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Apostila de português e matemática - Concurso Petrobras

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Apostila preparatória para concurso da Petrobras de Português e Matemática

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  • 1. APOSTILA CONCURSO CARGO: TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR Português - Matemática Direitos Reservados CENTER7 - ELABORAÇÃO DE APOSTILAS Material Exclusivo.
  • 2. INDÍCE PORTUGUÊS Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos................................................................ 03 Tipologia Textual....................................................................................................................... 11 Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo.......................................................................................14 Significação Literal e Contextual de Vocábulos.........................................................................17 Processos Coesivos de Referência..............................................................................................20 Coordenação e Subordinação......................................................................................................21 Emprego, Estrutura, Formação e Representação de Palavras.................................................... 27 Ortografia Oficial........................................................................................................................33 Pontuação.................................................................................................................................. .41 Concordância..............................................................................................................................48 Regência.................................................................................................................................... 60 Crase ..........................................................................................................................................72 Significação das palavras (Semântica).......................................................................................80 Colocação pronominal................................................................................................................81 MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos................................................................................................................79 Sistema Legal de Medidas........................................................................................................ 92 Razões e Proporções..................................................................................................................96 Equações e Inequações do 1º e de 2 º Graus............................................................................121 Sistemas Lineares.....................................................................................................................146 Funções e Gráficos................................................................................................................... 113 Noções de Estatística...............................................................................................................154 Progressões Aritméticas e Geométricas................................................................................. ..157 Matemática Financeira.............................................................................................................171 Princípios de Contagem e Probabilidade.................................................................................174 Geometria Plana.......................................................................................................................179 Geometria Espacial..................................................................................................................203 Álgebra e Trigonometria Básicos.............................................................................................247 ATENÇÃO: A comercialização desta apostila é exclusiva de CENTER7 APOSTILAS, caso você a tenha comprado através de outro vendedor, favor envie um e-mail para center7@gmail.com com uma denúncia. Esta medida visa coibir o plágio e dar início às medidas cabíveis contra a pirataria. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 2
  • 3. Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos As questões de interpretação de textos vêm ganhando espaço nos concursos públicos. Também é a partir de textos que as questões normalmente cobram a aplicação das regras gramaticais nos grandes concursos de hoje. Por isso, é cada vez mais importante observar os comandos das questões. Normalmente o candidato é convidado a: • idenficar: Reconhecer elementos fundamentais apresentados no texto. • comparar: Descobrir as relações de semelhanças ou de diferenças entre situações apresentadas no texto. • comentar: Relacionar o conteúdo apresentado com uma realidade, opinando a respeito. • resumir: Concentrar as idéias centrais em um só parágrafo. • parafrasear: Reescrever o texto com outras palavras. • continuar: Dar continuidade ao texto apresentado, mantendo a mesma linha temática. Por isso, consideramos que são condições básicas para o candidato interpretar textos: o conhecimento histórico (aí incluída a prática da leitura), o conhecimento gramatical e semântico (significado das palavras, aí incluídos homônimos, parônimos, sinônimos, denotação, conotação), e a capacidade de observação, de síntese e de raciocínio. Roteiro para interpretar textos: . 1. Ler atentamente todo o texto, procurando focalizar sua idéia central. 2. Interpretar as palavras desconhecidas através do contexto. 3. Reconhecer os argumentos que dão sustentação à idéia central. 4. Identificar as objeções à idéia central; 5. Sublinhar os exemplos que forem empregados como ilustração da idéia central. 6. Antes de responder às questões, ler mais de uma vez todo o texto, fazendo o mesmo com o enunciado de cada questão. 7. Evite responder “de cabeça”. Procure localizar a resposta no texto. 8. Se preferir, faça anotações à margem ou esquematize o texto. 9. Se o comando pede a idéia principal ou tema, normalmente deve situar-se no primeiro parágrafo (introdução) ou no último (conclusão). 10. Se o comando busca argumentação, deve localizar-se os parágrafos intermediários (desenvolvimento). Erros comuns de interpretação: EXTRAPOLAÇÃO (viagem): • Ocorre quando o candidato sai do contexto, acrescentando idéias que não estão no texto, normalmente porque já conhecia o tema por uso de sua imaginação criativa. • Portanto, é proibido viajar. REDUÇÃO: • É o oposto da extrapolação. • Dá-se atenção apenas a um ou outro aspecto, esquecendo-se de que o texto é um conjunto de idéias. CONTRADIÇÃO: • É comum as alternativas apresentarem idéias contrárias às do texto, fazendo o candidato chegar a conclusões equivocadas, de modo a errar a questão. • Portanto, internalize as idéias do autor e ponhase no lugar dele. • Só contradiga o autor se isso for solicitado no comando da questão. Exemplo: “Indique a alternativa que apresenta idéia contrária à do texto”. INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS A Interpretação de Textos e os Modernos Vestibulares Interpretar exige raciocínio, discernimento e compreensão do mundo. A interpretação de textos é de fundamental importância para o vestibulando. Você já se perguntou por quê? Há alguns anos, as provas de Português, nos principais vestibulares do país, traziam uma frase, e dela faziam-se as questões. Eram enunciados soltos, sem conexão, tão ridículos que lembravam muito aquelas frases das antigas cartilhas: "Ivo viu a uva". Os tempos são outros, e, dentro das modernas tendências do ensino de línguas, fica cada vez mais claro que o objetivo de ensinar as regras da gramática normativa é simplesmente o texto. Aprendem-se as regras do português culto, erudito, a fim de melhorar a qualidade do texto, seja oral, seja escrito. Nesse sentido, todas as questões são extraídas de textos, escolhidos criteriosamente pelas bancas, em
  • 4. função da mensagem/conteúdo, em função da estrutura gramatical. Ocorrem casos de provas contextualizadas, em que todos os textos abordam o mesmo assunto, ou seja, provas monotemáticas - exemplo adotado pela PUC/RS. Por sua vez, a Unisinos prefere o tema único nas 50 questões de humanas (Português, Língua Estrangeira, Geografia e História ). Dessa maneira, fica clara a importância do texto como objetivo último do aprendizado de língua. três textos desse gênero. Geralmente um deles tratará de política; outro, de economia; um outro, de temas internacionais. A diferença em relação ao artigo é que o autor, o editorialista, não expressa sua opinião, apenas serve de intermediário para revelar o ponto de vista da instituição, da empresa, do órgão de comunicação. Muitas vezes, esses editoriais são produzidos por mais de um profissional. O editorialista é, quase sempre, antigo na casa e, obviamente, da confiança do dono da empresa de comunicação. Os temas, por evidente, são a pauta do momento, os assuntos da semana. Quais são os textos escolhidos? Textos retirados de revistas e de jornais de circulação nacional têm a preferência. Portanto, o romance, a poesia e o conto são quase que exclusividade das provas de Literatura (que também trabalham interpretação, por evidente). Assim, seria interessante observar as características fundamentais desses produtos da imprensa. Os Artigos São os preferidos das bancas. Esses textos autorais trazem identificado o autor. Essas opiniões são de expressa responsabilidade de quem as escreveu chamado aqui de articulista - e tratam de assunto da realidade objetiva, pautada pela imprensa. Vejamos um exemplo: um dado conflito eclode em algum ponto do planeta (a todo o instante surge algum), e o professor Décio Freitas, historiador, abordará, em seu artigo em ZH, os aspectos históricos do embate. Portanto, os temas são, quase sempre, bem atuais. Trata-se, em verdade, de texto argumentativo, no qual o autor/emissor terá como objetivo convencer o leitor/receptor. Nessa medida, é idêntico à redação escolar, tendo a mesma estrutura: introdução, desenvolvimento e conclusão. Exemplo de Artigo “Os nomes de quase todas as cidades que chegam ao fim deste milênio como centros culturais importantes seriam familiares às pessoas que viveram durante o final do século passado. O peso relativo de cada uma delas pode ter variado, mas as metrópoles que contam ainda são basicamente as mesmas: Paris, Nova Iorque, Berlim, Roma, Madri, São Petesburgo.” (Nelson Archer - caderno Cidades, Folha de S. Paulo, 02/05/99) Os Editoriais Novamente, são opinativos, argumentativos e possuem aquela mesma estrutura. Todos os jornais e revistas têm esses editoriais. Os principais diários do país produzem As Notícias Aqui temos outro gênero, bem diverso. As notícias são autorais, isto é, produzidas por um jornalista claramente identificado na matéria. Possuem uma estrutura bem fechada, na qual, no primeiro parágrafo (também chamado de lide), o autor deve responder às cinco perguntinhas básicas do jornalismo: Quem? Quando? Onde? Como? E por quê? Essa maneira de fazer texto atende a uma regra do jornalismo moderno: facilitar a leitura. Se o leitor/receptor desejar mais informações sobre a notícia, que vá adiante no texto. Fato é que, lendo apenas o parágrafo inicial, terá as informações básicas do assunto. A grande diferença em relação ao artigo e ao editorial está no objetivo. O autor quer apenas "passar" a informação, quer dizer, não busca convencer o leitor/receptor de nada. É aquele texto que os jornalistas chamam de objetivo ou isento, despido de subjetividade e de intencionalidade. Exemplo de Notícia “O juiz aposentado Nicolau dos Santos Neto, ex-presidente do Tribunal Regional do Trabalho de São Paulo, negou-se a responder ontem à CPI do judiciário todas as perguntas sobre sua evolução patrimonial. Ele invocou a Constituição para permanecer calado sempre que era questionado sobre seus bens ou sobre contas no exterior.” (Folha de S. Paulo, 05/05/99) As Crônicas Estamos diante da Literatura. Os cronistas não possuem compromisso com a realidade objetiva. Eles retratam a realidade subjetiva. Dessa maneira, Rubem Braga, cronista, jornalista, produziu, por exemplo, um texto abordando a flor que nasceu no seu jardim. Não importa o mundo com suas tragédias constantes, mas sim o universo interior do cronista, que nada mais é do que um fotógrafo de sua cidade. É interessante verificar que essas características fundamentais da crônica vão desaparecendo com o tempo. Não há, por CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 4
  • 5. exemplo, um cronista de Porto Alegre (talvez o último deles tenha sido Sérgio da Costa Franco). Se observarmos o jornal Folha de S. Paulo, teremos, junto aos editoriais e a dois artigos sobre política ou economia, uma crônica de Carlos Heitor Cony, descolada da realidade, se assim lhe aprouver (Cony, muitas vezes, produz artigos, discutindo algo da realidade objetiva). O jornal busca, dessa maneira, arejar essa página tão sisuda. A crônica é isso: uma janela aberta ao mar. Vale lembrar que o jornalismo, ao seu início, era confundido com Literatura. Um texto sobre um assassinato, por exemplo, poderia começar assim: " Chovia muito, e raios luminosos atiravam-se à terra. Num desses clarões, uma faca surge das trevas..." Dá-se o nome de nariz de cera a essas matérias empoladas, muito comuns nos tempos heróicos do jornalismo. Sobre a crônica, há alguns dados interessantes. Considerada por muito tempo como gênero menor da Literatura, nunca teve status ou maiores reconhecimentos por parte da crítica. Muitos autores famosos, romancistas, contistas ou poetas, produziram excelentes crônicas, mas não são conhecidos por isso. Carlos Drummond de Andrade é um belo exemplo. Pela grandeza de sua poesia, o grande cronista do cotidiano do Rio de Janeiro foi abafado. O mesmo pode-se falar de Olavo Bilac, que, no início do século passado, passou a produzir crônicas num jornal carioca, em substituição a outro grande escritor, Machado de Assis. Essa divisão dos textos da imprensa é didática e objetiva esclarecer um pouco mais o vestibulando. No entanto, é importante assinalar que os autores modernos fundem essa divisão, fazendo um trabalho misto. É o caso de Luis Fernando Veríssimo, que ora trabalha uma crônica, com os personagens conversando em um bar, terminando por um artigo, no qual faz críticas ao poder central, por exemplo. Martha Medeiros, por seu turno, produz, muitas vezes, um artigo, revelando a alma feminina. Em outros momentos, faz uma crônica sobre o quotidiano. Exemplo de Crônica “Quando Rubem Braga não tinha assunto, ele abria a janela e encontrava um. Quando não encontrava, dava no mesmo, ele abria a janela, olhava o mundo e comunicava que não havia assunto. Fazia isso com tanto engenho e arte que também dava no mesmo: a crônica estava feita. Não tenho nem o engenho nem a arte de Rubem, mas tenho a varanda aberta sobre a Lagoa - posso não ver melhor, mas vejo mais. Otto Maria Carpeaux não gostava do gênero "crônica", nem adiantava argumentar contra, dizer, por exemplo, que os cronistas, uns pelos outros, escreviam bem. Carpeaux lembrava então que escrever é verbo transitivo, pede objeto direto: escrever o quê? Maldade do Carpeaux. (...) Nelson Rodrigues não tinha problemas. Quando não havia assunto, ele inventava. Uma tarde, estacionei ilegalmente o SincaChambord na calçada do jornal. Ele estava com o papel na máquina e provisoriamente sem assunto. Inventou que eu descia de um reluzente Rolls Royce com uma loura suspeita, mas equivalente à suntuosidade do carro. Um guarda nos deteve, eu tentei subornar a autoridade com dinheiro, o guarda não aceitou o dinheiro, preferiu a loura. Eu fiquei sem a multa e sem a mulher. Nelson não ficou sem assunto.” A interpretação serve para Química! Responda rápido a uma pergunta: O que há em comum entre os vestibulandos aprovados nos primeiros lugares? Será que possuem semelhanças? Sim, de fato, o que os identifica é a leitura e a curiosidade pelo mundo que os cerca. Eles lêem bastante, e lêem de tudo um pouco. As instituições de ensino superior não querem mais aquele aluno que decora regrinhas. Elas buscam o cidadão que possui leitura e conhecimento de mundo. Nesse aspecto, as questões, inclusive das provas de exatas, muitas vezes pedem criticidade e compreensão de enunciados. Quantas vezes você, caro vestibulando, não errou uma questão de Física ou de Biologia por não entender o que foi pedido. Pois estamos falando de interpretação de textos. A leitura e a interpretação tornam-se, dessa maneira, exigência de todas as disciplinas. E não pense que essa capacidade crítica de entender o texto escrito (e até falado) é exclusividade do vestibular. Quando você for buscar uma vaga no mercado de trabalho, a criticidade, a capacidade de comunicação e de compreensão do mundo serão atributos importantes nessa concorrência. Lembre-se disso na hora de planejar os estudos para os próximos vestibulares. Instruções Gerais Em primeiro lugar, você deve ter em mente que interpretação de textos em testes de múltipla escolha pressupõe armadilhas da banca. Isso significa dizer que as questões são montadas de modo a induzir o incauto e sofrido vestibulando ao erro. Nesse sentido, é importante observar os comandos da questão (de acordo com o texto, conforme o texto, segundo o autor...). Se forem esses os comandos, você deve-se limitar à realidade do texto. Muitas vezes, as alternativas extrapolam as verdades do texto; ou ainda diminuem essas mesmas verdades; ou fazem afirmações que nem de longe estão no texto. Exemplo de Editorial UFRGS - 1998 Em 1952, inspirado nas descrições do viajante Hans Staden, o alemão De Bry desenhou as cerimônias de canibalismo de índios brasileiros. São documentos de alto valor histórico (...) Porém não podem ser vistos como retratos exatos: o artista, sob influência do Renascimento, mitigou a violência antropofágica com imagens idealizadas de índios, que ganharam traços e corpos esbeltos de europeus. As índias ficaram rechonchudas como as divas sensuais do pintor holandês Rubens. No século XX, o pintor brasileiro Portinari trabalhou o mesmo tema. Utilizando formas densas, rudes e nada CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 5 center7@gmail.com
  • 6. idealizadas, Portinari evitou o ângulo do colonizador e procurou não fazer julgamentos. A Antropologia persegue a mesma coisa: investigar, descrever e interpretar as culturas em toda a sua diversidade desconcertante. Assim, ela é capaz de revelar que o canibalismo é uma experiência simbólica e transcendental - jamais alimentar. Até os anos 50, waris e kaxinawás comiam pedaços dos corpos dos seus mortos. Ainda hoje, os ianomâmis misturam as cinzas dos amigos no purê de banana. Ao observar esses rituais, a Antropologia aprendeu que, na antropogafia que chegou ao século XX, o que há é um ato amoroso e religioso, destinado a ajudar a alma do morto a alcançar o céu. A SUPER, ao contar toda a história a você, pretende superar os olhares preconceituosos, ampliar o conhecimento que os brasileiros têm do Brasil e estimular o respeito às culturas indígenas. Você vai ver que o canibalismo, para os índios, é tão digno quanto a eucaristia para os católicos. É sagrado. (adaptado de: Superinteressante, agosto, 1997, p.4) Questão 15 da prova de 98 Considere as seguintes informações sobre o texto: I - Segundo o próprio autor do texto, a revista tem como único objetivo tornar o leitor mais informado acerca da história dos índios brasileiros. II - Este texto introduz um artigo jornalístico sobre o canibalismo entre índios brasileiros. III - Um dos principais assuntos do texto é a história da arte no Brasil. Quais são corretas? a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Apenas I e III e) Apenas II e III Resposta correta: B Comentários: A afirmação I usa a palavra único, o vestibulando deve cuidar muito com essa palavrinha, geralmente ela traz uma armadilha. A afirmação reduz o texto, que vai bem além de ter como único objetivo informar sobre a história dos índios. Aliás, não é a história dos índios, mas sim da antropofagia deles. A afirmação III está erradíssima, pois a história da arte está longe de ser um dos assuntos principais do texto. Essas afirmações da banca merecem algumas observações. Em primeiro lugar, a afirmação I diz: "Segundo o próprio autor do texto". Mas quem é esse autor, tendo em vista que se trata de editorial? Não há um autor expresso. A afirmação II, considerada como certa, traz uma imprecisão. O texto não introduz um artigo jornalístico. Como vimos, artigo é bem diferente. O editorial introduz matéria ou reportagem, nunca um artigo. Percebe-se aqui que os professores que elaboraram o texto desconhecem a tipologia e a nomenclatura textual do moderno jornalismo. Testes Vamos aproveitar os textos das provas da UFRGS 2000 e 1999, para formularmos algumas questões bem emblemáticas em relação à interpretação de textos. Questão 1 Qual das alternativas abaixo é a correta: UFRGS 2000 No Brasil colonial, os portugueses e suas autoridades evitaram a concentração de escravos de uma mesma etnia nas propriedades e nos navios negreiros. A) Os portugueses impediram totalmente a concentração de escravos de mesma etnia nas propriedades e nos navios negreiros. Essa política, a multiplicidade lingüística dos negros e as hostilidades recíprocas que trouxeram da África dificultaram a formação de núcleos solidáriosque retivessem o patrimônio cultural africano, incluindo-se aí a preservação das línguas. B) A política dos portugueses foi ineficiente, pois apenas a multiplicidade cultural dos negros, de fato, impediu a formação de núcleos solidários. Os negros, porém, ao longo de todo o período colonial, tentaram superar a diversidade de culturas que os dividia, juntando fragmentos das mesmas mediante procedimentos diversos, entre eles a formação de quilombos e a realização de batuques e calundus. (...) C) A única forma que os negros encontraram para impedir essa ação dos portugueses foi formando quilombos e realizando batuques e calundus. As autoridades procuraram evitar a formação desses núcleos solidários, quer destruindo os quilombos, que causavam pavor aos agentes da Coroa - e, de resto, aos proprietários de escravos em geral -, quer reprimindo os batuques e os calundus promovidos pelos negros. Sob a identidade cultural, poderiam gerar uma consciência danosa para a ordem colonial. Por isso, capitães-do-mato, o Juízo Eclesiástico e, com menos empenho, a Inquisição foram colocados em seu encalço. D) A Inquisição não se empenhou em reprimir a cultura dos negros, porque estava ocupada com ações maiores. Porém alguns senhores aceitaram as práticas culturais africanas - e indígenas - como um mal necessário à manutenção dos escravos. Pelo imperativo de convertê-los ao catolicismo, ainda, alguns clérigos aprenderam as línguas africanas, como um jesuíta na Bahia e o padre Vieira, ambos no Seiscentos. Outras pessoas, por se envolverem no tráfico negreiro ou viverem na África - como Matias Moreira, residente em Angola no final do Quinhentos -, devem igualmente ter-se familiarizado com as línguas dos negros. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 6
  • 7. E) Apesar do empenho dos portugueses, a cultura africana teve penetração entre alguns senhores e entre alguns clérigos. Cada um, é bem verdade, tinha objetivos específicos para tanto. (Adaptado de: VILLALTA, Luiz Carlos. O que se fala e o que se lê: língua, instrução e leitura. In: MELLO e SOUZA. História da Vida Privada no Brasil. São Paulo: Cia. das Letras, 1997. V1. P.341-342.) Resolução da Questão 1 A) Observe o advérbio totalmente. Além disso, o texto usa o verbo evitar, a afirmação utiliza impedir. Eles são semanticamente bem distintos. Logo, a afirmação exagera, extrapola o texto. Cuidado com os advérbios. B) A afirmativa b diz apenas a multiplicidade cultural dos negros. No texto, foram a multiplicidade e as hostilidades recíprocas. Portanto, a afirmativa b reduz a verdade do texto. C) Na afirmativa, há a expressão a única forma, e o texto usa entre eles. Novamente, temos uma redução, uma diminuição da verdade textual. D) O texto não explica a falta de empenho da Inquisição, dessa maneira a afirmação não está no texto. Trata-se de um acréscimo à realidade textual. E) Resposta Correta. Questão 2 Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação correta de acordo com o texto. A) Sendo a cultura negra um mal necessário para a manutenção dos escravos, sua eliminação foi um erro das autoridades coloniais portuguesas. B) Os religiosos eram autoritários, obrigando os escravos negros a se converterem ao catolicismo europeu e a abandonarem sua religião de origem. C) As autoridades portuguesas conduziam a política escravagista de modo que africanos de uma mesma origem não permanecessem juntos. D) As línguas africanas foram eliminadas no Brasil colonial, tendo os escravos preservado apenas alguns traços culturais, como sua religião. E) A identidade cultural africana, representada pelos batuques e calundus, causava danos às pessoas de origem européia. Resolução da Questão 02 A) O texto não classifica como erro das autoridades coloniais. Essa é uma inferência que o leitor poderá fazer por sua conta e risco. B) O autoritarismo era dos proprietários de escravos e das autoridades. Busca-se aqui confundir o aluno dizendo que era o autoritarismo dos religiosos. Há uma troca, uma inversão das afirmações do texto. C) Resposta Correta: Essa afirmação está no texto. D) A afirmação contradiz o que está no texto. As línguas africanas foram, inclusive, aprendidas por alguns clérigos. E) A afirmação exagera a verdade textual. O autor não chega a tanto. Se o vestibulando chegar a essa conclusão é por sua conta e risco. Questão 03 ( UFRGS/99) Marque a alternativa correta, segundo o texto O avanço do conhecimento é normalmente concebido como um processo linear, inexorável, em que as descobertas são aclamadas tão logo venham à luz, e no qual as novas teorias se impõem com base na evidência racional. Afastados os entraves da religião desde o século 17, o conhecimento vem florescendo de maneira livre, contínua. a) O avanço do conhecimento sempre será por um processo linear, do contrário não será avanço. Um pequeno livro agora publicado no Brasil mostra que nem sempre é assim. Escrito na juventude (1924) pelo romancista francês Louis-Ferdinand Céline, A Vida e a Obra de Semmelweis relata aquele que é um dos episódios mais lúgubres no crônica da estupidez humana e talvez a pior mancha na história da medicina. b) O episódio de Semmelweis é indiscutivelmente a pior mancha na história da medicina. c) O livro de Céline prova que nem sempre a racionalidade preponderava no cientificismo. Ignác Semmelweis foi o descobridor da assepsia. Médico húngaro trabalhando num hospital de Viena, constatou que a mortalidade entre as parturientes, então um verdadeiro flagelo, era diferente nas duas alas da maternidade. Numa delas, os partos eram realizados por estudantes; na outra, por parteiras. Não se conhecia a ação dos microorganismos, e a febre puerperal era atribuída às causas mais estapafúrdias. Em 1846, um colega de Semmelweis se cortou enquanto dissecava um cadáver, contraiu uma infecção e morreu. Semmelweis imaginou que o contágio estivesse associado à manipulação de tecidos nas aulas de anatomia. Mandou instalar pias na ala dos estudantes e tornou obrigatório lavar as mãos com cloreto de cal. No mês seguinte, a mortalidade entre as mulheres caiu para 0,2%! Mais incrível é o que aconteceu em seguida. Os dados de Semmelweis foram desmentidos, ele foi exonerado, e as pias - atribuídas à superstição -, arrancadas. d) A ala dos estudantes apresentava menores problemas de contágio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 7
  • 8. Nos dez anos seguintes, Semmelweis tentou alertar os médicos em toda a Europa, sem sucesso. A Academia de Paris rejeitou seu método em 1858. Semmelweis enlouqueceu e foi internado. Em 1865, invadiu uma sala de dissecação, feriu-se com o bisturi e morreu infeccionado. Pouco depois, Pasteur provou que ele estava certo. e) A rejeição aos métodos de Semmelweis ocorreu em função da inveja comum ao meio. Para o leitor da nossa época, o interessante é que Semmelweis foi vítima de um obscurantismo científico. Como nota o tradutor italiano no prefácio agregado à edição brasileira, qualquer xamã de alguma cultura dita primitiva isolaria cadáveres e úteros por meio de rituais de purificação. No científico século 19, isso parecia crendice. (Adaptado de: FRIAS FILHO, Otávio. Ciência e superstição. Folha de S. Paulo, São Paulo 30 abril de 1998.) Vocabulário Inexorável - inabalável - inflexível Lúgubre - triste - sombrio - sinistro Estapafúrdia - extravagante - excêntrico - esdrúxulo Obscurantismo - oposição ao conhecimento - política de fazer algo para impedir o esclarecimento das massas (B) A comunidade científica sempre deixa de reconhecer o valor de uma descoberta. (C) A higiene das mãos com cloreto de cal reduziu moderadamente a incidência de febre puerperal. (D) Semmelweis feriu-se com o bisturi infectado porque queria provar a importância de sua descoberta. (E) Ignorar a redução nas estatísticas obituárias resultante da introdução da assepsia foi uma grande estupidez. Questão 05 A partir da leitura do texto, é possível concluir que (A) o livro A Vida e a Obra de Semmelweis recebeu recentemente uma cuidadosa tradução para o italiano. (B) a teoria de Semmelweis foi rejeitada porque propunha a existência de microorganismos, que não podia ser provada cientificamente. (C) a nacionalidade húngara do médico pode ter sido um empecilho para sua aceitação na Europa do século passado. (D) Semmelweis foi execrado pelos seus pares porque transformou a assepsia numa obsessão. Resolução da Questão 03 Atente para este texto: trata-se de um artigo jornalístico. Observe como ele atende às características assinaladas na tipologia textual do jornalismo. A) Observe que o texto usa o advérbio normalmente, mas a afirmação emprega sempre, mudando a verdade do texto. B) Novamente, se compararmos com o texto, veremos que o autor afirma que o episódio talvez seja a pior mancha da história. Na afirmação, foi usado o advérbio indiscutivelmente acrescido de a pior mancha. Trata-se de um exagero, um acréscimo à realidade do texto. C) Resposta Correta: O texto afirma que nem sempre o avanço do conhecimento é um processo linear. D) A ala dos estudantes apresentava maiores problemas de contágio, pois as pias foram instaladas lá, justamente para lavar as mãos dos estudantes que trabalhavam na dissecação de cadáveres. E) A inveja não é abordada pelo texto, portanto trata-se de uma exterioridade. O vestibulando pode achar verdadeiro, mas a conclusão será pessoal Questão 04 Com base no texto, assinale a alternativa correta. (A) Em relação aos povos primitivos, a Europa do século passado praticava uma medicina atrasada. (E) Semmelweis enlouqueceu em conseqüência da rejeição de sua descoberta. Resolução da Questão 04 Instruções: As questões 4 e 5 devem merecer atenção. Estamos diante de questões de inferências. As alternativas corretas não estão propriamente no texto, mas poderemos chegar facilmente a elas, ou seja, o autor nos autoriza a concluir por elas. A) O autor não classifica de atrasada a medicina européia da época. B) Novamente o advérbio colocado para trair a atenção do aluno: sempre. Trata-se de um acréscimo, de um exagero. C) Não foi moderadamente. De novo o advérbio. Veja como as armadil has são sempre as mesmas. Se você as conhecer, ficará bem mais fácil chegar à resposta correta. D) O texto simplesmente diz que ele se feriu. Não dá as causas. E) Resposta Correta: Foi de fato uma estupidez. Essa é uma conclusão possível do texto. Observe que o autor declara: "Mais incrível é o que aconteceu em seguida". Resolução da Questão 05 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 8
  • 9. A) O livro foi recentemente publicado no Brasil. B) Os microorganismos eram desconhecidos à época. Essa alternativa é perigosa, pode confundir o aluno. C) Não há referência sobre essa afirmação. Os motivos, como já vimos, foram outros. D) Semmelweis foi execrado por ter sido desmentido e por suas descobertas serem atribuídas à superstição. E) Resposta Correta: Pode-se, tranqüilamente chegar a esse conclusão. empregadas do estado. O funcionalismo público terá uma nova categoria: a dos reprodutores. 09 Este exercício de futurologia foi apresentado seriamente pelo professor do Instituto de Biociências da USP Osvaldo Frota Pessoa, em palestra no colóquio Brasil Alemanha - Ética e Genética, quarta-feira à noite. [...] Nas conferências de segunda e terça, a eugenia foi citada como um perigo 24 das novas tecnologias, uma idéia que não é cientificamente e muito menos eticamente defensável. (TEIXEIRA, Jerônimo. Brasileiro apresenta a visão do horror. Zero Hora, 6.10.95, p. 5, 2º Caderno) Questão 06 Supondo que o leitor não saiba o significado da palavra xamã, o processo mais eficiente para buscar no próprio texto uma indicação que elucide a dúvida consistirá em (A) considerar que a palavra encontra sua referência na cultura italiana, já que foi empregada pelo tradutor da obra para o italiano. (B) Observar o contexto sintático em que ela ocorre: depois de pronome indefinido e antes de preposição. (C) Relacionar o seu significado às palavras leitor e prefácio. (D) Relacionar o seu significado às expressões cultura dita primitiva e rituais de purificação. (E) relacionar a palavra a outras que tenham a mesma terminação, como iansã, romã e anã. Resolução da Questão 06 Todas as provas de vestibular no Estado trazem questões de vocabulário. Esta é bem característica da UFRGS. Empiricamente, você, candidato, quando não sabe o significado de uma palavra, busca o contexto. Cuidado! Não é o contexto sintático. Saber se uma palavra exerce a função de sujeito ou de objeto não define o seu valor semântico. Não confunda semântica com sintaxe. Xamã está no campo de ação de palavras dessa cultura primitiva. A resposta correta, portanto, é D. Atente para a alternativa E: dá a nítida impressão de bom humor. A banca também se diverte. O que anã e romã tem em comum com xamã? Gozação. As questões a seguir estão baseadas no seguinte texto: 01 Lá pela metade do século, já não haverá superpopulação humana, como hoje. Os governos de todo o mundo presumivelmente, todos democráticos poderão incentivar as pessoas à reprodução. E será melhor que o façam com as melhores pessoas. 04 A eugenia humana isto é, a escolha dos melhores exemplares para a reprodução, de modo a aprimorar a média da espécie, como já se fez com cavalos encontrará o período ideal para sair da prancheta dos cientistas para a vida real. Pessoas selecionadas por suas características genéticas serão Questão 07 (UFRGS/96-1) Considere as seguintes afirmações sobre a posição do autor com relação ao assunto de que trata o texto. I. O autor do texto é favorável à eugenia como solução para a futura queda no crescimento demográfico, como indica o primeiro parágrafo. II. O autor trata as idéias do professor Osvaldo FrotaPessoa com certa ironia, como demonstra o uso da palavra seriamente na linha 09. III. Ao relatar posições contraditórias por parte dos cientistas com relação à eugenia humana, o autor revela que esta é uma concepção controversa. Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III. Questão 08 (UFRGS/96-1) Assinale a alternativa que está de acordo com o texto. (A) Segundo lemos na primeira frase do texto, vivemos num mundo em que o número de pessoas é considerado excessivo. (B) Como se conclui da leitura do primeiro parágrafo, a escolha dos melhores seres humanos para a reprodução, através da eugenia, causará uma queda na população mundial. (C) A partir da leitura do segundo parágrafo do texto, concluímos que a especialidade do professor FrotaPessoa é a futurologia. (D) De acordo com o significado global do último parágrafo, o maior perigo das novas tecnologias é a ética. (E) A eugenia humana, ao tornar os reprodutores candidatos a funcionários públicos, constituirá uma oportunidade de trabalho apenas para homens. Questão 09 (UFRGS/96-1) Considere as seguintes afirmações sobre a eugenia humana: I. O uso restritivo da palavra humana (linha 04), no texto, indica que a palavra eugenia (linha 04) não se CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 9
  • 10. refere apenas à reprodução humana, mas à reprodução de qualquer espécie. II. Pelos princípios expostos no texto, o vigor físico e a inteligência serão os critérios de eugenia a partir dos quais será feita a seleção dos melhores exemplares. III. Conforme o texto, a eugenia humana já existe na forma de projeto científico. Quais estão corretas? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas I e III. (D) Apenas II e III. (E) I, II e III. nível constante, que varia em função de cada indivíduo. O estudo sugere que conservar o peso do corpo é um fenômeno biológico, não apenas uma atividade voluntária. O corpo ajusta seu metabolismo em resposta a aumentos ou perdas de peso. Dessa forma, depois de cada dieta restrita, o metabolismo queimará menos calorias do que antes. Uma pessoa que perdeu recentemente pouco peso vai consumir menos calorias que uma pessoa do mesmo peso que sempre foi magra. A pesquisa conclui que emagrecer não é impossível, mas muito difícil e requer o consumo do número exato de calorias queimadas. Ou seja, uma alimentação moderada e uma atividade física estável a longo prazo. (Zero Hora, encarte VIDA, 06/05/1995) Questão 10 (IPA/95-2) Resolução da Questão 07 Segundo o texto, é correto afirmar: Os últimos vestibulares da UFRGS solicitam do aluno este tipo de informação: saber de quem é a opinião. Muitas vezes, como é este o caso, o autor apenas expressa o ponto de vista de outra pessoa. A resposta correta é d. A) Uma dieta alimentar rígida determina o equilíbrio interno do peso corpóreo. B) O equilíbrio interno é um fenômeno biológico. C) Conservar o peso não depende somente da vontade individual. D) O ajuste de peso significa queima de calorias. Resolução da Questão 08 A) Resposta Correta: Hoje existe superpopulação. B) A causa da queda da população não foi revelada no texto. C) Esta conclusão é falsa. O tal professor fez apenas um exercício de futurologia. Novamente a banca tenta iludir e confundir o vestibulando. Cuidado! D) Aqui temos uma troca: o maior perigo das novas tecnologias não é a ética, mas sim a eugenia. E) Em absoluto o texto afirma que são os homens: aborda as pessoas em geral. Além disso, também não faz afirmações sobre o mercado de trabalho. E) O número exato de calorias queimadas vincula-se a uma dieta. Questão 11 Das opções abaixo, todas podem substituir, sem prejuízo ao texto, a palavra rígida (l. 01), menos A) rigorosa B) austera C) severa D) íntegra Resolução da Questão 09 E) séria O uso restritivo de humana diz exatamente isto: humana. Logo, não se estende a outras espécies. Resposta Correta: D Resolução da Questão 10 O peso original volta depois das dietas O corpo humano, mesmo submetido ao sacrifício de uma dieta alimentar rígida, tem tendência a voltar ao peso inicial determinado por um equilíbrio interno, segundo recente estudo realizado por cientistas norte-americanos. Depois do aumento de alguns quilos supérfluos, o metabolismo buscará eliminar o peso excessivo. O corpo dispõe de um equilíbrio que tenta manter seu peso em um Antes de mais nada, observe que o texto é um editorial de um caderno de Zero Hora. Portanto, não há um autor em especial declarado. A) O texto busca exatamente mostrar o contrário. B) Conservar o peso é um fenômeno biológico. Temos, de novo, uma inversão com o objetivo de confundir o aluno. C) Resposta Correta: Existem outros fatores. D) Essa afirmação não está no texto. E) O número exato de calorias queimadas depende de outros fatores. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 10
