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Concepto de integral definida (1)

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  • 1. Concepto de integral definidaLa integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de lasáreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, paracada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igualque 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y bal área de la porción del plano que está limitada por la función, el ejehorizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] sedenota como:Propiedades de la integral definidaLa integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos): Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) g (x), se verifica que:
  • 2. Ilustración gráfica del concepto de integral definida.Función integralConsiderando una función f continua en [a, b] y un valor x [a, b], esposible definir una función matemática de la forma:Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de lavariable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente porF (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área puescuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.Interpretación geométrica de la función integral o función área.Teorema fundamental del cálculo integralLa relación entre derivada e integral definida queda establecidadefinitivamente por medio del denominado teorema fundamental delcálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su funciónintegral asociada F (x) cumple necesariamente que:A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir unmétodo para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo[a, b], denominado regla de Barrow: Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x). Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
  • 3. El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:Calcular las siguientes integrales definidas 1. Solución: Calculamos la integral indefinida Hacemos cambio de variable Reemplazando en la integral Calculando la integral definida 2. Solución: Calculamos la integral indefinida Calculando la integral definida
  • 4. 3. Solución: Calculamos la integral indefinida +C Calculando la integral definida4. Solución: Calculamos la integral indefinida +C Calculando la integral definida
  • 5. 5. Calculamos la integral indefinida Le damos forma a la integral Calculando la integral definida6. Solución: Calculamos la integral indefinida Calculando la integral definida