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Portafolio estadística inferencial marisol imbacuan
 

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    Portafolio estadística inferencial marisol imbacuan Portafolio estadística inferencial marisol imbacuan Document Transcript

    • UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONALPORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: Verónica Marisol Imbacuán Gordón MARZO 2012- AGOSTO 2012 Tulcán – Ecuador
    • INTRODUCCIONLa estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna afirmaciónsobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística inferencial hace queese salto de la parte al todo se haga de una manera “controlada”. Aunque nuncanos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá una respuesta probabilística. Estoes importante: la estadística no decide; sólo ofrece elementos para que elinvestigador o el lector decidan. En muchos casos, distintas personas percibendiferentes conclusiones de los mismos datos.El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de modelos queestán a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de formular, en primer lugar,una pregunta en términos estadísticos. Luego hemos de comprobar que nuestrasituación se ajusta a algún modelo (si no se ajusta no tendría sentido usarlo). Perosi se ajusta, el modelo nos ofrecerá una respuesta estadística a nuestra preguntaestadística. Es tarea nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola decontenido psicológico.La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad describir. Así,si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un grupo de personas, laestadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero será tomar medidas, en todoslos miembros del grupo, de esos aspectos o variables para, posteriormente, indagaren lo que nos interese. Sólo con esos indicadores ya podemos hacernos una idea,podemos describir a ese conjunto de personas. 1
    • OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICALa estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección,organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos,con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan lascaracterísticas de las observaciones. La estadística sirve en administración yeconomía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentesde variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos yadministrativos.JUSTIFICACIÓNEl presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado enclases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas elcontenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos permitiráanalizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse el estudiante yasí despejar los dudas que se tiene con la investigación y el análisis de cada uno delos capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarca problemas queestas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias decisiones yaque la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos siguiendocomo lo es comercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más elrazonamiento y sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presenteen el entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para asípoderlos emplear a futuro . 2
    • CAPITULO I EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESLas unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en fundamentalesy derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden reducir. Se citan lasunidades fundamentales de interés en la asignatura de ciencias e ingenierías de osmateriales.Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades fundamentalesutilizando signos matemáticos de multiplicación y de división. Por ejemplo lasunidades de densidad del sí son el kilogramo por metro cubico algunas unidadesderivadas tienen nombres y símbolos especiales.Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional delkilogramo (Diaz, 2008)Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de laradiación correspondiente a la transición entre los dos niveles HIPERFINOS delestado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad deuna corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos,rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a unadistancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7newton por metro de longitud. (Diaz, 2008) 3
    • Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperaturatermodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del puntotriple del agua. (Diaz, 2008)Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de unsistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en unadirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática defrecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha dirección es1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial. (Diaz,2008)Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza. (Diaz,2008)Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según lagravedad de la tierra (Diaz, 2008) MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOSMúltiploUn múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero deveces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, dapor resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al diez suelenagruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)SubmúltiploUn número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo de a,(Pineda, 2008). 4
    • COMENTARIO:El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar elestablecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y comoestudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el podemosobtener los resultados al almacenar una mercancía en el contenedor sin perder eltiempo que es valioso en la carrera, y también si perder el espacio dentro de dichocontenedor.El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales y a suvez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la carrera Parauna comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidadfundamental de magnitudes de un sistema, sea especificada y reproducible con lamayor precisión posible. 5
    • ORGANIZADOR GRAFICO: Sistema Internacional de Medidas y Unidades Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se emplea para representarla:Magnitudes fundamentales Magnitudes derivadas Múltiplos SubmúltiplosUna magnitud fundamental Son la que Un número es un Un múltiplo de n eses aquella que se define dependen de las submúltiplo si otro lo un número tal que, dividido por n, da porpor sí misma y es magnitudes contiene varias veces resultado un númeroindependiente de las fundamentales. exactamente. Ej.: 2 es enterodemás (masa, tiempo, un submúltiplo de 14,longitud, etc.). ya que 14 lo contiene 7 veces.= 14 = 2 • 7 6
    • TRABAJO # 1 MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOSMÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son aquellos quese obtiene al sumar el mismo número varias veces o al multiplicarlo por cualquiernúmero. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005, pág. 94).Ejemplo:Múltiplos de 5:5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisionesexactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).Por ejemplo:Submúltiplos de 30:6, 10, 5, 2, 3, etc. 7
    • MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADASLAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es aquellaque se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo,longitud, etc.). LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway & Faughn, 2006). MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo, (Serway & Faughn, 2006). TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, (Serway & Faughn, 2006). INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo, (Serway & Faughn, 2006). TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006). INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002). CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la necesidad de contar partículas o entidades elementales microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas (como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas, (Enríquez, 2002).MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudesfundamentales. VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002). 8
    • AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales, (Enríquez, 2002). VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo, (Enríquez, 2002). FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles, (Enríquez, 2002). TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002). La unidad del trabajo es el JOULE. ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez, 2002).9
    • Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricosFigura Esquema Área VolumenCilindroEsferaConoCubo A = 6 a2 V = a3 A = (perim. base •h) + 2 • area V = área base •Prisma base hPirámide 10
    • CONCLUSIONES  El sistema internacional de unidades es muy importante porque se involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con otros países mediante comercio internacional y su negociación entre ellos. como también la práctica de problemas del sistema internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de exportar una mercancía, que cantidad de materia prima, electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.  El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy fundamental en la carrera de comercio exterior.RECOMENDACIONES  Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de mercancía que puede introducirse en el transporte.  Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional ya que permite una mejor movimiento e intercambio. 11
    • 12
    • BIBLIOGRAFÍAAldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.Altamirano, E. (2007).Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México:Cengage Learning.Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias . 13
    • Pineda, L. (2008). matematicas.Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés.Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia:COMPOBELL.Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York:THOMSON.Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: LearningInc.Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México:Cengage Learning.LINKOGRAFIAhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htmfile:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htmfile:///K:/books.htmfile:///K:/volumenes/areas_f.htmlfile:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htmANEXOS:1.- Convertir 2593 Pies a Yardas. 14
    • 2.- Convertir 27,356 Metros a Millas3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 15
    • TRANSFORMACIONESEn muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes quevienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculosque realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que secumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos, 2002).Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve avelocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemosaplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidadviene expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos.Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas seanla misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo seaacertado, (Ledanois & Ramos, 2002).Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamosfactor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la mismamagnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos deequivalencia entre ambas unidades, (Ledanois & Ramos, 2002).EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASEVolumen 300 transformar en pulgadas 3V= 100000V= 100000Q= 7200000 16
    • Vol. Paralelepípedo L xaxhVol. CuboVol. EsferaVol. CilindroVol. PirámideÁrea cuadradaÁrea de un rectángulo BxhÁrea de un circuloÁrea de un trianguloEn una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas demanzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y 30 deancho y 40 de altura.Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000TRANSFORMACIÓN 17
    • X=Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m. ¿Cuántoslitros se puede almacenar en dicho tanque?.RESOLUCIONVOL. CILINDRO =VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17TRANSFORMACIÓN120.17 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESLONGITUD1 Km 1000 m1m 100 cm1 cm 10 mm1 milla 1609 m1m 1000 mmMASA1qq 100 lbs.1 Kg 2.2 lbs.1 qq 45.45 Kg1 qq 1 arroba 18
    • 1 arroba 25 lbs.1 lb 454 g1 lb 16 onzas1 utm 14.8 Kg1 stug 9.61 Kg1m 10 Kg1 tonelada 907 KgÁREA 1001 100001 hectárea 100001 acre 40501 pie (30.48 cm1 pie 900.291 10.76COMENTARIO EN GRUPO:Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos servirá enla carrera del comercio exterior y además poder resolver problemas que sepresenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y tanque etc., y otras formasgeométricas nos servirá para determinar cuántas cajas o bultos, etc. que puedenalcanzar en una almacenera o en cada uno de los contenedores esto nos servirá alrealizar prácticas o al momento de emprender nuestro conocimientos a futuro. 19
    • ORGANIZADOR GRAFICO:LONGITUDObservamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, enla parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior, (Riley & Sturges,2004). LONGITUD 1 KM 100 M 1M 100M, 1000MM 1 MILLA 1609M 1 PIE 30,48CM, 0,3048M 1 PULGADA 2,54CM 15 1 AÑO LUZ 9,46X10 M 20
