Estimadores puntuales intervalos de confianza.

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  • 1. Universidad Americana UAMEstimación puntual e intervalos deconfianza, para estimar parámetros poblacionales. Resumen realizado por: Lic. Maryan Balmaceda Vivas Economista - Consultor
  • 2. Estimadores puntuales e intervalos de confianza, para calcular la media poblacional. En este caso se deben considerar dos situaciones: a) Se conoce la desviación estándar dela población.b) Se desconoce la desviación estándar de la población, la cual se estima con la desviación estándar de la muestra.
  • 3. Estimador puntual. Es la estimación de unparámetro poblacional, basado en un solo número. Ejemplo: Una empresa esta constituida por 100 empleados y se desea estimar el salario promedio de los empleados,basado en una muestra seleccionada de la población. N= 100 n= 10 empleados
  • 4. Salario promedio de la muestra = ∑Salarios /10 = C$ 4,500.00Estimación de salario promedio de los 100 empleados de laempresa = = C$ 4,500.00Salario promedio de la población = C$ 4,500.00
  • 5. Intervalo de confianza. Es un conjunto de valores formado a partir de una muestra, de manera tal que exista laposibilidad de que el parámetro poblacional, seencuentre dentro de dicho conjunto de valores,con una probabilidad específica de ocurrencia.La probabilidad específica, recibe el nombre de nivel de confianza.
  • 6. Intervalo de confianza, para estimar la media poblacional, cuando se conoce la desviación estándar de la población.X ±Zσ/ nX = Media de la muestraσ= Desviación estándar de la población.Z = Valor que depende del nivel de confianza deseado.
  • 7. Ejemplo Se toma una muestra de 49 observaciones de una poblaciónnormal, que posee una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza del 99%,para estimar la media poblacional.
  • 8. Resolucióna)El nivel de confianza del 99% se divide entre dos. 0.99/2=0.495 b)Busque en tabla de área para una distribución normal, para una área de 0.495 que valor de z le corresponde. Z= 2.58 c) Aplique el intervalo de confianza, para estimar la media poblacional, cuando seconoce la desviación estándar de la población.
  • 9. DatosX = 55 Z= 2.58 Desviación estándar de la población= 10X ±Z σ/ n 55± = 55 2.5810/ 49 = 51.314 − 58.686Como se interpreta: Existe una probabilidad de un 99%que la media poblacional se encuentre entre 51.314 a58.686 o 51.314 ≤ µ≤58.686
  • 10. Como se interpreta el intervalo de confianza. Si seleccionamos de una población todas las posibles muestras de tamaño 256 y para cada muestra, se calcula su media y se construye un intervalo deconfianza con un nivel de confianza del 95%, se puede esperar que el 95% de todos los intervalosconstruidos, contendrán la media poblacional y el 5 % de todos los intervalos construidos no contendrán la media de la población.
  • 11. Cálculo de la media poblacional, mediante un intervalo de confianza, partiendo de la media de la muestra, cuando no se conoce la desviación estándar de la población. Anteriormente se conocía la desviación estándar de la población, sin embargo en la mayoría de los casos de muestreo, no seconoce la desviación estándar de la población. Sin embargo la desviación estándar de la muestra, se utiliza para estimar la desviación estándar de la población.
  • 12. Cuando no se conoce, la desviación estándar de la población, no se puede utilizar la distribución z, enesta situación la desviación estándar de la población,se calcula con la desviación estándar de la muestra, y la distribución z se sustituye con la distribución t. La aplicación de la distribución t, se asocia conestadísticas de muestras pequeñas, es decir muestras con tamaño menor o igual a 30. La distribución t es más plana que la distribuciónnormal, esto se debe a que la desviación estándar dela distribución t, es mayor que la desviación estándar de la distribución normal.
