Geogebra en el aula trabajo fin de máster

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  • Hola, @Leonardo Mero Pilligua: el trabajo está hecho con fin de máster de la UNIR (Universidad Internacional de La Rioja, http://www.unir.net/). Es una universidad que imparte los cursos integramente on-line.
    Me alegro de que te haya servido el trabajo.
    Un saludo,
    Martin.
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  • hola señor Martin Ruiz Jerez su trabajo es muy interesante y me a ayudado mucho en mi tesis pero me gustaria que me diga en que cuidad y universidad se realizo este trabajo tan interesante
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  • Martín Ruiz Jerez (2012).Geogebra en el aula de clases. Andalucía: editorial Anaya
    me gustaria que me digan si estoy en lo correcto con esta bibliografia amigos
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  • alguien me podría decir en que universidad y ciudad realizaron este interesante trabajo de investigación
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  • muy bueno trabajo
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  • 1.       GEOGEBRA EN EL AULA USO DE GEOGEBRA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA‐APRENDIZAJE DE MATEMATICAS EN 3º Y 4º DE LA ESO  MÁSTER DE FORMACIÓN DE PROFESORADO  DE EDUCACIÓN SECUNDARIA  Trabajo de Fin de Máster  Curso 2010‐2011  Alumno: Martín Ruiz Jerez Director TFM: Pedro Viñuela
  • 2. 0. ÍNDICE 1.  RESUMEN ................................................................................................................. 3 2.  INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 4  2.1.  Presentación y justificación .................................................................................................. 4  2.2.  Objetivos ....................................................................................................................................... 6  2.3.  Metodología ................................................................................................................................. 6 3.  PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................. 8  3.1.  El estado de la cuestión (Revisión de fuentes) ............................................................. 8  3.1.1. Las TIC en la legislación educativa ........................................................................... 8  3.1.2. Introducción de las TIC en la actividad educativa ........................................... 11  . 3.1.2.1.  ¿Para qué las TIC? .......................................................................................... 11  3.1.2.2.  Impacto de las TIC en Europa: The ICT Impact Report. ................. 12  3.1.3. Geogebra en el aula de Matemáticas ...................................................................... 14  3.1.3.1.  Sistemas de Geometría Dinámica ............................................................ 14  3.1.3.2.  GeoGebra ........................................................................................................... 16 4.  FORMULACIÓN DE LA PROPUESTA .......................................................... 18  4.1.  Recursos TIC empleados en el aula de Matemáticas: GeoGebra .......................... 18  4.1.1. GeoGebra ........................................................................................................................... 19  4.1.1.1.  ¿Qué es GeoGebra? ........................................................................................ 19  . 4.1.1.2.  Un ejemplo de uso .......................................................................................... 20  4.2.  Propuesta metodológica para el uso de GeoGebra en el aula de matemáticas22  4.2.1. 3º de ESO ........................................................................................................................... 23  4.2.2. 4º de ESO (Opción B) ................................................................................................... 29  .5.  RESULTADOS ...................................................................................................... 37  5.1.  Aportaciones del trabajo ...................................................................................................... 37  5.2.  Discusión .................................................................................................................................... 38  5.3.  Conclusiones ............................................................................................................................. 40  5.4.  Implicaciones, recomendaciones y aplicaciones ........................................................ 41  5.5.  Limitaciones y sugerencias ................................................................................................. 43 6.  BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA ..................................................................... 44  6.1.  Bibliografía ................................................................................................................................ 44  6.2.  Webgrafía ................................................................................................................................... 44 7.  ANEXOS .................................................................................................................. 46  7.1.  Anexo I: Álgebra, geometría y funciones en el RD 1631/2006 ............................ 46  7.1.1. 3º ESO: ................................................................................................................................ 46  7.1.2. 4º ESO (Opción B): ........................................................................................................ 48  7.2.  Anexo 2: Índice de figuras ................................................................................................... 49  7.3.  Anexo 3: Índice de tablas ..................................................................................................... 49 2
  • 3. 1. RESUMEN  El uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) se imponeen el aula de la misma manera que en la sociedad, con sus ventajas y con sus limitaciones.Introducir las TIC en la escuela significa integrarla en el día a día de cada asignatura demanera que, en cada una de ellas, tanto alumnos como profesores puedan obtener elprovecho de las ventajas que les ofrecen. La necesidad y los beneficios de avanzar en la aplicación de estas tecnologías en elaula han sido y siguen siendo constatados en numerosos estudios. Aunque la introducciónde instrumentos tecnológicos en los centros es cada vez mayor, las posibilidades queofrecen sólo se intuyen. Podemos decir, por tanto, que estamos desperdiciando un granrecurso simplemente porque no sabemos qué hacer con él y no estamos preparados parautilizarlo. En este trabajo recogeremos algunos de estos estudios y analizaremos lasrespuestas observadas en nuestra experiencia docente. Veremos que el software matemático GeoGebra es una herramienta que permiterealizar de forma eficiente ejercicios y explicaciones que hasta ahora eran costosas y nodejaban satisfechos ni a los docentes ni a los estudiantes. Como caso paradigmático hemostomado el estudio de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO, que incluye las áreas deálgebra, funciones y geometría euclidiana. Abarca una amplia parte del currículum,incluyendo muchos conceptos importantes para cursos posteriores y que a menudo resultandifíciles para los alumnos. Propondremos una serie de actividades que nos podrán servirtanto de ayuda a la hora de explicar los conceptos como para que los propios alumnostrabajen. Del uso de GeoGebra con nuestros alumnos y alumnas podemos concluir que,efectivamente, supone una herramienta muy útil tanto para la enseñanza por parte delprofesor como para el aprendizaje por parte de los alumnos. 3
  • 4. 2. INTRODUCCIÓN  Observando el día a día de un profesor descubrimos que las potencialidades de lasTIC como recurso educativo están muy lejos de estar eficientemente aprovechadas.Queremos hacer una aportación para avanzar en este aspecto. 2.1. Presentación y justificación  Las “Nuevas Tecnologías” llevan tanto tiempo entre nosotros que el uso deladjetivo ya no tiene sentido. Ordenadores, Internet, móviles, etc. Disponemos ampliamentede todo tipo de aparatos y tecnologías que debieran servir para facilitarnos la vida. Incluso,está muy extendido el mito de que los jóvenes de hoy en día nacen sabidos en cuanto a TICy saben sacar de ellos todo el partido que quieran. Sin embargo, el verdadero uso que la sociedad hace de tanto avance es muyescaso. En el caso de estos jóvenes, que sienten especial atracción por estas tecnologías ytienen un fácil acceso a ellas, el uso se queda limitado muchas veces al ocio y elentretenimiento. Mientras tanto, estamos perdiendo la oportunidad de aprovechar el granpotencial que las TIC para la principal tarea que tienen, que es el aprendizaje. Además, noestamos sabiendo educarlos para que realmente hagan de ellas el mejor uso posible. La legislación educativa actual incluye las TIC no como fin en sí mismo sinocomo una herramienta más integrada en el aula. Es decir, no es suficiente enseñar a utilizarun ordenador o un procesador de texto, sino que debemos usarlas de tal manera queproporcionen nuevas y mejores metodologías educativas que permitan al alumno alcanzarlos objetivos del proceso, comenzando por las competencias básicas. En este trabajo analizaremos algunos estudios que demuestran los beneficios quetiene en la educación introducir las TIC y las características de GeoGebra comoherramienta para el estudio de las matemáticas. 4