  • 11. • Conotação: É o sentido figurado: “Seu olhar eram raios de sol a iluminar-me”. Resolução da Questão 11 Esse tipo de questão é muito comum: ele propõe a substituição de palavras. Em alguns vestibulares, em vez de uma, aparecem três palavras, tornando o exercício mais trabalhoso. A palavra rígida só não pode ser substituída por íntegra, que vem de integridade, honestidade. Tipologia Textual • Paráfrase: É a reescritura do texto, mantendo-se o mesmo significado. • Perífrase: É a substituição de palavras por expressões que indicam algo de si: “Fui à Cidade Maravilhosa” (=RJ). “O Rei do Futebol chegou” (=Pelé). SÍNTESE: DISSERTAÇÃO: • PARÁFRASE x PERÍFRASE: É a exposição de opiniões fundamentadas em argumentos e raciocínio. Divide-se em introdução (apresenta o assunto de forma direta, sem rodeios), desenvolvimento (mostra dados, idéias, argumentos e exemplos que sustentam a sua posição), e conclusão (fecha o assunto; pode ser na forma de síntese ou sugestões, sem espaço para continuar a discussão). Resumo e retomada análise dos principais pontos abordados nos momentos anteriores, seguidos da introdução de novos conhecimentos . Denotação e Conotação NARRAÇÃO: • É discorrer sobre um fato, um acontecimento. Nela predominam os verbos de ação. Os elementos da narração são personagem (quem participa do fato), tempo (momento do fato), ambiente (local), narrador a a (quem conta: 1 ou 3 pessoa) e enredo (o encadeamento das ações). DESCRIÇÃO: • É um “retrato verbal” do que vemos ou sentimos. É difícil encontrar um texto exclusivamente descritivo. Normalmente encontramos trechos descritivos inseridos numa narração ou dissertação. Saiba Diferenciar COESÃO x COERÊNCIA: • • Coesão: Aspectos formais do text o. São erros de coesão: má concordância, pronomes indevidos e palavras inapropriadas. Coerência: Aspectos implícitos do texto (ligados ao sentido textual). Exemplo de erro de coerência: “A polícia e a justiça são as duas mãos de um mesmo braço”. DENOTAÇÃO x CONOTAÇÃO: • Denotação: É o sentido real: “Os raios de sol adentraram pela imensa janela”. Estes dois conceitos são muito fáceis de entender se lembrarmos que duas partes distintas, mas interdependentes, constituem o signo lingüístico: o significante ou plano da expressão - uma parte perceptível, constituída de sons - e o significado ou plano do conteúdo - a parte inteligível, o conceito. Por isto, numa palavra que ouvimos, percebemos um conjunto de sons ( o significante), que nos faz lembrar de um conceito (o significado). A denotação é justamente o resultado da união existente entre o significante e o significado, ou entre o plano da expressão e o plano do conteúdo. A conotação resulta do acréscimo de outros significados paralelos ao significado de base da palavra, isto é, um outro plano de conteúdo pode ser combinado ao plano da expressão. Este outro plano de conteúdo reveste- se de impressões, valores afetivos e sociais, negativos ou positivos, reações psíquicas que um signo evoca. Portanto, o sentido conotativo difere de uma cultura para outra, de uma classe social para outra, de uma época a outra. Por exemplo, as palavras senhora, esposa, mulher denotam praticamente a mesma coisa, mas têm conteúdos conotativos diversos, principalmente se pensarmos no prestígio que cada uma delas evoca. Desta maneira, podemos dizer que os sentidos das palavras compreendem duas ordens: referencial ou denotativa e afetiva ou conotativa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 11
  • 12. A palavra tem valor referencial ou denotativo quando é tomada no seu sentido usual ou literal, isto é, naquele que lhe atribuem os dicionários; seu sentido é objetivo, explícito, constante. Ela designa ou denota determinado objeto, referindo-se à realidade palpável. Denotação é a significação objetiva da palavra; é a palavra em "estado de dicionário" Além do sentido referencial, literal, cada palavra remete a inúmeros outros sentidos, virtuais, conotativos, que são apenas sugeridos, evocando outras idéias associadas, de ordem abstrata, subjetiva. Conotação é a significação subjetiva da palavra; ocorre quando a palavra evoca outras realidades por associações que ela provoca O quadro abaixo sintetiza as diferenças fundamentais entre denotação e conotação: DENOTAÇÃO CONOTAÇÃO palavra com significação restrita palavra com significação ampla palavra com sentido comum do dicionário palavra cujos sentidos extrapolam o sentido comum palavra usada de modo automatizado palavra usada de modo criativo linguagem comum linguagem rica e expressiva a) Exemplos de conotação e denotação (textos 1 e 2) Para exemplificar, de maneira simples e clara, estes dois conceitos, vamos tomar a palavra cão: terá um sentido denotativo quando designar o animal mamífero quadrúpede canino; terá um sentido conotativo quando expressar o desprezo que desperta em nós uma pessoa sem caráter ou extremamente servil. (Otto M.Garcia, 1973) Nas receitas abaixo, as palavras têm, na primeira, um sentido objetivo, explícito, constante; foram usadas denotativamente. Na segunda, apresentam múltiplos sentidos, foram usadas conotativamente. Observa-se que os verbos que ocorrem tanto em uma quanto em outra - dissolver, cortar, juntar, servir, retirar, reservar - são aqueles que costumam ocorrer nas receitas; entretanto, o que faz a diferença são as palavras com as quais os verbos combinam, combinações esperadas no texto 1, combinações inusitadas no texto 2. TEXTO I TEXTO II Bolo de arroz Receita 3 xícaras de arroz 1 colher (sopa) de manteiga 1 gema 1 frango 1 cebola picada Ingredientes 2 conflitos de gerações 4 esperanças perdidas 3 litros de sangue fervido CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 12
  • 13. 1colher (sopa) de molho inglês 1colher (sopa) de farinha de trigo 1 xícara de creme de leite salsa picadinha 5 sonhos eróticos 2 canções dos beatles Modo de preparar Prepare o arroz branco, bem solto. Ao mesmo tempo, faça o frango ao molho, bem temperado e saboroso. Quando pronto, retire os pedaços, desosse e desfie. Reserve. Quando o arroz estiver pronto, junte a gema, a manteiga, coloque numa forma de buraco e leve ao forno. No caldo que sobrou do frango, junte a cebola, o molho inglês, a farinha de trigo e leve ao fogo para engrossar. Retire do fogo e junte o creme de leite. Vire o arroz, já assado, num prato. Coloque o frango no meio e despeje por cima o molho. Sirva quente. Dissolva os sonhos eróticos nos dois litros de sangue fervido e deixe gelar seu coração. Leve a mistura ao fogo, adicionando dois conflitos de gerações às esperanças perdidas. Corte tudo em pedacinhos e repita com as canções dos beatles o mesmo processo usado com os sonhos eróticos, mas desta vez deixe ferver um pouco mais e mexa até dissolver. Parte do sangue pode ser substituído por suco de groselha, mas os resultados não serão os mesmos. (Terezinha Terra) Sirva o poema simples ou com ilusões. (Nicolas Behr) b) Exemplo de texto denotativo (texto 3) Os textos informativos (científicos e jornalísticos), por serem, em geral, objetivos, prendem-se ao sentido denotativo das palavras. Vejamos o texto abaixo, em que a linguagem está estruturada em expressões comuns, com um sentido único. Texto 3 - texto técnico-científico Canibalismo entre insetos Seres que nascem na cabeça de outros e que consomem progressivamente o corpo destes até aniquilá-los, ao atingir o estágio adulto. ... Esse é um enredo que mais parece de ficção científica. No entanto, acontece desde a pré-história, tendo como protagonistas as vespas de certas espécies e as paquinhas, e é um exemplo da curiosa relação dos ‘inimigos naturais’, aproveitada pelo homem no controle biológico de pragas, para substituir com muitas vantagens os inseticidas químicos. (Revista Ciência Hoje, nº 104, outubro de 1994, Rio, SBPC) c) Exemplo de texto conotativo (texto 4) Além dos poetas, os humoristas e os publicitários fazem um amplo uso das palavras no seu sentido conotativo, o que contribui para que os anúncios despertem a atenção dos prováveis consumidores e para que o dito humorístico atinja o seu objetivo de fazer rir, às vezes até com uma certa dose de ironia. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 13
  • 14. Por exemplo, na propaganda de um ‘shopping’, foi usada a seguinte frase: Texto 4 - propaganda O Rio Design Center acaba de ganhar um novo piso. Marmoleum o piso natural (Revista Veja Rio, maio/junho,96) O anúncio tem aí um duplo sentido, pois transmite duas informações: 1. o Rio Design Center ganhou uma nova loja PAVIMENTO SUPERIOR -onde estão à venda pisos especiais; 2. nesta loja é possível encontrar o material para piso, importado da Holanda, que se chama Marmoleum. Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo PARÁFRASE Na frase que fecha o anúncio, desfaz-se a ambigüidade: "Venha até a (ao invés de o) Pavimento Superior e confira esta e outras novidades de revestimentos para pisos". Mas a frase de abertura faz pensar em outros sentidos: o centro comercial ganhou um novo andar, um novo pavimento, ou ganhou um revestimento novo em todo o seu piso, em todo o seu chão. d) Exemplo de conotação Os provérbios ou ditos populares são também um outro exemplo de exploração da linguagem no seu uso conotativo. Assim, "Quem está na chuva é para se molhar" equivale a "/Quando alguém opta por uma determinada experiência, deve assumir todas as regras e conseqüências decorrentes dessa experiência". Do mesmo modo, "Casa de ferreiro, espeto de pau" significa O que a pessoa faz fora de casa, para os outros, não faz em casa, para si mesma. A respeito de conotação, Othon M. Garcia (1973) observa: "Conotação implica, portanto, em relação à coisa designada, um estado de espírito, uma opinião, um juízo, um sentimento, que variam conforme a experiência, o temperamento, a sensibilidade, a cultura e os hábitos do falante ou ouvinte, do autor ou leitor. Conotação é, assim, uma espécie de emanação semântica, possível graças à faculdade que nos permite relacionar coisas análogas ou semelhadas. Esse é, em essência, o traço característico do processo metafórico, pois metaforização é conotação". Paráfrase é a reprodução explicativa de um texto ou de unidade de um texto, por meio de uma linguagem mais longa. Na paráfrase sempre se conservam basicamente as idéias do texto original. O que se inclui são comentários, idéias e impressões de quem faz a paráfrase. Na escola, quando o professor, ao comentar um texto, inclui outras idéias, alongando-se em função do propósito de ser mais didático, faz uma paráfrase. Parafrasear consiste em transcrever, com novas palavras, as idéias centrais de um texto. O leitor deverá fazer uma leitura cuidadosa e atenta e, a partir daí, reafirmar e/ou esclarecer o tema central do texto apresentado, acrescentando aspectos relevantes de uma opinião pessoal ou acercando-se de críticas bem fundamentadas. Portanto, a paráfrase repousa sobre o texto-base, condensando-o de maneira direta e imperativa. Consiste em um excelente exercício de redação, uma vez que desenvolve o poder de síntese, clareza e precisão vocabular. Acrescenta-se o fato de possibilitar um diálogo intertextual, recurso muito utilizado para efeito estético na literatura moderna. Como ler um texto Recomendam-se duas leituras. A primeira chamaremos de leitura vertical e a segunda, de leitura horizontal. Leitura horizontal é a leitura rápida que tem como finalidade o contato inicial com o assunto do texto. De posse desta visão geral, podemos passar para o CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 14
  • 15. próximo passo. Leitura vertical consiste em uma leitura mais atenta; é o levantamento dos referenciais do texto-base para a perfeita compreensão. É importante grifar, em cada parágrafo lido, as idéias principais. Após escrever à parte as idéias recolhidas nos grifos, procurando dar uma redação própria, independente das palavras utilizadas pelo autor do texto. A esta etapa, chamaremos de levantamento textual dos referenciais. A redação final é a união destes referenciais, tendo o redator o cuidado especial de unir idéias afins, de acordo com a identidade e evolução do texto-base. Exemplo de paráfrase Profecias de uma Revolução na Medicina Há séculos, os professores de segundo grau da Sardenha vêm testemunhando um fenômenos curioso. Com a chegada da primavera, em fevereiro, alguns de seus alunos tornam-se apáticos. Nos três meses subseqüentes, sofrem uma baixa em seu rendimento escolar, sentem-se tontos e nauseados, e adormecem na sala de aula. Depois, repentinamente, suas energias retornam. E ficam ativos e saudáveis até o próximo mês de fevereiro. Os professores sardenhos sabem que os adultos também apresentam sintomas semelhantes e que, na realidade, alguns chegam a morrer após urinarem uma grande quantidade de sangue. Por vezes, aproximadamente 35% dos habitantes da ilha chegam a ser acometidos por este mal. O Dr. Marcelo Siniscalco, do Centro de Cancerologia Sloan-Kedttering, em Nova Iorque, e o Dr. Arno G. Motulsky, da Universidade de Washington, depararam pela primeira vez com a doença em 1959, enquanto desenvolviam um estudo sobre padrões de hereditariedade e determinaram que os sardenhos eram vítimas de anemia hemolítica, uma doença hereditária que faz com que os glóbulos vermelhos do sangue se desintegrem no interior dos veios sangüíneos. Os pacientes urinavam sangue porque os rins filtram e expelem a hemoglobina não aproveitada. Se o volume de destruição for mínimo, o resultado será a letargia; se for aguda, a doença poderá acarretar a morte do paciente. A anemia hemolítica pode ter diversas origens. Mas na Sardenha, as experiênci as indicam que praticamente todas as pessoas acometidas por este mal têm deficiência de uma única enzima, chamada deidrogenase fosfoglucosada-6 (ou G-6-PD), que forma um elo de suma importância na corrente de produção de energia para as células vermelhas do sangue. Mas os sardenhos ficam doentes apenas durante a primavera, o que indica que a falta de G-6-PD da vítima não aciona por si só a doença - que há algo no meio ambiente que tira proveito da deficiência. A deficiência genética pode ser a arma, mas um fator ambiental é quem a dispara. Entre as plantas que desabrocham durante a primavera na Sardenha encontra-se a fava ou feijão italiano observou o Dr. Siniscalco. Esta planta não tem uma boa reputação desde ao ano 500 a.C. , quando o filósofo grego e reformador político Pitágoras proibiu que seus seguidores a comessem, ou mesmo andassem por entre os campos onde floresciam. Agora, o motivo de tal proibição tornou-se claro; apenas aquelas pessoas que carregam o gene defeituoso e comiam favas cruas ou parcialmente cozidas (ou inspiravam o pólen de uma planta em flor) apresentavam problemas. todos os demais eram imunes. Em dois anos, o Dr. Motusky desenvolveu um teste de sangue simples para medir a presença ou ausência de G-6-PD. Atualmente, os cientistas têm um modo de determinar com exatidão quem está predisposto à doença e quem não está; a enzima hemolítica, os geneticistas começaram a fazer a triagem da população da ilha. Localizaram aqueles em perigo e advertiramlhes para evitar favas de feijão durante a estação de floração. Como resultado, a incidência de anemia hemolítica e de estudantes apáticos começou a declinar. O uso de marcadores genéticos como instrumento de previsão da reação dos sardenhos à fava de feijão há 20 anos foi uma das primeiras vezes em que os marcadores genéticos eram empregados deste modo; foi um avanço que poderá mudar o aspecto da medicina moderna. Os marcadores genéticos podem prever agora a possível eclosão de outras doenças e, tal como a anemia hemolítica, podem auxiliar os médicos a prevenirem totalmente os ataques em diversos casos. (Zsolt Harsanyi e Richard Hutton, publicado no jornal O Globo). PERÍFRASE Observe: O povo lusitano foi bastante satirizado por Gil Vicente. Utilizou-se a expressão "povo lusitano" para substituir "os portugueses". Esse rodeio de palavras que substituiu um nome comum ou próprio chama-se perífrase. Perífrase é a substituição de um nome comum ou próprio por um expressão que a caracterize. Nada mais é do que um circunlóquio, isto é, um rodeio de palavras. Outros exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 15
  • 16. astro rei (Sol) | última flor do Lácio (língua portuguesa) | Cidade-Luz (Paris) Rainha da Borborema (Campina Grande) | Cidade Maravilhosa (Rio de Janeiro) Observação: existe também um tipo especial de perífrase que se refere somente a pessoas. Tal figura de estilo é chamada de antonomásia e baseia-se nas qualidades ou ações notórias do indivíduo ou da entidade a que a expressão se refere. Exemplos: A rainha do mar (Iemanjá) O poeta dos escravos (Castro Alves) O criador do teatro português (Gil Vicente) SÍNTESE A síntese de texto é um tipo especial de composição que consiste em reproduzir, em poucas palavras, o que o autor expressou amplamente. Desse modo, só devem ser aproveitadas as idéias essenciais, dispensando-se tudo o que for secundário. Procedimentos: 1. Leia atentamente o texto, a fim de conhecer o assunto e assimilar as idéias principais; 2. Leia novamente o texto, sublinhando as partes mais importantes, ou anotando à parte os pontos que devem ser conservados; 3. Resuma cada parágrafo separadamente, mantendo a seqüência de idéias do texto original; 4. Agora, faça seu próprio resumo, unindo os parágrafos, ou fazendo quaisquer adaptações conforme desejar; 5. Evite copiar partes do texto original. Procure exercitar seu vocabulário. Mantenha, porém, o nível de linguagem do autor; 6. Não se envolva nem participe do texto. Limite-se a sintetizá-lo. UFPB/89. Sem copiar frases, RESUMIR, o texto abaixo: Cordulina ofegava de cansaço. A Limpa-Trilho gania e parava, lambendo os pés queimados. Os meninos choramingavam, pedindo de comer. E Chico Bento pensava: – Por que, em menino, a inquietação, o calor, o cansaço, sempre aparecem com o nome de fome? – Mãe, eu queria comer... me dá um taquinho de rapadura! – Ai, pedra do diabo! Topada desgraçada! Papai, vamos comer mais aquele povo, debaixo desse pé de pau? O juazeiro era um só. O vaqueiro também se achou no direito de tomar seu quinhão de abrigo e de frescura. E depois de arriar as trouxas e aliviar a burra, reparou nos vizinhos. A rês estava quase esfolada. A cabeça inchada não tinha chifres. Só dois ocos podres, mal cheirosos, donde escorria uma água purulenta. Encostando-se ao tronco, Chico Bento se dirigiu aos esfoladores: – De que morreu essa novilha, se não é da minha conta? Um dos homens levantou-se, com a faca escorrendo sangue, as mãos tintas de vermelho, um fartum sangrento envolvendo-o todo: – De mal-dos-chifres. Nós já achamos ela doente. E vamos aproveitar, mode não dar para os urubus. Chico Bento cuspiu longe, enojado: – E vosmecês têm coragem de comer isso? Me ripuna só de olhar... O outro explicou calmamente: – Faz dois dias que a gente não bota um de-comer de panela na boca... Chico Bento alargou os braços, num grande gesto de fraternidade: – Por isso não! Aí nas cargas eu tenho um resto de criação salgada que dá para nós. Rebolem essa porqueira pros urubus, que já é deles! Eu vou lá deixar um cristão comer bicho podre de mal, tenho um bocado no meu surrão! Realmente a vaca já fedia, por causa da doença. Toda descarnada, formando um grande bloco sangrento, era uma festa para os urubus vê-la, lá de cima, lá da frieza mesquinha das nuvens. E para comemorar o achado executavam no ar grandes rondas festivas, negrejando as asas pretas em espirais descendentes. Rachel de Queiroz O QUINZE Debaixo de um juazeiro grande, todo um bando de retirantes se arranchara: uma velha, dois homens, uma mulher nova, algumas crianças. O sol, no céu, marcava onze horas. Quando Chico Bento, com seu grupo, apontou na estrada, os homens esfolavam uma rês e as mulheres faziam ferver uma lata de querosene cheia de água, abanando o fogo com um chapéu de palha muito sujo e remendado. Em toda a extensão da vista, nenhuma outra árvore surgia. Só aquele juazeiro, devastado e espinhento, verdejava a copa hospitaleira na desolação cor de cinza da paisagem. MODELO Arranchados sob um juazeiro, em meio àquela desolação, um bando de retirantes tentava aproveitar uma vaca já em estado de putrefação, para combater-lhe a fome de dois dias. Quando Chico Bento, com o seu bando, aproxima-se também em busca de abrigo e, compadecendo-se daquela situação, divide com os miseráveis o resto CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 16
  • 17. de alimento que trazia, deixando o animal para os urubus. COMO RESUMIR UM TEXTO encerra uma idéia diferente. 6. Ler os parágrafos resumidos e observar se há uma estrutura coerente, isto é, se todas as partes estão bem encadeadas e se formam um todo. Ler não é apenas passar os olhos no texto. É preciso saber tirar dele o que é mais importante, facilitando o trabalho da memória. Saber resumir as idéias expressas em um texto não é difícil. Resumir um texto é reproduzir com poucas palavras aquilo que o autor disse. 7. Num resumo, não se devem comentar as idéias do autor. Deve-se registrar apenas o que ele escreveu, sem usar expressões como "segundo o autor", "o autor afirmou que". Para se realizar um bom resumo, são necessárias algumas recomendações: 8. O tamanho do resumo pode variar conforme o tipo de assunto abordado. É recomendável que nunca ultrapasse vinte por cento da extensão do texto original. 1. Ler todo o texto para descobrir do que se trata. 2. Reler uma ou mais vezes, sublinhando frases ou palavras importantes. Isto ajuda a identificar. 3. Distinguir os exemplos ou detalhes das idéias principais. 9. Nos resumos de livros, não devem aparecer diálogos, descrições detalhadas, cenas ou personagens secundárias. Somente as personagens, os ambientes e as ações mais importantes devem ser registrados. 4. Observar as palavras que fazem a ligação entre as diferentes idéias do texto, também chamadas de conectivos: "por causa de", "assim sendo", "além do mais", "pois", "em decorrência de", "por outro lado", "da mesma forma". 5. Fazer o resumo de cada parágrafo, porque cada um Significação Literal e Contextual de Vocábulos SINÔNIMOS HOMÔNIMOS São palavras que apresentam, entre si, o mesmo significado. triste = melancólico. resgatar = recuperar maciço = compact o ratificar = confirmar digno = decente, honesto reminiscências = lembranças insipiente = ignorante. São palavras iguais na forma e diferentes na significação. Há três tipos de homônimos: HOMÔNIMOS PERFEITOS Têm a mesma grafia e o mesmo som. cedo (advérbio) e cedo (verbo ceder); meio (numeral), meio (adjetivo) e meio (substantivo). ANTÔNIMOS HOMÔNIMOS HOMÓFONOS São palavras que apresentam, entre si, sentidos opostos, contrários. bom x mau bem x mal condenar x absolver simplificar x complicar Têm o mesmo som e grafias diferentes. sessão (reunião), seção (repartição) e cessão (ato de ceder); concerto (harmonia) e conserto (remendo). HOMÔNIMOS HOMÓGRAFOS sede (vontade de beber) e sede (residência). PARÔNIMOS Têm a mesma grafia e sons diferentes. almoço (refeição) e almoço (verbo almoçar); CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 17
  • 18. São palavras de significação diferente, mas de forma parecida, semelhante. emergir e imergir. Eis uma lista com alguns homônimos e parônimos: retificar e ratificar; acender = atear fogo ascender = subir acerca de = a respeito de, sobre cerca de = aproximadamente há cerca de = faz aproximadamente, existe aproximadamente, acontece aproximadamente afim = semelhante, com afinidade a fim de = com a finalidade de amoral = indiferente à moral imoral = contra a moral, libertino, devasso apreçar = marcar o preço apressar = acelerar arrear = pôr arreios arriar = abaixar bucho = estômago de ruminantes buxo = arbusto ornamental caçar = abater a caça cassar = anular cela = aposento sela = arreio censo = recenseamento senso = juízo cessão = ato de doar seção ou secção = corte, divisão sessão = reunião chá = bebida xá = título de soberano no Oriente chalé = casa campestre xale = cobertura para os ombros cheque = ordem de pagamento xeque = lance do jogo de xadrez, contratempo comprimento = extensão cumprimento = saudação concertar = harmonizar, combinar consertar = remendar, reparar conjetura = suposição, hipótese conjuntura = situação, circunstância coser = costurar cozer = cozinhar deferir = conceder diferir = adiar descrição = representação discrição = ato de ser discreto descriminar = inocentar discriminar = diferençar, distinguir despensa = compartimento dispensa = desobrigação despercebido = sem atenção, desatento desapercebido = desprevenido discente = relativo a alunos docente = relativo a professores emergir = vir à tona imergir = mergulhar emigrante = o que sai imigrante = o que entra eminente = nobre, alto, excelente iminente = prestes a acontecer esperto = ativo, inteligente, vivo experto = perito, entendido espiar = olhar sorrateiramente expiar = sofrer pena ou castigo estada = permanência de pessoa estadia = permanência de veículo flagrante = evidente fragrante = aromático fúsil = que se pode fundir fuzil = carabina fusível = resistência de fusibilidade calibrada incerto = duvidoso inserto = inserido, incl uso incipiente = iniciante insipiente = ignorante indefesso = incansável indefeso = sem defesa infligir = aplicar pena ou castigo infringir = transgredir, violar, desrespeitar intemerato = puro, íntegro, incorrupto intimorato = destemido, valente, corajoso intercessão = súplica, rogo interse(c)ção = ponto de encontro de duas linhas laço = laçada lasso = cansado, frouxo ratificar = confirmar retificar = corrigir soar = produzir som suar = transpirar sortir = abastecer surtir = originar sustar = suspender suster = sustentar tacha = brocha, pequeno prego taxa = tributo tachar = censurar, notar defeito em taxar = estabelecer o preço vultoso = volumoso vultuoso = atacado de vultuosidade (congestão na face) EXERCÍCIOS 1) Assinale a alternativa cujas palavras substituem adequadamente as palavras e expressões destacadas ao lado: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 18
  • 19. Passou-me sem atenção que a sua intenção era estabelecer uma diferença entre os ignorantes e os valentes, corajosos. a) desapercebido - descriminar - incipientes intemeratos. b) despercebido - discriminar - insipientes intimoratos. c) despercebido - discriminar - insipientes intemeratos. D) desapercebido - descriminar - insipientes intemeratos. e) despercebido - discriminar - incipientes intimoratos. a) b) c) d) e) imigraram - emigram - migram migraram - imigram - emigram emigraram - migram - imigram. emigraram - imigram - migram. imigraram - migram - emigram. 7) Há erro de grafia em: a) Eucláudia trabalha na seção de roupas. b) Hoje haverá uma sessão extraordinária na Câmara de Vereadores. c) O prefeito da cidade resolveu fazer a cessão de seus rendimentos à creche municipal. d) Voto 48ª sessão, da 191ª zona eleitoral. e) Ontem, fui ao cinema na sessão das dez. 2) O apaixonado rapaz ficou extático diante da beleza da noiva. A palavra destacada é sinônima de: a) imóvel b) admirado c) firme d) sem respirar e) indiferente 3) Indique a alternativa errada: a) As pessoas mal-educadas, sempre se dão mal com os outros. b) Os meus ensinamentos foram mal interpretados. c) Vivi maus momentos, naquela época. d) Temos que esclarecer os mau-entendidos. e) Os homens maus sempre prejudicam os bons. 4) os sinônimos de exilado, assustado, sustentar e expulsão são, respectivamente: a) degredado, espavorido, suster e proscrição. degradado, esbaforido, sustar e prescrição. degredado, espavorido, sustar e proscrição. degradado, esbaforido, sustar e proscrição. degradado, espavorido, suster e prescrição. nordestinos ________ para o Sul, pelo mesmo motivo. b) c) d) e) 5) Trate de arrumar o aparelho que você quebrou e costurar a roupa que você rasgou, do contrário não saíra de casa nesse final de semana. As palavras destacadas podem ser substituídas por: a) concertar, coser e se não. b) consertar, coser e senão. c) consertar, cozer e senão. d) concertar, cozer e senão. e) consertar, coser e se não. 6) Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas da frase abaixo: Da mesma forma que os italianos e japoneses _________ para o Brasil no século passado, hoje os brasileiros _________ para a Europa e para o Japão, à busca de uma vida melhor; internamente, os 8) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas. A ___________ da greve era ________, mas o líder dos trabalhadores iria ___________ o aumento mais uma vez. a) deflagração - eminente - reivindicar. b) defragração - iminente - reinvidicar. c) deflagração - iminente - reivindicar. d) defragração - eminente - reinvindicar. e) defragração - eminente - reivindicar 9) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas. Apesar de _______ em mecânica de automóveis, ele foi _______ de __________, pois não conseguiu diagnosticar o problema no motor do carro do diretor. a) esperto - tachado - incipiente. b) experto - tachado - insi piente. c) experto - taxado - insipiente. d) esperto - taxado - incipiente. e) esperto - taxado - incipiente. 10) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas. O ladrão foi pego em _________, quando tentava levar _______ quantia, devido a uma _______ de caminhões bem em frente ao banco. a) flagrante - vultosa - coalizão. b) fragrante - vultuosa - colisão. c) flagrante - vultosa - colisão. d) fragrante - vultuosa - coalizão. e) flagrante - vultuosa - coalizão. 11) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas. O rapaz que se sentiu ____________ pela diretora do colégio fez uma _______ até Brasília para tentar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 19
  • 20. _________ uma pena a ela. governador ______ os direitos do secretário. a) De repente - emergiu - iminente - cassou. b) Derrepente - imergiu - iminente - caçou. c) De repente - emergiu - eminente - cassou. d) De repente - imergiu - eminente - caçou. e) Derrepente - emergiu - iminente - cassou. a) descriminado - viajem - inflingir. b) discriminado - viagem - infligir. c) discriminado - viajem - infringir. d) descriminado - viagem - infligir. e) discrimando - viagem - infringir. 12) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas. __________, a verdade _______, e, apesar de todos os protestos dos deputados, o ________ Respostas 1) B 2) B 3) D 4) A 5) B 6) A 7) D 8) C 9) D 10) C 11) B 12) C Pocessos Coesivos de Referência Coesão e Coerência Basicamente, ser coerente é não cair em contradição. Na escrita, há meios para se ligar coerentemente os fatos em benefício da harmonia entre as idéias. É isso que os exercícios que propomos pretendem abarcar. São exercícios que levam em conta elementos-chave para garantir a coerência de um text o: conhecimento compartilhado, elementos textuais, elementos do contexto de enunciação, etc. Não é novidade para ninguém: é incoerente (ou parece ser) uma pessoa declarar que detesta jogar futebol e sempre convidar os amigos para uma pelada. Seria coerente, se tal pessoa não gosta de futebol, não convidar seus amigos para jogar bola. É incoerente alguém dizer que devemos ser humildes e essa mesma pessoa ser orgulhosa. Assim é que a coerência pode ser entendida como o fenômeno da harmonia entre as idéias, opiniões. Ou, dito de outra forma, seria um princípio de não contradição. (Se alguém segue uma linha de pensamento, sem sair dela, essa pessoa é coerente; já se esta pessoa não agir conforme suas opiniões, isto parece ser incoerente). Veja se são coerentes ou incoerentes os pares de fatos relacionados abaixo: 1) 2) 3) 4) gostar de casa arrumada X deixar tudo espalhado gostar de viajar X ficar sempre em casa nas férias considerar que escola é necessário à educação X pôr os filhos na escola ser contra comida enlatada X só comprar ervilha diretamente da horta Se analisarmos bem o par número 2, incoerente à primeira vista, poderemos facilmente imaginar uma situação na qual a pessoa que goste de viajar não o faça por falta de recursos. Nesse caso, gostar de viajar e ficar em casa durante as férias não se caracterizam como situações que, postas lado a lado, geram incoerência. A incoerência existiria se a pessoa ficasse em casa nas férias porque gosta de viajar... Perceberemos a coerência entre as duas situações do par de número 2 se conhecermos a situação da pessoa que, por falta de recursos, não viaja. Outro modo de percebermos a coerência é através da expressão clara da ligação entre as duas situações, que pode se dar por uma palavrinha, a conjunção mas : Luiz gosta de viajar mas fica sempre em casa nas férias. Ou, explicitando melhor, Luiz gosta de viajar, mas fica sempre em casa nas férias, porque não tem dinheiro para viajar. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 20
  • 21. Pronto: acabou-se a incoerência. Em nosso cotidiano, por vezes, precisamos explicitar as ligações entre fatos, para que os outros percebam que não somos incoerentes. Assim, não é raro usarmos frases como: Gosto dela, mas vou dar o fora. Não vou tomar sorvete, embora goste, porque estou de regime. É bonito ter cabelo comprido, mas uso curto porque não tenho tempo para cuidar. Precisamos de mais um quarto, mas não vamos construí-lo agora porque o dinheiro está curto. É mais rápido ir de moto para o trabalho, mas eu prefiro ir de ônibus porque o trânsito está muito perigoso. Torço para o Flamengo, mas quero que o Vasco ganhe porque não agüento mais a choradeira lá em casa. Se a pessoa com quem falamos sabe que estamos de regime, não é preciso dizer a ela que gostamos de sorvete e lhe explicar que estamos de regime. Basta dizer: “Não vou tomar sorvete”. Se a pessoa sabe que preferimos ir de moto por ser mais rápido, não é preciso fazer a afirmação “É mais rápido ir de moto para o trabalho”, ao lhe informar que não estamos usando a moto para ir até o local de trabalho. O que percebemos, então? Percebemos que há situações de interlocução nas quais não precisamos explicitar tudo, mas que há outras nas quais, para não parecermos ilógicos, incoerentes, loucos até, temos necessidade de explicar mais. Se pensarmos na situação do sorvete, temos necessidade de explicar que não tomar sorvete não decorre de gostar muito de sorvete; ao contrário, não tomar sorvete é uma decisão tomada apesar de se gostar muito de sorvete. A noção de coerência, de harmonia entre idéias e fatos, e a noção daí decorrente, que é a de coesão, de ligação entre os fatos, foram consideradas por nós como fundamentais para o bom uso da língua, ao falarmos, conversarmos, escrevermos ou lermos. É verdade que há momentos em que o falante pode querer deixar uma ambigüidade no ar, pode querer provocar um efeito cômico, pode não precisar explicitar a coerência porque a situação já fala por si. Entretanto, se o falante de fato não explicitar a ligação entre os fatos, isso deverá ser por sua opção, e não por falta de conhecimento. Assim, ao que parece, o que se denomina “coesão” seria aquilo que tenta explicitar a coerência, quando ela, em um texto, não pode ser facilmente depreendida. Desta forma, nos textos, os conectivos, que são alguns dos agentes de coesão, representariam a tentativa de explicitação da coerênci a. Coordenação e Subordinação Período Composto Período composto é aquele formado por duas ou mais orações. Há dois tipos de períodos compostos: 1) Período composto por coordenação Quando as orações não mantêm relação sintática entre si, ou seja, quando o período é formado por orações sintaticamente independentes entre si. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 21
  • 22. Ex. Estive à sua procura, mas não o encontrei. 2) Período composto por subordinação Quando uma oração, chamada subordinada, mantém relação sintática com outra, chamada principal. Ex. Sabemos que eles estudam muito. (oração que funciona como objeto direto) Período Composto por Subordinação A uma oração principal podem relacionar-se sintaticamente três tipos de orações subordinadas: substantivas, adjetivas e adverbiais. I. Orações Subordinadas Substantivas São seis as orações subordinadas substantivas, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa integrante (que, se) A) Subjetiva: funciona como sujeito da oração principal. Existem três estruturas de oração principal que se usam com subordinada substantiva subjetiva: verbo de ligação + predicativo + oração subordinada substantiva subjetiva. Ex. É necessário que façamos nossos deveres. verbo unipessoal + oração subordinada substantiva subjetiva. Verbo unipessoal só é usado na 3ª pessoa do singular; os mais comuns são convir, constar, parecer, importar, interessar, suceder, acontecer. Ex. Convém que façamos nossos deveres. verbo na voz passiva + oração subordinada substantiva subjetiva. Ex. Foi afirmado que você subornou o guarda. B) Objetiva Direta: funciona como objeto direto da oração principal. (sujeito) + VTD + oração subordinada substantiva objetiva direta. Ex. Todos desejamos que seu futuro seja brilhante. C) Objetiva Indireta: funciona como objeto indireto da oração principal. (sujeito) + VTI + prep. + oração subordinada substantiva objetiva indireta. Ex. Lembro-me de que tu me amavas. D) Completiva Nominal: funciona como complemento nominal de um termo da oração principal. (sujeito) + verbo + termo intransitivo + prep. + oração subordinada substantiva completiva nominal. Ex. Tenho necessidade de que me elogiem. E) Apositiva: funciona como aposto da oração principal; em geral, a oração subordinada substantiva apositiva vem após dois pontos, ou mais raramente, entre vírgulas. oração principal + : + oração subordinada substantiva apositiva. Ex. Todos querem o mesmo destino: que atinjamos a felicidade. F) Predicativa: funciona como predicativo do sujeito do verbo de ligação da oração principal. (sujeito) + VL + oração subordinada substantiva predicativa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 22
