ frase moderna do calculo de a e centro de curvatura n˜ o s˜ o dif´ceis de entender: a a ı Huygens Dada uma curva qualquer, pode-se desenhar um c´rculo ı tangente a ela, em qualquer um de seus pontos; esse Uma interpretac ao moderna e rigorosa do m´ todo ¸˜ e c´rculo tem o belo nome de c´rculo osculador (´ sculo ı ı o de Huygens foi feita por Eduard Jan Dijksterhuis ([21], significa beijo), seu raio e o raio de curvatura e seu ´ p. 369). Considere a Fig. 12: centro e o centro de curvatura. ´ ¸˜ 3. Ilustracao do m´ todo e 3.1. Coment´ rios a De acordo com a leitura aqui apresentada do m´ todo de Ausubel, um question´ rio ajudaria a sele- e a cionar subsunc ores. O resultado da pesquisa e, con- ¸ ´ Figura 12 - A “Forca Centr´peta” e o Movimento Circular. “Ao fi- ¸ ı tudo, preliminar e e mais bem entendido como um ´ nal” de um espaco infinitesimal vt, a massa “cai em queda livre” a ¸ indicador na escolha de temas da Hist´ ria. O que o distˆ ncia x, de modo a ficar sobre o c´rculo de raio r. a ı gostar´amos de enfatizar e nossa sugest˜ o de usar ı ´ a
  • 12. 268 Dias et al. a Hist´ ria da F´sica como organizador pr´ vio e o o ı e ciatura do Instituto de F´sica da UFRJ [11]. ı “como” fazˆ -lo, ainda que de modo n˜ o conclusivo. e a Para uma avaliacao dos resultados, as respostas, ¸˜ 3.2. Perguntas e respostas talvez, tivessem de ser contrastadas com entrevistas ou com respostas a outras perguntas ou com modos dife- Um question´ rio foi aplicado no Col´ gio de a e rentes de se perguntar a mesma coisa. Por exemplo, Aplicacao da Unigranrio, escola da rede particular de ¸˜ e interessante observar que, quando se compara o uso ´ ensino do Estado do Rio de Janeiro. Os 82 alunos de um mesmo conceito em quest˜ es que o colocam o que foram submetidos ao question´ rio eram da terceira a em contextos diferentes, os resultados podem pare- s´ rie do Ensino M´ dio, de duas turmas diferentes; mas e e cer contradit´ rios; tal e o caso com a palavra vaga o ´ todos haviam tido aulas sobre idˆ nticos assuntos e se e “gravidade”: Mesmo que os aprendizes tenham en- encontravam, ao menos supostamente, no mesmo n´vel ı tendido, em algum momento, a existˆ ncia de uma e de preparo. N˜ o faremos, pois, separacao entre turmas, a ¸˜ forca gravitacional (e tudo que vem junto), o uso, em ¸ na an´ lise dos resultados. a outras ocasi˜ es, do termo vago n˜ o necessariamente o a No caso, os alunos j´ haviam tido aulas de F´sica a ı significa “retrocesso”, mas, simplesmente, um modo sobre Gravitacao, na primeira s´ rie, o que nos per- ¸˜ e de express˜ o, ali´ s, de uso vernacular. Infelizmente, a a mite comparar, de modo preliminar, com os mes- um acompanhamento mais longo da amostra de in- mos indiv´duos, um resultado em que a Hist oria da ı ´ div´duos, ap´ s uma an´ lise preliminar e novos testes ı o a Gravitac ao n˜ o atuou com outro em que atuou. Para ¸˜ a n˜ o foi poss´vel; o question´ rio foi aplicado durante a ı a facilitar a comparac ao, os resultados s˜ o apresentados ¸˜ a o est´ gio obrigat´ rio de M.T.M.S, no curso de Licen- a o lado a lado. 1a Quest˜ o: Vocˆ saberia explicar, por que todas as coisas sao atra´das para a superf´cie da Terra? a e ˜ ı ı RESPOSTAS ALUNOS Por causa da gravidade 46% RESPOSTAS ALUNOS Por causa de uma forca gravitacional ¸ 41% Por causa de uma forca gravitacional ¸ 89% Antes Depois