  • 5. Veremos algunas aplicaciones realizadas con GeoGebra de cara al estudio de lageometría analítica en 3º y 4º de la ESO. Son aplicaciones que requieren poco trabajo depreparación gracias a la sencillez del programa, pero que hacen un gran papel a la hora deexplicar los conceptos necesarios, pues permiten hacer clara y dinámicamente lo que antesse hacía de manera estática y con dificultad. Nos referimos, por ejemplo, al estudio de lasrazones de los lados del triángulo rectángulo, a los puntos notables de un triángulo, a laresolución gráfica de sistemas, etc. 5
  • 6. 2.2. Objetivos  Con la elaboración de este trabajo pretendemos mostrar en qué aspectos y de quémanera las TIC ayudan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de una asignaturatradicional. Estudiaremos los beneficios que el uso del Sistema de Geometría DinámicaGeoGebra supone en las matemáticas, concretamente en el área de la geometría analítica. Lo objetivo principal es: • Ofrecer una propuesta de metodología y actividades para el uso de GeoGebra en el estudio de la geometría analítica (álgebra, funciones y geometría) en 3º y 4º ESO; Adicionalmente, nos proponemos mostrar que el uso de GeoGebra en el aula • Mejora la adquisición de conceptos, la comprensión de los problemas y la capacidad para resolverlos; • Aumenta el interés, la motivación y la actitud de los alumnos. Además, ofrecemos un estudio de la legislación educativa en relación con laintroducción y uso de las TIC. 2.3. Metodología  Para conseguir los objetivos propuestos hemos seguido varios procesosmetodológicos. En primer lugar, hemos realizado una investigación bibliográfica ywebgráfica, en el Boletín Oficial del Estado (Real Decreto), a través de bases de datoscomo Dialnet y de buscadores web, recogiendo: • El marco legal estatal que justifica la necesidad de introducir las TIC en la educación • Las aportaciones de diferentes autores y autoras que demuestran tanto los beneficios que tiene en la educación el uso de las TIC y de software 6
  • 7. matemático como GeoGebra, así como los déficits que en este sentido existen hoy en día. En segundo lugar, hemos realizado un trabajo de investigación activa en el aula,observando los resultados de introducir GeoGebra en Matemáticas de 3º y 4º de la ESO. Enconcreto, la observación directa ha sido realizada el Colegio Calasanz - Escolapios dePamplona (Navarra). Se trata de un centro privado concertado, situado en el centro dePamplona y bien comunicado con los barrios de la ciudad y las poblaciones de alrededor.Además, como parte de la propia identidad escolapia, el colegio realiza la opción de daroportunidades a todos los sectores sociales, lo que permite que haya alumnos y alumnassocial y culturalmente diversos. La observación se ha realizado sobre dos grupos de 3º de la ESO de 30 y 31alumnos y alumnas respectivamente y un grupo de 4º de la ESO de 25. Existe otro grupo en4º de la ESO, también de 25 alumnos. En este grupo, la asignatura es impartida por otraprofesora, de manera coordinada, por lo que las observaciones realizadas son puestas encomún entre los dos. En ambos grupos de 4º de la ESO la opción es la B.   7
  • 8. 3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA  Como hemos indicado, integrar las TIC en el proceso educativo de cualquiercentro es algo imprescindible hoy en día. La Sociedad de la Información o delConocimiento exigen hombres y mujeres competentes en estas tecnologías, no comoexpertos informáticos o telemáticos como usuarios capaces de aprovechar laspotencialidades que las TIC ofrecen, como un acceso inmediato a información, una gestióneficaz de la misma mediante programas informáticos capaces de realizar cada vez másoperaciones, comunicación instantánea, etc. Es obvio que las TIC no son imprescindibles para la vida humana. De hecho,hemos vivido milenios sin ellas. Sin embargo, nuestra época ofrece unos recursos y exigeque respondamos al nivel de esos recursos. ¿Podemos, entonces, privar a los alumnos, de los conocimientos necesarios parahacer el mejor uso de dichos recursos? ¿No es deficitario de por sí un sistema educativo queno prepare para a los jóvenes para el futuro? Si es así, ¿qué debemos o podemos hacer paraque las TIC formen parte del aula? Obviamente, harán falta muchos estudios para acabar de dar respuesta a estaspreguntas. Queremos, mediante este trabajo, hacer una aportación en este sentidorecogiendo algunas conclusiones de estudios realizados por otros autores y autoras y ennuestra propia actividad docente y planteando una propuesta metodológica. 3.1. El estado de la cuestión (Revisión de fuentes)  3.1.1. Las TIC en la legislación educativa  El Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre (RD 1631/2006) (España, 2006),que establece las enseñanzas mínimas para la ESO destaca la importancia de las TIC en elproceso educativo. 8
  • 9. La competencia en tratamiento de la información y competencia digital(competencia 4) forma parte de las competencias básicas propuestas en el marco europeo yasumidas por la legislación del estado español. El RD 1631/2006, en el Anexo I, expresa deforma clara en qué se basa la necesidad de adquirir esta competencia: • De modo general, las competencias básicas tienen su razón de ser en la importancia de que el proceso de enseñanza-aprendizaje permita a los estudiantes una formación integrada que los haga capaces (competentes) para las tareas cotidianas de la vida, en todos sus ámbitos. El desarrollo de estas competencias implica la asunción de medidas en diversos ámbitos como el uso de determinadas metodologías y recursos didácticos. • De modo particular, el tratamiento de la información y competencia digital deben capacitarlos para buscar, obtener, procesar y comunicar información. […] aprovechar la información que proporcionan y analizarla de forma crítica. En cuanto al papel que las TIC juegan en el desarrollo de esta competencia, en elmismo anexo, el RD 1631/2006 añade: “la competencia digital comporta hacer uso habitualde los recursos tecnológicos disponibles para resolver problemas reales de modo eficiente”. El Anexo II del RD 1631/2006 establece los contenidos mínimos de cadaasignatura impartida en la ESO por cursos y analiza su contribución al desarrollo de lascompetencias básicas. En efecto, enfocar las matemáticas como herramienta para resolversituaciones de la vida real hará a los estudiantes más competentes. El uso de las TIC,concretamente, contribuye a una mejor adquisición de la competencia 4, en cuanto quepermite asimilar mejor los contenidos y gestionar datos como los gráficos y los estadísticos,tan utilizados hoy en día. El uso de herramientas informáticas en la asignatura de Matemáticas en la ESOestá previsto en diferentes áreas de la asignatura desde el primer curso. Conforme avanzanlos cursos, el RD 1631/2006 prevé una mayor introducción de las TIC. En relación a lageometría y al análisis de funciones, el RD 1631/2006 marca los siguientes mínimos: 9
  • 10. • Común a todos los cursos: o Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.• 1º ESO: o Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos.• 2º ESO: o Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas.• 3º ESO: o Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas.• 4º ESO A: o Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis.• 4º ESO B: o Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical. o Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico. 10
  • 11. 3.1.2. Introducción de las TIC en la actividad educativa  3.1.2.1. ¿Para qué las TIC?  Como varios expertos y expertas en didáctica afirman, las TIC suponen un reto enmuchos ámbitos para la educación actual, que no afecta sólo a los recursos de quedisponemos sino a toda la estructura del sistema educativo. En el año 2006, la Universidad Internacional de Andalucía (UNIA) ofreció uncurso de verano con el título Tecnologías de Información y la Comunicación y prácticadocente. La encargada de organizar el curso fue la catedrática de la Universidad deBarcelona Juana Mª Sancho Gil. El curso contó con varios expertos en la materia y suscontenidos fueron sintetizados en el libro Tecnologías para transformar la educación,(Sancho, 2006), editado por la propia UNIA y AKAL. En el primer capítulo del libro (pp.15-37), Sancho realiza un análisis de los retos que citamos. Como ya hemos indicadoanteriormente, Sancho nos dice que las TIC son una realidad y que van a estar presentes pormucho tiempo, están transformando el mundo que conocemos y no podemos obviarlas en laeducación. Es decir, capacitar a los alumnos y alumnas en el buen uso de las TIC es unaexigencia de la sociedad en la que tienen que desenvolverse. El principal reto que plantea es precisamente el de que la implantación de las TICen la escuela no tendrá éxito si no se replantea y rehace la estructura toda de un centroeducativo. Ante la irrupción de esta nueva herramienta, Sancho advierte de la posibilidadde que se quede en una nueva “promesa rota”, como otras que han ocurrido a lo largo de lasúltimas décadas, si no se reflexiona sobre el papel que deben jugar y las verdaderasconsecuencias que deben tener para la educación. Como indica Sancho, cada “escuela” pedagógica puede simplemente adaptar sumetodología para que incluya las TIC como una herramienta más. Tanto conductistas,como cognitivistas pueden hacerlo sin que su modelo educativo cambie. Es menos común,afirma, que el profesor cambie su mentalidad y su modelo para adaptarlo a lasconsecuencias que las TIC traen a la sociedad, en cuanto a formas de comunicación,acceso, a la información, gestión de contenidos, procesado de datos, cálculos, etc. 11