    • TIEMPO.El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación deacontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es,el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba unestado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para unobservador (o aparato de medida). El tiempo ha sido frecuentemente concebidocomo un flujo sucesivo de situaciones atomizadas, (López, March, García, &Álvarez, 2004). MEDIDAS DEL TIEMPO 1 AÑO 365 DIAS 1 MES 30 DIAS 1SEMANA 7 DIAS 1 DIA 24 HR 1 HORA 60 MIN,3600SEG 1 MINUTO 60 SEG.MASA Y PESO.La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en Sevres, haycopias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para ser regladas y ver sihan perdido masa con respecto a la original. El kilogramo (unidad de masa) tiene supatrón en: la masa de un cilindro fabricado en 1880, compuesto de una aleación deplatino-iridio (90 % platino - 10 % iridio), creado y guardado en unas condicionesexactas, y que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres,cerca de París, (Hewitt, 2004).PESODe nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada cuerpoes atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de atracción hace queel cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con una unidad diferente: elNewton (N), (Torre, 2007). 21
    • SISTEMA DE CONVERSION DE MASA 1 1000 KG TONELADA 1 QQ 4 ARROBAS, 100 L 1 ARROBA 25 L 1 KG 2,2 L 1 SLUG 14,58 KG 1 UTM 9,8 KG 1 KG 1000 GR 1L 454 GR, 16 ONZAS22
    • TRABAJO # 223
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    • CONCLUSIÓN:La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en unacierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele realizarse con eluso de los factores de conversión y las tablas de conversión del SistemaInternacional de Unidades.Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado es otramedida equivalente, en la que han cambiado las unidades.Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades sepueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que elresultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge lanecesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro, por locual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de los diferentessistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una unidad a otra,tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los diferentes lugares.RECOMENDACIÓN:En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir "algo"; yasea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen, ángulos, potencia, etc.Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que laspersonas necesitan saber qué tan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa,en términos que se entiendan, que sean reconocibles, y que se esté de acuerdocon ellos; debido a esto es necesario tener conocimientos claros sobre el SistemaDe Conversión De Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema opatrón de referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidadesde medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de nuestrocontexto. 32
    • CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: MES DE MARZO-ABRILACTIVIDADES M J V S D L MInvestigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la X XÁreas y volúmenes de diferentes figuras geométricasEjecución del Formato del Trabajo XResumen de los textos investigados X XFinalización del Proyecto XPresentación del Proyecto XBIBLIOGRAFIAEnríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y Conversionesde Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso deIngeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.Pineda, L. (2008). matematicas.Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ. 33
    • LINKOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Sistema_Int ernacional_de_Unidades_.28SI.29 http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29 http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htmANEXOS:1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y arroz.Con esa información calcular el número de cajas y quintales que alcanzan en cadauno de los vehículos. TRAILER MULA CAMION SENCILLO Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40mMedidas de las cajas: Medidas de las cajas de plátano LARGO ANCHO ALTO 20cm 51cm 34cm Medidas de las cajas de manzana 7.5cm 9.5cm 7.5cm 34
    • DESARROLLO: 35
    • a.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 91.09m3 b.1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 9.11*10-05m3 c. 36
    • 1 qq de papa-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 d.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 e.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 29.77m3 37
    • f.1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 29.77m3 g.1 qq de papa-----------------0.05m3 X 29.77m3 . h.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 38
    • i.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 123.55m3 j.1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 123.55m3 k.1 qq de papa-----------------0.05m3 X 123.55m3 . 39
    • l.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 123.55m3 . 40
    • CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO: Tiempo MARZO ABRIL MAYO SEMANAS SEMANAS SEMANASActividades 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4PRIMERA CLASECompetencia especifica X(27-Marzo-2012)Introducción de la Materia x(27-Marzo-2012)SEGUNDA CLASESistema Internacional deUnidades X(03-Abril-2012)Tarea Sistema Internacional deUnidades.Entregar el 10 de abril del 2012 XTERCERA CLASEAplicación de transformaciones(17 de abril del 2012) XTarea Ejercicios de aplicaciónacerca del Sistema Internacionalde unidades según las Xtransformaciones(24 de abril del 2012)CUARTA CLASEEvaluación primer capitulo x(03 de Mayo del 2012)41
    • 42
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    • CAPITULO IIMARCO TEORICO: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEALLa correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dosvariables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si loscambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de quesuceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entreellas. Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).Comentario: A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la independiente.DIAGRAMA DE DISPERSIÓNRepresentación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.Características principalesA continuación se comentan una serie de características que ayudan a comprender lanaturaleza de la herramienta. 44
    • Impacto visualUn Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entredos variables de un vistazo.ComunicaciónSimplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.Guía en la investigaciónEl análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que elsimple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas deestudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en su utilización, (García,2000).Comentario: El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos variables, en donde aparece representado como un punto en el plano cartesiano.COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSONEn estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relaciónlineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, lacorrelación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson comoun índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre ycuando ambas sean cuantitativas. El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de + 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de correlación. Los primeros dan a 45
    • entender que existe una correlación directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente, (Willliams, 2008).Comentario: El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta.INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓNEl coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dosvariables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que noexista correlación ya que las variables pueden presentar una relación no lineal comopuede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. En este caso el r infraestimala asociación al medirse linealmente. Los métodos no paramétrico estarían mejorutilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o amoverse en direcciones diferentes. Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).Comentario: El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento. 46
    • FORMULAREGRESIÓN LINEAL SIMPLEElegida una de las variables independientes y representadas los valores de la variablebidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube depuntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. Si hemos elegido elcarácter X como variable independiente, tendremos a la recta de regresión de Y sobre X.Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrá la recta de regresión de X sobreY.Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuestacuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la relaciónentre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y dado X=x paraver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)COMENTARIO: Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones. 47
    • CORRELACIÓN POR RANGOSCuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables para unmismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están relacionadas o no y deestarlo, el grado de asociación entre ellas.Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado eninvestigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidascuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde sepueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus resultados sonbastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)COMENTARIO: Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas. Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si su relación es positiva o negativa.RANGOLa diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y elmayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos losvalores de resultado de una función.Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su situaciónprofesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el rango delsuperior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su rango o serásancionado. (MORER, 2004) 48
    • COMENTARIO: Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas.COMENTARIO GENERAL:La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las cuales nosayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo serelacionan entre sí dos o más variables en una población que deseemos estudiar para asípoder determinar posibles resultados que nos darán en un estudio de mercado porejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior está muy relacionada con eseámbito.La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiardeterminando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o investigado.La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de una variable conbase en los valores conocidos de la otra.Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un estudioya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos variables a estudiar,y facilitara la recolección de información. 49
    • ORGANIZADOR GRAFICO: ayuda a la toma de decisiones segun lo resultante en la aplicacion de estos herramienta basica para grupodetécnicase estudios y analisis que stadísticasusadas pueden determinar el paramedirlafuerz exito o fracaso entre dos adelaasociacióne opciones ntredosvariables CORRELACION Y REGRESION LINEAL se ocupa de establecer si existe una relación así como permite evaluar de determinar su magnitud y decisiones que dirección mientras que la se tomen en regresión se encarga una poblacion principalmente de utilizar a la relación para efectuar una determinar predicción. posibles resultados como por ejemplo del exito en un estudi de mercado 50
    • TRABAJO Nº 3 Verónica Marisol Imbacuán51
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    • CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: DíasActividad Mar, Mié, Jue, Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17 Responsable 08 09 10Copias Marisol ImbacuánIniciar Marisolcon los ImbacuánejerciciosTerminar Marisollos ImbacuánejerciciosPrueba Marisol Imbacuán 81
    • ANEXOS:Ejemplo 1:La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y. X: 6 3 7 5 4 2 1 Y: 7 6 2 6 5 7 2Calcule: a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y la varianza error ( a) X Y XY X2 Y2 6 7 42 36 49 3 6 18 9 36 7 2 14 49 4 5 6 30 25 36 4 5 20 16 25 2 7 14 4 49 1 2 2 1 4 28 35 140 140 203 82
    • b)c)Ejemplo 2:Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran enla tabla:X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10 a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?. b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un valor de 10? c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta). 83
    • a) Completamos la siguiente tabla: X Y XY X2 Y2 1 1 1 1 1 3 4 12 9 16 5 6 30 25 36 7 6 42 49 36 9 7 63 81 49 11 8 88 121 64 13 10 130 169 100 49 42 366 455 302El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se interpretacomo proporción de varianza de la variable Y que se explica por las variaciones de lavariable X. Por tanto: es la proporción de varianza no explicada. Esta proporciónmultiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la pendientey ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis. 84
