ECUACION DE SEGUNDO GRADO

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ECUACION DE SEGUNDO GRADO

  1. 1. ECUACIÓN CUADRÁTICA<br />Por<br />Ing. Margarita Patiño Jaramillo<br />Ing. Carlos Enrique Villa<br />
  2. 2.
  3. 3. Competencia<br />Utilizaadecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.<br />Indicadores de logro: Resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos desarrollados.<br />Plantea la o las expresiones algebraicas que representan la situación.<br />Resuelve la situación a partir de la o las expresiones algebraicas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/o métodos desarrollados.<br />
  4. 4. Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:<br />donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.<br />Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:<br />con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.<br />La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.<br />
  5. 5. Clasificación de las ecuaciones cuadráticas:<br />La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguientes tres maneras:<br />1.- Cuadrática Completa: Tiene la forma canónica:<br />donde los tres coeficientes a, b y c son diferentes de cero.<br />Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante:<br />ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.<br />Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general,la cual trataremos ás adelante.<br />
  6. 6. 2.- Cuadrática incompleta pura: <br />Forma general:<br />donde los valores de a y de c son distintos de cero.<br />Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo.<br />Una ecuación cuadrática incompleta tiene la forma:<br />con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica, y su única solución doble, es por supuesto, x = 0<br />
  7. 7. 3.- Cuadrática incompleta mixta: <br />Es de la forma:<br />donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial . No tiene solución en números complejos.<br />Solución general de la ecuación de segundo grado<br />La ecuación cuadrática completa de segundo grado siempre tiene dos soluciones, también denominadas raíces, que pueden ser reales o complejas, de acuerdo con la fórmula general:<br />Nota: el símbolo "±" indica que hay un valor para el “más” y otro valor para el “menos”.<br />
  8. 8. De acuerdo con el valor del determinante las soluciones pueden ser:<br />Dos valores reales distintos si el discriminante da positivo; <br />Una valor real repetido si el discriminante da cero; <br />3. Dos valores complejos conjugados si el valor del discriminante da negativo. <br />
  9. 9. Método de factorización :<br /> Consiste en factorizar , si es posible, el polinomio de segundo grado :<br /> ax2 + bx + c = 0<br />Los pasos de este método son los siguientes:<br />1. Se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro igual a cero.<br />2. Se factoriza este miembro por el método más adecuado.<br />3. Para obtener las raíces de la ecuación , se iguala cada factor a cero.<br />Análisis de las raíces de una ecuación de segundo grado ._<br /> <br />Las raíces x1y x2 de una ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0 dependen de la discriminante Δ así:<br />Primer caso:<br />Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y diferentes.<br />Pero:<br /> <br /> a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales.<br /> b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.<br />
  10. 10. Segundo caso:<br /> Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:<br /> <br />Tercer caso:<br /> Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 dan de tipo complejas y conjugadas.<br />
  11. 11. Resolvamos algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados:<br /> <br />Ejemplo 1.<br />Resolver para x:<br />Se ordena la ecuación por potencias descendentes de la x. <br /> Así las cosas, a = 5 ; b = -13 ; c = - 6. Se aplica la fórmula:<br /> <br />Nótese que = 17 es mayor que cero, luego tendremos dos valores reales distintos.<br />Por lo tanto: <br />
  12. 12. En el ejemplo anterior ambos valores de x cumplen en la ecuación, ya que, al reemplazarlos en ella, producen una igualdad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación.<br />Realice la verificación.<br />Ejemplo 2:<br />Resolver para x:<br />Solución: Se trata de una ecuación incompleta pura. <br />Despejamos x:<br />Realice la verificación.<br />
  13. 13. Ejemplo 3:<br />Resolver para x: <br />Aplicamos la fórmula general: <br />Dos raíces reales diferentes.<br />
  14. 14. Ejemplo 4:<br />Resolver para x: <br />Aplicamos la fórmula general: <br />Donde: , lo que implica raíz cuadrada de número negativo.<br />Por lo tanto: <br />Dos raíces complejas conjugadas.<br />
  15. 15. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN<br />Es posible resolver ecuaciones de segundo grado por factorización cuando trasladando todos los términos a un solo miembro de la ecuación igualada a cero, el polinomio resultante es factorizable.<br />Ejemplo 5:<br />Resolver para x por medio de factorización: <br />Solución: Factorizamos por el método de inspección así:<br /> , dos números que multiplicados den 12 y que restados den uno.<br /> , donde uno de estos factores o los dos son cero. <br />Si<br />Si <br />
  16. 16. Ejemplo 6:<br />Resolver para a por factorización: <br />Solución: <br />Primero pasemos todos los términos a la izquierda:<br /> , dos números que multiplicados den 65 y restados 8: 13 y 5<br />Si <br />Si<br />
  17. 17. Ejemplo 7:<br />Resolver para a por factorización: <br />Solución: Multiplicamos y dividimos por 6 que es el coeficiente de <br /> , ahora hacemos la inspección <br /> , saquemos factor común en ambos paréntesis<br /> , simplifiquemos<br /> , donde uno de estos factores o los dos son cero. <br />Si <br />Si <br />
  18. 18. EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS<br />1. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas<br />a) <br />b) <br />c) <br />d) <br />e) <br />2. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:<br />a) <br />b) <br />c) <br />d) <br />e) <br />Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes<br /> ecuaciones:<br />a) <br />b) <br />c)<br />
