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  • 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A 10º ANO Cursos Científico-Humanísticos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas Autores Jaime Carvalho e Silva (Coordenador) Maria Graziela Fonseca Arsélio Almeida Martins Cristina Maria Cruchinho da Fonseca Ilda Maria Couto Lopes Homologação 22/02/2001
  • 2. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Cursos Gerais de Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias, Ciˆncias S´cio-Econ´micas e e e o o 1 Introdu¸˜o ca A Matem´tica aparece, para os Cursos Gerais de Ciˆncias Naturais, Ciˆncias e Tecnologias a e e e Ciˆncias S´cio-Econ´micas, como uma disciplina trienal da componente de Forma¸˜o e o o ca Espec´ ıfica a que ´ atribu´ uma carga hor´ria semanal de 4h 30m dividida por aulas de e ıda a 90 minutos ao longo de 33 semanas lectivas. A componente de Forma¸˜o Espec´ ca ıfica destina-se a promover uma forma¸˜o cient´ ca ıfica e t´cnica s´lida, no dom´ e o ınio do conhecimento do respectivo curso, em que a Matem´tica ´ a e considerada uma das disciplinas essenciais do dom´ ınio do conhecimento respectivo e est´ a concebida de forma a respeitar o princ´ ıpio de continuidade pedag´gica, contrariando a o fragmenta¸˜o e atomiza¸˜o de saberes, facilitando e exigindo uma gest˜o mais integrada ca ca a dos programas. A Matem´tica ´ uma disciplina muito rica que, num mundo em mudan¸a, abrange ideias a e c t˜o d´ a ıspares como as que s˜o utilizadas na vida de todos os dias, na generalidade das a profiss˜es, em in´meras ´reas cient´ o u a ıficas e tecnol´gicas mais matematizadas e, ao mesmo o tempo, ´ uma disciplina que tem gerado contribui¸˜es significativas para o conhecimento e co humano ao longo da hist´ria. o O programa de Matem´tica ´ organizado por grandes temas. Por um lado, os temas a e matem´ticos tˆm de ser escolhidos de tal modo que competˆncias fundamentais que a a e e aprendizagem matem´tica pode favorecer sejam contempladas. Por outro, eles tˆm de estar a e ligados a necessidades reais e fornecer instrumentos de compreens˜o do real com utilidade a compreens´ ıvel imediata. Devem ainda poder ser motor de compreens˜o da Matem´tica a a como um todo em que cada tema se relaciona com outros e em que a aprendizagem de cada assunto beneficia a aprendizagem de outros. Cada assunto, embora desenvolvido mais detalhadamente dentro da lecciona¸˜o de um tema, deve ser assunto interessante e ca util na abordagem dos diversos temas. ´ Ao longo dos trˆs anos do ensino secund´rio, os estudantes abordar˜o os seguintes temas: e a a n´meros e geometria, incluindo vectores e trigonometria; fun¸˜es reais e an´lise infinitesiu co a mal; estat´ ıstica e probabilidades.
  • 3. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 2 A abordagem da Geometria inclui assuntos de geometria sint´tica e m´trica, geometria e e anal´ ıtica e vectorial e trigonometria com as competˆncias de c´lculo num´rico a elas assoe a e ciadas. A abordagem das fun¸˜es reais considerar´ sempre estudos dos diferentes pontos de vista co a - gr´fico, num´rico e alg´brico - sobre tipos simples de fun¸˜es, desde as alg´bricas inteiras a e e co e o ano), passando pelas fraccion´rias e acabando nas transcena (que s˜o as tratadas no 10¯ a dentes - exponenciais e logar´ ıtmicas ou trigonom´tricas. Neste grande tema, ser´ realizada e a uma abordagem ao c´lculo de varia¸˜es e de limites, bem como ao estudo da continuidade, a co sem recurso inicial `s defini¸˜es simb´licas rigorosas. a co o A abordagem da Estat´ ıstica e das Probabilidades completar´ as aprendizagens b´sicas, a a com algumas novas no¸˜es e ferramentas que n˜o podiam ser compreendidas no ensino co a b´sico. O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em actividades propostas a a cada estudante e a grupos de estudantes que contemplem a modela¸˜o matem´tica, o ca a trabalho experimental e o estudo de situa¸˜es realistas sobre as quais se coloquem quest˜es co o significativas e se fomente a resolu¸˜o de problemas n˜o rotineiros. ca a As quest˜es de l´gica e de teoria de conjuntos s˜o referidas entre os temas transversais, o o a com um determinado desenvolvimento. Procura-se, deste modo, influenciar os professores no sentido de n˜o abordar estas quest˜es como conte´ do em si, mas de as utilizar a o u quotidianamente em apoio do trabalho de reflex˜o cient´ a ıfica que os actos de ensino e de aprendizagem sempre comportam, e s´ na medida em que elas vˆm esclarecer e apoiar uma o e apropria¸˜o verdadeira dos conceitos. Como temas transversais consideram-se as formas ca de organizar o pensamento e as actividades de resolu¸˜o de problemas, as aplica¸˜es e a ca co modela¸˜o matem´tica, aspectos da hist´ria da matem´tica, da comunica¸˜o matem´tica ca a o a ca a e da utiliza¸˜o da tecnologia. N˜o podem nem devem ser localizadas temporalmente na ca a lecciona¸˜o e muito menos num determinado ano de escolaridade, antes devem ser aborca dadas a medida que forem sendo necess´rias e ` medida que for aumentando a compreens˜o ` a a a sobre os assuntos em si, considerando sempre o sentido de oportunidade, as vantagens e as limita¸˜es. co Em muitos aspectos, a organiza¸˜o dos temas e as indica¸˜es metodol´gicas integram ca co o informa¸˜es sobre a oportunidade de abordar quest˜es de experimenta¸˜o no ensino da co o ca matem´tica, de integrar o recurso a tecnologia, de abordar conceitos de l´gica e racioc´ a ` o ınio, de incorporar a hist´ria da matem´tica assim como informa¸˜es sobre novos tipos de o a co instrumentos de avalia¸˜o. ca Os inevit´veis problemas das transi¸˜es entre ciclos tornaram necess´rio conceber o 10o ano a co a ¯ de uma nova forma, particularmente nas primeiras semanas de aulas, em que estrat´gias e de recupera¸˜o e de acompanhamento dos jovens devem ter uma grande relevˆncia. Nesse ca a sentido, considera-se um m´dulo inicial no qual se incluem conceitos pr´vios considerados o e verdadeiramente essenciais e estruturantes que dever˜o ser especialmente trabalhados com a os estudantes nas primeiras duas ou trˆs semanas de aulas do 10o ano e sempre que se e ¯ venha a revelar necess´rio. O programa de Matem´tica contempla este m´dulo inicial. a a o Pretende-se que os estudantes sejam colocados perante a resolu¸˜o de problemas escoca lhidos que permitir˜o despistar dificuldades e deficiˆncias na forma¸˜o b´sica e acertar a e ca a estrat´gias de remedia¸˜o. A estrat´gia assente na resolu¸˜o de problemas evita ainda que e ca e ca os estudantes sem dificuldades sejam desgastados em revisita¸˜es expositivas de assuntos co que j´ dominam. a
  • 4. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 3 Sempre que o professor detectar nos estudantes lacunas inultrapass´veis em temas de ciclos a anteriores, deve desencadear mecanismos de remedia¸˜o. Os apoios integrados nestes ca mecanismos devem ser organizados de forma diversificada, n˜o se limitando a meras aulas a de repeti¸˜o. As escolas devem estudar os melhores meios de pˆr em pr´tica um sistema de ca o a apoio e remedia¸˜o, introduzindo mecanismos de avalia¸˜o e regula¸˜o da sua actividade ca ca ca e dos seus resultados, nomeadamente criando condi¸˜es institucionais —- tempo, hor´rios co a compat´ ıveis, designa¸˜o dos professores —- e organizativas —- tempo, constitui¸˜o de ca ca grupos de estudantes/turmas a propor para apoio. 2 Apresenta¸˜o do Programa ca 2.1 Finalidades O ensino da Matem´tica participa, pelos princ´ a ıpios e m´todos de trabalho praticados, e na educa¸˜o do jovem para a autonomia e solidariedade, independˆncia empreendedora, ca e respons´vel e consciente das rela¸˜es em que est´ envolvido e do ambiente em que vive. a co a Genericamente, a Matem´tica ´ parte imprescind´ da cultura human´ a e ıvel ıstica e cient´ ıfica que permite ao jovem fazer escolhas de profiss˜o, ganhar flexibilidade para se adaptar a a mudan¸as tecnol´gicas ou outras e para sentir-se motivado a continuar a sua forma¸˜o ao c o ca longo da vida. A Matem´tica contribui para a constru¸˜o da l´ a ca ıngua com a qual o jovem comunica e se relaciona com os outros, e para a qual a Matem´tica fornece instrumentos de a compreens˜o mais profunda, facilitando a selec¸˜o, avalia¸˜o e integra¸˜o das mensagens a ca ca ca necess´rias e uteis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento cient´ a ´ ıfico a ser mobilizado sempre que necess´rio. a Finalmente, a Matem´tica ´ uma das bases te´ricas essenciais e necess´rias de todos os a e o a grandes sistemas de interpreta¸˜o da realidade que garantem a interven¸˜o social com ca ca responsabilidade e d˜o sentido a condi¸˜o humana. a ` ca Assim, podemos apresentar como finalidades da disciplina no ensino secund´rio: a • Desenvolver a capacidade de usar a Matem´tica como instrumento de interpreta¸˜o a ca e interven¸˜o no real; ca • Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como a mem´ria, o rigor, o esp´ o ırito cr´ ıtico e a criatividade; • Promover o aprofundamento de uma cultura cient´ ıfica, t´cnica e human´ e ıstica que constitua suporte cognitivo e metodol´gico tanto para o prosseguimento de estudos o como para a inser¸˜o na vida activa; ca • Contribuir para uma atitude positiva face a Ciˆncia; ` e • Promover a realiza¸˜o pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia ca e solidariedade; • Contribuir para o desenvolvimento da existˆncia de uma consciˆncia cr´ e e ıtica e interventiva em ´reas como o ambiente, a sa´de e a economia entre outras, formando a u para uma cidadania activa e participativa.
  • 5. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.2 4 Matem´tica A a Objectivos e competˆncias gerais e Valores/Atitudes Desenvolver a confian¸a em c si pr´prio: o Exprimir e fundamentar as suas opini˜es. o Revelar esp´ ırito cr´ ıtico, de rigor e de confian¸a nos seus c racioc´ ınios. Abordar situa¸˜es novas co com interesse, esp´ ırito de iniciativa e criatividade. Procurar a informa¸˜o de ca que necessita. Desenvolver interesses culturais: Manifestar vontade de aprender e gosto pela pesquisa. Interessar-se por not´ ıcias e publica¸˜es relativas ` Maco a tem´tica e a descobertas ciena t´ ıficas e tecnol´gicas. o Apreciar o contributo da Matem´tica para a coma preens˜o e resolu¸˜o de proba ca lemas do Homem atrav´s do e tempo. Desenvolver h´bitos de traa balho e persistˆncia: e Elaborar e apresentar os trabalhos de forma organizada e cuidada. Manifestar persistˆncia na e procura de solu¸˜es para uma co situa¸˜o nova. ca Capacidades/Aptid˜es o Desenvolver a capacidade de utilizar a Matem´tica a na interpreta¸˜o e interca ven¸˜o no real: ca Analisar situa¸˜es da vida co real identificando modelos matem´ticos que permitam a a sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o. ca ca Seleccionar estrat´gias de e resolu¸˜o de problemas. ca Formular hip´teses e prever o resultados. Interpretar e criticar resultados no contexto do problema. Resolver problemas nos dom´ ınios da Matem´tica, da a F´ ısica, da Economia, das Ciˆncias Humanas, ... e Desenvolver o racioc´ ınio e o pensamento cient´ ıfico: Descobrir rela¸˜es entre conco ceitos de Matem´tica. a Formular generaliza¸˜es a co partir de experiˆncias. e Validar conjecturas; fazer racioc´ ınios demonstrativos usando m´todos adequados. e Compreender a rela¸˜o enca tre o avan¸o cient´ c ıfico e o progresso da humanidade. Conhecimentos Ampliar o conceito n´mero: u de Aperfei¸oar o c´lculo em IR c a e C e operar com express˜es o racionais, com radicais, exponenciais, logar´ ıtmicas e trigonom´tricas. e Resolver equa¸˜es, ineco qua¸˜es e sistemas. co Usar as no¸˜es de l´gica inco o dispens´veis ` clarifica¸˜o de a a ca conceitos. Ampliar conhecimentos de Geometria no Plano e no Espa¸o: c Resolver problemas usando modelos f´ ısicos e geom´tricos e (de incidˆncia, paralelismo e e perpendicularidade, sec¸˜es, co a ´reas e volumes). Utilizar vectores em referencial ortonormado. Resolver problemas de trigonometria, incluindo o uso de generaliza¸˜es das no¸˜es co co de ˆngulos, arcos e raz˜es a o trigonom´tricas. e Iniciar o estudo da An´lise a Infinitesimal: Interpretar fen´menos e reo solver problemas recorrendo a fun¸˜es e seus gr´ficos, por co a via intuitiva, anal´ ıtica e usando calculadora gr´fica. a Estudar sucess˜es definidas o de diferentes formas. Aproxima¸˜o gradual dos ca conceitos de continuidade, derivadas e limites. Aplicar conhecimentos de An´lise Infinitesimal no esa tudo de fun¸˜es reais de co vari´vel real. a continua