  • 23. Ex. A verdade é que nunca nos satisfazemos com nossas posses. Nota: As subordinadas substantivas podem vir introduzidas por outras palavras: Pronomes interrogativos (quem, que, qual...) Advérbios interrogativos (onde, como, quando...) Perguntou-se quando ele chegaria. Não sei onde coloquei minha carteira. II. Orações Subordinadas Adjetivas As orações subordinadas adjetivas são sempre iniciadas por um pronome relativo. São duas as orações subordinadas adjetivas: A) Restritiva: é aquela que limita, restringe o sentido do substantivo ou pronome a que se refere. A restritiva funciona como adjunto adnominal de um termo da oração principal e não pode ser isolada por vírgulas. Ex. A garota com quem simpatizei está à sua procura. Os alunos cujas redações foram escolhidas receberão um prêmio. B) Explicativa: serve para esclarecer melhor o sentido de um substantivo, explicando mais detalhadamente uma característica geral e própria desse nome. A explicativa funciona como aposto explicativo e é sempre isolada por vírgulas. Ex. Londrina, que é a terceira cidade do região Sul do país, está muito bem cuidada. III. Orações Subordinadas Adverbiais São nove as orações subordinadas adverbiais, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa A) Causal: funciona como adjunto adverbial de causa. Conjunções: porque, porquanto, visto que, já que, uma vez que, como, que. Ex. Saímos rapidamente, visto que estava armando um tremendo temporal. B) Comparativa: funciona como adjunto adverbial de comparação. Geralmente, o verbo fica subentendido Conjunções: (mais) ... que, (menos)... que, (tão)... quanto, como. Ex. Diocresildo era mais esforçado que o irmão(era). C) Concessiva: funciona como adjunto adverbial de concessão. Conjunções: embora, conquanto, inobstante, não obstante, apesar de que, se bem que, mesmo que, posto que, ainda que, em que pese. Ex. Todos se retiraram, apesar de não terem terminado a prova. D) Condicional: funciona como adjunto adverbial de condição. Conjunções: se, a menos que, desde que, caso, contanto que. Ex. Você terá um futuro brilhante, desde que se esforce. E) Conformativa: funciona como adjunto adverbial de conformidade. Conjunções: como, conforme, segundo. Ex. Construímos nossa casa, conforme as especificações dadas pela Prefeitura. F) Consecutiva: funciona como adjunto adverbial de conseqüência. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 23
  • 24. Conjunções: (tão)... que, (tanto)... que, (tamanho)... que. Ex. Ele fala tão alto, que não precisa do microfone. G) Temporal: funciona como adjunto adverbial de tempo. Conjunções: quando, enquanto, sempre que, assim que, desde que, logo que, mal. Ex. Fico triste, sempre que vou à casa de Juvenildo. H) Final: funciona como adjunto adverbial de finalidade. Conjunções: a fim de que, para que, porque. Ex. Ele não precisa do microfone, para que todos o ouçam. I) Proporcional: funciona como adjunto adverbial de proporção. Conjunções: à proporção que, à medida que, tanto mais. À medida que o tempo passa, mais experientes ficamos. IV. Orações Reduzidas Quando uma oração subordinada se apresenta sem conjunção ou pronome relativo e com o verbo no infinitivo, no particípio ou no gerúndio, dizemos que ela é uma oração reduzida, acrescentando-lhe o nome de infinitivo, de particípio ou de gerúndio. Ex. Ele não precisa de microfone, para o ouvirem. Período Composto por Coordenação Um período composto por coordenação é formado por orações coordenadas, que são orações independentes sintaticamente, ou seja, não há qualquer relação sintática entre as orações do período. Há dois tipos de orações coordenadas: 1. Orações Coordenadas Assindéticas São as orações não iniciadas por conjunção coordenativa. Ex. Chegamos a casa, tiramos a roupa, banhamo-nos, fomos deitar. 2. Orações Coordenadas Sindéticas São cinco as orações coordenadas, que são iniciadas por uma conjunção coordenativa. A) Aditiva: Exprime uma relação de soma, de adição. Conjunções: e, nem, mas também, mas ainda. Ex. Não só reclamava da escola, mas também atenazava os colegas. B) Adversativa: exprime uma idéia contrária à da outra oração, uma oposição. Conjunções: mas, porém, todavia, no entanto, entretanto, contudo. Ex. Sempre foi muito estudioso, no entanto não se adaptava à nova escola. C) Alternativa: Exprime idéia de opção, de escolha, de alternância. Conjunções: ou, ou...ou, ora... ora, quer... quer. Estude, ou não sairá nesse sábado. D) Conclusiva: Exprime uma conclusão da idéia contida na outra oração. Conjunções: logo, portanto, por isso, por conseguinte, pois - após o verbo ou entre vírgulas. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 24
  • 25. Ex. Estudou como nunca fizera antes, por isso conseguiu a aprovação. E) Explicativa: Exprime uma explicação. Conjunções: porque, que, pois - antes do verbo. Ex. Conseguiu a aprovação, pois estudou como nunca fizera ant EXERCÍCIOS 1- Na frase " Maria do Carmo tinha certeza de que estava para ser mãe" a oração em destaque é : a) Subordinada substantiva objetiva indireta b) Subordinada substantiva completiva nominal. c) Subordinada substantiva predicativa. d) Coordenada sindética conclusiva e) Coordenada sindética explicativa 2- Qual o período em que há oração subordinada substantiva predicativa ? a) Meu desejo é que você passe nos exames vestibulares. b) Sou favorável a que o aprovem. c) Desejo-te isto que sejas feliz. d) O aluno que estuda consegue superar as dificuldades do vestibular. e) Lembre-se de que tudo passa neste mundo. 3- Marque a opção que contém oração subordinada substantiva completiva nominal: a) "Tanto eu como Pascoal tínhamos preço de que o patrão topasse Pedro Barqueiro nas ruas da cidade" b) " Era preciso que ninguém desconfiasse do nosso conluio para prendermos o Pedro Barqueiro." c) "Para encurtar a história patrãozinho achamos Pedro Barqueiro no rancho que só tinha três divisões a sala, o quarto dele e a cozinha." d) " Quando chegamos, Pedro estava no terreiro debulhando milho que havia colhido em sua rocinha ali perto " e) "Pascoal me fez um sinalzinho, eu dei a volta e entrei pela porta do fundo para agarrar o Barqueiro pelas costas" 4- As orações subordinadas substantivas que aparecem nos períodos abaixo são todas subjetivas exceto: a) Decidiu-se que o período subiria de preço. b) É muito bom que o homem vez por outra reflita sobre sua vida. c) Ignoras quanto custou meu relógio? d) Perguntou-se ao diretor quando seríamos recebidos. e) Convinha-nos que você estivesse presente à reunião. 5- Na frase " Argumentei que não é justo que o padeiro ganhe festas" as orações introduzidas pela conjunção que são respectivamente : a) Ambas subordinadas substantivas objetivas diretas b) Ambas subordinadas subjetivas c) Subordinada substantiva objetiva direta e subordinada substantiva subjetiva. d) Subordinada objetiva direta e coordenada assindética . e) Subordinada substantiva objetiva e subordinada substantiva predicativa. 6- Em " É possível que comunicassem sobre política" a segunda oração é : a) Subordinada substantiva subjetiva. b) Subordinada adverbial predicativa. c) Subordinada substantiva predicativa d) Principal CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 25
  • 26. e) Subordinada substantiva objetiva direta. 7- A palavra se é conjunção subordinativa integrante (introduzindo oração subordinada substantiva objetiva direta) em qual das orações seguintes? a) Ele se morria de ciúmes pelo patrão. b) A Federação arroga-se o direito de cancelar o jogo. c) O aluno fez-se passar por doutor. d) Precisa-se de pedreiros. e) Não sei se o vinho está bom. 8- " As cunnãs tinham ensinado para ele que o sagüi-açu não era sagüim não, chamava elevador e era uma máquina ." Em relação à oração não destacada as orações em destaque são respectivamente : a) Subordinada substantiva objetiva direta coordenada assindética coordenada sindética aditiva. b) Subordinada adjetiva restritiva coordenada assindética -coordenada sindética aditiva. c) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta coordenada sindética aditiva. d) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta e) Subordinada substantiva subjetiva coordenada assindética coordenada sindética aditiva. 9- " Se ele confessou , não sei." A oração destacada é: a) Subordinada adverbial temporal b) Subordinada substantiva objetiva direta c) Subordinada substantiva objetiva indireta d) Subordinada substantiva supletiva e) Subordinada substantiva predicativa 10- " A verdade é que a gente não sabia nada" Classifica -se a segunda oração como: a) Subordinada substantiva objetiva direta b) Subordinada adverbial conformativa c) Subordinada substantiva objetiva indireta d) Subordinada substantiva predicativa e) Subordinada substantiva apositiva. 11- Leia atentamente a frase: " O presidente comunicou ao Ministro do Planejamento e ao Ministro da Indústria e Comércio, que não haverá expediente na Segunda-feira próxima." Nesta frase a vírgula está separando erroneamente a oração principal e a oração: a) Subordinada substantiva objetiva indireta b) Subordinada adverbial temporal c) Coordenada Sindética adversativa d) Subordinada substantiva objetiva direta e) Subordinada substantiva assindética modal. 12- Em " Queria que me ajudasses. " O trecho destacado pode ser substituído por: a) a sua ajuda b) a vossa ajuda c) a ajuda de você d) a ajuda deles e) a tua ajuda. 13- " Lembro-me de que ele só usava camisas brancas." A oração destacada é: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 26
  • 27. a) Subordinada substantiva completiva nominal b) Subordinada substantiva objetiva indireta c) Subordinada substantiva predicativa d) Subordina substantiva subjetiva. e) Subordinada substantiva objetiva direta Respostas 1234567- 8- A 9- B 10- D 11- A 12- E 13- C B A A C C A E Estrutura das Palavras Estudar a estrutura das palavras é estudar os elementos que formam a palavra, denominados de morfemas. São os seguintes os morfemas da Língua Portuguesa. Radical O que contém o sentido básico do vocábulo. Aquilo que permanecer intacto, quando a palavra for modificada. Ex. falar, comer, dormir, casa, carro. Obs: Em se tratando de verbos, descobre-se o radical, retirando-se a terminação AR, ER ou IR. Vogal Temática Nos verbos, são as vogais A, E e I, presentes à terminação verbal. Elas indicam a que conjugação o verbo pertence: • 1ª conjugação = Verbos terminados em AR. • 2ª conjugação = Verbos terminados em ER. • 3ª conjugação = Verbos terminados em IR. Obs.: O verbo pôr pertence à 2ª conjugação, já que proveio do antigo verbo poer. Nos substantivos e adjetivos, são as vogais A, E, I, O e U, no final da palavra, evitando que ela termine em consoante. Por exemplo, nas palavras meia, pente, táxi, couro, urubu. * Cuidado para não confundir vogal temática de substantivo e adjetivo com desinência nominal de gênero, que estudaremos mais à frente. Tema É a junção do radical com a vogal temática. Se não existir a vogal temática, o tema e o radical serão o mesmo elemento; o mesmo acontecerá, quando o radical for terminado em vogal. Por exemplo, em se tratando de verbo, o tema sempre será a soma do radical com a vogal temática - estuda, come, parti; em se tratando de substantivos e adjetivos, nem sempre isso acontecerá. Vejamos alguns exemplos: No substantivo pasta, past é o radical, a, a vogal temática, e pasta o tema; já na palavra leal, o radical e o tema são o mesmo elemento - leal, pois não há vogal temática; e na palavra tatu também, mas agora, porque o radical é terminado pela vogal temática. Desinências CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 27
  • 28. É a terminação das palavras, flexionadas ou variáveis, posposta ao radical, com o intuito de modificá-las. Modificamos os verbos, conjugando-os; modificamos os substantivos e os adjetivos em gênero e número. Existem dois tipos de desinências: Desinências verbais Modo-temporais = indicam o tempo e o modo. São quatro as desinências modo-temporais: -va- e -ia-, para o Pretérito Imperfeito do Indicativo = estudava, vendia, partia. -ra-, para o Pretérito Mais-que-perfeito do Indicativo = estudara, vendera, partira. -ria-, para o Futuro do Pretérito do Indicativo = estudaria, venderia, partiria. -sse-, para o Pretérito Imperfeito do Subjuntivo = estudasse, vendesse, partisse. Número-pessoais = indicam a pessoa e o número. São três os grupos das desinências númeropessoais. Grupo I: i, ste, u, mos, stes, ram, para o Pretérito Perfeito do Indicativo = eu cantei, tu cantaste, ele cantou, nós cantamos, vós cantastes, eles cantaram. Grupo II: -, es, -, mos, des, em, para o Infinitivo Pessoal e para o Futuro do Subjuntivo = Era para eu cantar, tu cantares, ele cantar, nós cantarmos, vós cantardes, eles cantarem. Quando eu puser, tu puseres, ele puser, nós pusermos, vós puserdes, eles puserem. Grupo III: -, s, -, mos, is, m, para todos os outros tempos = eu canto, tu cantas, ele canta, nós cantamos, vós cantais, eles cantam. Desinências nominais de gênero = indica o gênero da palavra. A palavra terá desinência nominal de gênero, quando houver a oposição masculino - feminino. Por exemplo: cabeleireiro - cabeleireira. A vogal a será desinência nominal de gênero sempre que indicar o feminino de uma palavra, mesmo que o masculino não seja terminado em o. Por exemplo: crua, ela, traidora. de número = indica o plural da palavra. É a letra s, somente quando indicar o plural da palavra. Por exemplo: cadeiras, pedras, águas. Afixos: São elementos que se juntam a radicais para formar novas palavras. São eles: Prefixo: É o afixo que aparece antes do radical. Por exemplo destampar, incapaz, amoral. Sufixo: É o afixo que aparece depois do radical, do tema ou do infinitivo. Por exemplo pensamento, acusação, felizmente. Vogais e consoantes de ligação: São vogais e consoantes que surgem entre dois morfemas, para tornar mais fácil e agradável a pronúncia de certas palavras. Por exemplo flores, bambuzal, gasômetro, canais. Formação das palavras Para analisar a formação de uma palavra, deve-se procurar a origem dela. Caso seja formada por apenas um radical, diremos que foi formada por derivação; por dois ou mais radicais, composição. São os seguintes os processos de formação de palavras: Derivação: Formação de novas palavras a partir de apenas um radical. Derivação Prefixal Acréscimo de um prefixo à palavra primitiva; também chamado de prefixação. Por exemplo: antepasto, CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 28
  • 29. reescrever, infeliz. Derivação Sufixal Acréscimo de um sufixo à palavra primitiva; também chamado de sufixação. Por exemplo: felizmente, igualdade, florescer. Derivação Prefixal e Sufixal Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, em tempos diferentes; também chamado de prefixação e sufixação. Por exemplo: infelizmente, desigualdade, reflorescer. Derivação Parassintética Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, simultaneamente; também chamado de parassíntese. Por exemplo: envernizar, enrijecer, anoitecer. Obs.: A maneira mais fácil de se estabelecer a diferença entre Derivação Prefixal e Sufixal e Derivação Parassintética é a seguinte: retira-se o prefixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; caso contrário, retira-se, agora, o sufixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; caso contrário, será Der. Parassintética. Por exemplo, retire o prefixo de envernizar: não existe a palavra vernizar; agora, retire o sufixo: também não existe a palavra enverniz. Portanto, a palavra foi formada por Parassíntese. Derivação Regressiva É a retirada da parte final da palavra primitiva, obtendo, por essa redução, a palavra derivada. Por exemplo: do verbo debater, retira-se a desinência de infinitivo -r: formou-se o substantivo debate. Derivação Imprópria É a formação de uma nova palavra pela mudança de classe gramatical. Por exemplo: a palavra gelo é um substantivo, mas pode ser transformada em um adjetivo: camisa gelo. Composição Formação de novas palavras a partir de dois ou mais radicais. Composição por justaposição Na união, os radicais não sofrem qualquer alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem os radicais ponta e pé, obtém-se a palavra pontapé. O mesmo ocorre com mandachuva, passatempo, guarda-pó. Composição por aglutinação Na união, pelo menos um dos radicais sofre alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem os radicais água e ardente, obtém-se a palavra aguardente, com o desaparecimento do a. O mesmo acontece com embora (em boa hora), planalto (plano alto). Hibridismo É a formação de novas palavras a partir da união de radicais de idiomas diferentes. Por exemplo: automóvel, sociologia, sambódromo, burocracia. Onomatopéia Consiste em criar palavras, tentando imitar sons da natureza. Por exemplo: zunzum, cricri, tiquetaque, pingue-pongue. Abreviação Vocabular CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 29
  • 30. Consiste na eliminação de um segmento da palavra, a fim de se obter uma forma mais curta. Por exemplo: de extraordinário forma-se extra; de telefone, fone; de fotografia, foto; de cinematografia, cinema ou cine. Siglas As siglas são formadas pela combinação das letras iniciais de uma seqüência de palavras que constitui um nome: Por exemplo: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística); IPTU (Imposto Predial, Territorial e Urbano). Neologismo semântico Forma-se uma palavra por neologismo semântico, quando se dá um novo significado, somado ao que já existe. Por exemplo, a palavra legal significa dentro da lei; a esse significado somamos outro: pessoa boa, pessoa legal. Empréstimo lingüístico É o aportuguesamento de palavras estrangeiras; se a grafia da palavra não se modifica, ela deve ser escrita entre aspas. Por exemplo: estresse, estande, futebol, bife, "show", xampu, "shopping center". EXERCÍCIOS Estrutura e Formação de Palavras 1- Os elementos mórficos sublinhados estão corretamente classificados nos parênteses, exceto em: a) aluna (desinência de gênero); b) estudássemos (desinência modo-temporal); c) reanimava (desinência número-pessoal); d) deslealdade (sufixo); e) agitar (vogal temática). 2- Tendo em vista o processo de formação de palavras, não é exemplo de hibridismo: a) b) c) d) e) automóvel; sociologia; alcoômetro; burocracia; biblioteca. 3-(AL) Tendo em vista a estrutura das palavras, o elemento sublinhado está incorretamente classificado nos parênteses em: a) b) c) d) e) velha (desinência de gênero); legalidade (vogal de ligação); perdeu (tema); organizara (desinência modo-temporal); testemunhei (desinência número-pessoal). 4- O processo de formação da palavra sublinhada está incorretamente indicado nos parênteses em: a) Só não foi necessário o ataque porque a vitória estava garantida. (derivação parassintética); b) O castigo veio tão logo se receberam as notícias. (derivação regressiva); c) Foram muito infelizes as observações feitas durante o comício. (derivação prefixal); d) Diziam que o vendedor seria capaz de fugir. (derivação sufixal); e) O homem ficou boquiaberto com as nossas respostas. (composição por aglutinação). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 30
  • 31. 5- Tendo em vista o processo de formação de palavra, todos os vocábulos abaixo são parassintéticos, exceto: a) entardecer; b) despedaçar; c) emudecer; d) esfarelar; e) negociar. 6- É exemplo de palavra formada por derivação parassintética: a) b) c) d) e) pernalta; passatempo; pontiagudo; vidraceiro; anoitecer. 7- Todas as palavras abaixo são formadas por derivação, exceto: a) esburacar; b) pontiagudo; c) rouparia; d) ilegível; e) dissílabo. 8- "Achava natural que as gentilezas da esposa chegassem a cativar um homem". Os elementos constitutivos da forma verbal grifada estão analisados corretamente, exceto: a) CHEG - radical; b) A - vogal temática; c) CHEGA - tema; d) SSE - sufixo formador de verbo; e) M - desinência número-pessoal. 9a) b) c) d) e) O elemento mórfico sublinhado não é desinência de gênero, que marca o feminino, em: tristonha; mestra; telefonema; perdedoras; loba. 10- A afirmativa a respeito do processo de formação de palavras não está correta em: a) Choro e castigo originaram-se de chorar e castigar, através de derivação regressiva; b) Esvoaçar é formada por derivação sufixal com sufixo verbal freqüentativo; c) O amanhã não pode ver ninguém bem. - a palavra sublinhada surgiu por derivação imprópria; d) Petróleo e hidrelétrico são formadas através de composição por aglutinação; e) Pólio, extra e moto são obtidas por redução. 11- O processo de formação de palavras é o mesmo em: a) desfazer, remexer, a desocupação; b) dureza, carpinteiro, o trabalho; c) enterrado, desalmado, entortada; d) machado, arredondado, estragado; e) estragar, o olho, o sustento. 12- O processo de formação da palavra amaciar está corretamente indicado em: a) parassíntese; b) sufixação; c) prefixação; d) aglutinação; e) justaposição. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 31
  • 32. 13- O processo de formação das palavras grifadas não está corretamente indicado em: a) As grandes decisões saem do Planalto. (composição por justaposição); b) Sinto saudades do meu bisavô. (derivação prefixal); c) A pesca da baleia deveria ser proibida. (derivação regressiva); d) Procuremos regularmente o dentista. (derivação sufixal); e) As dificuldades de hoje tornam o homem desalmado. (derivação parassintética). 14- O processo de formação de palavras está indicado corretamente em: a) Barbeado: derivação prefixal e sufixal; b) Desconexo: derivação prefixal; c) Enrijecer: derivação sufixal; d) Passatempo: composição por aglutinação; e) Pernilongo: composição por justaposição. 15- Apenas um dos itens abaixo contém palavra que não é formada por prefixação. Assinale-o: a) b) c) d) e) anômalo e analfabeto; átono e acéfalo; ateu e anarquia; anônimo e anêmico; anidro e alma. 16- Em que alternativa a palavra grifada resulta em derivação imprópria? a) "De repente, do riso fez-se o pranto / Silencioso e branco como a bruma / E das bocas fez-se a espuma / E das mãos espalmadas fez-se o espanto." (Vinícius de Moraes); b) "Agora, o cheiro áspero das flores / leva-me os olhos por dentro de suas pétalas."(Cecília Meireles); c) "Um gosto de amora / Comida com sal. A vida / Chamava-se "Agora"." (Guilherme de Almeida); d) "A saudade abraçou-me, tão sincera, / soluçando no adeus de nunca mais. / A ambição de olhar verde, junto ao cais, / me disse: vai que eu fico à tua espera." (Cassiano Ricardo). 17- Marque a opção em que todas as palavras possuem um mesmo radical: a) b) c) d) e) batista - batismo - batistério - batisfera - batiscafo; triforme - triângulo - tricologia - tricípite - triglota; poligamia - poliglota - polígono - política - polinésio; operário - opereta - opúsculo - obra - operação; gineceu - ginecologia - ginecofobia - ginostênio - gimnosperma. 18- Com relação ao seguinte poema, é CORRETO afirmar que: Neologismo "Beijo pouco, falo menos ainda. / Mas invento palavras / Que traduzem a ternura mais funda / E mais cotidiana. / Inventei, por exemplo, o verbo teadorar. / Intransitivo: / Teadoro, Teodora." (Manuel Bandeira) a) o verbo "teadorar" e o substantivo próprio "Teodora" são palavras cognatas, pois possuem o mesmo radical; b) as classes das palavras que compõem a estrutura do vocábulo "teadorar" são pronome e verbo; c) o verbo "teadorar", por se tratar de um neologismo, não possui morfemas; d) a vogal temática dos verbos "beijo", "falo", "invento" e "teadoro" é a mesma, ou seja, "o". 19- Está INCORRETO afirmar que: a) malcheiroso é formada por prefixação e sufixação; b) televisão é formada por prefixação que significa ao longe; c) folhagem é formada por derivação sufixal que significa noção coletiva; d) em amado e malcheiroso, ambos os sufixos significam provido ou cheio de. 20- Farejando apresenta em sua estrutura: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 32
  • 33. a) radical farej - vogal temática a - tema fareja - desinência ndo; b) radical far - tema farej - vogal temática e - desinência ndo; c) radical fareja - vogal temática a - sufixo ndo; d) tema farej - radical fareja - sufixo ndo. Respostas 123456- C E C A E E 7- B 8- D 9- C 10- B 11- C 12- A 131415161718- A B E D D B 19- B 20- A Ortografia Ao escrever uma palavra com som de s, de z, de x ou de j, deve-se procurar a origem dela, pois, na Língua Portuguesa, a palavra primitiva, em muit os casos, indica como deveremos escrever a palavra derivada. Ç 01) Escreveremos com -ção as palavras derivadas de vocábulos terminados em -to, -tor, -tivo e os substantivos formados pela posposição do -ção ao tema de um verbo (Tema é o que sobra, quando se retira a desinência de infinitivo - r - do verbo). Portanto deve-se procurar a origem da palavra terminada em -ção. Por exemplo: Donde provém a palavra conjunção? Resposta: provém de conjunto. Por isso, escrevemo-la com ç. Exemplos: • erudito = erudição • exceto = exceção • setor = seção • intuitivo = intuição • redator = redação • ereto = ereção • educar - r + ção = educação • exportar - r + ção = exportação • repartir - r + ção = repartição • 02) Escreveremos com -tenção os substantivos correspondentes aos verbos derivados do verbo ter. Exemplos: • manter = manutenção • reter = retenção • deter = detenção • conter = contenção 03) Escreveremos com -çar os verbos derivados de substantivos terminados em -ce. Exemplos: • alcance = alcançar • lance = lançar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 33
  • 34. S 01) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -nder e -ndir Exemplos: • pretender = pretensão • defender = defesa, defensivo • despender = despesa • compreender = compreensão • fundir = fusão • expandir = expansão 02) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -erter, -ertir e -ergir. Exemplos: • perverter = perversão • converter = conversão • reverter = reversão • divertir = diversão • aspergir = aspersão • imergir = imersão 03) Escreveremos -puls- nas palavras derivadas de verbos terminados em -pelir e -curs-, nas palavras derivadas de verbos terminados em -correr. Exemplos: • expelir = expulsão • impelir = impulso • compelir = compulsório • concorrer = concurso • discorrer = discurso • percorrer = percurso 04) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -oso e -osa, com exceção de gozo. Exemplos: • • • • gostosa glamorosa saboroso horroroso 05) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -ase, -ese, -ise e -ose, com exceção de gaze e deslize. Exemplos: • fase • crase • tese • osmose 06) Escreveremos com -s- as palavras femininas terminadas em -isa. Exemplos: • poetisa CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 34
  • 35. • profetisa • Heloísa • Marisa 07) Escreveremos com -s- toda a conjugação dos verbos pôr, querer e usar. Exemplos: • • • • • • Eu pus Ele quis Nós usamos Eles quiseram Quando nós quisermos Se eles usassem Ç ou S? Após ditongo, escreveremos com -ç-, quando houver som de s, e escreveremos com -s-, quando houver som de z. Exemplos: • • • • eleição traição Neusa coisa S ou Z? 01 a) Escreveremos com -s- as palavras terminadas em -ês e -esa que indicarem nacionalidades, títulos ou nomes próprios. Exemplos: • português • norueguesa • marquês • duquesa • Inês • Teresa b) Escreveremos com -z- as palavras terminadas em -ez e -eza, substantivos abstratos que provêm de adjetivos, ou seja, palavras que indicam a existência de uma qualidade. Exemplos: • embriaguez • limpeza • lucidez • nobreza • acidez • pobreza 02 a) Escreveremos com -s- os verbos terminados em -isar, quando a palavra primitiva já possuir o -s. Exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 35
  • 36. • análise = analisar • pesquisa = pesquisar • paralisia = paralisar b) Escreveremos com -z- os verbos terminados em -izar, quando a palavra primitiva não possuir -s-. Exemplos: • economia = economizar • terror = aterrorizar • frágil = fragilizar Cuidado: • catequese = catequizar • síntese = sintetizar • hipnose = hipnotizar • batismo = batizar 03 a) Escreveremos com -s- os diminutivos terminados em -sinho e -sito, quando a palavra primitiva já possuir o -s- no final do radical. Exemplos: • • • • • • casinha asinha portuguesinho camponesinha Teresinha Inesita b) Escreveremos com -z- os diminutivos terminados em -zinho e -zito, quando a palavra primitiva não possuir -s- no final do radical. Exemplos: • mulherzinha • arvorezinha • alemãozinho • aviãozinho • pincelzinho • corzinha SS 01) Escreveremos com -cess- as palavras derivadas de verbos terminados em -ceder. Exemplos: • anteceder = antecessor • exceder = excesso • conceder = concessão 02) Escreveremos com -press- as palavras derivadas de verbos terminados em -primir. Exemplos: • imprimir = impressão • comprimir = compressa • deprimir = depressivo 03) Escreveremos com -gress- as palavras derivadas de verbos terminados em -gredir. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 36
  • 37. Exemplos: • agredir = agressão • progredir = progresso • transgredir = transgressor 04) Escreveremos com -miss- ou -mess- as palavras derivadas de verbos terminados em -meter. Exemplos: • comprometer = compromisso • intrometer = intromissão • prometer = promessa • remeter = remessa ÇS ou SS Em relação ao verbos terminados em -tir, teremos: 01) Escreveremos com -ção, se apenas retirarmos a desinência de infinitivo -r, dos verbos terminados em -tir. Exemplo: • curtir - r + ção = curtição 02) Escreveremos com -são, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for consoante. Exemplo: • divertir - tir + são = diversão 03) Escreveremos com -ssão, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for vogal. Exemplo: • discutir - tir + ssão = discussão J 01) Escreveremos com -j- as palavras derivadas dos verbos terminados em -jar. Exemplos: • trajar = traje, eu trajei. • encorajar = que eles encorajem • viajar = que eles viajem 02) Escreveremos com -j- as palavras derivadas de vocábulos terminados em -ja. Exemplos: • loja = lojista • gorja = gorjeta • canja = canjica CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 37
  • 38. 03) Escreveremos com -j- as palavras de origem tupi, africana ou popular. Exemplos: • jeca • jibóia • jiló • pajé G 01) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -ágio, -égio, -ígio, -ógio, -úgio. Exemplos: • • • • • • pedágio colégio sacrilégio prestígio relógio refúgio 02) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -gem, com exceção de pajem, lambujem e a conjugação dos verbos terminados em -jar. Exemplos: • • • • • • a viagem a coragem a personagem a vernissagem a ferrugem a penugem X 01) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por mex-, com exceção de mecha. Exemplos: • mexilhão • mexer • mexerica • México • mexerico • mexido 02) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por enx-, com exceção das derivadas de vocábulos iniciados por ch- e da palavra enchova. Exemplos: • enxada • enxerto • enxerido • enxurrada mas: • cheio = encher, enchente • charco = encharcar • chiqueiro = enchiqueirar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 38
  • 39. 03) Escreveremos -x- após ditongo, com exceção de recauchutar e guache. Exemplos: • ameixa • deixar • queixa • feixe • peixe • gueixa UIR e OER Os verbos terminados em -uir e -oer terão as 2ª e 3ª pessoas do singular do Presente do Indicativo escritas com -i-. Exemplos: • • • • • • • • tu possuis ele possui tu constróis ele constrói tu móis ele mói tu róis ele rói UAR e OAR Os verbos terminados em -uar e -oar terão todas as pessoas do Presente do Subjuntivo escritas com -e. Exemplos: • • • • • • Que eu efetue Que tu efetues Que ele atenue Que nós atenuemos Que vós entoeis Que eles entoem EXERCÍCIOS Para as perguntas de 01 a 17: Assinale a alternativa em que todos os vocábulos estejam grafados corretamente: 01) X ou CH: a) xingar, xisto, enxaqueca b) mochila, flexa, mexilhão c) cachumba, mecha, enchurrada d) encharcado, echertado, enxotado 02) E ou I: a) femenino, sequer, periquito b) impecilho, mimeógrafo, digladiar c) intimorato, discrição privilégio d) penico, despêndio , selvícola 03) S ou Z: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 39
  • 40. a) b) c) d) ananás, logaz, vorás, lilaz maciez, altivez, pequenez, tez clareza, duqueza, princesa, rez guizo, granizo siso, rizo 04) G ou J: a) sarjeta, argila b) pajem, monje c) tigela lage d) gesto, geito 05) SS, C, Ç: a) b) c) d) massiço, sucinto à beça, craço procissão, pretencioso assessoria, possessão 06) O ou U: a) muela, bulir, taboada b) borbulhar, mágoa, regurgitar c) cortume, goela, tabuleta d) entupir, tussir, polir 07) S ou Z: a) rês, extaziar b) ourivez, cutizar c) bazar, azia d) induzir, tranzir 08) X ou CH: a) michórdia, ancho b) archote, faxada c) tocha, coxilo d) xenofobia, chilique 9) SS ou Ç: a) endosso, alvíssaras, grassar b) lassidão, palissada, massapê c) chalassa, escasso, massarico d) arruassa, obsessão, sossobrar 10) X ou CH: a) chafariz, pixe pecha b) xeque, salsixa, esquixo c) xuxu, puxar, coxixar d) muxoxo, chispa, xangô 11) G ou J: a) b) c) d) agiota, beringela, canjica jeito, algibeira, tigela estranjeiro, gorjeito, jibóia enjeitar, magestade, gíria CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 40
  • 41. 12) X ou CH: a) flexa, bexiga, enxarcar b) mexerico, bruxelear, chilique c) faixa, xalé, chaminé d) charque, chachim, caximbo 13) S ou Z: a) b) c) d) aridez, pesquizar, catalizar abalizado, escassez, clareza esperteza, hipnotisar, deslise atroz, obuz, paralização 14) G ou J: a) b) c) d) monje tijela lojista ultraje anjinho, rijidez, angina jia herege, frege, pajé, jerimum rabujento, rigeza, goló, jesto 15) Ortografia: a) b) c) d) ascensão, expontâneo, privilégio encher, enxame, froucho richa berinjela, traje, vagem, azia cincoenta, catorze, aziago, asa 16) S, SS, Ç, C, SC: a) assédio, discente, suscinto b) oscilar, mesce, néscio, lascivo c) víscera, fascinar, discernir d) ascenção, ressuscitar, suscitar 17) S ou Z: a) b) c) d) atrazo, paralizar, reprezália balisa, bazar, aprazível, frizo apoteoze, briza, gaze, griz espezinhar, cerzir, proeza, paz Respostas Sobre Ortografia: 01. A 02. C 03. B 04. A 05. D 06. 07. 08. 09. 10. B C D A D 11. 12. 13. 14. 15. B B B C C 16. C 17. D Pontuação Vírgula (,) Emprego da vírgula no período simples CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 41
  • 42. Quando se trata de separar termos de uma mesma oração, deve-se usar a vírgula nos seguintes casos: 1. Para isolar adjuntos adverbiais deslocados: Ex. A maioria dos alunos, durante as férias, viajam. 2. Para isolar os objetos pleonásticos: Ex. Os meus amigos, sempre os respeito. 3. Para isolar o aposto explicativo: Ex. Londrina, a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima. 4. Para isolar o vocativo: Ex. Alberto! Traga minhas calças até aqui! 5. para separar elementos coordenados: Ex. As crianças, os pais, os professores e os diretores irão ao convescote. 6. Para indicar a elipse do verbo: Ex. Ela prefere filmes românticos; o namorado, de aventura. (o namorado prefere filmes de aventura) 7. Para separar, nas datas, o lugar: Ex. Londrina, 20 de novembro de 1996. 8. Para isolar conjunção coordenativa intercalada: Ex. Os candidatos, porém, não respeitaram a lei. 9. Para isolar as expressões explicativas isto é, a saber, melhor dizendo, quer dizer... Ex. Irei para Águas de Santa Brárbara, melhor dizendo, Bárbara. Emprego da vírgula no período composto Período composto por coordenação: as orações coordenadas devem sempre ser separadas por vírgula. Ex. Todos gostamos de seus projetos, no entanto não há verbas para viabilizá-los Nota: as orações coordenadas aditivas iniciadas pela conjunção e só terão vírgula, quando os sujeitos forem diferentes e quando o e aparecer repetido. Ex. Ela irá no primeiro avião, e seus filhos no próximo. Ele gritava, e pulava, e gesticulava como um louco. Período composto por subordinação Orações subordinadas substantivas: não se separam por vírgula. Ex. É evidente que o culpado é o mordomo. Orações subordinadas adjetivas: só a explicativa é separada por vírgula. Ex. Londrina, que é a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima. Orações subordinadas adverbiais: sempre se separam por vírgula. Ex. Assim que chegarem as encomendas, começaremos a trabalhar. Ponto-e-vírgula (;) O ponto-e-vírgula indica uma pausa um pouco mais longa que a vírgula e um pouco mais breve que o ponto. O emprego do ponto-e-vírgula depende muito do contexto em que ele aparece. Podem-se seguir as seguintes orientações para empregar o ponto-e-vírgula: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 42
  • 43. Para separar duas orações coordenadas que já contenham vírgulas: Ex. Estive a pensar, durante toda a noite, em Diana, minha antiga namorada; no entanto, desde o último verão, estamos sem nos ver. Para separar duas orações coordenadas, quando elas são longas: Ex. O diretor e a coordenadora já avisaram a todos os alunos que não serão permitidas brincadeiras durante o intervalo nos corredores; porém alguns alunos ignoram essa ordem. Para separar enumeração após dois pontos: Ex. Os alunos devem respeitar as seguintes regras: - não fumar dentro do colégio; - não fazer algazarras na hora do intervalo; - respeitar os funcionários e os colegas; - trazer sempre o material escolar. Dois-pontos (:) Deve-se empregar esse sinal: Para iniciar uma enumeração: Ex. Compramos para a casa o seguinte: mesa, cadeiras, tapetes e sofás. Para introduzir a fala de uma personagem: Ex. Sempre que o professor Luís entra em sala-de-aula diz: __ Essa moleza vai acabar! Para esclarecer ou concluir algo que já foi dito: Ex. Essa moleza vai acabar!: essas são as palavras do professor Luís. Reticências ( ... ) As reticências são empregadas: Para indicar uma certa indecisão, surpresa ou dúvida na fala da personagem: Ex. João Antônio! Diga-me... você... me traiu? Para indicar que, num diálogo, a fala de uma personagem foi interrompida pela fala da outra: Ex. __ Como todos já deram sua opinião... __ Um momento, presidente, ainda tenho um assunto a tratar. Para sugerir ao leitor que complete o raciocínio contido na frase: Ex. Durante o ano ficou claro que o aluno que não atingisse 150 pontos seria reprovado; você atingiu 145, portanto... Para indicar, numa citação, que certos trechos do texto foram exclusos: Ex. "No momento em que a tia foi pagar a conta, Joana pegou o livro..." (Clarice Lispector) Exercícios Código: 01) 02) 03) 04) palavra repetida termos antepostos (quando repetidos pleonasticamente) adjunto adverbial deslocado oração coordenada assindética CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 43