    • c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable X escon el que cometemos menos error de pronóstico.Ejemplo 3:Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades endías están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos estaprueba.Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niñosde edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.Hipótesis.Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlaciónsignificativa.Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlaciónsignificativa. 85
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    • Ejemplo 4:Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuacionesfueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran unconjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de calcular la ecuación de regresiónpara pronosticar Y a partir de X, se sabe que para una puntuación típica de 1,2 en X sepronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. También se sabe que la desviacióntípica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular: a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y Sujeto Xi 1 13 169 2 9 81 3 17 289 4 25 625 5 21 441 6 33 1089 7 29 841 Sumatorio 147 3535 87
    • a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir de X a. La varianza de los errores del pronóstico.Ejemplo 5:De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos quese muestran en la tabla:Calcular:a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas. 88
    • b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Yc) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.EJEMPLO 6:Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuadortiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresaes la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación. Valor de los Unidades 2 2Empresas transformadores posibles a vender X Y XY x y 1 1800 100 3.240.000 10.000 180.000 2 1500 98 2.250.000 9.604 147.000 3 1200 80 1.440.000 6.400 96.000 4 900 62 810.000 3.844 55.800 5 850 58 722.500 3.364 49.300 2 2 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x =8.462.500 ∑y =33.212 ∑xy= 528.100 89
    • Fórmula:Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresaimportadora. 90
    • EJEMPLO 7:Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuadortiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresaes la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación. Valor de los Unidades 2 2Empresas transformadores posibles a X Y XY x vender y 1 1800 100 3.240.000 10.000 180.000 2 1500 98 2.250.000 9.604 147.000 3 1200 80 1.440.000 6.400 96.000 4 900 62 810.000 3.844 55.800 5 850 58 722.500 3.364 49.300 2 2 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x =8.462.500 ∑y =33.212 ∑xy= 528.100Fórmula: 91
    • Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresaimportadora.EJEMPLO 8:La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad lasmercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos mensuales sobrelas toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo: MESES Mercancías Mercancías Peligrosas Frágiles X Y X^2 Y^2 XY Enero 189 85 35721 7225 16065,00 Febrero 105 96 11025 9216 10080,00 Marzo 125 78 15625 6084 9750,00 Abril 116 48 13456 2304 5568,00 Mayo 124 98 15376 9604 12152,00 659 405 91203 34433 53615 92
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    • La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a positivacomo lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica respecto al eje xy eje y.EJEMPLO 9:3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los siguientes datos,referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al gasto en publicidad ( en milesde dólares) de los últimos 6 años:a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad? 94
    • ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y esimperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas. 95
    • EJEMPLO 10:La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no estáseguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a esto estaempresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas empresas en el transportepor lo cual ha hecho una investigación de mercado y a obtenido los siguientes resultados. EMPRESAS DE CALIDAD DE RENDIMIENTO (Y) XY TRANSPORTE SERVICIO (X)TRANSCOMERINTER 19 46 361 2116 874TRANSURGIN 17 44 289 1936 748TRANSBOLIVARIANA 16 40 256 1600 640SERVICARGAS 14 30 196 900 420 66 160 1102 6552 2682 rr=r= 0,038Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender de lasdos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro. 96
    • EJEMPLO 11:Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar siexiste relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo deestudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Losresultados de la muestra son: EMPLEADOS AÑOS DE PUNTUACIÓN SERVICIO DE “X” EFICIENCIA 2 2 “Y” XY X Y Y A 1 6 6 1 36 3.23 B 20 5 100 400 25 4.64 C 6 3 18 36 9 3.61 D 8 5 40 64 25 3.77 E 2 2 4 4 4 3.31 F 1 2 2 1 4 3.23 G 15 4 60 225 16 4.30 H 8 3 24 64 9 3.77 61 30 254 795 128 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 97
    • r = .3531DESVIACIÓN ESTÁNDARb = 202 = .07652639a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16 ( y - y )2 ( y - y´ )2 5.0625 7.6729 1.5625 0.0961 0.5625 0.3721 98
    • 1.5625 1.5129 3.0625 1.7161 3.0625 1.5129 0.0625 0.09 0.5625 0.5929r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247EJEMPLO 12:Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar larelación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se tomauna muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos: 2 2EMPRESA MILES DE MILES DE XY X Y UNIDADES x $y A 40 150 6000 1600 22500 B 42 140 5880 1764 19600 C 48 160 7680 2304 25600 D 55 170 9350 3025 28900 E 65 150 9750 4225 22500 F 79 162 12798 6241 26244 G 88 185 16280 7744 34225 H 100 165 16500 10000 27225 I 120 190 22800 14400 36100 J 140 185 25900 19600 34225 2 2 Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx 70903 Σy 277119 99
    • 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160r = 1´329,380 - 1´287,489 =[709030 - 603729][2771190 - 2745949]r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078(105301) (25541) 51860.32DESVIACION ESTANDAR 100
    • Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938) 10 - 2Syx = 10.53MARCO TEORICO: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEALLa correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la relaciónentre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De establecer siexiste una relación, así como de determinar su magnitud y dirección, mientras que laregresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En este capítuloanalizaremos la correlación y más adelante la regresión linealRelaciones;La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las quecomprenderemos mejor este tema.Relaciones lineales:Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el salariomensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de las mercancíasvendidas por cada uno de ellos en ese mes. 101
    • Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($) 1 0 500 2 1000 900 3 2000 1300 4 3000 1700 5 4000 2100Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una graficatrazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha grafica.Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el cuadro.Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con lamejor exactitud mediante una línea recta.Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamosanteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su valor Ztransformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en la escala Z.Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su barrio estávendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene marcado el preciototal. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las naranjas de cada bolsa ysu costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar seis bolsas y la pesa, de hechoestán relacionadas estas variables. Existe una correlación positiva perfecta entre el costoy el peso de las naranjas. Asi el coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su valortransformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo con algunaalgebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de cálculo que utilice datosen bruto: 102
    • Ecuación para el cálculo de la r de PEARSON rDonde es la suma de los productos de cada pareja XyY también se llama lasuma de los productos cruzados.Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos: SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY A 1 2 1 4 2 B 3 5 9 25 15 C 4 3 16 9 12 D 6 7 36 49 42 E 7 5 49 25 35 TOTAL 21 22 111 112 106r r 103
    • PROBLEMA DE PRÁCTICA: Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r Pearson.# de estudiantes IQ Promedio X2 Y2 XY (promedio de de datos Y calificaciones) 1 110 1.0 12.100 1.00 110.0 2 112 1.6 12.544 2.56 179.2 3 118 1.2 13.924 1.44 141.6 4 119 2.1 14.161 4.41 249.9 5 122 2.6 14.884 6.76 317.2 6 125 1.8 15.625 3.24 225.0 7 127 2.6 16.129 6.76 330.2 8 130 2.0 16.900 4.00 260.0 9 132 3.2 17.424 10.24 422.4 10 134 2.6 17.956 6.76 384.4 11 136 3.0 18.496 9.00 408.0 12 138 3.6 19.044 12.96 496.8 TOTAL 1503 27.3 189.187 69.13 3488.0 r r 104
    • Una segunda interpretación de la r de PEARSON es que también se puede interpretar entérminos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este punto de vista producemás información importante acerca de r y la relación entre X y Y en este ejemplo lavariable X representa una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad de laescritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos que queremospredecir la calificación de la escritura de Esteban, el estudiante cuya calificación enortografía es de 88.Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B, donde lacorrelación es menor, a algunos de los valores r= Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo cual haceque r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C todos losproductos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r aumente. Cuando lasparejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones dentro de sus propiasdistribuciones, los productos tienen el mismo signo, la cual produce una mayormagnitud de rCalculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante laecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.Sería justo decir que este es un examen confiableUn grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente enquince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entredos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. Elcuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar 105
    • el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con elajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si seconsidera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibirmás de 50 puntos. El número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustesrequeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos loseventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en lasiguiente tabla. EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS Muerte de la esposa 100 80 Divorcio 73 95 Separación de la pareja 65 85 Temporada en prisión 63 52 Lesiones personales 53 72 Matrimonio 50 50 Despedido del trabajo 47 40 Jubilación 45 30 Embarazo 40 28 Dificultades sexuales 39 42 Reajustes económicos 39 36 Problemas con la familia 29 41 política Problemas con el jefe 23 35 Vacaciones 13 16 Navidad 12 10 a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre los datos de ambas culturas 106
    • INDIVIDUO EXAMEN CON PSIQUIATRA A PSIQUIATRA LÁPIZ Y PAPEL B 1 48 12 9 2 37 11 12 3 30 4 5 4 45 7 8 5 31 10 11 6 24 8 7 7 28 3 4 8 18 1 1 9 35 9 6 10 15 2 2 11 42 6 10 12 22 5 3Un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Paracomparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “conperturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos soncalificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado dedepresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Losdatos aparecen a continuación.Los datos mayores corresponden a una mayor depresión. a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras? b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de cada psiquiatra?Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento derecursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba dehablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección demanufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de lainstitución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabricael mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir aestos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y 107
    • papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos dedesempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar comodispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de lamanufactura, garantizando que un amplio rango de desempeño quede representado en lamuestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando durantelos últimos seis meses.Desempeño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10en el trabajoExamen 1 50 74 62 90 98 52 68 80 88 76Examen 2 10 19 20 20 21 14 10 24 16 14 25 35 40 49 50 29 32 44 46 35 CORRELACIÓN4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓNEn los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola variable. Acontinuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente de una.Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables estánrelacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación lineal.4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLESSupongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba dehabilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos cincoestudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en estas dospruebas. 108
    • Tabla Nº 4.1.1 Estudiantes X Y Prueba de habilidad mental Examen de Admisión María 18 82 Olga 15 68 Susana 12 60 Aldo 9 32 Juan 3 18La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes conpuntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en elexamen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de habilidad mental.Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En circunstancia como lapresente (cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con los puntajesaltos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos que hay una relación lineal positivaentre las variables, entonces podemos definir una relación lineal positiva entre eseconjunto de pares valores X y Y, tal la muestra la tabla N º 4.1.1Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos obtenido lospuntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar que en esta situaciónlos puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse para pronosticar los puntajesdel examen de admisión? También, aunque en este caso mostramos una relacióncontraria a la que ocurre en la realidad ya que los sujetos con puntajes altos en el test dehabilidad mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos conpuntajes bajos en el test de habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen deadmisión, entonces podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto depares valores X y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X estánapareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con lospuntajes de Y. 109
    • Tabla Nº 4.1.2 Estudiantes X Prueba de habilidad Y Examen de Admisión mental María 18 18 Olga 15 32 Susana 12 60 Aldo 9 68 Juan 3 82 Tabla Nº 4.1.3 Estudiantes X Prueba de habilidad Y Examen de Admisión mental María 18 18 Olga 15 82 Susana 12 68 Aldo 9 60 Juan 3 32Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los puntajesde la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del examen deadmisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y algunos puntajes bajosdel test de habilidad mental están apareados con otros puntajes altos del examen deadmisión, entonces en este caso, decimos que no existe una relación lineal entre lasvariables X y Y. 110
    • 4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓNEn las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco parejasde valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma alternativa de versi existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una grafica de los valores X yY en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo de gráfica es conocido con elnombre de diagrama de dispersión, gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos eldiagrama que corresponde a la Tabla N º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder acada valor de la variable independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir,para la alumna Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidadmental (12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemoscorresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del examen deadmisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el sistema de ejesrectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el diagrama dedispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la sensación de ascender enlínea recta de izquierda a derecha. Esto es característico en datos en los que existe unarelación lineal positiva. Aunque estos cinco datos no configuren una línea recta en formaperfecta. Se puede trazar una línea recta que describa que estos puntos en formabastante aproximada conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que larelación es lineal.Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una solalínea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado en que seseparan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la relación lineal no esperfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea decimos que larelación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola líneadecimos que la relación lineal entre las dos variables es menos fuerte y cuando máspuntos queden incluidos en una línea recta afirmamos que la relación lineal es másfuerte. 111
    • GRÁFICO Nª 4.1.1.112
    • Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar empleadahasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión, tal como semuestra en el gráfico Nº 4.1.3.Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. Que la nube de puntos de la gráfica puedendelinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación lineal entre lasdos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de izquierda a derecha (tienenpendiente negativa) por lo que decimos que la relación lineal entre las dos variables esnegativa.Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se muestra enla gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil cualquier línea rectaque trate describir adecuadamente este diagrama de dispersión. Y 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X Diagrama de Dispersión 113
    • GRÁFICO Nº 4.1.4. 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 XDiagrama de Dispersión aproximado por una línea recta4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSONCon ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, odiagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es positivao negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos cuantificar la fuerza dela relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del coeficiente r de Pearson.El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los puntosdel diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta).El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta. (los puntos del diagramade dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El coeficientede correlación r=0 se obtiene cuando no existe ninguna correlación entre las variables.Los valores negativos mayores que -1 indican una correlación negativa y los valorespositivos menores que 1 indican una correlación positiva. 114
    • Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando elvalor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la correlación, es asíque -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos valores débiles) los valores -0.93y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos son dos valores fuertes).Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora cuando losdatos no son muy numerosos.Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos calcular elcoeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la siguiente fórmula. Tabla Auxiliar 4.1.4. (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 82 324 6724 1476 15 68 225 4624 1020 12 60 144 3600 720 9 32 81 1024 288 3 18 9 324 54 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se hanelevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al cuadrado losvalores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada pareja de valores X yY. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene: 115
    • INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de correlaciónque no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables. Pero es necesarioexaminar más esta materia, porque el grado de intensidad de relación se puedeconsiderar desde varios puntos de vista. No se puede decir que un r de 0,50 indique unarelación dos veces más fuerte que la indicada por un r de 0, 25. Ni se puede decirtampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r = 0,60 equivalga a un aumentode r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una correlación de 0,60 indica una relación tanestrecha como una correlación de + 0,60. La relación difiere solamente en la dirección.Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dosvariables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar únicamenteque la situación medida está contaminada por algún factor o factores no controlados. Esfácil concebir una situación experimental en la cual, si se han mantenido constantes todoslos factores que o sean pertinentes, el r podría haber sido 1 en lugar de 0,20. Porejemplos: generalmente la correlación entre la puntuación de aptitud y el aprovechamientoacadémico es 0,50 puesto que ambos se miden en una población cuyo aprovechamientoacadémico también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades decalificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factoresdeterminantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el rseria 1 en vez de 0,50.Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a lasituación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún hecho naturalabsoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente relativo a lascircunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz de esas circunstanciasy sólo muy rara vez en algún sentido absoluto. 116
    • Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación como demedida del grado de relación lineal entre dos variables es una interpretación matemáticapura y está completamente desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho deque dos variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica queobligadamente una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra.A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de PEARSON dela relación presentada en la tabla. Cuadro Auxiliar 4.1.5. (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 18 324 324 324 15 32 225 1024 480 12 60 144 3600 720 9 68 81 4624 612 3 82 9 6724 246 2 2 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X =783 ∑Y =16296 ∑XY =2382 Vemos que la correlación es fuerte y negativa. 117
    • Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente deCorrelación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3. Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6 (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 18 324 324 324 15 82 225 6724 1230 12 68 144 4624 816 9 60 81 3600 540 3 32 9 1024 96 ∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006 La correlación es muy débil y positiva. 118
    • CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN CLASESEl presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nosproporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos conjuntos.Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en inventariode hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen matemático, aplicados a untotal de 134 alumnos de un colegio de la localidad. ^-^X Hábitos de Y ^estudio 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy Matemáticas^ 70 -* 80 3 2 2 7 60 -> 70 1 0 4 5 10 50 ~» 60 2 6 16 3 27 40 50 4 14 19 10 47 30 >-■» 40 7 15 6 0 28 20 M 30 8 2 0 1 t1 10 20 1 1 2 4 Total f. 23 40 48 23 134Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado, que ahoralos datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7. Este): cuadromuestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de clase 0» la variable Y,los que cubren todos los posibles datos acerca de las puntuaciones! alcanzadas por losestudiantes en la prueba de Matemática. Nótese que los i n t e r v a l o s los crecen deabajo hacia arriba. En la fila superior se presentan les intervalos <%Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran lasfrecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un intervalode la variable Y como un intervalo de la variable X.La fórmula que utilizaremos es la siguiente 119
    • Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el cuadroauxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de esa formulaLo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por susrespectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7 cincocolumnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la primera. 1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7. 2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23 3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas. Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas: -1-2 y -3 corresponden a los intervalos menores. 4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila superior del cuadro, por esa razón, escribimos cero debajo de la frecuencia marginal 48. 5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto: (3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-3)(- 12)=36 La suma 63+40+27+28+44+36=238 120
    • Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila. (23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23 Sumando horizontalmente: (-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63 Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la cuarta fila así: (-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23 Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3 que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente. Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9 encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+) Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6121
