Clase 12 reduccion de orden

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Clase 12 reduccion de orden

  1. 1. Lic. Martín J. Alonso C. CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Componente: OPTATIVA 1 (ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS)UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIORClase: # 12Tema: REUDUCCION DE ORDENReducción de orden (Elaboración de una segunda solución a partir de una soluciónconocida)Uno de los hechos más interesantes y también más importantes en el estudio de lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, es que es posible formar una segundasolución a partir de una solución conocida. Supóngase que es una solución conocidadistinta de cero de la ecuación diferencial:El proceso que se utiliza para encontrar una segunda solución consiste en reducir elorden de la ecuación (1), transformándola en una ecuación de primer orden.Por ejemplo se verifica fácilmente que satisface la ecuación diferencial (2)Si intentamos determinar una solución de la forma (3) entonces (4)Y por lo tanto, sustituyendo (2) y (3) en la ecuación (1)Pues que , esta última ecuación requiere que .Si se hace , se que la ultima ecuación es una ecuación lineal de primer ordenUsando el factor integrante puede escribirse [ ]O seaDe esta manera 1
  2. 2. Lic. Martín J. Alonso C.Y entoncesEjemplo 1: Dado que es una solución de la E.D.Emplear una reducción de orden para encontrar una segunda solución en el intervalo .Solución: ⁄Caso generalSupóngase que se divide entre para llevar la ecuación (1) a la formaEn donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supóngase además que esuna solución conocida de (5) en I y que para toda x en el intervalo. Si definimos , se tiene [ ]Esto implica que se debe tenerO bien 2
  3. 3. Lic. Martín J. Alonso C. (6)En donde . Obsérvese que la ecuación (6) es lineal ya también separable. Aplicandoesta última técnica resulta: | | | | ∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫Integrando de nuevo, ∫ ∫Y por lo tanto , ∫ ∫Eligiendo c2 = 0 y c1 = 1, se encuentra que una segunda solución de la ecuación (5) es ∫ ∫Un ejercicio para repasar las técnicas de derivación es partir de la formula (4) y verificarque respectivamente satisface la ecuación (5).Ahora bien, y son linealmente independientes puesto que ∫ ∫ | | ∫ | ∫ ∫ | ∫No es cero en cualquier intervalo en cual no es cero. 3
  4. 4. Lic. Martín J. Alonso C.Ejemplo 2: Dado que es una solución de la E.D.Hallar una solución general en el intervalo .Solución:Ejemplo 3:Es posible verificar que es una solución de ( ) √en . Obtener una segunda solución.Solución: √Bibliografía: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Segunda Edición. Autor DennisZill. (Páginas 132 a la 135), Ejercicios 4.2 (página 136). Resolver los ejercicios impares. 4

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