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Matrizes

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  • 1. Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática Aluno:____________________________________________________ N°____ Turma:____________ Data:__________ MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES: Em quase todos os jornais e revistas é possível encontrar tabelas informativas. Na Matemática chamaremos estas tabelas de MATRIZES. Observe o exemplo:Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ª DivisãoInglaterra 34363 18221 7849Alemanha 39109 17950 3964Espanha 31126 8341 **Itália 22697 5838 2869Brasil 12401 7958 3274 Fonte: Superinteressante Setembro 2008Esta matriz é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas.Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i é a linha e j a coluna onde se encontra esteelemento.Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma: a11 a12 a13 ... a1n a  21 a22 a23 ... a2 n  a31 a32 a33 ... a3n  = (aij )m×n  ... ... ... ... ... am1 am 2 am3 ... amn  Exemplo: Criar a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i² - j.
  • 2. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES:Matriz Linha: Quando m = 1Ex. A = [3 5 -2]Matriz coluna: Quando n = 1 3Ex. A =  5    − 2  Matriz Quadrada: Quando m = n 3 1 7 Ex. A =  2 0 − 3   10 4 5   Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i≠j. Somente em matriz quadrada  3 0 0A = 0 8 0    0 0 5   Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i=j 1 0 0Ex. A = 0 1 0   0 0 1   Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz 1 2 3  1 4 7 Ex: M =  4 5 6 M T =  2 5 8     7 8 9    3 6 9   IGUALDADE ENTRE MATRIZES:Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais a 3   2 b Ex.  =  , então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7 5 d   c 7
  • 3. OPERAÇÕES COM MATRIZESAdição: A + B = (aij + bij)mxnSubtração: A – B = (aij – bij)mxn 1 0 2 3  − 1 2Dados A =   B = 5 − 2 C =  5 1  3 2     1 0  2 3  − 1 2 1 − 2 + (−1) 0 − 3 + 2  − 2 − 1A− B +C =  − + = = 3 2 5 − 2  5 1   3 − 5 + 5 2 − (−2) + 1  3         5 Multiplicação por Escalar:Se multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, todos os elementos dessa matriztambém serão multiplicados por este número: 2 3  6 9Ex. 3 ×  =  5 1 15 3Multiplicação de Matrizes:Dados A = (aij)mxn e B = (bij)nxp AxB = Ccik = ai1*b1k + ai2*b2k + ... + ain*bnk IMPORTANTE: Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for o mesmo queo número de linhas de B. 2 3 5  7 0 1 Ex. A =   1 0 − 2  B =  2 3 − 4  Calcule AxB e BxA       MATRIZ INVERSA:Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se AxB = BxA = In. Neste casochamaremos B de A-1. Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente de 0.  1 0 -1Ex. A =   2 5  Achar a A   
  • 4. EXERCÍCIOS:1) Construa as seguintes Matrizes: a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j b) B = (bij)1x3, em que bij = i2 + i3 c) C = (cij)3x3, em que cij = i + j 3 2 T -12) Dada a Matriz A =   8 5  , ache A e A     2 3a   c − 1 − 6 3) Determine a, b, c e d que verifiquem:   b d + 1 =  5       0 4) Efetue:  3 5  2 6       3 − 7 0   − 10 0 3 a)  7 3  +  − 3 8  b)  15 1 − 6  +  − 5 1 − 7     8 6  7 − 2        5) Dadas as matrizes 0 4  2 3 7   A=  5 6 0  B =  1 − 1    3 2   Obtenha as matrizes: 1a) A b) 2B c) 3A + 2BT d) A*B 36) Efetue as Multiplicações: 0  3 8 3  1 0 5      a)  1  × (0 3 5) b)  5 6 0  ×  7 − 2 4  0  − 2 1 4  − 3 1 0      
  • 5. 7) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes  4 − 1 5 0  8 9 1 0a)  −3 2  b)  1 2  c)   7 8  d)  0 1          1 18) (UFRGS) Se A =   − 1 − 1 , então A² é a matriz    1 1  0 0  1 1  − 1 − 1  2 2 a)   − 1 − 1 b)  0 0     c)   1 1  d)   1 1  e)  − 2 − 2                2 3 29) (PUCRS) Sendo as matrizes A = − 1 4 e B =   , então o produto A*B é igual a    6 7 0   4  4 − 6  0 4 6a) [6 8 14] − 2 c) 4 6 d) − 2 8  e) − 1 0 8 b)   0 0       12     12 14  12 14 0        3 − 210) (PUCRS) Sendo I a matriz identidade e M =   então a matriz X, tal que XM = I é − 4 3   − 3 − 2 − 3 2   3 − 4  3 4  3 2 a)   b)  4 − 3 c) − 2 3  d) 2 3 e) 4 3  − 4 − 3        