  • 6. Departamento do Ensino Secund´rio a 5 Matem´tica A a Valores/Atitudes Desenvolver o sentido da responsabilidade: Capacidades/Aptid˜es o Desenvolver a capacidade de comunicar: Responsabilizar-se pelas suas iniciativas e tarefas. Avaliar situa¸˜es e tomar co decis˜es. o Comunicar conceitos, racioc´ ınios e ideias, oralmente e por escrito, com clareza e progressivo rigor l´gico. o Interpretar textos de Matem´tica. a Exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens. Usar correctamente o vocabul´rio espec´ a ıfico da Matem´tica. a Usar a simbologia da Matem´tica. a Apresentar os textos de forma clara e organizada. Desenvolver o esp´ ırito de tolerˆncia e de coopera¸˜o: a ca Colaborar em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades. Respeitar a opini˜o dos oua tros e aceitar as diferen¸as. c Intervir na dinamiza¸˜o de ca actividades e na resolu¸˜o de ca problemas da comunidade em que se insere. Conhecimentos Ampliar conhecimentos de Estat´ ıstica e Probabilidades: Interpretar e comparar distribui¸˜es estat´ co ısticas. Resolver problemas envolvendo c´lculo de probabilia dade. Resolver problemas de contagem. Conhecer aspectos da Hist´ria da Matem´tica: o a Conhecer personalidades e aspectos da cria¸˜o e desenca volvimentos de alguns conceitos dentro da Hist´ria da o Matem´tica e sua rela¸˜o a ca com momentos hist´ricos de o relevˆncia cultural ou social. a A subdivis˜o dos Objectivos e Competˆncias Gerais em Valores/Atitudes, Capacidades/ a e /Aptid˜es e Conhecimentos ´ uma caracter´ o e ıstica fundamental do programa de Matem´tica a do Ensino Secund´rio. a Para a generalidade dos cidad˜os e especialmente para aqueles que v˜o utilizar conhecia a mentos matem´ticos secund´rios, conv´m esclarecer que o ensino da Matem´tica n˜o deve a a e a a limitar-se a desenvolver a capacidade de usar as ferramentas do of´ ıcio: s´ ımbolos, regras l´gicas e c´lculos. Se ´ leg´ o a e ıtima a preocupa¸˜o em ensinar a manejar as ferramentas, ela ca n˜o pode prejudicar o essencial da aprendizagem da Matem´tica que deve ser procurado a a ao n´ das ideias. ıvel Muitos problemas foram, s˜o e ser˜o resolvidos sem recurso a nota¸˜es cient´ a a co ıficas e `s a ferramentas de c´lculo tal como a comunidade matem´tica as conhece hoje. Um cidad˜o a a a com forma¸˜o secund´ria necessita mais de no¸˜es que de nota¸˜es para enfrentar as ca a co co situa¸˜es que precise de compreender (e esclarecer) e os problemas que tenha de resolver. co N˜o quer isto dizer que o trabalho com as ferramentas matem´ticas possa ser posto de a a lado no ensino secund´rio, mas antes quer dizer que o uso das ferramentas ´ ensinado a e e aprendido no contexto das ideias e da resolu¸˜o de problemas interessantes, enfim em ca situa¸˜es que exijam o seu manejo e em que seja clara a vantagem do seu conhecimento. co Finalmente, as aprendizagens significativas em Matem´tica n˜o podem excluir caraca a ter´ ısticas t´ ıpicas do ensino experimental, sendo que as competˆncias adquiridas por via e da Matem´tica devem contribuir para alicer¸ar conhecimentos e formas de pensar sobre a a c ciˆncia experimental. e A Matem´tica nas suas conex˜es com todos os ramos de saber ´ uma contribui¸˜o decisiva a o e ca na cria¸˜o de condi¸˜es para a consciˆncia da necessidade da educa¸˜o e da forma¸˜o ao ca co e ca ca longo da vida, com vista a enfrentar mudan¸as profissionais e as incontorn´veis adapta¸˜es c a co a `s inova¸˜es cient´ co ıficas e tecnol´gicas. o
  • 7. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.3 Matem´tica A a 6 Vis˜o geral dos temas e conte´dos a u ´ E indispens´vel que o professor, al´m de conhecer bem o programa de cada ano que a e vai leccionar, tenha um conhecimento global do programa do ensino secund´rio (para a ter conhecimento das conex˜es estabelecidas entre os diversos temas), bem como uma o perspectiva integradora dos programas dos ciclos do ensino b´sico. a A escolha dos temas foi feita tendo em conta os conte´ dos presentes em anteriores prograu mas e a preocupa¸˜o de algum equil´ ca ıbrio entre as principais areas da Matem´tica: ´ a • C´lculo Diferencial a • Geometria (no plano e no espa¸o) c • Fun¸˜es e sucess˜es co o • Probabilidades (com An´lise Combinat´ria) e Estat´ a o ıstica Os temas cl´ssicos de An´lise, lgebra e Geometria est˜o presentes nestes conte´ dos, ema a a u bora o segundo se encontre distribu´ pelos outros temas. Esta classifica¸˜o deve ser ıdo ca considerada de forma muito relativa, tendo-se sempre em aten¸˜o que, no corpo do proca grama, assumem importˆncia significativa tanto t´cnicas espec´ a e ıficas como estrat´gias que, e constituindo uma base de apoio que os estudantes utilizam na sua actividade matem´tica a independentemente do tema, atravessam o programa de forma transversal. Referimo-nos aos temas transversais • Comunica¸˜o Matem´tica ca a • Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica co ca a • Hist´ria da Matem´tica o a • L´gica e Racioc´ o ınio Matem´tico a • Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas ca • Tecnologia e Matem´tica a que, sendo de dif´ quantifica¸˜o, n˜o s˜o por isso menos importantes que os temas antes ıcil ca a a referidos. O programa de cada ano desenvolve-se por grandes temas, a tratar pela ordem indicada no programa. Deve ser feita uma planifica¸˜o adequada de modo que n˜o seja prejudicado ca a o tratamento de nenhum dos temas e sejam integrados os conte´dos do tema transveru sal que se mostrem aconselhados. Tudo o que os temas transversais prop˜em deve ser o abordado sistematicamente ao longo do ciclo. N˜o existem indica¸˜es taxativas sobre a co a sua distribui¸˜o ao longo dos anos, mas o desenvolvimento dos temas e as indica¸˜es ca co metodol´gicas v˜o sugerindo alguns momentos onde os diversos temas transversais podem o a ser explorados. A cria¸˜o de um ambiente prop´ ` resolu¸˜o de problemas deve constica ıcio a ca tuir um objectivo central nas pr´ticas dos professores j´ que a resolu¸˜o de problemas ´ a a ca e
  • 8. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 7 um m´todo fundamental e ´ considerada no programa n˜o s´ como indica¸˜o metodol´gica e e a o ca o mas tamb´m como tema. Contribui¸˜o fundamental para o desenvolver a capacidade dos e ca alunos de raciocinar matematicamente e de usar a Matem´tica em situa¸˜es diversas, a a co resolu¸˜o de problemas aparece neste programa tamb´m como motiva¸˜o, como sistema ca e ca de recupera¸˜o e como forma privilegiada para suscitar a comunica¸˜o oral e escrita. ca ca Para cada tema indica-se uma previs˜o do n´mero de aulas necess´rias a sua abordagem a u a ` na lecciona¸˜o. N˜o sendo mais do que uma previs˜o, essa indica¸˜o deve ser encarada ca a a ca com flexibilidade, sem preju´ do peso relativo e da profundidade do tratamento deseızo jado que o n´mero de aulas previsto indicia. O professor deve ter como preocupa¸˜o u ca fundamental abordar e desenvolver, em cada ano, os variados t´picos do programa, pois o eles fornecem m´todos matem´ticos diversificados e desempenham fun¸˜es diferentes toe a co das imprescind´ ıveis para, em conjunto, contribu´ ırem para a forma¸˜o integral do cidad˜o ca a aut´nomo e livre. Nunca se deve valorizar um conte´do de tal forma que se possa prejuo u dicar irremediavelmente a forma¸˜o em algum dos grandes temas ou no desenvolvimento de ca alguma das capacidades/aptid˜es reportadas na redac¸˜o das finalidades e dos objectivos o ca gerais deste programa de ensino. As Conex˜es entre os diversos temas s˜o consideradas fundamentais neste programa, para o a que os estudantes possam ver que os temas s˜o aspectos complementares de uma mesma a realidade. Foi dada uma posi¸˜o de destaque ` Geometria e s˜o dadas indica¸˜es que permitem ca a a co que seja retomada em praticamente todos os outros temas do Programa. Nos temas de Geometria procura-se um equil´ ıbrio entre a Geometria por via intuitiva e a Geometria Anal´ ıtica, de modo a desenvolver tanto o racioc´ geom´trico directo como a resolu¸˜o de ınio e ca problemas de geometria por via alg´brica, sem esquecer o desenvolvimento de capacidades e de visualiza¸˜o geom´trica. ca e c Inicia-se o 10o ano com o estudo da Geometria no Plano e no Espa¸o, porque a Geo¯ metria ´, por excelˆncia, um tema formativo no sentido mais amplo do termo que, pela e e resolu¸˜o de problemas apropriados desenvolve variadas capacidades, desde a observa¸˜o ca ca ao racioc´ ınio dedutivo, ao mesmo tempo que deixa perceber verdadeiras conex˜es entre o ´ os v´rios temas da Matem´tica, da lgebra a An´lise e ` Estat´ a a ` a a ıstica. E por isso que ´ e t˜o importante, desde o in´ a ıcio, trabalhar com a Geometria, tentando superar algumas (n˜o todas necessariamente) eventuais dificuldades ou lacunas que os estudantes tenham. a Come¸ar por este tema permite o desenvolvimento de capacidades de visualiza¸˜o e rec ca presenta¸˜o atrav´s de figuras que t˜o necess´rias s˜o para o estudo de todos os outros ca e a a a temas. O professor deve aproveitar todas as liga¸˜es entre os temas em cada ano e de co cada ano com os anos anteriores, por forma que o estudante encare a Matem´tica como a um todo integrado e n˜o como um conjunto fragmentado em temas, ao mesmo tempo que a possibilita a amplia¸˜o e consolida¸˜o de cada conceito, sempre que ele ´ retomado. Em ca ca e particular o professor deve estabelecer conex˜es entre os temas de cada ano; o facto de se o recomendar que sejam tratados em momentos separados n˜o pode significar que, dado o a primeiro ele seja esquecido e meramente substitu´ pelo segundo. ıdo Este texto ´ constru´ tendo por base 33 semanas lectivas de que se contam um m´ e ıdo ınimo de 30 semanas efectivas de aulas (incluindo avalia¸˜o); tendo em mente que a avalia¸˜o ca ca
  • 9. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 8 n˜o se deve circunscrever a aulas especificamente reservadas a tal nem se deve limitar a a testes escritos (isto ´, que o professor dever´ recorrer a instrumentos diversificados de e a avalia¸˜o ao longo do ano lectivo integrando-os na aprendizagem matem´tica dos alunos), ca a as aulas reservadas exclusivamente para testes escritos n˜o devem ultrapassar cerca de 5% a das aulas; temos assim um m´ ınimo de 28 semanas de lecciona¸˜o, ou seja, um m´ ca ınimo de 84 aulas (correspondentes a 126 horas).
  • 10. Departamento do Ensino Secund´rio a 9 Matem´tica A a Quadro Resumo Distribui¸˜o dos temas em cada ano ca 10o ano ¯ Geometria no Plano e no Espa¸o I c 11o ano ¯ Geometria no Plano e no Espa¸o II c 12o ano ¯ Probabilidades e Combinat´ria o Resolu¸˜o de problemas de ca Geometria no plano e no espa¸o. c Geometria Anal´ ıtica. O m´todo cartesiano para ese tudar Geometria no plano e no espa¸o. c Problemas envolvendo triˆngulos. a C´ ırculo trigonom´trico e e fun¸˜es seno, co-seno e tanco gente. Produto escalar de dois vectores e aplica¸˜es. co Intersec¸˜o, paralelismo e ca perpendicularidade de rectas e planos. Programa¸˜o linear (breve ca introdu¸˜o) ca Introdu¸˜o ao c´lculo de ca a probabilidades Distribui¸˜o de frequˆncias ca e e distribui¸˜o de probabilica dades An´lise combinat´ria. a o Fun¸˜es e Gr´ficos. Funco a co ¸˜es polinomiais. Fun¸˜o ca m´dulo. o Fun¸˜es racionais e com co radicais. Taxa de varia¸˜o ca e derivada. Fun¸˜o, gr´fico e represenca a ta¸˜o gr´fica. ca a Estudo intuitivo de propriedades da: – fun¸˜o quadr´tica; ca a – fun¸˜o m´dulo. ca o Fun¸˜es polinomiais (graus co 3 e 4). Decomposi¸˜o de polin´ca o mios em factores. Problemas envolvendo fun¸˜es ou taxa de varia¸˜o. co ca Propriedades das fun¸˜es do co tipo f (x) = a + b/(cx + d) Aproxima¸˜o experimental ca da no¸˜o de limite. ca Taxa de varia¸˜o e derivadas ca em casos simples. Opera¸˜es com fun¸˜es. co co Composi¸˜o e invers˜o de ca a fun¸˜es. co Fun¸˜es exponenciais e co logar´ ıtmicas. Limites e Continuidade. Conceito de Derivada e Aplica¸˜es. co Estat´ ıstica Sucess˜es reais. o Estat´ ıstica - Generalidades Organiza¸˜o e interpretaca ca ¸˜o de caracteres estat´ ısticos (qualitativos e quantitativos). Referˆncia a distribui¸˜es e co bidimensionais (abordagem gr´fica e intuitiva). a Defini¸˜o e propriedades. ca Exemplos (o caso das progress˜es) o Sucess˜o (1 + 1/n)n e pria meira defini¸˜o de e ca Limites: infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Limites reais e convergˆncia. e Temas Teoria de limites C´lculo diferencial a Problemas de optimiza¸˜o. ca Trigonometria e n´meros u complexos. Fun¸˜es seno, co-seno ; co c´lculo de derivadas a Introdu¸˜o hist´rica dos ca o n´meros complexos u Complexos na forma alg´brica e e na forma trigonom´trica; opera¸˜es e e co interpreta¸˜o geom´trica ca e Transversais Comunica¸˜o Matem´tica ca a Hist´ria da Matem´tica o a Resolu¸˜o de Problemas e Actividades Investigativas ca Aplica¸˜es e Modela¸˜o Matem´tica co ca a L´gica e Racioc´ o ınio Matem´tico a Tecnologia e Matem´tica a
  • 11. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.4 Matem´tica A a 10 Sugest˜es Metodol´gicas Gerais o o As finalidades e objectivos enunciados determinam que o professor, ao aplicar este programa, contemple equilibradamente: • o desenvolvimento de atitudes; • o desenvolvimento de capacidades; • a aquisi¸˜o de conhecimentos e t´cnicas para a sua mobiliza¸˜o. ca e ca Tendo como pressuposto ser o estudante agente da sua pr´pria aprendizagem, prop˜e-se o o uma metodologia em que • os conceitos s˜o constru´ a ıdos a partir da experiˆncia de cada um e de situa¸˜es cone co cretas; • os conceitos s˜o abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos n´ a ıveis de rigor e formaliza¸˜o; ca • se estabelece maior liga¸˜o da Matem´tica com a vida real, com a tecnologia e com ca a as quest˜es abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento o numa perspectiva hist´rico-cultural. o Neste contexto, destaca-se a importˆncia das actividades a seleccionar, as quais dever˜o a a contribuir para o desenvolvimento do pensamento cient´ ıfico, levando o estudante a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o refor¸o das atitudes de autonomia c e de coopera¸˜o. Cabe ao professor, de acordo com a realidade da turma, encontrar ca o equil´ ıbrio entre o n´mero de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de u projecto e actividades investigativas, a realizar dentro e fora da aula, assim como o espa¸o c para a sua pr´pria interven¸˜o: dinamizando, questionando, fazendo s´ o ca ınteses, facultando informa¸˜o ... ca O programa pretende dar continuidade, sem mudan¸a brusca de n´ c ıvel, as aprendizagens ` o ıvel realizadas no 3o ciclo, agora coincidente com o ensino obrigat´rio, ajustando-se ao n´ de ¯ desenvolvimento e de cultura dos estudantes. Parte-se, quando poss´ ıvel, de problemas e situa¸˜es experimentais para que, com o apoio na intui¸˜o, o estudante aceda gradualmente co ca a ` formaliza¸˜o dos conceitos. S˜o identificadas situa¸˜es para estabelecer conex˜es entre ca a co o os diversos temas de forma a proporcionar uma oportunidade de relacionar os v´rios a conceitos, promovendo uma vis˜o integrada da Matem´tica. Deu-se prioridade a cria¸˜o a a ` ca de condi¸˜es para uma grande diversidade de tipos de trabalho em Matem´tica, tanto co a de car´cter geral como espec´ a ıficos de cada tema, em detrimento de um aprofundamento que na maioria das vezes ´ ilus´rio se n˜o for cimentado na compreens˜o dos processos e o a a elementares. A utiliza¸˜o obrigat´ria da tecnologia que, al´m de ferramenta, ´ fonte de ca o e e actividade, de investiga¸˜o e de aprendizagem, pretende tamb´m preparar os estudantes ca e para uma sociedade em que os meios inform´ticos ter˜o um papel consider´vel na resolu¸˜o a a a ca de problemas de ´ ındole cient´ ıfica. Capacidade de utilizar a Matem´tica a