  • 12. La cuestión que se plantea es: ¿debemos seguir enseñando de la misma manera ycon los mismos objetivos que antes de las TIC? En la práctica, es lo que se está haciendo.¿Cuáles son las dificultades que impiden una forma diferente de educar, acorde alparadigma que plantean las TIC? Citando varias fuentes, Sancho señala como principalesobstáculos: una cerrada y anticuada organización escolar; un desigual uso de las TIC porparte de los docentes; y una consideración parcial de las posibilidades de las TIC querefuerza su visión de la educación. 3.1.2.2. Impacto de las TIC en Europa: The ICT Impact Report.  Varios de los aspectos señalados por Sancho son recogidos también en “The ICTImpact Report” (Balanskat, Blamire y Kefala, 2006), redactado por la European SchoolNet(grupo constituido por los ministerios de educación de 31 países), que analiza los resultadosde una serie de estudios realizados en Europa, a distintos niveles administrativos, enrelación a la introducción de las TIC en los centros educativos europeos. Algunos de losresultados que arroja el informe (2006, p. 6), en relación al punto anterior, son: • El impacto de las TIC sobre los resultados de los estudiantes depende del uso que se les dé y de la capacidad del profesor de sacarles provecho; • Los profesores de Europa utilizan más las TIC cuando perciben que refuerzan sus creencias y se amoldan a sus métodos tradicionales; • Existen obstáculos que dificultan la implantación de las TIC en la escuela. Estos obstáculos pueden estar en el profesor, en la propia estructura e infraestructura de la escuela o, incluso, en el sistema educativo nacional. El informe resalta una serie de beneficios de las TIC en la educación, tanto paralos estudiantes como para los profesores (2006, pp. 4-5). Algunos de estos beneficios son: • Para los estudiantes: o Las TIC tienen un impacto positivo en varias áreas de la educación primaria (principalmente en Inglés1, y escasamente en Matemáticas2); 1 Considerando el inglés como lengua nativa 12
  • 13. o Las pruebas PISA, realizadas a alumnos de todos los países de la OCDE revelan que hay relación entre el acceso a las TIC y el resultado en Matemáticas; o El mayor uso de las TIC y mejores recursos suponen más rápidos avances; o El uso de pizarras digitales interactivas mejora los resultados de los alumnos, incluyendo las Matemáticas; o Ayudan a desarrollar ciertas habilidades transversales, como la búsqueda de información y la investigación; o Refiriéndose a la atención a la diversidad, el informe destaca que el uso de las TIC mejora el desempeño de alumnos con menores capacidades. • Para los profesores: o Aumentan el entusiasmo por la labor docente; o Aumenta la eficiencia en la preparación y el planeamiento, y la colaboración con los compañeros; o Pueden servir de apoyo a su labor tradicional o motivarlos para buscar nuevas metodologías. • Además, los estudios recogidos en el informe analizan también la percepción subjetiva que los miembros de la comunidad educativa tienen del impacto de las TIC sobre los estudiantes. Según el informe: o El 86% de los profesores opina que sus alumnos están más motivados y prestan más atención cuando se usan TIC en el aula, además de mejorar sus capacidades de comunicación y procesado de la información; o Las TIC tienen un impacto positivo en el comportamiento en los alumnos; o El uso de material multimedia e interactivo les resulta atractivo y motivador (sobre todo en educación primaria). 2 Algunos resultados para las matemáticas son contradictorios, aunque se refieren a nivelesescolares diferentes. El informe destaca que sean positivos para las pruebas PISA (entre otros). 13
  • 14. A la vista de estos resultados, el informe aconseja dedicar esfuerzos a diseñar unplan para introducir las TIC en los centros educativos que aproveche al máximo lasposibilidades que éstas ofrecen (2006, p. 8). 3.1.3. Geogebra en el aula de Matemáticas   3.1.3.1. Sistemas de Geometría Dinámica  GeoGebra es una aplicación informática dentro de los llamados Sistemas deGeometría Dinámica (DGS por sus siglas en inglés). Este término hace referencia aaquellos programas informáticos de representación geométrica que permiten al usuariomodificar los elementos (por ejemplo, arrastrándolo) y observar la respuesta de otroselementos de manera dinámica o, dicho de otra manera, en “tiempo real”. Por ejemplo,podemos dibujar un triángulo y observar cómo varía su área si arrastramos uno de susvértices a lo largo de la gráfica. Los DGS permiten dibujar, de manera sencilla, “cualquier” figura geométrica,hallar áreas, distancias, elementos característicos, etc. Además, podemos observar quéocurre con estos parámetros si modificamos las coordenadas u otras características de lafigura. Algunos ejemplos de DGS son GeoGebra, que será nuestra referencia en estetrabajo, Cabri, Calques 3D, Cinderella, etc. La Doctora en Matemática Educativa Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, de laUniversidad Autónoma del Estado de México, realizó en 2009 un estudio sobre lainfluencia de la geometría dinámica en el aprendizaje de alumnos entre 15 y 18 años(Sandoval, 2009). El estudio destaca que el uso de DGS “ofrece un campo de exploraciónque no es factible en las representaciones con lápiz y papel” (p. 8). Es decir, permitenrepresentar figuras geométricas de una manera mucho más sencilla y clara. Además, Sandoval observa que el carácter dinámico de la aplicación (Cabri)permite explorar las variaciones de un problema y sacar conclusiones teóricas sobre elcomportamiento de los elementos geométricos y sus propiedades. Los alumnos realizaban 14
  • 15. conjeturas y comprobaban, de manera sencilla, su validez. Evidentemente, esto no lleva auna demostración teórica, pero los alumnos construyen una nueva manera de entender elproblema (Sandoval, pp. 23-25). El estudio muestra, por lo tanto, que el uso de DGS en el aprendizaje de lageometría facilita el ver y entender con mayor claridad los conceptos ligados a las figuras,además de permitir la formulación y comprobación de conjeturas y acercar el problema y susolución al alumno. Otro estudio realizado en Rio de Janeiro, utilizando el SGD Calques 3D, muestraque el uso de estas herramientas facilita “la comprensión de las fórmulas de los volúmenesde los sólidos geométricos más utilizados en la enseñanza de secundaria” (Alves, Soares yLima, 2007). Además, ofrece resultados cualitativos obtenidos en tres pruebas realizadas,atendiendo a otros tantos aspectos: la calificación obtenida en la evaluación académica, elconocimiento geométrico adquirido y el raciocinio espacial. Las pruebas fueron aplicadas ados grupos, uno de los cuales utilizó DGS y el otro recibió clases normales. En los tresaspectos, el grupo que recibió clases utilizando Calques 3D obtuvo resultadossignificativamente mejores que el grupo de control que siguió con las clásicas. La Unión Europea puso en marcha el proyecto Inter2geo 3 (InteroperableInteractive Geometry for Europe), en el que participaron varias universidades (entre ellas laUniversidad de Cantabria) y empresas desarrolladoras de DGS (GeoGebra, Cabri,Cinderella…). El proyecto fue llevado a cabo entre los años 2007 y 2010 con el objetivo depromover el uso de esta herramienta y facilitar recursos para los docentes. El proyecto sepresenta a sí mismo como “una vía para mejorar la enseñanza matemática con la ayuda deun ordenador”. Pretende difundir las herramientas de geometría dinámica ofreciendorecursos y aplicaciones ya preparadas que pueden ser usadas de manera libre en el aula.Actualmente cuenta con casi 3400 recursos y más de 1100 miembros y, aunque el proyectocomo tal ha concluido, cada usuario puede contribuir con sus propias aplicaciones, demanera que la página siga funcionando por sí sola y sirva de fuente para los docentes. 3 El sitio en internet del proyecto es: http://i2geo.net/ 15
  • 16. 3.1.3.2. GeoGebra  En su artículo GeoGebra, la eficiencia de la intuición (Losada, 2011), RafaelLosada, que es uno de los expertos españoles de en DGS y GeoGebra, repasa las cualidadesque hacen de esta aplicación una gran herramienta para la docencia de Matemáticas. Losada enfatiza varios aspectos de GeoGebra que lo hacen destacar sobre otrossoftware. En primer lugar, tiene licencia GNU GPL (gratuito y de código abierto), esmultiplataforma (Windows, Linux, Solaris, MacOS X) y cuenta ya con varios premios. Gracias a su licencia y a las posibilidades que ofrece como aplicación, tiene unagran comunidad multidisciplinar que lo apoya y lo mejora. Así, cuenta con foros, wikis, etc.donde compartir experiencias y dudas. Además, está traducido a multitud de idiomas,incluidos el castellano, el euskara, el catalán y el gallego, lo cual es un valor añadido quepermite ser utilizado en las diferentes comunidades autónomas del estado según lacooficialidad de las lenguas y su modelo lingüístico y educativo. Es el caso de Navarra,donde hemos realizado el trabajo y en gran parte de cuyo territorio el euskara es lenguacooficial, y los modelos bilingües son una opción cada vez más extendida. GeoGebra permite también publicar de forma muy sencilla las realizaciones enpáginas web, lo que hace que haya muchas páginas que ofrecen applets muy útiles. Como dice Losada, desde el punto de vista de su utilidad, la gran ventaja deGeogebra es que aúna las características de dos tipos de programas matemáticos: es, almismo tiempo, un DGS y un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, entre los que seencuentran Derive, Mathematica y Matlab). Esto significa que los comandos pueden serintroducidos de dos maneras: con el ratón (como en los DGS) y con el teclado (como en losCAS). Es decir, podemos dibujar una recta que pasa por dos puntos clicando con el ratónsobre la gráfica y buscando la herramienta que crea una recta que pasa por esos dos puntos,o podemos teclear la ecuación de la recta en la línea de comandos. Permite mezclar las dosfuncionalidades, por ejemplo para realizar cálculos referidos a las figuras representadas,como puntos de intersección, derivadas, áreas, etc. 16
