Ejercicio momento de inercia

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En este problema resolveremos un problema de momentos de inercia

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  • 1. 𝐸𝑙 � 𝑅𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛 � 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 http://www.elrincondelingeniero.com/ Calcular para la siguiente seccion, su centro de masas, momento y producto de inercia así como sus direcciones principales de inercia. expresion: 𝑷 𝒙𝒚 = 𝑨. (𝒙 𝟏 − 𝒙 𝑮 ). (𝒚 𝟏 − 𝒚 𝑮 ) Comenzamos el cálculo: 𝑧𝐺 = 2.60.20.50 + 20.160.10 = 27,14 𝑚𝑚 5600 𝑦 𝐺 = 80 𝑚𝑚 1 𝐼 𝑧 = 2 � 60. 203 + 60.20. 702 � + 12 1 20. 1603 = 𝟏𝟖, 𝟔𝟕. 𝟏𝟎 𝟔 𝒎𝒎 𝟒 12 𝐼𝑦 = 2� Para realizar el ejercicio, divimos la sección en tres rectángulos, uno de 160 x 20 y dos de 60 x 20. Una vez hecho esto, y dado que se conoce la expresión del momento de inercia de un rectángulo con respecto a los ejes que pasan por su centro de gravedad: 𝐈𝐱 = 𝐈𝐲 = 𝟏 𝐛. 𝐡 𝟑 𝟏𝟐 𝟏 𝐡. 𝐛 𝟑 𝟏𝟐 posteriormente el teorema de Steiner: 𝐈 𝟏 = 𝐈 𝐨 + 𝐀𝐝 𝟐 para obtener así la inercia con respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de la geometría completa. Por otra parte, el producto de inercia se de acuerdo a 1 160. 203 + 160.20. (10 − 27,14)2 12 𝑰 𝒚 = 𝟑, 𝟎𝟐𝟏. 𝟏𝟎 𝟔 𝒎𝒎 𝟒 𝑃𝑧𝑦 = 160.20. (10 − 27,14). (80 − 80) + 60.20(50 − 27,14). (10 − 80) + 60.20(50 − 27,14). (150 − 80) = 0 𝑷 𝒛𝒚 = 𝟎 𝒎𝒎 𝟒 (𝒔𝒊𝒎𝒎𝒆𝒕𝒓𝒚) 𝐼𝑐 = podemos calcular estos primero y aplicar calcula + la siguiente 1 20. 603 + 60.20(50 − 27,14)2 � + 12 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 = 𝟏𝟎, 𝟖𝟒. 𝟏𝟎 𝟔 𝒎𝒎 𝟒 2 𝑅 = �� 𝐼𝑧 − 𝐼𝑦 2 2 � + 𝑃𝑧𝑦 = 𝟕, 𝟖𝟐. 𝟏𝟎 𝟔 𝒎𝒎 𝟒 2 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑐 + 𝑅 = 𝐼 𝑧 (𝑃𝑧𝑦 = 0 𝑚𝑚4 ) 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑐 − 𝑅 = 𝐼 𝑦 (𝑃𝑧𝑦 = 0 𝑚𝑚4 ) 𝛼 = 𝑎 tan � −2𝑃𝑧𝑦 �=0 𝐼𝑧 − 𝐼𝑦