Por causa de uma forca magn´ tica ¸ e 8% Por causa da gravidade 6% Por causa do peso 2% N˜ o souberam responder a 5% N˜ o souberam responder a 3% 2a Quest˜ o: Se o Sol atrai a Terra, a Terra tamb´ m atrai o Sol? Justifique sua resposta. a e RESPOSTAS ALUNOS RESPOSTAS ALUNOS Sim, por causa da forca de acao e reacao ¸ ¸˜ ¸˜ 54% Sim, por causa da forca de acao e reacao ¸ ¸˜ ¸˜ 96% Antes Sim, por causa da gravidade 3% Depois Sim, devido a forca necess´ ria para n˜ o se juntarem ` ¸ a a 2% Sim, devido a forca necess´ ria para n˜ o se juntarem ` ¸ a a 2% Sim, por causa da gravidade 2% N˜ o souberam responder a 41% 3a Quest˜ o: Por que, se a Terra realiza um movimento de rotac ao, os corpos e as arvores n˜ o saem voando, como um resultado desse tipo de a ¸˜ ´ a movimento? RESPOSTAS ALUNOS Porque estamos presos pela gravidade 41% RESPOSTAS ALUNOS Por causa do campo gravitacional terrestre 11% Por causa do campo gravitacional terrestre 64% Antes Depois Por causa da rotacao vagarosa da Terra ¸˜ 10% Por causa da gravidade da Terra 23% Porque estamos parados 6% N˜ o souberam responder a 13% N˜ o souberam responder a 32%
  • 13. A Gravitacao Universal ¸˜ 269 4a Quest˜ o: O que vocˆ acha que seja respons´ vel pela rotacao da Lua em torno da Terra? E da Terra em torno do Sol? a e a ¸˜ RESPOSTAS ALUNOS A forca de acao e de reacao entre os corpos ¸ ¸˜ ¸˜ 24% RESPOSTAS ALUNOS O campo gravitacional entre eles 3% A forca de acao e de reacao entre os corpos ¸ ¸˜ ¸˜ 88% Antes O campo magn´ tico entre eles e 2% Depois O campo magn´ tico entre eles e 2% A gravidade 2% A gravidade 10% A orbita ´ 2% N˜ o souberam responder a 67% 5a Quest˜ o: Por que o astronauta flutua dentro de sua nave, quando ela se encontra em orbita? a ´ RESPOSTAS ALUNOS Porque n˜ o h´ gravidade a a 48% Por falta de forca de gravidade ¸ 24% RESPOSTAS ALUNOS Porque em orbita a gravidade e menor ´ ´ 11% Porque n˜ o h´ gravidade a a 79% Antes Depois Por causa da falta de oxigˆ nio e 3% Por falta de forca de gravidade ¸ 15% Porque sua massa diminui 3% Porque n˜ o tem forca nele a ¸ 6% Porque n˜ o tem forca nele a ¸ 3% N˜ o souberam responder a 8% 3.3. Subsuncores e Hist´ ria ¸ o entre planetas e entre qualquer par de massas e que en- volve conceitos novos (introduzidos por Newton) — ˜ 3.3.1. Primeira questao como forca e massa. ¸ A resposta correta e que massas sofrem uma forca ´ ¸ Respostas ap´ s a aula sobre Historia da o ´ para baixo, originada da propriedade que as massas Gravitac ao mostram que o n´ mero de aprendizes que ¸˜ u tˆ m de se atra´rem. e ı usam o conceito de forca gravitacional cresceu para ¸ 89%, enquanto que os que ainda mantˆ m a id´ ia de e e Ora, respostas antes da aula sobre Hist oria da ´ “gravidade” diminuiu para 6%. Gravitacao mostram que os aprendizes falam de “forca ¸˜ ¸ gravitacional” (41%) e de “gravidade” (46%). A palavra “gravidade” e vaga, enquanto “forca gravita- ´ ¸ ˜ 3.3.2. Segunda questao cional” e uma terminologia precisa. Se se entende que ´ o uso da express˜ o mais precisa est´ associada a uma a a A resposta correta e que a atracao gravitacional en- ´ ¸˜ melhor conceitualizac ao do fenˆ meno da gravitac ao, ¸˜ o ¸˜ tre duas massas e uma interacao m´ tua, pela Terceira ´ ¸˜ u ent˜ o esses conceitos poderiam ser subsunc ores. a ¸ Lei da Mecˆ nica. a A Hist´ ria da Gravitac ao aqui apresentada