  • 17. Su sistema de doble ventana, geométrica y algebraica, permite visualizar al mismotiempo. Lo que hagamos en una de las ventanas se refleja automáticamente en la otra, demanera que introducir un punto con el ratón o tecleando sus coordenadas da el mismoresultado. Aunque es posible realizar aplicaciones con una elaboración compleja, Geogebraestá pensado ser sencillo e intuitivo, de manera que profesores y alumnos puedan utilizarlosin grandes conocimientos informáticos. Además, su objetivo no está en la realización decálculos complejos y de mucha complejidad, sino el aprendizaje escolar de la geometría,por lo que los esfuerzos realizados van más en la creación de herramientas útiles. 17
  • 18. 4. FORMULACIÓN DE LA PROPUESTA  Volviendo a las preguntas que formulábamos anteriormente, al presentar elproblema, y habiendo analizado lo que otros autores y autoras han publicado sobre TIC enel aula y sobre el uso de DGS como GeoGebra, queremos presentar aquí nuestra propuestametodológica para la introducción de las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje. 4.1. Recursos  TIC  empleados  en  el  aula  de  Matemáticas:  GeoGebra  Para el tema que nos ocupa, el proceso de aprendizaje-enseñanza, la grandeza deestas aplicaciones es que permiten a los profesores hacer de manera efectiva y sencilla loque antes, sobre la pizarra, resultaba prácticamente imposible por mucho empeño yhabilidad que se pusiera: hacer que los alumnos entendieran los fundamentos gráficos delas matemáticas en general y de la geometría en particular. Por ejemplo, demostrar que el circuncentro, el baricentro y el ortocentro decualquier triángulo están alineados (dando lugar a la recta de Euler) con tiza, compás yregla (y borrador) era una tarea laboriosa, imprecisa, estática y cuya explicación acababaapelando a la fe de los alumnos: “¿Entendéis? Pues así ocurre con todos”. Posteriormente,el dibujo se borraba y con él, en muchos casos, la explicación. Aunque es cierto quealgunos alumnos aprendían y ejercitaban la capacidad espacial y de abstracción, también escierto que muchos de ellos no lo hacían: no entendían el dibujo, ni el problema, ni elresultado, y como mucho, aprendían el proceso y lo hacían en el examen. Utilizando un DGS podemos dibujar el triángulo, las alturas, mediatrices ymedianas necesarias para hallar los puntos notables y trazar la recta que pasa por esospuntos. Todo esto con precisión, claridad y limpieza, rapidez, invirtiendo más tiempo enexplicar los conceptos que en trazar los arcos y rectas, utilizando colores y trazos diferentespara remarcar elementos más importantes, ocultando y volviendo a exhibir objetos cuandosea necesario, etc. Una vez hecho esto, podemos modificar el triángulo y observar qué 18
  • 19. ocurre con las alturas, los puntos, su alineación, etc., sin tener que dibujar todo desde elprincipio. Evidentemente, no queremos con esto decir que, a partir de ahora, todo el trabajode geometría deba ser realizado con el ordenador. Es evidente el valor que tienen el lápiz yel papel (y la regla, el compás, etc.) para aprender geometría, conocer las figuras básicas,entender qué es una tangencia, etc. Ambas herramientas deben combinarse para serutilizadas en los momentos en que sean necesarias y con los beneficios que cada una aportaal aprendizaje. 4.1.1. GeoGebra  4.1.1.1. ¿Qué es GeoGebra?  Como ya hemos comentado en el punto 3.1.3.2 de la revisión de fuentes, en el queanalizábamos el artículo de Rafael Losada, GeoGebra es un programa informático dematemáticas orientado a la educación. La gran ventaja que presenta sobre otros software esla integración de diferentes tipos de vista, algebraica y gráfica, que nos permite trabajardinámicamente de las dos maneras, observando también los resultados algebraicos ygeométricos al mismo tiempo. Además, desde la versión 3.2, lanzada en 2009 y la última versión estable hastaahora, incorpora una hoja de cálculo que nos permite observar, por ejemplo, los valores quetoma una función en diferentes puntos o, incluso, trabajar con estadística. En la actualidad,los desarrolladores están trabajando en la creación de un entorno 3D, que debe suponer ungran avance por su importancia en la geometría. La web oficial es www.geogebra.org. Desde ella podemos descargar el programa(ya hemos dicho que es gratuito) y acceder a gran cantidad de recursos de ayuda paracomenzar e ir avanzando. 19
  • 20. 4.1.1.2. Un ejemplo de uso  Vista gráfica, algebraica y hoja de cálculo  En la siguiente imagen vemos una captura de pantalla de GeoGebra con las tresvistas: algebraica, en la que aparecen las expresiones de las curvas, puntos, etc.; gráfica, enla que se muestran los elementos dibujados en los ejes cartesianos y la hoja de cálculo. Figura 1. Integración de vistas algebraica y gráfica y la hoja de cálculo. Las curvas han sido dibujadas escribiendo en la ventana “Entrada” (parte inferior)la expresión analítica. Los puntos, calculando los valores en la hoja de cálculo y pidiendo aGeoGebra que los dibuje. Como vemos, tenemos diversas formas de trabajar con GeoGebra, de la mismaforma que existen diferentes formas de trabajar con funciones y puntos. Vemos en la vista algebraica que tenemos objetos libres y objetos dependientes.Los objetos libres son aquellos que no dependen de otros. Los objetos dependientes utilizanparámetros referidos a otros objetos, y varían en la medida en que estos lo hacen. Porejemplo, la curva g(x) tiene la expresión g(x)=ax2+bx+c. Es decir, depende de tres objetosa, b y c. En nuestra aplicación, estos tres objetos son sendos deslizadores cuyos valores 20
  • 21. podemos modificar en la ventana gráfica. En la hoja de cálculo hemos recogido los puntospara x desde -16 hasta 17. Si movemos los deslizadores, se actualizan automáticamentetanto la gráfica como la expresión en la vista algebraica y los valores en la hoja de cálculo. Todos los objetos utilizados son muy sencillos de crear. Simplemente hay querespetar algunas reglas sintácticas. Modificar el color, el nombre y otras propiedadestambién es muy fácil, podemos ocultar los objetos si no nos interesa que se vean, hacerlosfijos en la gráfica, etc. El deslizador también es muy simple: tiene su propio comando en elmenú y podemos modificar, entre otras cosas, los valores extremos y el incremento. Vemos también que podemos escribir en la ventana gráfica. Los textos tambiénpueden ser dinámicos, utilizando una sintaxis que incluye variables e, incluso, fórmulastípicas de LaTex. Por ejemplo, el texto que aparece en la aplicación mostrando la abscisadel vértice de g(x) también varía dinámicamente al variar los deslizadores, re-calculando elvalor de la abscisa según la fórmula p=-b/2a. La cadena utilizada para crear este texto hasido la siguiente: "Abscisa  del  Vértice:  P= - frac{ b }{2a } = - frac{ " + b + " }{2" + a + " }=" + (-(b) / (2 a)) Esta es la única parte complicada de la aplicación, aunque un pequeño estudiopermite ver que son pocas las reglas y conocimientos necesarios. En todo caso,probablemente no encontraremos complicaciones mayores que ésta en GeoGebra. Ya hemos dicho que la comunidad entorno a GeoGebra es muy amplia. En ellapodemos encontrar todo tipo de recursos que nos ayuden en nuestro trabajo con elprograma: manuales y tutoriales (también video-tutoriales), wikis, blogs, páginas deprofesores en el que muestran cómo trabajan en el aula con GeoGebra y páginas con grancantidad de aplicaciones diseñadas y libres para ser usadas. 21
  • 22. 4.2. Propuesta metodológica para el uso de GeoGebra en el  aula de matemáticas  Como hemos visto, GeoGebra no es sólo un Sistema de Geometría Dinámica. Es,además, un Sistema de Cálculo Algebraico. Con él podemos estudiar las figurasgeométricas como tales, pero también podemos estudiar funciones y hacer álgebra. Comoejemplo para la creación de una metodología que haga uso de Geogebra vamos a considerarel estudio de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO. El currículum de la Opción B de 4º de la ESO incluye el estudio de la geometríaanalítica. La geometría analítica es la parte de las matemáticas que estudia la geometría através de cálculos algebraicos y funciones. Evidentemente, para poder trabajar este tema en4º de ESO es necesario tener conocimientos de álgebra y funciones. Es decir, integraconocimientos de varios bloques del currículum. El Anexo I recoge los contenidos que el RD 1631/2006 marca para los bloques deÁlgebra, Geometría y Funciones y gráficas en 3º y 4º de la ESO (Opción B). Los tresbloques son trabajados también en 1º y 2º, pero vamos a considerar aquí los contenidos delsegundo ciclo. Veremos algunas actividades que podemos realizar con Geogebra paraacompañar el estudio de estas áreas, tanto para facilitar el ejercicio de la explicación delprofesor, como para afianzar después la compresión y capacidad de resolución deproblemas de los alumnos. Para ello seguiremos las Unidades Didácticas de los currículos,tomando como referencia los libros de texto de la editorial Anaya para 3º y para 4º de laESO. Muchos de los ejemplos y ejercicios propuestos son extraídos del texto, pero losutilizamos aquí como base para presentar las propuestas de uso de GeoGebra. Destacamos,para cada Unidad Didáctica, algunos puntos importantes que podemos trabajar conGeoGebra y realizamos propuestas para este trabajo. 22
