MonografíA De MatemáTicas

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MonografíA De MatemáTicas

  1. 1. UNIDAD No. 1<br />SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES<br />1.1 Ecuación Lineal<br />Una ecuación indica la igualdad de dos expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas pueden escribirse en términos de una o más variables, entendiéndose por variables a las incógnitas que pueden ser sustituidas por valores numéricos que “satisfacen la o las ecuaciones”.<br />Por lo tanto la solución de una ecuación consta de los mencionados valores numéricos que como dijimos al reemplazarlos hacen válida la ecuación. Ahora una ecuación lineal es identificada gracias a que la o las incógnitas que participen en esta tengan un grado 1, es decir, estén elevadas a la potencia 1, así:<br />Como podemos observar la ecuación planteada es única, de primer grado, por lo tanto debe tener una sola solución.<br />En la ecuación anterior la incógnita es x, y al estar elevada al exponente 1 sólo necesita de una solución; mientras aumenta el grado de la ecuación aumenta el número de soluciones, por ejemplo, una ecuación de segundo grado (cuadrática) necesita de dos soluciones.<br />Ejemplo: 1.1Evidentemente el tema central que abarca este documento es el aprendizaje de los procesos de resolución de los sistemas de ecuaciones de dos y tres variables, es por eso que lo concerniente a ecuaciones de una sola incógnita es una breve introducción y recordatorio del infinito ámbito de este tema. A continuación presentó la resolución de la ecuación anterior:<br />1.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas<br />Muchas veces se tiene una ecuación del tipo:<br />Se dice que esta es una ecuación lineal en dos variables. Los números a y b se llaman coeficientes de la ecuación, mientras que x e y son las incógnitas buscadas, y el número c se denomina término independiente o constante.<br />Ahora si tenemos dos ecuaciones lineales, así:<br /> <br />Las ecuaciones presentadas, consideradas simultáneamente, forman un sistema de ecuaciones lineales, en el sentido que se consideran los pares ordenados (x, y) <<Dos números escritos en un cierto orden. Usualmente están escritos entre paréntesis, así: (4,5). Pueden ser usados para mostrar la posición en un gráfico (plano cartesiano), donde el valor " x" (horizontal) es primero, y el valor " y" (vertical) es el segundo>> que satisfacen ambas ecuaciones y por ende constituyen las soluciones del sistema.<br />1.2.1 Tipos de sistemas <br />Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. Se pueden presentar los siguientes casos:<br />TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONESCompatibles: Si tiene alguna soluciónDeterminado: Cuando tiene un número finito de solucionesIndeterminado: Cuando admite un conjunto infinito de solucionesIncompatibles: No tiene ninguna solución.<br />Tabla: 1.1<br />Sistemas compatibles indeterminados <br />Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:<br />Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.<br />En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente. <br />Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0): <br />De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero. <br />Sistemas incompatibles [editar]<br />De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:<br />Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.<br />Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:<br />

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