  • 12. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 11 A an´lise de situa¸˜es da vida real e a identifica¸˜o de modelos matem´ticos que permia co ca a tam a sua interpreta¸˜o e resolu¸˜o, constituem uma oportunidade de abordar o m´todo ca ca e cient´ ıfico. Em todos os temas do programa de matem´tica (Geometria, Fun¸˜es e Esa co tat´ ıstica) se podem encontrar ferramentas fundamentais de modela¸˜o. O papel da mateca m´tica como instrumento de modela¸˜o da realidade ´ incontorn´vel: um modelo matea ca e a m´tico ´ uma descri¸˜o matem´tica do mundo real. A resolu¸˜o de problemas, meio a e ca a ca privilegiado para desenvolver o esp´ ırito de pesquisa, deve contemplar, al´m de situa¸˜es e co do dom´ ınio da Matem´tica, outras, da F´ a ısica, da Economia, da Geometria Descritiva, ... As actividades de investiga¸˜o revelam-se tamb´m de particular interesse pois constituem ca e um modo privilegiado para refor¸ar uma abordagem do m´todo cient´ c e ıfico. Racioc´ ınio dedutivo No ensino secund´rio, o estudante dever´ ser solicitado frequentemente a justificar procesa a sos de resolu¸˜o, a encadear racioc´ ca ınios, a confirmar conjecturas, a demonstrar f´rmulas o e alguns teoremas. No¸˜es muito elementares de L´gica devem ser introduzidas a meco o ` dida que se revelem uteis ` clarifica¸˜o de processos e de racioc´ ´ a ca ınios. A Axiom´tica das a Probabilidades (muito simples) visa dar aos estudantes alguma cultura sobre a constru¸˜o ca hipot´tico-dedutiva de uma Ciˆncia. Alguns problemas de Geometria no Espa¸o podem e e c ser excelentes oportunidades para praticar o racioc´ ınio dedutivo. Capacidades, c´lculo e formalismo a Em cada tema ´ importante encontrar-se um equil´ e ıbrio entre o desenvolvimento significativo dos conceitos, capacidades e aptid˜es e o dom´ o ınio do c´lculo. Do mesmo modo, a a introdu¸˜o da l´gica, da linguagem matem´tica e simb´lica, das formas de racioc´ ca o a o ınio cient´ ıfico (matem´tico e outros) deve estar presente em todas as ocasi˜es, impregnar o a o quotidiano da aprendizagem matem´tica, sem se transformar num conte´do com valor a u em si mesmo. O grau de formalismo deve sempre ter em conta o n´ ıvel de maturidade matem´tica dos estudantes e deve surgir, se poss´ como necessidade, depois de o proa ıvel fessor ter a certeza que o estudante apropriou verdadeiramente o conceito. Comunica¸˜o ca Tendo em conta a estreita dependˆncia entre os processos de estrutura¸˜o do pensamento e e ca da linguagem, ´ absolutamente necess´rio que as actividades tenham em conta a correc¸˜o e a ca da comunica¸˜o oral e escrita. O estudante deve verbalizar os racioc´ ca ınios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com l´gica e recorrer, o sempre que tal for aconselh´vel, a linguagem simb´lica da Matem´tica, a sua precis˜o e ao a ` o a ` a seu poder de s´ ıntese. Esta evolu¸˜o decorrer´ naturalmente da necessidade de comunicar ca a aos outros as suas ideias. Assim, deve ser incentivada com alguma regularidade a realiza¸˜o ca de trabalhos designados genericamente por “composi¸˜es matem´ticas”. A comunica¸˜o co a ca matem´tica (oral ou escrita) ´ um meio importante para que os estudantes clarifiquem o a e seu pensamento, estabele¸am conex˜es, reflictam na sua aprendizagem, aumentem o apre¸o c o c pela necessidade de precis˜o na linguagem, conhe¸am conceitos e terminologia, aprendam a c a ser cr´ ıticos. Cada estudante deve receber do professor est´ ımulo e oportunidades frequentes para falar, escrever, ler e ouvir nas aulas de matem´tica (e fora delas) pois assim a estar˜o a organizar, consolidar e ampliar o seu conhecimento matem´tico. O estudante a a deve possuir oportunidades para expor um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema ca
  • 13. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 12 ou a parte que lhe cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monografias, ..., devem ser apresentados de forma o clara, organizada e com aspecto gr´fico cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do a poss´ ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor. O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o matem´tica pois os estudantes ca a ganham em partilhar com os colegas e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou e ca as justifica¸˜es dos seus racioc´ co ınios. Perspectiva hist´rico-cultural o Actividades com uma perspectiva hist´rica humanizam o estudo da disciplina, mostrando o a Matem´tica como ciˆncia em constru¸˜o e em constante interac¸˜o com outras ciˆncias. a e ca ca e Proporcionam tamb´m excelentes oportunidades para pesquisa de documenta¸˜o. A ine ca forma¸˜o sobre a g´nese e o percurso de um conceito ao longo dos tempos e a sua rela¸˜o ca e ca com o progresso da humanidade pode fomentar, ou aumentar, o interesse pelo tema em estudo, ao mesmo tempo que constitui uma fonte de cultura. Segundo D. J. Struik, o autor do livro “Hist´ria Concisa das Matem´ticas”, o uso da Hist´ria da Matem´tica na o a o a aula ´ muito importante porque: e • satisfaz o desejo de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em matem´tica; a • o estudo dos autores cl´ssicos pode proporcionar grande satisfa¸˜o por si s´, mas a ca o tamb´m pode ser util no ensino e na investiga¸˜o; e ´ ca • ajuda a compreender a nossa heran¸a cultural, n˜o apenas pelas aplica¸˜es que a c a co matem´tica tem tido, e ainda tem, a astronomia, f´ a ` ısica e outras ciˆncias, mas tamb´m e e pela rela¸˜o que tem tido, e continua a ter, com campos t˜o variados como a arte, a ca a religi˜o, a filosofia e os of´ a ıcios; • oferece um campo de discuss˜o comum com estudantes e professores de outras ´reas; a a • permite temperar o ensino e as conversas com algumas perip´cias. e Papel do professor Na concretiza¸˜o da metodologia proposta cabe ao professor ser simultaneamente dica namizador e regulador do processo de ensino-aprendizagem, criando situa¸˜es motivadoras co e adoptando uma estrat´gia que implique o estudante na sua aprendizagem e desenvolva e a sua iniciativa. Assume, neste n´ ıvel de ensino, importˆncia fundamental o contrato a pedag´gico a estabelecer com o estudante, na negocia¸˜o e defini¸˜o de consensos para os o ca ca projectos de trabalho, na participa¸˜o activa e respons´vel na gest˜o do processo ensinoca a a aprendizagem. Em particular deve ser fomentado o trabalho de grupo e o trabalho de pares de estudantes. A valoriza¸˜o da vertente formativa da disciplina, s´ pode ser alcan¸ada ca o c fomentando uma atitude positiva do estudante face a Matem´tica. ` a
  • 14. Departamento do Ensino Secund´rio a 2.4.1 Matem´tica A a 13 Avalia¸˜o ca Avaliar os conhecimentos matem´ticos dos estudantes significa reunir e analisar dados a sobre o que estes sabem a respeito de conceitos e m´todos matem´ticos. Estes dados e a devem ser utilizados tanto pelos professores como pelos estudantes; os professores dever˜o a utiliz´-los para ajudar os estudantes a adquirir conhecimentos profundos e ideias claras a sobre os conte´dos matem´ticos. Pretende-se que a avalia¸˜o em Matem´tica n˜o se u a ca a a restrinja a avaliar o produto final mas tamb´m o processo de aprendizagem e permita que e o estudante seja um elemento activo, reflexivo e respons´vel da sua aprendizagem. a O professor n˜o deve reduzir as suas formas de avalia¸˜o aos testes escritos, antes deve a ca diversific´-las. Deve propor ao estudante um conjunto de tarefas de extens˜o e estilo a a vari´veis, algumas delas individuais e outras realizadas em grupo, de modo que, no cona junto, reflictam equilibradamente as finalidades do curr´ ıculo. S´ assim se contribuir´ para o a promover outras competˆncias e capacidades que se pretendem desenvolver no ensino see cund´rio. Em particular recomenda-se fortemente que, em cada per´ a ıodo, mais do que um dos elementos de avalia¸˜o seja obrigatoriamente uma redac¸˜o matem´tica (sob a ca ca a forma de resolu¸˜o de problemas, demonstra¸˜es, composi¸˜es/reflex˜es, projectos, reca co co o lat´rios, notas e reflex˜es hist´ricas ou outras) que reforce a importante componente da o o o comunica¸˜o matem´tica (o trabalho pode ser proveniente de um trabalho individual, de ca a grupo, de um trabalho de projecto ou outro julgado adequado). No corpo do programa aparecem muitas referˆncias que poder˜o propiciar a utiliza¸˜o de novos instrumentos de e a ca avalia¸˜o. ca As actividades de aprendizagem dever˜o ser encaradas como tarefas de avalia¸˜o reprea ca sentando, neste caso, o tempo empregue na sua execu¸˜o um claro benef´ para a aprenca ıcio dizagem dos estudantes. O professor pode ficar a conhecer o que os estudantes s˜o caa pazes de fazer perante um problema concreto ou mediante uma proposta de investiga¸˜o. ca Esses dados podem ser utilizados para orientar aprendizagens posteriores que ofere¸am, c aos estudantes, oportunidade de ir integrando as novas aprendizagens de forma positiva e consciente. A realiza¸˜o dessas actividades em trabalho de grupo permite aos estuca dantes adquirir uma certa pr´tica para enfrentar novos problemas ou ideias matem´ticas a a escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as suas observa¸˜es co e solu¸˜es de forma clara, primeiro aos colegas em pequeno grupo, depois a turma e ao co ` professor. A interac¸˜o com outros estimula a apari¸˜o de novos problemas, de novas ca ca ideias e de descobertas adicionais. Os estudantes deparam-se com formas diferentes da sua de resolver problemas e a compreens˜o conceptual ´ mais profunda e duradoura. a e O professor, observando, interpelando os grupos discutindo com os estudantes, receber´ a de imediato grande quantidade de informa¸˜o que se deseja possa ser complementada, ca sempre que poss´ ıvel, com a avalia¸˜o posterior de relat´rios. ca o Mas, ´ claro, os testes escritos, em si mesmos, tˆm aspectos muito positivos e s˜o muito e e a importantes. Eles dever˜o aparecer em momentos de s´ a ıntese e cumprir uma fun¸˜o difeca renciada da dos outros instrumentos. A n´ do Ensino Secund´rio existir´ sempre um ıvel a a certo n´mero de provas de ambito nacional ou regional. Por um lado, o professor deve u ˆ ter em conta na sua avalia¸˜o a existˆncia destas provas (realizando provas de estilos ca e diversificados, incluindo por exemplo algumas quest˜es de escolha m´ ltipla, que preparem o u os estudantes para enfrentar os momentos de avalia¸˜o global), mas, por outro lado, deve ca dessacraliz´-las pois a verdadeira prepara¸˜o para essas provas ´ feita trabalhando com a ca e
  • 15. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 14 regularidade e afinco ao longo do ano. Para garantir um equil´ ıbrio entre as diversas formas de avalia¸˜o recomenda-se fortemente ca que, na classifica¸˜o final de um per´ ca ıodo, o peso dos testes escritos n˜o ultrapasse, em regra, a metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avalia¸˜o. ca Recomenda-se tamb´m a utiliza¸˜o de testes em duas fases que permitem o desenvolvie ca mento da persistˆncia na procura de solu¸˜es para situa¸˜es novas, para al´m de cone co co e tribu´ ırem para uma atitude de reflex˜o sobre a aprendizagem. Recomenda-se ainda a a procura, nas brochuras de apoio ao programa, de exemplos e reflex˜es que ajudem a dio versifica¸˜o dos instrumentos de avalia¸˜o que este programa preconiza. ca ca 2.5 Recursos Todas as Escolas Secund´rias devem dotar-se quanto antes de Laborat´rios de Matem´tica. a o a A did´ctica prevista para a Matem´tica no ensino secund´rio pressup˜e a possibilidade a a a o de uso de materiais e equipamentos diversificados: • Material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (r´gua, esquadro, e compasso, transferidor,...); • Material para o estudo da Geometria no espa¸o (s´lidos geom´tricos, constru´ c o e ıdos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acr´ ılico, pl´stico, “polya dron”, s´lidos de enchimento,...); o • Quadro quadriculado e papel milim´trico; e • meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, v´ ıdeo, ...); • Livros para consulta e manuais; • Outros materiais escritos (folhas com dados estat´ ısticos, fichas de trabalho, fichas de avalia¸˜o, ...); ca Prevˆ-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados estat´ e ısticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...) incluindo em formato de CD-ROM e na Internet. • Calculadoras gr´ficas com possibilidade de utiliza¸˜o de programas; a ca • Computadores; • Sensores de recolha de dados quer para as calculadoras gr´ficas quer para os coma putadores. Os recursos escolhidos dever˜o ter em vista tanto a sua utiliza¸˜o na pr´pria sala do a ca o Laborat´rio de Matem´tica, como uma utiliza¸˜o de recursos adequados em salas de aulas o a ca ´ indiferenciadas. E considerado indispens´vel o uso de a • calculadoras gr´ficas (para trabalho regular na sala de aula ou para demonstra¸˜es a co com todos os estudantes, usando uma calculadora com “view-screen”); • uma sala de computadores com “software” adequado para trabalho t˜o regular a quanto poss´ ıvel;