  • 23. 4.2.1. 3º de ESO  Sistemas de ecuaciones lineales  • Cuando tenemos ecuaciones con dos incógnitas x e y las soluciones son parejas (x,y). • En general, existen infinitas parejas que cumplen la ecuación. • Dichas parejas pueden ser entendidas como las coordenadas cartesianas de un punto del plano. • A este nivel, las ecuaciones con dos incógnitas con las que se trabaja son ecuaciones lineales. Los infinitos puntos que son solución de la ecuación forman una recta. • Podemos dibujar la recta que contiene las soluciones de la ecuación dibujando dos de las soluciones y uniéndolas. • Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones. Propuestas GeoGebra Actividad 1: Soluciones de una ecuación lineal Para entender qué significa un sistema de ecuaciones y cómo interpretar susolución es necesario entender qué es una ecuación de dos incógnitas y cómo son sussoluciones. En el campo de la geometría, una ecuación de dos incógnitas, es una relaciónentre esas dos incógnitas, de manera que a cada valor de una de ellas le corresponde otrovalor de la otra. Aún no hablamos de funciones ni de variables independientes odependientes, aunque en la práctica tenderemos a usar la x como variable independiente yla y como dependiente. Podemos utilizar GeoGebra de la siguiente manera para apoyar nuestraexplicación. Proponemos una ecuación de dos incógnitas dada por la siguiente expresión: 2  5 7  Despejamos la variable y: 23
  • 24. 2 7   5 Propondremos a los alumnos que vayan dando parejas de valores a x y hallen elcorrespondiente valor de y. Estos pares de puntos son solución de la ecuación. Además,iremos dibujando en la gráfica de GeoGebra los puntos que corresponden esas parejas devalores, introduciéndolos por la entrada de comandos. Por ejemplo: Tabla 1. Soluciones x y 0 -7/5 1 -1 2 -3/5 -1 -9/5 -2 -11/5 -4 -3 -3 -13/5 … … Figura 2. Soluciones de una ecuación lineal Conforme vayamos obteniendo soluciones veremos más claramente que todos lospuntos están alineados. Las infinitas soluciones que podemos obtener forman la recta que seexpresa con la ecuación. Podemos dibujar la recta que forman todos esos puntos con el comando “Rectaque pasa por dos puntos” y comprobar que la expresión analítica es la misma (según quépuntos tomemos la expresión será la que hemos trabajado o una equivalente). Una vez que tenemos la recta, podemos comprobar que cualquier punto essolución de la ecuación. Obtenemos las coordenadas de cualquier punto con el comando“Nuevo punto” y pasando el ratón sobre la recta. Después, podemos comprobar que esapareja de coordenadas cumplen la ecuación. Por último, podemos comprobar que los puntosexternos a la recta no la cumplen. 24
  • 25. Actividad 2: Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales Es fundamental que los alumnos entiendan que resolver un sistema de ecuacioneses buscar aquellas de las infinitas soluciones de ambas ecuaciones que es común a las dos.Tratándose de ecuaciones lineales y, por tanto, de rectas, en general habrá un único par(x,y) que sea solución de las dos ecuaciones, o ningún punto (si son paralelas), o infinitos(si las dos ecuaciones son equivalentes). Tanto en 3º como en 4º de la ESO se insiste enrelacionar la resolución analítica de un sistema con su resolución gráfica (en 3º con lineales,en 4º con otros tipos de ecuaciones). Para ello, se proponen sistemas y se pide resolverlosde ambas maneras. Podemos apoyarnos para laexplicación representando en Geogebra elsiguiente sistema: 5 4 32   1 Para ello escribimos las ecuacionesen la entrada (podemos cambiar el color delas rectas para añadir claridad). Con el Figura 3. Resolución gráfica de sistemas decomando “Intersección de Dos Objetos” ecuaciones linealespodemos hallar el punto de cruce de las rectas (punto A). Insistiremos en que cada recta por separado tiene infinitas soluciones, pero sólouna de ellas es común a las dos. Podemos hacer más ejemplos, incluyendo rectas paralelas y ecuacionesequivalentes. Indagar sobre el número de soluciones que tiene un sistema (una, ninguna oinfinitas) forma parte del contenido de esta unidad didáctica. 25
  • 26. Actividad 3: Ejercicios para los alumnos Proponemos algunos ejercicios para que los alumnos realicen: • Representa los puntos {(1,-1), (3,5;0), (6,1), (1,3), (0;1,4,)}. • Representa la recta 2x-5y = 7. ¿Qué observas? • Representa las rectas de ecuaciones: 2x-y = 6, x+y = 0. ¿Cuál es la solución común de ambas ecuaciones? • Comprueba cuáles de los pares de valores siguientes son soluciones de la ecuación 4x-3y = 12: (6,4); (6,12); (0,-4). • Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di que pasa con ellas: {x-2y = -2, 2x+2y=8}, {y-x = 0, y = 2} (Cada pareja de rectas de diferente color a las otras). • Representa las siguientes rectas y di qué relación hay entre ellas: {2x+3y = 15, 4x+6y = 18}. • Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones (hazlas todas en la misma gráfica, ocultando las que ya hayas resuelto y cada par de un color diferente): 3 1 3 0 3 5 2 3 4 2 5 3 6 2 4 8 2 Funciones y gráficas  • Entender la función como la relación entre dos variables. • Relacionar la expresión analítica de una función y su gráfica. Representar gráficas de funciones dando valores a las incógnitas (hallando soluciones). • Reconocer las características de una función: dominio, crecimiento, máximos y mínimos, continuidad, periodicidad y tendencia. • Comprender que el dominio puede variar en el contexto de un problema concreto. 26
  • 27. Propuestas Geogebra Actividad 4: Ejercicios para los alumnos Realizar los siguiente ejercicios, describiendo de cada gráfica: dominio de definición, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, periodicidad, tendencia… • Representa la función y = x·(40-x). Una vez la tengas, ocúltala y representa la misma función en otro color, pero sólo para el dominio de definición de 0-40. • Representa el valor del área de un cuadrado en función de la longitud de su lado. Representa en una gráfica el coste de conexión de una tarifa de internet, sabiendo que pagamos 15 € fijos más 0.5 € por hora. • Sabiendo que una libra corresponde a 0.45 kg, representa una gráfica que nos sirva para traducir los precios. • Representa las siguientes funciones y comenta que puedes decir de ellas (dominio, máximos, mínimos, crecimiento, decrecimiento, continuidad) : √ 3 y = x2 + 20 x + 110 y=tg(x) • Representa la siguiente función definida a trozos: ,      0   2 3 4,      2   4 2 16,      4   6 4,      6   9 13,      9   10 7,      10   11 En el ejercicio 4 hay que tener en cuenta que las funciones presentadas no sonobjeto de estudio en 3º de la ESO. Sin embargo, podemos dibujarlas con GeoGebra yanalizar sus propiedades, sin profundizar en ellas. De esta manera vemos varios ejemplosde comportamientos. 27
  • 28. Funciones lineales y afines  • El concepto de pendiente y su cálculo es fundamental para entender estas funciones: qué información nos da la gráfica, que significa la expresión analítica y cómo se relacionan ambas. • Coordenada en el origen. • Dar la expresión analítica a partir de la gráfica (conociendo la pendiente y la ordenada en el origen u otro punto, o conociendo dos puntos) y viceversa. • ¿Pertenece un punto a una recta? Propuestas GeoGebra  Entender qué es y cómo se calcula la pendiente de una recta es fundamental. Ennuestra experiencia hemos observado que, aunque todos los alumnos entienden qué es lapendiente en el “mundo real”, tienen cierta dificultad para comprenderla como conceptomatemático. Por esto, es importante relacionar el uno con el otro. Resultó útil para ellohablar de la pendiente en términos de movimiento: cómo aumenta (o disminuye) la y en lamedida en que “nos movemos” por el eje de las x.Actividad 5: Pendiente de una función de proporcionalidad Hemos diseñado una aplicaciónque contiene los siguientes elementos: • Una recta y=mx; • Un deslizador m para elegir la pendiente de la recta; • Un deslizador x0 para movernos en el eje x; • Un punto A que depende del Figura 4. Pendiente de una función de proporcionalidad desliza-dor x0; • Un punto B=(0,0) para explicitar que la recta pasa por este punto sea cual sea m; 28
  • 29. • Una fórmula que calcula la relación entre la y y la x en cada momento; • Una casilla para mostrar u ocultar las líneas de las coordenadas del punto. Al mover el deslizador x0 el punto A se mueve, cambian las coordenadasmostradas en la pantalla y se calcula y0/x0. Se verá que este valor siempre es igual a lapendiente. Si movemos el deslizador m se dibuja la nueva recta.Actividad 6: Pendiente de una función afín Podemos hacer una pequeñavariación en la aplicación anterior paramostrar cómo se halla la pendiente a partirde dos puntos. En esta ocasión, podemosmodificar la pendiente y la ordenada en elorigen, y elegir dos puntos. Remarcaremoslos siguientes aspectos: • Una función afín se obtiene a partir de una de Figura 5. Pendiente de una función afín proporcionalidad (n=0), sumando una cantidad (n); • La pendiente es la relación entre lo que varían las coordenadas y y lo que varían las coordenadas x. • La pendiente no depende de los puntos que escojamos; • Tampoco depende del valor de n. 4.2.2. 4º de ESO (Opción B)  Ecuaciones, sistemas e inecuaciones  • Resolver sistemas de primer grado, de segundo grado, con radicales, con variables en el denominador. • Resolver inecuaciones con una incógnita algebraica y gráfica. Interpretación de las soluciones de una inecuación. 29