mostra, o ¸˜ Ora, a resposta dos aprendizes, antes da aula sobre inicialmente, como a Antig¨ idade Greco-romana dis- u Hist´ ria da Gravitac ao — “Sim, por causa da forca o ¸˜ ¸ cutiu a doutrina aristot´ lica de uma “natureza dos cor- e de acao e reacao” (54%) — mostra que a ligacao entre ¸˜ ¸˜ ¸˜ pos pesados” ou mera “gravidade”, causa da queda dos acao e reacao e a Gravitac ao Universal est´ presente ¸˜ ¸˜ ¸˜ a corpos na superf´cie da Terra. Galileu Galilei con- ı entre a maioria. Parece, pois, que a Terceira Lei pode seguiu uma solucao formal do problema, sem, con- ¸˜ ser um subsunc or. ¸ tudo, apresentar uma id´ ia definida sobre a natureza da e Aqui, o uso da Hist´ ria da Gravitac ao e particu- o ¸˜ ´ “gravidade”; sua discuss˜ o e feita em um contexto am- a ´ larmente feliz, pois Newton usou sua Terceira Lei para plo, que o levou a Lei da In´ rcia. Newton, apoiado ` e desenvolver a atracao entre o Sol e um planeta em ¸˜ nos ombros dos gigantes Kepler, Huygens e Galileu uma concepc ao de Gravitac ao Universal ou forca de ¸˜ ¸˜ ¸ chegou ao conceito de Gravitac ao Universal, atuando ¸˜ atracao entre massas (secao 2.4). ¸˜ ¸˜
  • 14. 270 Dias et al. Ap´ s a aula sobre Hist´ ria da Gravitac ao, o o o ¸˜ A Hist´ ria da Gravitac ao agiria, aqui, como o ¸˜ n´ mero de aprendizes que deram essa resposta cresceu u na primeira quest˜ o: A construc ao do conceito de a ¸˜ para 96%. Gravitac ao Universal, a partir da discuss˜ o dos v´ rios ¸˜ a a problemas que tiveram influˆ ncia nesse processo. Em e particular, como se viu na secao 2.4, o ponto de par- ¸˜ ˜ 3.3.3. Terceira questao tida de Newton foi um problema sobre o movimento A resposta correta e que, de fato, sofremos uma ´ dos planetas, que lhe foi proposto por Hooke e, pos- forca centr´fuga (por estarmos em um referencial em ¸ ı teriormente, novamente por Halley. Assim, uma pe- rotacao), mas a forca gravitacional, resultante da ¸˜ ¸ quena discuss˜ o da Astronomia e das Leis de Kepler a atracao da Terra, e suficiente para cancelar as forcas ¸˜ ´ ¸ e inclu´da (secao 2.3), embora o estudo da Astrono- ´ ı ¸˜ (centr´fuga, Coriolis), prendendo-nos inexoravelmente ı mia, na tradicao aristot´ lica, tivesse decorrido indepen- ¸˜ e ao destino do planeta. dentemente do estudo das transformac oes que ocorrem ¸˜ Respostas antes da aula sobre Historia da ´ na Terra. Al´ m disso, como na segunda quest˜ o, o e a Gravitac ao — “Porque estamos presos pela gravidade” ¸˜ racioc´nio de Newton, descrito na secao 2.4, mostra o ı ¸˜ (41%) e “Por causa do campo gravitacional terrestre” papel de sua Terceira Lei. (11%) — indicam que o conceito subsuncor pode ¸ A resposta ap´ s a aula de Historia da Gravitac ao o ´ ¸˜ ser a existˆ ncia de uma forca gravitacional, como na e ¸ — “A forca de acao e de reacao entre os corpos” — ¸ ¸˜ ¸˜ primeira quest˜ o (embora o conjunto de forcas que atu- a ¸ cresceu para 88%, o que e animador. Por´ m, talvez ´ e am na situacao f´sica envolvida na terceira quest˜ o seja ¸˜ ı a uma outra quest˜ o precisasse ter sido feita para avaliar a mais complicada). se os aprendizes entendem que essa forca tem origem ¸ A Hist´ ria da Gravitac ao mostra que um argu- o ¸˜ em uma propriedade intr´nseca da mat´ ria. ı e mento contra a possibilidade de se atribuir uma rotacao ¸˜ diurna a Terra, citado, por exemplo, por Cl´ udio ` a ˜ 3.3.5. Quinta