Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ALUMNO: MARCELA GPE. RUIZ LOPEZ REG: 9310352
  2. 2. INTRODUCCION <ul><li>Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contiene derivadas. </li></ul><ul><li>Pero sin embargo hay mas en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solo el manejo de los métodos que alguien ha inventado para resolverlas. </li></ul><ul><li>A continuación daremos algunos conceptos básicos de lo que veremos a lo largo de este semestre </li></ul>
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES <ul><li>Una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial . </li></ul><ul><li>Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y linealidad. </li></ul>
  4. 4. CLASIFICACIONES <ul><li>TIPO: si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. </li></ul><ul><li>ORDEN: el orden de una ecuación diferencial( ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. </li></ul><ul><li>LINEALIDAD: la variable independiente Y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el exponente de todo el término donde aparece Y es 1. </li></ul>
  5. 5. ORDEN <ul><li>El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente : </li></ul><ul><li>Cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>El orden de una ecuación diferencial, es el orden de la derivada mayor en la ecuación. </li></ul>
  7. 7. GRADO <ul><li>Se define como la potencia a la que esta elevada la derivada más alta siempre y cuando la expresión este en su forma polinominal. </li></ul><ul><li>Los tipos de grados son: </li></ul><ul><li>Primer </li></ul><ul><li>Segundo </li></ul><ul><li>Tercer </li></ul><ul><li>Los cuales se dividen en lineales y no lineales. </li></ul>
  8. 8. SOLUCION <ul><li>Una forma de comprobar que la función que se tiene es una solución es ver, después de sustituir, si los lados de la ecuación son equivalentes para toda x en el intervalo. </li></ul><ul><li>La solución general de una ecuación diferencial es una función que contiene constantes de integración independientes o arbitrarias. </li></ul><ul><li>La solución particular se obtiene a partir de la solución general, para lo cual bastará dar valores específicos a las constantes arbitrarias de la solución. </li></ul>
  9. 9. CAMPOS DE DIRECCION <ul><li>Si se evalúa ƒ de forma sistemática en una red de puntos rectangular en el plano xy y se traza un elemento lineal en cada punto (x,y) de la red con pendiente ƒ(x,y), entonces la colección de estos elementos lineales se llama campo de dirección o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy/dx= ƒ(x,y). </li></ul>
  10. 10. <ul><li>En forma visual el campo de dirección indica la apariencia o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial y , en consecuencia, podría ser posible ver de un vistazo ciertos aspectos cualitativos de las soluciones, regiones de plano, etc… </li></ul>
  11. 11. INTERPRETACION GEOMETRICA <ul><li>Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresion algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable independiente, contamos con una interpretacion geometrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva de solucion . Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descito, la expresion de las pendientes en todos los puntoss donde tenga sentido la colucion se ajustarán a una función de las coordenadas del punto de estudio. </li></ul>
  12. 12. TRAYECTORIAS ORTOGONALES <ul><li>Son las curvas que se intersectan formando un angulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacion ƒ(x,y,y´)=0, la ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales a ella es otra familia de la forma: </li></ul><ul><li>F(x,y,1/y´)=0 </li></ul>
  13. 13. BIBLIOGRAFIAS <ul><li>VIRTUALES: </li></ul><ul><li>http:// www . cidse . itcr . ac . cr /cursos- linea / ecuacionesdiferenciales / edo - geo / edo -cap1- geo /node3. html </li></ul><ul><li>http://books.google.com.mx </li></ul><ul><li>LIBROS: </li></ul><ul><li>Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de Zill </li></ul><ul><li>Editorial Thomson </li></ul><ul><li>Séptima edición </li></ul>

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