  • 16. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 15 • um computador ligado a um “data-show” ou projector de v´ ıdeo (para demonstra¸˜es, co simula¸˜es ou trabalho na sala de aula com todos os estudantes ao mesmo tempo). co 2.5.1 Tecnologia N˜o ´ poss´ a e ıvel atingir os objectivos e competˆncias gerais deste programa sem recorrer e a ` dimens˜o gr´fica, e essa dimens˜o s´ ´ plenamente atingida quando os estudantes traa a a oe balham com uma grande quantidade e variedade de gr´ficos com apoio de tecnologia a adequada (calculadoras gr´ficas e computadores). O trabalho de modela¸˜o matem´tica a ca a s´ ser´ plenamente atingido se for poss´ trabalhar na sala de aula as diversas fases do o a ıvel processo de modela¸˜o matem´tica, embora n˜o seja exig´ que sejam todas tratadas sica a a ıvel multaneamente em todas as ocasi˜es; em particular, recomenda-se a utiliza¸˜o de sensores o ca de recolha de dados acoplados a calculadoras gr´ficas ou computadores para, nalgumas a situa¸˜es, os estudantes tentarem identificar “modelos matem´ticos que permitam a sua co a interpreta¸˜o”. N˜o se trata aqui de substituir o c´lculo de papel e l´pis pelo c´lculo com ca a a a a apoio da tecnologia, mas sim combinar adequadamentee os diferentes processos de c´lculo, a sem esquecer o c´lculo mental. Na express˜o feliz de Miguel de Guzm´n, os estudantes a a a devem ser preparados para um ”di´logo inteligente com as ferramentas que j´ existem”. O a a uso de tecnologia facilita ainda uma participa¸˜o activa do estudante na sua aprendizagem ca como j´ era preconizado por Sebasti˜o e Silva, quando escrevia no ”Guia para a utiliza¸˜o a a ca do Compˆndio de Matem´tica” que ”haveria muit´ e a ıssimo a lucrar em que o ensino . . . fosse . . . tanto quanto poss´ laboratorial, isto ´, baseado no uso de computadores, existentes ıvel e nas pr´prias escolas ou fora destas, em laborat´rios de c´lculo”. O estudante deve contudo o o a ser confrontado, atrav´s de exemplos concretos, com os limites da tecnologia e, caso haja e tempo, pode ser referido o problema da m´quina de Turing, tal como o faz Ian Stewart a quando aborda os limites da computabilidade no seu livro ”Os problemas da Matem´tica”. a Uso de calculadoras gr´ficas a As calculadoras gr´ficas (que s˜o tamb´m calculadoras cient´ a a e ıficas complet´ ıssimas), ferramentas que cada vez mais se utilizar˜o correntemente, devem ser entendidas n˜o s´ como a a o instrumentos de c´lculo mas tamb´m como meios incentivadores do esp´ a e ırito de pesquisa. O seu uso ´ obrigat´rio neste programa. Tendo em conta a investiga¸˜o e as experiˆncias e o ca e realizadas at´ hoje, h´ vantagens em que se explorem com a calculadora gr´fica os seguintes e a a tipos de actividade matem´tica: a • abordagem num´rica de problemas; e • uso de manipula¸˜es alg´bricas para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior conco e co co firma¸˜o usando m´todos gr´ficos; ca e a • uso de m´todos gr´ficos para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es e posterior confirma¸˜o e a co co ca usando m´todos alg´bricos; e e • modela¸˜o, simula¸˜o e resolu¸˜o de situa¸˜es problem´ticas; ca ca ca co a • uso de cen´rios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matem´ticos; a a • uso de m´todos visuais para resolver equa¸˜es e inequa¸˜es que n˜o podem ser e co co a resolvidas, ou cuja resolu¸˜o ´ impratic´vel, com m´todos alg´bricos; ca e a e e
  • 17. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 16 • condu¸˜o de experiˆncias matem´ticas, elabora¸˜o e an´lise de conjecturas; ca e a ca a • estudo e classifica¸˜o do comportamento de diferentes classes de fun¸˜es; ca co • antevis˜o de conceitos do c´lculo diferencial; a a • investiga¸˜o e explora¸˜o de v´rias liga¸˜es entre diferentes representa¸˜es para uma ca ca a co co situa¸˜o problem´tica. ca a Os estudantes devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu ´cran pode ser uma vis˜o distorcida da realidade; al´m do mais, o trabalho feito e a e com a m´quina deve ser sempre confrontado com conhecimentos te´ricos, assim como o a o ´ trabalho te´rico deve ser finalizado com uma verifica¸˜o com a m´quina. E importante o ca a que os estudantes descrevam os racioc´ ınios utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que n˜o se limitem a “copiar” o que vˆem. A calculadora vai permitir a e que se trabalhe com um muito maior n´mero de fun¸˜es em que diversas caracter´ u co ısticas, como os zeros e os extremos, n˜o se podem determinar de forma exacta; estas fun¸˜es a co ´ muito s˜o importantes pois aparecem no contexto da resolu¸˜o de problemas aplicados. E a ca importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte se pode determinar de forma exacta; ´ importante ir sempre chamando a aten¸˜o dos e ca estudantes para a confronta¸˜o dos resultados obtidos com os conhecimentos te´ricos; sem ca o estes aspectos n˜o se pode desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplica¸˜es da a co matem´tica e a capacidade de analisar modelos matem´ticos. Com os cuidados referidos, a a e como experiˆncias em Portugal e noutros pa´ e ıses mostram, a calculadora gr´fica dar´ a a uma contribui¸˜o positiva para a melhoria do ensino da Matem´tica. ca a Uso de computadores O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos dom´ ınios da Geometria dinˆmica, da representa¸˜o gr´fica de fun¸˜es e da simula¸˜o, permite actividades n˜o s´ a ca a co ca a o de explora¸˜o e pesquisa como de recupera¸˜o e desenvolvimento, pelo que constitui um ca ca valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utiliza¸˜o considerar-se obrigat´ria ca o neste programa. V´rios tipos de programas de computador s˜o muito uteis e enquadrama a ´ se no esp´ ırito do programa. Os programas de Geometria Dinˆmica, de C´lculo Num´rico a a e e Estat´ ıstico, de Gr´ficos e Simula¸˜es e de lgebra Computacional fornecem diferentes a co tipos de perspectivas tanto a professores como a estudantes. O n´mero de programas u dispon´ ıveis no mercado portuguˆs aumenta constantemente. e Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os estudantes poder˜o ir realizar trabalhos pr´ticos, como em salas com condi¸˜es para se dar a a co uma aula em ambiente computacional (nomeadamente nos Laborat´rios de Matem´tica), o a al´m do partido que o professor pode tirar como ferramenta de demonstra¸˜o na sala de e ca aula usando um “data-show” com retroprojector ou projector de v´ ıdeo. Os estudantes devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequˆncia e poss´ de acordo com o material dispon´ ıvel ıvel. Nesse sentido as escolas s˜o incentivadas a a equipar-se com o material necess´rio para que tal tipo de trabalhos se possa realizar com a a regularidade que o professor julgar aconselh´vel. a Uso da internet
  • 18. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 17 Estando todas as Escolas Secund´rias ligadas a Internet o professor n˜o deve deixar de tirar a ` a todo o partido deste novo meio de comunica¸˜o. Na bibliografia final s˜o indicados alguns ca a s´ ıtios recomendados; esses s´ ıtios contˆm liga¸˜es para muitos outros de interesse. Para o e co trabalho com os estudantes apresentam-se como exemplos proveitosos os de projectos como ”Pergunta Agora” ou ”Investiga e Partilha” onde os estudantes podem colocar d´vidas ou u partilhar a resolu¸˜o de problemas (os projectos podem ser acedidos a partir da p´gina ca a da APM-Associa¸˜o de Professores de Matem´tica). Como exemplo de um projecto de ca a interesse geral para professores e estudantes e para divulga¸˜o da Matem´tica aponta-se ca a o do projecto ”Atractor-Matem´tica Interactiva” que pode ser visto em: a http://www.fc.up.pt/atractor Deve ser explorada a utiliza¸˜o da Internet como forma de cria¸˜o de uma boa imagem da ca ca Matem´tica. A participa¸˜o em projectos internacionais ´ uma dessas formas. Algumas a ca e possibilidades s˜o a comemora¸˜o do dia do PI, a participa¸˜o no Maior Acontecimento a ca ca de Matem´tica do Mundo e a participa¸˜o na Ca¸a ao Tesouro na Internet; indica¸˜es a ca c co sobre essas actividades podem ser vistas, respectivamente, em: http://www.exploratorium.edu/learning studio/pi/ http://www.nctm.org/about/wlme/ http://softciencias.ccg.pt/
  • 19. Departamento do Ensino Secund´rio a 3 Matem´tica A a 18 Desenvolvimento do Programa Apresenta-se, para cada ano e para cada grande tema, o desenvolvimento que pretende citar exaustivamente todos os conte´dos obrigat´rios e facultativos. Em alguns casos, por u o se entender necess´rio um esclarecimento particular referem-se objectivos precisos nesse a desenvolvimento dos temas. H´ quem pense que se pode substituir o programa no seu a todo pela lista de itens de conte´do fornecidos no desenvolvimento dos diversos temas. u N˜o ´ assim. As indica¸˜es metodol´gicas que acompanham o desenvolvimento dos temas a e co o esclarecem as quest˜es estrat´gicas da metodologia de ensino e do ”fazer matem´tica”, o e a definem as formas de abordar os conte´dos, sugerem oportunidades de introduzir outros u conceitos e de estabelecer conex˜es, de utilizar tecnologia, de experimentar, etc., e s´ por o o isso s˜o importantes e imprescind´ a ıveis partes do programa a par dos conte´dos. Podeu mos mesmo dizer que a forma de aprender a fazer matem´tica ´ um conte´do do ensino a e u de Matem´tica. Para al´m disso, as indica¸˜es metodol´gicas s˜o importantes e impresa e co o a cind´ ıveis neste programa j´ que ´ nelas que se estabelecem em pormenor, para al´m da a e e forma de abordagem, a profundidade requerida e o rigor exigido nas formaliza¸˜es dos co conceitos e defini¸˜es, para al´m do tipo de exerc´ co e ıcios e actividades que podem ser propostos aos estudantes. Resumindo, cada conte´do do ensino secund´rio de Matem´tica n˜o u a a a est´ mais do que esbo¸ado no desenvolvimento dos temas; para efeitos deste programa, as a c indica¸˜es metodol´gicas n˜o s˜o simples indica¸˜es e concorrem at´ para a defini¸˜o dos co o a a co e ca conte´dos de ensino. De acordo com o desenvolvimento de cada tema e o grau de prou fundidade a atribuir a abordagem de cada conte´do, faz-se corresponder um determinado ` u n´mero de horas a lecciona¸˜o de cada tema. Embora isso n˜o constitua uma instru¸˜o u ` ca a ca r´ ıgida, ´ uma referˆncia para a planifica¸˜o sugerindo tempos para a abordagem de cada e e ca tema, de modo a que, mesmo com preju´ do aprofundamento deste ou daquele conte´do ızo u espec´ ıfico, todos os temas sejam abordados com todos os estudantes. Al´m do mais alguns e t´picos s˜o de tratamento facultativo; estes v˜o indicados com um (*). Estes t´picos n˜o o a a o a significam um aumento do programa, mas fornecem uma boa ocasi˜o de propiciar mais a matem´tica a estudantes mais interessados, mesmo que haja apenas um ou dois desses esa tudantes em cada turma. Caso seja julgado conveniente pode indicar-se a estes estudantes o estudo de algum dos t´picos facultativos sob a forma de trabalho de projecto ou eso tudo extra aula. As indica¸˜es metodol´gicas, ao sugerir actividades e preocupa¸˜es a ter, co o co acabam tamb´m por sugerir diversifica¸˜o de tipos de instrumentos e de oportunidades de e ca avalia¸˜o das aprendizagens. ca
  • 20. Departamento do Ensino Secund´rio a 3.1 Matem´tica A a 19 Temas Transversais Neste programa, assumem importˆncia significativa os temas transversais – conceitos, a t´cnicas, m´todos e estrat´gias – de que os estudantes se devem apropriar progressivamente e e e ao longo de todo o ensino secund´rio. a A aprendizagem matem´tica dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas, a desde muito cedo, mesmo estas n˜o podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de a demonstra¸˜es correctas, bem como n˜o podem passar sem um m´ co a ınimo de linguagem simb´lica. Na aprendizagem da matem´tica elementar dos ensinos b´sico e secund´rio s˜o o a a a a absolutamente necess´rias as demonstra¸˜es matem´ticas, mas estas n˜o podem confundira co a a se com demonstra¸˜es formalizadas (no sentido de dedu¸˜es formais em teorias formais). co co Neste cap´ ıtulo, chama-se a aten¸˜o para alguns assuntos que, n˜o constituindo em si ca a mesmos conte´ dos do programa, s˜o alguma da essˆncia de muitos passos da aprendizagem u a e de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstra¸˜es e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se co pode ver pelo corpo do programa, n˜o se pretende que a matem´tica ou matem´ticas sejam a a a introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de que as teorias matem´ticas s˜o estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos a a fundamentais e as suas propriedades b´sicas sejam motivados intuitivamente, mas defendea se que os alunos possam trabalh´-los at´ chegarem a formula¸˜es matem´ticas precisas, a e co a sem que, em algum momento, se confunda o grau de precis˜o de um conceito matem´tico a a com qualquer grau de ”simboliza¸˜o”. Um conceito matem´tico pode estar completa e ca a rigorosamente compreendido expresso em l´ ıngua natural ou em linguagem matem´tica a ordin´ria que ´ uma mistura de linguagem natural, simbologia l´gica e matem´tica. A a e o a escrita simb´lica das proposi¸˜es matem´ticas h´-de aparecer, se poss´ o co a a ıvel naturalmente, para efeitos de precis˜o, condensa¸˜o, economia e clareza de exposi¸˜o. a ca ca O trabalho com aspectos da Hist´ria da Matem´tica ´ fundamental e deve ser realizado o a e com os mais diversos pretextos. Ao longo do programa d˜o-se algumas pistas para esse a trabalho, que amplia a compreens˜o dos assuntos matem´ticos com os dados da sua g´nese a a e e evolu¸˜o ao longo do tempo. ca Outro trabalho que assume um papel fundamental para o ensino e aprendizagem ´ todo e aquele que esclare¸a conex˜es (aplica¸˜es, modela¸˜o) com outros ramos da ciˆncia. c o co ca e A utiliza¸˜o da tecnologia no ensino da Matem´tica obriga a que, a medida que for sendo ca a ` necess´rio e se justifique, se v´ esclarecendo o funcionamento das calculadoras e coma a putadores e as caracter´ ısticas de cada aplica¸˜o inform´tica util a matem´tica, ao mesmo ca a ´ ` a tempo que se devem revelar e explicar as limita¸˜es da tecnologia dispon´ co ıvel.
