Medicion y errores en la medida
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    Medicion y errores en la medida Medicion y errores en la medida Presentation Transcript

    • 1. INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES  Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una operación fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman parte de los resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida. 2
    • INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES Se consideran ciencias experimentales aquellas que por sus características y, particularmente por el tipo de problemas de los que se ocupan, pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio de la experimentación . En un sentido científico la experimentación hace alusión a una observación controlada; en otros términos, experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio con posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación 3
    • INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES La física y la química constituyen ejemplos de ciencias experimentales. La historia de ambas disciplinas pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con frecuencias los experimentos científicos solo pueden ser entendidos en el marco de la teoría que orienta y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser contrastadas experimentalmente. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. 4
    • INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES Este doble papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales. 5
    • 1.1 MAGNITUDES Y MEDIDAS El físico Inglés LORD KELVIN consideraba que solamente puede considerarse como satisfactorio nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante números. Aún cuando esta afirmación tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo, particularmente en el tipo de ciencia que él profesaba. La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida 6
    • MAGNITUDES Y MEDIDAS MAGNITUD, CANTIDAD Y UNIDAD La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. • Se denominan magnitudes ciertas propiedades o aspectos observables de un sistemas fisco que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La LONGITUD, LA MASA, LA FUERZA, LA VELOCIDAD, LA CANTIDAD DE SUSTANCIA, son ejemplos de magnitudes físicas. 7
    • La LONGITUD, la MASA, la FUERZA, la VELOCIDAD, LA CANTIDAD DE SUSTANCIA, el TIEMPO, son ejemplos de magnitudes físicas. •Son fundamentales porque no son deducibles de ninguna otra magnitud y están definidas en términos de comparaciones con un patrón establecido. 8
    • MAGNITUDES Y MEDIDAS En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma la magnitud de en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de una mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de ese lapicero, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón 9
    • Cualquier otra magnitud física se obtiene como combinación de estas y se llaman magnitudes físicas derivadas. •Por ejemplo: velocidad (long./tiempo), energía, etc. A continuación se muestran ordenes de magnitud (valores aproximados) de diversas longitudes, masas y tiempos. Observe el rango tan amplio de estas cantidades. 10
    • a)longitudes (m) Radio medio de la órbita de la tierra 9.5 x 1015 Longitud de un campo de fútbol 90 Diámetro de un núcleo 1 x 10-14 11
    • b) masas (Kg.) Sol 2 x 1030 Persona (media) 70 Electrón 9.1 x 10-31 12
    • c) tiempo (s) Edad de la tierra 1.3 x 1017 Edad media de un estudiante 6.5 x 108 Duración de un choque nuclear 1 x 10-22 13
    • Para referirse a potencias de 10 se usan los prefijos y sus abreviaturas, que se muestran en la siguiente tabla. relación MÚLTIPLOS UNIDAD SUBMÚLTIPLOS prefijo tera giga mega kilo hecto deca unidad deci centi mili micro nano pico símbolo t G M k h da d c m n p proporci ón 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 14
    • 1 10 1 10 -El prefijo deci viene de décimo es decir , o lo que es lo mismo 10-1 . -El prefijo deca viene de diez es decir 10 o lo que es lo mismo 101 del mismo modo, hecto es igual a 100 o 102 ; etc. 15
    • Para simbolizar millonésimo, es decir “micro” se utiliza la letra griega , cuyo nombre es “mu” y corresponde a la “m” minúscula de nuestro alfabeto (así como es “alfa” y corresponde a nuestra “a” ) En longitud hay un submúltiplo (ya en desuso) del metro diez veces mas chico que el nanómetro, se denomina “ángstrom” cuyo símbolo es Å ; un ángstrom es la diezmillonésima parte del metro, es decir: 1 Å =10-10 m . 16
    • MÚLTIPLOS Tera Giga Mega Kilo Hecto deca 1012 109 106 103 102 101 1000000000000 1000000000 1000000 1000 100 10 17
    • SUBMÚLTIPLOS deci centi mili micro nano pico 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 1/10 1/100 1/1000 1/000000 1/1000000000 1/1000000000 0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000001 18
    • 1.2 SISTEMA DE UNIDADES Los valores de las magnitudes físicas se expresan en unidades de medidas. En 1960, un comité internacional estableció reglas para determinar el conjunto de patrones para las magnitudes fundamentales: es el Sistema Internacional (SI) de unidades. En este sistema las unidades de longitud, masa y tiempo son el metro, el kilogramo y el segundo, respectivamente. Las otras magnitudes fundamentales son temperatura (K), corriente (A), intensidad luminosa (c) y cantidad de sustancia (mol). 19
