Matriks

Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
Pengertian
 Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi

yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit
oleh ...
Lambang Matrik
Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

 a11
a
A =  21
 

a m1

a12  a1n 
a 22  a 2 n 


 ...
Contoh Matriks
A=  2

π

− 2 0,23451
3

7

x 2 +1
B= 
 sin x

1032

− 2 ln x 
3 x +1 
e


0 

80 − 13
4

Dalam...
Persamaan Matrik
jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama,
matrik A dan B adalah sama ditulis A=B
Contoh:  ...
Jenis Matriks (1/7)
 Matrik Bujursangkar  banyak baris = banyak kolom

a11
A = a 21

a 31


a12
a 22
a32

a13 
a 2...
Jenis Matriks (2/7)
 Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai
nol

 ...
Jenis Matriks (3/7)
 Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu,
lambang: In, n menyata...
Jenis Matriks (4/7)
 c 0  0
0 c  0 


      =c


0 0  c


1 0  0
0 1  0 


      = cIn

...
Jenis Matriks (5/7)
 Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat
matrik B, sehingga mem...
Jenis Matrik (6/7)
Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo
lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikut...
Contoh
 Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks

segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,
ataukah skalar?

0
0

...
Jawab
Termasuk matrik segitiga atas
Termasuk matrik segitiga bawah
Termasuk matrik diagonal
Bukan matrik skalar, karena en...
Jenis Matriks (7/7)
 Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

3
1

− 2


1
5
4

− 2
...
Contoh
Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a,
b, dan c
0 1 0

A= a

Jawab:

AT =


b

...
Operasi Matriks
 Penjumlahan Matrik
 Perkalian Matrik dengan Skalar
 Transpos Matrik
 Perkalian Dua Matrik
 Trase Mat...
Penjumlahan matrik
Jika A=[aij], dan B=[bij]
Jumlah matrik A dan B ditulis:
C=A+B
Syarat: ordo A = ordo B
Aturan:
cij=aij+...
Contoh
4 − 3
 − 1 2 2 − 5
3 12 − 2 4 
A= 
, B= 
, C=


3
2 2


 7 4 5 10 
 3 1 − 7

Hitung: A+B, B+C
Jaw...
Perkalian dengan Skalar
A=[aij] dan k skalar, maka:
kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}
7
 3 1 2 − 2 4   (− 4). ...
Transpos matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m
Jika B=AT , dan B=[bji], maka
bji = aji{kolom matrik A menjadi ba...
Perkalian dua Matrik
A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}
C...
Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)
 − 3 1 4  , B=  0
A= 
1


 2 − 1 − 5

2
4 1  , dan C=AB

− 2 − 6 7 


3

2
...
Contoh Perkalian Matrik (2/2)
c21=

3
[ − 3 1 4]  4 =

 
− 6
 

C=AB

− 3 1 4 
=
2 − 1 − 5



-9 + 4 – 24 ...
Trase matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n
{harus matrik bujur sangkar}
Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumla...
Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)
Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

A+B=B+A...
Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

AB≠BA {tidak berlaku komutatif perkalian}
(AB)C=A(BC) {sifat ...
Contoh AB≠BA
 − 1 2   4 1  0 − 5 
AB = 
  2 − 2  = 6 − 6 
 0 3 
 

4 1  − 1 2 − 4 11 
BA = 
  0...
Contoh AB=0
0 0 
1 0
A=
 B = 3 − 4


 2 0
1 0  0 0   0 0 
AB = 
 3 − 4 = 
, berarti AB=O
 2 0 
...
Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)
16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)
17. trase(AT) = trase(A)
18. trase(kA) = k trase(A)
...
Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)
20. (A+B)C=AC+BC
21. C(A+B)=CA+CB
22. (AB)T = BTAT

{urutan operasi dibalik}

23. (kA)T=k...
Contoh Tambahan (1/3)
2 − 1
Jika A = 
, dan B =
1 3 
T
 6 0  
6
T

 = 
(A + B) = 
8 1 
0



4 1 
...
Contoh Tambahan (2/3)
(½B) =
T

2

 7
 2

 2 72 
2  =


   1 2 −1
−1 
T

1



2 − 1
A= 
, dan B =
...
Contoh Tambahan (3/3)
2 − 1 2 − 1
A = AA= 
=
1 3  1 3 



2

3 − 5
8



A 3 = A 2A = 
5

3 − 5
5 8 
...
Tantangan 1
0 
Jika
 12
4
 1 2 B =  0 − 2 C = 


A=
− 3


−1 3 
− 3 0


2 0 
E=
0 − 3


Hitunglah...
Tantangan 2
B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-

variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga
berlaku per...
Tantangan 3
C.
D.
E.

Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan syarat agar ...
Tantangan 4
F.

Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :

2x − 3y
x

G.

H.

= 1

+ 4 y = 2

dapat dinyatakan sebagai ...
Tantangan 5
I.

