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Ejercicios resueltos mm 502

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  • 1. ´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA GU´ DE VARIABLE COMPLEJA IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICASProfesor: M.J. Suazo EJERCICIOS RESUELTOS.Siguiendo con los ejercicios de Integrales de l´ ınea de variable real, se a˜aden dos ejemplos m´s que n ales servir´ de guia, despu´s ejercicios resueltos de integrales de contorno(estudiar el concepto). a e1) Eval´e la integral u y dx − x dy, donde C viene dado por la parametrizaci´n x = 2 cos t, o −Cy = 3 sen t, 0 ≤ t ≤ π.Soluci´n: oSabemos que y dx − x dy = − y dx − x dy, entonces −y dx + x dy. −C C CEn este y en todos los casos la idea es dejar la integral de l´ ınea como una integral simple, entoncesderivemos y sustituyamos; dejaremos la integral solo en t´rminos de t. eSabemos que x = 2 cos t, dx = −2 sen t, y = 3 sen t entonces dy = 3 cos t, al sustituirlo en laintegral de l´ ınea tenemos, π π −y dx + x dy = −3 sen t(−2 sen t) dt + 2 cos t(3 cos t) dt = 6 (sen2 t + cos2 t) dt = 6π. C 0 02) Eval´e la integral u x2 y 3 dx − xy 2 dy, donde C es la curva de la figura siguiente: CSoluci´n: oEn este caso vemos 4 curvas distintas, por lo que el integral = + + + . Comen- C C1 C2 C3 C4zamos con la curva 1, tomemos la curva donde x = 1 constante, mientras que −1 ≤ y ≤ 1, la 1 0 2integral nos queda x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 dx − xy 2 dy = 12 y 3 & − 1y 2 dy = − . dx b & C C1 −1 3 1
  • 2. En la curva 2, tenemos que el valor de y = 1 es constante mientras −1 ≤ x ≤ 1 pero debemos detener en cuenta que hay que seguir la l´ ınea. 0 −1 1 2 x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 dx − xy 2 dy =   x2 13 dx = − x2 dx = − C C2   1 −1 3Para C3 vemos claramente que x = −1, −1 ≤ y ≤ 1 (recuerde que hay que seguir el camino), 0 −1 1 2entonces: x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 − xy 2 dy = dx b −(−1)y 2 dy = − y 2 dy = − C C3 1 −1 3Para C4 claramente y = −1, −1 ≤ x ≤ 1, entonces: 0 1 1 2 2 3 2 2 3 2   x y dx − xy dy = x y dx − xy dy= x2 (−1)3 dy = − x2 dx = − C C4   −1 −1 3Por lo tanto, = + + + = −2/3 + (−2/3) + (−2/3) + (−2/3) = −8/3 C C1 C2 C3 C4 2
  • 3. INTEGRALES COMPLEJAS.Practicamente el caso de las integrales complejas es similar al de las integrales simples y de l´ ıneade variable real, de hecho cumple con todas las propiedades de variable real incluyendo el Teoremafundamental del C´lculo(ver el libro de texto). Las integrales de l´ a ınea nos sirven como herramientaspara evaluar integrales de contorno(estudiar el concepto) de variable compleja.Teorema: Evaluaci´n de integrales de contorno. o ınua en una curva suave C dada la parametrizaci´n z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],Si f es cont´ oentonces b f (z) dz = f (z(t))z (t) dt C a1) Eval´e u z 2 dz, donde C es z(t) = 3t + 2it, −2 ≤ t ≤ 2. CEl problema es una aplicaci´n directa del teorema anterior. o 2 2 2 2 736 z dz = (3t + 2it) (3 + 2i) dt = (3 + 2i) (3t + 2it)2 dt = −48 + i C −2 −2 32) Eval´e u x2 + iy 3 dz, donde C es la l´ ınea que va desde z = 1 hasta z = i. CEn este caso, no haremos una sustituci´n en t´rminos de t: z(x) = x + i(1 − x), sabemos que tanto o ex como y son variables, la idea siempre es simplificar la integral, adem´s recuerde que a y b son an´meros reales. Observe que, cuando x = 0 tenemos que z = i y cuando x = 1 entonces z = 1. Si uhacemos x = y para f (z) = x2 + iy 3 = x2 + ix3 , z (x) = (1 − i)dx adem´s seguiremos la l´ a ınea queva desde x = 1 hasta x = 0. De modo que la integral nos quedar´ as´ a ı: 0 0 x2 + iy 3 dz = (x2 + x3 ) dz = (x2 + ix3 )(1 − i) dx = (1 − i) (x2 + ix3 ) dx = −7/12 + 1/12i. C C 1 1 3
  • 4. 3) Eval´e la integral u z 2 dz donde C es la curva siguiente: CComo en el caso de variable real, en este problema empezaremos desde el origen y siguiendolas manecillas en contra del reloj. Para el caso, es similar al problema 2 de la p´gina 2 de este adocumento: = + + . C C1 C2 C3Para C1 : y = 0 mientras que 0 ≤ x ≤ 1, por lo que z = x, dz = dx y el integral nos queda asi 1 1 z 2 dz = x2 dx = . C1 0 3En la curva 2 tenemos la integral z 2 dz, donde x = 1 es constante mientras que y es variable C2entre 0 y 1. 1 2Hagamos entonces z = 1 + iy, dz = idy, entonces (1 + iy)2 i dy = −1 + i 0 3En la curva 3, el valor de x es el mismo que el de y en cualquier punto de modo que z = x + iy =x + ix, dz = (1 + i)dx si seguimos el camino que iniciamos en x = 1 y lo terminamos en x = 0 porlo que el integral nos queda as´ ı: 0 1 2 2 (x + ix)2 (1 + i) dx = −(1 + i) 2ix2 dx = − i. 1 0 3 3Por lo tanto, z 2 dz = 0 C 4
  • 5. EJERCICIOS PROPUESTOSMuestre los pasos y caminos a seguir para llegar al resultado en el problema propuesto, respuestassin procedimientos pierden validez.1) Evalu´ la integral e ırculo |z| = 1 Re(z) dz, donde C es el c´ C2) Evalu´ la integral e (3z 2 − 2z) dz, donde C es z(t) = t − 2it3 , −1 ≤ t ≤ 1 C 13) Evalu´ la integral e dz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior. C z4) Evalu´ la integral e ez dz donde C es la poligonal que consiste en los segmentos de l´ ınea que Cva desde z = 0 a z = 2 y de z = 2 hasta z = 1 + πi . 15) Evalu´ la integral e 2 − 2i ırculo |z| = 6 desde z = −6i hasta z = 6i . dz donde C es el c´ C z6) Evalu´ la integral e z 2 − z + 2 dz desde i a 1 a los largo de C que es la figura siguiente: C 17) Evalu´ la integral e |z|2 dz, donde C es x(t) = t2 , y(t) = , −1 ≤ t ≤ 2 C t 5

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