Teoría de Números Prof. Marcel Ruiz “ Las matem áticas es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de ...
Teoría de Números  <ul><li>Números Perfectos </li></ul><ul><li>Números Abundantes </li></ul><ul><li>Números Deficientes (e...
Teoría de Números  <ul><li>Números Perfectos </li></ul>
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Números Perfectos <ul><li>Euclides  descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula: </li>...
Números Perfectos <ul><li>Euclides  demostró que la fórmula genera una número perfecto par siempre que  es primo </li></ul>
Números Perfectos <ul><li>Los números perfectos equivalen a la mitad del producto entre un primo de  Mersenne  (M es primo...
Números Perfectos <ul><li>Los números perfectos también son números triangulares. Se puede observar que para los números p...
Números Perfectos <ul><li>Problemas no resueltos  </li></ul><ul><ul><li>¿Hay algún numero perfecto impar? </li></ul></ul><...
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Teoría de Números  <ul><li>Números Abundantes </li></ul>
Números Abundantes <ul><li>Definición: Un número  n  se llama abundante si es mayor que la suma de sus divisores (incluido...
Números Abundantes <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Consideremos el número 24. sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24...
Números Abundantes <ul><li>Problema: </li></ul><ul><ul><li>¿ Cuántos números abundantes hay menores que 40? </li></ul></ul>
Números Abundantes <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>12, 18, 20, 24, 30, 36 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>La suma de...
Teoría de Números <ul><li>Números Deficientes </li></ul>
Números Deficientes (excesivos) <ul><li>Definición: Un número deficiente es un número natural que es mayor que la suma de ...
Teoría de Números <ul><li>Números Amigables </li></ul>
Números Amigables <ul><li>Definición: Dos números se llaman amigables si la suma de los divisores propios del primero da c...
Números Amigables <ul><li>Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se p...
Números Amigables <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>220 y 284 son número amigables, esto se debe a que los divisores prop...
Números Amigables <ul><li>Ejercicio </li></ul><ul><li>Analiza las siguientes parejas de números y determina cuales son ami...
Números Amigables <ul><li>Solución  </li></ul><ul><ul><li>Todos los números son amigables </li></ul></ul>
Teoría de Números  <ul><li>Primos Gemelos </li></ul>
Números Primos Gemelos <ul><li>Definición: Dos números primos ( p, q ) son gemelos si están separados por una distancia de...
Números Primos Gemelos <ul><li>Los primeros números primos son: </li></ul>El par de primos gemelos más grande que se conoc...
Números Primos Gemelos <ul><li>Se ha demostrado que el par  n, n + 2  es de números primos gemelos si y sólo si: </li></ul>
Números Primos Gemelos <ul><li>Problema </li></ul><ul><ul><li>Encontrar todos los años primos gemelos del siglo XXI </li><...
Números Primos Gemelos <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>Todo los años primos del siglo XXI son: 2003, 2011, 2017, 20...
Teoría de Números  <ul><li>Conjetura de Golbach </li></ul>
Conjetura de Golbach <ul><li>Definición: todo número mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos (se p...
Conjetura de Golbach <ul><li>Otra conjetura, donde la afirmación es equivalente a la original es la siguiente: </li></ul><...
Conjetura de Golbach <ul><li>Ejercicios </li></ul><ul><ul><li>Escriba cada número par siguiente como la suma de dos número...
Conjetura de Golbach <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>18 = 11 + 7 </li></ul></ul><ul><ul><li>22 = 11 + 11; 17 + 5 </...
Teoría de Números  <ul><li>Último teorema de Fermat </li></ul>
Último Teorema de Fermat <ul><li>Definición: Si n es un número entero mayor que 2 (n > 2), entonces no existen números ent...
Último Teorema de Fermat <ul><li>Si  n  = 2, cumple con el teorema de Pitágoras </li></ul><ul><li>Euler dio la demostració...