  • 13. Las características de la distribución t, se basan en el supuesto de que la población de interés es normal, o casi normal. a)Como la distribución z , es una distribución continua. b)Igual que la distribución z tiene forma de campana y es simétrica. b) No existe una distribución t, sino una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media cero, y sus desviaciones estándar varían de acuerdo al tamañode la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, va disminuyendo su desviación estándar, es decir una muestra de tamaño 5, tiene una desviación estándar , mayor que una muestra de tamaño 20.
  • 14. c)La desviación estándar de la muestra se acerca cada vez más a la desviación estándar de la población, con tamaño demuestra ≥120 la desviación estándar de la muestra, estima con mucha precisión la desviación estándar de la población, de manera tal que hay muy poca diferencia entre la distribución z y la distribución t, por eso muchas personas dedicadas a la investigación estadística, utilizan z en lugar de t, cuando la muestra es mayor que 120.d) La distribución t tiene un área mayor en las colas y menor en el centro que la distribución z.e) Conforme aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima cada vez más a la distribución normal, pues los errores que se cometen al estimar la desviación estándar poblacional con la desviación estándar de la muestra, disminuyen con muestras grandes.
  • 15. Intervalo de confianza para estimar la media poblacional, cuando no se conoce laDesviación estándar de la población. X ± t S/ nLa aplicación de este intervalo plantea: a) Que la población es normal o casi normal. b) La desviación estándar de la población, se estima con la Desviación estándar de la muestra. c) Utilice la distribución t en lugar de z.
  • 16. Cuando usar la distribución z o la distribución t. Se supone que la distribución es normal ¿ Se conoce la desviación estándar de la población? No Si Se utiliza la Se utiliza la distribución t distribución normal.
  • 17. Ejemplo uso de la distribución t de student. El propietario de una granja, desea calcular lacantidad media de huevos que pone cada gallina. Unamuestra de 20 gallinas, indican que ponen 20 huevos al mes, con una desviación estándar de 2 huevos al mes.a) ¿Cuál es el valor de la media de la población? ¿ Cual es el mejor estimador de este valor? b) Explique porque necesita utilizar la distribución t. ¿Que suposiciones necesita hacer? c) Construya un intervalo de confianza de 95%, para estimar la media poblacional.d)Es razonable concluir que la media poblacional es de 21 huevos. ¿ Y de 25 huevos?
  • 18. Intervalo de confianza de una proporciòn.Hasta ahora los casos que se han presentado han sido con la escala de razòn, como ingresos, edades, distancias ,etc.En el intervalo de confianza de una proporciòn, vamos a utilizar la escala de mediciòn nominal. Proporciòn.Fracciòn, razòn o porcentaje, que indica la parte de la muestra de la poblaciòn, que posee un rasgo de interès particular.
  • 19. Proporciòn muestral.pn = X/ nX representa el No. de éxitos en la muestra n tamaño de la muestra.p proporción de la población
  • 20. Para estimar la proporción de éxito en la población,mediante un intervalo de confianza, deben cumplirse las siguientes condiciones: Se deben presentar las condiciones binomiales, en resumen estas condiciones son: a) Los datos de la muestra, son resultados de conteos.b) Solo hay dos resultados posibles éxito y fracaso, que son mutuamente excluyentes. d) La probabilidad de éxito permanece igual de una prueba a la siguiente. e) Las pruebas son independientes. Los valores np y n(1 – p) deben ser mayores que cinco.
  • 21. Calculo de la proporción de éxito en la población,mediante un intervalo de confianza.P ±Z n Pn1− Pn / n ( )P =Proporción de éxito en la muestra n1 - P = Proporción de fracaso en la muestra nn= Tamaño de la muestra
  • 22. El propietario de una gasolinera, desea determinar la proporción de clientes que utilizan tarjeta de crédito o débito, para pagarla gasolina en el área de las bombas. Entrevisto a 100 clientes y descubrió que 80 pagaron con tarjeta de crédito o débito. a)Calcule el valor de la proporción de la población. b) Construya un intervalo de confianza del 95%, para estimar la proporción de la población. c) Interprete el intervalo de confianza.