  • 21. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 20 Desenvolvimento Comunica¸˜o Matem´ca a tica Indica¸˜es Metodol´gicas co o Aplica¸˜es e Modela¸˜o co ca Matem´tica. a Sempre que poss´ ıvel, o professor deve evidenciar aplica¸˜es da co Matem´tica e deve estabelecer conex˜es entre os diversos temas a o matem´ticos do curr´ a ıculo e com outras ciˆncias. Este trabalho n˜o e a deve resumir-se ao enunciado e resolu¸˜o de problemas realistas que ca usam conhecimentos de diversas ciˆncias. Deve ser discutido com os e estudantes o processo de modela¸˜o matem´tica e a sua importˆncia ca a a no mundo actual. Hist´ria da Matem´tica o a A utiliza¸˜o de exemplos hist´ricos ou a referˆncia ` evolu¸˜o de ca o e a ca conceitos matem´ticos ajudar´ os estudantes a apreciar o contribua a to da Matem´tica para a compreens˜o e resolu¸˜o de problemas do a a ca Homem atrav´s do tempo. Algumas situa¸˜es sugeridas: polin´mios e co o em Pedro Nunes, hist´ria do C´lculo Diferencial, hist´ria dos n´meros o a o u complexos. Nas brochuras de apoio ao programa podem ser encontrados muitos exemplos interessantes: origens da geometria (Geometria 10o, pg 34-39), evolu¸˜o das m´quinas de calcular (Fun¸˜es 10o, pg ca a co ¯ ¯ 28), fun¸˜o logar´ ca ıtmica (Fun¸˜es 12o, pg 60-62), a r´gua de c´lculo co e a ¯ (Fun¸˜es 12o, pg 66-69), hist´ria do teorema fundamental da ´lgebra co o a ¯ (Trigonometria e n´meros complexos, pg 79-84), etc. u A comunica¸˜o matem´tica deve ajudar os estudantes a organizar e ca a consolidar o seu pensamento matem´tico; por isso se recomenda em a primeiro lugar a realiza¸˜o regular de ”composi¸˜es matem´ticas”. ca co a Al´m do mais, o estudante deve possuir oportunidades para expor e um tema preparado, a resolu¸˜o de um problema ou a parte que lhe ca cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relat´rios, monografias, ..., devem o ser apresentados de forma clara, organizada e com aspecto gr´fico a cuidado; recomenda-se que sejam, na medida do poss´ ıvel, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor. O trabalho de grupo e em pares favorece a comunica¸˜o ca matem´tica pois os estudantes ganham em partilhar com os colegas a e com o professor os seus m´todos de resolu¸˜o ou as justifica¸˜es e ca co dos seus racioc´ ınios. L´gica e Racioc´ o ınio No¸˜es de l´gica co o Todas as no¸˜es de l´gica e teoria de conjuntos devem ser introco o duzidas ` medida que v˜o sendo precisas ou recorrendo a exemplos a a concretos de mat´ria usada: resolu¸˜o de equa¸˜es e inequa¸˜es, e ca co co propriedades dos m´dulos, propriedades das fun¸˜es, axiom´tica das o co a probabilidades. Alguns pequenos exemplos ligados ao trabalho com IR e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento de alguma opera¸˜o l´gica. Ter´ de haver referˆncias simultˆneas a ca o a e a opera¸˜es com condi¸˜es e opera¸˜es com conjuntos bem como ` imco co co a plica¸˜o formal e inclus˜o, para al´m das referˆncias a algumas proca a e e priedades como a transitividade. Assuntos como a lei da convers˜o, a as primeiras leis de De Morgan e os quantificadores n˜o podem deixar a de aparecer ` medida que forem necess´rios. a a
  • 22. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento No¸˜o de teorema: hip´ca o tese, tese e demonstra¸˜o. ca M´todos de demonstra¸˜o. e ca Reflex˜o sobre as heur´ a ısticas de Polya para a resolu¸˜o de problemas. Acca tividades investigativas. 21 Indica¸˜es Metodol´gicas co o No que diz respeito aos m´todos de demonstra¸˜o, eles devem ser e ca referidos ` medida que v˜o sendo usados ou ap´s os estudantes terem a a o j´ utilizado os v´rios m´todos em pequenas demonstra¸˜es informais a a e co (mesmo para confirmar as suas resolu¸˜es de problemas). N˜o est˜o co a a sugeridos explicitamente no corpo do programa, mas todo o estudo da Geometria Anal´ ıtica se baseia numa geometria sint´tica euclidiana, e semi-intuitiva, semi-dedutiva em que se procuram explorar intui¸˜es co espaciais e habilidades dedutivas. O h´bito de pensar correctamente, que ´ o que afinal est´ em causa, a e a deve ser acompanhado do h´bito de argumentar oralmente ou por esa crito e, sempre que poss´ ıvel, os estudantes devem realizar exerc´ ıcios metodol´gicos de descoberta de justifica¸˜es (que n˜o s˜o mais do o co a a que novos problemas, por vezes dentro de outros problemas cuja resolu¸˜o carece de ser comprovada). A indu¸˜o matem´tica deve ca ca a aparecer individualizada como exemplo particular do racioc´ deduınio tivo (quer para provar propriedades de sucess˜es, quer para provar o propriedades combinat´rias, se houver tempo). A abordagem de alo gumas demonstra¸˜es directas e indirectas (e nestas, a demonstra¸˜o co ca por redu¸˜o ao absurdo) ´ inevit´vel. Assumem tamb´m uma grande ca e a e importˆncia demonstra¸˜es utilizando contra-exemplos. a co A organiza¸˜o da heur´ ca ıstica de Polya (de Guzm´n, ou outra) para a a resolu¸˜o de problemas deve aparecer ap´s a resolu¸˜o de v´rios ca o ca a problemas e depois dos estudantes discutirem os procedimentos usados. Elas servir˜o como pano de fundo organizacional do pensamento a para atacar os problemas, de modo a que os estudantes n˜o esque¸am a c ´ qualquer fase importante. E importante que os estudantes se apercebam da necessidade de um plano, e que, sem que eles abandonem a cria¸˜o dos seus pr´prios estilos de organiza¸˜o e a experiˆncia j´ ca o ca e a existente, compreendam que o conhecimento destas heur´ ısticas vai permitir melhor´-los. Estas organiza¸˜es de pensamento s˜o uteis a co a ´ para todos os aspectos da vida e n˜o s´ para a Matem´tica. a o a Sempre que poss´ ıvel, e no desenvolvimento do programa s˜o india cadas oportunidades para isso, os estudantes devem ser envolvidos em actividades de natureza investigativa gen´rica ou ligada a proe blemas de interesse hist´rico. A introdu¸˜o e o desenvolvimento de o ca todos estes temas ´ facilitador do ”desenvolvimento da linguagem e e do simbolismo para comunicar ideias matem´ticas” de modo que a os estudantes ”reflictam sobre, e clarifiquem, o seu pensamento matem´tico no que diz respeito `s no¸˜es e rela¸˜es matem´ticas, a a co co a formulem defini¸˜es matem´ticas e exprimam generaliza¸˜es descoco a co bertas atrav´s de investiga¸˜es, exprimam as no¸˜es matem´ticas e co co a oralmente e por escrito, . . . fa¸am perguntas de clarifica¸˜o e de c ca desenvolvimento relacionadas com assuntos matem´ticos que leram a ou ouviram falar e apreciem a economia, o poder e a elegˆncia da a nota¸˜o matem´tica bem como o seu papel no desenvolvimento das ca a ideias matem´ticas.” Estamos em crer que estes temas, inclu´ a ıdos em experiˆncias variadas, s˜o facilitadores de aprendizagens que refor¸am e a c a capacidade de raciocinar logicamente, pelas oportunidades de formular e testar conjecturas e analisar contra-exemplos, de avaliar a validade de racioc´ ınios e de construir demonstra¸˜es. co
  • 23. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 22 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Finalmente, quando for oportuno (as probabilidades e a estat´ ıstica s˜o temas e momentos apropriados na falta de outros momentos) dea vem ser abordadas as diferen¸as entre racioc´ plaus´ e racioc´ c ınio ıvel ınio demonstrativo, ao mesmo tempo que se abordam os diversos tipos de evidˆncia cient´ e ıfica. Estas abordagens constituem bases seguras para criar um esp´ ırito cr´ ıtico construtivo capaz de destrin¸ar a qualidade c relativa de cada uma das informa¸˜es que o estudante recebe. co Tecnologia e Matem´tica a A dimens˜o gr´fica constitui uma componente incontorn´vel do traa a a balho matem´tico, pelo que ´ importnate o uso de tecnologia adea e quada (calculadora gr´fica ou computador) a ´ E preciso ter presente que a ”tecnologia” em si n˜o est´ em causa a a como conte´do de ensino, mas que s˜o as aprendizagens que ela pode u a proporcionar que justificam o seu uso. O recurso ` tecnologia pode a auxiliar os estudantes na compreens˜o de conceitos matem´ticos e a a prepar´-los para usar a matem´tica num mundo cada vez mais tecnoa a l´gico. Como qualquer ferramenta, a tecnologia pode ser utilizada de o um modo mais ou menos rico. Nunca deve ser utilizada como simples substitui¸˜o de racioc´ ca ınios b´sicos, mas sim de modo a enriquecer a a aprendizagem matem´tica, tornando-a mais profunda. a Um estudante dever´ registar por escrito, com os coment´rios jula a gados adequados, as observa¸˜es que fizer ao usar a calculadora co gr´fica, o computador ou outro material, descrevendo com cuidado a as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclus˜es relativamente aos resultados esperados (desenvolvendo-se o assim tanto o esp´ ırito cr´ ıtico como a capacidade de comunica¸˜o ca matem´tica). a
  • 24. Departamento do Ensino Secund´rio a 3.2 Matem´tica A a 23 10o ANO ¯ M´dulo inicial o 9 aulas de 90 minutos Resolu¸˜o de problemas ca O professor dever´ propor neste m´dulo problemas ou actividades aos estudantes que permia o tam consolidar e fazer uso de conhecimentos essenciais adquiridos no 3o ciclo de modo tanto ¯ a detectar dificuldades em quest˜es b´sicas como a estabelecer uma boa articula¸˜o entre este o a ca ciclo e o Ensino Secund´rio. Poder´ partir de uma determinada situa¸˜o, de um determinado a a ca tema, procurando evidenciar todas as conex˜es com outros temas tomando como meta o deseno volvimento das competˆncias matem´ticas transversais, isto ´, daquelas que atravessam todos e a e os temas e devem constituir os grandes objectivos de um curr´ ıculo de Matem´tica. a Uma compreens˜o mais profunda da Matem´tica s´ se verifica quando o estudante vˆ as a a o e conex˜es, quando se apercebe que se est´ a falar da mesma coisa encarando-a de diferentes o a pontos de vista. Se os estudantes est˜o a explorar, por exemplo, um problema de geomea tria poder˜o estar a desenvolver a sua capacidade de visualizar, de fazer conjecturas e de as a justificar, mas tamb´m poder˜o estar a trabalhar simultaneamente com n´meros, calculando e a u ou relacionando areas e volumes, a trabalhar com propor¸˜es na semelhan¸a de figuras ou a ´ co c trabalhar com express˜es alg´bricas. o e Os problemas a tratar neste m´dulo devem integrar-se essencialmente nos temas N´ meros, o u Geometria e lgebra deixando para outra altura os problemas que se integrem no tema Fun¸˜es co ou Probabilidades e Estat´ ıstica. Pretende-se que os problemas a propor ponham em evidˆncia o desenvolvimento de capacidades e de experimenta¸˜o, o racioc´ ca ınio matem´tico (com destaque para o racioc´ a ınio geom´trico) e a e an´lise cr´ a ıtica, conduzindo ao estabelecimento de conjecturas e ` sua verifica¸˜o. a ca A seguir s˜o apresentados enunciados dos problemas que dever˜o ser propostos aos estudantes. a a Esta lista pode ser parcial ou totalmente substitu´ por outra que, em termos gerais, contemple ıda os mesmos conhecimentos e capacidades; esses outros problemas dever˜o, de preferˆncia, ser a e retirados de documentos oficiais relativos ao Ensino B´sico. a Unindo os pontos m´dios de um quadril´tero encontramos sempre um paralelogramo? e a Porque ´ que h´ s´ 5 s´lidos plat´nicos? e a o o o Estudo da poss´ semelhan¸a entre garrafas de agua de uma dada marca de 33cl, 50cl, 75cl ıvel c ´ e 1,5l. Como resolveu o matem´tico Pedro Nunes equa¸˜es do primeiro e do segundo graus? Podea co mos identificar, nos seus escritos, o uso da f´rmula resolvente ou pelo menos de alguns casos o particulares? Que casos Pedro Nunes n˜o considerou ou considerou imposs´ a ıveis? Que n´meros racionais s˜o represent´veis por d´ u a a ızimas finitas? Qual a dimens˜o do per´ a ıodo de uma d´ ızima infinita peri´dica? o Alguns destes problemas poder˜o ser substitu´ a ıdos, com vantagem, por actividades ou problemas ligados ao mundo real, propostos e planificados por um grupo de professores do conselho de turma de modo a integrar na sua resolu¸˜o conhecimentos de v´rias disciplinas. ca a Durante este m´dulo inicial, se o professor detectar dificuldades no estudante, dever´ o a delinear estrat´gias de supera¸˜o dessas dificuldades. Deve fazer com que os estudantes e ca tomem consciˆncia clara das responsabilidades que tamb´m lhes cabem no desenvolvimento e e das suas aprendizagens. Superar dificuldades exige estudo e esfor¸o e os jovens devem c entender bem o seu papel neste processo.