  • 30. • Resolver sistemas de inecuaciones y representar sus soluciones por medio de intervalos. Interpretación gráfica. Propuestas GeoGebra   Entender la relación entre la resolución analítica y gráfica de un sistema deecuaciones sigue siendo un objetivo en 4º de la ESO. En este curso trabajamos con otro tipode ecuaciones más complicadas. El procedimiento con los ejercicios será hallar la soluciónde las dos formas y, así, comprobar que es correcta. También lo haremos así conGeoGebra.Actividad 7: Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Proponemos realizar con GeoGebra algunos de los ejercicios que se hagan enclase, como los del libro. Por ejemplo: Ejercicio 17: 3 0 1 a) b)  5 2 2 2 3 3 2 0 c)  d)  0 2 8 En la imagen se muestra cómoquedaría la resolución del ejercicio 17 a).Para construir las figuras, basta conescribir la expresión algebraica en laEntrada de comandos. Vemos en la Vistaalgebraica que GeoGebra modifica laexpresión para adaptarla a las estándar(por defecto, ha expresado la rectamediante su expresión general). Figura 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Vemos que GeoGebra nos da el valor exacto de los puntos de intersección. 30
  • 31. Otros ejemplos de los ejercicios que aparecen en el libro y que podemos utilizarson: Ejercicio 26 a): 2   Ejercicio 27 a): √7 3 1Actividad 8: Resolución gráfica de inecuaciones Resolver gráficamente una inecuación consiste en dibujar las expresiones queaparecen a cada lado del signo de la desigualdad como si fueran funciones y ver en lagráfica para qué valores de x se cumple tal desigualdad: 4 2 3 La expresión de la izquierdacorresponde a la parábola y la de laderecha a la recta. Como nos interesan quelos puntos en los que la parábola esestrictamente mayor que la recta,observando los puntos de cruce en la Vistaalgebraica tenemos que el intervalo es el(-1, 3). Figura 7. Resolución gráfica de inecuacionesActividad 9: Sistemas de inecuaciones En este caso, realizamos unproceso parecido al anterior pero con dosparejas de expresiones buscamos aquellosvalores de x para los que se cumplan almismo tiempo las dos desigualdades: 2 4 0 2 7 3 Figura 8. Sistemas de inecuaciones 31
  • 32. Para la primera inecuación son válidas las x mayores que -2. Para la segunda, los xmenores o iguales que 4. Por tanto, la solución es el intervalo (-2,4]. Funciones. Características  Dada la similitud con la unidad de Funciones y gráficas de 3º, se puede utilizar losmismos o parecidos ejemplos para explicar y dejar los ejercicios prácticos para lassiguientes unidades. Además, sólo en la unidad siguiente se explican las características defunciones diferentes a las lineales, que son las que conocen de cursos anteriores. Funciones elementales  • Conocer las características analíticas y gráficas de funciones lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logarítmicas, • Detectar sus propiedades: dominio y recorrido, máximos y mínimos relativos, cortes con los ejes, tendencias y asíntotas, etc. • Estudio analítico conjunto de rectas y parábolas. Interpretación gráfica de los puntos de corte de una función lineal y una cuadrática. Propuestas GeoGebra  Además de estudiar la forma característica de cada uno de los tipos de funcionesindicados, se estudia qué ocurre con la función cuando sus parámetros cambian y cómo sedesplaza a lo largo de los ejes cuando x se convierte en x-a o se suma a la función unacantidad b (f(x) pasa a ser f(x-a)+b).Actividad 10: Funciones cuadráticas (y=ax2+bx+c) Construimos una apli-cación que nos permite comparar la función y=x2 con lasparábolas que obtenemos si variamos la expresión cua-drática general y=ax2+bx+c. Podemos variar los tres parámetros y ver cómo varía la forma de la parábola.Destacaremos los siguientes aspectos: 32
  • 33. • El valor de la abscisa del vértice se calcula como p=-b/2ª; • Son simétricas respecto al eje x=p; • Si a>0 la parábola es abierta hacia arriba; si a<0 hacia abajo; Figura 9. Funciones cuadráticas • Si el valor absoluto de a aumenta la parábola se hace más cerrada; • Si varía c la parábola se mueve a lo largo del eje de ordenadas; • Más bien como curiosidad, mostraremos que, si variamos el parámetro b, el vértice de la parábola de expresión y ax2 bx c  se mueve a lo largo de la parábola de expresión y ‐ax2 c  (es decir, -a en vez de a, b=0 y c con el mismo valor que tenía)Actividad 11: Funciones de proporcionalidad inversa (y=k/(x-a) + b) En este caso, podemos variar el parámetro k, que determina la apertura de lahipérbola, y los parámetros a y b, que controlan las asíntotas (y, por tanto, la “posición” dela curva). Como referencia tenemos lafunción y=1/x. Es importante tener en cuenta que: • La función está definida en todo ℜ excepto en x=0; • El signo de k determina la Figura 10. Funciones de proporcionalidad inversa orientación de la hipérbola; 33
  • 34. • Si k aumenta, la curva es más abierta; • Si a y b varían, la hipérbola se desplaza a lo largo de los ejes.Actividad 12: Funciones radicales ( √ Las funciones radicales son las inversas de las parábolas, sólo que aparece la mitadde la curva, en este caso “tumbada” (si apareciese toda ella no sería una función). Podemos variar los diferentesparámetros y observar cómo cambia laapertura de la curva, la dirección, laposición del vértice, etc. (el deslizadork’ está configurado para valer +1 o -1,controlando el signo de x). Debemos resaltar el dominio dela función, que depende del valor de a y Figura 11. Funciones radicalesdel signo de x (calcular de manera analítica el dominio de una función radical, así como elde las de proporcionalidad inversa, es un problema importante en 4º de la ESO).Actividad 13: Funciones exponenciales (y=ax) Lo más destacable de las gráficas exponenciales es: • Es siempre mayor que 0; • Todas pasan por los puntos (0,1) y (1,a), sea cual sea el valor de a; • Tienen una asíntota en y=0; • Si a>1 son crecientes y crecen más rápido cuanto mayor es a; Figura 12. Funciones exponenciales si a<1 son decrecientes, y decrecen más rápido cuanto más cercano es a a 0. • La curva (1/a)x es simétrica a ax con respecto al eje de simetría x=1; 34
  • 35. Actividad 14: Funciones logarítmicas (logax) Las funciones logarítmicas son lasinversas de las exponenciales. En 4º de laESO se aprende la definición y la gráfica, yen cursos posteriores se profundizará en suspropiedades y su uso. Algunas característicasson: Figura 13. Funciones logarítmicas • Sólo están definidas para x>0 y son crecientes; • Al ser inversas a las expo-nenciales, sea cual sea el valor de a, pasarán por los puntos (1,0) y (a,1). • Al aumentar x el crecimiento es cada vez más lento (aunque siempre crece) Trigonometría  • Figuras semejantes: razón de semejanza. • Semejanza de triángulos. Criterios de semejanza de triángulos. • Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente. • Razones trigonométricas de los ángulos más frecuentes (30°, 45° y 60°). • Resolución de triángulos rectángulos. • Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura. • Funciones seno, coseno y tangente: propiedades. Propuestas GeoGebra Actividad 15: Triángulos rectángulos y razones trigonométricas Al comenzar esta unidad didáctica, que es totalmente nueva en 4º de la ESO,conviene retomar el concepto de semejanza aplicada a triángulos rectángulos. La clave estáen que entiendan (o vean) que, si dos triángulos rectángulos son semejantes (es decir,cambia el valor de sus lados pero no el de sus ángulos), las relaciones entre los lados semantienen constantes. A estas relaciones les daremos el nombre de seno, coseno y tangente, 35
  • 36. y debe quedar claro que su valor sólo dependedel ángulo, y no de la longitud de los catetos yde la hipotenusa. Podemos mover en la aplicación lospuntos B y C, modificando los lados y ángulosdel triángulo ABC. Automáticamente semodifican los triángulos semejantes y se re- Figura 14. Triángulos rectángulos y razones trigonométricascalculan las razones de los lados. Comprobamos que dichas razones sólo dependen del ángulo y no de los lados. Geometría analítica  • Cálculo del punto medio de un segmento. • Obtención del simétrico de un punto respecto de otro. • Estudiar la alineación de tres puntos. • Resolución de problemas de incidencia (¿pertenece un punto a una recta?), intersección (punto de corte de dos rectas), paralelismo y perpendicularidad. • Cálculo de la distancia entre dos puntos. • Cálculo de la distancia de un punto a una recta. • Cálculo del área del triángulo. • Puntos notables del triángulo: ortocentro, baricentro y circuncentro. Recta de Euler. Propuestas GeoGebra Actividad 16: Ejercicios para los alumnos • Dibuja el triángulo que tiene como vértices A(1,-5), B(4,2) y C(-3,3). Halla el área del triángulo. Dibuja la base y la altura y mídelas. • Dibuja el triángulo que tiene como vértices A(4,-2), B(-2,8) y C(-8,2). Halla las ecuaciones de las alturas y el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. 36
