Your SlideShare is downloading. ×
0
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Teori Graph : vektor
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Teori Graph : vektor

860

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
860
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
44
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Vektor
  • 2. Penjumlahan Vektor r r r s = a +b
  • 3. Mengikuti hukum : • Komutatif : r r r r a +b = b + a
  • 4. Assosiatif : r r r r r r ( a + b ) + c = a + (b + c )
  • 5. r Vektor b adalah vektor yang memiliki r besaran yang sama dengan vektor−b tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan : r r (b ) + (− b ) = 0
  • 6. Komponen vektor • merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat r Komponen vektor : a ax = a cos θ dan a y = a sin θ disebut komponen skalar atau komponen
  • 7. Penjumlahan vektor dengan komponen r r r r s = a + b , setiap komponen s sama dengan r r b komponen a + sx = x + x a b sy = y + y a b sz = z + z a b
  • 8. r Besar vektor a: a = a +a 2 x 2 y dan ax tan θ = ay r r Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b), r besar vektors dapat dicari dengan rumus : s = a 2 + b 2 + 2ab cos θ Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ Dalil sinus : a b c = = sin α sin β sin γ
  • 9. Vektor satuan: Koordinat Kartesius Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z ˆ ˆ j diberi tanda : i , ˆ dan k
  • 10. r r Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut : r ˆ a = ax i + a y ˆ j r ˆ b = bxi + by ˆ j disebut komponen vektor
  • 11. Perkalian vektor : • Perkalian vektor dengan skalar : r Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai r absolute s dengan arah a jika s positif,rdan berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi r dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s. • Perkalian vektor dengan vektor :  Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product
  • 12. Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius : i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.k=I.k=0 ixi=jxj=kxk=0 ixj=k; jxi=-k ixk=-j;kxi=j kxj=-i;jxk=i
  • 13. r r a.b =ab cos φ
  • 14. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : rr a.b = (a cos φ )(b) = (a)(b cos φ ) Scalar product berlaku hukum komutatif rr rr a.b = b .a Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : rr ˆ ˆ ˆ ˆ a.b = (ax i + a y ˆ + a z k ).(bxi + by ˆ + bz k ) j j Diperoleh hasil akhir sebagai berikut : rr a.b = ax bx + a y by + az bz
  • 15. Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product r r r a xb =c Dengan besar c adalah : c = ab sin φ r r Besaran a x b r r ditulis a x b = 0 jika r r dan maksimum jika a ⊥ b r r a // b
  • 16. r Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor r r a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan. r r r r b x a = −(a x b )
  • 17. Penulisan dalam vektor satuan : r r ˆ ˆ a x b = (axiˆ + a y ˆ + az k ) x (bxiˆ + by ˆ + bz k ) j j ˆ ˆ ˆ ˆ ax i x bx i =a x bx (i x i ) =0 ˆ ˆ ax i x by ˆ = axby (iˆ x ˆ) = a xby k j j Hasil akhir : r r a x b = (a ybz − by az )iˆ + (azbx − bz ax ) ˆ + (axby − bx a y )kˆ j
  • 18. Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan i j k a x b = ax ay az bx by by
  • 19. Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2
  • 20. Latihan soal : r r 1 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama r saling mengapit dengan sudut α . Jika besar vektor a r a +b = 3 a −b b a+b a2 + dua kali vektor = dan b 2 + 2 ab cosα , hitung Jawab : a − b = a 2 + b 2 − 2 ab cosα α ! a 2 + b 2 + 2 ab cos α = 3 a 2 + b 2 − 2 ab cos α 16 b 2 cos α= 10 b 2 α = 51, 320
  • 21. 2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : 2 2 r = v1 + v2 + 2 v1v2 cos 450 r = 458, 7 r = 21, 4 satuan Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : 2 v2 = v12 + r 2 − 2v1r cos α 297, 7 = 342, 4 cos α ⇒ α =29,60 Dalil Sinus : v2 r = sin α sin 1350 15(0, 707) sin α = ⇒ α =29,7 0 21, 4
  • 22. 3 Diketahui 3 buah vektor r a = i − ˆ+ k 1 ˆ 3 j 4 ˆ r b = 1i − ˆ+ k − ˆ 2 j 2 ˆ r c = i − ˆ− k 3 ˆ 1j 3 ˆ r Hitung besar vektor rr sudut antara vektor ini dengan sumbu z r r r r dan r jika r = 2a + b −. cHitung juga sudut antara vektor a dan b! Jawab : r ˆ ˆ r = (−2)i + ( −7) ˆ + (13) k ⇒ r = ( −2) 2 + ( −7) 2 + (13) 2 = 14,9 satuan j r Sudut antara r dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan r r ˆ ˆ arah sumbu z. r . k = ( − i .k +( − ˆ.k +(13) k .k 2) ˆ ˆ 7) j ˆ r k Sudut antara cos γ =13 ⇒ cosφ= 13 ⇒ φ=29.30 14.9 r r a dan bdiperoleh dengan men”dot”kan keduanya. r r a. b =1.( − +( − 1) 3).(− +4.(2) 2) a b cos φ =13 ⇒ cosφ= 13 26 9 ⇒ φ=31,80
  • 23. 4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya 2520 terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: 2520 − 900 = 1620 Sehingga diperoleh : r r a . b = ab cos φ = (5)(4) cos162 0 =− satuan 19 r r a x b = ab sin φ = (5)(4) sin162 0 = 6,18 satuan
  • 24. Soal Tugas 1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3 satuan membentuk sudut 60 sama lain. Hitung resultan vektor-vektor tersebut! Hitung pula selisih dua vektor tersebut! 2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada satu bidang dan mempunyai titik tangkap yang sama. Besar vektor berturut-turut adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah besar sudut apit vektor a dan b agar resultan nya besarnya sama dengan vektor c ?
  • 25. 3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut membentuk sudut 60, berapakah perbandingan kedua vektor tersebut ? 4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari dua vektor berikut ini : a = 2i – 2j + 4k b = i – 3j + 2k 5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan kemana arahnya?

×