    • Sistema Internacional de medidas Un sistema de unidades es un conjunto coherente de unidades de medida. La coherencia implica un respeto por las constantes que aparecen en las ecuaciones físicas. La ecuación F = ma nos da una relación no sólo entre las magnitudes fuerza, masa y aceleración, sino también una relación numérica entre cantidades. Si se definiese la unidad de fuerza como dos veces la unidad de masa multiplicada por la unidad de aceleración, esa ecuación no sería válida a menos que hiciésemos F = ½ma.. 20
    • Sistema Internacional de medidas Todo es cuestión de convenios, pero evidentemente es más cómodo cambiar la definición de la unidad de fuerza que añadir factores numéricos adicionales a todas las ecuaciones de la Física donde intervengan fuerzas. En lo que sigue utilizaremos el Sistema Internacional (S.I.), aceptado por la mayoría del os países del mundo. En esta línea de acción, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en 1960, tomó la resolución de adoptar el llamado con anterioridad Sistema Práctico de Unidades, como Sistema Internacional, que es, precisamente, como se le conoce 21
    • a partir de entonces. El Sistema Internacional de Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes básicas y de las magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los dos anteriores, son denominadas magnitudes suplementarias. El SI toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las correspondientes unidades para cada una de ellas. 22
    • A estas siete magnitudes fundamentales hay que añadir dos suplementarias asociadas a medidas angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. La definición de las diferentes unidades fundamentales ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las propias ciencias físicas. Así, el segundo se definió inicialmente como 1/86 400 la duración del día solar medio, esto es, promediado a lo largo de un año. Un día normal tiene 24 h aproximadamente, es decir 24 h.60 min = 1400 min y 1400 min.60 s = 86 400 s ; no obstante, esto tan sólo es aproximado, pues la 23
    • duración del día varía a lo largo del año en algunos segundos, de ahí que se tome como referencia la duración promediada del día solar. Pero debido a que el periodo de rotación de la Tierra puede variar, y de hecho varía, se ha acudido al átomo para buscar en él un periodo de tiempo fijo al cual referir la definición de su unidad fundamental. El sistema internacional A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. Estos están íntimamente relacionados con la 24
    • condición histórica de los pueblos que las crearon, las adaptaron o las impusieron a otras culturas. Su permanencia y extensión en el tiempo lógicamente también ha quedado ligada al destino de esos pueblos y a la aparición de otros sistemas más coherentes y generalizados. El sistema anglosajón de medidas -millas, pies, libras, Grados Fahrenheit - todavía en vigor en determinadas áreas geográficas, es, no obstante, un ejemplo evidente de un sistema de unidades en recesión. Otros sistemas son el cegesimal - centímetro, 25
    • gramo, segundo -, el terrestre o técnico -metro- kilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema métrico decimal, muy extendido en ciencia, industria y comercio, y que constituyó la base de elaboración del Sistema Internacional. El SI es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1960 en París. 26
    • Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), además de otras suplementarias de estas últimas. 27
    • LAS UNIDADES BASE DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SON MAGNITUD BASE NOMBRE SÍMBOLO longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s corriente eléctrica Ampere A temperatura termodinámica Kelvin K cantidad de sustancia mol mol intensidad luminosa candela cd 28
    • UNIDADES FUNDAMENTALES UNIDAD DE LONGITUD: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299 792 458 s. UNIDAD DE MASA: El kilogramo (Kg.) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París. 29
    • UNIDAD DE TIEMPO: El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133. UNIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 × 10-7 N por cada metro de longitud. 30
    • UNIDAD DE TEMPERATURA TERMODINÁMICA: Kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. UNIDAD DE INTENSIDAD LUMINOSA: La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 × 1012 hertz y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr). 31
    • UNIDAD DE CANTIDAD DE SUSTANCIA: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas. 32
    • UNIDADES DERIVADAS Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y símbolos especiales. Estas unidades pueden así mismo ser utilizadas en combinación con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombre y símbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente. 33
    • COULOMB (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio. JOULE (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza. 34
    • NEWTON (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo PASCAL (PA): Unidad de presión. Es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton. 35
    • VOLTIO (V): Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt. WATT (W): Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo. 36
    • OHM (W): Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. 37
    • WEBER (Wb): Unidad de flujo magnético, flujo de inducción magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme. 38
    • UNIDADES DERIVADAS SIN DIMENSIÓN. Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas Ángulo Radián rad mm-1= 1 plano Ángulo Estereo sr m2m-2= 1 sólido rradián 39
    • UNIDAD DE ÁNGULO PLANO El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. UNIDAD DE ÁNGULO SÓLIDO El estereorradián (Sr.) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera. 40
