Equações do 1º grau a 2 incógnitas
Sistemas de equações

Prof. Sandra Coelho
2007/08
Noção de solução…
Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?
Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.
...
Solução de um sistema…
O processo é igual ao anterior porém o par tem
.de verificar as duas equações
x + 2y = 5
Será que ...
Resolução de sistemas - Método da substituição
1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.
Exemplo:
y + 2x

3( y − x...
E agora? Qual o processo que devo adoptar?
Não há regras estanques para resolver sistemas,
no entanto, há técnicas que aju...
Método da substituição em 6 passos (1+5)
Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução.
Para iss...
Classificação de sistemas
Determinado

Possível

(Tem uma só solução)

(Tem pelo menos uma solução)

Indeterminado
(Tem um...
Resolução de sistemas – Método Gráfico

y = x − 4
Resolve graficamente o sistema: 
x + 2y = 7
Resolve cada uma das equa...
Resolução de sistemas – Método Gráfico
Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:
x

y=x-4

1

2 – 4 = -2

...
Resumindo…

O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.

Exercício:

Propõe representações gráficas que ilus...
Exemplos…
y

Determinado

Possível

(Tem uma só solução)

y

(Tem pelo menos uma solução)

Indeterminado
(Tem uma infinida...
Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − 4 = y
⇔

x − 2y = 2


Exemplo:
x

y=x-4

1

2 – 4 = -2

y

1 – 4 = -3

2

y...
Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − y = 1
⇔

y = −2 x


Exemplo:
x

1–1=0

2

2–1=1

x

y = -2x

y

y=x–1

1

 ...
Resolução de sistemas–Método de Substituição

x − ( −2x ) = 1
x + 2x = 1

⇔
⇔

 ___________
 ________
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x ...
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Sistemas de equações

  1. 1. Equações do 1º grau a 2 incógnitas Sistemas de equações Prof. Sandra Coelho 2007/08
  2. 2. Noção de solução… Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ? Um par ordenado é dito solução se verificar a equação. 2 ×1 + 2 = 4 ⇔ 2+2 = 4 ⇔ 4 = 4 Verdadeiro Logo o par (1,2) é solução da equação
  3. 3. Solução de um sistema… O processo é igual ao anterior porém o par tem .de verificar as duas equações x + 2y = 5 Será que (1,2) é solução do sistema  2x − y = 0 1 + 2 × 2 = 5 ⇔  2 × 1 − 2 = 0 5 = 5  0 = 0 Verdadeiro Logo o par (1,2) é solução do sistema
  4. 4. Resolução de sistemas - Método da substituição 1º passo – Escrever o sistema na forma canónica. Exemplo: y + 2x  3( y − x ) − =1   2  x − y = 1 − x 3 2 3  O que é que podemos fazer? Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas em simultâneo. y + 2x  y + 2x 3( y − x ) − =1   =1 6y − 6x − y − 2x = 2  3y − 3x − 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2  2x − 3y + 6x = 2 x − y = 1 − x 2x − 3y = 2 − 6x  3 2 3  −8x + 5y = 2  8x − 3y = 2
  5. 5. E agora? Qual o processo que devo adoptar? Não há regras estanques para resolver sistemas, no entanto, há técnicas que ajudam a manter o raciocínio alerta e orientam a resolução do problema. 1º passo – incógnita. Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa 2º passo – Substituir o valor dessa incógnita na outra equação. 3º passo – Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita. (se possível) 4º passo – Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação. 5º passo – Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.
  6. 6. Método da substituição em 6 passos (1+5) Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução. Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado. Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica: y + 2x  y + 2x 3( y − x ) − =1   =1 6y − 6x − y − 2x = 2 −8x + 5y = 2  3y − 3x − 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2  x y 1 2x − 3y + 6x = 2 8x − 3y = 2  − = −x 2x − 3y = 2 − 6x  3 2 3    2 + 3y −8   −8x + 5y = 2  _________  8 ⇔ ⇔   8x − 3y = 2 8x = 2 + 3y x = 2 + 3y  8   −16 − 24y + 40y = 16 ⇔ ⇔  _______________   −16 − 24y ÷ + 5y = 2 + 5y = 2   ⇔ 8  _______________  y = 2 16y = 16 + 16 y = 2  ⇔ ⇔  2 + 3× 2 ___________ x =  x = 1  8  C .S . = { ( 1, 2 ) }
  7. 7. Classificação de sistemas Determinado Possível (Tem uma só solução) (Tem pelo menos uma solução) Indeterminado (Tem uma infinidade de soluções) Impossível (Não tem solução)
  8. 8. Resolução de sistemas – Método Gráfico y = x − 4 Resolve graficamente o sistema:  x + 2y = 7 Resolve cada uma das equações em ordem a y: y  x y = x − 4 =x −4 y = x − 4  ⇔ ⇔ 7−x + 2y = 7 2y = 7 − x  y = 2 
  9. 9. Resolução de sistemas – Método Gráfico Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações: x y=x-4 1 2 – 4 = -2 y 1 – 4 = -3 2 y = x − 4   7−x y =  2  x 7−x y = 2 1 3 3 2 (5;1) SOLUÇÃO x
  10. 10. Resumindo… O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema. Exercício: Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses das classificações de sistemas.
  11. 11. Exemplos… y Determinado Possível (Tem uma só solução) y (Tem pelo menos uma solução) Indeterminado (Tem uma infinidade de soluções) y Impossível (Não tem solução) x x x
  12. 12. Resolução de sistemas – Método Gráfico x − 4 = y ⇔  x − 2y = 2  Exemplo: x y=x-4 1 2 – 4 = -2 y 1 – 4 = -3 2 y = x − 4 y = x − 4 y = x − 4   ⇔  2−x ⇔  2−x −2y = 2 − x y = −2 y = − 2   x y =− 2−x 2 2 0 4 1 (6;2) SOLUÇÃO x
  13. 13. Resolução de sistemas – Método Gráfico x − y = 1 ⇔  y = −2 x  Exemplo: x 1–1=0 2 2–1=1 x y = -2x y y=x–1 1  −y = − x + 1 y = x − 1 ⇔  y = −2x  y = − 2x 1 -2 2 -.4 (?;?) Para ter a certeza da solução – Método da Substituição x SOLUÇÃO
  14. 14. Resolução de sistemas–Método de Substituição x − ( −2x ) = 1 x + 2x = 1  ⇔ ⇔   ___________  ________  1 1   x = 3 x = 3  1 2     ⇔ ⇔ C .S . =  ; − ÷  3 3   y = −2 × 1 y = − 2   3 3   x − y = 1 ⇔  y = −2x 3x = 1   _____
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