1. El documento presenta 23 problemas de simplificación y reducción de expresiones trigonométricas, y 10 problemas condicionales sobre identidades trigonométricas. 2. Los problemas involucran operaciones como suma, resta, multiplicación y división con funciones trigonométricas, así como la simplificación y reducción de dichas expresiones. 3. El objetivo es resolver cada problema aplicando las propiedades de las funciones trigonométricas y las identidades trigonométricas fundamentales.

1. Tema: Identidades Trigonométricas
PROBLEMAS DE SIMPLIFICACION
1.- Simplificar :
α
α
α
α
cos1cos1 −
−
+
=
sensen
M
A) –1 B) –2 C) - αsen2 D) -
αctg2
E) αctg2
2.- Simplificar :
senx
x
x
senx
S
cos1
cos1
+
+
+
=
A) 2cscx B) 2secx C) 2tgx D) 2cosx
E) 2senx
3.-Reducir la siguiente expresión:
( ) xxxxsenE 6422
coscoscos1.1 ++++=
A)1 B) 2 C) 3 D) –2 E) –1
4.- Reducir:
x
xxxxsen
E
cos2
coscoscos1 6423






−−+−
=
>∈< 2/3; ππx
A) 2cosx B) tgx C) senx D) cosx
E) ctgx
5.-Calcular ctgx, a partir de cscx = ctgx + m
A)
m
m2
1 −
B)
m
m2
1 +
C)
m
m
2
1 2
+
D)
m
m
2
1 2
−
E)
m
m
3
1 2
+
5.- Simplificar :
yx
xctg
yx
xtg
K 22
2
22
2
csccscsecsec −
+
−
=
A) xsen2
B) ysen 2
C) 1
D) x2
cos E) y2
cos
6.- Simplificar :
( ) ysenxsenyxK 222
.cos.cos1 −−=
Si: >∈< 2;4 ππx ;
>∈< 4;0 πy
A) cosx – cosy B) cosy – cosx
C) senx – cosy D) cosx – seny
E) senx - seny
7.- Si IC∈α ; reducir :
α
α
α
ctgE +
+
−
=
1sec
1sec
A) αsec B) αsen C) αcsc
D) αcos E) αctg
8.- Reducir :
( ) 1.cos..sec −+= tgxxctgxsenxxE
A) senx B) cosx C) tgx D) ctgx E) 1
9.-Reducir :
( )( ) ( )(xxtgxsenM 222
.cos11.1 −++−=
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. 10.- Reducir :
3
csc
cossec
senxx
xx
E
−
−
=
A)
2
ctgx
B) secx C) cscx D) tgx
E) senx
11.- Simplificar :
( )( )θθθ ctgE +−= csc1sec
A) 1 B) θtg C) θ2
tg D) θctg
E) θ2
ctg
12.- Reducir :
( )( )θθθ sentgE −+= 1sec
A) θsen B) θcos C) 1 D) –1
E) 0
13.- Reducir :
( ) ( ) ( ) 1
1.sec1.cos −
−−++= ctgxctgxtgxxxE
A) senx B) cosx C) tgx D) ctgx
E) cscx
14.- Hallar n si :
( ) ( ) ( )n
xxctgxxtgxsenx csc.sec.cos.
11
=+
−−
A) 1.5 B) 1.6 C) 1.7 D) 1.8 E) 1.9
15.- Reducir :
( ) ( )xxxxxE cscsec.cos1csc.sec 2
−+−=
A) cosx B) senx C) secx D) tgx
E) 2tgx
16.- Reducir la expresión
( ) ( )22266
cos
4
1
cos
3
1
xsenxxxsenM −−+=
A) 1 / 3 B) 1 / 4 C) 1 / 12 D) 1 / 5
E) 2 / 3
17.- Hallar “M” para que la siguiente igualdad
sea un identidad :
Mxsenx
xsenx
xsenx
++=
++
cos
1cos
cos.2
A) –1 B) –2 C) 1 D) 2 E) 0
18.- Si:
4
0 π<< x . Reducir