    • X hábitosestudio suma de losY # enmatemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y semicírculos 75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3 65 1 0 4 5 10 2 20 40 6 55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7 45 4 14 19 10 47 0 0 0 0 35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29 25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34 15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0 ∑FxUx = ∑FxUx^2= ∑FxyUxUy= 6 238 59Fx 23 40 48 23 134Ux -2 -1 0 1FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar horizontalmentelos números que están encerrados en los semicírculos de esa primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.(0)(-1)(+2)= 0(4)(0)(+2)= 0(5)(+1)(+2)= 10Sumando 0 + 0 + 10 = 10Ahora con la tercera fila:(2)(-2)(+1)= -4(6)(-1)(+1)= -6(16)(0)(+1)= 0 122
    • (0)(+1)(+1)= 3Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7Cuarta fila(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0Quinta fila(7)(-2)(-1)= 14(15)(-1)(-1)= 15(6)(0)(-1)= 0(0)(+1)(-1)= 0La suma es: 14+15= 29(8)(-2)(-2)= 32(2)(-1)(-2)= 4(0)(0)(-2)= 0(1)(+1)(-2)= -2La suma es: 32 + 4 -2 = 34Séptima fila:(1)(-2)(-3)= 6(1)(0)(-3)= 0(2)(1)(-3)= -6Sumando: 6 + 0 – 6 = 0Sumando los valores de la columna quinta.Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula 123
    • n= 134∑ = 59∑ = -63∑ =6∑ = 155∑ = 238r=r=r= 0,358Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre Conjuntos de Datos AgrupadosCalcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y físicasde 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL 90 - 100 0 0 0 2 5 5 12 80 - 90 0 0 1 3 6 5 15 70 - 80 0 1 2 11 9 2 25 60 - 70 2 3 10 3 1 0 19 50 - 60 4 7 6 1 0 0 18 40 - 50 4 4 4 0 0 0 11 TOTAL 10 15 22 20 21 12 100 124
    • SUMA DE LOS NÚMEROS ENCERRADOS EN PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA SEMICÍRCULOS EN CADA FILA 45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y 95 2 5 5 12 2 24 48 54PUNTUACION ENFISISCA Y 85 1 3 6 5 15 1 15 15 30 75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0 65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2 55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28 45 4 4 3 11 -3 -33 99 36 fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150 Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2y Σ fxy Ux Uy FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux Fx U2x 40 15 0 20 84 108 267 Σfx U2x 125
    • En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para dosconjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100, enmatemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de ciertauniversidadLos datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea horizontalsuperior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de matemáticasdesde 40 hasta 100.Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos parafísica de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Nótese que en lacolumna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia arriba y para la filahorizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas crecen izquierda aderecha.A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos datosaplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior. 1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el lado derecho y cuatro filas por la parte interiorObservemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en matemáticasy para la puntación en física se han remplazado por las marcas de clasecorrespondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el primer intervalo40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60 por su marca de clase 55y de esta manera se han remplazado los demás intervalos por sus marcas de clases en elcuadro N° 4.1.10.De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos se hanremplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en física el primerintervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de clase 95, el segundointervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca de clase 85 y asísucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se ha remplazado por sumarca de clase 45. 126
    • Ahora vamos a realizar los pasos siguientes 1) Para las frecuencia marginales f y sumemos todos los valores fxy de la primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5= 12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85 obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de fy. 2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales f x. el primer resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe en el primer casillero de fx para el segundo casillero tenemos el número 15 que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás columnas llenamos las frecuencias marginales fx. 3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física. Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son números negativos que van decreciendo hacia abajo. Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes. De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia abajo decrece: -1,-2,-3. 4) Veamos la fila Ux Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno del casillero Ux el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2. 127
    • 5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de f y por su correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal f y = 12 por su correspondiente desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta terminar con 11*(-3)= -33. 6) Observemos la columna Fy U2y. L primera celda de esta columna tiene el número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna fy U2y , tenemos 15 que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás valores de la columna Fy U2y. 7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20. Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así sucesivamente 12*3= 36. 8) Veamos Fx U2x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el segundo casillero de f x U2x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1) *(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros Ux por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108. 9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en física. 10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2. Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila U x y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy = (2) (1) (2) = 4.128
    • Podemos anunciar la siguiente regla:Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del cuadroN°4.1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia f xy del casillero para el cual estamoshaciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y Ux , obtenidascorriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también hacia abajo hasta legar ala fila Ux.Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 enmatemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos factoresson: Uy =1 y Ux = 1.Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de clase45 en física, tenemos:fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemosproceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.Sumando las frecuencias marginales de la columna f y, se tiene ∑ fy =100. Sumando losvalores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los valores de la cuartacolumna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de la quinta columna:∑fxy Ux Uy = 150Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los valores dela fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula. 129
    • Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dosConjuntos Agrupados de Datos.Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba deconocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable y).Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:Resultado: 130
    • Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos conjunto dedatos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estosvendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el cuadroN°4.1.13, el que también muestra el número de años de experiencia que tiene comovendedores.Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r. Años de experiencia X Monto de 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 TOTAL ventas Y15 18 1 112 15 2 3 4 9 9 12 7 3 2 12 6 9 6 9 4 19 3 6 5 2 7 1 3 2 2TOTAL 2 11 18 12 7 50Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la formula N°4.1.12, se tiene. 131
    • 132
    • PROGRESIONES LINEALES SIMPLES4.2.1. Regresión lineal simpleAl comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que estudiaríamosdos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a una de lasvariables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora, estudiaremos la formade predecir v valores de Y conociendo primero los valores de X. Es así que viendola tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos cuando estudiamos correlación,conociendo el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable X) para un alumnodeterminado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión (variable Y) delmismo alumno.Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 sidibujamos esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observartodos los puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe elnombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos predecircualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25, según la recta,correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc. En este caso se tratade una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1. Prueba de habilidad Examen de Admisión mental X YSUSANA 5 15IVAN 10 20LOURDES 15 25ALDO 20 30JUAN 25 35MARIA 30 40CESAR 35 45OLGA 40 50 133
    • Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamoscorrelación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado poruna línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama dedispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos deldiagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos debajo, sellama línea de regresión.ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEALa ecuación que describe la línea de regresión es:GRÁFICO y 45 40 Serie 1 f(x)=1*x+10; R²=1 35 30 25 20 15 10 r = 1,00 5 x -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 = media de la variable X en la muestra.X = un valor de la variable Xr = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.SY = desviación estándar de Y en la muestra. 134
    • SX = desviación estándar de X en la muestra.Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X. comoel gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su coeficientede correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes resultados:X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro. Apliquemosestos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:Simplificando términos obtenemos:Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando estevalor en (b).Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es decirpodemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los valores deX.Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las cualesno es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no esobligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1. Este valorde r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier valor distinto de1. 135
    • Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal SimpleAl aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por 800alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación estándarde 12,6 puntos.La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de 3,2años.El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de lossujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos, fue r= 0,89.Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad enbase del puntaje del rendimiento mental.¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:X1 = 18 Puntos X4 = 50 PuntosX2 = 25 Puntos X5 = 60 PuntosX3 = 45 Puntos X6 = 80 PuntosDatos: = 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89 = 30,4 SX = 12,6Aplicando estos datos en la fórmula se tiene: Es la ecuación de regresión buscada. 136
    • Respuesta de la 1ra. PreguntaX1 = 18YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07YR = 11,7 añosSegunda preguntaX2 = 25YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65YR = 13,28 añosTercera preguntaX3 = 45YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17YR = 17,8 añosCuarta preguntaX4 = 50YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3YR = 18,93 añosQuinta preguntaX5 = 60YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56YR = 21,19 añosSexta preguntaX6 = 80YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08YR = 25,71 años 137
    • Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en lasegunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se hallanlos rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están lasdiferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la quintacolumna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas. CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4 ALUMNOS RENGO DE RANGO DE D= X Y DIFERENCIARodríguez 3 3 0 0Fernández 4 5 -1 1Córdova 2 1 1 1Flores 1 2 -1 1Lema 5 4 1 1APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENEP= 0.08Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que lapráctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento escolaren las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5. 138