  • 23. Resolución a) P n = X/n = 80/100= 0.80 b) P n ± Z Pn(1− Pn) / n 0.80 ± 1.96 0.80(1−.0.80) /100= 0.72 a 0.88 0.95 /2 =0.475 Se busca en la tabla de área para una distribución normal, que valor de z corresponde a un área de 0.475 Z= 1.96 c) Existe una probabilidad de un 95%, de que la proporción del total de consumidores que utilizan tarjetas de crédito o débito, para echar gasolina, se encuentre entre 72% a 88%.
  • 24. Factor de corrección para una población finita. Las poblaciones de las que se han tomado muestras son muy grandes o infinitas. Cuando la población no es muy grande, es necesario realizar algunos ajustes en la forma de calcular elerror estándar de las medias muéstrales y del error estándar de las proporciones muéstrales. Una población con un limite superior es finita.Cuando la población es finita, representada por N y la muestra extraída de esta población por n, es necesario ajustar los errores muéstrales en las fórmulas de los intervalos de confianza. Este ajuste recibe el nombre de factor de corrección de una población finita, que viene dado por : FCPF = N−n/ N−1
  • 25. ¿Por qué es necesario, aplicar un factor de corrección, para una población finita y cuál es el efecto de hacerlo.Supongamos que tenemos una población de 1000 y tomamos una muestra de tamaño 100, vamos a observar el efecto del término N-n/N – 1.1000 – 100/1000 – 1 = 900/999 al sacarle la raíz cuadrada se obtiene el factor de corrección para una población finita que es igual a 0.9492.
  • 26. La desviación estándar de la distribución muestral de medias, llamadotambién error estándar de la media viene representado por:σ X = σ/ n σ Representa la desviación estándar de la población, que cuando no seconoce se estima con la desviación estándar de la muestra.Si para la muestra de tamaño 100, la desviación estándar de la muestra es2.6, si no se conoce la desviación estándar de la población, el errorestándar de la media es:2.6/ 100 = 2.6/10= .26 este valor al multiplicarlo por el FCPF 0.9492sereduce a 0.2468¿En cuanto se reduce el error estándar de la media, con este tamaño demuesta de 100?0.2468/0.26= 0.9492Reducción porcentual = 1 – 0.9492=0.0508El error estándar de la media, se redujo en 5.08%, al aplicar el factor decorrección.
  • 27. Factor de correciòn de una poblaciòn finita, cuando el tamaño de lade la poblaciòn es de 1000. % de disminuciònTamaño de la n/N FCPF en el error estàndar de la mediamuestra 1 - FCPF 10 0.010 0.9955 0.0045 25 0.025 0.9879 0.0121 50 0.050 0.9752 0.0248 100 0.100 0.9492 0.0508 200 0.200 0.8949 0.1051 500 0.500 0.7075 0.2925
  • 28. Deducciones de la tabla anterior a) Si el tamaño de la muestra es menor que el 5% de la población, el efecto del FCPF es muy pequeño. b) Si la razòn de n /N es < del 5%, se ignora el factor de correciòn. C) A medida que va aumentando elcociente de n/ N, se va incrementando el porcentaje de disminuciòn del error estàndar de la media.
  • 29. Ejemplo Hay 250 familias en Scandia ,Pennsylvania,. Una muestra aleatoria de 40 de estas familias, revela que la contribución media anual a la iglesia fue de $450.0, y la desviaciónestándar de $ 75. ¿ La media poblacional puede ser $ 445 o $ 425? a)¿ Cual es la media poblacional?.¿ Cual es el mejor estimador de la media poblacional.? b) Analice la razón, por la que se debe emplear el factor de corrección para una población finita. c)¿ Construya un intervalo de confianza del 90%, para estimar la media poblacional?.¿ Cuales son los puntos extremos del intervalo de confianza? d) Interprete el intervalo de confianza.