 −++= xsenxxQ 2222
cos.411.cscsec
A) 2tgx B) –2tgx C) 2ctgx D) 2senx
E) 2cosx
19.-Simplificar
xxxctgxtgE 2222
csc.sec2 −++=
A) 0 B) 1 C) 2 D) –2 E) 2
20.-Reducir:
( )( )( 1cos1cos −++++ xsenxxsenxctgxtgx
A) 0 B) –1 C) 1 D) –2 E) 2
21.- Simplificar :
( )( ) ( xsenxxctgxtgxM cossec.csc. −−+=
A) senx.cosx B) 2senx.cosx C) xtg 2
D) xctg 2
E) 1
22.-Reducir lo siguiente:
xx
ctgxtgx
E
22
cscsec +
+
=
A) senx B) cosx C) tgx D) senx.cosx
E) ctgx
23.-Hallar N:
1
1
2
2 2222
++
++
−
−+
−+
=
ctgxtgx
xctgxtg
ctgxtgx
xctgxtg
N
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. PROBLEMAS CONDICIONALES
24.- Si :
3
2
cos =+ θθsen . Calcular
θθ cos.senE =
A) 1 B) –5/2 C) –5/3 D) –5/18
E) –3/17
25.-Sabiendo que : m.ctgA=n ; Calcular :
AmsenAn
senAnAm
E
cos..
.cos.
+
−
=
A) m B) n C) m+n D) m-n E) 0
26.- Sabiendo que : nxsenx =+ cos .
Hallar ctgxtgxC +=
A)
1
1
2
−n
B)
1
2
2
+n
C)
1
2
2
−n
D)
1
1
2
+n
E)
12
−n
n
27.-Sabiendo que :
bsen
asen
=+
=+
θθ
θθ
33
cos
cos
Calcule el valor de baE 23
+=
A) 3b B) 3 C) 3a D) 2a2
E) 4ab
28.- Si: nxctgxtg =+ 22
;
>∈< 2;0 πx ; n > 2
Determinar el valor de
( ) ( )
( )xx
nxxnxx
cscsec
2csc.csc2sec.sec 2323
+
+++++
A) 2
n B) nn 22
+ C) nn 22
−
D) 12
−n E) 12
+n
28.- Siendo:
xsen 22
cos21 =+ θ
Además:
xsenmsen 244
.21cos =+− θθ
Calcular
( ) xxxsenM mmm 2
coscos1. ++=
A) –1 B) 0 c) 1 D) –2 E) ½
29.-Si se cumple :
cxbsenxa =+ cos..
Además :
( )( ) abcbacba 2=−+++
Calcular :
2
2222
..
c
xtgbxctga +
A) –1 B) 0 C) 1/2 D) 1 E) –1/2
30.- Sabiendo que :
tgx
x
xsen
=
+
+
4
4
cos1
1
¿ A qué es igual ?
xxxx
xsenxsenxsensenx
753
753
coscoscoscos −+−
−+−
A) 1 B) 2 C) 1 / 2 D) 1 / 3 E) 1 / 4
31.- Sabiendo que : θθ ctgtg 2= ,
calcular :
θθ
θθ
44
44
cos23
cos32
+
+
=
sen
sen
E
A) 12/13 B) 13/14 C) 11/13 D) 11/14
E) 11/15
32.- Siendo x un ángulo agudo y además :
θθ
θθ
cos
cos
+
−
=
sen
sen
tgx
Calcular :
( )θθ cos.csc −= senxM
A) 1 B) –1 C) 2 D) 3 E)
5
33.- Si se cumple que:
( )( )1.cos −++= ctgxtgxxsenxA
( )( )1.cos ++−= ctgxtgxxsenxB
Hallar el equivalente de :

4. senxx
xx
K
−
−
=
csc
cossec
A)
BA
BA
−
+
B)
BA
BA
+
−
C)
B
A
D)
A
B
E) 1
34.- De la siguiente relación:
xxctgxsenxsen 2223
csc=++
Hallar el valor de:
xxE cscsec2
−=
A) –2 B) 1 C) 1 / 2 D) –1 E) 0
35.- De las siguientes expresiones:
asenxtgx =+
bxctgx =+cos
∀ a ; b > 0
Hallar “ tgx ”
A)
b
ba +
B)
1
1
+
+
b
a
C)
1
1
−
−
b
a
D)
a
ba +
E)
1
1
−
+
b
a
PROBLEMAS DE ELIMINACION ANGULAR
36.- Determinar una relación entre “ a ” y “ b ”
independiente de “ θ ” .
b=−1secθ ............................( i )
0=−atgθ .............................( ii)
A) ( )( ) 2
1.1 abb =−+
B) ( )( ) 2
1.1 baa =−+
C) ( ) ( ) 1.1 =+++ baab
D) ( )( ) 11.1 =++ ab
E) ( ) ( ) 11.1 =−+++ abab
37.- Eliminar “x” de las ecuaciones :
mxx =− cscsec ...........................
( 1 )
tgxnxtg .12
=+ ...............................
( 2 )
A) nmn 222
=− B)
mmn 222
=−
C) nnm 222
=− D) nnm 222
=+
E) mnm 222
=+
38.- Eliminar “ θ ” :
θθθ csc.cossec x=−
θθθ seccsc ysen =−
A) 122
=+ yxxy
B) 14 34 3
=− xyyx
C) 14 34 3
=+ xyyx
D) 133
=+ xyyx
E) 133
=− xyyx
39.- Eliminar “ x ” si:
mctgxtgx 2=+
nxxsen =+ 44
cos
A) 12
=+nm B) ( ) 11.2
=+nm
C) ( ) 1.12
=+ nm D)
( ) 1.22
=+ mm
E) ( ) 11.2
=−nm
40.-Eliminar “θ” de
22
cos.. yxysenx +=+ θθ
222
2
2
2
1cos
yxb
sen
a +
=+
θθ
A) 1
22
=