  • 25. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 24 Tema I - Geometria no Plano e no Espa¸o I c 27 aulas de 90 minutos O ensino da Geometria reveste-se da maior importˆncia devendo desenvolver no estudante a uma intui¸˜o geom´trica e um racioc´ ca e ınio espacial assim como capacidades para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, usar e aplicar a Matem´tica, formular e resolver a problemas abstractos ou numa perspectiva de modela¸˜o matem´tica. Deve ainda desenca a ´ volver no estudante capacidades de organiza¸˜o e de comunica¸˜o quer oral quer escrita. E ca ca aconselh´vel que os estudantes realizem pequenas investiga¸˜es e fa¸am depois relat´rios a co c o utilizando linguagem matem´tica rigorosa (o que n˜o significa que o estudante deva recora a rer exclusiva ou prioritariamente a linguagem simb´lica). Tanto em geometria plana como ` o em geometria do espa¸o a pr´tica de manipula¸˜o e observa¸˜o de figuras e modelos tem c a ca ca um papel central e decisivo no ensino das no¸˜es matem´ticas que est˜o em jogo, com co a a preju´ absoluto do ponto de vista axiom´tico. O professor deve propor actividades de ızo a constru¸˜o, de manipula¸˜o de modelos e ligadas a problemas hist´ricos fazendo surgir a ca ca o partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolu¸˜o uma grande parte dos ca resultados te´ricos que pretende ensinar ou recordar. A explora¸˜o de programas como ca putacionais pode ajudar eficazmente o estudante a desenvolver a percep¸˜o dos objectos ca do plano e do espa¸o e a fazer conjecturas acerca de rela¸˜es ou acerca de propriedades de c co objectos geom´tricos. Devem dar-se a conhecer problemas hist´ricos e propor ao estudante e o a resolu¸˜o de pelo menos um. Ser´ tamb´m conveniente dar a conhecer um pouco da ca a e Hist´ria da Geometria a qual est˜o ligados os nomes dos maiores matem´ticos de todos o ` a a os tempos (Euclides, Arquimedes, Newton, Descartes, Euler, Hilbert, entre muitos outros). Os conhecimentos dos estudantes sobre transforma¸˜es geom´tricas devem ser tidos co e em considera¸˜o para serem utilizados e ampliados na resolu¸˜o de problemas concretos. ca ca Mesmo quando o estudante resolve um problema por via anal´ ıtica o professor deve incentiv´-lo a fazer uma figura geom´trica de modo a tirar proveito da visualiza¸˜o do problema a e ca e a desenvolver a sua capacidade de representa¸˜o, ou seja, n˜o se deve deixar que o estuca a dante se limite ` resolu¸˜o exclusiva de equa¸˜es e ` utiliza¸˜o de f´rmulas. Para al´m disso a ca co a ca o e o estudante deve descrever sempre com algum detalhe o processo utilizado, justificando-o adequadamente. Devem apresentar-se aos estudantes problemas que possam ser resolvidos por v´rios proa cessos (perspectiva sint´tica, geometria anal´ e ıtica, transforma¸˜es geom´tricas, utiliza¸˜o co e ca de programas de geometria dinˆmica, perspectiva vectorial ). a Devem explorar-se sempre que poss´ ıvel as conex˜es da Geometria com outras ´reas da o a Matem´tica e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas. a
  • 26. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Resolu¸˜o de probleca mas de Geometria no plano e no espa¸o c (esta resolu¸˜o de problemas ca tem por objectivo promover o aprofundamento da Geometria partindo da compreens˜o a do plano, do espa¸o e dos c s´lidos geom´tricos) o e Alguns t´picos que poder˜o o a ser estudados na resolu¸˜o ca de problemas ou em investiga¸˜es: co – estudo das sec¸˜es deterco minadas num cubo por um plano; – poliedros obtidos por truncatura de um cubo; – composi¸˜o e decompoca si¸˜o de figuras tridimensionca ais; – um problema hist´rico e o sua liga¸˜o com a Hist´ria da ca o Geometria. Geometria Anal´ ıtica O m´todo cartesiano para e estudar geometria no plano e no espa¸o c Referenciais cartesianos ortogonais e monom´tricos no e plano e no espa¸o. Corresc pondˆncia entre o plano e IR2 , e entre o espa¸o e IR3 . c Conjuntos de pontos e condi¸˜es. co Lugares geom´tricos: circune ferˆncia, c´ e ırculo e mediatriz; superf´ ıcie esf´rica, esfera e e plano mediador. 25 Indica¸˜es Metodol´gicas co o As actividades devem estar ligadas ` manipula¸˜o de modelos a ca geom´tricos e o professor deve insistir para que o estudante exprima e correctamente os seus racioc´ ınios, oralmente e por escrito, atrav´s de e pequenas composi¸˜es. A linguagem matem´tica utilizada deve ser co a rigorosa embora seja de excluir a linguagem formal. Os problemas a propor aos estudantes n˜o devem ser numerosos. Dea ´ vem ser ricos e n˜o se reduzir a propostas fragmentadas. E mais ima portante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente. Aconselha-se que o professor privilegie, se poss´ atrav´s de peıvel e quenas investiga¸˜es, o estudo do cubo (incluindo as sec¸˜es nele co co determinadas por planos que o intersectem) assim como o estudo de alguns poliedros cujas arestas ou v´rtices est˜o assentes nas suas e a faces. ´ E conveniente que o estudante fique a saber desenhar representa¸˜es co planas dos s´lidos com que trabalha, a descrever a intersec¸˜o do o ca cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representa¸˜o da intersec¸˜o obtida, utilizando as regras da perspectiva ca ca cavaleira (o estudante deve come¸ar por modelar a situa¸˜o, por c ca exemplo, com s´lidos de arestas, com s´lidos transparentes ou de o o qualquer outro modo sugestivo). Compondo e decompondo figuras planas (ou tridimensionais) o estudante deve saber calcular ou relacionar ´reas (ou volumes). a Os problemas devem ser escolhidos de tal modo que possam sugerir outros e permitir abordagens segundo diferentes perspectivas (por exemplo, recorrendo primeiro `s coordenadas e depois aos vectores). a O professor deve propor ao estudante actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espa¸o. c O professor pode fornecer figuras e/ou um referencial numa grelha e pedir a coloca¸˜o da figura ou do referencial para obter “as melca hores coordenadas” experimentando com v´rias figuras no plano e no a espa¸o. c Ser´ vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou a o tema, recorrendo aos modelos j´ utilizados para fazer aparecer a as novas no¸˜es (referencial, coordenadas, vectores, ... ) levando co o estudante a justificar determinadas proposi¸˜es por mais de um co processo. S´ mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva. o No plano, o estudante deve descobrir as rela¸˜es entre as coordenadas co de pontos sim´tricos relativamente aos eixos coordenados e `s bissece a trizes dos quadrantes pares e ´ ımpares. No espa¸o, o estudante pode c tamb´m descobrir algumas rela¸˜es entre pontos sim´tricos relativae co e mente aos planos coordenados, aos eixos coordenados e aos planos bissectores dos diversos octantes. . continua
  • 27. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 26 Indica¸˜es Metodol´gicas co o A circunferˆncia e a superf´ esf´rica devem ser tratadas essene ıcie e cialmente como lugares geom´tricos sem a preocupa¸˜o de fazer e ca m´ltiplos exerc´ u ıcios que envolvam apenas as suas equa¸˜es (a co defini¸˜o de distˆncia entre dois pontos no espa¸o aparecer´, naturalca a c a mente, ligada ` determina¸˜o do comprimento da diagonal espacial a ca de um paralelep´ ıpedo). O mesmo para a mediatriz/plano mediador (neste contexto s´ se deve o trabalhar com equa¸˜es de rectas/planos paralelos a eixos/planos co coordenados ou que sejam bissectrizes/planos bissectores de quadrantes/octantes). (*) Referˆncia ` elipse como e a deforma¸˜o da circunferˆncia. ca e Vectores livres no plano e no espa¸o: c componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado; vector como diferen¸a de dois pontos. c Colinearidade de dois vectores. Equa¸˜o vectorial da recta no ca plano e no espa¸o. c Equa¸˜o reduzida da ca recta no plano e equa¸˜o ca x = x0 . A equa¸˜o da elipse deve aparecer a partir da circunferˆncia por meio ca e de uma mudan¸a afim de uma das coordenadas. c A soma de vectores, a soma de um ponto com um vector e o produto de um escalar por um vector devem ser abordadas em contexto de resolu¸˜o de problemas. ca Pretende-se que o estudante deduza propriedades de figuras geom´tricas (triˆngulos e quadril´teros) usando vectores e explore e a a a liga¸˜o do c´lculo vectorial com outras ´reas. ca a a A equa¸˜o vectorial da recta surge naturalmente associada ao proca duto de um escalar por um vector e ` colinearidade de dois vectores. a Pretende-se que os estudantes saibam escrever a equa¸˜o vectorial ca de uma recta e assim identifiquem pelas suas coordenadas os pontos que lhe perten¸am. c O conhecimento da equa¸˜o reduzida da recta dever´ permitir que ca a o estudante saiba escrever a equa¸˜o de qualquer recta cujo gr´fico ca a lhe seja apresentado, sem para isso ser necess´rio fazer exerc´ a ıcios repetitivos. Tema II - Fun¸˜es e Gr´ficos. Fun¸˜es polinomiais. Fun¸˜o m´dulo. co a co ca o 27 aulas de 90 minutos Os conhecimentos sobre fun¸˜es, indispens´veis para a compreens˜o do mundo em que co a a vivemos, v˜o ser ampliados com base no estudo anal´ a ıtico, num´rico e gr´fico devendo e a privilegiar o trabalho intuitivo com fun¸˜es que relacionam vari´veis da vida corrente, co a da Geometria, da F´ ısica, da Economia ou de outras disciplinas. Em particular faz-se o estudo detalhado de algumas fun¸˜es polinomiais e da fun¸˜o m´dulo e resolvem-se co ca o anal´ ıtica, gr´fica e numericamente algumas equa¸˜es e inequa¸˜es. a co co Este tema tem uma ˆnfase muito grande na liga¸˜o entre as f´rmulas e as representa¸˜es e ca o co geom´tricas. Esta liga¸˜o ´ muito importante para todos os que utilizarem matem´tica. e ca e a A capacidade de as relacionar ´ uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do e
  • 28. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 27 futuro e assim este tema dever´ fornecer uma forma¸˜o para a vida toda t˜o b´sica como a ca a a a tabuada. Os estudantes devem reconhecer que o mesmo tipo de fun¸˜o pode constituir um modelo ca para diferentes tipos de situa¸˜es problem´ticas. co a Todas as fun¸˜es devem estar definidas apenas em intervalos (normalmente abertos); as co fun¸˜es definidas por dois ou mais ramos (cujo dom´ co ınio ´ um intervalo ou uni˜o de intere a valos) apenas devem ser referidas no caso da fun¸˜o m´dulo ou a t´ ca o ıtulo de exemplo na introdu¸˜o deste tema. ca Ao usar a calculadora gr´fica ou o computador, os estudantes devem observar que poa dem ser apresentadas diferentes representa¸˜es gr´ficas de um mesmo gr´fico, variando as co a a escalas; devem sempre tra¸ar um n´mero apreci´vel de fun¸˜es tanto manualmente em c u a co papel quadriculado ou papel milim´trico como usando calculadora gr´fica ou computae a dor escolhendo o melhor rectˆngulo de visualiza¸˜o; devem ser incentivados a elaborar a ca conjecturas, evitando conclus˜es apressadas, sendo sistematicamente treinados na an´lise o a cr´ ıtica de todas as suas conclus˜es. Devem ainda estudar situa¸˜es em que uma descri¸˜o o co ca qualitativa satisfat´ria do comportamento da fun¸˜o s´ ´ poss´ com um gr´fico m´ltiplo o ca o e ıvel a u (conjunto de gr´ficos em diferentes rectˆngulos de visualiza¸˜o). a a ca Um estudante deve ser confrontado com situa¸˜es em que os erros de aproxima¸˜o conco ca duzam a resultados absurdos. Como forma de evitar muitas situa¸˜es dessas, deve ser feita co a recomenda¸˜o gen´rica de nos c´lculos interm´dios se tomar um grau de aproxima¸˜o ca e a e ca substancialmente superior ao grau de aproxima¸˜o que se pretende para o resultado. ca Pr´-Requisitos: e Os estudantes devem conhecer a fun¸˜o afim; devem poder reconhecer essa fun¸˜o atrav´s ca ca e do gr´fico, esbo¸ar o gr´fico e devem conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros a c a de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equa¸˜es). Os estudantes devem co o grau e resolver equa¸˜es do 2o grau. Os co saber resolver equa¸˜es e inequa¸˜es do 1¯ co co ¯ estudantes devem conhecer os n´meros reais e representar intervalos de n´meros reais. u u Desenvolvimento Fun¸˜o, gr´fico (gr´fico ca a a cartesiano de uma fun¸˜o em ca referencial ortogonal) e representa¸˜o gr´fica. ca a Indica¸˜es Metodol´gicas co o Para todos os tipos de fun¸˜es devem ser dados exemplos a partir co de quest˜es concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes o frequentem — F´ ısica, Qu´ ımica, Economia, etc. — como de situa¸˜es co reais — por exemplo de recortes de jornais). Particular importˆncia a dever´ ser dada a situa¸˜es problem´ticas, situa¸˜es de modela¸˜o a co a co ca matem´tica e a exemplos de Geometria, devendo retomar-se alguns a exemplos estudados no tema anterior. continua
  • 29. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Estudo intuitivo de propriedades das fun¸˜es e dos co seus gr´ficos, a tanto a partir de um gr´fico a particular como usando calculadora gr´fica, para as a seguintes classes de fun¸˜es: co i) fun¸˜es quadr´ticas; co a ii) fun¸˜o m´dulo; ca o e recorrendo a: a) an´lise dos efeitos a das mudan¸as de parˆmetros c a nos gr´ficos das fam´ a ılias de fun¸˜es dessas classes (conco siderando apenas a varia¸˜o ca de um parˆmetro de cada a vez); b) transforma¸˜es simples co de fun¸˜es: dada a fun¸˜o, co ca esbo¸ar o gr´fico das fun¸˜es c a co definidas por y = f(x) + a, y = f(x + a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso ` linguagem das transa forma¸˜es geom´tricas. co e 28 Indica¸˜es Metodol´gicas co o As propriedades sugeridas s˜o: dom´ a ınio, contradom´ ınio, pontos not´veis (intersec¸˜o com os eixos coordenados), monotonia, cona ca tinuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela¸˜o ao ca eixo dos YY e ` origem, limites nos ramos infinitos. Os estudantes a devem determinar pontos not´veis e extremos tanto de forma exacta a como de forma aproximada (com uma aproxima¸˜o definida a priori) ca a partir do gr´fico tra¸ado na calculadora gr´fica ou computador. a c a No estudo das fam´ ılias de fun¸˜es os estudantes podem realizar peco quenas investiga¸˜es. co O estudo das transforma¸˜es simples de fun¸˜es deve ser feito tanto co co usando papel e l´pis como calculadora gr´fica ou computador; a a a fun¸˜o f tanto pode ser dada a partir de um gr´fico como a parca a tir de uma express˜o anal´ a ıtica. (*) Referˆncia breve ` par´e a a bola, a algumas das suas principais propriedades e a sua ` importˆncia hist´rica. a o Esta referˆncia breve n˜o pressup˜e nenhuma propriedade em particue a o lar mas antes que os estudantes fiquem com uma vis˜o culturalmente a mais completa do assunto. Resolu¸˜o de problemas ca envolvendo fun¸˜es polinoco miais (com particular incidˆncia nos graus 2, 3 e 4). e Na resolu¸˜o de problemas deve ser dada ˆnfase especial ` Modeca e a la¸˜o Matem´tica (por exemplo, usando dados concretos recolhidos ca a por calculadoras gr´ficas ou computadores acoplados a sensores adea quados). Deve ser dada ˆnfase especial ` resolu¸˜o de problemas e a ca usando m´todos num´ricos e gr´ficos, nomeadamente quando forem e e a usadas inequa¸˜es. A resolu¸˜o num´rica ou gr´fica deve ser sempre co ca e a confrontada com conhecimentos te´ricos. Deve ser usada a resolu¸˜o o ca anal´ ıtica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polin´mio em factores. O o estudo anal´ ıtico dos polin´mios deve ser suscitado pela resolu¸˜o de o ca problemas e a´ integrado. A resolu¸˜o anal´ ı ca ıtica de problemas deve ser sempre acompanhada da verifica¸˜o num´rica ou gr´fica. ca e a Possibilidade da decomposi¸˜o de um polin´mio ca o em factores (informa¸˜o). ca Decomposi¸˜o ca de um polin´mio em factores em o casos simples, por divis˜o dos a polin´mios e recorrendo ` o a regra de Ruffini. Justifica¸˜o ca desta regra. (*) Estudo elementar de polin´mios interpoladores. o