    • UNIDAD DE VELOCIDAD Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo UNIDAD DE ACELERACIÓN Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s. 41
    • UNIDAD DE NÚMERO DE ONDAS Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro. UNIDAD DE VELOCIDAD ANGULAR Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián. 42
    • UNIDAD DE ACELERACIÓN ANGULAR Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo. UNIDAD DE FRECUENCIA Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo. 43
    • UNIDADES EN EL S.I ARCHIVOEN WORD 44
    • RECUERDE QUE Magnitud es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que observan, miden, representan....). Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física Para obtener el número que representa a la magnitud debemos medirla y tener en cuenta los sistemas de unidades. 45
    • PROCESO DE MEDIDA 46
    • ¿QUE ES UNA MEDIDA? La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón. La medida de longitudes se efectuaba en la antigüedad empleando una vara como patrón, es decir, determinando cuántas veces la longitud del objeto a medir contenía a la de patrón. 47
    • La vara, como predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida equivalente a 835,9 mm. Este tipo de comparación inmediata de objetos corresponde a las llamadas medidas directas. Con frecuencia, la comparación se efectúa entre atributos que, aun cuando están relacionados con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas térmicas, en las que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termómetro se determinan temperaturas. Esta otra clase de medidas se denominan indirectas. 48
    • ASÍ QUE: Para medir debemos tener presente un instrumento de medida y escoger una cantidad de esa magnitud que tomamos como unidad. Para medir la masa, por ejemplo, tomamos (arbitrariamente) como unidad una cantidad materia a la que llamamos kg. 49
    • Por consiguiente, cuando hagamos mediciones e informemos de sus resultados debemos tener siempre en cuenta que las medidas NO son simples números exactos , si no que consisten en intervalos dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentra el valor esperado. El acto de las mediciones requiere que determinemos tanto la localización como el ancho del intervalo 50
    • Así, los errores podrán ser clasificados como: ERRORES SISTEMÁTICOS ERRORES ACCIDENTALES O ALEATORIOS • ERRORES SISTEMÁTICOS Son los que se repiten constantemente y afectan al resultado en un sólo sentido (aumentando o disminuyendo la medida). Estos errores se podrán controlar, ya que puede calcularse en qué magnitud se ve afectado el resultado final. 51
    • Los errores sistemáticos se pueden subclasificar en errores instrumentales, personales o por la elección del método. Estos errores sólo se eliminan mediante un análisis del problema y una "auditoría" de un técnico más cualificado que detecte lo erróneo del procedimiento. Ellos son: 52
    • • 1. ERRORES POR FACTOR HUMANO El “experimentador" (observador) puede originar errores sistemáticos por una forma inadecuada de medir, introduciendo así un error siempre en el mismo sentido. No suele ser consciente de cómo introduce su error. Sólo se elimina cambiando de observador. 53
    • •2. ERRORES POR LOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA Los instrumentos de medida pueden introducir un error sistemático en la experimentación por un defecto de construcción o de calibración. Sólo se elimina el error cambiando de aparato o calibrándolo bien. •3. ERRORES POR PUNTOS DE APOYO Especialmente en los instrumentos de gran longitud, la manera como se apoya el instrumento provoca errores de lectura. En estos casos deben utilizarse puntos de apoyo especiales. 54
    • 4. ERRORES POR PARALAE Error que ocurre debido a la posición incorrecta del operador con respecto a la escala graduada del instrumento de medición. 55
    • Finalmente, el error en la elección del método se presenta cuando se lleva a cabo la determinación de una medida mediante un método que no es idóneo para tal fin; por ejemplo, la medida del tiempo de caída de un objeto por mera inspección visual. 56
    • ERRORES ALEATORIOS Los errores ALEATORIOS son aquellos que se producen en las variaciones que pueden darse entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Estas variaciones no son reproducibles de una medición a otra y su valor es diferente para cada medida. Las causas de estos errores son incontrolables para el observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. 57
    • Aunque con los errores aleatorios no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean métodos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de mediciones. 58
    • EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD. EXACTITUD La exactitud es el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. Un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida. 59
    • PRESICIÓN La precisión es el grado de concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Un aparato es preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sean muy pequeñas. 60
    • SENSIBILIDAD La sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Así, si la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada la balanza no presenta ninguna desviación. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña de la escala de medida. 61
    • La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud. 62
