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  1. 1. An´ alise Matem´ atica II 1a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 1a Aula Pr´tica a Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos ´ . . . ”, e que so- c˜ e mando uma constante qualquer se obt´m outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas e c˜ propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintes exemplos: P cos x = sen x porque D sen x = cos x P 2 cos x = 2 sen x porque . . . P(cos x + ex ) = sen x + ex porque “a derivada da soma ´ . . . ” e 1 P cos 3x = · sen 3x porque D sen 3x = . . . 3 P 2x cos x2 = sen x2 porque . . . 1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex- c˜ press˜o: a a) x5 √ b) x + x √ 3 x x c) √ + x 4 2 1 1 d) 2 + √ x x x 1 e) cos2 x f) 2x 1 g) √ 4 − x2 1 h) 5 + x2 i) ex+3 j) (x2 + 1)3 k) 2x−1 1 l) √ 5 1 − 2x 2 m) tg x 2) Determine uma primitiva da fun¸ao: c˜ a) sen 2x b) e5x c) x sen x2 x d) 1 + x2 e) tg x 1/2
  2. 2. An´ alise Matem´ atica II 1a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 f) cotg x 1 g) sen2 3x 1 h) 3x − 7 i) tg 2x j) cotg(5x − 7) k) tg x sec2 x Obs. Note que a ideia da resolu¸ao ´ a mesma ideia que permitiu resolver 2.c) e at´ c˜ e e 2.b), 2.a), etc. Observe a regra geral: Se P f (x) = F (x) ent˜o P u f (u) = F (u) a l) cos3 x sen x √ m) x x2 + 1 cos x n) sen2 x ex o) 2 + ex x3 p) 8 x +1 q) sh(2x + 1) ch(2x + 1) 2 r) 3sen x sen 2x √ tg x s) √ x ex t) √ 1 − e2x u) tg3 x 2/2
  3. 3. An´ alise Matem´ atica II 2a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 2a Aula Pr´tica a 1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex- c˜ press˜o: a √ a) 3ex + x 2 1 4 b) 3 + √ x x x 1 c) cotg(2x) 4 2 d) xe−x cos(log x) e) x f) x sh x2 2) Determine primitivas das seguintes fun¸oes: c˜ 1 a) x−5 3 b) (x + 2)2 1 c) 2+4 x x d) x2 + 4 1 e) 2+x+1 x x f) x2 + x + 1 3) Determine primitivas das seguintes fun¸oes: c˜ a) sen2 x b) cos2 x c) cotg2 x d) sec x e) cosec x f) sen3 x g) cos3 x sen2 x 4) Determine primitivas das seguintes fun¸oes: c˜ a) xex b) log x c) ex sen x d) x2 sen x e) arctg x f) cos(log x) 1/1
  4. 4. An´ alise Matem´ atica II 3a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 3a Aula Pr´tica a 1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex- c˜ press˜o: a 1 a) x2 −1 3x + 1 b) x3 − x x4 c) 1−x x+1 d) x(x − 2)2 1 e) (x + 1)(x2 + 1) x+1 f) 5 + 4x3 x 1 g) 4 − x3 − x + 1 x 1 h) (x2 + 1)2 1 i) 4+1 x 1/1
  5. 5. alise Matem´ An´ atica II 4a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 4a Aula Pr´tica a 1) Calcule os seguintes integrais: 3 x a) dx 2 x2 − 25 4 x3 b) dx 2 x−1 e2 c) x log x dx e 2) Considere a fun¸ao F : R+ → R definida pela identidade: c˜ x t2 +1 e t F (x) = dt 1 t 1 a) Mostre que F ( x ) = −F (x), para todo x ∈ R+ . b) Mostre que F ´ diferenci´vel em R+ e calcule F (x) para todo x ∈ R+ . e a 3) Sendo F a fun¸ao definida em R pela seguinte express˜ calcule F (x) para todo x ∈ R. c˜ ao, 0 a) F (x) = sen2 t dt x x2 b) F (x) = log(1 + t2 ) dt x x ex+t c) F (x) = dt 0 t2 + 1 4) Dada uma fun¸ao cont´ c˜ ınua ϕ : R → R, mostre que a fun¸ao f : R → R definida pela c˜ express˜o a x f (x) = (x − t)ϕ(t) dt 0 ´ duas vezes diferenci´vel em R. e a 5) Calcule todas as primitivas da fun¸ao definida por ex em R {0}. c˜ 6) Calcule uma primitiva de: sen x a) (Recorra a substitui¸ao cos x = t.) ` c˜ (1 − cos x)3 1 b) sen x(1 − cos x)3 7) Mostre que existe uma (e uma s´ fun¸ao f : R → R que verifica as seguintes condi¸oes: o) c˜ c˜ ⎧ ex ⎪f (x) = ⎪ para todo x ∈ R ⎨ (ex + 1)2 ⎪f (0) = 0 ⎪ ⎩ f (1) = 1 1/2