  • 30. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 29 Tema III - Estat´ ıstica 15 aulas de 90 minutos Algumas das no¸˜es que se tratam nesta unidade j´ foram abordadas no 3o ciclo e, por co a ¯ isso, ´ poss´ em qualquer altura reinvestir nestes conhecimentos e complet´-los progrese ıvel a sivamente. O estudante dever´ ficar a saber organizar, representar e tratar dados recolhidos em bruto a (ou tabelados) para da´ tirar conclus˜es numa an´lise sempre cr´ ı o a ıtica e sempre consciente ´ importante que o estudo da dos limites do processo de matematiza¸˜o da situa¸˜o. E ca ca Estat´ ıstica contribua para melhorar a capacidade dos estudantes para avaliar afirma¸˜es co de car´cter estat´ a ıstico, fornecendo-lhes ferramentas apropriadas para rejeitar quer certos an´ncios publicit´rios quer not´ u a ıcias ou outras informa¸˜es em que a interpreta¸˜o de dados co ca ou a realiza¸˜o da amostragem n˜o tenha sido correcta. ca a Este tema fornece uma excelente oportunidade para actividades interdisciplinares, individualmente ou em grupo, devendo o professor ao definir o plano de trabalho com os estudantes incentiv´-los a recorrer ao computador. No final, os estudantes devem intera pretar e comunicar os resultados ` turma fazendo uma an´lise cr´ a a ıtica e estando conscientes que modos diferentes de apresentar as conclus˜es podem alterar a mensagem. No estudo o deste tema o estudante deve recorrer ` calculadora gr´fica ou ao computador e as suas a a ` potencialidades para resolver muitos dos problemas. a Pr´-Requisitos: Estat´ e ıstica do 3o ciclo do Ensino B´sico. ¯ Desenvolvimento Estat´ ıstica – Generalidades Objecto da Estat´ ıstica e breve nota hist´rica sobre o a evolu¸˜o desta Ciˆncia; ca e utilidade na vida moderna. Indica¸˜es Metodol´gicas co o Deve-se chamar a aten¸˜o para o papel relevante desempenhado pela ca Estat´ ıstica em todos os campos do conhecimento. Clarifica¸˜o de quais os ca fen´menos que podem ser o objecto de estudo estat´ ıstico; exemplifica¸˜o ca de tais fen´menos com situa¸˜es da o co vida real, salientando o papel relevante da Estat´ ıstica na sua descri¸˜o. ca continua
  • 31. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento Recenseamento e sondagem. As no¸˜es de popula¸˜o e co ca amostra. Compreens˜o do a conceito de amostragem e reconhecimento do seu papel nas conclus˜es estat´ o ısticas; distin¸˜o entre os estudos e ca conclus˜es sobre a amostra e o a correspondente an´lise soa bre a popula¸˜o. No¸˜es inca co tuitivas sobre as escolhas de amostras, sobre a necessidade de serem aleat´rias, represeno tativas e livres de v´ ıcios de concep¸˜o. ca 30 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Sendo a Estat´ ıstica a Ciˆncia que trata dos ”dados”, num procedie mento estat´ ıstico est˜o envolvidas, de um modo geral, duas fases: a uma fase de organiza¸˜o dos dados recolhidos, em que se procura reca duzir, de forma adequada, a informa¸˜o neles contida - Estat´ ca ıstica Descritiva, e uma segunda fase, em que se procura tirar conclus˜es o e tomar decis˜es para um conjunto mais vasto, de onde se recolheram o os dados - Inferˆncia Estat´ e ıstica. Existe, no entanto, uma fase pioneira, que diz respeito ` aquisi¸˜o dos pr´prios ”dados”. Deve-se a ca o real¸ar a importˆncia de, ao iniciar qualquer estudo estat´ c a ıstico, proceder cuidadosamente ao planeamento da experiˆncia que conduz ` e a recolha dos ”dados” que ser˜o objecto de tratamento estat´ a ıstico. Estat´ ıstica Descritiva e Estat´ ıstica Indutiva. Organiza¸˜o e interpreca ta¸˜o de caracteres esca tat´ ısticos (qualitativos e quantitativos) An´lise gr´fica de atribua a tos qualitativos (gr´ficos cira culares, diagramas de barras, pictogramas); determina¸˜o ca da moda; An´lise de atributos quana titativos: vari´vel discreta a e vari´vel cont´ a ınua. Dados agrupados em classes. Vari´vel discreta; fun¸˜o a ca cumulativa. Vari´vel cont´ a ınua: tabelas de frequˆncias (absolutas, e relativas e relativas acumuladas); gr´ficos (histograma, a pol´ ıgono de frequˆncias); e fun¸˜o cumulativa. ca Medidas de localiza¸˜o ca de uma amostra: moda ou classe modal; m´dia; medie ana; quartis. Deve-se chamar a aten¸˜o para o facto de que a organiza¸˜o dos ca ca dados, consiste em resumir a informa¸˜o neles contida atrav´s de ca e tabelas, gr´ficos e algumas medidas, a que damos o nome de ”esa tat´ ısticas”. Nesta fase, em que se substitui todo o conjunto dos dados, por um sum´rio desses dados, devem-se tomar as devidas prea cau¸˜es, pois nem todos os instrumentos de redu¸˜o de dados se co ca aplicam a todos os tipos de dados. Assim, de entre esses processos deve-se ter presente quais os mais adequados e em que situa¸˜es ´ ou co e n˜o convenientes aplic´-los. A t´ a a ıtulo de exemplo referimos o facto de n˜o ter qualquer sentido calcular a m´dia para dados de tipo qualitaa e tivo, mesmo que as diferentes categorias assumidas pela vari´vel em a estudo estejam representadas por n´meros. u continua
  • 32. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Desenvolvimento 31 Indica¸˜es Metodol´gicas co o Medidas de dispers˜o de a uma amostra: amplitude; variˆncia; desvio padr˜o; ama a plitude interquartis. Discuss˜o das limita¸˜es a co destas estat´ ısticas. Diagramas de “extremos e quartis” Referˆncia a distribuie co ¸˜es bidimensionais (abordagem gr´fica e a intuitiva) Diagrama de dispers˜o; dea pendˆncia estat´ e ıstica; ideia intuitiva de correla¸˜o; exemca plos gr´ficos de correla¸˜o a ca positiva, negativa ou nula. Coeficiente de correla¸˜o e ca sua varia¸˜o em [−1, 1]. ca Defini¸˜o de centro de gravica dade de um conjunto finito de pontos; sua interpreta¸˜o ca f´ ısica. Ideia intuitiva de recta de regress˜o; sua interpreta¸˜o e a ca limita¸˜es. co Generalizando o estudo de uma unica vari´vel, faz-se uma introdu¸˜o ´ a ca ao estudo dos dados bivariados, insistindo na representa¸˜o gr´fica ca a sob a forma do diagrama de dispers˜o ou diagrama de pontos. a Quando, a partir desta representa¸˜o, se verificar uma tendˆncia para ca e a existˆncia de uma associa¸˜o linear entre as duas vari´veis em ese ca a tudo, identifica-se uma medida que quantifica o grau de associa¸˜o ca - o coeficiente de correla¸˜o, assim como se apresenta um modelo ca matem´tico que permitir´, conhecido o valor de uma das vari´veis, a a a obter uma estimativa para o valor da outra vari´vel. a
  • 33. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 32 Bibliografia Abrantes,P.; Ponte, J.P. et al.(1999) Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´ co a ıculo. Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o a co ca de Professores de Matem´tica a Este livros re´ne um conjunto de artigos elaborados no ambito do Projecto u ˆ ”Matem´tica para Todos” a volta da incorpora¸˜o, nas aulas e nos curr´ a ` ca ıculos de matem´tica, de actividades de natureza investigativa realizadas pelos estudantes. a Segundo os organizadores dos volumes (este e seguinte), ”as actividades de investiga¸˜o podem ser inseridas, naturalmente, em qualquer parte do curr´ ca ıculo, representando na verdade um tipo de trabalho que tem um car´cter transvera sal na disciplina de Matem´tica”. De acordo com os organizadores dos livros ”o a trabalho realizado por este projecto confirma as potencialidades da actividade investigativa para a aprendizagem da Matem´tica e d´ muitas pistas sobre o modo a a como ela se pode inserir nas actividades das escolas”. Abrantes, P.; Leal,L. C.; Ponte, J.P. et al.(1996) Investigar para aprender matem´tica. a Grupo ”Matem´tica para todos-investiga¸˜es na sala de aula”, Lisboa: Associa¸˜o a co ca de Professores de Matem´tica. a Ver coment´rio a Investiga¸˜es matem´ticas na aula e no curr´ a co a ıculo. Ara´jo, Paulo Ventura (1998). Curso de Geometria. (Trajectos Ciˆncia, Vol. 5) u e Lisboa: Gradiva ´ E um excelente livro para complementar a forma¸˜o em Geometria de qualca quer professor de Matem´tica do Ensino Secund´rio (e do Ensino B´sico). Escrito a a a numa linguagem muito clara e sugestiva, o autor, ao longo de 26 cap´ ıtulos, vai desde os primeiros axiomas da geometria euclidiana at´ aos surpreendentes meane dros da geometria n˜o euclidiana (em particular a geometria hiperb´lica). A abora o dagem ´ a da chamada geometria m´trica (em que os n´meros reais, para medir e e u distˆncias, s˜o introduzidos muito cedo) que ´ muito mais simples para um prina a e cipiante. O livro tem ainda v´rios cap´ a ıtulos sobre transforma¸˜es geom´tricas. co e S˜o de salientar a defini¸˜o geom´trica rigorosa das fun¸˜es trigonom´tricas, a disa ca e co e cuss˜o da no¸˜o de ´rea, a demonstra¸˜o da f´rmula de Her˜o e uma introdu¸˜o a ca a ca o a ca interessante ` no¸˜o de centro de massa complementada com a recomenda¸˜o de a ca ca leitura do livro A F´ ısica no dia-a-dia (Ed. Rel´gio de gua, 1995) de R´mulo de o o Carvalho. Cara¸a, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matem´tica Col. Ciˆncia c a e Aberta, Vol. 98 (2a ed., 1998). Lisboa: Gradiva ¯ Neste livro, Bento de Jesus Cara¸a (1901-1948) mostra como a Matem´tica c a ´ ”um organismo vivo, impregnado de condi¸˜o humana, com as suas for¸as e e ca c as suas fraquezas e subordinado as grandes necessidades do homem na sua luta ` pelo entendimento e pela liberta¸˜o” ao pˆr em evidˆncia como os fundamentos ca o e da Matem´tica ”mergulham tanto como os de outro qualquer ramo da Ciˆncia, a e na vida real”. Trata-se sem d´vida de um dos melhores livros de Matem´tica u a escritos em l´ ıngua portuguesa onde se pode assistir maravilhado a evolu¸˜o dos ` ca
  • 34. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 33 conceitos de n´mero, de fun¸˜o e de continuidade, atrav´s de numerosas disu ca e cuss˜es, reflex˜es, notas hist´ricas e teoremas muitas vezes com demonstra¸˜es o o o co pouco vulgares. Departamento de Educa¸˜o B´sica(1999). A Matem´tica na Educa¸˜o B´sica. Lisca a a ca a boa: ME–DEB. Esta publica¸˜o do Departamento de Educa¸˜o B´sica constitui uma imporca ca a tante fonte de informa¸˜o sobre a Matem´tica do ensino b´sico em Portugal ca a a absolutamente necess´ria para quem lecciona no ensino secund´rio. a a Figueira, M´rio R. a Matem´tica, Vol. 5, a S. (1997). Fundamentos de An´lise Infinitesimal Textos de a a ed. Lisboa: Departamento de Matem´tica, FCUL a 2¯ Este ´ um livro de texto para os estudantes da licenciatura em Matem´tica e a mas ´ de leitura acess´ a todos os que procurem uma apresenta¸˜o rigorosa dos e ıvel ca temas elementares de fun¸˜es reais de uma vari´vel real. Come¸a com um estudo co a c do conjunto dos n´mero reais a partir de uma axiom´tica (referindo-se a rela¸˜o u a ca entre Q e R assim como a representa¸˜o decimal e a representa¸˜o geom´trica ca ca e dos reais). O livro cont´m os temas cl´ssicos de fun¸˜es de uma vari´vel com e a co a uma exposi¸˜o muito clara, complementada com bastantes exemplos e exerc´ ca ıcios. Alguns temas menos habituais aparecem ao longo deste volume, como o estudo das desenvolvimentos assimpt´ticos ou a defini¸˜o das fun¸˜es trigonom´tricas a o ca co e partir da no¸˜o de comprimento de arco. ca Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999) Estat´ ıstica e Calculadoras Gr´ficas. a Grupo de trabalho T3-Portugal APM. Lisboa: APM Esta publica¸˜o cont´m actividades sobre Estat´ ca e ıstica, redigidas tendo em vista uma poss´ ıvel utiliza¸˜o na sala de aula; cont´m ainda coment´rios sobre ca e a as actividades e propostas de resolu¸˜o das mesmas. ca Grupo de trabalho T3-Portugal APM(1999). Geometria com Cabri-G´om`tre. Lise e boa:APM. Esta publica¸˜o cont´m actividades de geometria para utiliza¸˜o na sala de ca e ca aula utilizando o programa de geometria dinˆmica Cabri-G´om`tre II; essas aca e e tividades s˜o graduadas de modo que se tenha um dom´ a ınio progressivo do programa a partir dos procedimentos mais elementares. Os conceitos matem´ticos a envolvidos nas actividades incluem elementos de geometria plana, fractais, c´nicas, o transforma¸˜es geom´tricas e geometria anal´ co e ıtica. Grupo de trabalho T3-Portugal APM. (1999). Modela¸˜o no Ensino da Matem´tica ca a - Calculadora, CBL e CBR. Lisboa: APM. Esta publica¸˜o cont´m actividades de modela¸˜o matem´tica para utiliza¸˜o ca e ca a ca na sala de aula; umas actividades s˜o facilmente realizadas com a ajuda de uma a calculadora gr´fica e as outras necessitam da utiliza¸˜o de sensores para recolha de a ca dados experimentais; s˜o inclu´ a ıdos coment´rios e resolu¸˜es das actividades. Os a co conceitos matem´ticos envolvidos nas actividades incluem fun¸˜es definidas por a co ramos, regress˜o, optimiza¸˜o, fun¸˜es exponenciais e trigonom´tricas e fun¸˜o a ca co e ca