    • Una forma fácil de ilustrar estos conceptos es mediante los resultados de un concurso de tiro. A continuación Ud. podrá observar los resultados de tres concursantes al disparar 10 flechas cada uno. De esos resultados trataremos de explicar los conceptos de precisión, y exactitud. 63
    • En el blanco izquierdo se puede ver el resultado de un tirador que no es ni preciso ni exacto, las flechas cayeron dispersas por todo el blanco (en cuanto más dispersas, menos precisas). 64
    • En el blanco del centro el tirador fue muy preciso, porque las flechas impactaron muy cerca unas de otras, es decir estuvieron muy poco dispersas; sin embargo los tiros no fueron exactos porque estuvieron muy lejos de la diana. En el blanco de la derecha, el tirador fue tanto preciso como exacto, ya que las flechas estuvieron todas muy cerca, y además impactaron en el sitio donde se suponía debían dar. 65
    • MANERA DE HACER LA LECTURA Una vez escogido el instrumento adecuado, se debe determinar el valor de la menor división de la escala, es decir, su precisión y expresar el resultado de la lectura teniendo en cuenta este valor. EJEMPLOS 66
    • Ejemplo1 Suponga que se a va a hacer la lectura de la figura adjunta: ¿Cuál sería la medida correcta? ¿Se podría pensar que es 15,23 cm. ó 15,24 cm. ó 15,2 cm.? 67
    • Observe que la menor división de la escala es 1/10 cm. = 0,1 cm. = 1 mm, por lo tanto la lectura es 15,2 cm. No se debe leer 15,23 cm. ó 15,24 cm. porque se estaría cometiendo un error, ya que la escala no permite leer centésimas de cm., sólo décimas de cm. ya que la precisión es de 0,1 cm. 68
    • EJEMPLO 2 ¿Cuál es la lectura QUE SE ESTÁ REALIZANDO? La precisión de la escala es de 0,2 cm., por tanto la medida es: 23,6 cm. 69
    • EJEMPLO 3 : ¿Cómo se lee esta medida? La lectura es 19,0 cm. Es importante tener en cuenta que el 0 tiene significado. Este cero nos indica que la lectura se realiza hasta 19 cm. y que se avanza 0 mm en la escala. 70
    • ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO ERROR ABSOLUTO El error absoluto en una medida x de determinada magnitud es la diferencia entre dicho valor y el valor verdadero de la medida; se notará por x y, por tanto, su expresión es: x = X - XO 71
    • donde x0 representa el valor verdadero de la medida. El error absoluto cuantifica la desviación en términos absolutos respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasiones es más interesante resaltar la importancia relativa de esa desviación. Por ello, se define el error relativo. 72
    • ERROR RELATIVO Se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero; notándolo por ε, su expresión es: X ΔX ε= *100 X0 73
    • EXPRESIÓN DEL ERROR En Física, presentar una medida experimental significa dar el valor de dicha cantidad y expresar cual es su error; no tiene sentido establecer un determinado valor si no se acota debidamente el mismo. Así, la expresión correcta de una medida debe ser: X X 74
    • Por ejemplo si tenemos un cronómetro con una apreciación de un milisegundo (1 ms) y el resultado de la medición es X = 23.448 s, el resultado de la medición se expresa como: 23.448 s ± 0.001 s donde el valor real de la magnitud queda incluida en el intervalo: 23.447 s ≤ X ≤ 23.449 s 75
    • Hay que resaltar que el valor de una magnitud debe tener el mismo orden decimal que el error absoluto. Esto es razonable dado que no tendría sentido encontrar el valor de una magnitud con un grado de precisión superior al del error de la medida. Así, no podemos medir décimas de milímetro con una regla cuya sensibilidad es del milímetro. 76
    • Finalmente, se acepta como criterio que si el valor de una medida es leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se tomará como error una unidad del orden de la última cifra con que se expresa; por ejemplo, si en una tabla aparece que el valor de una medida es de 0.056 sin ninguna indicación de error, se conviene en que el mismo es de ±0.001. VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS: 77
    • Expresiones incorrectas: 23.463 cm. ± 0.165 cm. 43.1267 m ± 0.06 m 345.2 m ± 3 m Expresiones correctas: 23.5 cm. ± 0.1 cm. 43.13 m ± 0.01 m 345 m ± 1 m 78
    • Medición directa Un experimentador que realice la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida y de observación del experimentador. 79
    • Muchas veces, para mejorar la calidad de nuestros resultados o por las características propias del fenómeno, es necesario tomar una misma medición varias veces y considerar como valor más probable al promedio de estas: (X 1+X 2+...+ X n ) o X= n n ∑ i =1 Xi X= n 80
    • donde xi representa el resultado de cada medición y n es el número total de mediciones realizadas. Ahora aparecerá una nueva forma para la consideración del valor de error que está asociada con las fluctuaciones de los datos en torno a su valor promedio. Para calcular el error asociado al cálculo de un promedio se utiliza la desviación estándar. 81
    • ∑X n 2 i X i 1 S n 1 Y a partir de este cálculo, se debe comparar el valor de la incertidumbre asociada a la estadística del problema con el que está asociado al instrumento en sí y se asignará como valor de incertidumbre al mayor entre los dos. 82
    • Si el valor de la desviación estándar es menor al valor de incertidumbre instrumental, quiere decir que las fluctuaciones de los datos son menores que la error instrumental, y por lo tanto el error del valor medio será igual a la incertidumbre de cada medición, xi. En este caso no se justifica tomar muchas mediciones porque lo que limita la calidad de los resultados es el instrumento. 83