J.
K.
L.
M.

Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik
diagonal yang entri-entrinya adalah en...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Bab 1-matriks

1,161 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,161
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
42
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab 1-matriks

  1. 1. Matriks Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
  2. 2. Pengertian  Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.  Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.  Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.  Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
  3. 3. Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:  a11 a A =  21    a m1 a12  a1n  a 22  a 2 n       a m 2  a mn  atau penulisan yang lebih singkat : [ ] A = aij dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  4. 4. Contoh Matriks A=  2  π − 2 0,23451 3 7 x 2 +1 B=   sin x 1032 − 2 ln x  3 x +1  e  0   80 − 13 4 Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2 a23= 1032 b23= tidak ada b21= sin x Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  5. 5. Persamaan Matrik jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B Contoh:  2a Jika A=  1 3 4b  dan  − 2 3c  B=  c 3 + b   dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  6. 6. Jenis Matriks (1/7)  Matrik Bujursangkar  banyak baris = banyak kolom a11 A = a 21  a 31  a12 a 22 a32 a13  a 23   a33   Diagonal Utama  Matrik Segitiga Atas, matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol a11 0     0 a12 a 22  0  a1n   a2n        a nn  0 0  0  0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 2 −1 0 3 0 4 0 0 8 6  9  1
  7. 7. Jenis Matriks (2/7)  Matrik Segitiga Bawah, matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol  Matrik Diagonal,  a11 a  21    a n1 0 a 22  an2  0   0        a nn  0 0 0 0 4 0  3 2 − 6  0 − 7 5 9 0 0  0  1 matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol 0  0   5 9 0 0 0 a 11 0     0 0        a nn  a 22   0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 0  0  0 4 0 0  0 − 6 0  0 0 0
  8. 8. Jenis Matriks (3/7)  Matrik Satuan, matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan 1 0 0 0 1 0 1 0 0   I2= 1 0 0 1 0  I4=  0 0 1 0 1  I3=      0 0 1   Matrik skalar, 0 0 0   matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c≠0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 0 0  0  1
  9. 9. Jenis Matriks (4/7)  c 0  0 0 c  0          =c   0 0  c  1 0  0 0 1  0          = cIn   0 0  1   Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5 O23= 0 0 0 0 0 0    0 0  0 O53=  0 0  Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 0 0 0 0 0 0 0  0  0 0 
  10. 10. Jenis Matriks (5/7)  Matrik Invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1 Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu: 1  d − c a c  , maka A-1 = A=  ad − bc − b a     b d   4 − 3 − 4 3  1  2 3 -1 A=  , maka A = 2.4 − 3.3 − 3 2  =  3 − 2      3 4 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  11. 11. Jenis Matrik (6/7) Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin. Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  12. 12. Contoh  Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar? 0 0  0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  13. 13. Jawab Termasuk matrik segitiga atas Termasuk matrik segitiga bawah Termasuk matrik diagonal Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  14. 14. Jenis Matriks (7/7)  Matrik Simetri, yaitu matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT 3 1  − 2  1 5 4 − 2 4   0    Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  15. 15. Contoh Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c 0 1 0 A= a Jawab: AT =  b  0 c 0 a b   0 − 1 0  1 0 c  = -A = − a 0 − 2     0 2 0   − b − c 0      2  0  Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  16. 16. Operasi Matriks  Penjumlahan Matrik  Perkalian Matrik dengan Skalar  Transpos Matrik  Perkalian Dua Matrik  Trase Matrik Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  17. 17. Penjumlahan matrik Jika A=[aij], dan B=[bij] Jumlah matrik A dan B ditulis: C=A+B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan} Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  18. 18. Contoh 4 − 3  − 1 2 2 − 5 3 12 − 2 4  A=  , B=  , C=   3 2 2    7 4 5 10   3 1 − 7 Hitung: A+B, B+C Jawab:  − 1 2 + 3 1 2 2 + ( − 2) − 5 + 4   − 1 2 2 − 5  3 1 2 − 2 4  A+B=  7 4 3 5 10  +  3 1 − 7 =  7 + 3 4 3 5 + 1 10 + (− 7)        3 0 − 1 A+B=   10 5 3 5 3  B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  19. 19. Perkalian dengan Skalar A=[aij] dan k skalar, maka: kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k} 7  3 1 2 − 2 4   (− 4). 2 (− 4).(− 2) (− 4).4  (-4)   =  (− 4).3 (− 4).1 (− 4).(− 7)   3 1 − 7  =  − 14 8 − 16  − 12 − 4 28    Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  20. 20. Transpos matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m Jika B=AT , dan B=[bji], maka bji = aji{kolom matrik A menjadi baris matrik AT} A= A = T − 2 3  5  7  − 3  4   − 2 3 5  7 − 3 4   back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  21. 