questao Ptolomeu, era que, se a Terra girasse, os corpos seriam atirados para fora. Na verdade, a discuss˜ o do pro- a Inicialmente, a forca gravitacional da Terra ¸ blema do movimento da Terra envolveu v´ rios tipos de a diminui com a distˆ ncia a massa (com uma lei do tipo a ` argumentos (secao 2.2.4). Al´ m disso, o exemplo invo- ¸˜ e 1 r2 ); na nave em orbita, a forca exercida pela Terra e ´ ¸ ´ cado por Huygens, da pessoa que segura um fio do qual menor que sobre a superf´cie da Terra. A Hist oria da ı ´ pende uma pedra (secao 2.5), apresenta uma situacao ¸˜ ¸˜ Gravitac ao (secao 2.4.3) mostra como se chegou a ex- ¸˜ ¸˜ ` f´sica similar. ı press˜ o r12 para a relacao entre a forca gravitacional e a ¸˜ ¸ Ap´ s a aula sobre Hist´ ria da Gravitac ao, a o o ¸˜ a distˆ ncia entre as massas. Mas isso n˜ o responde a a a ` percentagem dos aprendizes que associaram a per- quest˜ o. a manˆ ncia de corpos sobre a Terra apesar de sua rotacao e ¸˜ As considerac oes na secao 2.5 mostram que a ¸˜ ¸˜ a forca gravitacional cresceu para 64%; os que ainda se ` ¸ Lua est´ sempre “caindo” em direcao a Terra e qual- a ¸˜ ` express˜ o com a palavra “gravidade” tamb´ m aumen- a e quer planeta, em direcao ao Sol, etc. Da mesma ¸˜ tou para 23%. Por´ m, o ponto positivo e que a percen- e ´ forma, a nave e tudo preso a ela “caem em queda tagem dos que passaram ao largo da resposta correta livre” para a Terra. Um objeto solto na nave tem diminuiu substancialmente, de 10% + 6% + 32% = a mesma acelerac ao gravitacional da nave (g = ¸˜ 48% para 13%. constante universal × (distˆncia do centro da Terra a nave)2 ); entre- massa da Terra a ` tanto, n˜ o se acelera em relacao a nave e deve flutuar. a ¸˜ ` ˜ 3.3.4. Quarta questao O grande escritor de ficcao cient´fica, Arthur Clarke, ¸˜ ı concebeu uma nave espacial, de nome Rama, na qual a A situacao f´sica envolvida, aqui, e a mesma da se- ¸˜ ı ´ forca centr´fuga provida pela rotacao da nave em torno ¸ ı ¸˜ gunda quest˜ o. a de um eixo cria uma aceleracao relativa entre a nave e ¸˜ Respostas antes da aula de Historia da Gravitacao ´ ¸˜ o astronauta, imitando uma “forca gravitacional”, em ¸ — “A forca de acao e de reacao entre os corpos” (24%), ¸ ¸˜ ¸˜ que as paredes da nave seriam um “ch˜ o”; em Rama a “O campo gravitacional entre eles” (3%) e “a gravi- havia, at´ , um oceano pelas paredes! e dade”(2%) — sugerem dois poss´veis subsunc ores: O ı ¸ A Hist´ ria da Gravitacao (secao 2.4.3) mostra o ¸˜ ¸˜ 1 de forca gravitacional e as forcas agindo nos dois cor- ¸ ¸ como se chegou a express˜ o r2 para a relacao en- ` a ¸˜ pos formam um par acao-reacao. ¸˜ ¸˜ tre a forca gravitacional e a distˆ ncia entre as mas- ¸ a
  • 15. A Gravitacao Universal ¸˜ 271 sas. A discuss˜ o da secao 2.5 mostra a relacao entre a ¸˜ ¸˜ [9] B. Alvarenga e A. M´ ximo, Curso de F´sica (Editora a ı a forca gravitacional e a forca centr´peta, necess´ ria ¸ ¸ ı a Scipione, 2000), 3 v. para manter uma massa em orbita. ´ ´ [10] A. Gaspar, F´sica (Editora Atica, 2000), 3 v. ı Nas respostas ap´ s a aula de Historia da o ´ [11] M.T.M. Souza, P.M.C. Dias e W.M.S. Santos, “Um Gravitacao — “Porque n˜ o h´ gravidade (79%), “Por ¸˜ a a Novo Ensino da Gravitacao Universal”, in: Atas do ¸˜ falta da forca de gravidade” (15%), “Porque n˜ o ¸ a XV Simp´ sio Nacional de Ensino de F´sica, editado o ı tem