Teoría de Números <ul><li>Muchas Gracias </li></ul>
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TeoríA De NúMeros

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TeoríA De NúMeros

  1. 1. Teoría de Números Prof. Marcel Ruiz “ Las matem áticas es la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas’ F. Gauss
  2. 2. Teoría de Números <ul><li>Números Perfectos </li></ul><ul><li>Números Abundantes </li></ul><ul><li>Números Deficientes (excesivos) </li></ul><ul><li>Números Amigables </li></ul><ul><li>Primos Gemelos </li></ul><ul><li>Conjetura de Golbach </li></ul><ul><li>Teorema de Fermat </li></ul>
  3. 3. Teoría de Números <ul><li>Números Perfectos </li></ul>
  4. 4. Números Perfectos <ul><li>Definición: Un número perfecto es un natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse el mismo. </li></ul><ul><li>Ejemplos de números perfectos </li></ul><ul><ul><li>6, 28, 496, 8128, 33550336, ... </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>6 = 1 + 2 + 3 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 </li></ul></ul></ul>
  5. 5. Números Perfectos <ul><li>Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula: </li></ul>
  6. 6. Números Perfectos <ul><li>Euclides demostró que la fórmula genera una número perfecto par siempre que es primo </li></ul>
  7. 7. Números Perfectos <ul><li>Los números perfectos equivalen a la mitad del producto entre un primo de Mersenne (M es primo si M + 1 es una potencia de 2) y el número que le sigue, es decir, una potencia de 2 con exponente n primo. </li></ul><ul><li>3 x 4 / 2 = 12 / 2 = 6 </li></ul><ul><li>7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28 </li></ul><ul><li>31 x 32 / 2 = 992 / 2 = 496 </li></ul><ul><li>127 x 128 / 2 = 16256 / 2 = 8128 </li></ul>
  8. 8. Números Perfectos <ul><li>Los números perfectos también son números triangulares. Se puede observar que para los números perfectos el último de los sumandos es un primo de Mersenne. </li></ul><ul><ul><li>1 + 2 + 3 = 6 </li></ul></ul><ul><ul><li>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 </li></ul></ul><ul><ul><li>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...+ 31 = 496 </li></ul></ul>
  9. 9. Números Perfectos <ul><li>Problemas no resueltos </li></ul><ul><ul><li>¿Hay algún numero perfecto impar? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Hay infinito números perfectos? </li></ul></ul>
  10. 10. Números Perfectos <ul><li>Problema: </li></ul><ul><ul><li>Se entiende por número perfecto al número natural que coincide con la suma de todos sus divisores, excluido el mismo. Encuentra un número perfecto comprendido entre 20 y 30 </li></ul></ul>
  11. 11. Números Perfectos <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>El número es el 28 </li></ul></ul><ul><ul><li>28 = 2 2 x 7, sus divisores son 1, 2, 4 7, 14 y 28 </li></ul></ul><ul><ul><li>El número es perfecto ya que: </li></ul></ul><ul><ul><li>1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 </li></ul></ul>
  12. 12. Teoría de Números <ul><li>Números Abundantes </li></ul>
  13. 13. Números Abundantes <ul><li>Definición: Un número n se llama abundante si es mayor que la suma de sus divisores (incluido el propio n ), es decir σ (n)>2n. El valor de σ (n)-2n es conocido como la abundancia de n </li></ul><ul><li>Teorema: cualquier múltiplo de un número abundante o perfecto es abundante, además un número abundante posee como mínimo tres factores primos . </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>40, 42, 48, 54, 56, 60, 66,... </li></ul>
  14. 14. Números Abundantes <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Consideremos el número 24. sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, la suma es igual a 60. 60 es mayor que 2(24), el número 24 es abundante, y su abundancia es 60 – 2(24) = 12 </li></ul>
  15. 15. Números Abundantes <ul><li>Problema: </li></ul><ul><ul><li>¿ Cuántos números abundantes hay menores que 40? </li></ul></ul>
  16. 16. Números Abundantes <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>12, 18, 20, 24, 30, 36 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>La suma de los factores de 12 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16; 16>12 por lo tanto 12 es abundante </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>La suma de los factores de 18 es 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21; 21>18 por lo tanto 18 es abundante </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>La suma de los factores de 20 es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22; 22>20 por lo tanto 20 es abundante </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>La suma de los factores de 24 es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36; 36>24 por lo tanto 24 es abundante </li></ul></ul></ul>
  17. 17. Teoría de Números <ul><li>Números Deficientes </li></ul>
  18. 18. Números Deficientes (excesivos) <ul><li>Definición: Un número deficiente es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo. </li></ul><ul><li>Todos los números primos son deficientes, y también sus potencias y los divisores propios de los números defectivos y perfectos. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 8 es un número deficiente, ya que los divisores propios de 8 son: 1, 2, 4 por lo tanto 1 + 2 + 4 = 7 y 8 > 7 </li></ul>
  19. 19. Teoría de Números <ul><li>Números Amigables </li></ul>
