Conicas

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Primera aproximación al mundo de las conicas para los alumn@s de 1º de bachillerato. Muy didáctico para que ellos aprendan por si mismos

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Conicas

  1. 1. LUGARES GEOMETRICOS. CONICAS
  2. 2. ¿Qué es lugar geométrico? Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz: d(P,A) = d(P,B) Bisectriz: d(P,r) = d(P,s)
  3. 3. Ejemplos de como calcular la mediatriz de un segmento ó bisectriz de un ángulo: http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1Bach CT/Lugar%20Geometrico.pdf
  4. 4. CÓNICAS La siguiente figura se llama superficie cónica. Se obtiene haciendo girar una recta g (generatriz), alrededor de otra e (eje) a la que corta en un punto V (vértice)
  5. 5. Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono. Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear:
  6. 6. LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos P tales que d(P, C) = r
  7. 7. Ecuación de la circunferencia Datos P(x,y) C(a,b) Definición d(P,C) =r Ejercicio Desarrolla la expresión anterior y llega a una del tipo: Relaciona A, B y C con a, b, y r
  8. 8. Observa que Y por tanto:
  9. 9. Conclusiones Para que una expresión de 2º grado sea una circunferencia se tiene que cumplir: 1.- Coeficientes de x2 e y2 iguales 2.- No hay término en xy 3.- La expresión r2 = (A/2)2 + (B/2)2 – C tiene que ser positiva
  10. 10. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia DATOS : Recta(s) y circunferencia de radio r y centro C PROCESO -Calcula d(C,s). La llamamos d - Si d > r → s es exterior a la circunferencia - Si d = r → s es tangente a la circunferencia (Un punto de corte) - Si d < r → s y la circunferencia son secantes (2 puntos de corte)
  11. 11. Ejercicios de circunferencias 1.- Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2. 2.- Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio 3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0. 4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). Muy interesante la página de donde he sacado estos ejercicios, hay más y todos con solución: http://www.vitutor.com/geo/coni/f_e.html
  12. 12. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. ELIPSE
  13. 13. Elementos de una elipse • Focos : son los puntos fijos F y F‘ • Centro de la elipse: es el punto de intersección de los ejes • Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. • Distancia focal: es el segmento de longitud 2c; c es el valor de la semidistancia focal. • Vértices: son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
  14. 14. • Relación entre la distancia focal y los semiejes Ejercicio: demuestra que k= 2·a y BF = a
  15. 15. Ecuación reducida de una elipse
  16. 16. APLICACIONES DE LA ELIPSE • Los planetas giran alrededor del sol describiendo órbitas elípticas siendo el sol uno de los focos (Primera ley de Kepler) • Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas. • En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
  17. 17. Cometas y Satélites como la orbita de la luna, describen una elipse
  18. 18. HIPÉRBOLA La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.
  19. 19. Elementos de una hipérbola • Focos : son los puntos fijos F y F‘ • Centro de la hipérbola: es el punto de intersección de los ejes • Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. • Distancia focal: es el segmento de longitud 2c; c es el valor de la semidistancia focal. • Vértices: A, A', B y B'.
  20. 20. Ecuación reducida de la hipérbola • Partiendo de la definición de hipérbola: d(P,F)-d(P,F’) = 2·a y tomando P(x,y) se llega a la ecuación reducida de la hipérbola 2 2 x y − 2 =1 2 a b Se demuestra de igual forma que el caso de la elipse
  21. 21. Aplicaciones de la hipérbola • Óptica • Navegación • Trayectorias de cometas • Construcciones
  22. 22. Ejercicio de investigación a)¿Qué es una hipérbola equilátera? b)¿Cuál es su ecuación reducida? c)Escribe cuales serían las ecuaciones de sus asíntotas y el valor de la excentricidad
  23. 23. PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano, P que equidistan de un punto llamado foco F y una recta llamada directriz d.
  24. 24. Elementos de la parábola • El foco es el punto F. • La directriz es la recta d. • El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco • p es la distancia de F a d • El eje de la parábola es también un eje de simetría. • El vértice es el punto V en que el eje corta a la parábola.
  25. 25. Ecuación reducida de la parábola
  26. 26. APLICACIONES • Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parábola • La trayectoria de proyectiles tienen una forma parabólica • Chorro de agua de una fuente • Los espejos dentro de focos y linternas
  27. 27. • En la forma de antenas, telescopio, detectores de radar se muestra una parábola.
  28. 28. PAGINAS INTERESANTES PARA TRABAJAR ESTA UNIDAD http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar %20Geometrico.pdf http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didactico s/Lugares_geometricos_conicas/index.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-012204/conicas/tierra.html → Aparte de los conceptos teóricos también aparecen ejemplos en la vida real de las cónicas. http://www.iesadpereda.net/envios/envio4/bacman/mates/Conicas. pdf →Página con ejercicios resueltos http://www.monografias.com/trabajos82/secciones-conicasaplicaciones/secciones-conicas-aplicaciones2.shtml→ Ejemplos reales de cónicas y su historia http://divulgamat2.ehu.es/html/conicas/conicas/fotos1.htm → Imágenes con ejemplos de cónicas en la realidad

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