  • 44. 05) orações coord. sind. aditivas com sujeitos diferentes; 06) oração interferente 07) vocativo 08) conjunção deslocada 09) oração subordinada adjetiva explicativa 10) zeugma 11) aposto 12) predicativo 13) expressão explicativa, conclusiva, retificativa, enfática... 14) termo coordenados 15) data 16) oração coordenada sindética 17) polissíndeto 18) oração subordinada adverbial deslocada 19) idéias paralelas dos provérbios 01) ( ) Possuía lavouras de trigo linho arroz e soja 02) ( ) Roda meu carro que é curto o caminho 03) ( ) Bem-vindo sejas aos campos do tabajaras senhores da aldeia 04) ( ) O aluno enlouquecido queria decorar toda as regras 05) ( ) Em suma o concurso foi fraco e as vagas poucas 06) ( ) O coitadinho era feio feio... 07) ( ) Vitória 10 de março de 1999 08) ( ) Ganhamos pouco; devemos portanto economizar 09) ( ) O dinheiro nós o trazíamos preso ao corpo 10) ( ) Amanhã de manhã o Presidente viajará para a Bósnia 11) ( ) Ele fez o mar e o céu e a terra e tudo quanto há neles 12) ( ) Casa de ferreiro espeto de pau 13) ( ) A mocinha olhou sorriu e piscou os olhinhos e entrou 14) ( ) A noite não acabava e a insônia a encompridou mais ainda 15) ( ) O sinal estava fechado porém os carros não pararam 16) ( ) Quanto mais se agitava mais preso à rede ficava 17) ( ) A riqueza que é flor belíssima causa luto e tristeza 18) ( ) Venham gritavam as crianças ver nossos brinquedos 19) ( ) Uns diziam que se matou; outros que fora para Goiás 20) Assinale a letra que corresponde ao único período de pontuação correta a) Pouco depois, quando chegaram, outras pessoas a reunião ficou mais animada b) Pouco depois quando chagaram outras pessoas a reunião ficou mais animada c) Pouco depois, quando chegaram outras pessoa, a reunião ficou mais animada d) Pouco depois quando chegaram outras pessoas, a reunião ficou mais animada 21) Idem ao anterior: a) Precisando de mim, procure-me; ou melhor, telefone, que eu venho b) Precisando de mim procure-me; ou melhor telefone, que eu venho c) Precisando de mim procure-me, ou, telefone, melhor que eu venho d) Precisando, de mim, telefone-me, ou melhor, procure-me que eu venho 22) Assinale a pontuação errada: a) Falei com ele com tanta segurança, que nem discordou de mim. b) Porque falei com ela, para mim não há mais dúvidas c) Falei com ela que eu, estaria aqui cedo hoje se tudo corresse bem d) Falei ao chefe que, se o plano corresse bem, estaríamos salvos 23) Dadas as sentenças: 1. Quase todos os habitantes daquela região pantanosa e afastada da civilização morrem de malária 2. Pedra, que rola, não cria limo 3. Muitas pessoas observavam com interesse, o eclipse solar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 44
  • 45. - Deduzimos que: a) b) c) d) apenas a nº 1 está correta apenas a nº 2 está correta apenas a nº 3 está correta todas estão corretas Para as questões de 24 a 36, assinale o único item correto em relação à pontuação: 24) Correto: a) b) c) d) Não nego que, ao avistar, a cidade natal tive uma boa sensação Não nego, que ao avistar a cidade natal tive, uma boa sensação Não nego; que ao avistar a cidade natal, tive uma boa sensação Todos estão incorretos 25) Correto: a) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e, Rubião foi andando, com o mesmo coro atrás de si b) Os rapazes continuaram a bradar, e a rir, e Rubião foi andando, com o mesmo coro, atrás de si c) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e Rubião foi andando com o mesmo coro atrás de si d) Todos estão incorretos 26) Correto: a) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual, a morte batia a asa eterna b) A dor suspendeu por um pouco as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual a morte batia a asa eterna c) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes, um sorriso alumiou o rosto da enferma; sobre o qual a morte batia a asa eterna d) Todos estão corretos 27) Correto: a) Longa, foi a agonia longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada; que me encheu de dor e estupefação. Era a primeira vez, que eu via morrer alguém b) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa; fria; repisada; que me encheu de dor e estupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguém c) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada, que me encheu de dor e estupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguém d) Todas estão incorretas 28) Correto: a) Chegando à vila, tive a má notícia do coronel. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém o aturava, nem os próprios amigos b) Chegando à vila tive más notícias do coronel,. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém o aturava, nem os próprios amigos c) Chegando à vila, tive más notícias do coronel. Era homem insuportável; estúrdio; exigente; ninguém o aturava; nem os próprios amigos d) Todos estão corretos 29) Assinale o item correto: a) Ouvimos passos no corredor, era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa; tão depressa que, quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria b) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu, compôs-se depressa, tão depressa, que CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 45
  • 46. quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria c) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa, tão depressa que: quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e ria d) Todos estão corretos. 30) Assinale o item correto: a) Começou porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tão desconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos; entrou a sentir medo b) Começou, porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tão desconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos, entrou a sentir medo c) Começou, porém, um resumo. No fim, de dez minutos, a comadre não entendia nada; tão desconcertados eram os fatos e os conceitos, mais cinco minutos, entrou, a sentir medo d) Todos estão incorretos 31) Assinale o item correto: a) A cara, ficou séria porque a morte é séria,; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava assinada a abdicação b) A cara ficou séria: porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava assinada a abdicação c) A cara ficou séria, porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estava assinada a abdicação d) Todos estão corretos 32) Assinale o item incorreto: a) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu ou ensinou, ou se fez ambas as coisas, como eu. b) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu, ou ensinou, ou se fez ambas as coisas como eu. c) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve porém, no qual não sei, se aprendeu ou ensinou, ou se fez ambas as coisas como eu. d) Todos estão incorretos 33) Assinale o item correto: a) A primeira idéia foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e, na verdade, recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal. b) A primeira idéia foi retirar-me, logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e na verdade recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me, que se sentia mal. c) A primeira idéia, foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente, e, na verdade recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal. d) Todos estão incorretos Para as questões de 983 a 985, assinale o item correto em relação ao emprego dos sinais de pontuação. 34) Correto: a) Um jornal, é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos, pelo menos a certo número de pessoas. b) Um jornal é lido por muita gente em muitos lugares, o que ele diz, precisa interessar se não a todos pelo menos a certo número de pessoas. c) Um jornal é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos, pelo menos a certo número de pessoas. d) Todos estão incorretos 35) Está correto: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 46
  • 47. a) Salta o primeiro espirro mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à farmácia, para tomar a injeção antigripal; que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parar b) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à farmácia para tomar a injeção antigripal que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parar c) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais; com a picada leve na garganta e você corre à farmácia, para tomar a injeção antigripal, que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parar d) Todos estão incorretos 36) Assinale o item correto: a) As mães ensinam que é feio escutar conversa dos outros; mas, com os coletivos entupidos de gente, somos forçados a isso; e acabamos nos interessando, pelo que não é de nossa conta b) As mães ensinam, que é feio escutar conversa de outros; mas com os coletivos entupidos de gente, somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa conta c) As mães ensinam que é feio escutar conversa de outros; mas, com os coletivos entupidos de gente, somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa conta d) Todos estão corretos 37) Em um dos períodos abaixo, há uma vírgula usada erradamente no lugar do ponto-e-vírgula. Assinale-o: a) Avançamos pela praia, que já não era como a outra. Os pés afundavam na arei fofa, canavial não se via, só coqueiro b) As crianças estavam alvoraçadas e correram para o jardim, o palhaço já tinha chegado e, alegremente, pusera-se a cantar. c) Às vezes, eu quero chamar sua atenção para esse problema, ele, porém, não permite que se toque no assunto d) Sempre fiel a seus princípios, o velho indígena recusou a ajuda dos missionários, convocou os guerreiros e decidiram partir dali. 38) Assinale a alternativa em que a Segunda frase não corrige adequadamente a primeira: a) 1.A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas, de vinte dias a funcionários de suas fábricas. 2. A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas de vinte dias a funcionários de suas fábricas. b) 1. A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood adiou para hoje à noite, a cerimônia de entrega dos prêmios Oscar 2.A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood, adiou para hoje à noite, a cerimônia de entrega dos prêmios Oscar c) 1. A entidade internacional promove a cada dois anos, um congresso 2.A entidade internacional promove, a cada dois anos, um congresso d) 1. Os soldados da Polícia Militar da Bahia, voltam hoje aos quartéis. 2.Os soldados da Polícia Militar da Bahia voltam hoje aos quartéis 39) Assinale a alternativa em que a Segunda alternativa esteja corretamente pontuada: a) 1. Samuel beija a mão da dama com uma elegância perfeita 2. Com uma elegância perfeita, Samuel, beija a mão da dama. b) 1. Um verdadeiro tesouro foi encontrado no cofre de um banco em Paris. 2. No cofre de um banco em Paris foi encontrado um verdadeiro tesouro c) 1. O Brasil conseguiu uma Segunda vitória nos bastidores do Mundial 2. O Brasil conseguiu, nos bastidores do Mundial uma Segunda vitória d) 1. Os estudantes explicaram o motivo do protesto durante a reunião. 2. Durante a reunião, os estudantes explicaram o motivo do protesto Respostas Sobre Pontuação CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 47
  • 48. 01) (14) 02) (07) 03) (11) 04) (12) 05) (13) 06) (01) 07) (15) 08) (08) 31) B 32) C 33) A 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) (02) (03) (17) (19) (04) (05) (16) (18) 25) C 26) B 27) C 28) A 29) A 30) B (09) (06) (10) C A C A D 34) C 35) D 36) C 37) C 38) B 39) D Concordância Verbal Estudar a concordância verbal é, basicamente, estudar o sujeito, pois é com este que o verbo concorda. Se o sujeito estiver no singular, o verbo também o estará; se o sujeito estiver no plural, o mesmo acontece com o verbo. Então, para saber se o verbo deve ficar no singular ou no plural, deve-se procurar o sujeito, perguntando ao verbo Que(m) é que pratica ou sofre a ação? ou Que(m) é que possui a qualidade? A resposta indicará como o verbo deverá ficar. Por exemplo, a frase As instalações da empresa são precárias tem como sujeito As instalações da empresa, cujo núcleo é a palavra instalações, pois elas é que são precárias, e não a empresa; por isso o verbo fica no plural. Até aí tudo bem. O problema surge, quando o sujeito é uma expressão complexa, ou uma palavra que suscite dúvidas. Coletivo Quando o sujeito for um substantivo coletivo, como, por exemplo, bando, multidão, matilha, arquipélago, trança, cacho, etc., ou uma palavra no singular que indique diversos elementos, como, por exemplo, maioria, minoria, pequena parte, grande parte, metade, porção, etc., poderão ocorrer três circunstâncias: A) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de qualquer restritivo: Nesse caso, o verbo ficará no singular, concordando com o coletivo, que é singular. Ex. • A multidão invadiu o campo após o jogo. • O bando sobrevoou a cidade. • A maioria está contra as medidas do governo. B) O coletivo funciona como sujeito, acompanhado de restritivo no plural: Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 48
  • 49. Ex. • A multidão de torcedores invadiu / invadiram o campo após o jogo. • O bando de pássaros sobrevoou / sobrevoaram a cidade. • A maioria dos cidadãos está / estão contra as medidas do governo. C) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de restritivo, e se encontra distante do verbo: Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural. Ex. • A multidão, após o jogo, invadiu / invadiram o campo. • O bando, ontem à noite, sobrevoou / sobrevoaram a cidade. • a maioria, hoje em dia, está / estão contra as medidas do governo. Um milhão, um bilhão, um trilhão: Com um milhão, um bilhão, um trilhão, o verbo deverá ficar no singular. Caso surja a conjunção e, o verbo ficará no plural. Ex. • Um milhão de pessoas assistiu ao comício • Um milhão e cem mil pessoas assistiram ao comício. Mais de, menos de, cerca de... Quando o sujeito for iniciado por uma dessas expressões, o verbo concordará com o numeral que vier imediatamente à frente. Ex. • Mais de uma criança se machucou no brinquedo. • Menos de dez pessoas chegaram na hora marcada. • Cerca de duzentos mil reais foram surripiados. Quando Mais de um estiver indicando reciprocidade ou com a expressão repetida, o verbo ficará no plural. Ex. • Mais de uma pessoa agrediram-se. • Mais de um carro se entrechocaram. • Mais de um deputado se xingaram durante a sessão. Nomes próprios no plural Quando houver um nome próprio usado apenas no plural, deve-se analisar o elemento a que ele se refere: A) Se for nome de obra, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural. Ex. • Os Lusíadas imortalizou / imortalizaram Camões. • Os Sertões marca / marcam uma época da Literatura Brasileira. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 49
  • 50. B) Se for nome de lugar - cidade, estado, país... - o verbo concordará com o artigo; caso não haja artigo, o verbo ficará no singular. Ex. • Os Estados Unidos comandam o mundo. • Campinas fica em São Paulo. • Os Andes cortam a América do Sul. Obs.: Se o nome de lugar possuir artigo, mas este, por alguma razão, não for utilizado, a concordância com o artigo permanecerá sendo a regra, ou seja, o verbo continuará concordando com o artigo. Ex. • EUA vencem o México na oitavas de final da Copa do Mundo. Qual de nós / Quais de nós Quando o sujeito contiver as expressões ...de nós, ...de vós ou ...de vocês, deve-se analisar o elemento que surgir antes dessas expressões: A) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no singular (qual, quem, cada um, alguém, algum...), o verbo deverá ficar no singular. Ex. • Quem de nós irá conseguir o intento? • Quem de vós trará o que pedi? • Cada um de vocês deve ser responsável por seu material. B) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no plural (quais, alguns, muitos...), o verbo tanto poderá ficar na terceira pessoa do plural, quanto concordar com o pronome nós ou vós. Ex. • Quantos de nós irão / iremos conseguir o intento? • Quais de vós trarão / trareis o que pedi? • Muitos de vocês não se responsabilizam por seu material. Sujeito sendo pronome relativo Quando o pronome relativo exercer a função de sujeito, deveremos analisar o seguinte: A) Pronome Relativo que: O verbo concordará com o elemento antecedente. Ex. • Fui eu que quebrei a vidraça. (Eu quebrei a vidraça) • Fomos nós que telefonamos a você. (Nós telefonamos a você) • Estes são os garotos que foram expulsos da escola. (Os garotos foram expulsos) B) Pronome Demonstrativo o, a, os, as + Pronome Relativo que: O verbo concordará com o pronome demonstrativo, ficando, então, na terceira pessoa do singular, ou na terceira pessoa do plural. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 50
  • 51. Ex. • • • • Fui eu o que quebrou a vidraça. (O que quebrou a vidraça fui eu) Foste tu a que me enganou. (A que me enganou foste tu) Fomos nós os que telefonaram a você. (Os que telefonaram a você fomos nós) Fostes vós os que me engaram. (Os que me engaram fostes vós) C) Pronome Relativo quem: O verbo ficará na terceira pessoa do singular. Ex. • • • • • • Fui eu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fui eu) Foste tu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foste tu) Foi ele quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foi ele) Fomos nós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fomos nós) Fostes vós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fostes vós) Foram eles quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foram eles) Um dos ... que Quando o sujeito for iniciado pela expressão Um dos que, deveremos analisar o seguinte: A) É certo que o elemento é o único a praticar a ação: O verbo ficará no singular. Por exemplo, a frase O Corinthians é um dos times paulistas que mais vezes foi campeão estadual tem o verbo no singular, pois é certo que, dos times de São Paulo, o Corinthians foi mais vezes campeão - 24 vezes. B) É certo que o elemento não é o único a praticar a ação: O verbo ficará no plural. Por exemplo, a frase Casagrande é um dos ex-jogadores de futebol que trabalham como comentarista esportivo tem o verbo no plural, pois é certo que, além de Casagrande, há outros ex-jogadores de futebol, trabalhando como comentarista esportivo - Falcão, Júnior, Tostão, Rivelino... C) Não se sabe se o elemento é o único a praticar a ação ou não: O verbo tanto poderá ficar no plural, quanto no singular. Por exemplo, a frase São Paulo é uma das cidades que mais sofre / sofrem com a poluição é facultativo, pois não há como medir se São Paulo é a que mais sofre, ou se, além dela, há outras que sofrem tanto. Outra explicação também é a questão de se querer dar ênfase ao elemento: se se quiser enfatizar o problema em São Paulo, coloca-se o verbo no singular. Nenhum dos ... Que Quando o sujeito for iniciado pela expressão Nenhum dos que, o primeiro verbo ficará no plural, e o segundo, no singular. Ex. • Nenhum dos alunos que me procuraram trouxe o material. • Nenhuma das pessoas que chegaram atrasadas tem justificativa. Porcentagem + Substantivo Quando o sujeito for formado por porcentagem e substantivo, existirão três regras: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 51
  • 52. A) Porcentagem + Substantivo, sem modificador da porcentagem: Facultativamente o verbo poderá concordar com a porcentagem ou com o substantivo. Ex. • 1% da turma estuda muito. • 1% dos alunos estuda / estudam muito. • 10% da turma estuda / estudam muito. • 10% dos alunos estudam muito. B) Porcentagem + Substantivo, com modificador da porcentagem: O verbo concordará com o modificador, que pode ser pronome demonstrativo, pronome possessivo, artigo... Ex. • Os 10% da turma estudam muito. • Este 1% dos alunos estuda mais. C) Mais de, menos de, cerca de, perto de, antes da porcentagem: O verbo concordará apenas com a porcentagem. Ex. • Mais de 1% dos alunos estuda muito. • Menos de 10% da turma estudam muito. Pronomes de Tratamento Os pronomes de tratamento são pronomes de terceira pessoa, portanto tudo que se referir a eles deverá estar na terceira pessoa. Ex. • Vossa Senhoria deve trazer seus documentos consigo. • Vossa Excelência tem que se contentar com seus assessores. Silepse de Pessoa Também chamada de concordância ideológica, a silepse de pessoa é a concordância, não com a palavra escrita, mas sim com o que ela significa. Por exemplo, nós somos brasileiros, portanto, ao utilizarmos a palavra brasileiros, poderemos concordar o verbo com a idéia que essa palavra nos evoca - nós - e dizer Os brasileiros estamos torcendo pelo sucesso do Presidente. Ex. • Os professores nos reciclamos anualmente. (Nós nos reciclamos) • Os alunos deveis estudar mais. (Vós deveis) Núcleos ligados pela conjunção "e" 01) Verbo após os núcleos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 52
  • 53. Ficará no plural o verbo que estiver após o sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela conjunção e: Ex. • O hotel e a cidade são maravilhosos. • Machado de Assis e Guimarães Rosa estão entre os melhores escritores do mundo. Obs.: Quando os núcleos forem sinônimos ou estiverem formando gradação, o verbo deverá ficar no singular. Ex. • "A lisura e a sinceridade freqüenta pouco o Congresso Nacional." lisura = sinceridade. • "Cada rosto, cada voz, cada corpo lhe lembrava a amada." • "Um olhar, um arquejar de sobrancelhas, um aceno com a cabeça bastava para a paquera ser bem sucedida." 02) Verbo antes dos núcleos: Facultativamente ficará no plural ou concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver antes do sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela conjunção e: Ex. • É maravilhoso o hotel e a cidade. • São maravilhosos o hotel e a cidade. • É maravilhosa a cidade e o hotel. Sujeito composto por pessoas diferentes Se o sujeito for formado por pessoas diferentes (eu, tu, ele, ela ou você), o verbo ficará no plural, concordando com a pessoa de número mais baixo na seqüência (1ª, 2ª ou 3ª). Não havendo a 1ª pessoa (eu ou ), e havendo a 2ª pessoa (tu ou vós), o verbo tanto poderá ficar na 2ª pessoa do plural, quanto na 3ª pessoa do plural. Continuam valendo as regras anteriores, ou seja, se o verbo vier depois do sujeito composto, ficará no plural; se vier antes, concordará com o mais próximo ou ficará no plural. Ex. • • • • • • • • Teté e eu passamos as férias em Águas de Santa Bárbara. Passei as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté. Passamos as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté. Tu e Walmor estais equivocados. Tu e Walmor estão equivocados. Estás equivocado tu e Walmor. Estais equivocados tu e Walmor. Estão equivocados tu e Walmor. Núcleos ligados pela conjunção ou Quando os núcleos do sujeito composto forem ligados pela conjunção ou, deve-se analisar se há ou não exclusão, ou seja, analisar se um elemento, ao praticar a ação, impede que o outro também a pratique. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 53
  • 54. 01) Havendo idéia de exclusão: Quando houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também a pratique, o verbo ficará no singular. Ex. • Dida ou Marcos será o goleiro titular da seleção. • O Presidente ou o Governador fará o discurso de abertura do Congresso. 02) Não havendo idéia de exclusão: Quando não houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também a pratique, o verbo ficará no plural. Ex. • Dida ou Marcos poderão ser convocados para a Copa de 2002. • O Presidente ou o Governador estarão presentes na abertura do Congresso. Núcleos ligados pela preposição "com" 01) Verbo após os núcleos: Facultativamete ficará no plural ou concordará com o primeiro núcleo o verbo que estiver após o sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela preposição com. Ex. • O gerente com os funcionários dará início à promoção de descontos. • O gerente com os funcionários darão início à promoção de descontos. 02) Verbo antes dos núcleos: Concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver antes do sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela preposição com. Ex. • Dará início à promoção de descontos o gerente com os funcionários. Aposto resumidor / conectivos correlatos O Aposto resumidor é normalmente representado por pronome indefinido (tudo, nada, ninguém, alguém, todos...) ou por pronome demonstrativo (isto, isso, aquilo...), resumindo o sujeito composto. O verbo, excepcionalmente, concordará com o aposto resumidor. Ex. • Brinquedos, roupas, jogos, nada tirava a angústia daquele jovem. • Amigos, parentes, companheiros de trabalho, ninguém se incomodou com sua ausência. Quando o sujeito composto tem os elementos ligados por conectivos correlatos: assim ... como, não só ... mas também, tanto ... como, nem ... nem, o verbo ficará no plural. O singular é raro. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 54
  • 55. Ex. • Tanto o irmão como a esposa ignoraram seu pedido de ajuda. • Não só Pedro mas também Eduardo estão à sua procura. Um e outro / um ou outro / nem um nem outro Um e outro Quando o sujeito for a expressão um e outro, o substantivo correspondente a ela ficará no singular, o adjetivo no plural e o verbo facultativamente no singular ou no plural. Ex. • Um e outro aluno indisciplinados será punido. • Um e outro aluno indisciplinados serão punidos. Um ou outroQuando o sujeito for a expressão um ou outro, o verbo ficará no singular. Ex. • Um ou outro esteve à sua procura. Nem um nem outroQuando o sujeito for a expressão nem um nem outro, o verbo ficará no singular, porém há gramáticos que o admitem no plural. Ex. • Nem um nem outro terá coragem de se revelar. • "Nem um nem outro compareceram."(Carlos Góis) Verbos Especiais 01) O verbo Ser: A) Quando o verbo ser e o predicativo do sujeito forem numericamente diferentes (um no singular, outro no plural), o verbo deverá ficar no plural. Ex. • O vestibular são as esperanças dos estudantes. • Tudo são flores, quando se é criança. B) Se o sujeito representar uma pessoa ou se for pronome pessoal, o verbo concordará com ele. Ex. • Aline é as alegrias do namorado. • O Presidente é as esperanças do povo brasileiro. C) Se o sujeito for uma quantidade no plural, e o predicativo do sujeito, palavra ou expressão como muito, pouco, o bastante, o suficiente, uma fortuna, uma miséria, o verbo ficará no singular. Ex. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 55
  • 56. • Cem reais é muito, por esse produto. • Duzentos gramas de carne é pouco. D) Na indicação de horas ou distâncias, o verbo concordará com o numeral. Ex. • Era meio-dia, quando ele chegou. • São duas horas. • É 1h58min. E) Na indicação de datas, o verbo poderá ficar no singular, concordando com a palavra dia, ou no plural, concordando com a palavra dias. Ex. • É 1º de outubro. = É dia 1º de outubro ou É o primeiro dia de outubro. • É 15 de setembro = É dia quinze de setembro. • São 15 de setembro = São quinze dias de setembro. 02) O verbo Haver: O verbo haver é impessoal, no sentido de existir, de acontecer ou indicando tempo decorrido; por isso fica na 3ª pessoa do singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma locução verbal, ambos ficarão no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito. Ex. • Havia um mês, nós estávamos à sua procura. • Poderá haver confrontos entre os policiais e os grevistas. • Os alunos haviam ficado revoltados. Haja vista: A) Com a prep. a: haver no singular; vista invariável; Ex. • Haja vista ao exemplo dado. • Haja vista aos exemplos dados. B) Sem a prep. a: haver no singular ou concorda com o substantivo; vista invariável. Ex. • Haja vista o exemplo dado. • Haja vista os exemplos dados. • Hajam vista os exemplos dados. 03) O verbo Fazer: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 56
  • 57. O verbo fazer é impessoal, indicando tempo decorrido e fenômeno natural; por isso fica na 3ª pessoa do singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma locução verbal, ambos ficarão no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito. Ex. • Faz três meses que não o vejo. • Faz 35º no verão, em Londrina. • Deve fazer cinco anos que ele morreu. 04) Outros verbos impessoais: Os outros verbos impessoais, que também ficam na terceira pessoa do singular, são os seguintes: Fenômenos da natureza: • Chove há três dias sem parar. • Choveram pedras. Nesse caso, o verbo não é impessoal, pois o sujeito está claro. Passar de, indicando horas: • Já passa das 11h30. • Já passava das oito horas, quando ela chegou. Chegar de e bastar de, no imperativo: • Chega de firulas! Vamos ao assunto. • Basta de conversas, meninos! 05) Os verbos Dar, Bater e Soar: Concordam com o sujeito, que pode ser: A) o relógio, a torre, o sino... Ex. • O relógio deu quatro horas. • O sino soou cinco horas. B) as horas. O numeral que marca as horas funcionará como sujeito, quando o relógio, a torre, o sino funcionarem como adjunto adverbial de lugar - com a prep. em, ou quando eles não aparecerem na oração. Ex. • No relógio, deram quatro horas. • No sino, soaram cinco horas. • Bateram sete horas. 06) O verbo Parecer + infinitivo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 57
  • 58. Quando o verbo parecer surgir antes de outro verbo no infinitivo, duas ocorrências podem acontecer: A) Pode ocorrer a formação de uma locução verbal. Nesse caso, o verbo parecer concordará com o sujeito, e o verbo no infinitivo ficará invariável. Ex. • As meninas parecem estar nervosas. • Os alunos parecem estudar deveras. B) Pode ocorrer a formação de um período composto, com o verbo parecer na oração principal, invariável, e o verbo no infinitivo, formando oração subordinada substantiva subjetiva reduzida de infinitivo, concordando com o sujeito. Ex. • • • • • As meninas parece estarem nervosas. Os alunos parece estudarem deveras. Nesses dois casos, se desenvolvermos as orações, teremos: Parece as meninas estarem nervosas. Proveio de Parece que as meninas estão nervosas. Parece os alunos estudarem deveras. Proveio de Parece que os alunos estudam deveras. 07) A Partícula Apassivadora: O verbo na voz passiva sintética, construída com o pronome se, concorda normalmente com o sujeito. A maneira mais fácil de se comprovar que a oração está na voz passiva sintética é passando-a para a voz passiva analítica: Alugam-se casas muda para Casas são alugadas. Sempre que for possível essa transformação, o se será chamado de Partícula Apassivadora. Para relembrar esse estudo clique aqui. Ex. • Entregam-se encomendas. = Encomendas são entregues por alguém. • Ouviram-se muitas histórias. = Muitas histórias foram ouvidas. • Sabe-se que ele não virá. = Que ele não virá é sabido. 08) O Índice de Indeterminação do Sujeito: O pronome se, sendo índice de indeterminação do sujeito, deixa o verbo na terceira pessoa do singular; haverá I.I.S. quando surgir na oração VI, sem sujeito claro; VTI, com OI; VL, com PS e VTD, com ODPrep. Para relembrar esse estudo clique aqui. Ex. • • • • Morre-se de fome no Brasil. Assiste-se a filmes interessantes. Aqui se está satisfeito. Respeita-se a Robertoldo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 58
  • 59. Exercícios Para as questões de 01 a 32 seque o código abaixo. Assinale com “C” as alternativas corretas e com “I “ as incorretas: 01) ( ) À autora e à leitora do romance só interessam a verdade 02) ( ) Tu e teu colega devereis comparecer ao tribunal 03) ( ) Juro que tu e tua mulher me pagam 04) ( ) Não quero que fique contra ela o pai e os amigos 05) ( ) Casarás com a prima e sereis felizes para sempre 06) ( ) Aflição, dores, tristezas, nada o fazia abandonar a luta 07) ( ) A tranqüilidade e a calma transmite segurança ao público. 08) ( ) Um grito, um gemido, um sussurro acordava a pobre mãe. 09) ( ) A viúva com o resto da família mudaram-se para Santiago 10) ( ) A riqueza ou o poder o livrou do processo 11) ( ) Alunos ou aluno farão a homenagem 12) ( ) Ler e escrever provocam entusiasmo na juventude 13) ( ) O jovem como o adulto têm os mesmos conflitos 14) ( ) Um e outro vício nega os foros da natureza 15) ( ) Mais de um atleta completaram o percurso da maratona 16) ( ) Não serei eu um dos alunos que cruzaremos os braços 17) ( ) O bando assaltou a joalheira e, depois, fugiram pelas ruas 18) ( ) Um grande número de pessoas observavam os atores 19) ( ) Os dez por cento da comissão desapareceu 20) ( ) Quantos de nós será aprovado neste concurso? 21) ( ) Os Lusíadas imortalizaram Camões 22) ( ) Não mais viajaremos, haja visto os problemas 23) ( ) Já não se fazem planos mirabolantes 24) ( ) Fala-se de festas em que se assistem a filmes instrutivos 25) ( ) A partir de agora, sou eu quem passa a transmitir o jogo 26) ( ) Com certeza ainda faltam discutir todas as questões 27) ( ) Faz muitos anos que não chovem flores em minha vida, mas houve casos de chover tomates. 28) ( ) Tudo são apenas sonhos, pois o homem é suas cinzas 29) ( ) São seis e meia da tarde e hoje é seis de março de 1999 30) ( ) Cem mil reais é menos do que preciso 31) ( ) O herói és tu, embora a maioria sejam homens valorosos 32) ( ) Mentiras era o que me pediam, sempre mentiras. Respostas sobre Concordância Verbal: 01) I 02) C 03) C 04) C 05) C 06) C 07) C 08) C 09) C 10) I 11) I 12) I 13) C 14) C 15) I 16) I 17) C 18) C 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 30) 31) I I C I C I C C C 32) C CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 59
  • 60. Regência Verbal A regência estuda a relação existente entre os termos de uma oração ou entre as orações de um período. A regência verbal estuda a relação de dependência que se estabelece entre os verbos e seus complementos. Na realidade o que estudamos na regência verbal é se o verbo é transitivo direto, transitivo indireto, transitivo direto e indireto ou intransitivo e qual a preposição relacionada com ele. Verbos Transitivos Diretos São verbos que indicam que o sujeito pratica a ação, sofrida por outro elemento, denominado objeto direto. Por essa razão, uma das maneiras mais fáceis de se analisar se um verbo é transitivo direto é passar a oração para a voz passiva, pois somente verbo transitivo direto admite tal transformação, além de obedecer, pagar e perdoar, que, mesmo não sendo VTD, admitem a passiva. O objeto direto pode ser representado por um substantivo ou palavra substantivada, uma oração (oração subordinada substantiva objetiva direta) ou por um pronome oblíquo. Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto direto são os seguintes: me, te, se, o, a, nos, vos, os, as. Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto direto são os seguintes: mim, ti, si, ele, ela, nós, vós, eles, elas. Como são pronomes oblíquos tônicos, só são usados com preposição, por isso se classificam como objeto direto preposicionado. Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos diretos: Há verbos que surgirão em mais de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência. Aspirar será VTD, quando significar sorver, absorver. • Como é bom aspirar a brisa da tarde. Visar será VTD, quando significar mirar ou dar visto. • O atirador visou o alvo, mas errou o tiro. • O gerente visou o cheque do cliente. Agradar será VTD, quando significar acariciar ou contentar. • A garotinha ficou agradando o cachorrinho por horas. • Para agradar o pai, ficou em casa naquele dia. Querer será VTD, quando significar desejar, ter a intenção ou vontade de, tencionar. • Sempre quis seu bem. • Quero que me digam quem é o culpado. Chamar será VTD, quando significar convocar. • Chamei todos os sócios, para participarem da reunião. Implicar será VTD, quando significar fazer supor, dar a entender; produzir como conseqüência, acarretar. • Os precedentes daquele juiz implicam grande honestidade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 60
  • 61. • Suas palavras implicam denúncia contra o deputado. Desfrutar e Usufruir são VTD sempre. • Desfrutei os bens deixados por meu pai. • Pagam o preço do progresso aqueles que menos o desfrutam. (e não desfrutam dele, como foi escrito no tema da redação da UEL em julho de 1996) Namorar é sempre VTD. Só se usa a preposição com, para iniciar Adjunto Adverbial de Companhia. Esse verbo possui os significados de inspirar amor a, galantear, cortejar, apaixonar, seduzir, atrair, olhar com insistência e cobiça, cobiçar. • Joanilda namorava o filho do delegado. • O mendigo namorava a torta que estava sobre a mesa. • Eu estava namorando este cargo há anos. Compartilhar é sempre VTD. • Berenice compartilhou o meu sofrimento. Esquecer e Lembrar serão VTD, quando não forem pronominais, ou seja, caso não sejam usados com pronome, não serão usados também com preposição. • Esqueci que havíamos combinado sair. • Ela não lembrou o meu nome. Verbos Transitivos Indiretos São verbos que se ligam ao complemento por meio de uma preposição. O complemento é denominado objeto indireto. O objeto indireto pode ser representado por um substantivo, ou palavra substantivada, uma oração (oração subordinada substantiva objetiva indireta) ou por um pronome oblíquo. Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: me, te, se, lhe, nos, vos, lhes. Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: mim, ti, si, ele, ela, nós, vós, eles, elas. Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos indiretos: Há verbos que surgirão em mais de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência. Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. a Aspirar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar. • Aspiramos a uma vaga naquela universidade. Visar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar. • Sempre visei a uma vida melhor. Agradar será VTI, com a prep. a, quando significar ser agradável; satisfazer. • Para agradar ao pai, estudou com afinco o ano todo. Querer será VTI, com a prep. a, quando significar estimar. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 61