  19. 19. Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas.<br /> <br />Los siguientes problemas (enunciados) atañen a situaciones que requieren planteamientos que implican una ecuación de segundo grado.<br />Consejo:<br />Primero se insinúa que el estudiante establezca la incógnita o incógnitas designado por X a una de las variables que incluya el problema. Denomine la magnitud desconocida, con unidades de medida, por X; luego deben transformarse las frases en ecuaciones de acuerdo con las relaciones establecidas entre la variable, de acuerdo al planteamiento y por último, se resuelve la ecuación. <br />No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y resolverlos. <br />
  20. 20. Ejemplo 1 tipo problema:<br />La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números<br /> <br />Primero se designa la variable X a una de las incógnitas del problema. Hay dos magnitudes desconocidas que son los dos números, pero como el problema no hace diferencia entre uno y otro, puede asignarse X a cualquiera de los dos, por ejemplo:<br /> <br />X : Sea X el primer número<br />Puesto que la suma de ambos es 10, entonces obligatoriamente el otro será 10 – x, entonces 10 – x es el segundo número.<br />La condición del problema es que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces la ecuación a resolver es:<br /> <br />x2 + (10 - x )2 = 58.<br />
  21. 21. Para resolverla, hay que usar algunas técnicas de Álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolución.<br />La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de quitar) que escriben:<br />( a - b )2 = a2 - b2 , lo cual es erróneo, pues lo correcto es:<br />( a - b )2 = a2 - 2.a.b + b2<br />Desarrollando la ecuación x2 + (10 - x )2 = 58 se tiene:<br />x2 + 102 – 2x + x2 = 58 ,<br />Por lo tanto: x 2 + 100 - 20.x + x 2 = 58<br />Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x + 42 = 0 ;<br />Al dividir entre 2 toda la ecuación:<br />x2 - 10x+ 21 = 0<br />
  22. 22. Usando la fórmula general o la factorización resulta:<br />x1 = 3 y x2 = 7 (realizar la actividad)<br />El problema genera (supuestamente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades.<br />Supóngase que se toma la primera (x = 3).<br />Revisando el planteamiento inicial, se observa que:<br />Primer número: x = 3 ; Segundo número = 10 - 3 = 7.<br />Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3.<br />En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es:<br />Los números buscados son 3 y 7.<br />
  23. 23. Entonces se tiene que:<br />x (x + 3 ) = área de la sala.  datos iniciales<br />Las condiciones del problema dicen que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, por lo que, en seguida del aumento quedan:<br />x + 3 = nuevo ancho de la sala<br />x + 5 = nuevo largo de la sala<br />Por lo tanto: (x + 3 )(x + 5) = nueva área de la sala<br />La nueva área es el doble de la primera (dos veces) , así que planteamos la ecuación:<br />(x + 3 )(x + 5) = 2 x (x + 3 )<br />Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x<br />Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0 <br />Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0<br />
  24. 24. Se aplica la fórmula general y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3.<br />La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.<br />Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros.<br />Mirando las condiciones iniciales, se deduce que:<br />El largo es: x + 3 = 8 metros.<br />Así que el área original era 8m . 5m = 40 m2.<br />
  25. 25. Ejemplo 2 tipo problema:<br />El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que su ancho. Si aumentamos en 3 m el ancho y el largo en 2 m, el área se duplica. Hallar el área original de la sala.<br /> <br />En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable X.<br />Este problema permite fácilmente que la X sea cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Por lo tanto si:<br />X = ancho de la sala <br />El largo es 3 metros mayor que el ancho, luego:<br />x + 3 = largo de la sala.<br />El área de un rectángulo es la multiplicación de ambas expresiones. <br />
  26. 26. Ejemplo 3 tipo problema:<br />¿ Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en la figura, sabiendo que las dimensiones señaladas están dadas en metros?<br /> <br />Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras.<br />La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:<br />(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2<br />
  27. 27. Desarrollando cada binomio al cuadrado, reagrupando, reduciendo términos semejantes, se obtiene:<br /> -2 x2 + 18x = 0<br />Las raíces o soluciones son x1 = 0 y x2 = 9.<br />La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible.<br />La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.<br />El área de un triángulo rectángulo corresponde al semiproducto de los catetos, resultando ½ (12 · 5) = 30 , por lo tanto el área es 30 m2.<br />El perímetro es la suma de los lados, es decir:<br />P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m. <br />El área resulta 30 m 2 y su perímetro 30 metros.<br />
  28. 28. Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado<br /> <br />Una persona tiene 52 años de edad y su nieto 2. ¿después de cuántos <br />años la razón entre la edad del abuelo y del nieto será igual a los tres cuartos<br />del tiempo transcurrido para que eso suceda? (8)<br />2. De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿qué ancho debe tener ese margen? (6)<br />3. Halle un número de dos cifras si la suma de ellas es 10 y si al producto de las mismas se le suma 16 se obtiene el primer número con las cifras invertidas. (73)<br />4. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen 10 cm y 24 cm de longitud. Si se aumentan los dos en la misma cantidad ,¿ en cuánto habrá que aumentarlos para que su hipotenusa aumente 8 cm?(6)<br />5. Un conjunto de personas alquiló un vehículo en $1200. Como 3 personas no fueron, las demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿cuántas viajaban originalmente? (15)<br />

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