    • EJEMPLO 2Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente decorrelación por rangos. CUADRO Nº 4.3.5 EXAMINADOS PRUEBA DE HABILIDAD APTITUD ACADÉMICA MENTAL Y XSusana 49 55Iván 46 50Lourdes 45 53Aldo 42 35Juan 39 48maría 37 46cesar 20 29Olga 15 32Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba dehabilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango quese podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el segundo, paraLourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según losresultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo que semuestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el número deorden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango dos en esaprueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su rango en lapruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa el rango 8 en talprueba. 139
    • CORRELACIÓN POR RANGOSEs el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de deelementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en unpunto de esa escala.Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo a lospuntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1 que sigue: CUADRO Nº 4.3.1ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo LoraPUNTAJES 40 65 52 70 76 56Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangossiguientes en el cuadro Nº 4.3.1. CUADRO Nº 4.3.2ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo LoraRANGOS 6 3 5 2 1 44.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOSLa correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento de loselementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide por mediodel coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:En donde.P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos variablesX y Y. Por ejemplo d=n= numero de pares correspondientes. 140
    • EJEMPLOS Nº 1En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo de5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que seconsideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican losresultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas puntuacionesson valores de la variable Y. CUADRO Nº 4.3.3ALUMNOS NIVEL MENTAL MATEMÁTICAS X YRodríguez medio 35Fernández interior al promedio 17Córdova superior al promedio 48flores muy superior al promedio 42lema muy inferior al promedio 20Calcular el coeficiente de correlación por rangos.ESTUDIANTES CLASIFICACION CLASIFICACION D= DIF D2 DE LOS RANGOS DE LOS RANGOS RANGO X RANGO Y SUSANA 1 1 0 0 ESTEBAN 2 3 -1 1 LOURDES 3 2 1 1 ALDO 4 6 -2 4 JUAN 5 4 1 1 MARIA 6 5 1 1 CESAR 7 8 -1 1 OLGA 8 7 1 1∑D2 = 10 141
    • En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en laspruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las pruebasde los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a la diferenciadel rango de un elemento de la columna X menos el rango de su correspondienteelemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el cuadrado de la diferenciaanotada en la columna D.Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidadmental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el quelos datos están transformados en rangos.Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este tipode problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de rangos despearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en dondeN= 8 pares∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados alcuadrado que figuran la columna D2.Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de laprueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del examen deadmisión. 142
    • Caso de rangos empatados o repetidosExaminemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión deSusana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera de losdos le corresponde los rangos primero o segundo para romper estaindeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de ambosRangos, o sea = 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el rangoTratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P estánempleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos lecorresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el resultadode promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2 =5.5 será elnúmero que le asignamos como rango.Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos dosles corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos será (3+4)/2 = 3.5.Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a losprofesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z lesasignaremos el rango 3 Y 5. Los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2respectivamente.En La Columna D se colocan las diferencias X – YNos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran valoresde la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de la columnaD2 y obtenemos = 17.Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.Aquí = 17. 6 (17)N= 6 6 (36 -1)P= 1- = 0.5 – 1) 6 (36 143
    • Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V cicloy los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no es ni muyfuerte ni muy débil.2º EJERCICIOCinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de estasse ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la columna Y losrangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan al mirar la tv.? (Vercuadro Nº 4.3.1)¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastanmirando tv?Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangosigualados obtenemos: ALUMNOS x Y A 1 4o5 B 2 4o5 C 3 2o3 D 4 1 E 5 2o3¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastanmirando tv? 144
    • Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los rangosiguales obtenemos: X Y D D2 X-Y A 1 4.5 -3.5 12.25 B 2 4.5 -2.5 6.25 C 3 2.5 0.5 0.25 D 4 1 3 9 E 5 2.5 2.5 6.25 2 = 34.00Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos SumadoLos Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son 5 Y 4 YLuego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados Que SonDos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A Y B Es 4.5DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo paraellos como nuevo rango 2.5.Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos diferenciaentre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la columnadel cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y obtenemos 2=34.00 P= 1 – 1.7=+0.7 Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un valor fuerte para este tipo de situación. 145
    • EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMANLa tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron sunúmero de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en uncurso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN. ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y A 7 6 B 4 7 C 6 5 D 3 2 E 5 1 F 2 4 G 1 32º EJERCICIOEl cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de padresy de sus hijos primogénitos.1) calcular el coeficiente de correlación de espermas2) calcular también el coeficiente de Pearson3) son parecidos? ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y 172 178 164 154 180 180 190 184 164 166 164 166 165 166 180 175RESPUESTA 1 p= 0.89 146
    • 3º EJERCICIOEn la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación. X Y A 2 3 B 1 2 C 3 1 D 5 5 E 4 4RESPUESTA 1 p= 0.7 EJERCICIOEl gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre lavariable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero. Recogeuna muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en dólares porsemana. a) Determinar el diagrama de dispersión b) De su comentario sobre el valor de la pendiente La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a uno. 147
    • c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.Salario Gasto X2 Y2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2 (x) (y) 28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56 25 20 625 400 500 25 625 20 400 35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024 40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369 45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600 50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600 50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025 35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900 70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025 80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi - Ʃ(xi - Ʃ(Yi -Ῡ) Ʃ(Yi-Ῡ)^2= Ẋ) Ẋ)^2= =345,6 15722,56 =412,2 23316,84 148
    • Desviación Estándar (X)Sx = Sx = = 48,28Ẋ= Sy = = 39, 65Ῡ= + + + + + = 73, 54 gasto de un salario semanal 149
    • r = -0.005COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación conlos de 40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importacionesque los de 40 debido a que son más ligeros al transportar las mercancías. 150
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    • PRUEBA DE HIPÓTESISHipótesis EstadísticaSe llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el propósitode ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis, se adquiere elcompromiso de verificada en base a los datos de la muestra obtenida. La hipótesisestadística es fundamentalmente distinta de una proposición matemática, debidoque al decidir sobre su certeza podemos tomar decisiones equivocadas, mientrasque en la proposición matemática podemos afirmar categóricamente si esverdadera o falsa.Hipótesis NulaEs una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella sesupone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene determinadovalor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se formula con laintención de rechazarla.Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario, esdecir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o proporción desalir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional de cara) y Q(proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o 100% de loscasos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q, reemplazando Ppor Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción poblacional de éxito(cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta base, durante laejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente las leyes del azar,descartando la influencia de cualquier otro factor.Hipótesis AlternativaEs una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente creemoses factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le designa por elsímbolo . En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería: : P ≠ 0.5, es decir,P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente averiguar que la moneda no eslegal. 157
    • Concepto de significación en una Prueba EstadísticaSuponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento parasometerla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difieremarcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula , en esecaso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos encondiciones de rechazar la hipótesis nula o, al menos no aceptarla en base a lamuestra obtenida.En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetroestablecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan soloal error de muestreo (en este caso aceptamos ); o si la diferencia es tan grandeque el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del error demuestreo, en este caso rechazamos .Prueba de HipótesisSe le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis. Son procedimientosque se usan para determinar, se es razonable o correcto, aceptar que el estadísticoobtenido en la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, elformulado en .Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Siaceptamos , convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo, puededar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el parámetro. Sirechazamos , convenimos que la diferencia es tan grande, que no es fruto delerror de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la muestra noproviene de una población que tenga el parámetro estudiado.El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos comoválida la hipótesis nula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor(supongamos el caso de la media poblacional entonces : ʯ = . Tomamos unamuestra y calculamos el estadístico de la muestra (para el caso de la media elestadístico es la media muestral x). Como suponemos que es cierta, podemossuponer que la muestra proviene de la población que tiene como parámetro el de (es decir, no serán muy diferentes) y la probabilidad de que dicha diferenciamuestral pequeña aparezca, será grande. Si en cambio tomamos una muestra de 158