  • 6. − 1  3 − 211) (ULBRA) Dadas as seguintes matrizes: A =   , B =   e C =   . O valor de 2ª - 3B – 3 0  8C é:  − 2 − 2 0  − 9 1a)   b)   c)   d)   e)   6  8 0   − 2 5 1 212) (FEI-SP) Se B é a matriz inversa de A =   , então: 1 3 2 3 2 1  3 − 2 3 1  − 3 1 a) B =   b) B = 3 1 c) B = − 1 1  d) B = 1 2 e) B =    1 1        1 − 2 1 2 2  9 − 413) (PUCMG) Se A =   e A = − 8 17  , o valor do produto ab é? a b   a) -4 b) -6 c) -8 d) -12 e) -17 1 3  4 314) (UFRN) Dadas as matrizes A =   e B=  , qual é resultado de AB – BA? 2 4  2 1 0 0   0 − 18 20 12  20 48 20 − 18a)   b)   c)   d)   e) 12 20  0 0  12 0  32 20  8 20  
  • 7. DETERMINANTES:Chamamos de determinante de uma matriz ao número real associado a ela.Determinante de 1ª ordemA=[a11] → det A = a11Determinante de 2ª ordem a a12 A =  11  det A = a11*a22 – a12*a21 a21 a22   2 1Ex.   4 3Determinante de 3ª ordemAplica-se a regra de Sarrus  a11 a12 a13  a a23   a11 a12 a13   21 a22   a11 a12 a13 a11 a12 A = a21  a22 a23   det A =  a31 a32 a33  ou a21 a22  a23 a21 a22     a31  a32 a33    a11 a12 a13  a31 a32  a33 a31 a32   a21  a22  a23   2 3 1Ex. 1 4 5   2 − 2 3  Determinante de 4ª ordem ( esta regra pode sr aplicada em qualquer matriz quadrada )  a11 a12 a13 a14  a a22 a23 a24 A =  21  a31 a32 a33 a 34    a41 a42 a43 a44 Teorema de Laplace: Um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma filaqualquer pelos seus respectivos cofatores.Cofator: Cof ij = (-1)i+j*Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida excluindo-se a linha e acoluna do elemento aij. 1 0 10 0   3 − 2 1 − 1Ex.   5 0 − 3 − 2   − 9 0 4 7
  • 8. Propriedades dos determinantes:1) Toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula tem determinante nulo2) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua matriz transposta3) Toda matriz que possui duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo4) O determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas linhas ou colunas5) Uma matriz quadrada que possui duas linhas ou colunas proporcionais tem seu determinantenulo6) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes7) Multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz por um número real K, seu determinante ficarespectivamente multiplicado por K.8) Uma matriz quadrada que possui todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principaliguais a zero tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal.EXERCÍCIOS:1) Calcule o valor de cada um dos determinantes: 3 4 2 1 1 1 − 2  6 4 − 3  4 −1 5  5 0 − 1 − 2a) 0 2 5    b) 2 5 1    c) − 2 3  1 d)   0 0 4 0 3 1 − 1    1 0 − 2    1  7 − 3    − 1 0 3 3  2 3 1 8 1 0 − 2 0 2 e) 1 4 5   − 3 − 4 5 f)   g)  3 1 4    2 − 2 3   1  2 3  − 5 6 − 3   1 − 1 1 5 2) Se A =   e B = 2 0 , então det(AB) é: 0 2   a) -20 b) -10 c) 0 d) 10 e) 20 1 23) Dada a matriz A =   , o determinante da matriz A² é igual a: 3 4a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 44) (UFRGS) Sendo A=(aij)mxn uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i²-j, o determinante da matriz Aé:a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
  • 9. 1 − 1 25) (UFRGS) A solução da equação 1 2 x  = 0 é   3 0 1   a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 x 0 0 − 1 0 x 0 06) (UFRGS) O valor do determinante   é para todo x ∈ ℜ 0 0 x 0   − 1 0 0 xa) x²(x² + 1) b) x²(x² - 1) c) x4 + 1 d) x4 – 1 e) zero  senx − cos x 7) O determinante da matriz A =   cos x senx  é equivalente a   a) tg² x b) sec²x c) 1 d) zero e) sen²x – cos²x 2 1   −1 28) (PUCRS) Dadas as matrizes A =   1 − 2  e B =  0 1  , o determinante da matriz A*b é       a) -7 b) -5 c) 3 d) 4 e) 59) (UNISINOS) O valor de um determinante é 48. Se dividirmos a 2ª linha por 8 e multiplicarmosa 3ª coluna por 6, então o novo determinante valeráa) 20 b) 36 c) 64 d) 24 e) 48

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