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Clase 13 Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes
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Clase 13 Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes

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  • 1. Lic. Martín J. Alonso Calderón UNAN LEON, FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Componente: OPTATIVA 1 (ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS)UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIORClase: # 13Tema: Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Se ha visto que la ecuación diferencial lineal de primer orden , en dondea es una constante, tiene la solución exponencial en .Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en , de ecuaciones de orden superior comoEn donde los son constantes. Lo sorprendente es que todas lassoluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o se construyen a partir defunciones exponenciales. Se empezara considerando el caso particular de la ecuación desegundo orden:Ecuación auxiliarSi se ensaya una solución de la forma , entonces y demodo que la ecuación (2) se transforma eno bienComo nunca se anula para los valores reales de x, es evidente que la única manera deque esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial es eligiendo m demodo que sea una raíz de la ecuación cuadráticaEsta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuacióndiferencial (2). Se consideraran tres casos, según la ecuación auxiliar tenga raíces realesdistintas, raíces reales iguales o raíces complejas conjugadas.Recordar que la solución de esta ecuación es: 1
  • 2. Lic. Martín J. Alonso CalderónCaso I: Suponiendo que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales distintas sehallan dos soluciones:Ya hemos visto en la clase anterior que estas funciones son linealmente independientes en , y por lo tanto, forman un conjunto fundamental de soluciones. Se deduceque la solución general de (2) en este intervalo es:Caso II: Cuando (raíces iguales), la solución general de (2) es:Caso III: Cuando son complejas, entonces puede escribirse yen donde α y β > 0 son reales e: . No hay diferencia formal entre estecaso y el caso I; por ello,Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponencialescomplejas. Ahora bien, es posible escribir (6) en una forma más práctica usando la formulade Euler:En donde θ es un número real. La consecuencia de esta fórmula es que y (7)En donde hemos empleado yObsérvese que si primero sumamos y después restamos las dos ecuaciones de (7),obtenemos respectivamenteComo forman un conjunto fundamental de soluciones de la E.D. dada ense puede simplemente llamar a ya y usar el principio desuperposición para escribir la solución general: 2
  • 3. Lic. Martín J. Alonso Calderón óEjemplo 1: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) Solución: b) Solución: c) Solución:Ejemplo 2: Problema de Valor InicialResuelva el problema de valor inicialSolución: 3
  • 4. Lic. Martín J. Alonso CalderónEcuaciones de orden superiorEn general, para resolver una ecuación diferencial de orden n comoEn donde las son constantes reales, debemos resolver una ecuaciónpolinomial de grado n:Si todas las raíces de la ecuación (12) son reales y distintas, la solución general de laecuación (ll) esEs más difícil resumir los análogos de los Casos II y III porque las raíces de una ecuaciónauxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Porejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tresraíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales peroiguales, cinco reales pero dos iguales, etcétera. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k deuna ecuación auxiliar de grado n (esto es, k raíces son iguales a m1), se puede demostrar quelas soluciones linealmente independientes son , , ,y que la solución general debe contener la combinación linealPor ultimo, recuérdese que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de unaecuación auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuaciónpolinomial cúbica puede tener dos raíces complejas cuando mucho.Ejemplo 3: Ecuación diferencial de tercer ordenResolver:Solución: 4
  • 5. Lic. Martín J. Alonso CalderónEjemplo 4: Resolver:Solución:Ejemplo 5: Ecuación diferencial de cuarto ordenResuelva:Solución:Cuando es la raíz compleja de orden de multiplicidad k de una ecuaciónauxiliar con coeficientes constantes reales, su conjugada, es también raíz deorden de multiplicidad k. En este caso, solución general de la ecuación diferencialcorrespondiente debe contener una combinación lineal de las soluciones linealmenteindependientes: ..., ...,Bibliografía: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Segunda Edición. Autor DennisZill. (Páginas 136 a la 143), Ejercicios 4.3 (páginas 1443 y 144). Resolver los ejerciciosimpares. 5