    • una población que no tiene como parámetro , en dicho caso el valor de x - , serágrande, (x será muy distinto que ), es decir, dicha diferencia será significativa, y laprobabilidad de obtener dicha diferencia muestral al muestrear, será pequeña.Necesitamos un estándar, es decir, un valor tal que, al comparar con él laprobabilidad de obtener una diferencia entre x y , nos permita aceptar o rechazar . Llamemos a este valor α el nivel de significación. Este será tal que, si laprobabilidad de la diferencia entre x y es muy pequeña (menor que α),rechazaremos y la muestra aleatoria no proviene de la población con parámetro ; si la probabilidad de la diferencia entre x - es grande (mayor que α) aceptamos y la muestra aleatoria proviene de la población con parámetro .Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el riesgode equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener unadiferencia entre x y y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.Estos posibles errores son:Error tipo IConsiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser rechazada,por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se llama alfa (α).Error tipo IIConsiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por serfalsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las máspequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el quererdisminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La únicaforma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.Nivel de significación de una Prueba Estadística.En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel designificación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la hipótesisnula Ho. 159
    • Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de 0.01(1%).El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100 casos,cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al rechazar lahipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.Pasos de una Prueba de Hipótesis1o Formular la Ho y la H12o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.3o Asumir el nivel de significación de la prueba.4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.5o Elaborar el esquema de la prueba.6o Calcular el estadístico de la prueba.7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte. 5o, con el estadístico del paso 6o.Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda, obteniéndose34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se quiere averiguar si lamoneda está cargada. 1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada. H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5). 2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos posibilidades en la H1: a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada de un lado (P>0.5). b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada del otro lado (P<0.5). 3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos aceptando de que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se rechace Ho, a pesar 160
    • de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error de tipo I. la probabilidad de no rechazar Ho, será de 0.95. 4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba. Tenemos por dato muestral la proporción , el parámetro de Ho, es la proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral de proporciones para describir la variación de las muestras por el error d muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande) aproximaremos la distribución muestral de proporciones, mediante la distribución normal, porque n=50> 30. 5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de confianza será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes de confianza para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z ≤ 1.96. El esquema correspondiente es:161
    • Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos queZ cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe rechazar HʯSi por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que nodebemos rechazar HʯVemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba bilateralo de dos colas.6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p` : es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la proporciónpoblacional P de Hʯ : es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, llamadatambién error estándar de la proporción: p` 162
    • Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para curaruna enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160. Determinar quea afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del 90% de los casos.Sea el nivel de significación 0.05. 1) .- Hʯ: P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito. H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar. 2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la que la proporción de personas curadas por la medicina es menor que 0.90; luego se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta caso de cola izquierda, que es la dirección a la que apunta la desigualdad de H1. 163
    • 3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución normal de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de Z= -1.65. 4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones. 5) El esquema de la prueba es: 6)´P = Proporción de la muestra =P = Proporción de la población P = 0.9Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recogerdatos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar corregida 164
    • Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional ûmediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo tanto porgrados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar hadisminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado unparámetro, la media poblacional.En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos mediaspoblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman losdatos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2 donde n1es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el tamaño de lamuestra tomada de la población 2.Los grados de libertad están representados por la siguiente formulaGl=n-kN: numero de observaciones independientesK: numero de parámetros estimadosDistribución de StudentCuando:i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmenteiii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso dela distribución de StudentLa distribución de Student está representada por el estadístico t: 165
    • El estadístico z de la distribución normal era En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es una constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad, los valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice de este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado con un determinado nivel de significación. La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución normal Z.Distribución normal Distribución de student Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de clase de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una desviación estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en los colegios secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101. Asumiendo un nivel de significación de 1% probar que el rendimiento mental del grupo de 15 alumnos, es más alto que el promedio de estandarización del test. U= rendimiento mental medio de estandarización = 101 X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4 1) formulación de la hipótesis 166
    • H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de lamuestra X y de la poblaciónH1: µ= >1012) Prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.014) Distribución aplicable para la pruebaConsiderando que los datos son la media de la muestra X y la media poblacional µ,se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además como n <30 (muestrapequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la población) se empleara ladistribución de student, ya que ese sabe los valores de CI siguen una distribuciónnormal.5) Esquema grafico de la pruebaEl nivel de significación es a = 0.01Los grados de libertad son:Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de libEn la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,encontramos el t crítica: tc =2.624 167
    • 6) Cálculo del estadístico de la pruebaDatosX= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 157) toma de decisiones 168
    • Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta queµ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos tienerendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.Ejemplo:Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de ciertomedicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si lamaquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra de 10tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01; 1.97; 1.94;2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que la maquina noestá enBuenas condiciones de producción.Llamemos:µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina. 1) Formulación de hipótesis H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones. H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones 2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad µ>2 o µ< 2 3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01 4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba. Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se da como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede calcular la media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las medias para efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la desviación de student o de la población desconocida, no es aplicable la distribución normal y por tanto recurridos a la distribución de student, asumiendo que la población. 169
    • Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de efectividad para curar una enfermedad. En una muestra de 200 personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la medicina cura menos del 90% de los casos. Si el nivel de significancia (error de estimación) es del 0,05.170
    • 1.- HALLAR H0 Y HA2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSSEs unilateral de una cola3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA4.- DETERMINAR EL VALOR DE n5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS 171
    • 6.- CALCULAR EL VALOR DE Z = 0,80 172
    • 7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque losmedicamentos curan menos del 90% a los pacientes. Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A, da una resistencia media a la rotura de 1230lobras con una desviación estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres de acero producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la rotura de 1190 libras con una desviación estándar de 90 libras. ¿Hay una diferencia real en la resistencia media de las dos marcas de alambre de acero, si el nivel de confianza es el 95%?1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA. Ho: U1 = U2 Ha: U1 U22.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSSLa campana de gauss es bilateral de 2 colas3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA Nivel de significancia o E.E. = 0,05 Z = 1,96 valor estandarizado4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA n 1 = 80 n > 30 n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis 173
    • 5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z 1 = 1230 S1 = 120 2 = 1190 S2 = 90 174
    • 7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de losalambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica B. Los salarios diarios de una industria particular tiene una distribución normal con media de 23,20 dólares y una desviación estándar de 4,50 dólares. Si una compañía de esta industria emplea 40 trabajadores, les paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede se acusada esta compañía de pagar salarios inferiores con un nivel de significancia del 1%?1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA. Ho: U = 23,20 Ha: U > 23,202.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS La campana de gauss es de una cola3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA 175
    • 5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando alos trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio pararesolver este inconveniente. 176
    • EJERCICIO PLANTEADOSegún una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo tieneel 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional. En unamuestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se reflejaron que35 países los más grandes importadores de petróleo tienen ventas elevadas.Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la exportación de petróleose comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel de significancia del 0,05. 1. Ho: U = 95% Ha: U < 95% 2. La campana de Gauss es de una cola 3. α = 95% Error de Estimación: 0,05 Z = -1,65 4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis 5. Construir Campana de Gauss 6. 177
    • 7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países se comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar realizando sus exportaciones al exterior. DISTRIBUCIÓN T-STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución deprobabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblaciónnormalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados delibertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente: n 1 ( ) 1 2 t2 2 ( n 1) (1 ) n n ( p) x p 1e x dx ( ) nf(t)= 2 , - t , 0 siendo p>0La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de ordenadas,con independencia del valor de n, y de forma semejante a la distribución normal. 178