21. Perkalian dua Matrik A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B} C=AB cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=  ai m ∑a b j =1 ij jk  vektor baris ke-i dari matrik A bk vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah: cik =   ai• bk Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  22. 22. Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)  − 3 1 4  , B=  0 A=  1    2 − 1 − 5 2 4 1  , dan C=AB  − 2 − 6 7    3 2     1 [ 2 − 1 − 5]   4 – 1 – 35 = -32 = c23=   7   c21= 0 [ 2 − 1 − 5]  1  = 0 – 1 + 10 = 9    − 2   2 [ − 3 1 4 ] 1  = c13=   7    -6 + 1 + 28 = 23 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  23. 23. Contoh Perkalian Matrik (2/2) c21= 3 [ − 3 1 4]  4 =    − 6   C=AB − 3 1 4  = 2 − 1 − 5   -9 + 4 – 24 = -29 0 1  − 2  3 4 −6 2 1  7   − 7 − 29 23  =  9 32 − 32  Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id back
  24. 24. Trase matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} 2 3 A = − 4  0 −2 1 3 5 ,  1  trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  25. 25. Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A+B=B+A {sifat komutatif} (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k} (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l} (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  26. 26. Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. AB≠BA {tidak berlaku komutatif perkalian} (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif} AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} AO=OA=O {sifat matrik nol} (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O (kA)B=k(AB)=A(kB) Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  27. 27. Contoh AB≠BA  − 1 2   4 1  0 − 5  AB =    2 − 2  = 6 − 6   0 3     4 1  − 1 2 − 4 11  BA =    0 3  =  − 2 − 2  2 − 2     Sehingga: AB≠BA Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  28. 28. Contoh AB=0 0 0  1 0 A=  B = 3 − 4    2 0 1 0  0 0   0 0  AB =   3 − 4 =  , berarti AB=O  2 0   0 0  Tetapi 0 0  1 0  =  0 0  BA =  , berarti BA≠O 3 − 4  2 0  − 5 0      Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  29. 29. Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) 16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B) 17. trase(AT) = trase(A) 18. trase(kA) = k trase(A) 19. trase(Inxn) = n Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  30. 30. Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) 20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB 22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik} 23. (kA)T=kAT 24. An = AA … A, jika n ≠0, dan I, jika n=0 Sebanyak n 25. ArAs kr+s, jika =A 0 d1  k k  0 d2 26. D =     0  0  r 0  dan s bilangan asli  0    k  dn    Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  31. 31. Contoh Tambahan (1/3) 2 − 1 Jika A =  , dan B = 1 3  T  6 0   6 T   =  (A + B) =  8 1  0   4 1  7 − 2    8 1   2 1  4 7  A +B = − 1 3 + 1 − 2 =     T T  4 7   2 1 1 25  B A =   =  1 − 2 − 1 3 4 − 5     T T  6 8  0 1   T  1 4  1 25  (AB)T =    =   25 − 5  4 − 5       2 1 4 7  A B = = − 1 3 1 − 2     T T  9 12  − 1 − 13   Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  32. 32. Contoh Tambahan (2/3) (½B) = T 2   7  2  2 72  2  =      1 2 −1 −1  T 1  2 − 1 A=  , dan B = 1 3  4 7   2 7 2  ½ BT = ½   =  1 2 −1  1 − 2   − 4 2  –2 A =  − 2 − 6   − 2 0  –2IA =  0 − 2   2 − 1 1 3  =   − 4 2   − 2 − 6   Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 4 1  7 − 2   
  33. 33. Contoh Tambahan (3/3) 2 − 1 2 − 1 A = AA=  = 1 3  1 3     2 3 − 5 8   A 3 = A 2A =  5 3 − 5 5 8    2 − 1 A=  , dan B = 1 3  2 − 1  1 − 18 1 3  = 18 19      trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 6 0 ) = 6 + 1 = 7 trase(A+B) = trase(  8 1   Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 4 1  7 − 2   
  34. 34. Tantangan 1 0  Jika  12 4  1 2 B =  0 − 2 C =    A= − 3   −1 3  − 3 0   2 0  E= 0 − 3   Hitunglah: 1. BA, AB 2. E2, E3, E100, 3. A2 + 2A + I,(A+I)2, 4. (BC - D)T, CTBT– DT, 5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), 6. trase(A + E) A. − 5 0 1  1 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 3  0 − 2 1 D =  − 1 3 4    1 2 0 1  
  35. 35. Tantangan 2 B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel- variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga berlaku persamaan matrik di bawah ini:  2 1 − 1 7  6 8 0 3   2x  x   y  45 − y + z  = -  3  x + w w − 2 y + x   z z   Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id 46 87  
  36. 36. Tantangan 3 C. D. E. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A dan B berordo 2x2 Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A dan B berordo 2x2 Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:  x + y 3x + y   x + z x + y − 2z   = − 1 9  1  − 17   Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  37. 37. Tantangan 4 F. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier : 2x − 3y x G. H. = 1  + 4 y = 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B] Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan mengingat sifat I = AA-1 . Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id
  38. 38. Tantangan 5 I. J. K. L. M. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AA T berbentuk matrik simetri. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id

×