Teoria dos Conjuntos e Números

Apostilas Aprendizado Urbano
MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
1. Teoria dos conjuntos. Conjuntos numéricos. Relações. Funções e equações polinomiais e transcendentais
(exponenciais, logarítmicas e trigonométricas).
2. Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica.
3. Matrizes, determinantes e sistemas lineares.
4. Geometria plana: Áreas e perímetros.
5. Geometria espacial: áreas e volumes.
6. Números complexos.
7. Estatística básica.
8. Matemática financeira.
9. Aritmética.

Teoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os números naturais.
c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:
"pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
0 N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de
duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os
elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido
em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O
conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto
vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por
uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A
B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A = A e A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A B, B A B, A B A, A
B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = B
A B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B = B A
A B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto
A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
10.Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e
não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos
A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao
conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c
posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a
palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses
conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...
Anc
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses
conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares
desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...
Anc
Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião
dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
A B = { x: x A B e x A B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A A=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:
A (B C) = (A B) (A C)

7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A B (A C) (B C)
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um
* ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao
conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por
exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da
parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o
número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale
3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o

PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)
Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os
irracionais).
Representado pela letra R.
Relações e Funções
A função polinomial
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R
R definida por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o
termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em
estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter
p(a).
Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo
dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x)
não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais
avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado
mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do
que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto
até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente
n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os
polinômios reais em x.
Igualdade de polinômios
Os polinomios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak=bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é
que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak= 0
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn
tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.
Soma de polinômios
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima,
possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po + p = p
qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn
tal que:
ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a
com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido
acima, possui várias propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p · q) · r = p · (q · r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p · q = q · p
Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po · p = po
qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que
p1 · p = p
qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada
anel comutativo com identidade.
Espaço vetorial dos polinômios reais
Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números
naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas
de números reais , isto é, as sequências da forma:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de
zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais
sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos
elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma,
multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)
e vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:
p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:
k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)
e o produto de p e q em S como:
p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)
sendo que
ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro,
identidade, unidade, oposto.
Características do grau de um polinômio
Se gr(p)=m e gr(q)=n então
gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}
Algoritmo da divisão de polinômios
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que
p(x) = g(x) q(x)
Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um
polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:
p(x) = q(x) g(x) + r(x)
Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:
xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )
então para
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
temos que
p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn
e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:
p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)
o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter
p(x)- p(c)=(x-c) q(x)
onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)
e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.
Zeros de um polinômio
Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O
zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:
x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0
o que é equivalente a:
c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)
Equações Algébricas e Transcendentes
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito
de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.
Exemplos
1. 2x²+3x+7=0
2. 3x²+7x½=2x+3
A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo
potências de x:
ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...
assim, a equação
x²+7x=ex
não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:
p(x) = 0
onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda
não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação
polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes
da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova
equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica
Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:
x = -b/a
Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no
conjunto dos números complexos, dadas por:
x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a
x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.
Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos
números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).
Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no
conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter
todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com
grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo
capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.
Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática
subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no
conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos,
admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.
Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto
dos números reais.
Algumas identidades polinomiais
Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

1. a²+b² > 2ab
2. (a+b)/2 > R[a.b]
3. a²+b²+c² > ab+ac+bc
onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.
A função exponencial
A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmo
natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à
identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da
função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os
números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a
função logarítmica em função da exponencial como:
f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)
Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.
Exemplos:
1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2
4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos
primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e=2,718281828459045235360287471352662497757
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com
expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a
curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]k
Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e
logaritmos:
1. exp[Ln(3)]=3.

2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de
1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.
Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
ar=exp[Ln(ar)]
Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:
ar = exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de
uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:
ax=exp[x.Ln(a)]
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:
1. axay=ax+y
2. ax/ay=ax-y
3. (ax) y=ax.y
4. (a b)x=axbx
5. (a/b)x=ax/bx
6. a-x=1/ax
Relação de Euler
Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:
eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
Algumas Aplicações
Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela,
como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar
alguns exemplos com aplicações destas funções.
Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura
ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32
graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que

a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a
temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos
pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:
f(t) = C eA t
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21
A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e-0,0645385t
e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções
exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de
aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e-k.x
onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações
básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.
A função:
f(x) = c - a e-k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of
Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do

tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses
que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do
tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente
em um instante t:
N(t)=No ert
onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de
população.
O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a
forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de
população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta
equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada
em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a
população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece
resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade
disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num
certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias
haverá na colônia após 36 horas da última contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então
N(12)=600=200 er12
logo
e12r=600/200=3
assim
ln(e12r)=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Finalmente:
N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por
Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem
qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta
transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a

radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o
número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento,
então:
N(t) = No e-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são
obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo
necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:
SubstânciaSubstânciaSubstânciaSubstância Meia-vida TMeia-vida TMeia-vida TMeia-vida T
Xenônio 133Xenônio 133Xenônio 133Xenônio 133 5 dias5 dias5 dias5 dias
Bário 140Bário 140Bário 140Bário 140 13 dias13 dias13 dias13 dias
Chumbo 210Chumbo 210Chumbo 210Chumbo 210 22 anos22 anos22 anos22 anos
Estrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90 25 anos25 anos25 anos25 anos
Carbono 14Carbono 14Carbono 14Carbono 14 5.568 anos5.568 anos5.568 anos5.568 anos
PlutônioPlutônioPlutônioPlutônio 23.103 anos23.103 anos23.103 anos23.103 anos
Urânio 238Urânio 238Urânio 238Urânio 238 4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:
k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano
Equações logaritmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de um
símbolo log.
Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, aplique isso e você
acertará.
Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logaritmica, é a seguinte:
Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de verificar as
condições de existência.
As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser DESCARTADAS!
Portanto, para aprendermos a resolver equações logaritmicas, vamos dar uma olhada em algumas questões
chave de vestibulares passados.

01) O conjunto solução da equação logaritmica é:
(A) {-1; 2}
(B) {-2; 1}
(C) {-2}
(D) {1}
(E) { }
Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:
Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara.
Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução de
equações logaritmicas.
Verificação, para : , OK
para : , OK
Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"
2) O número real x que satisfaz a equação é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Aplicamos a equivalência fundamental:
Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis , temos:
Aplicamos Bhaskara e chegamos em:
Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente :
Absurdo!

Aplicamos a equivalência fundamental,
Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x na
equação:
Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo:
Aplicamos a 3° propriedade operatória
, OK. É válida!
Resposta correta, letra "E".
3) A equação tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.
Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3².
E aplicamos a 3° propriedade operatória:
O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um o
inverso do outro (1° consequência da mudança de base).
Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca :
Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:

Aplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer os
valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:
para y=2:
para y=-1:
O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E".
4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo:
(A) [-2; -1]
(B) (-1; 0]
(C) (0; 1]
(D) (1; 2]
(E) (2; 3]
Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar as
propriedades operatórias:
Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos:
Aplicamos a equivalência fundamental:
Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Psara isso,
substituímos o valor de x encontrado na equação do enunciado:
Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de x, não
encontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta
é mesmo
Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".
A representação gráfica da função logarítmica deve ser gravada por todos.
Várias questões de vestibular exigem este conhecimento.
A representação gráfica de um logaritmo pode ser de duas formas. Veja os gráficos abaixo mostrando as duas
formas para a função :

CRESCENTE
base b > 1
DECRESCENTE
base 0 < b < 1
Nestes gráficos devemos observar, principalmente, duas propriedades. Note que os cortes no eixo x, em
ambos os gráficos, ocorre no ponto 1. Isso está de acordo com a 1° Consequência da Definição de logaritmos,
que diz que logaritmo de 1 em qualquer base é ZERO.
E o eixo y é uma assíntota vertical, ou seja, a curva não toca o eixo y nunca, apenas vai chegando cada vez
mais perto, sem tocar.
Veja um exercício do vestibular da UFRGS sobre este tema:

(UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x,
dada por , é
(A) (B) (C)
(D) (E)
O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a , ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 só
pode ser um logaritmo decrescente.
Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixo
x no ponto 1.
Resposta correta, letra A.
Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos os eixos estará
seu gráfico. Veja a figura ao lado.
(UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação e a curva T, o conjunto
solução da equação . Tem-se

(A) a < b < 1
(B) 1 < b < a
(C) 1 < a < b
(D) b < a < 1
(E) b < 1 < a
Os dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Ficamos
então entre as alternativas B e C.
Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do que
a curva T, então sua base é maior (a > b).
Portanto, resposta correta, letra B.
Se, ao invés de termos uma igualdade entre dois logaritmos, tivermos um sinal de desigualdade (<, >, ≥, ≤)
devemos nos atentar a algumas propriedades.
Podemos efetuar todas as operações que fazemos com igualdades.
Em qualquer inequação, quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número negativo,
devemos inverter a desigualdade. Por exemplo, a inequação:
1 - x < 0 Podemos passar o 1 para o outro lado:
-x < -1
Agora, devemos multiplicar a inequação por (-1). Com isso, invertemos a
desigualdade
x > 1 E com isso, chegamos ao intervalo da resposta.
Essa regra é para todas inequações.
Para inequações envolvendo logaritmos seguimos alguns passos:
1° Passo
Aplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a incógnita em
alguma de suas partes.
Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados.
2° Passo
Aplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cada
lado da desigualdade. Ambos com a mesma base.
3° Passo
"Cortamos" os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:
base > 1
Mantém-se a
desigualdade
0 < base < 1 Inverte-se a desigualdade
E guardamos também o intervalo encontrado.
4° Passo Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.

Veja o exemplo abaixo:
(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação:
1° Passo - Pegamos um por dos logaritmandos que possuam "x", e aplicamos as condições de
existência:
Equações Trigonométricas
INTRODUÇÃO
Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função
da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.
Exemplos:
1) sen x + cos x = e sen 2x = cos2 x são equações trigonométricas.
2) x + ( tg 30º) . x2 e x + sen 60º = não são equações trigonométricas.
Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do
domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.
Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números são algumas de suas raízes e os
números não o são.
O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.
Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem
ser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:
sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a
Estas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.

RESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL
Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.
Logo, podemos escrever que:
sen x = sen a
O conjunto solução dessa equação será, portanto:
cos x = cos a x = a +
RESOLUÇÃO DA 3ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL
Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têm
suas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.

Função seno
Definição
Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R®
R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é
unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
 Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
 f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
• f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Função cosseno
Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse
número: f: R® R, f(x) = cos x.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é
unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
 f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
• f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)
Função tangente
Definição
Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ
Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.
O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero)
até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.
Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência
trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
 f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
 f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)
Função secante
Definição
Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde
kÎ Z.
 Sinal da função
Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da
função cosseno.
Função cossecante
Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ
Z.
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos
da função seno.
Função cotangente
Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos
da função seno.
Anexos
A função seno
Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
 Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.

 Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
 Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
 Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]
A função cosseno
Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
 Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
 Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
 Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
 Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

A função tangente
Observe que esse gráfico é razoável. De fato:
Em primeiro lugar
ou seja, quando , 1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Em segundo lugar,
ou seja, quando , 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Em terceiro lugar,

ou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Finalmente,
ou seja, quando , 4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Função secante
Temos:
Definição: .

Logo, o domínio da função secante é .
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada
, sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.
Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um número
inteiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
 e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x
aumenta, y aumenta;
 e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x
aumenta, y aumenta;
 e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme
x aumenta, y diminui;
 e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x
aumenta, y diminui.
Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da
função.

A função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e
periódica, de período 2p
função cossecante
Temos:
Definição: .
Logo, o domínio da função cossecante é
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada
, cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.

Da figura, observamos também que, qualquer que seja , ,
onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
 e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x
aumenta, y diminui;
• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x
aumenta, y diminui;
Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da
função.
A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.
Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes
formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos
de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem
ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo
o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí
pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos
que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16
grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição
que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras
escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que
este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no
conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto
PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí
pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não
podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que
existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...
+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original
trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-
1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do
conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os
elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma
circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão
sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das
posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,
apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB

ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos
entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6
grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2
são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo
aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2
elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com
repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através
de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro
elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n
formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode
coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes
e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a
escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em
ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s
contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar
segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os
pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n
segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos
(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.
Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para
a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos
supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora
existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que
sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos
o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para
retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números
que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades
1111 mmmm
2222 m-1m-1m-1m-1
3333 m-2m-2m-2m-2
............ ............
pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1
No.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu
cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5
vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5
vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do
produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras
iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos
que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos
distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de
arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades
1111 mmmm
2222 m-1m-1m-1m-1
............ ............
pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1
............ ............
m-2m-2m-2m-2 3333
m-1m-1m-1m-1 2222
mmmm 1111
No.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutações
m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-
p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada

por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar
a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número
natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-
se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto
podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número
real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função
P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O
número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é
P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível
escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p
elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal
(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a
necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição
de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de
combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m
elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram
em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de
elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os
mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o
número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma
ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos
tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número
total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem
determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10
compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3
compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos
restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são
C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes
elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com
repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a
taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de
combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e
colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve
para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma
correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo
exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser
feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de
elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado
Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais
e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro
negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de
combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como
Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e
Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p).
Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1

(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k
==== (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
====
a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]
====
ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk
+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1
====
ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-
1]abk+kkbk+1
====
ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3
+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-
1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1=
ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3
+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk +
kkbk+1
que é o resultado desejado.
Progressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PA
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos.
Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é
3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.
Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ...
, an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível
escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior
multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é
denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número
natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são
iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da
Progressão Aritmética – PA.
Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo
termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos
generaliza-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA,
poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do
tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da
aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à
soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Daí então, vem finalmente que:
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro
termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 < 0

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo.
Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 < 0
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima
seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem.
O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as
medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual
a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o
que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente
positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de
zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................

12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a
1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero
hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de
termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo
é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.
Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos,
onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada
razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja,
o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão
desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:

(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o
que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar
que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
6 – Exercícios resolvidos e propostos
6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a,
b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução:
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas
condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10
Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10,
razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10
6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta
indefinidamente
é igual a:
A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x
Solução:
Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de
razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°
Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão
Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:

( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o
motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da
probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes,
ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a
abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o
espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12
elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número
primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4,
K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer
um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6
igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm
probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1
(probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se
deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência
alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e
E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez
e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um
deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na
segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora,
a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30.
Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A)
=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que
ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e
P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no
branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um
8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei
ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos
Matrizes
Elementos básicos para a construção de matrizes
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:
N={1,2,3,4,5,6,7,...}
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são
números naturais, isto é:
N×N={(a,b): a e b são números naturais }
Uma relação importante em N×N é:
Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um
número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela
contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

Teoria dos Conjuntos e Números

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