  • 37. 5. RESULTADOS  5.1. Aportaciones del trabajo  Introducir las TIC en el aula es aún un desafío en cualquier nivel escolar y encualquier asignatura. A pesar de las políticas dirigidas al ámbito educativo desde lasinstituciones públicas (competencia digital explícitamente indicada en la legislación,programa Escuela 2.0, etc.), la realidad es que los profesionales de la educación acusanfuertes carencias que permitan explotar mínimamente las posibilidades que estastecnologías ofrecen. En la mayoría de los casos, la escasa competencia digital de los propios profesoresy la dificultad para acceder a recursos, principalmente de software, son los problemas claveque dan lugar a esta situación. Aún sigue siendo necesario mostrar estar realidad en los diversos ámbitos delsistema educativo y a los diferentes agentes de la educación, de manera que consigamosasumir que, hoy por hoy, cualquier propuesta educativa debe considerar la introducción delas TIC. Obviamente, para cada nivel educativo y para cada asignatura, y desde cadainstancia del sistema educativo deberá estudiarse cómo realiza esta integración. En estetrabajo hemos recogido diversas aportaciones que muestran esta necesidad, tanto desde lalegislación vigente como a nivel de estudios realizados en Europa y otros lugares delmundo. Nuestro objetivo principal, sin embargo, ha sido llegar a realizar una propuestametodológica práctica que responda a cómo podemos realizar esta integración. Nos hemoscentrado en el campo de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO teniendo en cuenta losconocimientos previos de álgebra, funciones y geometría euclidiana que van siendoadquiridos como fundamento y base. De esta manera, nuestra aportación ha sido una seriede actividades que pueden ser utilizadas en las unidades didácticas que conforman elcurrículum en estas áreas. Son actividades que hemos utilizado en nuestra práctica docente. 37
  • 38. En algunos casos son totalmente originales. En otras, hemos llevado a GeoGebra losmismos ejemplos propuestos por los libros de texto de los alumnos (de la editorial Anayaen nuestro caso), con la intención de relacionar el material de que ellos disponen con elprograma. De esta manera, conseguimos integrar los materiales que tienen a su disposición. Cabe recordar que las actividades propuestas quieren ser una ayuda para elprofesor o ejercicios que los alumnos y alumnas pueden realizar por sí mismos y que, porotra parte, sólo son una muestra de las actividades que se pueden hacer. Lógicamente,nuestra propuesta no agota ningún campo. Al contrario, solamente lo abre. GeoGebra esmuy sencillo de utilizar, por lo que el límite está sólo en nuestra creatividad. Nuestroobjetivo ha sido abrir una vía de trabajo que permita caminar buscando nuevas actividadesy metodologías. 5.2. Discusión  La primera evidencia que arroja la observación realizada tiene que ver con laaportación que el uso, en nuestro caso, de GeoGebra hace al trabajo propio del profesor.Preparar y realizar explicaciones de conceptos como las razones trigonométricas haresultado más sencillo con gracias a las propiedades dinámicas del sistema. De la misma forma, al igual que extraíamos del estudio de Ivonne Sandoval(Sandoval, 2009), es más fácil para los alumnos y alumnas entender estos conceptos cuandopodemos presentarles el problema no a base de ejemplos individuales, sino mostrando quelos resultados se repiten si variamos las condiciones. Cuantos más parámetros podamosvariar a la vista de los estudiantes más claro y transparente queda el proceso. Con pizarra ytiza podemos explicar lo que es, pero el salto de lo individual a lo general requiere muchasveces un acto de fe por parte de los alumnos. Además, las aplicaciones y las posibilidades de “jugar” con los elementosencienden el interés del alumno de manera sorprendente. Si al presentar este trabajodecíamos que los jóvenes tienen a su alcance las tecnologías y que su uso se reduceprácticamente al entretenimiento, llama la atención su reacción cuando estas tecnologías 38
  • 39. son llevadas a un terreno tan poco atractivo para ellos como el aula. En varias ocasionesGeoGebra nos ha servido para hacer un ambiente más relajado y participativo, en el que lospropios alumnos iban haciendo sugerencias para comprobar el comportamiento de lasfiguras. Durante las sesiones en que ellos mismos realizaban los ejercicios propuestos sepresentaba la posibilidad de “salir del guión marcado” y probar nuevas posibilidades,despertando la creatividad de los alumnos y desarrollando la capacidad investigativa. El Informe europeo sobre Impacto de las TIC nos arrojaba resultados en estesentido y destacaba que los beneficios incluyen a alumnos que tienen más dificultades.Aunque el resultado final del desempeño depende del propio alumno y más factores que lasTIC, hemos observado que los estudiantes tienden a engancharse más a la materia. Esto hasupuesto una mejor comprensión de los conceptos por parte de algunos de ellos y,consecuentemente, mejores resultados. Como se ha visto en el desarrollo de la propuesta, la integración que GeoGebrahace de álgebra y entorno gráfico (además de la hoja de cálculo), y que Losada destaca ensu artículo (Losada, 2011), son de gran utilidad en el área de las matemáticas que hemosestudiado, la geometría analítica, que aúna álgebra, funciones y geometría euclidiana. Por último, queremos destacar la importancia del entorno gráfico de GeoGebra, sucarácter intuitivo y su facilidad de uso. Es cierto que nuestros alumnos llegan a 3º de laESO con un conocimiento mínimo de GeoGebra, pero también lo es que han sido muypocas las dudas que hemos tenido que responder sobre su uso. Es decir, no hemos tenidoque invertir tiempo en la formación de los estudiantes para el uso del programa, pudiendopasar directamente a realizar ejercicios básicos. Evidentemente, si queremos alcanzarciertos niveles de profundidad de desarrollos, es necesario “estudiar” GeoGebra, pero, alnivel que hemos presentado aquí, prácticamente ha bastado con que nos vieran a losprofesores trabajar durante las exposiciones de clase. 39
  • 40. 5.3. Conclusiones  La propuesta metodológica que hemos realizado tiene su fundamento en laexperiencia observada en nuestra actividad docente. Los profesores de Matemáticas delColegio Calasanz-Escolapios, en el que hemos realizado nuestra labor durante este curso,llevan varios años trabajando con este tipo de software y, desde que lo conocieron, conGeoGebra. Todos ellos coinciden en señalarlo como el más útil y el que más posibilidadesofrece de todos los que conocen, además de estar rodeado de una amplísima comunidad quecrece y hace crecer la herramienta continuamente. Aunque algunas de las aplicaciones presentadas pueden parecer muy elaboradas,lo cierto es que GeoGebra está muy enfocado a las necesidades que a un profesor deeducación secundaria le pueden surgir. Esto es lógico si pensamos que quienes másparticipan en su desarrollo son profesores con mucha experiencia de aula. Como resultado,es muy sencillo desarrollar aplicaciones que nos ayuden a realizar una explicacióndinámica. Y, muy importante, presenta un entorno muy intuitivo para los alumnos yalumnas, que lo manejan con facilidad. Esta facilidad de uso ha propiciado observar algunas de las mejoras de la actitudque planteábamos al principio. Hemos constatado cómo, alumnos y alumnas que habíanperdido interés por la asignatura, volvían a recobrarlo al comprobar que eran capaces derealizar los ejercicios y de entender lo que hacían. Incluso eran capaces de utilizar sushabilidades informáticas para resolver problemas de sus compañeros. Además, ha resultado más sencillo explicar conceptos importantes y complicados.Destacamos entre ellos el concepto de pendiente de una recta y su cálculo, las razonestrigonométricas y los puntos notables del triángulo. Incluso la profesora del otro grupo de4º de la ESO comentaba la diferencia que suponía para ella explicar geometría de estamanera, rápida, dinámica y precisa, en lugar de dibujar en la pizarra unas figuras estáticasque nunca quedan tan claras. De hecho, los errores cometidos en los ejercicios de puntosnotables han sido en saber con qué rectas se corresponde cada punto. Es decir, alumnosque, por ejemplo, utilizaban las alturas del triángulo en lugar de las mediatrices paracalcular el circuncentro. Después, la resolución del problema era correcta. 40
  • 41. 5.4. Implicaciones, recomendaciones y aplicaciones   Creemos haber mostrado con este trabajo que utilizar las TIC en el aula esinexcusable y relativamente sencillo. Hay mucho que discutir sobre hasta dónde llegar consu integración, pero cada vez menos sobre que hay que hacerlo. Por otro lado, la tecnologíapuede llegar a hacerse bastante compleja, en niveles que probablemente no son necesarios. Por eso, antes de comenzar un plan de integración TIC en nuestro centro o ennuestra asignatura, debemos hacer una reflexión sobre los recursos con los que contamos,logísticos, de formación, etc., y sobre lo que realmente nos proponemos hacer. Los resultados obtenidos de la observación en relación a la atención a ladiversidad, comentada en el apartado Discusión, nos despierta la inquietud por buscar másherramientas y recursos que podamos poner a su disposición. Si los beneficios que las TICtienen para aquellos alumnos que “van bien” justifican el esfuerzo de introducirlas, muchomás lo justifican los beneficios que vemos en alumnos a los que les cuesta más o a los quetienen mayor rechazo a la institución escolar. Hemos comentado en el apartado de Aportaciones que nuestro trabajo es sólo unapropuesta a modo de ejemplo de que las TIC sirven y de qué podemos hacer con un recursoconcreto aplicado a un área concreta. Existen otras muchas herramientas que podemosutilizar y una gran cantidad de recursos y aportaciones en Internet que podemos consultar.Además, siendo como es un tema en boga, son muchos los cursos de formación deprofesorado dirigidos tanto a enseñar a utilizar las herramientas como a darles aplicación enla actividad docente. Por otra parte, el uso de GeoGebra en educación no está limitado a la geometría,ni siquiera considerando el concepto más amplio de geometría analítica. Un rápido vistazoa la web nos hace descubrir otras muchas aplicaciones como la estadística, gracias a su hojade datos, etc. Hay mucha gente que dedica mucho esfuerzo a pensar nuevas aplicacionesque acerquen a los estudiantes los propios contenidos curriculares u otras curiosidadesmatemáticas que puedan resultar motivadoras. Destacamos la web de Manuel Sada (Sada,2011) y el Proyecto Gauss, impulsado por el Ministerio de Educación (España, 2011). 41