  • 62. • Quero aos meus amigos, como aos meus irmãos. Assistir será VTI, com a prep. a, quando significar ver ou ter direito. • Gosto de assistir aos jogos do Santos. • Assiste ao trabalhador o descanso semanal remunerado. Custar será VTI, com a prep. a, quando significar ser difícil. Nesse caso o verbo custar terá como sujeito aquilo que é difícil, nunca a pessoa, que será objeto indireto. • Custou-me acreditar em Hipocárpio. e não Eu custei a acreditar... Proceder será VTI, com a prep. a, quando significar dar início. • Os fiscais procederam à prova com atraso. Obedecer e desobedecer são sempre VTI, com a prep. a. • Obedeço a todas as regras da empresa. Revidar é sempre VTI, com a prep. a. • Ele revidou ao ataque instintivamente. Responder será VTI, com a prep. a, quando possuir apenas um complemento. • Respondi ao bilhete imediatamente. • Respondeu ao professor com desdém. Caso tenha dois complementos, será VTDI, com a prep. a. Alguns verbos transitivos indiretos, com a prep. a, não admitem a utilização do complemento lhe. No lugar, deveremos colocar a ele, a ela, a eles, a elas. Dentre eles, destacam-se os seguintes: Aspirar, visar, assistir(ver), aludir, referir-se, anuir. Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de um substantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve ser caracterizado pelo acento grave (à ou às). • Assisti à peça das meninas do terceiro colegial. Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. com Simpatizar e Antipatizar sempre são VTI, com a prep. com. Não são verbos pronominais, portanto não existe o verbo simpatizar-se, nem antipatizar-se. • Sempre simpatizei com Eleodora, mas antipatizo com o irmão dela. Implicar será VTI, com a prep. com, quando significar antipatizar. • Não sei por que o professor implica comigo. Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. de Esquecer-se e lembrar-se serão VTI, com a prep. de, quando forem pronominais, ou seja, somente quando forem usados com pronome, poderão ser usados com a prep. de. • Esqueci-me de que havíamos combinado sair. • Ela não se lembrou do meu nome. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 62
  • 63. Proceder será VTI, com a prep. de, quando significar derivar-se, originar-se. • Esse mau-humor de Pedro procede da educação que recebeu. Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. em Consistir é sempre VTI, com a prep. em. Esse verbo significa cifrar-se, resumir-se ou estar firmado, ter por base, ser constituído por. • O plano consiste em criar uma secretaria especial. Sobressair é sempre VTI, com a prep. em. Não é verbo pronominal, portanto não existe o verbo sobressair-se. • Quando estava no colegial, sobressaía em todas as matérias. Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. por Torcer é VTI, com a prep. por. Pode ser também verbo intransitivo. Somente neste caso, usa-se com a prep. para, que dará início a Oração Subordinada Adverbial de Finalidade. Para ficar mais fácil, memorize assim: Torcer por + substantivo ou pronome. Torcer para + oração (com verbo). • Estamos torcendo por você. • Estamos torcendo para você conseguir seu intento. Chamar será VTI, com a prep. por, quando significar invocar. • Chamei por você insistentemente, mas não me ouviu. Verbos Transitivos Diretos e Indiretos São os verbos que possuem os dois complementos - objeto direto e objeto indireto. Chamar será VTDI, com a prep. a, quando significar repreender. • Chamei o menino à atenção, pois estava conversando durante a aula. • Chamei-o à atenção. Obs.: A expressão Chamar a atenção de alguém não significa repreender, e sim fazer se notado. Por exemplo: O cartaz chamava a atenção de todos que por ali passavam. Implicar será VTDI, com a prep. em, quando significar envolver alguém. • Implicaram o advogado em negócios ilícitos. Custar será VTDI, com a prep. a, quando significar causar trabalho, transtorno. • Sua irresponsabilidade custou sofrimento a toda a família. Agradecer, Pagar e Perdoar são VTDI, com a prep. a. O objeto direto sempre será a coisa, e o objeto indireto, a pessoa. • Agradeci a ela o convite. • Paguei a conta ao Banco. • Perdôo os erros ao amigo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 63
  • 64. Pedir é VTDI, com a prep. a. Sempre deve ser construído com a expressão Quem pede, pede algo a alguém. Portanto é errado dizer Pedir para que alguém faça algo. • Pedimos a todos que tragam os livros. Preferir é sempre VTDI, com a prep. a. Com esse verbo, não se deve usar mais, muito mais, mil vezes, nem que ou do que. • Prefiro estar só a ficar mal-acompanhado. Avisar, advertir, certificar, cientificar, comunicar, informar, lembrar, noticiar, notificar, prevenir são VTDI, admitindo duas construções: Quem informa, informa algo a alguém ou Quem informa, informa alguém de algo. • Advertimos aos usuários que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos. • Advertimos os usuários de que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos. Quando houver, na oração, um verbo transitivo direto e indireto, com a prep. a, seguido de um substantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve ser caracterizado pelo acento grave (à ou às). Advertimos às alunas que não poderiam usar a sala fora do horário de aula. Verbos Intransitivos São os verbos que não necessitam de complementação. Sozinhos, indicam a ação ou o fato. Assistir será intransitivo, quando significar morar. • Assisto em Londrina desde que nasci. Custar será intransitivo, quando significar ter preço. • Estes sapatos custaram R$50,00. Proceder será intransitivo, quando significar ter fundamento. • Suas palavras não procedem! Morar, residir e situar-se sempre são intransitivos. • Moro em Londrina; resido no Jardim Petrópolis; minha casa situa-se na rua Cassiano Ricardo. Deitar-se e levantar-se são sempre intransitivos. • Deito-me às 22h e levanto-me às 6h. Ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer e dirigir-se são intransitivos. Aparentemente eles têm complemento, pois Quem vai, vai a algum lugar. Porém a indicação de lugar é circunstância, e não complementação. Classificamos como Adjunto Adverbial de Lugar. Alguns gramáticos classificam como Complemento Circunstancial de Lugar. Esses verbos exigem a prep. a, na indicação de destino, e de, na indicação de procedência. Só se usa a prep. em, na indicação de meio, instrumento. • Cheguei de Curitiba há meia hora. • Vou a São Paulo no avião das 8h. Quando houver, na oração, um verbo intransitivo, com a prep. a, seguido de um substantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve ser caracterizado pelo acento grave (à ou às). • Vou à Bahia. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 64
  • 65. Verbos de regência oscilante VTD ou VTI, com a prep. a Assistir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar ajudar, prestar assistência. • Minha família sempre assistiu o Lar dos Velhinhos. • Minha família sempre assistiu ao Lar dos Velhinhos. Chamar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar dar qualidade. A qualidade pode vir precedida da prep. de, ou não. • Chamaram-no irresponsável. • Chamaram-no de irresponsável. • Chamaram-lhe irresponsável. • Chamaram-lhe de irresponsável. Atender pode ser VTD ou VTI, com a prep. a. • Atenderam o meu pedido prontamente. • Atenderam ao meu pedido prontamente. Anteceder pode ser VTD ou VTI, com a prep. a. • A velhice antecede a morte. • A velhice antecede à morte. Presidir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a. • Presidir o país. • Presidir ao país. Renunciar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a. • Nunca renuncie seus sonhos. • Nunca renuncie a seus sonhos. Satisfazer pode ser VTD ou VTI, com a prep. a. • Não satisfaça todos os seus desejos. • Não satisfaça a todos os seus desejos. VTD ou VTI, com a prep. de Precisar e necessitar podem ser VTD ou VTI, com a prep. de. • Precisamos pessoas honestas. • Precisamos de pessoas honestas. Abdicar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de, e também VI. • O Imperador abdicou o trono. • O Imperador abdicou do trono. • O Imperador abdicou. Gozar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de. • Ele não goza sua melhor forma física. • Ele não goza de sua melhor forma física. VTD ou VTI, com a prep. em Acreditar e crer podem ser VTD ou VTI, com a prep. em. • Nunca cri pessoas que falam muito de si próprias. • Nunca cri em pessoas que falam muito de si próprias. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 65
  • 66. Atentar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com as prep. para e por. • Em suas redações atente a ortografia. • Deram-se bem os que atentaram nisso. • Não atentes para os elementos supérfluos. • Atente por si, enquanto é tempo. Cogitar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com a prep. de. • Começou a cogitar uma viagem pelo litoral brasileiro. • Hei de cogitar no caso. • O diretor cogitou de demitir-se. Consentir pode se VTD ou VTI, com a prep. em. • Como o pai desse garoto consente tantos agravos? • Consentimos em que saíssem mais cedo. VTD ou VTI, com a prep. por Ansiar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por. • Ansiamos dias melhores. • Ansiamos por dias melhores. Almejar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por, ou VTDI, com a prep. a. • Almejamos dias melhores. • Almejamos por dias melhores. • Almejamos dias melhores ao nosso país. VI ou VTI, com a prep. a Faltar, Bastar e Restar podem ser VI ou VTI, com a prep. a. • Muitos alunos faltaram hoje. • Três homens faltaram ao trabalho hoje. • Resta aos vestibulandos estudar bastante. Na última frase apresentada não há erro algum, como à primeira vista possa parecer. A tendência é de o aluno concordar o verbo estudar com a palavra vestibulando, construindo a oração assim: Resta os vestibulandos estudarem. Porém essa construção está totalmente errada, pois o verbo é transitivo indireto, portanto resta a alguém. Então vestibulandos funciona como objeto indireto e não como sujeito. Nenhum verbo concorda com o objeto indireto. Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de um substantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve ser caracterizado pelo acento grave (à ou às). Assisti à peça das meninas do terceiro colegial. VI ou VTD Pisar pode ser VI ou VTD. Quando for VI, admitirá a prep. em, iniciando Adjunto Adverbial de Lugar. • Pisei a grama para poder entrar em casa. • Não pise no tapete, menino! CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 66
  • 67. Exercícios Sobre Regências Verbal e Nominal Para o exercícios de 01 a 19, marcará com “C” as alternativas corretas e com “I “ as incorretas: 01) ( 02) ( 03) ( 04) ( 05) ( 06) ( 07) ( 08) ( 09) ( 10) ( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15) ( 16) ( 17) ( 18) ( 19) ( ) A greve geral não agradou os diretores. ) Você aspirava ao cargo? Sim, aspirava-lhe. ) O residente assiste o cirurgião na operação ) Não atenderam seu pedido por falta de amparo legal ) Quero-a para esposa e companheira ) Vamos proceder uma investigação minuciosa ) Devemos visar, acima de tudo ao bem da família ) Às vezes, chamavam- o tolo e arrogante ) O pai custava sentir a revolta do filho ) Já respondi todos os cartões ) Supressão da liberdade implica, não raro, em violência ) Lembrei-me que era tarde e corri ) Avisei-o que os fiscais chegaram ) Obedecia-lhe porque o respeitava ) Aos amigos, perdoa-lhes todas as ofensas ) Os guias ainda não foram pagos ) À vida prefere a honra ) Afinal, simpatizei-me com a proposta... ) Lemos e gostamos muito de seus poemas Para as questões de 20 a 22, assinale a alternativa, preenchendo as lacunas corretamente: 20) Obedeça- ___, estime-___ e ___ sempre que precisar a) os – os- recorra a eles b) lhes – os – recorra a eles c) os – lhes – recorra-lhes d) lhes – lhes – recorra-lhes 21) Os encargos ______nos obrigaram são aqueles _____o diretor se referiu a) de que, que b) a que, a que c) a cujos, cujo d) de que, de que 22) Alguns demonstram verdadeira aversão _______ exames, porque nunca se empenharam o suficiente _____ utilização do tempo ______ dispunham para o estudo a) por, com, que b) a, na, que c) a, na, de que d) com, na, que 23) Assinale a incorreta: a) O trabalho ansiava o rapaz b) O rapaz ansiava por trabalho c) Você anseia uma vaga d) Aquele espetáculo ansiava-o CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 67
  • 68. 24) Ansiava ____ encontrá-lo, a fim de ____ pelo sucesso: a) por, cumprimentá-lo b) por cumprimentar-lhe c) em, cumprimentar-lhe d) para cumprimentar-lhe 25) Assinale a substituição errada: a) Aspiro o pó – Aspiro-o b) Aspiro ao sucesso – Aspiro-lhe c) Aspiro ao sucesso – Aspiro a ele d) Aspiramos o ar – Aspiramo-lo 26) Assinale a substituição incorreta: a) O médico assiste o doente – O médico assiste-o b) O médico assiste ao doente – O médico assiste-lhe c) O doente assiste ao programa – O doente assiste-lhe d) O doente assiste ao programa – O doente assiste a ele 27) Assinale a opção em que o verbo ASSISTIR é empregado com o mesmo sentido que apresenta em : “Não direi que assisti às alvoradas do Romantismo”: a) Não se pode assistir indiferente a um ato de injustiça b) Não assiste a você o direito de me julgar c) É dever do médico assistir a todos os enfermos d) Em sua administração, sempre foi assistido por bons conselheiros 28) Leia os períodos e selecione, depois, a opção correta: 1. 2. 3. 4. O povo assistiu ao jogo? Sim, o povo assistiu a ele O professor aspirava o cargo de diretor da escola A enfermeira não assistiu o jogo porque assistia a um doente Os que vestem roupas delicadas e finas são os que assistem nos palácios dos reis a) Apenas os períodos 1 e 4 são corretos b) Todos estão corretos c) Apenas os períodos 2 e 3 são corretos d) Apenas o 1º período é correto 29) Assinale a correta: a) Custa-me descobrir qual a correta b) Custei a resolver os problemas c) Custei rever a matéria d) Custou-me para explicar a ele CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 68
  • 69. 30) Assinale a incorreta: a) Esqueceu-me a carteira b) Eu me esqueci da carteira c) Eu esqueci da carteira d) Esqueceu-se a carteira 31) A menina ______olhos eu não esqueço, não me sai do pensamento: a) de cujos os b) cujos c) cujos os d) de cujos 32) Correlacione as orações: 1. Era uma grande data... 2. Leu o livro... 3. Ouviu o tiro... ( ) cujas páginas o encantaram ( ) de que nunca me esqueço ( ) sobre cujas páginas dormiu ( ) que nunca esqueço ( ) a que escapou a) 2-1-2-1-3 b) 3-1-2-1-2 c) 2-1-2-2-3 d) 1-1-2-1-3 33) Preencha as lacunas: 1. A posição ____ visamos é nobre 2. Foram muitos os documentos _____visamos 3. Ninguém pode prescindir ______ ajuda de outrem 4. Sempre quis muito ____- seus filhos e estes também _____ querem muito 5.Seus modos nos se coadunam _____ os princípios de boa educação A seqüência correta será: a) que – a que – da – a – o - sob b) a que – que – da – a – lhe - com c) que – que – a - os – lhe - com d) por que - de que - a - os – o - contra 34) Considere os períodos abaixo: 1. 2. 3. 4. 5. Fabiano preferiu ficar escondido do que renunciar à sua liberdade Custou-lhe muito falar com Sinhá Vitória a respeito dos meninos Agora os meninos tinham obrigação de obedecê-los Sempre se lembraria que a seca a tudo esturricava Jamais lhe perdoaria as humilhações recebidas a) Corretos 1 e 4 b) Corretos 2 e 5 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 69
  • 70. c) Corretos 2 e 3 d) Corretos 1 e 2 35) Assinale a incorreta: a) Prefiro ficar aqui do que sair b) Eles aspiram o ar puro do mar c) Estas calças lhe servem bem d) Todos querem bem a seus pais 36) Onde há erro de regência? a) Esqueceram-lhe os compromissos b) Nós lhe lembramos o compromisso c) Eu esqueci dos compromissos d) Não me lembram tais palavras 37) Que homem você viu? Este é o homem que eu vi. 1. Este é o menino ______ eu chamei 2. Este é o menino ______ eu vim 3. Este é o menino ______ eu assisti 4. Este é o menino ______ eu me esqueci 5. Este é o menino ______ eu esqueci a) quem, com que, a que, de que, que b) que, com que, que, quem de, que c) que, com quem, a quem, de quem, que d) que, que, a que, que, de que 38) Indique a frase correta: a) Cheguei tarde a casa ontem b) Resido à rua da Independência c) Viso uma vida e um emprego melhor d) Trouxe o livro que você se refere 39) Assinale a frase correta: a) Devo interromper-lhe para fazer-lhe algumas perguntas b) Não posso atendê-lo agora, mas agradeço-lhe a visita c) Autorizei-lhe a sair agora mesmo d) Se nossa conversa não lhe atrapalha, sua irritação é porque lhe impediram de entrar na sala 40) Assinale a frase incorreta: a) Abraçou os amigos com carinho b) Deus assiste os infelizes c) Chamam ao diabo de cão d) Esta é a primeira vez que o desobedeço, pois sempre lhe quis bem 41) Assinale a alternativa com erro, se houver: a) Sabemos que o impediram de entrar na sala, mas informo-lhe que sua inscrição foi aceita b) Só não o chamaram de santo e ainda lhe dizem que o amam c) Avise o aluno de que a prova versará sobre todo o conteúdo d) Todas estão corretas CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 70
  • 71. 42) Incorreta: a) Informei-o de nossos planos b) Informei-lhe nossos planos c) Informei-lhe de nossos planos d) Todas estão corretas 43) Incorreta: a) Incumbiram-lhe das compras b) Cientifiquei os candidatos das deliberações tomada c) Não vou comparecer à reunião de hoje d) Todas estão corretas 44) Incorreta: a) O fiscal mora na Rua Santos Paiva b) Jamais perdoou aos que fugiram c) Sua falta implica rescisão de contrato d) Todas estão corretas 45) Incorreta: a) Ela presidiu aos exames finais b) A secretária acedeu o convite c) Queremos muito aos nossos mestres d) Todas estão corretas 46) Incorreta: a) Devemos, acima de tudo, visar ao bem do próximo b) Não respondi, ainda, ao telegrama c) Não lhe assiste tal direito d) Todas estão corretas 47) Incorreta: a) É dela a casa em que sempre vou b) O resultado a que se chegou foi surpreendente c) Esta é a chave com que abrirei o cofre d) Todas estão corretas 48) Incorreta: a) Abraçou-o b) Encontrou-o d) Obedeço-o d) Respeito-o 49) Assinale a alternativa com erro de regência: a) Alguns políticos têm hábitos com que não simpatizamos b) Analise o fato a que o povo se insurgiu c) Este é o líder por cuja causa lutaste? d) Um novo Plano Econômico implicará reações imprevisíveis CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 71
  • 72. Respostas Sobre Regências Verbal e Nominal: 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) B 27) C 28) A 29) A 30) A 31) C 32) B 33) A 34) B 35) B 36) A 37) C 38) C 39) A 40) B 41) D 42) D 43) C 44) A 45) D 46) B 47) D 48) A 49) C 50) I I C C C I C I I I I I I I C C C C I I B B C C A CRASE A palavra crase provém do grego (krâsis) e significa mistura. Na língua portuguesa, crase é a fusão de duas vogais idênticas, mas essa denominação visa a especificar principalment e a contração ou fusão da preposição a com os artigos definidos femininos (a, as) ou com os pronomes demonstrativos a, as, aquele, aquela, aquilo, aquiloutro, aqueloutro . Para saber se ocorre ou não a crase, basta seguir três regras básicas: 01) Só ocorre crase diante de palavras femi ni nas, portanto nunca use o acento grave indicativo de crase diante de palavras que não sejam femininas. Ex. O sol estava a pino. Sem crase, pois pino não é palavr a feminina. Ela recorreu a mim. Sem crase, pois mim não é palavra feminina. Estou disposto a ajudar você. Sem crase, pois ajudar não é palavr a feminina. 02) Se a preposição a vier de um verbo que indica destino (ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer, dirigir-se...), troque este verbo por outro que indique procedência (vir, voltar, chegar...); se, diante do que indicar procedência, surgir da, diante do que indicar destino, ocorrerá crase; caso contrário, não ocorrerá crase. Ex. Vou a Porto Alegre. Sem crase, pois Venho de Porto Alegre. Vou à Bahia. Com crase, pois Venho da Bahia. Obs.: Não se esqueç a do que foi estudado em Artigo. 03) Se não houver verbo indicando movim ento, troca-se a palavr a femini na por outra masculi na; se, diante da masculina, surgir ao, diante da feminina, ocorrerá crase; caso contrário, não ocorrerá crase. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 72
  • 73. Ex. Assisti à peça. Com cras e, pois Assisti ao filme. Paguei à cabeleireira. Com crase, pois Paguei ao c abeleireiro. Respeito as regras. Sem crase, pois Respeito os regulament os. Casos especiais 01) Diante das palavras moda e maneira, das expressões adverbiais à moda de e à maneira de, mesmo que as palavras moda e maneira fiquem subentendidas, ocorre crase. Ex. Fizemos um churrasco à gaúcha. Comemos bife à milanesa, frango à passarinho e espaguete à bolonhesa. Joãozinho usa cabelos à Príncipe Valente. 02) Nos adjuntos adverbiais de modo, de lugar e de tempo femininos, ocorre crase. Ex. à tarde, à noite, às pressas, às escondidas, às escuras, às tontas, à direita, à esquerda, à vontade, à revelia ... 03) Nas locuções prepositivas e conjuntivas femininas ocorre cras e. Ex. à maneira de, à moda de, às custas de, à procura de, à espera de, à medi da que, à proporção que... 04) Diante da palavra distância, só ocorrerá crase, se houver a formação de locução pr epositiva, ou seja, se não houver a preposição de, não ocorrerá crase. Ex. Reconheci-o a distância. Reconheci-o à distância de duzentos metros. 05) Diante do pronome relativo que ou da preposição de, quando for fusão da preposição a com o pronome demonstrativo a, as (= aquela, aquel as). Ex. Essa roupa é igual à que comprei ontem. Sua voz é igual à de um primo meu. 06) Diante dos pronomes relativos a qual, as quais, quando o verbo da oração subordinada adjetiva exi gir a preposição a, ocorre crase. Ex. A cena à qual assisti foi chocante. (quem assiste assiste a algo) 07) Quando o a estiver no singular, diante de uma palavra no plural, não ocorre crase. Ex. Referi-me a todas as alunas, sem exceção. Não gosto de ir a festas desacompanhado. 08) Nos adjuntos adverbiais de meio ou instrumento, a não ser que cause ambigüidade. Ex. Preencheu o formulário a caneta. Paguei a vista minhas compras. Nota: Modernamente, alguns gramáticos estão admitindo crase diante de adjuntos adverbias de meio, mesmo não ocorrendo ambigüidade. 09) Diante de pronomes possessivos femininos, é facultativo o uso do artigo, então, quando houver a preposição a, será facultativa a ocorrência de crase. Ex. Referi-me a sua professor a. Referi-me à sua professor a. 10) Após a preposição até, é facultativo o uso da preposição a, portanto, caso haja substantivo feminino à frente, a ocorrência de crase ser á facultativa. Ex. Fui até a secretaria. Fui até à secretaria. 11) A palavr a CASA: A palavra casa só terá arti go, se estiver especificada, portanto só ocorrerá crase diante da palavra casa nesse caso. Ex. Cheguei a casa antes de todos. Cheguei à casa de Ronal do antes de todos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 73
  • 74. 12) A palavr a TERRA: Significando planeta, é substanti vo próprio e tem artigo, conseqüentemente, quando houver a preposição a, ocorrerá a crase; significando chão firme, solo, só tem artigo, quando estiver especificada, portanto só ness e caso poderá ocorrer a crase. Ex. Os astronautas voltaram à Terra. Os marinheiros voltaram a terra. Irei à terra de meus avós. Exercícios Para as questões de 01 a 34, assinale com ”C” as frases corretas e com “I “as Incorretas: 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A assistência às aulas é indispensável É expressamente proibida a entrada de pessoas estranhas Nunc a te dirijas à pessoas despreparadas Não vai a festa nem a i greja: não vai a parte alguma Usarias um bigode à Salvador Dali? Notícias ruins vêm à jato, as boas à cavalo Esta novel a nem se compara a que assistimos Não me referi a essas caixas, mas as que estão na sala Florianópolis possui muitas praias, as quais visitaremos Prefiro esta matéria a aquela que estudávamos Obedec erei àquilo que for determinado em lei O deputado foi a Grécia comprar vinho O professor foi a Taguatinga comprar pinga Vocês, caros alunos, ainda visitarão a Europa Gostaria de ir a Curitiba dos pinheirais Chegou a casa e logo se jogou na cama Jamais voltou à casa paterna Irei a cada de meus pais Os turistas foram à terra comprar flores Os marujos desconheciam à terra do capitão Acabarão chegando à terra dos piratas Ser á que aqueles astronautas voltarão a Terra? A polícia observava os manifestantes a distância Via-se, a distância de cem metros, uma pequena rocha Diga a Adriana que a estamos esperando Avisa a Adriana, minha filha, que amanhã teremos prova O diretor fez al usões a sua classe e não a minh a O cônsul enviou vária cartas as suas filhas O conselheiro jamais perdoou a Dona Margarida Esta alameda frondosa vai até à chác ara de meu pai Os meninos cheiravam a cola Eles viviam à toa, mas sempre à procura de dinheiro Enriqueciam a medida que os vizinhos se empobreciam Estamos esper ando desde às oito horas da manhã 35) Nas manchetes a seguir, assinale a alternativa em que não ocorre crase: a) Cárter acusa Israel de criar obstáculos a paz b) Presidente sírio pede a ajuda do P arlamento par vencer a corrupção c) Itália pede a Alemanha extradição de nazistas d) Poç o na bacia de Campos leva P etrobrás a maior jazi da j á descoberta CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 74
  • 75. 36) Assinale a alternativa com erro: a) Voc ê já esteve em Roma? Eu irei logo a Roma b) Refiro-me à Roma antiga, na qual viveu César c) Fui a Lisboa de meus avós, pois lá todas as coisas têm gosto da minha infância d) Já não agrada ir a Brasília. A gasoli na está muito cara 37) Marque a alternativa em que a crase é facultativa: a) Contei o caso à Maria b) Paguei o que devia à dona da loja c) Saiu às quinze horas d) Por desobedecer às regras do jogo, fui expulso 38) A crase está errada na alternativa: a) Fiz alusão à Roma antiga b) Fazes referências à criaturas estranhas c) Saíram às pressas d) Obedecendo à ordem geral, compareceu ao desfile 39) Não ocorre crase: a) Pediu desculpas a S. Exª b) Assistiremos a missa c) não o levaremos aqueles sombrios lugares d) Lá estar emos as dezessete horas 40) ____noite, todos os operários voltaram ____ fábrica e só deixaram o serviço _____ uma hora da manhã: a) Há – à - à b) A – a - a c) À – à - à d) À – a - há 41) Assinale a alternativa em que a lacuna da primeira frase deve ser preenchida com a e a da Segunda com à: I. Regresso ___ casa paterna tal qual filho a) pródigo I. As moças não gostam de andar ___ cavalo. II. Ele percorreu o Brasil de ponta ___ ponta b) II. Quem tem boc a vai ___ Roma d) I. Essa é a tua canet a, eu me refiro ____ minha II. Ele quer as coisa ___ ferro e fogo I. Apresento minhas desculpas ___ Vossa c) Excelência II O menino voltou ___ escola com novo ânimo 42) Preencha corretam ente as lacunas: 1. Apesar da insistência, não compareci ___ jantar 2. Ganhou uma jóia semelhante ___ que lhe haviam roubado 3. Naquele dia, não atendeu ___ nenhuma chamada 4. a) b) c) d) Aludiu ___ outras obras do autor aquele – à – a - à aquele – a – à - a àquele – à – à - a àquele – à – a – a 43) Preencha corretam ente as lacunas: 1. Dirigiu-se ___ cada um em particular 2. Encostou a cabeça ___ parede 3. Todos vão ___ festa 4. Voltou apressado ___ casa do pai 5. a) b) c) O carro estava ___ uma distância de 50 passos a– a– à– a– a a – à – a – a- à a– à– a– à-a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 75
  • 76. d) à – a – a – à - a 44) “Ele foi ___ cidade; dirigiu-se ___ referida pensão e aí, pondo-se ___ vontade, pediu ___ criada um cozido ___ portuguesa”: a) à – à – a – a – à b) à – a – a – a – à c) a – a – a – à – à d) à – à – à – à - à 45) “Agradeç o ___ Vossa Senhoria ___ oportunidade para manifestar minha opinião ___ respeito.” a) à – a – à b) à – a – a c) a – a – à d) a – a – a 46) Muita atenção, observe os períodos abaixo: I. Sempre que ia à Rio Pardo, Maneco Terra costumava apresentar os seus cumprimentos à velha mãe II. Graças à sua formação, ele está sempre mais predisposto ao perdão do que à justiça III. Dedica-se com carinho à família, ao amanho da terra e às suas lavouras e plant ações IV. Solicito a V. Exº que dê permissão a esta funcionária para apr es entar-se a nova repartição V. Aspira, há muito, à nomeação para ao cargo a que tem direito adquirido e indiscutível VI. A Aeronáutica colocou vários helicópteros à disposição, à fim de socorrer a todos os atingidos pel o terremoto A alternativa em que todos acentos indicadores da crase estão corretos é: a) II, II, V, VI b) II, III , V, c) II, IV. d) I, III 47) “____ esper ança jamais _____ de acabar enquanto você tiver forças para vencer _____ decepç ões, energia para super ar ____ dificuldades ____ que todos estamos sujeitos: a) A – há – as – as – a b) À – há – às – as – a c) A – a – as – as – a d) A – há – às – as – à 48) Assinale o período em que há 2 casos de crase: a) Chegando a cas a, achou abertas as janelas b) Agradecia as colegas os elogios feitos a pesquisa que apresenta c) Referindo-se a poesia romântica, fez comentários a respeito de Castro Alves d) Indiferentes as queixas, ia respondendo a pergunta 49) Exami nando as sentenças: - Refiro-me àquilo que discutimos - Chegamos à Argentina de madrugada - Ele era insensível à dor - Dedico minhas poesia à Rita Mara a) apenas uma está correta b) apenas duas estão corretas c) apenas três estão corretas d) todas estão corretas 50) É preciso completar com à: 1. O deputado usou uma tática idêntica ___ que a oposição utilizara 2. A máquina de votar reduz ___ zero o número de seções eleitorais 3. Outros ataques se dirigem ___ técnica utilizada no filme 4. O filme passa abruptamente de cenas na alta sociedade ___ execução de prisioneiros a) sim, não, sim, sim b) não, não, não, não c) sim, sim, não, sim CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 76
  • 77. d) não , sim, sim não 51) Qual a alternativa conveniente? 1. Aquela é a moça ___ que aludi 2. Visei a alcançar ___ função 3. Os livros pertencem ao irmão e ___ irmã 4. Chegando ___ estação, João levantou-se a) a – aquela – à - à b) a – àquela – à - a c) à – aquela – à - à d) à – àquel a – à – à 52) Em que frase o “A” não recebeu o acento grave corretamente: a) O poeta chama ira à brutalidade, à violência da luta b) Quanto às iras impotentes, são as mesmas sempre desprezíveis c) À cólera se segue a aflição, que nos traz o arrependimento d) Acredito que à ira nada se atreve, sem que a alma o consi nta 53) Em que frase o “A” deve receber o acento indicador da crase? a) Não me refiro aqui senão a catástrofes individuais b) Assistiu a cena, sem que suas feições denotassem ressentimento c) A que levam essas questões? A conhecer a ira, a conhecê-la bem d) Não se at ente a um mal menor quando um maior nos ameaça 54) Complete as lacunas: 1. Os convidados sentaram-se ___ mesa de jantar 2. Compareci ___ cerimônia de posse do novo governador 3. Não tendo podido ir ___ faculdade hoje, prometo assistir ____ todas as aulas amanhã a) à – a – a - à b) na – na – à - a c) à – à – à - a d) há – na – à – à 55) Não devemos atribuir ___ ciência ___ responsabilidade pelas páginas ruins que a humanidade venha ___ escrever: a) à – a - a b) a – à – à c) à – à - a d) a – à - a 56) A vida comunitária impõe ___ todas as pessoas certas restrições e obriga-nos a submeter ___ nossa vontade pessoal ___ vontade da maioria: a) a – a - à b) a – à – à c) à – à - a d) à – à - à 57) Preencha s lacunas: 1. Daqui ___ duas hor a, dou-lhe isto pronto 2. Isto acontec eu ___ muitos anos 3. Daí ___ dias encontrei-o solto a) b) c) d) a – há - a à – a – à às – a - há a– a-a 58) Todas ___ Sexta-feira vamos ___ faculdade ___ pé, percorrendo a rua XV de ponta ___ponta: a) às – à – a - a b) às – à – à - a c) às – à – à - à d) as – à – a - a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 77
  • 78. 59) Em que lacuna empregaríamos crase? a) Joana esteve, ___ noite, em minha casa b) Voltei ___ casa muito tarde c) O tribuno referia-se ___ quaisquer pessoa d) Estamos na vila ___ vinte anos 60) “Estou ___ seu dispor ___ qualquer hora da tarde, ___ menos que surja algum imprevisto: a) a – à – à b) à – à – a c) à – à – à d) a – a – a 61) “Estava ___ voltas com um problema, mas planejava, daí ___ pouco, ir ___ casa do comendador: a) às – à - à b) às – à - a c) as - a - à d) às – a – à 62) “As questões apresentadas ___ alunas do terceiro ano eram semelhantes ___ que enviamos ___ se a) às – às - a b) às – às - à c) às – as - à d) as – as – à 63) ”Resistirei ___ pressão, pois estou prestes ___ transferir-me e devo evitar aborrecimentos ___ que confiaram em mim: a) à – a – às b) a – à - às c) à – à - às d) a – a- às 64) Foi ___ conselho de amigos que se dirigiu ___ esse médico de quem ___ muito ouvira falar: a) à – à - há b) a – a - à c) a – à – à d) a – a - há Respostas Sobre Crase CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 78
  • 79. 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59) 60) 61) 62) 63) 64) C C I C C I I I C I C I C C I C C C I I C I C I C I I I C C C C I I B C A B A C D D C D D B A B D A A D B C A A A D A D D B A D CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 79
  • 80. Significação das palavras (Semântica) Para os menos avisados, semântica é a parte da gramática que estuda o sentido e a aplicação das palavras em um contexto. Assim sendo, a palavra manga pode ter alguns significados dependendo o contexto. Vejamos a palavra nas orações “Me lambuzo todo chupando manga” e “Não posso sair com essa manga rasgada”. Será que temos o mesmo significado para a palavra manga nas duas orações? Com certeza, não. Na primeira oração, a palavra tem como significado o fruto da mangueira; já no segundo, ela é uma parte de uma peça do vestuário. A esta característica das palavras apresentarem a mesma escrita, mas significados diferentes, quando aplicadas em um contexto, chamamos polissemia. No começo deste artigo encontramos um verbo que, dependendo do contexto, pode ter significados diferentes: cair. Esse verbo em “ele cai sempre que anda de patins” tem a mesma idéia que “essa questão sempre cai na prova”? Evidentemente que não, como você bem percebeu. Na primeira oração, o verbo cair está empregado no modo denotativo, da forma que se imagina seu emprego ou, como preferem alguns, da forma que ele é encontrado nos dicionários; na segunda, o verbo cair depende do contexto para ser identificado sendo, então, empregado no modo conotativo. Cair na prova não é despencar em cima do teste avaliativo escrito; é tão somente constar um determinado assunto na tal citada prova. Note que uma palavra – que expressa idéia, conceito, ações – pode ser apresentada em um sentido real ou figurado. A isso, temos os conceitos de denotação quando uma palavra por si só expressa um significado, com seu valor objetivo, real, comum em qualquer dicionário e o conceito de conotação quando ela é expressa em sentido figurado, subjetivo, que depende de uma interpretação do contexto. Polissemia: é quando uma palavra tem mais de uma significação. Exemplos: Mangueira => tubo de borracha ou de plástico para regar plantas ou apagar incêndios; árvore frutífera; grande curral de gado. Pena => pluma; peça de metal para escrever; punição; dó. Velar => cobrir com véu; vigiar; cuidar; relativo ao véu do paladar. Podemos citar ainda como exemplos de palavras polissêmicas, o verbo Dar e os substantivos linha e ponto, que tem dezenas de acepções. Sentido próprio e sentido figurado: As palavras podem ser empregadas no sentido próprio ou no sentido figurado. Observe: Construí um muro de pedra. ( sentido próprio) Ela tem um coração de pedra. ( sentido figurado) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 80
  • 81. A água pingava lentamente. ( sentido próprio) As horas pingavam de maneira monótona. ( sentido figurado) Denotação e Conotação: Observe a palavra em destaque destes exemplos: Comprei uma correntinha de ouro. Cássia nadava em ouro. No primeiro exemplo, a palavra ouro denota ou designa simplesmente o conhecido metal precioso, brilhante, de cor amarela: tem sentido próprio, real, denotativo. No segundo, ouro sugere ou evoca riquezas, opulência, poder, glória, luxo, prazeres: tem sentido conotativo, possui várias conotações ( idéias associadas, sentimentos, evocações que irradiam da palavra). Como se vê, certas palavras têm grande poder evocativo, uma extraordinária carga semântica; são capazes de sugerir muito mais do que o objeto designado, desencadeando, conforme a situação, idéias, sentimentos e emoções de toda ordem. Quantas coisas podem sugerir palavras conotativas como selva, mar, praia, sol, festa! COLOCAÇÃO PRONOMIAL Próclise: é a colocação dos pronomes oblíquos átonos antes do verbo. Usa-se a próclise, quando houver palavras atrativas. São elas: a) Palavras de sentido negativo. - Ela nem se incomodou com meus problemas. b) Advérbios. - Aqui se tem sossego, para trabalhar. c) Pronomes Indefinidos. - Alguém me telefonou? d) Pronomes Interrogativos. - Que me acontecerá agora? e) Pronomes Relativos - A pessoa que me telefonou não se identificou. f) Pronomes Demonstrativos Neutros. - Isso me comoveu deveras. g) Conjunções Subordinativas. - Escrevia os nomes, conforme me lembrava deles. Mesóclise: É a colocação pronominal no meio do verbo.A mesóclise é usada: 1) Quando o verbo estiver no futuro do presente ou futuro do pretérito, contanto que esses verbos não estejam precedidos de palavras que exijam a próclise. Ex.: Realizar- se-á, na próxima semana, um grande evento em prol da paz no mundo. Não fosse os meus compromissos, acompanhar- te-ia nessa viagem. Ênclise: É a colocação pronominal depois do verbo.A ênclise é usada quando a próclise e a mesóclise não forem possíveis: 1) Quando o verbo estiver no imperativo afirmativo. Ex.: Quando eu avisar, silenciem- se todos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 81
  • 82. 2) Quando o verbo estiver no infinitivo impessoal. Ex.: Não era minha intenção machucar- te. 3) Quando o verbo iniciar a oração. Ex.: Vou- me embora agora mesmo. 4) Quando houver pausa antes do verbo. Ex.: Se eu ganho na loteria, mudo- me hoje mesmo. 5- Quando o verbo estiver no gerúndio. Ex.: Recusou a proposta fazendo- se de desentendida. Colocação pronominal nas locuções verbais 1) Quando o verbo principal for constituído por um particípio a) O pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar. Ex.: Haviam- meconvidado para a festa. b) Se, antes do locução verbal, houver palavra atrativa, o pronome oblíquo ficará antes do verbo auxiliar. Ex.: Não me haviam convidado para a festa. 2) Quando o verbo principal for constituído por um infinitivo ou um gerúndio: a) Se não houver palavra atrativa, o pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar ou depois do verbo principal. Ex.: Devo esclarecer- lhe o ocorrido/ Devo- lhe esclarecer o ocorrido. Estavam chamando- me pelo alto-falante./ Estavam- me chamando pelo alto-falante. b) Se houver palavra atrativa, o pronome poderá ser colocado antes do verbo auxiliar ou depois do verbo principal. Ex.: Não posso esclarecer- lhe o ocorrido./ Não lhe posso esclarecer o ocorrido. Não estavam chamando-me./ Não me estavam chamando. Observações importantes Emprego de o, a, os, as 1) Em verbos terminados em vogal ou ditongo oral os pronomes o,a,os,as não se alteram. Ex.: Chame- o agora. Deixei- a mais tranqüila. 2) Em verbos terminados em r, s ou z, estas consoantes finais alteram-se para lo, la, los, las. Ex.: (Encontrar)Encontrá- lo é o meu maior sonho. (Fiz) Fi- lo porque não tinha alternativa. 3) Em verbos terminados em ditongos nasais (am, em, ão, õe, õe,), os pronomes o, a, os, as alteram-se para no, na, nos, nas. Ex.: Chamem- no agora. Põe- na sobre a mesa. 4) As formas combinadas dos pronomes oblíquos mo, to, lho, no-lo, vo-lo, formas em desuso, podem ocorrer em próclise, ênclise ou mesóclise. Ex.: Ele mo deu. (Ele me deu o livro). REVISANDO Denomina-se colocação pronominal o conjunto de regras referentes à colocação dos pronomes pessoais, oblíquos e átonos que funcionam comocomplementos: me, te, se, o, lhe, a, nos, vos, se, os, as, lhes. Relativamente ao verbo, do qual dependem colocar-se antes (próclise), no meio (mesóclise) e depois (ênclise) dele. Próclise - é de regra com: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 82