+





a
y
b
x
B)
1
22
=





+





b
y
a
x
C) 1
22
−





−





b
y
a
x
D)
1
22
=





−





z
y
b
x

5. E) 1=





+





b
y
a
x
41.- Eliminar x de las ecuaciones
secx - cscx =m
tg2
x + 1 = n.tgx
A) n2
-m2
= 2n B) n2
-m2
=2m C)m2
-n2
=2n
D) m2
+n2
=2n E) m2
+n2
=2m
42.- Eliminar “x” si :
mxsensenx =− 3
nxx =− 3
coscos
A) 322
.nmnm =+
B) 322
.nmnm =−
C) 2322
.nmnm =+
D) 2222
.nmnm =+
E) 2222
.nmnm =−
43.-Eliminar “x” , si :
( )
( ) bxtgx
axtgx
4cos1.
4cos1.
=−
=+
A) 1=
+
−
ba
ba
B) 1=
+ba
ab
C) ( )22
baab −= D) 1=
−ba
ab
E) ( )baab +=
44.-¿ Qué valor debe tomar k, de tal manera
que la igualdad:
( ) ( ) φφ
φφ
φφ
φφ
φφ
cos..
2
cos
2
cos 22
senk
ctgtg
sen
ctgtg
sen
=
−+
−
+
++
+
sea una identidad ?
A) 3 B) –1 C) 2 D) 1/3 E) –3
VARIOS
1.-Reducir:
( )xsenabxsenba
xabxsenba
K
2222
2222
1
cos
+++
−−
=
A)
ba
ba
−
+
B)
ba
ba
+
−
C)
ba
a
+
2
D)
ba
b
+
2
2.- Hallar “ m ” para que la siguiente
expresión sea independiente de “ x ”. Si :
( ) ( ) xtgxtgxxmE 2224
.3secsec. +++=
A) 1 B) B) –1 C) 1 / 2 D) 2 E) 0
3.- Calcular el valor de “ m ” si la expresión
es independiente de “ x ”.
( )xxsenmxsenxsenE 4442
cos. ++−=
A) 0.125 B) 0.25 C) 0.5 D) 0.075
E) 1
4.- Hallar el valor de M para que sea una
identidad.
Msenx
x
senx
x 2
1
cos
1
cos
=
−
+
+
A) cosx B) senx C) senx.cosx D) cscx
E) tgx
5.- Simplificar :
( )
( ) ααα
ααα
244
244
2cos1.csc
21.sec
ctg
tgsen
E
−−
−−
=
A) 1 B) 2 C) 4 D) 9/2 E) 5
6.- Simplificar :
( ) xctgxtgx
xtgsenxxx
M
cos.
.csc.sec 22
+
−
=
A) 1 B) senx+1 C) xsen2
1 +
D) xcos1 +
E) x2
cos1 +

6. 7.- Para que valor de k se cumple la
identidad.
( )xk
xctgx
xctgx
cos1.
1csc
1csc
+=
+−
−+
A) senx B) cosx C) secx D) cscx
E) tgx
8.- Simplificar :
( ) ( )
xxsenxtgx
xversxsenxx
E
csc.cos.
cos1.1.cov
2
+
+++
=
A) senx B) cosx C) senx
2
1
D)
xcsc
2
1
E) xsec
2
1
9.- Reducir :
( )( ) xtgxxxctgxE sec.seccos −+=
A) tgx B) ctgx C) 1 D) 2 E) secx
10.- Del gráfico calcular el mínimo valor de
AC
A) a B) 2a C) 3a D) 4a E) 5a
11.- Si actgxtgx >+ ; ( Ra ∈ ) para
cualquier valor del ángulo x en el primer
cuadrante el mayor valor de a para el cual
es válida la desigualdad es :
A) 1 B)
2
2
C) 3 D) 2 E)
2
12.- Reducir :
( ) ( )22
1 θθθθ verssenctgversE −++−=
Dato : θθ cos1−=vers ;
θθ sen−=1cov
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13.- De acuerdo al gráfico calcular αctg
A) 3 B) 3/2 C) 5/2 D) 9/2 E) 5
14.- Si se cumple que:
( ) ( )1.cos −++= ctgxtgxxsenxu
( )( )1.cos ++−= ctgxtgxxsenxv
Calcular el valor de :
( ) ( ) senxvuxvuE .cos. −++=
A) u B) v C) 2 D) 1 E) u + v
B
A C
a
A
B
C
H
D
1
15
α