  • 42. Más allá del ámbito puramente académico, la condición de software libre deGeoGebra hace que haya una gran comunidad a su alrededor. Además de ser una granfuente de conocimiento sobre el programa, puede ser una oportunidad para trabajar otrosaspectos como la web 2.0, la colaboración mediante blogs o wikis, etc. Por último, recordamos que GeoGebra se encuentra traducido no sólo alcastellano, sino al euskara, al catalán y al gallego, y muchos otros idiomas europeos ymundiales. En el ámbito lingüístico en que nos movemos, tanto a nivel europeo comoestatal, con diferentes modelos lingüísticos y asignaturas impartidas en diferentes lenguas,también estas traducciones pueden ser de ayuda. Además, cambiar el idioma es tan sencilloe instantáneo que podemos ir de uno a otro si no entendemos un término concreto sinnecesidad de salir del programa (basta con seguir la ruta Opciones-Idioma y elegir el quequeramos). 42
  • 43. 5.5. Limitaciones y sugerencias  La primera de las limitaciones que tiene el presente trabajo la encontramos en laprofundidad del cambio metodológico propuesto. Como hemos destacado en el artículo deSancho, el cambio propiciado por las TIC no puede quedarse en sustituir unas herramientaspor otras. La Sociedad del Conocimiento ha revolucionado el modo en que la informaciónse gestiona y esto hace que los tradicionales métodos educativos basados en lamemorización y la acumulación de información vayan quedando obsoletos. Ya no esnecesario aprender de memoria lo que en un clic de ratón nos aparece en la pantalla delordenador. Nunca habríamos conseguido memorizar una mínima parte de lo que hoy en díatenemos tan fácilmente a disposición. La institución educativa, por tanto, debe ser revisada de arriba abajo con ayuda delas TIC. Así, las sugerencias que se pueden hacer van en el sentido de buscar la manera decrear un nuevo método (no de mejorar o modificar el actual) más acorde con las exigenciasde la nueva sociedad y, sobre todo, centrado en formar otros aspectos de la persona queantes el tiempo invertido en memorizar no permitía. Hay otros estudios realizados y, sobre todo, por realizar, en torno al tema de estetrabajo. Hemos incluido aquellos que creemos que muestran mejor el estado de la cuestióny dan idea de cómo afrontar el problema. Es evidente que este problema no estásolucionado ni cerrado y que es necesario seguir investigando. De hecho, nuestra propuestase ha centrado en un aspecto muy concreto de la educación, como muestra de que es buenoy posible utilizar las TIC en la escuela. Quedan muchas propuestas que hacer tanto enMatemáticas como en otras asignaturas para que los profesores podamos contar con nuevosrecursos que utilizar y ofrecer en nuestra actividad docente. Aunque parece que quien usa GeoGebra tiende a elegirlo existen otros Sistemas deGeometría Dinámica (DGS) que también tienen su potencial y sus seguidores. Hemosescogido GeoGebra porque creemos que es muy bueno para nuestros propósitos y para elnivel de educación secundaria, pero ya hemos comentado que puede tener algunaslimitaciones para otros niveles académicos o profesionales.   43
  • 44. 6. BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA  6.1. Bibliografía  Colera, J., García R., Gaztelu, I., Oliveira, M.J. (2008). Matemáticas 3º ESO.Madrid: Anaya. Colera, J., Oliveira, M.J., Gaztelu, I., Martínez, M. (2008). Matemáticas 4º ESO.Madrid: Anaya. Balanskat, Anja, Blamire, Roger, y Kefala, Stella. The ICT Impact Report. Areview of studies of ICT impact on schools in Europe, European SchoolNet, 2006. España. Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre (RD). Boletín Oficial delEstado, 5 de enero de 2006, núm. 5. Sancho Gil, Juana Mª (2006), Tecnologias para transformar la educación.Madrid: Akal. Sandoval Cáceres, Ivonne Twiggy (2009). La geometría dinámica como unaherramienta de mediación entre el conocimiento perceptivo y el geométrico. EducaciónMatemática, vol. 21, núm. 1, pp. 5-27. 6.2. Webgrafía  ALVES, George; SOARES, Adriana y LIMA, Cabral. El razonamiento del espacioy la geometría dinámica: un estudio de caso en la educación media en Río de Janeiro.Psicol. Am. Lat. [En línea]. 2007, n.11. Disponible en:<http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1870-350X2007000300005&lng=pt&nrm=iso>. ISSN 1870-350X. [citado 2011-06-08]. 44
  • 45. España, “Proyecto Gauss”. [Sitio de internet]. Consultado: 2011-06-18. Enlace:http://recursostic.educacion.es/gauss/web/. GeoGebra (2011). [Sitio de internet]. Consultado: junio 18, 2011. Enlace:http://www.geogebra.org. LOSADA LISTE, Rafael. GeoGebra, la eficiencia de la intuición. [En línea].[citado 2011-06-09].Disponible en:http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/RecInternet/Geogebra/Geogebra1.asp. SADA, Manuel. Webs interactivas de matemáticas [Sitio de Internet]. Consultadojunio 18, 2011]. Enlace: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm. 45
  • 46. 7. ANEXOS  7.1. Anexo  I:  Álgebra,  geometría  y  funciones  en  el  RD  1631/2006  Recogemos en este anexo, de manera textual y al completo, los contenidosmínimos que el RD establece para los bloques de Álgebra, Geometría y Funciones yGráficas para los cursos de 3º y 4º de la ESO (Opción B). 7.1.1. 3º ESO:  o Álgebra: Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones recurrentes. Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de números. Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables. Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones, sistemas y otros métodos personales. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. 46
  • 47. o Geometría: Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar geométrico. Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico. Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento. Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas. Planos de simetría en los poliedros. Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construcciones humanas. Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.o Funciones y gráficas. Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias. Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica. Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados. 47
  • 48. Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica. Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta.7.1.2. 4º ESO (Opción B):  o Álgebra: Manejo de expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. o Geometría: Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos. Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas. Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes. o Funciones y gráficas: Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. 48
  • 49. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico.7.2. Anexo 2: Índice de figuras  Figura 1. Integración de vistas algebraica y gráfica y la hoja de cálculo. .............. 20 Figura 2. Soluciones de una ecuación lineal .......................................................... 24 Figura 3. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales........................... 25 Figura 4. Pendiente de una función de proporcionalidad ....................................... 28 Figura 5. Pendiente de una función afín ................................................................. 29 Figura 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones ........................................ 30 Figura 7. Resolución gráfica de inecuaciones ........................................................ 31 Figura 8. Sistemas de inecuaciones ........................................................................ 31 Figura 9. Funciones cuadráticas ............................................................................. 33 Figura 10. Funciones de proporcionalidad inversa ................................................ 33 Figura 11. Funciones radicales ............................................................................... 34 Figura 12. Funciones exponenciales ...................................................................... 34 Figura 13. Funciones logarítmicas ......................................................................... 35 Figura 14. Triángulos rectángulos y razones trigonométricas ............................... 367.3. Anexo 3: Índice de tablas  Tabla 1. Soluciones ................................................................................................ 24  49