  • 83. 1. palavras de sentido negativo. “Ninguém me ama, ninguém me quer...” 2. pronome indefinido. Tudo me parece impossível 3. pronome relativo. Tudo quanto me disseste é falso. 4.com certos advérbios. Bem se vê que lá se vive melhor. Obs.: se depois do advérbio vier vírgula, ocorre ênclise: Aqui se fala muito. Aqui, fala-se muito. 5. conjunções subordinadas. “Quando meu bem-querer me vir, estou certo...” Se você o encontrar,avise-o de que... 6. Gerúndio regido de preposição em. Em se tratando de mulheres, prefiro as inteligentes. 7. infinitivo flexionado regido de preposição. E, por se amarem muito, uniram seus destinos. Nota: é facultativa quando o infinitivo não flexionado estiver precedido de preposição ou palavra negativa: “Estou aqui para servir-te.”.(ou: para te servir) Meu desejo era não o incomodar”(ou: não incomodá-lo). Mas, se o infinitivo vier antecedido da preposição a, recomenda-se a ênclise: Estou inclinado a obedecer-lhe. Comecei a compreendê-lo. 8. Nas orações optativas (aquelas que expressam desejo) de sujeito anteposto ao verbo. Macacos me mordam. 9. Nas orações exclamativas. “Quanto sangue se derramou inutilmente!” 10. Nas orações interrogativas. Por que me abandonas? Mesóclise - É de regra Com o futuro do presente e com o futuro do pretérito, desde que não ocorra condição para a próclise. “Dir-me-á o leitor que a beleza vive de si mesma!” (M.A.) “Dar-me-iam água para lavar as mãos?” (G. Ramos) Ênclise - É de regra: 1. Nas orações iniciadas por verbo. Falava-me suavemene. Disseram-me que você me ama. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 83
  • 84. 2. Com verbo no gerúndio, sem partícula atrativa O velho criticava a juventude, dirigindo-se aos presentes. Entendeu o segredo do tempo, olhando-se no espelho. 3. Com verbo no imperativo afirmativo. Dê-me um copo d’água. Faça-me um favor. 4. Com verbo no infinitivo, regido da preposição a. Chegamos a abraçá-lo. “Sabe-se ele se tornará a vê-los algum dia!” (José de Alencar) 5. Junto a infinitivo precedido de artigo. O vender-se; o queixar-se. 6. Nas orações interrogativas, estando o verbo no infinitivo, embora antecedido de palavra ou locução que obrigue a próclise. “Como alistar-me, se o governo não tem inimigos?” Por que arrepender-me? Como apanhá-lo? Colocação pronominal nas locuções verbais 1) Auxiliar + infinitivo - há quatro possibilidades: a) ênclise ao auxiliar. O amigo precisou lhe confiar o segredo. b) ênclice ao infinitivo. O amigo precisou confiar-lhe o segredo. c) próclise ao auxiliar. O amigo lhe precisou confiar o segredo. d) próclise ou ênclise ao infinitivo precedido de preposição. O amigo não deixou de lhe confiar o segredo. O amigo não deixou de confiar-lhe o segredo. 2. Auxiliar + Gerúndio - há três possibilidades: a) próclise ao auxiliar. O amigo lhe estava confiando o segredo. b) ênclise ao auxiliar. O amigo estava-lhe confiando o segredo. c) ênclise ao gerúndio. O amigo estava confiando-lhe o segredo. 3) Auxiliar + particípio - há duas possibilidades: a) próclise ao auxiliar. Os amigos se tinham despedido. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 84
  • 85. b) ênclise ao auxiliar. Os Amigos tinham se despedido. Notas 1. Com palavra ou locução atrativas, o pronome não pode ficar no meio da locução. Não lhe quero falar ou Não quero falar-lhe. 2) “A interposição do pronome átono nas locuções verbais sem se ligar por hífen ao auxiliar, é sintaxe brasileira que se consagrou na língua literária, a partir (ao que parece) do Romantismo. “O morcego vem te chupar o sangue.” (Alencar) “...estava se distanciando da outra.” (Taunay) “Como teria se comportado aquela alma de passarinho diante do mistério da morte?” (Raquel de Queirós) Adaptações 1..Os pronomes o, a, os, as, enclíticos, sofrem adaptações quando o verbo termina em r, s ou z. Eles passam a ter as formas: -lo, -la, -los, -las. Vou amar-a por toda minha vida. (Sem adaptação.) Vou amá-la por toda minha vida. (Com adaptação.) Tu amas-o como a ti mesma.. (Sem adaptação.) Tu ama-lo como a ti mesma. (Com adaptação.) O jogo, fiz-o sozinho. (Sem adaptação.) O jogo, fi-lo sozinho. (Com adaptação.) Obs. Com a expressão eis acontece a mesma coisa: Ei-la aqui, radiante e bela! 2. Os pronomes oblíquos o, a, os, as, quando precedidos de verbos terminados em -m, -ão, -õe, assumem a forma -no, - na, -nos, -nas. Entregaram- o ao professor. (Sem adaptação.) Entregaram-no ao professor. (Com adaptação.) O assunto, dão-o por encerrado. (Sem adaptação.) O assunto, dão-no por encerrado. (Com adaptação.) Exercícios Sobre Colocação Pronominal Para as perguntas de 1 a 28 você deverá assinalar com “C “ o que estiver correto e com “I” os incorretos: 1. ( ) O presente é a bigorna onde se forja o futuro (próclise) 2. ( ) Nossa vocação molda-se às necessidades (ênclise) 3. ( ) Se não fosse a chuva, acompanhar-te-ia (mesóclise) 4. ( ) Macacos me mordam! 5. ( ) Caro amigo, muito lhe agradeço o favor... 6. ( ) Ninguém socorreu-nos naqueles momentos difíceis 7. ( ) As informações que se obtiveram, chocavam-se entre si 8. ( ) Quem te falou a respeito do caso? 9. ( ) Não foi trabalhar porque machucara- se na véspera 10. ( ) Não só me trouxe o livro, mas também me deu presente 11. ( ) Ele chegou e perguntou-me pelo filho 12. ( ) Em se tratando de esporte, prefere futebol 13. ( ) Vamos, amigos, cheguem-se aos bons 14. ( ) O torneio iniciar-se-á no próximo Domingo 15. ( ) Amanhã dizer-te-ei todas as novidades 16. ( ) Os alunos nos surpreendem com suas tiradas espirituosas 17. ( ) Os amigos chegaram e me esperam lá fora 18. ( ) O torneio iniciará-se no próximo Domingo 19. ( ) oferecida-lhes as explicações, saíram felizes CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 85
  • 86. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) Convido-te a fazeres-lhes, essa gentileza ) Para não falar- lhe, resolveu sair cedo ) É possível que o leitor nos não creia ) A turma quer-lhe, fazer uma surpresa ) A turma havia convidado-o para sair ) Ninguém podia ajudar-nos naquela hora ) Algumas haviam-nos contado a verdade ) Todos se estão entendendo bem ) As meninas não tinham nos convidado para sair 29. Assinale a frase com erro de colocação pronominal: a) Tudo se acaba com a morte, menos a saudade b) Com muito prazer, se soubesse, explicaria-lhe tudo c) João tem-se interessado por suas novas atividades d) Ele estava preparando-se para o vestibular de Direito 30. Assinale a frase com erro de colocação pronominal: a) Tudo me era completamente indiferente b) Ela não me deixou concluir a frase c) Este casamento não deve realizar-se d) Ninguém havia lembrado-me de fazer as reservas 31. Assinale a frase incorreta: a) Nunca mais encontrei o colega que me emprestou o livro b) Retiramo-nos do salão, deixando-os sós c) Faça boa viagem! Deus proteja-o d) Não quero magoar-te, porém não posso deixar de te dizer a verdade 32. ”O funcionário que se inscreve, fará prova amanhã: 1. 2. 3. 4. Ocorre próclise em função do pronome relativo Deveria ocorrer ênclise A mesóclise é impraticável Tanto a ênclise quanto a próclise são aceitáveis a) Correta apenas a 1ª afirmativa b) Apenas a 2ª é correta c) São corretas a 1ª e a 3ª d) A 4ª é a única correta 33. Assinale a colocação inaceitável: a) Maria Oliva convidou-o b) Se abre a porta da caleça por dentro c) Situar-se-ia Orfeu numa gafieira? d) D. Pedro II o convidou 34. O pronome pessoal oblíquo átono está bem colocado em um só dos períodos. Qual? a) Isto me não diz respeito! Respondeu-me ele, afetadamente b) Segundo deliberou-se na sessão, espero que todos apresentem-se na hora conveniente c) Os conselhos que dão-nos os pais, levamo-los em conta mais tarde d) Amanhã contar-lhe-ei por que peripécias consegui não envolver-me 35) Estas conservas são para nós __________ durante o inverno. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna: a) alimentarmos- nos b) alimentar- mo- nos c) nos alimentarmos d) nos alimentarmo- nos CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 86
  • 87. 36) Caso _______ lá, _______, para que não _______ Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas: a) b) c) d) se demoram – avisem-nos – nos preocupemos se demorem – avisem-nos – preocupemo-nos demorem-se – nos avisem – preocupemo-nos demorem-se – nos avisem – nos preocupemos 37) Do lugar onde _______, ______um belo panorama, em que o céu ________com a terra a) se encontrava – se divisava – ligava-se b) se encontravam – se divisava – ligava-se c) se encontravam – divisava-se – se ligava d) encontravam-se – divisava-se – se ligava 38) O pronome está mal colocado em apenas um dos períodos. Identifique-o: a) Finalmente entendemos que aquela não era a estante onde deveriam-se colocar cristais b) Ninguém nos falou, outrora, com tanta sinceridade c) Não se vá, custa-lhe ficar um pouco mais? d) A mão que te estendemos é amiga Para as questões que seguem de 39 a 58, marcará com a letra “C” aquelas com o pronome oblíquo bem colocado, obedecendo as normas da Língua Culta e com “I” assinalará as incorretas: 39) ( ) Quando se estudaram minuciosamente as propostas, descobriram- se todas as falhas 40) ( ) Segundo informaram- me na seção, já se encontram prontos os contracheques desta mês 41) ( ) Os papéis que remeteram-me estão em ordem, ainda hoje devolvê-los-ei como havia prometido-lhes 42) ( ) Os professores haviam-nos instruído para as provas 43) ( ) Nada chegava a impressioná-la em sua passividade 44) ( ) Que Deus te acompanhe por toda a vida 45) ( ) Quando lhes entregariam as provas, era um mistério que não lhes era possível desvendar 46) ( ) A respeito daquelas fraudes, os auditores já haviam prevenido-os há muito tempo 47) ( ) Os amigos entreolharam- se emocionados, mas não lhes deram mais nenhuma informação 48) ( ) Aquele foi o livro que lhe eu dei como prova de admiração 49) ( ) Admirou-me a despesa porque não havias-me dito que o presente iria custar-te tão caro 50) ( ) Ainda não me havias falado essas injúrias 51) ( ) Já de pé, banhando-me, ouço-lhe os passos no corredor 52) ( ) Dir-se-ia que todos preferem-lhe ocultar os fatos 53) ( ) Os alunos não têm preocupado-se com as provas 54) ( ) Peça a dar- se- lhe- à o perdão 55) ( ) Causava-me admiração ver aqueles jovens dedicando-se aos estudos, enquanto outros não se esforçavam nem um pouco 56) ( ) Nada se faria, se ficassem de braços cruzados 57) ( ) No caso de não cumprirem o horário das aulas, romperão-se as cláusulas contratuais 58) ( ) Assim que sentiu-se prejudicado, reclamou seus direitos Respostas Sobre Colocação Pronominal 1. C 2. C 3. C 4. C 5. C 6. I 7. C 8. C 9. I 10. C 11. C 12. C 13. C 14. C 15. I 16. C 17. C 18. I 19. I 20. I 21. C 22. C 23. C 24. I 25. C 26. I 27. I 28. I 29. B 30. D 31. C 32. C 33. B 34. A 35. C 36. A 37. C 38. A 39. C 40. I 41. I 42. C 43. C 44. C 45. C CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 46. I 47. C 48. C 49. I 50. C 51. C 52. I 53. C 54. I 55. C 56. C 57. I 58. I 87
  • 88. Teoria dos Conjuntos Interseção de conjuntos Introdução aos conjuntos Alguns conceitos primitivos Propriedades dos conjuntos Algumas notações p/ conjuntos Diferença de conjuntos Subconjuntos Complemento de um conjunto Leis de Augustus de Morgan Alguns conjuntos especiais Diferença Simétrica Reunião de conjuntos Introdução aos conjuntos No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos. Alguns conceitos primitivos Conjunto: representa uma coleção de objetos. a. b. c. O conjunto de todos os brasileiros. O conjunto de todos os números naturais. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, Z. Elemento: é um dos componentes de um conjunto. a. b. c. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. b. c. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0. Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 88
  • 89. Algumas notações para conjuntos Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica: Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a. b. c. A={a,e,i,o,u} N={1,2,3,4,...} M={João,Maria,José} Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. a. b. c. A={x: x é uma vogal} N={x: x é um número natural} M={x: x é uma pessoa da família de Maria} Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 89
  • 90. A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 90
  • 91. 7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 91
  • 92. Complemento de um conjunto O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. CAB = A-B = {x: x CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 92
  • 93. Diferença simétrica A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 93
  • 94. N números naturais N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0 a + . Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natur al chamado sucessor, ou seja: N = {0,1,2,3,4,...}. O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais não-nulos, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Z números inteiros O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos negativos. É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-nulos: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-negativos: Z+ = {0,1,2,3,4,...} O símbolo Z- é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos: Z - = {..., -3, -2, -1, 0} O símbolo Z*+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos: Z*+ = {1,2,3,4,5, ...} O símbolo Z*- é usado para indicar o conjunto de números inteiros negativos: Z*- = {-1, -2, -3, -4, -5...} Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z. Q números racionais Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}. Lembre-se que não existe divisão por zero!. O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não-nulos: Q* = {x Q | x 0} CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 94
  • 95. O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q+ = {x Q | x 0} O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q- = {x Q | x 0} O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos: Q*+ = {x Q | x > 0} O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos: Q*- = {x Q | x < 0} I números irracionais Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o pi ( ). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 95
  • 96. R números reais O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos números reais não-nulos: R* = R - {0} O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = {x R | x 0} O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R- = {x R | x 0} O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R*+ = {x R | x > 0} O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R*- = {x R | x < 0} Conjunto dos Números Números Inteiros O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos). Assim os números inteiros são exemplos: Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 96
  • 97. Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”. Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10} Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....} Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z. Números Racionais Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q). Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples: Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata. É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata. Um exemplo simples: Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica. Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros. -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ 0,8 Numero racional CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 97
  • 98. A letra que representa os Números Racionais = Q Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3} O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”. Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)} Números Irracionais Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números. Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um número irracional famoso é o PI ( ) = 3,141592... O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir) -3 -2 -1 0 1 2 3 ( ) = 3,141592... (???) _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ Números Reais Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”. Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença: N Z Q R Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}. Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 98
  • 99. 2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não? Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo. Teste Rápido: Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos. O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo. Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Um exemplo simples : Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos. TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 99
  • 100. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS TABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS Definição Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte do Sistema de Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental o metro. No sistema de Medidas, são consideradas também fundamentais: consideradas também outras unidades de medidas, Múltiplos e Submúltiplos Diversos - O grama Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essa unidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias. Ex.: cinco quilogramas setecentos miligramas trezentos e vinte gramas novecentos e dois gramas CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 100
  • 101. Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 10 dag = 100 hg 1 g = 10 dag - O Litro Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculada diretamente ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões. Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l), corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida. Ex.: (01 l água), um litro de água. (2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros (30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 10 l = 100 l 1 l = 10 dal - O Prefixo Quilo É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil. Este prefixo Quilo não pode ser usado sozinho. Observe: Errado: quilo; k Certo: quilograma, kg Medidas Diversas - Medidas comprimento Unidade principal: METRO (m) Ex.: 01 Km = 1000 m Ex.: 100 m = 10 dam CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 101
  • 102. Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: - Medidas de área Unidade principal: METRO QUADRADO (m²) Ex.: 1000 m² Ex.: 1 m² Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: - Medidas de volume Unidade principal: METRO CÚBICO (m Ex.: 1000 m Ex.: 1 m Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: - Medidas de capacidade Unidade principal: LITRO (l) Ex.: 1 l Ex.: 1000 Litros Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 102
  • 103. - Medidas agrárias Unidade principal: ARE (a) Ex.: 1 a Ex.: 100 hectare Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: - Medidas para lenha (madeira) Unidade principal: ESTÉREO (st) Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: (metro cúbico) Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m - Medidas de ângulos Unidade principal: ÂNGULO RETO (r) Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pela letra (r). Veja a tabela abaixo: Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria, exceto o “grado”, que é a única designação usada para submúltiplo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 103
  • 104. Tabela com algumas unidades de medidas RAZÕES E PROPORÇÕES Números e Grandezas Proporcionais * Grandeza È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também. Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional. Grandeza Diretamente Proporcional È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”. Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10. Grandeza Inversamente Proporcional CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 104
  • 105. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários. Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. * RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo. Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12 a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10 a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18 Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente. Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente. seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente. Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 105
  • 106. 7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35. 2 – Composição Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 106
  • 107. a – b = 48 Portanto, CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 107
  • 108. 7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção. Aplicação: A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses números. Logo, a² = 144, a = 12. Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”. Divisão Proporcional 2 partes diret. proporcionais 2 partes direta e inversa n partes diret. proporcionais n partes direta e inversa 2 partes invers. proporcionais Regra de Sociedade n partes invers. proporcionais Divisão em duas partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas A B = p q A solução segue das propriedades das proporções: A B A+B = = q p M = p+q =K p+q O valor de K é que proporciona a solução pois: A=Kp e B=Kq Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de: A B A+B = = 3 2 100 = 5 = 20 5 Segue que A=40 e B=60. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 108
  • 109. Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever: A B A-B = = 60 = 3 8 =12 5 5 Segue que A=96 e B=36. Divisão em várias partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1 +p2+...+pn =P. X 1 X2 = Xn = ... = p 1 p2 pn A solução segue das propriedades das proporções: X 1 X2 = p 1 X n =...= X1+X2+...+Xn M = p2 p n = p1 +p2+...+pn =K P Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim: A B C A+B+C = = = 4 2 120 = 6 =10 P 12 logo A=20, B=40 e C=60. Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120. A solução segue das propriedades das proporções: A B C = = 4 2 2A+3B-4C = 6 120 = 2×2+3×4-4×6 = – 15 -8 logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-) Divisão em duas partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q. Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo: A B A+B = 1/p = 1/q M = 1/p+1/q M.p.q = 1/p+1/q p+q =K CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 109
  • 110. O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q. Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que: A B A+B 120 120.2.3 = = = = 144 1/3 1/2+1/3 5/6 5 = 1/2 Assim A=72 e B=48. Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim: A B A-B = = 1/6 10 = 1/8 1/6-1/8 = 240 1/24 Assim A=40 e B=30. Divisão em várias partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2 +...+ Xn=M e além disso X 1 X2 = Xn = ... = 1/p1 1/p2 1/pn cuja solução segue das propriedades das proporções: X 1 X2 X n = 1/p1 =...= 1/p2 X1+X2+...+Xn M = 1/pn = 1/p1+1/p2 +...+1/p n 1/p1+1/p2 +...+1/pn Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo: A B = 1/2 C A+B+C 220 = = = = 240 1/4 1/6 1/2+1/4+1/6 11/12 A solução é A=120, B=60 e C=40. Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções: A B = 1/2 C = 1/4 2A+3B-4C = 1/6 10 2/2+3/4-4/6 120 = = 13/12 13 logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13. Existem proporções com números fracionários! CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 110
  • 111. Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso: A B A+B = M = c/p d/q M.p.q = c/p+d/q = c/p+d/q =K c.q+p.d O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q. Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: A B A+B = 2/5 58 = 3/7 = 2/5+3/7 = 70 29/35 Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30. Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções: A B A-B = 4/6 21 = 3/8 = 4/6-3/8 = 72 7/24 Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27. Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversament e proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+X n =M e além disso X 1 X2 = p1/q1 Xn =...= p2/q2 pn/qn A solução segue das propriedades das proporções: X2 X1 P 1/q1 Xn =...= = p2/q2 X1+X2+...+Xn = pn/qn p1/q1 +p2/q2 +...+pn/qn Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que: A B = 1/4 C A+B+C 115 = = = = 100 2/5 3/6 1/4+2/5+3/6 23/20 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 111
  • 112. logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50. Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10. A montagem do problema fica na forma: A B = 1/2 C 2A+3B-4C 0 1 100 = = = = 10/4 2/5 2/2+30/4-8/5 69/10 69 A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69. Regra de Sociedade Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn. Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: pk = Ck tk e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: C = C1 + C2 + ... + Cn A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn. Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio? Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo: p1 =50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3 =30x40=1200 A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso: A B C = 2000 = 1800 1200 A solução segue das propriedades das proporções: A B C = 2000 = 1800 A+B+C = 1200 25000 = 5000 =5 5000 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 112
  • 113. A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000. REGRA DE TRÊS SIMPLES Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. X W =K e Y =K Z assim X W = Y Z Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro). Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos: Massa do corpo (Kg) 10 15 Deslocamento da mola (cm) 54 X As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção: 0 1 = 5 1 54 X Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm. REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 113
  • 114. A·B=K e C·D=K segue que A·B=C·D logo A D = C B Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos: Velocidade (Km/h) 180 200 Tempo (s) 20 T Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T. 180 T = 200 20 Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima. Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas. Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ? Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1 Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 114
  • 115. Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção: 1 Z = 2 Z A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 … A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 … Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2: 1 Z = 2 Z A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 … A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 … As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela. Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção: 1 Z = 2 Z A1 · B2 · C1 · D2 A2 · B1 · C2 · D1 Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretament e proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação. Exemplos: 1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias? Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C) 5 6 400 7 9 X A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 115
  • 116. peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais. Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção: 400 5×6 = x 7×9 que pode ser posta na forma 400 30 = x 63 Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças. 2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro). Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C) 200 4 2 500 5 X A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo: 2 200×5 = X 500×4 que pode ser posta como 2 1000 = X 2000 Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 116
  • 117. PORCENTAGEM Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8 Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto: Produto = M%.N = M.N / 100 Exemplos: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75 Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 117
  • 118. 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600 Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690 logo 92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750 O preço original da mercadoria era de R$ 750,00. JURO SIMPLES Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 1. 2. 3. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 118
  • 119. 4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante. Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula: C·i·t j= 100 Exemplos: 1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja? A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50 A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 = 40,50 Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: X% de 450,00 = 40,50 X/100.450,00 = 40,50 450 X / 100 = 40,50 450 X = 4050 X = 4050 / 450 X = 9 A taxa de juros é de 9% ao mês. 2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado? O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960,00 3/100 C = 960,00 3 C / 100 = 960,00 3 C = 96000 C = 96000/3 = 32000,00 O capital aplicado foi de R$ 32.000,00. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 119
  • 120. Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8 Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto: Produto = M%.N = M.N / 100 Exemplos: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75 Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 120
  • 121. 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600 Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690 logo 92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750 O preço original da mercadoria era de R$ 750,00. FUNÇÃO DO 1o . GRAU Função do 1º grau Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado. Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; .A correspondência por pares ordenados seria: Noções de função: Considere os diagramas abaixo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 121
  • 122. 1 2 3 4 5 Condições de existência: (1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y. (2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y. Analisando os diagramas acima: O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2). Logo, somente o diagrama 2 representa uma função. Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir: Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 122
  • 123. O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2 Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4} Determinação de função: Observe: 1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo: 2) Associe cada elemento de X com a sua capital. 3) Determine o conjunto imagem de cada função: a) D(f) = {1,2,3} y = f(x) = x + 1 [Sol] f(1) = 1+1 = 2 f(2) = 2+1 = 3 f(3) =3+1 = 4 Logo: Im(f)={2,3,4} b) D(f) = {1,3,5} y = f(x) = x² CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 123
  • 124. [Sol] f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25 Logo: Im(f)={1,9,25} Plano cartesiano Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A. Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas: x // x' e y // y' Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' Nessas condições, definimos: - Abscissa de P é um número real representado por P1 - Ordenada de P é um número real representado por P2 - A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' ) - O eixo das abscissas é o eixo x - O eixo das ordenadas é o eixo y - A origem do sistema é o ponto 0 - Plano cartesiano é o plano A. Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau! Exemplo: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. [Sol] y=salário fixo + comissão y=500 + 50x b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? [Sol] y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700 c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? [Sol] y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 124
  • 125. A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau y=f(x)=ax+b com , , sendo dada por: e Gráfico da função do 1º grau: O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta. Exemplo: 1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x -2 -1 0 1 2 y=f(x)=-x+1 3 2 1 0 -1 O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 125
  • 126. Gráficos crescente e decrescente respectivamente: y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 Função crescente y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 Função decrescente CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 126
  • 127. Raiz ou zero da função do 1º grau: Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). 1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. [Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0 x+1=0 » x=-1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função. 2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico. [Sol] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1 Gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 127
  • 128. Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função. Sinal de uma função de 1º grau: Observe os gráficos: a>0 a<0 Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a. Exemplos: 1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. a) y=f(x)=x+1 [Sol] x+1>0 » x>-1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 x+1<0 » x<-1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1 b) y=f(x)=-x+1 [Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 -x+1<0 » -x<-1 » x>1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 128
  • 129. EQUAÇÃO DO 1º GRAU EQUAÇÃO DO 1º GRAU * Definição É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios. Exemplos: 3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita. 3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita. Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos. É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando: x = 2, veja: 3x – 4 = 2 3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2 y = 1, veja: 3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1 Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente - Equação do 1º grau Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma: ax + b = 0 Onde, tem-se: a e b , são as constantes da equação, com a 0 (diferente de zero) Observe: 4x + 10 = 1 a=4 b = 10 >> constantes (4,10) 3x – 6 = 0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 129
  • 130. a=3 b = 6 >> constantes (3,6) Exemplo de fixação: x+2=6» Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6. Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores: ax + b = 0 » ax = - b x = -b/a Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero 0), aos membros da equação dada no problema. Exemplo: x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4 2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2 * Resolução de uma equação do 1º grau Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação. Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes. Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos: a) Determine o valor do X: 4x – 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 x= 20/4 » x = 5 >> V = {5} b) Qual o valor da incógnita x: 2 – 3.(2-4x) = 8 2 – 6 + 12x = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 130
  • 131. 12x = 8 - 2 + 6 12x = 6 + 6 x = 12/12 » x = 1 >> V = {1} Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau: x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4 2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8) Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão. Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”. Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença. * Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a 0) Observe: a 0 >> b 0, temos: x = -b/a S = {-b/a} a 0 >> b = 0, temos: x = 0/a S = {0} Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0) b 0 >> x = -b/0 V = {0} Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”. Ainda, se tratando da forma (a 0), observe a seguinte suposição de equação: b = 0 >> 0x = 0 >> V = R Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 131
  • 132. * Incógnita com valor negativo Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-). Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores. Veja alguns exemplos: a) 4x – 2 = 6x + 8 Reduzindo os termos: 4x – 6x = 8 + 2 -2x = 10 Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1). Assim, temos aos valores: -2x = 10 .(-1) 2x = - 10 Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação. x = -10/2 >> x = -5 Como o valor de x = -5, então V = {-5} Observação: O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre: Observe: 2x + 4 = 8 Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado". Veja o que acontece: 2x + 4 - 4 = 8 - 4 2x = 4 x=2 V={2} CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 132
  • 133. A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU * Definição Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e qualquer sentença da matemática que é aberta por um sinal de desigualdade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 133