    • Si el valor de la desviación estándar es mayor a la incertidumbre experimental instrumental, se tomará a el error estadístico, S, como el error de la medición, conviniendo en este caso tomar muchas mediciones. De esta manera queda asegurado que la cota de error contiene el valor “real” de la medición. 84
    • Ejemplo: supongamos que disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo y que medimos un determinado tiempo, t, cuatro veces. Los resultados han sido: 5.3 s, 5.2 s, 5.4 s, y 5.2 s. Calculamos el valor medio: (5.3 + 5.2 + 5.4 + 5.2)s 21.1 t= = = 5.275s 4 4 85
    • la desviación estándar será: (5.3 5.275)2 + (5.2 5.275)2 + (5.4 5.275)2 + (5.2 5.275)2 σt = 4 4 3 3 6.25 ×10 + 5.625 x10 + 0.015625 + 5.625 x10 σt = 4 σt = 0.0829s 86
    • este valor se expresa con una sola cifra significativa, S = 0.08 s. vemos que EL ERROR estadístico es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que se considera a esta última como el error en la medida y se redondea el valor medio, por lo que el resultado final de la medida es: t = 6.3 s ± 0.1 s 87
    • Ejemplo: Un alumno (A) mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m. Otro alumno (B) mide la longitud de un camino de 500 m y halla un valor de 501 m. ¿Qué error absoluto se cometió en cada caso? ¿Qué medida fue más exacta? 88
    • ALUMNO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO % A 1 m exceso (1/5)*100 = 20% B 1 m exceso (1/500)*100 = 0,2% 89
    • CIFRAS SIGNIFICATIVAS Toda medida de una magnitud X lleva asociado un error X , por lo que la expresión habitual de valores de las magnitudes experimentales o de aquellas que se han obtenido a partir de otras medidas experimentalmente debería ser del tipo X X . Muy a menudo, a fin de simplificar la notación sin perder completamente la información sobre la precisión de los datos o resultados, se omite X la vez que se escribe el valor de X con un número limitado de cifras: 90
    • todas aquellas que se consideran bien conocidas más una de cuyo valor no se está completamente seguro. A éstas se las conoce como cifras significativas. 91
    • Al realizar un experimento en el laboratorio se pide por ejemplo medir el área de una placa rectangular con una regla métrica como instrumento de medición. La precisión hasta la cual se puede hacer una medición particular de la placa es 0.1 cm. Si el largo de la placa es 16.3 cm., se puede afirmar que el largo de la placa se encuentra entre 16.2 cm. y 16.4cm. En este caso se dice que el valor medido tiene tres cifras significativas. De igual manera, si se encuentra que su ancho mide 4.5 cm, el valor real se encuentra entre 4.4 cm. y 4.6 cm. Este valor medido solo tiene dos cifras significativas. Así, se podrían escribir los valores obtenidos como 16.3 0.1cm y 4.5 0.1cm. 92
    • Ejemplo Si se quiere hallar el área de la placa anterior se multiplican los dos valores hallados (largo x ancho) (16.3 cm.) (4.5 cm.) = 73.35 cm2. Esta respuesta no tendría justificación, debido a que contiene cuatro cifras significativas, cantidad que es mayor al número de cifras significativas en cualquiera de las longitudes medidas. Una regla práctica para usar como guía en la determinación del número de cifras significativas es la siguiente: 93
    • Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final, es el mismo que el número de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde “menos precisa” significa “tener el número menor de cifras significativas”. La misma regla se aplica a la división. 94
    • Al aplicar esta regla al ejemplo de multiplicación anterior, se ve que la respuesta para el área sólo puede tener dos cifras significativas pues la longitud de 4.5 cm. tiene únicamente dos cifras significativas. Por consiguiente, todo lo que se puede afirmar es que el área es de 73 cm2, reconociendo que el valor puede variar entre (16.2 cm.) (4.4 cm.) = 71 cm2 y (16.4cm) (4.6cm) = 75cm2. 95
    • En la adición y la sustracción, el número de lugares decimales debe considerarse cuando se determinan cuántas cifras significativas se van a indicar. Cuando se suman o se restan números, el número de decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de decimales en cualquier término de la suma. 96
    • Por ejemplo, al sumar 123 + 5.35, la respuesta sería 128 y no 128.35. En la suma 1.0001 + 0.0003 = 1.0004, el resultado tiene cinco cifras significativas. 97
    • Ejemplo Aplicando los conceptos de cifras significativas efectuar las operaciones de los siguientes datos experimentales: 1)1.2 m + 2.34 m + 4.111 m = 7.6 m Solamente tenemos en cuenta un solo decimal. 2) 1.3333 m + 2.666 m + 3.00 = 6.99 Solamente tenemos en cuenta dos decimales. 98
    • 6.66666m 2 = 3.33m 2.00m 3) (3.1 m)*(1.1111 m) = 3.4 m2 El resultado solamente tiene dos cifras significativas. 6.66666m2 4) = 3.33m 2.00m El resultado solamente tiene tres cifras significativas. 99
    • Como deben realizarse las medidas Comprobar la calibración del aparato. Cumplir las normas de utilización del fabricante del aparato en cuanto a conservación y condiciones de uso. Conocer y valorar la sensibilidad del aparato para dar los resultados con la correspondiente precisión. Anotar cuidadosamente los valores obtenidos en tablas. 100
    • •Elaborar la tabla de datos con la información que se ha obtenido en las mediciones • Realizar la gráfica que corresponda o la de distribución de medidas. • Hallar el valor representativo, su error absoluto y su error relativo. 101
    • APRENDIENDO A GRAFICAR 102
    • 103
    • MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Definiciones; propiedades y operaciones 104