forca nele” (6%) — pode ser que os aprendizes ¸ por N.M.D. Garcia (SBF, S˜ o Paulo, 2003), p. 1224. a queiram dizer “forca da gravidade”, pois, desde o ¸ [12] A. Franklin, American Journal of Physics 44, 529 ciclo fundamental, eles se acostumam a usar essa (1976). locucao para indicar a atracao exercida pela Terra [22]; ¸˜ ¸˜ nesse caso, 100% dos aprendizes fixaram o conceito [13] P.M.C. Dias, Revista Perspicillum 6, 9 (1992). de “forca”. Os aprendizes n˜ o se referem a forca ¸ a ` ¸ [14] G. Galilei Dialogue Concerning the Two Chief World centr´peta; por´ m, o material instrucional correspon- ı e Systems, 1632 (traduzido para o Inglˆ s e comentado e dente (secoes 2.5 e 2.6) n˜ o havia, ainda, sido inclu´do, ¸˜ a ı por Stillman Drake, pref´ cio por Albert Einstein, Uni- a na ocasi˜ o da apresentac ao do material instrucional de a ¸˜ versity of California Press, 1953; segunda edicao, ¸˜ 1967. Traducao para o Portuguˆ s, com introducao e ¸˜ e ¸˜ Hist´ ria da Gravitac ao. o ¸˜ notas por Pablo Rub´ n Mariconda, “Di´ logo Sobre e a os Dois M´ ximos Sistemas do Mundo (Ptolomaico e a Copernicano)”, Discurso Editorial, 2001). Referˆ ncias e [15] T.S. Kuhn, The Copernican Revolution (Harvard Uni- [1] M.F. Magalh˜ es, W.M.S. Santos e P.M.C. Dias, Re- a versity Press, 1957). vista Brasileira de Ensino de F´sica, 24, 489 (2002). ı [16] W. Curtis, Scientific American, 226, 93 (1972). [2] P.M.C. Dias, Revista Brasileira de Ensino de F´sica, ı [17] I.B. Cohen, Scientific American 244, 166 (1981). 23, 226 (2001). [18] C. Huygens, De Vi Centrifuga, in: Œuvres Compl` tese [3] P.M.C. Dias e W.M.S. Santos, “O Passado, o Presente de Christiaan Huygens, publicado em Latim e em e o Cotidiano”, in Atas do XV Simp´ sio Nacional de o traducao para o Francˆ s, Sociedade Holandesa de ¸˜ e Ensino de F´sica, editado por N.M.D. Garcia, (SBF, ı Ciˆ ncias, 22 v., 1888-1950, v. XVI, 1929, p. 255-301. e S˜ o Paulo, 2003), p. 1605. a [19] I.B. Cohen, in Newton’s Concepts of Force and Mass, [4] M.A. Moreira e E.F.S. Masini,A Aprendizagem Signi- with Notes on the Laws of Motion, edited by I.B. Co- ficativa. A Teoria de David Ausubel (Editora Moraes, hen and G.E. Smith, The Cambridge Companion to 1982). Newton (Cambridge University Press, 2002), p. 57-84. [5] M.A. Moreira, Uma Abordagem Cognitivista ao En- [20] G.E. Smith, in The methodology of the Principia, sino de F´sica (Editora da Universidade, Porto Alegre, ı edited by I.B. Cohen and G.E. Smith, The Cambridge 1983). Companion to Newton (Cambridge University Press, 2002), p. 138-173. [6] C.C. Salvador et al., Psicologia do Ensino (Editora Artes M´ dicas Sul, 2000). Traduzido do espanhol por e [21] E.J. Dijksterhuis, The Mechanization of the World Pic- Cristina Maria de Oliveira, Psicologia da la Instruccio ´ ture (Pythagoras to Newton), 1950 (traduzido para (Universitat Oberta de Catalunya, 1997). o Inglˆ s por C. Dikshoorn, Oxford University Press, e 1961, Princeton University Press, 1969, 1986). [7] J.D. Novak and D.B. Gowin, Learning How to Learn (Cambridge University Press, 1986). [22] C. Silva J´ nior, S. Sasson e P.S.B Sanches, O Mundo u em que Vivemos, in: Ciˆ ncias (Entendendo a Na- e [8] MEC Parˆ metros Curriculares para o Ensino M´ dio, a e tureza), (Saraiva, 2001), v. 5a s´ rie. e Parte III, 1999.

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