  • 134. » Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no campo, vive em situação precária. Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança, veríamos com mais clareza as grandes desigualdades. O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente, as inequações são representadas por desigualdades matemáticas. * Solução de inequações do 1º grau Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o objetivo de se apurar um conjunto de todas e quaisquer possíveis valores que possam assumir uma ou mais variável que estejam envolvidas nas equações proposta no problema. Acompanhe: Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação: 3x + 5 < 17 Veja os seguintes passos para solução: Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a solução apresentada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número 4. S = {1, 2, 3,} * Exemplos de fixação de conteúdo a) 2 -4x x + 17 Solução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 134
  • 135. b) 3(x + 4) < 4(2 –x) Solução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 135
  • 136. Analise os exemplos: Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 ( somar o valor 2 ) 5 +2>3+2 7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira) Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 (subtrair 1) 5-1 > 3 -1 4 > 2 (continua sendo uma inequação verdadeira) Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das equações de primeiro grau, podemos usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair um mesmo valor aos membros da inequação do primeiro grau. Analise os exemplos: Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2) 5 x (+2) > 3 x (+2) 10 > 6 (continua sendo uma inequação verdadeira) Inequação 5 >2 Recurso: 5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2) (-2).5 > 2.(-2) -10 > -4 (a inequação não é verdadeira) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 136
  • 137. Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal. -10 < -4 (agora a inequação é verdadeira) Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático de (multiplicar ou dividir por um mesmo valor os componentes da inequação) para resolver uma inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número negativo, o sinal da desigualdade (inequação) deve ser invertido. FUNÇÃO DO 2 GRAU Função do 2º grau A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 137
  • 138. Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função y=x²: [Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x -2 -1 0 1 2 3 y = f(x) = x² 4 1 0 1 4 9 Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por . Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 Temos: a=1, b=-4 e c=3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 138
  • 139. Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! Raízes (ou zeros) da função do 2º grau Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0 Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. Vejamos o gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 139
  • 140. Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. x²+5x+6=0 Acharemos que x = -2 e x` = -3. Concavidade da parábola Explicarei esta parte com um simples desenho. a>0 a<0 Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). Exemplos: y = f(x) = x² - 4 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 140
  • 141. a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4 a = -1 < 0 [Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. Quando o discriminante é igual a zero Quando o valor de será igual a zero. , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 141
  • 142. Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1 As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) Gráfico: Quando o discrimintante é maior que zero Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0 x=1, x`=3 Gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 142
  • 143. Quando o discriminante é menor que zero Quando o valor de função. , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0 Gráfico: Resumindo: a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 143
  • 144. Esboçando o gráfico Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3 2ª etapa: Coordenadas do vértice Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2 Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 Portanto, V=(-2,1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3 Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo Feito isso, vamos esboçar o gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 144
  • 145. Equação do 2º grau Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com . Exemplos: Equação a b C x²+2x+1 5x-2x²-1 1 -2 2 5 1 -1 Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 2º caso: c=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9 3º caso: b=c=0 2x²=0 » x=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 145
  • 146. Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de b²-4ac: (delta) (2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b Logo: ou Fórmula de Bháskara: Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 146
  • 147. Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara: » x=2 - Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: » vazio Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real Relações entre coeficientes e raízes Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 147
  • 148. e A soma das raízes será: Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. Obtendo: Substituindo por e : Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: x² - Sx + P = 0 Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3: b) 2x² - 6x -8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos
  • 149. servados center7@gmail.com 148
  • 150. c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4: Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. Exemplos resolvidos: a) Onde , pois senão anularia o denominador [Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x Então: Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: » Aplicando a fórmula de Bháskara: Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} b) e [Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) Então: Eliminando os denominadores: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 149
  • 151. » » » * Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: x=-1 » S={-1} Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. Equação x² - (m+n)x + p = 0 a 1 b -(m+n) c p Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 1) x²-3ax+2a²=0 [Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara: a=1, b=-3a, c=2a² , Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a} Resolução de equações biquadradas Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: onde Exemplo resolvido: 1) Fazendo x² = y , temos Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 150
  • 152. Aplicando Bháskara: Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y=x², temos: x²=4 » e x²=1 » Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente INEQUAÇÃO DO 2 GRAU Inequações do 2º grau Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < . Ex: I) x2 – 3x +6 > 0 Resolução: x2 – 3x +6 = 0 x´= 1, x´´ = 2 Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre. Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2 Resposta: {xÎR| x<1 ou x>2} CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 151
  • 153. Inequações simultâneas Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0 Resolução: 1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado. Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <0 2o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação. I) x2 – 2x > 0 x´ = 0 II) x2 –2x –8 <0 x´= x´´ = 1 x´´ = 2 3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função. I)x<0 ou x>2 II)x diferente de 1. 4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2. Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado. Resposta: {xÎR| x<0 ou x>2} o Inequação produto e inequação quociente, São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente. 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) > Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0 Resolução: 1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente x2 –9x –10 = 0 (I) x2 – 4x +4 = 0 (II) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 152
  • 154. 2o passo) Determinar as raízes das funções (I) x´= -1, x´´ = 10 (II) x´= x´´ = 2 3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada função. I) x<-1 ou x>10 II) x¹2 4o passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é: > intervalo positivo e bolinha fechada > intervalo positivo e bolinha aberta < intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha aberta Obs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) será +, assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = + Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e x>10 Resposta: {x E R | x<-1 ou x>10} A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados no tablóide anterior. Aplicação Resolver a inequação (-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0 Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 153
  • 155. Resposta: S = {x | - 1 < x < 2 ou x >4} Sistemas Lineares Introdução aos sistemas lineares Exemplos de sistemas Equação linear Sistemas equivalentes Solução de uma equação linear Operações elementares (sistemas) Sistemas de equações lineares Solução por escalonamento Solução de sistema de eq. lineares Sistemas lineares homogêneos Consistência de sistemas lineares Regra de Cramer Introdução aos sistemas lineares Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas. Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Tipo do Recipiente A B C I II III 432 523 223 Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III? Montagem do sistema linear 4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33 Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 154
  • 156. as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas. Equação linear É uma equação da forma a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo). Exemplos de equações lineares 1. 2. 3. 4. 4x+3y-2z=0 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x> 0. Exemplos de equações não-lineares 1. 2. 3. 4. 3 x + 3y R[x] = -4 x2 + y2 = 9 x+2y-3zw=0 2 2 x + y = -9 Solução de uma equação linear Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 se trocarmos cada xi por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a11 r 1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1 Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos: 2×5 + 3×6 - 2×7 = 14 Sistemas de equações lineares CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 155
  • 157. Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am 1 x1 + am2 x2 +...+ amn x n = bn onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ..., amn são os coeficientes; b1 , b2, ..., bm são os termos independentes. Solução de um sistema de equações lineares Uma sequência de números (r1,r2,...,r n) é solução do sistema linear: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am 1 x1 + am2 x2 +...+ amn x n = bn se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear. Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear: 2x + y = 4 x + 3y = 2 x + 5y = 2 pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações. Consistência de Sistemas Lineares O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência: Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução. a. b. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado. Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução. Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções Sistema com uma única sol ução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção. x + 2y = -1 2x - y = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 156
  • 158. Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas). 4x + 2y = 100 8x + 4y = 200 Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas. x + 3y = 4 x + 3y = 5 Sistemas equivalentes Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução. Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo: 3x + 6y = 42 S1 2x - 4y = 12 S2 1x + 2y = 14 1x - 2y = 6 pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2. Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2. Operações elementares sobre sistemas lineares Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada. 1. Troca de posição de duas equações do sistema Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9 x + 2y - z = 2 2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 3x + 6y - 3z = 6 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9 4x+y-5z=9 A equação resultante fica na linha 1 3. Adição de duas equações do sistema Adição da Linha 2 com a Linha 3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 157
  • 159. 3x+6y-3z=6 x+2y-z=2 2x-3y+2z=0 2x -3y + 2z = 0 ~ 6x - 2y - 3z = 9 4x + y - 5z = 9 A equação resultante fica na linha 3 Resolução de sistemas lineares por escalonamento Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo. Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas. 3x + y + z = 20 2x - y - z = -15 -4x + y -5z = -41 Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i. Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 2x-1y-1z=-15 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 2: L2-2.L1->L2 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 0x - 5y - 5z = -85 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85 ~ 0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41 0x + 9y + 3z = 99 Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85 ~ 0x + 1y + 1z = 17 0x + 9y + 3z = 99 0x + 3y + 1z = 33 Passo 5: L3-3.L2->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x + 1y + 1z = 17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 3y + 1z = 33 0x + 0y - 2z = -18 Passo 6: (-1/2)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 0y - 2z = -18 0x + 0y + 1z = 9 Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 ~ 0x + 1y + 1z = 17 0x + 1y + 0z = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 158
  • 160. 0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9 Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1 1x + 0y + 0z = 1 1x + 2y + 2z = 35 ~ 0x+1y+0z=8 0x + 1y + 0z = 8 0x+0y+1z=9 0x + 0y + 1z = 9 Passo 9: Simplificar coeficientes 1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 ~ 0x + 0y + 1z = 9 x=1 y=8 z=9 Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema. Sistemas lineares homogêneos Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo: O sistema 2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0 é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0. Regra de Cramer Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X). Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn A este sistema podemos associar algumas matrizes: Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A. Matriz dos coeficientes a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 159
  • 161. an1 an2 ... anj ... ann Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes. Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1 a21 a22 ... a2j ... a2n b2 ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann bn Matriz da incógnita x j: É a matriz A j obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema. Matriz da incógnita xj a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... ann Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az . Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(A j) por det(A), isto é: xj = det(Aj) / det(A) Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero. Um sistema impossível: Seja o sistema 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 40 A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo. 2 1 3 3 -2 1 4 3 7 2 1 3 3 -2 1 4 3 7 27 15 40 Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada: 2 3 27 1 -2 15 3 1 40 Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 160
  • 162. 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 42 A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo: 2 1 3 3 -2 1 4 3 7 2 1 3 3 -2 1 4 3 7 27 15 42 Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.Um sistema com solução única: Seja o sistema 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 6z = 40 A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo. 27 2 1 3 -2 4 3 15 3 1 6 40 Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes A x, A y e Az , e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos: Ax= 27 15 40 3 -2 1 4 3 6 Ay= 2 1 3 27 15 40 4 3 6 Az= 2 1 3 3 -2 1 27 15 40 Como det(A x)=65, det(A y)=1 e det(A z)=14, a solução do sistema é dada por: x = det(Ax)/det(A) = 65/7 y = det(Ay)/det(A) = 1/7 z = det(Az)/det(A) = 14/7 ESTATÍSTICA CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 161
  • 163. INTRODUÇÃO A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, não realçando, no entanto, aspectos importantes. É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. DADOS, GRÁFICOS E TABELAS Tipos de Dados Podemos classificar os dados que constituem a Amostra , ou dados amostrais, em dois tipos fundamentais: Dados qualitativos e dados quantitativos 1.1-Dados qualitativos Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades. Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado. 1.2-Dados quantitativos Representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua dados contínuos. Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10 alunos de uma determinada turma : 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2 Estes dados são de natureza discreta. Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo. Representação Gráfica de Dados CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 162
  • 164. 2.1-Dados discretos Como organizar os dados ? Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito numerável de valores distintos, apresentando vários valores repetidos - é o caso, por exemplo, do nº de filhos de uma família ou do nº de acidentes, por dia, em determinado cruzamento. Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à construída para o caso dos dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão constituir as classes. Exemplo: Consideremos a amostra constituída pelo nº de irmãos dos 20 alunos de uma determinada turma: 1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2 tabela de frequências classes freq. freq. abs. rel. 0 4 0.20 1 8 0.40 2 4 0.20 3 3 0.15 4 1 0.05 total 20 1.00 2.2-Dados contínuos No caso de uma variável contínua, esta pode tomar todos os valores numéricos, inteiros ou não, compreendidos no seu intervalo de variação temos por exemplo o peso, a altura, etc... Como organizar os dados? Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresenta qualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um pouco mais elaborado, distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes... Medidas de Localização CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 163
  • 165. No capítulo Dados, tabelas e gráficos , vimos alguns processos de resumir informação contida na amostra, utilizando os processos gráficos. Veremos agora um outro processo de resumir essa informação, utilizando determinadas medidas, calculadas a partir de dados, que se chamam ESTATÍSTICAS. Média média amostral ou simplesmente média, que se representa por amostra, e obtém-se a partir da seguinte expressão: é uma medida de localização do centro da onde x1, x2, ..., xn representam os elementos da amostra e n a sua dimensão. Moda Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). Mediana A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pert encente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 164
  • 166. Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: então uma expressão para o cálculo da mediana será: X1:n , X2:n , ... , X n:n Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados ! Medidas de Dispersão Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: • • o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS * Definição Podemos chamar de progressão aritmética uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r). Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética. * Classificação de uma P.A. - Infinita ou Ilimitada CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 165
  • 167. Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de “infinita ou ilimitada”. Ex.: (8, 10, 12, 14, 16....) (5, 10, 15, 20, 25....) (4, 8, 12, 16, 20 ....) - Finita ou Limitada Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de “finita ou limitada” Ex.: (6, 8, 10) (3, 6, 9) - Em relação à razão (r) Pode ser : a) Crescente Quando a razão “r” > 0 Ex.: (3, 6, 9, 12) ----> r = 3 (2, 4, 6, 8) ----> r = 2 (15, 20, 25, 30) ---> r = 5 b) Decrescente Quando a razão “r” < 0 Ex.: (6, 4, 2) ---> r = -2 (12, 9, 6, 3) ----> r = -3 (16, 12, 8, 4) ----> r = -4 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 166
  • 168. c) Estacionária Quando a razão “r” = 0 Ex.: (3, 3, 3) ----> r = 0 (7, 7, 7) ----> r = 0 (5, 5, 5) ----> r = 0 * Notação de uma PA Observe os termos abaixo: (a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an) Logo pela definição, temos o seguinte: a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = r Ex.: a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4 b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3 * Fórmula do Termo Geral de uma PA Partindo da definição inicial, temos: a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r . . . aN = a1 + (n – 1)r Assim: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 167
  • 169. - Exemplos: A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressão aritmética. a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....) Dados do problema: a1 = 1 n =5 r=2 Porquê r = 2 ??? Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...) 1 +2 =3 3 +2 =5 Fórmula geral da P.A. an = a1 + (n – 1)r an = 1 + (5 – 1).2 an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9 * Exercícios para fixação de conteúdo Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa treinar os fundamentos. 1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de : a. ( ) 4 b. ( ) 5 c. ( ) 6 d. ( ) 7 e. ( ) 9 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 168
  • 170. Solução: Dados do problema: a1 = 8 an = 43 n =8 r=? an = a1 + (n – 1)r 43 = 8 + (8 – 1)r 43 – 8 = 7r 7r = 35 r = 5 Dessa forma, a resposta correta é a letra “b” Como saber se o resultado está certo ? Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...) 2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10 a. ( ) 0 b. ( ) 4 c. ( ) 2 d. ( ) 5 e. ( ) 3 Solução: Dados do problema: a1 = ? an = 10 n =5 r=2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 169
  • 171. Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionar problemas, assim há uma fixação melhor da fórmula. an = a1 + (n – 1)r 10 = a1 + (5 – 1).2 10 = a1 + (4).2 a1 + 8 = 10 a1 = 10 – 8 a1 = 2 Dessa forma, a resposta correta é a letra “c” Como saber se o resultado está certo? Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...) No tutorial anterior, foi visto que progressão aritmética é uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r). Para relembrar o que é o termo PA : Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética. * Propriedades de uma PA Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possível através destas resolver várias questões de PA. - 1ª Propriedade Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 170
  • 172. Ex.: a) P.A = (1,3,5,7,9,11) Temos: 5 = (7+3)/2 7 =(5+9)/2 b) P.A = (2,4,6,8,10,12) Temos: 6 = (4+8)/2 10 =(12+8)/2 - 2ª Propriedade Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an) P termos P termos Ex.: a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, são eqüidistantes dos extremos, pois: 7 + 31 = 31 + 7 b) 1,2,3,...98, 99, 100. Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100 c) 1,2,3,...88,89,90. Logo: 2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90 - 3ª Propriedade CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 171
  • 173. Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos extremos. Assim, na P.A. (com número ímpar) (a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an) P termo P termo Conclui-se que: Ex.: a) 3, 5, 7, 9, 11, 7 = (3+11)/2 b) 15,17,19,21,23 19 =(15+23)2 * Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.) A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos. Ex.: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...) Sn = (a1 + an)N 2 S20 = (a1 + a20)20 2 a20 = ?? a20 = a1 + 19r = a20 = 2 + 19r = CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 172
  • 174. a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59 S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20 2 2 S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610 2 2 * Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.) Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos. Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r). Ex.: a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38 3, ____,____,____,_____,38 a1 = 3 an = 38 n =6 r =? an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7 Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38 * Exercícios para fixação de conteúdo Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa treinar os fundamentos. a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2 estejam, nessa ordem, em uma P.A. Resolvendo: P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2] Sendo: a1 = (x + 4)2 | a2 = (x - 1)2 | a3 = (x + 2)2 Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2 - (x + 4)2 = (x + 2)2 - (x - 1)2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com ----> 173
  • 175. (x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) = ----> -2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ----> -10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8 b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...) Resolvendo: Dados do problema: a1 = 4 r=7 –4=3 n =n an = a1 + (n – 1)r an = 4 + (n – 1)3 an = 4 + 3n – 3 an = 3n + 1 Progressão Geométrica Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão. · Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...) Observamos que: 4=2x2 8=4x2 16 = 8 x 2 - Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo; - Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.); - A esse número fixo damos o nome de razão (q); CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 174
  • 176. · Representação Matemática: q = an / an-1 · Classificação: 1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ; 2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente; 3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ; 4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < 0 ; · Termo Geral da P.G.: - a2 = a1 x q 2 - a3 = a2 x q ou a3 = a1 x q an = a1 . q · n-1 Três números em P.G.: x/q , x , x.q · Interpolação Geométrica: Exemplo: 1,__,__,__,__,243 a6 = a1 .q 243= 1.q 5 5 q=3 Logo: (1,3,9,27,81,243); · Soma dos Termos de uma P.G. finita : n Sn = a1 . (q - 1) / q-1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 175
  • 177. · Soma dos Termos de uma P.G. infinita : - Se expressões do tipo qn quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito); n q = 0 (Aproximadamente) Sn = a1 / 1-q Exemplos: 1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG Resolução: n= 6 a1 = 2 a6 = 486 a6 = a1.q 5 5 486 = 2 . q q=3 Resposta: q = 3 2) Ache a progressão aritmética em que: a1 + a2 + a3 = 7 a4 + a5 + a6 = 56 Resolução: transformando, temos: 2 a1 + a1 .q + a1. q = 7 3 2 (1+ a5 + q 6 )==56 +q+a 56 4 2 Þ a1 (1 + q + q ) = 7 I Þ a1.q II a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 176
  • 178. Dividindo-se II por I : 3 q =8Þq=2 de I vem: a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1 Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...) 3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48. Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde: a1 = 3 an = 48 n=3+2=5 Devemos, então, calcular q: an = a1.qn-1 4 48 = 3 . q q = ±2 Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48) Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48) 4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1°membro formam u ma P.G. Resolução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 177
  • 179. a1 = x q = 3x/x= 3 an = 729x Sn= 5465 Cálculo de n: an = a1 q n-1 729x = x . 3 729 = 3 n-1 (veja que x ¹ 0) -1 36 = 3 n-1 n=7 n Sn = a1 . (q - 1) / q7 5465 = x (3 – 1)/ (3 – 1) x=5 Resposta: x = 5 5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131.. Resolução: 0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG) a1 = 0,31 q = 0,01 Sn = a1 / 1-q CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 178
  • 180. Sn = 0,31/1-0,01 Sn= 31/99 Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99 MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos . JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 179
  • 181. A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J=P.i.n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo : Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M=P.(1+(i.n)) Exemplo : Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios sobre juros simples: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 180
  • 182. 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 181
  • 183. M = P . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M-P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? n Usando a fórmula M=P.(1+i) , obtemos: M 12 12 = 6000.(1+0,035) = 6000. (1,035) Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 12 log x = log 1,035 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM O princípio fundamental da contagem é um princípio combinatório que indica de quantas formas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por: T = k1 . k2 . k3 . ... kn CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 182
  • 184. PROBABILIDADE Estudo das Probabilidades · Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício (casos possíveis); · Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis); EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas. Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}. Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}. 2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)} · Cálculo da probabilidade: Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. P(E) = n(E) / n(S) n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de elementos do espaço amostral Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos: a) As duas cartas dão damas b) As duas cartas são de ouros Resolução CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 183
  • 185. a) Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral: º 1 possibilidade: 52 º 2 possibilidade: 51 Þ n(U) = 52. 51 = 2652 Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas. Temos duas damas; portanto: A 4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12 P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221 b) Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros. Temos 13 cartas de ouros, portanto A 13 , 2 = 13 . 12 = 156 P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17 Respostas: a)1/221 b)1/17 Adição de probabilidades P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar? Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A = {3} Þ n(A) = 1 ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3 A B = {3} Þ n(A B) = 1 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 184
  • 186. P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A B)/n(U) P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50% Resposta: 50% Probabilidade do evento complementar c P(A) + P(A ) = 1 Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que: a) Ambas não estejam estragadas b) Pelo menos uma esteja estragada Resolução: a) Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas: n(U) = ( 10 2) = 10!/2!.8! = 45 maneiras Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas: 7 n(A) = ( 2) = 7!/2!.5! = 21 maneiras P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15 A c é o evento: pelo menso uma furta está estragada. b) c c P(A) + P(A ) = 1Þ 7/15 + P(A ) = 1 c c P(A ) = 1 – 7/15 Þ P(A ) = 8/15 Respostas: a) 7/15 b) 8/15 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 185
  • 187. Probabilidade condicional P(A/B) = n(A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 186
  • 188. Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados? P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 GEOMETRIA PLANA Geometria Plana: Elementos de geometria plana Introdução A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática! A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc. Algumas definições Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 187
  • 189. Eneágono Undecágono 9 11 Decágono Dodecágono 10 12 Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo: 1. 2. 3. 4. Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes; o A soma de dois ângulos consecutivos vale 180 ; As diagonais cortam-se ao meio. Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o. Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos. Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos. Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 188
  • 190. Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior. "Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes. Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal Unidade de área Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo Comparando áreas de triângulos Área do losango Área do trapézio Polígonos regulares Elementos de um polígono Áreas de polígonos regulares Comparando áreas de polígonos Triângulo e região triangular No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular. Triângulo ABC Região triangular ABC CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 189
  • 191. Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas. O conceito de região poligonal Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos". Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta. O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos: 1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. 2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área. 3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões. Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas: a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 190
  • 192. b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU. Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares. Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares. Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF) Unidade de área Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento. Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc. Área do Retângulo A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h. A=b×h CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 191
  • 193. Área do quadrado Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma. Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x. A = x² Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades. A = b×h A = (8u)x(5u) = 40u² No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc... Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área. 1. Transformando as medidas em metros Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de: A = b×h A = (1,20m)×(2m) = 2,40m² 2. Transformando as medidas em centímetros Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por: A = b×h A = (120cm)×(200cm) = 24000cm² Área do Paralelogramo Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo. Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 192
  • 194. No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV. A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h. Área do Triângulo A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z> 0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2. Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que: A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s² Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área. Comparação de áreas entre triângulos semelhantes Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 193
  • 195. Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. Área de ABC ² a = Área de RST b² = r ² c² = s² t² Área do losango O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura. A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula Área do trapézio Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h. A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2. Polígonos regulares Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 194
  • 196. Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior. Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono. Elementos de um polígono regular 1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. 2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices. 3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados. 4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono. Apótema: OM, Raios: OA,OF Ângulo central: AOF Apótema: OX, Raios: OR,OT Ângulo central: ROT 5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus. Áreas de polígonos regulares Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de nlados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 195
  • 197. Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poli gonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é: A = a × Perímetro / 2 Comparando áreas entre polígonos semelhantes Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos. Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados. Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 196
  • 198. Área de ABCDE... ² s = Área de A'B'C'D'E'... t² = (s')² (t')² PERÍMETRO Perímetro de polígono plano É a soma das medidas de todos os seus lados. Identifica-se por 2p (perímetro) e p por semiperímetro. Exemplo. perímetro = 2p = a + b + c + d + e + f + g TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Trigonometria do Triângulo Retângulo Trigonometria e aplicações Triângulo Retângulo Lados de um triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos Propr. do triângulo retângulo A hipotenusa (base) do triângulo Projeções de segmentos Projeções no triângulo retângulo Relações Métricas Funções trigonométricas básicas Trigonometria e aplicações Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 197
  • 199. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo. Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° então os outros dois ângu los medirão 90° , . Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cateto Hipotenusa Cathetós: (perpendicular) Hypoteinusa: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 198
  • 200. Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado a Hipotenusa b Cateto c Triângulo Cateto Vértice = Ângulo Medida A = Ângulo reto A=90° B = Ângulo agudo B<90° C = Ângulo agudo C<90° Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso. Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 199