    • En los conceptos de mecánica que desarrollaremos, nos encontraremos con dos diferentes tipos de magnitudes: escalares y vectoriales. LAS MAGNITUDES ESCALARES son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud pueden ser: la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. 105
    • Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura. 106
    • Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar. 107
    • LAS MAGNITUDES VECTORIALES A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida. 108
    • Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta) 109
    • Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la aceleración, fuerza; el momentum o cantidad de movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden. 110
    • DEFINICIÓN : VECTOR Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido. 111
    • En Física, generalmente se trabaja con vectores de dos o tres dimensiones que se representan geométricamente. También se usan símbolos. Por ejemplo, un vector de dos dimensiones se puede representar así: P u Fig.1 se representa el vector u sobre la recta r, de origen O y O extremo P. Los vectores podrán designarse con letras mayúsculas o minúsculas. 112
    • Dados dos vectores, ellos pueden diferenciarse en: TAMAÑO ( MÓDULO ) O INTENSIDAD DIRECCIÓN O SENTIDO 113
    • TAMAÑO, MÓDULO O INTENSIDAD Fig. 2 Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. mód v = v = v = x 2 +y2 114
    • LA DIRECCIÓN Fig. 3 115
    • SENTIDO Fig. 4 116
    • IGUALDAD DE VECTORES Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido. 117
    • a = b. Esta definición corresponde a lo que se a denominan vectores libres; o sea, vectores que pueden b deslizar a lo largo de una recta y desplazarse paralelamente a sí mismos en el espacio. Son los que nos interesan y cumplen con las tres propiedades Fig.5 (reflexiva, simétrica y transitiva) que se exigen a toda definición de equivalencia entre elementos 118 de un conjunto.
    • Puesto que cualquier vector puede dibujarse en cualquier punto del plano, antes de empezar a poder expresarlo numéricamente lo colocaremos de tal forma que su punto de aplicación coincida con el origen de coordenadas, tal y como aparece en la figura. Fig.6 119
    • Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de coordenadas, el extremo del vector, coincidirá entonces con un punto del plano, el punto (x, y). Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el origen de coordenadas y termina en él propio punto. Analíticamente, representaremos el vector por el punto que determina su final. 120
    • las coordenadas del vector las denominaremos componentes, y todo vector estará así definido por dos componentes, una x y otra y, que serán las componentes cartesianas del vector. y Fig.7 y x x Vector en el origen que determina el punto x, y 121
    • Además por sus coordenadas cartesianas, existe otra forma de determinar numéricamente un vector: indicando su magnitud y el P ángulo que forma con la R abcisa. y Éstas (módulo y ángulo) son x las coordenadas polares de un vector Fig.8 R 2 = X 2 + Y2 122
    • Es necesario recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 123
    • CATETO 90° CATETO Fig.9 124
    • TEOREMA DE PITÁGORAS. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A A2 = X2 + Y2 y Fig.10 90° 125 x
    • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: 126
    • Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. 127
    • Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo 128
    • C Fig. 11 H y B A B x Cateto opuesto y Catetoadyacente x SenB = = CotB = = Hipotenusa H catetoopuesto y Cateto adyacenete x Hipotenusa H CosB = = SecB = = Hipotenusa H catetoadyaente x Cateto opuesto y Hipotenusa H TanB = = CscB = = Cateto adyacente x catetoopuesto y 129
    • Catetoopuesto x C SenC = = H Hipotenusa H c y B B A x CatetoAdyacente y Fig. 12 CosC = = Hipotenusa H Catetoopuesto x Catetoadyacente y TanC = = CotC = = catetoadyacente y catetoopuesto x Hipotenusa H Hipotenusa H SecC = = Csc = = catetoadyacente y catetoaopuesto x 130
    • •Para calcular el módulo del vector suma se recurre al teorema del coseno, el que se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: •El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos. 131
    • Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 13 obtenemos tres ecuaciones: C b a Fig. 13 A c B a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + b2 – 2ab cos 132
    • La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. 133
    • En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo. Es decir: la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a él en todo triángulo es constante. Si observamos la figura 14, la ley de senos se escribirá como sigue: 134
    • Fig. 14 C b a a b c = = A c B sen α sen β sen γ 135
    • COMPONENTES DE UN VECTOR En el espacio Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos). 136
    • que tomamos como referencia. De la misma forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema de referencia lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y ejes x, y, z. 137
    • Fig.15 z P2 a1 a a3 O y a2 P1 x P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son respectivamente el origen y el extremo del vector a. Se denominan componentes de un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o sea a los números a1 x2 x1 a2 y2 y1 a3 z2 z1 138
    • En general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a. Estas componentes pueden ser números positivos o negativos (más adelante veremos que pueden ser funciones de una o más variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre las coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor absoluto pero de signos 139 contrarios.
    • Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de igualdad de vectores se deduce que dos vectores iguales tienen las mismas componentes en cualquier sistema de coordenadas. Es más, los vectores y los resultados de las operaciones entre ellos tienen un significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio. 140
    • Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo transforma en una herramienta tan potente. Dado que el vector es la diagonal del paralelepípedo de figura 6, cuyas aristas son a1, a2 y a3, el módulo del vector a es: 2 2 2 a a 1 a 2 a 3 141
    • OPERACIONES ENTRE VECTORES 142
    • Las operaciones definidas entre vectores son: Adición Diferencia Multiplicación de un vector por un escalar. Producto escalar o interno Producto vectorial o cruz 143
    • ADICIÓN Para sumar dos vectores a y b se procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a se lleva el vector b; el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es el vector suma a + b. a b a b a+b Fig.16 144
    • SUMA DE VECTORES y z z x x y x+y+z Fig. 17 145
    • S=A+B Fig. 18 146
    • Geométricamente, para sumar algebraicamente varios vectores basta llevarlos sucesivamente de manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente (como se observa en la siguiente Fig.) c La adición de d vectores cumple v las propiedades a b conmutativa y asociativa en forma similar a la adición ordinaria v=a+b+c+d entre números reales. Figura 19 147
    • La suma vectorial tiene las siguientes propiedades: Conmutativa: u + w = w + u Asociativa: (u + w) + z = u + (w + Z ) Neutro aditivo: u + 0 = u Inverso aditivo u + –u = 0 Algunos ejemplos: 148
    • w u w u+w u u u+w w w w u u u u+ w z z w u +w+z u+w+z z Fig. 20 149
    • Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura 9. a a a+b b b Fig. 21 150
    • Dado que la suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector resultante se obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes a a1 , a2 , a3 b b1 , b2 , b3 c c1 , c2 , c3 c1 a1 b1 c2 a2 b2 c3 a3 b3 De esta definición se deduce que la adición de vectores es conmutativa: a + b = b + a. 151
    • •Para calcular el módulo del vector suma se recurre al teorema del coseno:      B S A B S 2 2 2 S A B 2 AB cos  •Además haciendo uso A •del teorema del seno: S A B sen sen sen 152
    • DIFERENCIA DE VECTORES El vector opuesto al vector v (v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y dirección que v pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato entonces que la diferencia u – v de dos vectores es igual a la suma del vector u y del vector –v, opuesto a v. Por lo tanto las componentes del vector diferencia u – v son las diferencias de las componentes, o sea u1 v1 u2 v2 u3 v3 153
    • u u v -v u-v Fig. 22 La resta de vectores se define así: u – w =u + –w Otro ejemplo: : 154
    • -w u u u-w u-w w w Fig. 23 155
    • NO DEBEMOS OLVIDAR QUE… La diferencia de 2 vectores a – b lo podemos representar como: a – b = a + (-b) y gráficamente: -b b a–b a Fig. 24 156
    • RESUMIENDO: b b d a s d a b S es igual a? Fig. 25 D es igual a? 157
    • MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Los vectores pueden ser multiplicados por una magnitud escalar. Se denomina producto λa del vector a por el escalar λ, al vector que tiene: i) el módulo igual al producto del módulo de a por el valor absoluto de λ; ii) la misma dirección que a; iii) el mismo sentido que a si λ es positivo y sentido opuesto si λ es negativo. 158
    • Las componentes del vector λa son, por lo tanto: a1 , a2 , a3 En la figura 12 se muestran 3a los vectores a, 3a, -2a y a/2. a -2a 0.5a = a/2 Fig. 26 159
    • VECTOR UNITARIO Es un vector que expresado en las unidades correspondientes, tiene magnitud uno. VECTOR UNITARIO Fig. 28 160
    • Cualquier vector puede ser representado como el producto de un vector unitario a en   la dirección de A y la magnitud de  A  A O sea: A = Aa 161
    • COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR •Cualquier vector puede siempre considerarse como la suma de dos o mas vectores, siendo el número de posibilidades infinito.  A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den un vector A se les llama los componentes  de A 162