    • Propiedades: n 1. La media es 0 y su varianza n 2 , n>2. 2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana. 3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar. 4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1). 5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal. 6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.Ejercicio: La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcánadquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas cadauno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una muestra de 7camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn, 14,96tonn, 15tonn,14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un nivel de significancia de0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso establecido. 1) Ho: u=15tonn Ha: u≠2 u es diferente de dos 2) Bilateral 3) 99% 0,01 gl=n-1 gl= 10-1= 9 t=±3,250 4) nʯ30 T-student 179
    • 5) GRAFICA Xi (Xi-X) (Xi-X)2 15,04 0,006 0,000032653 14,96 -0,074 0,005518367 15 -0,034 0,00117551 14,98 -0,054 0,002946939 15,2 0,166 0,027461224 15,1 0,066 0,004318367 14,96 -0,074 0,005518367 - 105,24 0,000000000000008881784197 0,046971429 – – 6) 7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya que el peso que puede transportar cada camión se encuentra en la zona de aceptación.Ejercicio. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focoscada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentrasatisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de25 focos cuya duración fue?: 180
    • PRUEBA CHI - CUADRADOPruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tresrequisitos fundamentales: 1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa. 2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico. 3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.Ejemplos. 1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades. 2. La prueba de student.Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre. Sonaquellas que: 1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa. 2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico. 3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.Ejemplo.La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable escualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.El Estadístico Chi – CuadradoEn un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica denominadaprueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables cualitativas, esto 181
    • es, variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores no puedenexpresarse numéricamente. Los valores de estas variables son categorías que sólosirven para clasificar los elementos del universo del estudio. También puedeutilizarse para variables cuantitativas, transformándolas, previamente, en variablescualitativas ordinales.El estadísticos chi- cuadrado se define porEn donde:n= número de elementos de la muestra.n -1= número de grados de libertads2= varianza de la muestraa2= varianza de la poblaciónDesarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de Chi –cuadrado.Ejemplo:En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de unapoblación, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó unaprueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos obtenidos secalculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional es de α2= 12,37,calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.Datos:n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37 182
    • Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DELESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.Supongamos que se realiza los pasos siguientes: 1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles del mismo tamaño n. 2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado. 3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema decoordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi-cuadrado.Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-cuadrado.El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar laprobabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2 (gl),representa la probabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado.Esta probabilidad es el nivel de significación de la prueba. El valor x2 (gl) sellama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una tabla especial,que representa al final del libro el aprendizaje de tablas. 183
    • Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para unaprobabilidad dad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados delibertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en lastres figuras siguientes:Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de gradosde libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar unaforma más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentraen el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada columna sehayan los valores de .En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplossiguientes el manejo de la tabla. 184
    • 1. Ejemplo: =0.05 y gl= 4 g de l A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico 2. Ejemplo: Si Hallamos x2 (6)=12.592 3. Ejemplo: Si Encontramos x2 (10) = 18.307Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro defrecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.Cuadro 11. 3. 2 Intervalos Conteo Frecuencias Observadas Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6 6 , 26 a 11,62 IIII - I 6 11,62 a 15,51 III 3 15,51 a 18,80 IIII 5 18,80 a 21,96 IIII 4 21,96 a 25,12 IIII - IIII 10 25,12 a 28,41 III 3 28,41 a 32,30 IIII 4 32,30 a 37,66 IIII 4 37,66 a más. IIII 5A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es decir,colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por una tarja.La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de esta clase. 185
    • Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula indicadaAgregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se presentaa continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5 en cadaintervalo, luego:Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado deBondad de Ajuste. Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 57) Toma de decisionesObservamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura 11.3.5)se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos esto es, que lamuestra se obtiene de una población distribuida normalmente.ProblemaDe una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos paísesse distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años, 35%; 41 -61años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribuciónpoblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una muestrarespectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5 categoríasfueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80 años, 100; 81– 100 años, 100. 186
    • 1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución del censo La distribución actual por edades no es igual a la del año de ejecución 2) La prueba es unilateral y de cola derecha 3) Nivel de significación a= 0.10 4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADOESQUEMA DE LA PRUEBA Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a = 0.10 en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos 7.779 77.14 187
    • 5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA 250 350 250 100 50200 300 300 100 100Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de los1.000 habitantes.CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS = 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350 = 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100 = 1.000 X 5% = 50CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO = + = 10+7.14+10+0+50 = 77.14 188
    • 6) TOMA DE DECISIONES Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae en la región de rechazo por lo tanto rechazamos y aceptamos , es decir la distribución actual por edades no es igual a la de la investigación demográfica.CORRECCIÓN DE YATESCuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario realizaruna corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la prueba. Estacorrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05 al valor absolutode la diferencia entre las frecuencias observadas y as frecuenciasesperadas.El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.PROBLEMAEn el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución deenseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad deverificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en lasproporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó unamuestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40 mujeres.Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI –CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%. 1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es de 75% y de 25% respectivamente La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del 75% ni del 25% respectivamente 2) La prueba es universal y de cola derecha 3) Nivel de significación a= 0.05 189
    • 4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO 3.841 11.21 5) ESQUEMA DE LA PRUEBA Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con estos datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos 3.841. 6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA 75 25 60 40 OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75 Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25190
    • CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates =2.8+8.41= 11.21 7) TOMA DE DESICIONES Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor CHI – CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo, luego rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de hombres y mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca delperjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplicoUna encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo losresultados que presenta la siguiente tabla. Lugar de residencia Grado De Barriadas Barrios Barrios Total Perjuicio Populares Residenciales Intermedios Alto 32 225 50 307 Bajo 28 290 79 397 Total 60 515 129 704 191
    • Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico haciael negro y lugar de residencia son independientes 1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes H1: existe dependencia entre las variables. 2. La prueba es unilateral y la cola derecha 3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05 4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos variables son cualitativas. 5. Esquema de la pruebaGl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4Gl= 2Q= 0.05X2 = (2) = 5.991C= # de columnasF= # de filas 6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54 5.991 Formula 2 X2= 3.54Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuenciasesperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuenciasmarginales de dos variables. 192
    • Lugar de Residencia Grado De Barriadas Barrios Barrios Total Perjuicio Populares Residenciales (Intermedios) Alto E11 E12 E13 307 Bajo E21 E22 E23 397 Total 60 515 129 704Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda sonigual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por eltamaño de la muestra. 26.16 224.58 56.25 32 225 50 33.84 290.42 72.75 28 290 79Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadasanteriormente. 193
    • ESTADÍSTICA INFERENCIAL PRUEBA DE T DE STUDENT CHI CUADRADO HIPÓTESIS Se le llama también Cuando:ensayo de hipótesis o Son procedimientos que Pruebas Paramétricas. Se i) el tamaño de ladécima de hipótesis. se usan para llama así a las pruebas de muestra es pequeño y determinar, se es hipótesis que cumplen tres este es menor que 30 razonable o requisitos fundamentales: correcto, aceptar que el ii) la población de La variable de la prueba estadístico obtenido en donde se obtienen los debe ser la variable la muestra, puede datos está distribuida cuantitativa. provenir de la población normalmente que tiene parámetro, el Los datos se obtienen por iii) se desconoce la formulado en . muestreo estadístico. desviación estándar de la población Los datos deben ajustarse entonces haremos a determinadas uso de la distribución distribuciones estadísticas. Como resultado de la de Student Ejemplos. prueba de hipótesis, aceptamos o La distribución de La prueba basada en la rechazamos . Si Student está distribución normal de aceptamos , convenimos representada por el probabilidades. estadístico t: en que el error de La prueba de student. muestreo (el azar), por sí solo, puede dar lugar al Pruebas No valor al estadístico que Paramétricas.- llamadas origina la diferencia entre también pruebas de éste y el parámetro. Si distribución libre. Son rechazamos , convenimos aquellas que: que la diferencia es tan La variable de la prueba grande, que no es fruto del puede ser cualitativa o error de muestreo (al azar) cuantitativa. y concluimos que el Los datos se obtienen por estadístico de la muestra muestreo estadístico. no proviene de una población que tenga el Son independientes de parámetro estudiado. cualquier distribución de probabilidad. Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el riesgo de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una diferencia entre x̅ y y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.194
    • CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: Días Actividad Responsable Mar, 26 Mié, 27 Jue, 28 Vie,29 Sáb,30 Dom,01 Lun,02 Mar,03 Mié,04 Jue,05Clase 1 Marisol ImbacuánIniciar con Marisollos ImbacuánejerciciosClase 2 Marisol ImbacuánDeber Marisolejercicios Imbacuán 195
    • 196