Medidas   de  asimetria  curtosis
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Medidas de asimetria curtosis

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Leptocurtico, Mesocurtico, Platicurtico.

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Medidas   de  asimetria  curtosis Medidas de asimetria curtosis Document Transcript

  • Julio Oliva Contero EstadísticaTEMA 6MEDIDAS DE FORMA: ASIMETRÍA YCURTOSIS. MOMENTOS 1. Momentos de una distribuciónLos momentos de una distribución son medidas obtenidas a partir de todossus datos y de sus frecuencias absolutas. Estas medidas caracterizan de talforma a las distribuciones que si los momentos de dos distribuciones soniguales, diremos que las distribuciones son iguales. Podemos decir que dosdistribuciones son más semejantes cuanto mayor sea el número de susmomentos que coinciden.Se define el momento de orden h respecto al origen de una variableestadística como: n1 n n r n ah = x 1 h + x h 2 + ... + x h r = ∑ x h i 2 r i N N N i =1 NEs inmediato observar que, para h = 1, a1 es la media de la distribución.Se defina el momento central de orden h o momento respecto a la mediaaritmética de orden ah como: n1 n n r ni m h = (x 1 − x )h + (x 2 − x )h 2 + ... + (x r − x )h r = ∑ (x i − x)h N N N i =1 NEs inmediato observar que m1 = 0 y que m2 = S2Relaciones entre los momentos 21. m2 = a 2 − x2. Los momentos respecto a la media se ven afectados por los cambiosde escala, pero no por los cambios de origen. El resto, por ambos.Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos 1
  • Julio Oliva Contero Estadística 2. Forma de una distribuciónCuando dos distribuciones coinciden en sus medidas de posición ydispersión, no tenemos datos analíticos para ver si son distintas. Una formade compararlas es mediante su forma. Bastará con comparar la forma desus histogramas o diagramas de barras para ver si se distribuyen o no deigual manera.Para efectuar este estudio de la forma en una sola variable, hemos detener como referencia una distribución modelo. Como convenio, se tomapara la comparación la distribución Normal de media 0 y varianza 1. Enparticular, es conveniente estudiar si la variable en cuestión está más omenos apuntada que la Normal. Y si es más o menos simétrica que ésta,para lo que se definen los conceptos de Asimetría y Curtosis, y suscorrespondientes formas de medida. 3. La asimetría y su medidaEl objetivo de la medida de la asimetría es, sin necesidad de dibujar ladistribución de frecuencias, estudiar la deformación horizontal de losvalores de la variable respecto al valor central de la media. Las medidasde forma pretenden estudiar la concentración de la variable hacia uno desus extremos.Una distribución es simétrica cuando a la derecha y a la izquierda de lamedia existe el mismo número de valores, equidistantes dos a dos de lamedia, y además con la misma frecuencia.Una distribución es Simétrica si x = Me = MoEn caso contrario, decimos que la distribución es Asimétrica, y entoncespuede ser de dos tipos:Asimétrica a la izquierda. Es el caso en que Mo ≥ Me ≥ x Curva Asimétrica a la izquierdaMedidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos 2
  • Julio Oliva Contero EstadísticaAsimétrica a la derecha. Es el caso en que Mo ≤ Me ≤ x Curva Asimétrica a la derechaCoeficiente de asimetría de FisherEn una distribución simétrica los valores se sitúan en torno a la mediaaritmética de forma simétrica. El coeficiente de asimetría de Fisher se basaen la relación entre las distancias a la media y la desviación típica.En una distribución simétrica x = Me = Mo y m3 = 0. Por eso define como: r ∑ (x i − x)3 ni i =1 N m3 g1 = = S3 X S3 X • Si g1 > 0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha. • Si g1 = 0, la distribución es simétrica. • Si g1 < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.Coeficiente de asimetría de PearsonSe basa en el hecho de que en una distribución simétrica, la mediacoincide con la moda. A partir de este dato se define el coeficiente deasimetría de Pearson como: x − Mo AP = SX • Si AP > 0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha. • Si AP = 0, la distribución es simétrica. • Si AP < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.Este coeficiente no es muy bueno para medir asimetrías leves.Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos 3
  • Julio Oliva Contero Estadística 4. La curtosis y su medidaEl concepto de curtosis o apuntamiento de una distribución surge alcomparar la forma de dicha distribución con la forma de la distribuciónNormal. De esta forma, clasificaremos las distribuciones según sean más omenos apuntadas que la distribución Normal.Coeficiente de Curtosis de FischerEl Coeficiente de Curtosis o Apuntamiento de Fischer pretende compararla curva de una distribución con la curva de la variable Normal, en funciónde la cantidad de valores extremos e la distribución. Basándose en el datode que en una distribución normal se verifica que: m4 =3 σ4 Xse define el Coeficiente de Curtosis de Fisher como: r ∑ (x i − x)4 ni i =1 N m4 K = g2 = −3= −3 σ4 X S4 XUna distribución es Mesocúrtica si la distribución de sus datos es la mismaque la de la variable Normal. En ese caso, su coeficiente de curtosis escero. g2 = 0 Distribución Mesocúrtica.La distribución es Leptocúrtica si está más apuntada que la Normal. En esecaso, su coeficiente de curtosis es positivo. g2 > 0 Distribución Leptocúrtica.Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos 4
  • Julio Oliva Contero EstadísticaSi la distribución está menos apuntada que la Normal, entonces esPlaticúrtica, y su coeficiente de Fisher es negativo. g2 < 0 Distribución Platicúrtica.Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Momentos 5