    • Cuando la componente del vector apunta en la dirección +x, nosotros definimos un número Px que sea el módulo de Px, si el vector apunta en la dirección –x, entonces definimos un número negativo - Px recordando siempre que el módulo de un vector siempre es positivo. Lo mismo podemos definir para Py. Tanto Px como Py se llaman las componentes del vector P. 163
    • Fig. 29 Px negativa Px positiva Py positiva Py positiva Px negativa Px positiva Py negativa Py negativa De la figura encontramos además que: Px = P cos j Py = P sen j 164
    • Estas componentes son los lados de un triángulo rectángulo y la hipotenusa tiene magnitud P. El módulo de P y su dirección están relacionadas con sus componentes como: 2 2 P = P +P x y 165
    • Para encontrar la dirección de P, es decir el ángulo , primero se calcula la tg por medio de la ecuación anterior y luego, se encuentra la función inversa de la tangente. Py Tanα = Px Es decir que: Py α = arctg Px 166
    • Noten que el signo de depende de los signos de las componentes. Si una componente en negativa el ángulo será negativo, lo que significa que la dirección del vector se encontrará en el cuadrante correspondiente como lo vimos en la Fig 29. 167
    • En este punto vale la pena aclarar para que no haya ambigüedades en la determinación de , sabiendo que: 2 2 P = P +P x y Debe ser mayor que CERO. Al definir Cos y Sen , podemos calcular para 0≤ 2 168
    • Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas ortogonales (figura 15, Pág.. 134). Sobre cada uno de los ejes, y con su sentido coincidente con el sentido positivo de aquellos, se han superpuestos los versores i, j, k. Sus componentes son: ˆ i 1,0,0 ˆ 0,1,0 j ˆ k 0,0,1 y se denominan versores fundamentales, O vectores unitarios fundamentales. 169
    • Todo vector a (a1, a2, a3) puede ser entonces escrito en la forma:  ˆ a a1i a2 ˆ a3 k ˆ j según las reglas anteriormente establecidas para la adición de vectores y de multiplicación por un escalar. 170
    • z Esta descomposición de a un vector como suma de tres vectores en la k j a3 dirección de los ejes i coordenados es muy y importante y útil. Se x a2 a1 denomina Fig. 30 descomposición canónica de un vector. 171
    • EN OTRAS PALABRAS: •Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá ser considerado como la suma de 3 vectores en la dirección X, Y, Z que se    llamaran Ax , Ay , Az respectivamente. 172
    • Es decir: Fig. 31     A Ax Ay Az z Si se llaman a  los tres vectores Az  unitarios en las A direcciones X, Y, Z kˆ ˆ  respectivamente, j Ay  iˆ y entonces: Ax  Ax ˆ Axi x  Ay Ay ˆj  Az ˆ Az k 173
    • PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO INTERNO El producto escalar de los vectores representado   por el símbolo A B , se define como el producto de   las magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los dos vectores. Se llama escalar, porque el resultado por definición es una magnitud escalar. 174
    •   A B AB cos  B Obviamente: Fig. 32      A B B A A •De la definición se puede ver que: ˆ i ˆ j j ˆ ˆ i ˆ ˆ k k 1 iˆ j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k i 0 175
    •  Si: j ˆ A Axiˆ Ay ˆ Az k  ˆ B Bxiˆ By ˆ Bz k j Entonces:   A B Ax Bx Ay By Az Bz Notese que:   2 2 2 2 A A Ax Ay A z A 176
    • Producto cruz o vectorial entre vectores   •El producto vectorial de dos AyB vectores   representado por el símbolo A B , es definido, como un vector cuyo módulo es el producto de las   magnitudes de A y B con el seno del ángulo entre los dos vectores. 177
    • •La dirección del   vector A B es perpendicular al   plano formado por A B   AyB de tal    B manera que A, B y   ˆ n A B forman un  sistema dextrógiro A (regla de la mano derecha). Fig. 33 178
    • Fig. 34 179
    •   ˆ Fig. 35 A B ( ABsen n   A B  ˆ •En que n es un vector B ˆ n unitario que indica la Fig. 36    A dirección de A B . Obviamente:     A B B A 180
    • De la definición sigue que:  ˆ ˆ i i j j ˆ ˆ ˆ ˆ k k 0 ˆ k Fig. 37 ˆ i j ˆ ˆ k iˆ ˆ j ˆ j ˆ ˆ k i ˆ k i ˆ ˆ j 181
    •  Si: ˆ j ˆ A Axi Ay ˆ Az k  ˆ j ˆ B Bxi By ˆ Bz k ˆ i ˆ j ˆ k   A B Ax Ay Az Bx By Bz 182
    • 183