  20. 20. Números Amigables <ul><li>Definición: Dos números se llaman amigables si la suma de los divisores propios del primero da como resultado el segundo y al revés, si la suma de los divisores propios del segundo da como resultado el primero. </li></ul>
  21. 21. Números Amigables <ul><li>Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si </li></ul><ul><li>Donde n >1 es entero y p , q , y r son números primos, entonces </li></ul><ul><li>Son un par de números amigos </li></ul>
  22. 22. Números Amigables <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>220 y 284 son número amigables, esto se debe a que los divisores propios ( son todos los divisores excepto el mismo ) de 220 son: </li></ul><ul><li>1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, la suma de estos números es 284 y </li></ul><ul><li>1, 2, 4, 71, 142 son los divisores propios de 284 y su suma es igual a 220 </li></ul>
  23. 23. Números Amigables <ul><li>Ejercicio </li></ul><ul><li>Analiza las siguientes parejas de números y determina cuales son amigables y cuales no </li></ul><ul><li>1,184 y 1,210 </li></ul><ul><li>2,620 y 2,924 </li></ul><ul><li>6,232 y 6,368 </li></ul><ul><li>17,296 y 18,416 </li></ul>
  24. 24. Números Amigables <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>Todos los números son amigables </li></ul></ul>
  25. 25. Teoría de Números <ul><li>Primos Gemelos </li></ul>
  26. 26. Números Primos Gemelos <ul><li>Definición: Dos números primos ( p, q ) son gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si q = p + 2 </li></ul><ul><li>Todos los números primos gemelos excepto (3, 5) son de la forma </li></ul><ul><li>La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar. </li></ul><ul><ul><li>Existe un número infinitos de primos de p tales que p + 2 también es primo. </li></ul></ul>
  27. 27. Números Primos Gemelos <ul><li>Los primeros números primos son: </li></ul>El par de primos gemelos más grande que se conoce hasta hoy (mayo 2007) es 1019, 1021 881, 883 857, 859 827, 829 821, 823 809, 811 659, 661 641, 643 617, 619 599, 601 569, 571 521, 523 461, 463 431, 433 419, 421 347, 349 311, 313 281, 283 269, 271 239, 241 227, 229 197, 199 191, 193 179, 181 149, 151 137, 139 107, 109 101, 103 71, 73 59, 61 41, 43 29, 31 17, 19 11, 13 5, 7 3, 5
  28. 28. Números Primos Gemelos <ul><li>Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si: </li></ul>
  29. 29. Números Primos Gemelos <ul><li>Problema </li></ul><ul><ul><li>Encontrar todos los años primos gemelos del siglo XXI </li></ul></ul>
  30. 30. Números Primos Gemelos <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>Todo los años primos del siglo XXI son: 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099 </li></ul></ul><ul><ul><li>Los primos gemelos del siglo XXI son </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>2027 y 2029 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>2081 y 2083 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>2087 y 2089 </li></ul></ul></ul>
  31. 31. Teoría de Números <ul><li>Conjetura de Golbach </li></ul>
  32. 32. Conjetura de Golbach <ul><li>Definición: todo número mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos (se puede utilizar dos veces el mismo número primo) </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>2 + 2 = 4 </li></ul><ul><li>3 + 3 = 6 </li></ul><ul><li>3 + 5 = 8 </li></ul><ul><li>5 + 5 = 3 + 7 = 10 </li></ul><ul><li>5 + 7 = 12 </li></ul><ul><li>7 + 7 = 3 + 11 = 14 </li></ul>
  33. 33. Conjetura de Golbach <ul><li>Otra conjetura, donde la afirmación es equivalente a la original es la siguiente: </li></ul><ul><ul><li>Todo número entero mayor que cinco se puede escribir como suma de tres primos .(Escrita por Golbach a Euler) </li></ul></ul>
  34. 34. Conjetura de Golbach <ul><li>Ejercicios </li></ul><ul><ul><li>Escriba cada número par siguiente como la suma de dos números primos: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>18 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>22 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>26 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>32 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>60 </li></ul></ul></ul>
  35. 35. Conjetura de Golbach <ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>18 = 11 + 7 </li></ul></ul><ul><ul><li>22 = 11 + 11; 17 + 5 </li></ul></ul><ul><ul><li>26 = 21 + 5 ; 13 + 13, 23 + 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>32 = 21 + 11; 27 + 5 </li></ul></ul><ul><ul><li>60 = 31 + 29; 43 + 17 </li></ul></ul>
  36. 36. Teoría de Números <ul><li>Último teorema de Fermat </li></ul>
  37. 37. Último Teorema de Fermat <ul><li>Definición: Si n es un número entero mayor que 2 (n > 2), entonces no existen números enteros x, y, z (excepto las soluciones triviales, como x = y = z = 0) tales que cumplan la igualdad: </li></ul>
  38. 38. Último Teorema de Fermat <ul><li>Si n = 2, cumple con el teorema de Pitágoras </li></ul><ul><li>Euler dio la demostración para n = 3 </li></ul><ul><li>Sophie Germain probó que para todos los números primos n menores que 100, si existe solución, algunos de los números x, y ó z tendría que ser múltiplo de n (Teorema de Sophie Germain) </li></ul><ul><li>Para n = 5, n = 14, los demostró Peter Gustav Lejeune – Dirichlet </li></ul><ul><li>Gabriel Lamé obtuvo la demostración para n = 7 </li></ul><ul><li>Finalmente el teorema de Fermat fue demostrado por Andrew Wiles (1993). </li></ul>
  39. 39. Teoría de Números <ul><li>Muchas Gracias </li></ul>

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