  • 35. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 34 quadr´tica. A publica¸˜o cont´m um texto introdut´rio sobre o processo de moa ca e o dela¸˜o matem´tica e a liga¸˜o entre a modela¸˜o matem´tica e a modela¸˜o no ca a ca ca a ca ensino da matem´tica; o texto situa ainda a modela¸˜o matem´tica no contexto a ca a dos actuais programas do ensino secund´rio. a Hughes-Hallett,Deborah; Gleason, Andrew M. et al. (1997) C´lculo vol. 1. Rio de a Janeiro: LTC (1997) . Este livro de texto ´ um dos mais inovadores dos ultimos anos e foi elaboe ´ rado por uma equipa de matem´ticos distintos e de educadores e professores com a larga experiˆncia. O livro apresenta os conceitos b´sicos de fun¸˜es reais de uma e a co vari´vel real tendo como orienta¸˜o dois princ´ a ca ıpios b´sicos: A Regra de Trˆs a e (Todo o assunto deve ser apresentado geom´trica, num´rica e algebricamente) e e e o Modo de Arquimedes (Defini¸˜es e procedimentos formais decorrem do estudo co de problemas pr´ticos). A apresenta¸˜o dos conceitos, os in´meros exemplos e a ca u os exerc´ ıcios de tipo muito variado fornecer˜o seguramente boas inspira¸˜es a a co qualquer professor. Junqueiro, M; Valente, S. (1998). Explora¸˜o de constru¸˜es geom´tricas dinˆmicas ca co e a Lisboa: APM Este ´ um livro que cont´m uma s´rie de materiais para a sala de aula, pree e e miados no ”IV Concurso de materiais de apoio a utiliza¸˜o e integra¸˜o das TIC ` ca ca nos ensino B´sico e Secund´rio” do Minist´rio da Educa¸˜o. Os materiais est˜o a a e ca a divididos em dois grupos: 11 para utilizar com estudantes e 4 para os professores utilizarem na sua forma¸˜o (totalmente adequados a auto-forma¸˜o). Os mateca ca riais est˜o elaboradas para serem usados com o Cabri-G´om`tre mas podem ser a e e usados com qualquer outro Ambiente Geom´trico Dinˆmico (como o Geometer’s e a Sketchpad). As actividades deste livro incluem temas como pol´ ıgonos, c´nicas, o tangentes a uma circunferˆncia, mediatriz. Uma excelente oportunidade para e come¸ar a trabalhar Geometria com um computador. c Loureiro, C. (coord.), Franco de Oliveira, A., Ralha, E. e Bastos, R. (1997). Geomeo tria: Matem´tica – 10¯ ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES. a Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar a o Ajustamento dos Programas de Matem´tica (1997), contˆm numerosas suga e est˜es relevantes para o programa de Matem´tica A, pelo que ´ de consulta ino a e dispens´vel. a Martins, M. E. G. (coord.), Monteiro, C., Viana, J. P. e Turkman, M. A. (1997). o Estat´ ıstica: Matem´tica – 10¯ ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES. a Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar a o Ajustamento dos Programas de Matem´tica (1997), contˆm numerosas suga e est˜es relevantes para o programa de Matem´tica A, pelo que ´ de consulta ino a e dispens´vel. a Moore, David(1966). Introduction to the Practice of Statistics. New York: Freeman Livro recomendado pela Sociedade Portuguesa de Estat´ ıstica para apoio aos professores de Matem´tica do Ensino Secund´rio a a
  • 36. Departamento do Ensino Secund´rio a 35 Matem´tica A a Moore, David(2000). Statistics, The Science of Data For all Practical Purposes: Mathematical Literacy in Todays World, Part II, 5th ed. New York: Freeman. Livro recomendado pela Sociedade Portuguesa de Estat´ ıstica para apoio aos professores de Matem´tica do Ensino Secund´rio a a Moore, David(1966). The Basic Practice of Statistics. New York: Freeman Livro recomendado pela Sociedade Portuguesa de Estat´ ıstica para apoio aos professores de Matem´tica do Ensino Secund´rio a a Oliveira, P. (2000). Brev´ ıssima Hist´ria dos N´meros Complexos. o u Matem´tica - Cadernos do GTHEM - 2 APM. Lisboa: APM. a Hist´ria da o A hist´ria dos complexos ´ uma referˆncia obrigat´ria para a leco e e o ciona¸˜o do tema. ca Ponte, J. P.(coord.), Boavida, A. M., Gra¸a, M. e Abrantes, P. (1997) Did´ctica: c a Matem´tica – ensino secund´rio. Lisboa: ME – DES. a a Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar a o Ajustamento dos Programas de Matem´tica (1997), contˆm numerosas suga e est˜es relevantes para o programa de Matem´tica A, pelo que ´ de consulta ino a e dispens´vel. a Ponte, J.P.; Canavarro, A. P. (1997). Matem´tica e Novas Tecnologias (Universidade a Aberta, Vol 128). Lisboa: UA. Este livro fornece uma excelente panorˆmica da utiliza¸˜o das novas tecnoloa ca ´ gias na Matem´tica e na aula de Matem´tica. E apresentada uma perspectiva a a hist´rica da utiliza¸˜o das tecnologias na matem´tica sendo discutidos bastantes o ca a exemplos em v´rias areas curriculares (n´meros, fun¸˜es, geometria, estat´ a ´ u co ıstica e probabilidades) e analisados com algum detalhe v´rios tipos de programas de a computador (jogos, folhas de c´lculo, linguagem LOGO, programas de geometria a ´ dinˆmica). E certamente uma obra de muito interesse para qualquer professor de a Matem´tica pela ampla perspectiva que oferece. a Ponte, J. P.(coord.), Brunheiro, L., Abrantes, P. e Bastos, R. (1998) Projectos Educativos: Matem´tica – ensino secund´rio. Lisboa: ME – DES. a a Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar a o Ajustamento dos Programas de Matem´tica (1997), contˆm numerosas suga e est˜es relevantes para o programa de Matem´tica B, pelo que ´ de consulta ino a e dispens´vel. a Sebasti˜o e Silva, J.(1975-78). Compˆndio de Matem´tica (5 vols) Lisboa: MEC – a e a GEP. Os Compˆndios de Matem´tica de Sebasti˜o e Silva s˜o referˆncias obrie a a a e gat´rias e constituem um bom recurso para estudar qualquer dos assuntos que o s˜o abordados no ensino secund´rio. a a
  • 37. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 36 Sebasti˜o e Silva, J.(1975–77). Guia para a utiliza¸˜o do Compˆndio de Matem´tica a ca e a (3 vols). Lisboa: MEC – GEP. Estes livros s˜o o ponto de referˆncia de muitos aspectos deste programa a e e constituem material base indispens´vel para o trabalho dos professores. As a ”Normas Gerais” contidas no 1o volume do Guia devem ser objecto de reflex˜o por a ¯ parte dos professores. Na primeira dessas Normas pode ler-se: ”A moderniza¸˜o ca do ensino da Matem´tica ter´ de ser feita n˜o s´ quanto a programas, mas tamb´m a a a o e quanto a m´todos de ensino. O professor deve abandonar, tanto quanto poss´ e ıvel, o m´todo expositivo tradicional, em que o papel dos estudantes ´ quase cem por e e cento passivo, e procurar, pelo contr´rio, seguir o m´todo activo, estabelecendo a e di´logo com os estudantes e estimulando a imagina¸˜o destes, de modo a conduzia ca los, sempre que poss´ ıvel, a redescoberta”. ` Stewart, Ian (1996). Os Problemas da Matem´tica. Ciˆncia Aberta, Vol. 72, 2a ed. a e ¯ Lisboa: Gradiva O que ´ a Matem´tica? Segundo Ian Stewart a Matem´tica ´ sobre ideias e a a e n˜o sobre s´ a ımbolos e contas que s˜o apenas ferramentas do of´ a ıcio. O objectivo da matem´tica ´ perceber como diferentes ideias se relacionam entre si, pondo a e de lado o acess´rio e penetrando no amago do problema. A Matem´tica n˜o o ˆ a a se preocupa apenas com a obten¸˜o da resposta certa, mas sobretudo com o ca perceber de como uma resposta ´ de todo poss´ e ıvel e porque tem determinada forma. Ainda segundo Ian Stewart h´, pelo menos, cinco fontes distintas de ideias a matem´ticas: n´mero, ordena¸˜o, forma, movimento e acaso. Os problemas s˜o a u ca a a for¸a motriz da Matem´tica, sendo os exemplos outra fonte importante de c a inspira¸˜o da Matem´tica, conforme assinala o mesmo autor. ca a Struik, D. Hist´ria Concisa das Matem´ticas. Lisboa: Gradiva. o a Este livro ´ uma referˆncia cl´ssica na Hist´ria da Matem´tica, recomendandoe e a o a se a segunda edi¸˜o por conter um anexo relativo a Hist´ria da Matem´tia em ca ` o a Portugal. Teixeira, P. (coord.), Precatado, A., Albuquerque, C., Antunes, C. e N´poles, S. a o (1997). Fun¸˜es: Matem´tica – 10¯ ano de escolaridade. Lisboa: ME – DES. co a Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secund´rio para apoiar a o Ajustamento dos Programas de Matem´tica (1997), contˆm numerosas suga e est˜es relevantes para o programa de Matem´tica A, pelo que ´ de consulta ino a e dispens´vel. a Valadares, J.; Gra¸a, M. (1998) Avaliando ... para melhorar a aprendizagem Lisboa: c Pl´tano. a Este livro, de muito interesse para qualquer professor de Matem´tica, analisa a diversos aspectos te´ricos e pr´ticos da avalia¸˜o, sem esquecer uma perspectiva o a ca hist´rica. Cont´m numerosos exemplos de constru¸˜o de variados tipos de itens o e ca de avalia¸˜o (e n˜o s´ para a Matem´tica). Analisa com bastante pormenor as ca a o a diferentes fases do processo de avalia¸˜o e as caracter´ ca ısticas fundamentais dos instrumentos de avalia¸˜o (como a validade e a fidelidade). ca
  • 38. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a 37 Veloso, Eduardo(1998). Geometria - Temas actuais – Materiais para professores Col. ”Desenvolvimento curricular no Ensino Secund´rio”, vol. 11. Lisboa: Instituto a de Inova¸˜o Educacional ca Este texto ´ uma ferramenta indispens´vel para qualquer pessoa que queira e a ´ ensinar seriamente Geometria em Portugal. E uma obra que cobre in´meros u temas de Geometria elementar (e menos elementar) e cont´m um manancial de e sugest˜es de trabalho para abordar os diferentes aspectos da Geometria. S˜o de o a salientar os muitos exemplos de Hist´ria da Matem´tica que ajudam a perceber o a a importˆncia que a Geometria desempenhou na evolu¸˜o da Matem´tica, ao a ca a mesmo tempo que fornecem excelentes exemplos para uso na sala de aula ou como proposta de trabalho para clubes de matem´tica ou ainda para estudantes a ´ mais interessados. E altamente recomend´vel a leitura do cap´ a ıtulo I que foca a evolu¸˜o do ensino da geometria em Portugal e no resto do mundo e ajuda ca a perceber a origem das dificuldades actuais com o ensino da Geometria. A tecnologia ´ usada de forma ”natural” para ”resolver - ou suplementar a resolu¸˜o e ca - de problemas, proceder a investiga¸˜es, verificar conjecturas, etc.” Este livro tem co j´ um ”prolongamento” na Internet no endere¸o a c http://www.iie.min-edu.pt/iie/edicoes/livros/cdces/cdces11/index.html . Vieira, A,; Veloso, E.; Lagarto, M. J. (org.).(1997) Relevˆncia da Hist´ria no Ensino a o da Matem´tica. Hist´ria da Matem´tica - Cadernos do GTHEM - 1 APM. Lisboa: a o a APM. Este livro cont´m a tradu¸˜o de trˆs textos essenciais para quem queira ree ca e flectir nas vantagens de uso da Hist´ria da Matem´tica na sala de aula: ”Porquˆ o a e estudar Hist´ria da Matem´tica” de Dirk Struik, ”A utiliza¸˜o da Hist´ria em o a ca o Educa¸˜o Matem´tica” de John Fauvel e ”Quer dar significado ao que ensina? ca a Tente a Hist´ria da Matem´tica” de Frank Swetz. o a CD-ROM Fiolhais, C; Paiva, J. (coord).(1998).CD-ROM – Omniciˆncia 98 Coimbra: Softe Ciˆncias. e Este CD cont´m dois programas de Matem´tica (relacionados com trigonomee a tria e fractais), v´rios programas de F´ a ısica com interesse para a Matem´tica (como a o programa Kepler que simula o movimento de estrelas e planetas) e v´rios textos a relacionados com a Hist´ria da Matem´tica. o a Teodoro, V. et al. CD-ROM – Software Educativo para F´ ısica e Matem´tica Lisboa: a DEP-GEF/ME. Este CD cont´m 10 programas para ambiente ”Windows”, quase todos com e muita relevˆncia para o ensino da matem´tica no secund´rio. Destacamos um a a a programa de Estat´ ıstica, um de Geometria Descritiva (o GD) que, com uma linguagem simples, permite construir s´lidos e rod´-los no espa¸o, o programa o a c Thales e v´rios programas com interesse para o estudo das fun¸˜es (envolvendo a co situa¸˜es de modela¸˜o com fun¸˜es). co ca co
  • 39. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a P´ginas na INTERNET a Associa¸˜o de Professores de Matem´tica ca a http://www.apm.pt/ Esta p´gina cont´m a indica¸˜o dos projectos que APM desenvolve e liga¸˜es a e ca co para outras p´ginas de interesse. a Departamento do Ensino Secund´rio – Matem´tica no Secund´rio a a a http://www.mat-no-sec.org O Departamento do Ensino Secund´rio do Minist´rio da Educa¸˜o ao criar a e ca este espa¸o, pretende dar uma ajuda a todos os professores na recolha de inc forma¸˜es uteis ` sua pr´tica pedag´gica, contribuindo para a sua auto-forma¸˜o co ´ a a o ca e actualiza¸˜o. Nesta p´gina poder´ encontrar os Programas de Matem´tica do ca a a a Ensino Secund´rio (Programa Ajustado), as Brochuras de apoio a concretiza¸˜o a ` ca das orienta¸˜es curriculares, o InforMat, boletim de informa¸˜o, divulga¸˜o e co ca ca debate do ensino da Matem´tica, apresenta¸˜o de actividades a desenvolver na a ca sala de aula e de actividades interactivas prontas a serem utilizadas, os endere¸os c de p´ginas da Internet com informa¸˜es uteis sobre a Matem´tica e a Educa¸˜o a co ´ a ca Matem´tica e destaques com not´ a ıcias e informa¸˜es uteis co ´ Miguel de Guzm´n Oz´miz a a http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/ guzman.htm Esta p´gina ´ um manancial inesgot´vel de informa¸˜o relacionada com a a e a ca Matem´tica o seu ensino e a sua hist´ria. Salientamos o curso ”Laborat´rio a o o de Matem´tica”, as actividades de Geometria com o DERIVE e os textos de a divulga¸˜o da Matem´tica. ca a Mocho e Mocho S´bio a Centro de Competˆncia N´nio s´culo XXI ”Softciˆncias” e o e e http://softciencias.ccg.pt/mocho/ Esta p´gina cont´m um ´ a e ındice de p´ginas sobre Matem´tica em l´ a a ıngua portuguesa; o Mocho S´bio cont´m p´ginas especialmente recomendadas pela sua a e a qualidade cient´ ıfica e pedag´gica. o Modellus web page V´ ıtor Teodoro (SCT da Educa¸˜o e da Forma¸˜o, FCT, UNL) ca ca http://phoenix.sce.fct.unl.pt/modellus/ Esta p´gina cont´m a ultima vers˜o do programa Modellus para transferˆncia a e ´ a e gratuita. Cont´m ainda manuais e ficheiros de actividades que fazem com que e este programa seja incontorn´vel no ensino da matem´tica do secund´rio. a a a 38
  • 40. Departamento do Ensino Secund´rio a Matem´tica A a Projecto ALEA Instituto Nacional de Estat´ ıstica e Escola Secund´ria Tomaz Pelayo a http://alea-estp.ine.pt/ Esta p´gina cont´m documentos destinados a apoiar o ensino da Estat´ a e ıstica a n´ do ensino secund´rio. Al´m de uma s´rie de p´ginas com esclarecimentos ıvel a e e a sobre temas cient´ ıficos, tem p´ginas com temas de actualidade relacionados com a a Estat´ ıstica, jogos did´cticos, um forum de discuss˜o e uma Galeria Virtual com a a trabalhos de escolas. Reajustamento do Programa de Matem´tica a http://www.terravista.pt/AguaAlto/5783 Esta p´gina da Internet ir´ contendo indica¸˜es de apoio a este programa, a a co como materiais de apoio e listas de endere¸os com interesse para professores e c estudantes. Sociedade Portuguesa de Matem´tica a http://www.spm.pt/˜spm Esta p´gina cont´m a indica¸˜o dos projectos que SPM desenvolve e liga¸˜es a e ca co para outras p´ginas de interesse. a 39

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