  • 201. A hipotenusa como base de um triângulo retângulo Tomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a. Projeções de segmentos Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 200
  • 202. Projeções no triângulo retângulo Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. 1. 2. 3. 4. m = projeção de c sobre a hipotenusa. n = projeção de b sobre a hipotenusa. a = m+n. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica . Relações Métricas no triângulo retângulo Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C. Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h m Assim: a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/m CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 201
  • 203. logo: a/c = c/m equivale a c² = a.m a/b = b/n equivale a b² = a.n a/c = b/h equivale a a.h = b.c h/m = n/h equivale a h² = m.n Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos: c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a² que resulta no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras. Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. Função Notação seno Definição sen(x) medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a x cosseno cos(x) medida da hipotenusa medida do cateto oposto a x tangente tan(x) medida do cateto adjacente a x Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo. O C sen(x)= CO = H 1 A C cos(x)= CA = H O C tan(x)= 1 sen(x) = A C cos(x) Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 202
  • 204. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais. Traduzindo a definição em símbolos: Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos. Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo). Razão de Semelhança Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 203
  • 205. Exemplo Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo triângulo. Solução: Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que: c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2 De forma análoga: a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16 b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12 Propriedades a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 204
  • 206. c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 205
  • 207. Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente. Critérios de Semelhança de Triângulos Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Demonstração: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 206
  • 208. Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, i.e.: a2 = b2 + c2 Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios de semelhança. Demonstração: Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambos possuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos: c/a = m/c => c2 = a.m => c2 = a.(a - n) => c2 = a2 - an [1] Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo: 2 b/a = n/b => b = an [2] Substituindo [2] em [1] vem que: 2 2 2 2 2 2 c = a - b => a = b + c . Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no triângulo Retângulo - Razões trigonométricas no triângulo retângulo Consideremos um ângulo agudo qualquer d medida , levando-se em conta os infinitos triângulos retângulos que possuem o ângulo de medida . CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 207
  • 209. Exemplo: Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo: Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo seno do ângulo (cos ) e tangente do ângulo (tg ) Co-seno do ângulo agudo hipotenusa. Tangente do ângulo (cos ) é a razão entre a medida do cateto adjacente a (tg ) é razão entre a medida do cateto oposto a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com (sen ), co- e a medida da e a medida do cateto adjacente a . 208
  • 210. Seno do ângulo (sen ). A razão k é uma característica de cada ângulo ângulo (sem ). e seu valor é chamado de seno do Propriedades do triângulo retângulo Ângulos O triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. Lados Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. Altura A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. A hipotenusa como base de um triângulo retângulo Segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa a. Segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa a. Segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa a. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 209
  • 211. Projeções de segmentos Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta. Projeções no triângulo retângulo Agora iremos estudar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. m = projeção de c sobre a hipotenusa. n = projeção de b sobre a hipotenusa. a = m+n. h = média geométrica entre m e n. Relações Métricas no triângulo retângulo Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD=B e DAB=C. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 210
  • 212. Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Assim: a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/m logo: a/c = c/m => c2 = a.m a/b = b/n => b2 = a.n a/c = b/h => a.h = b.c h/m = n/h => h2 = m.n Temos também outras relações a partir do triângulo inicial ABC. Como a=m+n então, somando c2 com b2 , teremos: c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a2 que resulta no Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras. Geometria Espacial Conceitos primitivos São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: • pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 211
  • 213. • planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever: Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 212
  • 214. P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. Postulados sobre o plano e o espaço P5) Por três pontos não colineares passa um único plano. P6) O plano é infinit o, isto é, ilimitado. P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos. P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços. Posições relativas de duas retas No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 213
  • 215. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 214
  • 216. Postulado de Euclides ou das retas paralelas P10) Dados uma reta r e um ponto P CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 215
  • 217. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 216
  • 218. Perpendicularidade entre uma reta e um plano Uma reta r é perpendicular a um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 217
  • 219. Posições relativas de dois planos Consideramos as seguintes situações: a) planos coincidentes ou iguais b) planos concorrentes ou secantes Dois planos, CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 218
  • 220. Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 219
  • 221. A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta: Ângulos O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra: O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 220
  • 222. Observações: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 221
  • 223. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 222
  • 224. • • • • hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: Poliedro Planificação Elementos 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Tetraedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas Hexaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas Octaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas Icosaedro CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 223
  • 225. Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V-A+F=2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos: V=8 A=12 F=6 8 - 12 + 6 = 2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 224
  • 226. Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 225
  • 227. Classificação Um prisma pode ser: • • recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja: prisma recto CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 226
  • 228. Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base) c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2A B Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 227
  • 229. Se o paralelepípedo recto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo, ortoedro ou paralelepípedo rectângulo. Paralelepípedo rectângulo Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir: db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo Na base ABFE, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 228
  • 230. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 229
  • 231. Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h: Cubo Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados. Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir: dc =diagonal do cubo db = diagonal da base Na base ABCD, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 230
  • 232. No triângulo ACE, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 231
  • 233. Generalização do volume de um prisma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 232
  • 234. Assim, temos: Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 233
  • 235. Veja: O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um rectângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do rectângulo ABCD pelo lado CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 234
  • 236. Geometria Espacial Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: Assim, a área lateral do cilindro recto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um rectângulo de dimensões : b) área da base ( AB):área do círculo de raio r c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 235
  • 237. Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 236
  • 238. Cilindro equilátero Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 237
  • 239. Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + R2 Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 238
  • 240. Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular recto, obtemos um sector circular de raio g e comprimento CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 239
  • 241. Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo rectângulo em torno do cateto h: O CG do triângulo está a uma distância CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 240
  • 242. • base: o polígono convexo R • arestas da base: os lados CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 241
  • 243. Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que: • • • as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 242
  • 244. Assim, temos: • A base da pirâmide é um polígono regular inscrito num círculo de raio OB = R. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 243
  • 245. Para uma pirâmide regular, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 244
  • 246. Áreas Temos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+A B +Ab Volume O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por: Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação: Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos: • • as bases maior e menor são paralelas; a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 245
  • 247. Áreas Temos: a) área lateral b) área total CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 246
  • 248. Volume O volume da esfera de raio R é dado por: Partes da esfera Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação. A área da superfície esférica é dada por: ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA BÁSICOS ÁLGEBRA Exercícios Resolvidos – Conjuntos Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental? CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 247
  • 249. Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S M o número de candidatos aos níveis superior e médio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S M = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos. Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A) 200 (C) 900 (B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a. Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos. Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 248
  • 250. (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é .... Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação : 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100. Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano? Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6. Fatorando 2 3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 2 × 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001. Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões. Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 249
  • 251. POTÊNCIAS n Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido i = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i). Exemplos de fixação da definição: Potência = 2 3 2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8 Potência = 3 5 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243 3 Notação: 2 = 8 2 - BASE 3 - EXPOENTE 8 - POTÊNCIA 5 Notação: 3 = 243 3 - BASE 5 - EXPOENTE 243 - POTÊNCIA Alguns casos particulares: 1) Expoente igual a um (1) 1 (1/2) = 1/2 1 5 =5 31 =3 2) Expoente igual à zero (0) 0 5 =1 0 6 =1 0 7 =1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 250
  • 252. Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1. Mais Exemplos de fixação da definição: 3 1) 5 = 5 x 5 x 5 = 125 0 2) 4 = 1 0 3) 10 = 1 1 4) 20 = 20 Propriedades de Potências - Divisão de potência de mesma base Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema. Exemplos de fixação: 1) 2 2) 3 3) 4 4 5 6 ÷2= 2 4-1 2 5-2 3 6-3 ÷3 = 3 ÷4 = 4 Temos então: I m =2 3 =3 =4 2 3 n ÷ I = Im-n , I#0 - Produto de potência de mesma base Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema. Exemplos de fixação: 1) 2 2) 3 3) 4 4 5 6 x2= 2 4+1 2 5+2 3 6+3 x3 = 3 x4 = 4 Temos então: I m =2 5 =3 =4 n 7 9 xI =I m+n CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 251
  • 253. - Potência de Potência Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos. Exemplos de fixação: 3 4 = 2 1) (2 ) 2 3 2) (3 ) = 3 2 5 3) (4 ) = 4 12 6 10 , pois = 2 , pois = 3 2 , pois = 4 n m Temos então: (I ) = I 3 x2 x3 2 x4 3 3 x2 x2 x3 2 3 2 2 2 x4 x4 x4 2 nxm - Potência de um produto Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência. Exemplos de fixação: 5 3 1) (b ya ) 2 5 4 2) (c d e ) 3 4 3) (d a ) 3 2 0 4 12 = b y a 2 4 = c d e 10 9 12 = d a Temos então: (I.T) m =I m xT m - Potência com expoente negativo Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo. Exemplos de fixação: 1) 2 2) 3 3) 4 -4 -3 -2 = 1/2 = 1/3 = 1/4 4 3 2 = 1/16 = 1/27 = 1/16 Temos então: (I) -m = 1/I m I#0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 252
  • 254. - Potência de fração Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência. 1) (a/b) 4 2 4 3 3 2 3 2) (a /b ) 3) (a /b ) = a /b 4 = b#0 6 12 9 6 = a /b = a /b Temos então: (a/b) = b#0 = b#0 m m m = a /b b #0 - Potência de 10 Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas : 1) Para se elevar 10 a direito do número 1. n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência Exemplos de fixação: 4 a) 10 = 10000 6 b) 10 = 1000000 7 c) 10 = 10000000 2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. Exemplos de fixação: a) 10-4 = 0,0001 b) 10-6 = 0,000001 c) 10-7 = 0,0000001 3) Decompondo números em potências de 10 Exemplos de fixação (números maiores que 1): a) 300 = 3.100 = 3.10 2 b) 7000 = 7.1000 = 7.10 3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 253
  • 255. c) 10.000 = 1.10000 = 1.10 4 Exemplos de fixação (números menores que 1): a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10 -3 -4 b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10 - c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10 5 - Potência de números relativos a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo. 2 Veja: (+2) = 4 / / (-2) 4 = 16 b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência. 3 Veja: (+3) = 27 / / (-3) 3 = -27 2 2 2 2 # (-2) = -4 e (-2) Observação importante: -2 , pois -2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado. Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 3. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). 4. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não? Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 254
  • 256. Teste Rápido: Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos. O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo. Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Um exemplo simples : Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos. TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 255
  • 257. Operações fundamentais com números * Adição A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo. A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição. Exemplo: 1.253 + 2.715 MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 1 2 5 3 2 7 1 5 Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715. Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se : a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa. A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição. 2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11. Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 256
  • 258. Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Deduz-se : Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa. Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0). Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição) * Subtração A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto. Relembrar: 9 – 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo. O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5. Veja as análises abaixo: 1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N. Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N. A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo. Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 Logo: 0 – 6 6 6 -0 c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 5 – 4. 257
  • 259. d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 10 – (4-2) A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição. Considerando: 7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra. Observe esta sentença: Y + a = c ou a + y = c Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x? Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c * Multiplicação É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois. Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação. a. b = c a.b > fatores c > produto da operação. De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar: A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120 A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 258
  • 260. c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X. Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1. d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N * Divisão É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 1) A divisão exata Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 Propriedades da divisão exata a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N b. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3 c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade. Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração. Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero. 2) A divisão não-exata Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 259
  • 261. A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 De um modo geral na divisão : Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”. Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto. DIVISIBILIDADE M.M.C e M.D.C. Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3 CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2x3 x3 x5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 260
  • 262. Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6=2 x3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 261
  • 263. CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2x3 x3 x5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 262
  • 264. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6=2 x3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E NÚMEROS DECIMAIS O papel das frações e números Decimais Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais. Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples. Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5. Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês. 1437 123 = 1, 4 3 7 1000 A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador. 437 = 4,37 100 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 263
  • 265. Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal. Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal. Frações e Números Decimais Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal. Exemplos de frações decimais, são: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103 Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula. A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como: 127 = 1,27 100 onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 100+27 = 100 100 = 100 27 + 100 = 1+0,27 = 1,27 100 A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração. Leitura de números decimais Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal. Um número decimal pode ser colocado na forma genérica: Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 264
  • 266. Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos Exemplos: 0,6 Seis décimos 0,37 Trinta e sete centésimos 0,189 Cento e oitenta e nove milésimos 3,7 13,45 Três inteiros e sete décimos Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos 130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos Transformando frações decimais em números decimais Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 0 , 1 Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 2 , 31 Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo: (a) 130/100 = 1,30 (b) 987/1000 = 0,987 (c) 5/1000 = 0,005 Transformando números decimais em frações decimais Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos: (a) 0,5 = 5/10 (b) 0,05 = 5/100 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 265
  • 267. (c) 2,41 = 241/100 (d) 7,345 = 7345/1000 Propriedades dos números decimais Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo: (a) 0,5 (b) 1,0002 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 = 1,00020 = 1,000200 (c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000 Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo: (a) 7,4 x 10 = 74 (b) 7,4 x 100 = 740 (c) 7,4 x 1000 = 7400 Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo: (a) 247,5 ÷ 10 = 24,75 (b) 247,5 ÷ 100 = 2,475 (c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475 Operações com números decimais Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos: (a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo: (a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 (b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 266
  • 268. (b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que: i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número, ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número, iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc), iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e v. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc. Dois exemplos: 2,400 2,400 + 1,723 - 1,723 ------- ------(c) Realizar a adição ou a subtração. Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: 225 2,25×3,5 = 5 3 × 100 225×35 = 0 1 7875 = 100×10 = 7,875 1000 Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo: 2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1 casa decimal multiplicador 1125 + 675 7875 7,875 3 casas decimais Produto Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=? Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula. 3,6÷0,4 = 3,6 = 36×10 = 36 = 9 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 267
  • 269. 0,4 4×10 4 Um outro exemplo: 0,35 0,35÷7= 0,35×100 = 7 35 = 7×100 35÷7 = 700 5 = 700÷7 = 0,05 100 Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros. Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá? Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100. Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100. dividendo 3500 700 divisor resto 0 0,05 quociente Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05. Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. 10 16 ? (1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente. 100 16 0, (2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4. 100 -96 4 16 0,6 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 268
  • 270. (3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4. 100 -96 40 16 0,6 (4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8. 100 -96 40 -32 8 16 0,62 (5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 -96 40 -32 80 -80 0 16 0,625 A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro. Comparação de números decimais A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê: igual). Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo: (a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2. (b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5. Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são: (a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 269
  • 271. (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470. (c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3. Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo: A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista. O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento) A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Exemplos: (1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que 30 = 30% 100 (2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção: X 40 = 100 300 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120 Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00. (3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler? X 45 = 100 200 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 270
  • 272. o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110 páginas. DÍZIMAS PERIÓDICAS Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo: Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: (período: 5) (período: 3) (período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. (Período: 2) (Período: 4) (Período: 23) Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1 São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Observações: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 271
  • 273. Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA Média aritmética simples A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 272
  • 274. 1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7. observe o que foi feito, somamos os quatro número e dividimos pela quantidade de números. 2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a média de gols marcados nestes amistoso? Média ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. Exemplo: 1. Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a média final de seu alunos. 1º bimestre teve peso 2. 2º bimestre teve peso 2. 3°bimestre teve peso 3. 4°bimestre teve peso 3. Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1°bim = 3, 2° bim = 2,5, 3°bim = 3,5 e 4°bim = 3 Este tipo de média é muito usada nos vestibulares, você já deve ter ouvido algum colega falar assim, a prova de matemática para quem faz engenharia é peso 3 e historia é peso 1, isto é devido a engenharia ser um curso ligado a ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de atuação do curso. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 273
  • 275. TRIGONOMETRIA O papel da trigonometria A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros. Ponto móvel sobre uma curva Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo. Arcos da circunferência Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 274
  • 276. Medida de um arco A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB. Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u). A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário. O número pi Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por: = 3,1415926535897932384626433832795... Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares . Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum. Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 275
  • 277. Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos, comprimento do arco(AB) 12 = comprimento do raio 8 m(AB)= Portanto m(AB)=1,5 radianos Arcos de uma volta Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 então: comprimento do arco(AB) m(AB)= 2 r = comprimento do raio Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 2 r, =2 r rad, isto é, rad=360 graus Podemos estabelecer os resultados seguintes Desenho Grau Grado Radiano 90 100 /2 180 200 270 300 3 /2 360 400 2 0 graus = 0 grado = 0 radianos Mudança de unidades Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção, 2 rad …………… 360 graus R rad …………… G graus CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 276
  • 278. Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda, R = G 180 Exemplos 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos R = 60 180 2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos: 1 = G 180 4. Asim 1 rad=180/ graus. Círculo Trigonométrico Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico . Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular. Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue: 2o. quadrante abscissa: negativa ordenada: positiva 90º<ângulo<180º 1o. quadrante abscissa: positiva ordenada: positiva 0º<ângulo<90º 3o. quadrante abscissa: negativa ordenada: negativa 180º<ângulo<270º 4o. quadrante abscissa: positiva ordenada: negativa 270º<ângulo<360º CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 277
  • 279. Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. Arcos com mais de uma volta Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação. Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M. Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso. Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas m, m+2 , m+4 , m+6 , ... Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas m-2 , m-4 , m-6 , ... e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M. Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por: µ(AM) = m + 2k CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 278
  • 280. onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}. Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M. Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2 /3, então os arcos desta família {AM}, medem: k=0 k=1 k=2 k=3 ... k=n k=-1 k=-2 k=-3 k=-4 ... k=-n Determinações positivas (sentido anti-horário) µ(AM)=2 /3 µ(AM)=2 /3+2 =8 /3 µ(AM)=2 /3+4 =14 /3 µ(AM)=2 /3+6 =20 /3 ... µ(AM)=2 /3+2n =(2+6n) /3 Determinações negativas (sentido horário) µ(AM)=2 /3-2 =-4 /3 µ(AM)=2 /3-4 =-6 /3 µ(AM)=2 /3-6 =-16 /3 µ(AM)=2 /3-8 =-22 /3 ... µ(AM)=2 /3-2n =(2-6n) /3 Arcos côngruos e Ângulos Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2 . Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos. Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM. Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 correspondente ao arco AM. Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 279
  • 281. Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=2 -m. Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k +m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k -m, onde k é um número inteiro. Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela expressão µ(AM')= -m. Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k -m onde k é um número inteiro. + -m=(2k+1) Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 280
  • 282. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')= com origem em A e extremidade em M' medem: µ(AM') = 2k + + m = (2k+1) +m. Arcos genéricos +m Seno e cosseno Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y'). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y' Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 281
  • 283. Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x' Tangente Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t' Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes Ângulos no segundo quadrante Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 e sen( /2)=1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 282
  • 284. A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. Ângulos no terceiro quadrante O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0 Ângulos no quarto quadrante O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 cosseno é positivo e a tangente é negativa. . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1 Simetria em relação ao eixo OX Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 283
  • 285. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos: sen(a) = -sen(b) cos(a) = cos(b) tan(a) = -tan(b) Simetria em relação ao eixo OY Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo: sen(a) = sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = -tan(b) Simetria em relação à origem Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 284
  • 286. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo: sen(a) = -sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = tan(b) Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico. Primeira relação fundamental Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo a. Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y"). Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 285
  • 287. Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, 1/2 d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²] , de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a). Segunda relação fundamental Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por: sen(a) tan(a) = cos(a) Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a. Para a 0, a figura seguinte. , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: A T OA = N M ON Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0< a< 2 temos sen(a) tan(a) = cos(a) CENTER7 APOSTILAS - Direitos com a /2 e a 3 /2
  • 288. rvados center7@gmail.com 286
  • 289. Forma polar dos números complexos Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar: z = r [cos(c) + i sen(c)] onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângul o formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z. A multiplicação de dois números complexos na forma polar: A = |A| [cos(a)+isen(a)] B = |B| [cos(b)+isen(b)] é dada pela Fórmula de De Moivre: AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)] Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos. Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso A = cos(a) + i sen(a) B = cos(b) + i sen(b) Multiplicando A e B, obtemos AB = cos(a+b) + i sen(a+b) Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z: eiz = cos(z) + i sen(z) Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como: ia A = e = cos(a) + i sen(a) ib B = e = cos(b) + i sen(b) onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 287
  • 290. Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)] e desse modo e i(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) para obter cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então; sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) tan(a+b)= cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula: tan(a)+tan(b) tan(a+b)= 1-tan(a)tan(b) Como sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: tan(a)-tan(b) tan(a-b)= 1+tan(a)tan(b) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 288
  • 291. Trigonometria e aplicações Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo. Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° entã o os , outros dois ângulos medirão 90° . Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90° estes ângulos s ão denominados complementares, , portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cateto Cathetós: (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 289
  • 292. Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado a Hipotenusa b Cateto c Triângulo Cateto Vértice = Ângulo Medida A = Ângulo reto A=90° B = Ângulo agudo B<90° C = Ângulo agudo C<90° Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui. Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso. Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 290
  • 293. A hipotenusa como base de um triângulo retângulo Tomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a. Projeções de segmentos Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto. Projeções no triângulo retângulo Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 291
  • 294. 1. 2. 3. 4. m = projeção de c sobre a hipotenusa. n = projeção de b sobre a hipotenusa. a = m+n. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica . Relações Métricas no triângulo retângulo Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C. Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h m Assim: a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/m logo: a/c = c/m equivale a c² = a.m a/b = b/n equivale a b² = a.n a/c = b/h equivale a a.h = b.c h/m = n/h equivale a h² = m.n CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 292
  • 295. Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos: c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a² que resulta no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras. Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. Função Notação seno Definição sen(x) medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a x cosseno cos(x) medida da hipotenusa medida do cateto oposto a x tangente tan(x) medida do cateto adjacente a x Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo. C O sen(x)= CO = H 1 A C cos(x)= CA = H O C tan(x)= 1 sen(x) = A C cos(x) Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 293
  • 296. ATENÇÃO: A comercialização desta apostila é exclusiva de CENTER7 APOSTILAS, caso você a tenha comprado através de outro vendedor, favor envie um e-mail para center7@gmail.com com uma denúncia. Esta medida visa coibir o plágio e dar início às medidas cabíveis contra a pirataria. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados center7@gmail.com 294

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