TeoríA De NúMeros

Teoría de Números Prof. Marcel Ruiz “ Las matem áticas es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas’ F. Gauss

Teoría de Números

Números Perfectos

Números Abundantes

Números Deficientes (excesivos)

Números Amigables

Primos Gemelos

Conjetura de Golbach

Teorema de Fermat

Teoría de Números

Números Perfectos

Números Perfectos

Definición: Un número perfecto es un natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse el mismo.

Ejemplos de números perfectos

6, 28, 496, 8128, 33550336, ...

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Números Perfectos

Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula:

Números Perfectos

Euclides demostró que la fórmula genera una número perfecto par siempre que es primo

Números Perfectos

Los números perfectos equivalen a la mitad del producto entre un primo de Mersenne (M es primo si M + 1 es una potencia de 2) y el número que le sigue, es decir, una potencia de 2 con exponente n primo.

3 x 4 / 2 = 12 / 2 = 6

7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28

31 x 32 / 2 = 992 / 2 = 496

127 x 128 / 2 = 16256 / 2 = 8128

Números Perfectos

Los números perfectos también son números triangulares. Se puede observar que para los números perfectos el último de los sumandos es un primo de Mersenne.

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...+ 31 = 496

Números Perfectos

Problemas no resueltos

¿Hay algún numero perfecto impar?

¿Hay infinito números perfectos?

Números Perfectos

Problema:

Se entiende por número perfecto al número natural que coincide con la suma de todos sus divisores, excluido el mismo. Encuentra un número perfecto comprendido entre 20 y 30

Números Perfectos

Solución

El número es el 28

28 = 2 2 x 7, sus divisores son 1, 2, 4 7, 14 y 28

El número es perfecto ya que:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Teoría de Números

Números Abundantes

Números Abundantes

Definición: Un número n se llama abundante si es mayor que la suma de sus divisores (incluido el propio n ), es decir σ (n)>2n. El valor de σ (n)-2n es conocido como la abundancia de n

Teorema: cualquier múltiplo de un número abundante o perfecto es abundante, además un número abundante posee como mínimo tres factores primos .

Ejemplo:

40, 42, 48, 54, 56, 60, 66,...

Números Abundantes

Ejemplo

Consideremos el número 24. sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, la suma es igual a 60. 60 es mayor que 2(24), el número 24 es abundante, y su abundancia es 60 – 2(24) = 12

Números Abundantes

Problema:

¿ Cuántos números abundantes hay menores que 40?

Números Abundantes

Solución

12, 18, 20, 24, 30, 36

La suma de los factores de 12 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16; 16>12 por lo tanto 12 es abundante

La suma de los factores de 24 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36; 36>24 por lo tanto 24 es abundante

Teoría de Números

Números Deficientes

Números Deficientes (excesivos)

Definición: Un número deficiente es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo.

Todos los números primos son deficientes, y también sus potencias y los divisores propios de los números defectivos y perfectos.

Ejemplo: 8 es un número deficiente, ya que los divisores propios de 8 son: 1, 2, 4 por lo tanto 1 + 2 + 4 = 7 y 8 > 7

Teoría de Números

Números Amigables

Números Amigables

Definición: Dos números se llaman amigables si la suma de los divisores propios del primero da como resultado el segundo y al revés, si la suma de los divisores propios del segundo da como resultado el primero.

Números Amigables

Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

Donde n >1 es entero y p , q , y r son números primos, entonces

Son un par de números amigos

Números Amigables

Ejemplo:

220 y 284 son número amigables, esto se debe a que los divisores propios ( son todos los divisores excepto el mismo ) de 220 son:

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, la suma de estos números es 284 y

1, 2, 4, 71, 142 son los divisores propios de 284 y su suma es igual a 220

Números Amigables

Ejercicio

Analiza las siguientes parejas de números y determina cuales son amigables y cuales no

1,184 y 1,210

2,620 y 2,924

6,232 y 6,368

17,296 y 18,416

Números Amigables

Solución

Todos los números son amigables

Teoría de Números

Primos Gemelos

Números Primos Gemelos

Definición: Dos números primos ( p, q ) son gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si q = p + 2

Todos los números primos gemelos excepto (3, 5) son de la forma

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar.

Existe un número infinitos de primos de p tales que p + 2 también es primo.

Los primeros números primos son:

El par de primos gemelos más grande que se conoce hasta hoy (mayo 2007) es 1019, 1021 881, 883 857, 859 827, 829 821, 823 809, 811 659, 661 641, 643 617, 619 599, 601 569, 571 521, 523 461, 463 431, 433 419, 421 347, 349 311, 313 281, 283 269, 271 239, 241 227, 229 197, 199 191, 193 179, 181 149, 151 137, 139 107, 109 101, 103 71, 73 59, 61 41, 43 29, 31 17, 19 11, 13 5, 7 3, 5

Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si:

Problema

Encontrar todos los años primos gemelos del siglo XXI

Solución

Todo los años primos del siglo XXI son: 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099

Los primos gemelos del siglo XXI son

2027 y 2029

2081 y 2083

2087 y 2089

Teoría de Números

Definición: todo número mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos (se puede utilizar dos veces el mismo número primo)

Ejemplos:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 6

3 + 5 = 8

5 + 5 = 3 + 7 = 10

5 + 7 = 12

7 + 7 = 3 + 11 = 14

Otra conjetura, donde la afirmación es equivalente a la original es la siguiente:

Todo número entero mayor que cinco se puede escribir como suma de tres primos .(Escrita por Golbach a Euler)

Ejercicios

Escriba cada número par siguiente como la suma de dos números primos:

18

22

26

32

60

Solución

18 = 11 + 7

22 = 11 + 11; 17 + 5

26 = 21 + 5 ; 13 + 13, 23 + 3

32 = 21 + 11; 27 + 5

60 = 31 + 29; 43 + 17

Teoría de Números

Último teorema de Fermat

Último Teorema de Fermat

Definición: Si n es un número entero mayor que 2 (n > 2), entonces no existen números enteros x, y, z (excepto las soluciones triviales, como x = y = z = 0) tales que cumplan la igualdad:

Último Teorema de Fermat

Si n = 2, cumple con el teorema de Pitágoras

Euler dio la demostración para n = 3

Sophie Germain probó que para todos los números primos n menores que 100, si existe solución, algunos de los números x, y ó z tendría que ser múltiplo de n (Teorema de Sophie Germain)