  6. 6. An´ atica II alise Matem´ 4a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 8) Calcule os seguintes integrais: 8 dx a) √ 1 x x+1 1 √ 4 − x2 b) dx (Sugest˜ substitui¸ao x = 1/t) ao: c˜ 1/2 x4 1/2 dx c) √ (x = sen2 t) 1/4 x − x2 2 e2x + 2e3x d) dx 1 1 − ex π/2 sen x e) dx (cotg x = t) π/4 sen x + cos x 2/2
  7. 7. An´ atica II alise Matem´ 5a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 5a Aula Pr´tica a 1) Determine a area da regi˜ compreendida entre o eixo dos xx e o gr´ ´ ao afico da fun¸ao c˜ f (x) = (x + 2)−2 , x ∈ [0, 2] . 2) Determine a area delimitada pelas curvas ´ y = x , y = sen x , x = π/2 . 3) Determine a area do conjunto de todos os pontos (x, y) que verificam as condi¸oes: ´ c˜ x2 + y 2 ≤ 10 |x| + |y | ≥ 4 4) Calcule a ´ area e o comprimento do bordo da regi˜ plana delimitada pelas linhas de ao equa¸oes y = x + 1 e y = (x − 1)2 . c˜ 5) Calcule a area da regi˜ delimitada pelo gr´ ´ ao afico de y = log x e pela recta que o intersecta nos pontos de abcissa 1 e e. Calcule o comprimento da linha que delimita esta regi˜o.a 6) Calcule a area da regi˜ delimitada pelos gr´ ´ ao aficos das fun¸oes f e g definidas em R por: c˜ f (x) = 3x3 − x2 − 10x g(x) = −x2 + 2x 7) Calcule a area da regi˜ delimitada pelas curvas de equa¸ao x = 3 − y 2 e x = y + 1. ´ ao c˜ 8) Considere a fun¸ao f : R → R definida por: c˜ cos x (x ≤ 0) f (x) = ex (x > 0) a) Determine todas as primitivas de f em R. b) Determine todas as primitivas de f em R {0}. c) Determine a primitiva F de f em R {0} tal que F (1) = F (−π) = 0. 3 + cos x x 9) Calcule uma primitiva de , recorrendo a substitui¸ao tg = t. ` c˜ 1 + sen x 2 2x 10) Calcule uma primitiva de . 4x − 1 1/1
  8. 8. An´ atica II alise Matem´ 6a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 6a Aula Pr´tica a 1) Calcule o volume do elipsoide gerado pela rota¸ao, em torno da recta y = 0, da regi˜ c˜ ao do plano delimitada pela elipse de equa¸ao c˜ 2 2 x y + =1, a b onde a e b s˜o maiores que zero. a 2) Calcule o volume do s´ olido gerado pela rota¸ao, em torno do eixo indicado, da regi˜ do c˜ ao plano delimitada pelas curvas dadas. a) y = x2 , y = 4 , x = 0 (s´ no primeiro quadrante); eixo dos yy o b) y = 1/x , y = 0 , x = 0, 1 , x = 1; eixo dos xx c) y = x2 , x = y 2 ; eixo dos xx 3) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = ( c˜ 1 − x2 − y 2 )−1 no dom´ ınio D desta express˜o. a a) Determine o dom´ ınio D e represente-o geometricamente. Diga se ´ um conjunto e limitado, e justifique. b) Verifique se a fun¸ao g ´ limitada. c˜ e c) Identifique as linhas de n´ ıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule o c˜ contradom´ınio de g. d) Mostre que o conjunto D ´ aberto. e ∂g ∂g e) Determine ∂x e ∂y para (x, y) ∈ D. 4) Calcule as derivadas parciais, para cada ponto (x, y) ∈ R2 , da fun¸ao g definida por c˜ x2 y 2 g(x, y) = e−t dt . 1 5) Calcule as derivadas parciais, nos pontos em que existam, da fun¸ao f : R2 → R definida c˜ por: a) ⎧ x+y ⎨ se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) b) ⎧ ⎨x 3x2 + y 2 se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) 1/1
  9. 9. An´ atica II alise Matem´ 7a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 7a Aula Pr´tica a 1) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = log |y − x2 | no dom´ c˜ ınio D desta express˜o. a a) Determine o dom´ ınio D e represente-o geometricamente. Diga se ´ um conjunto e limitado, e justifique. b) Verifique se a fun¸ao g ´ limitada. c˜ e c) Identifique as linhas de n´ ıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule o c˜ contradom´ınio de g. d) Mostre que o conjunto D ´ aberto. e ∂g ∂g e) Determine ∂x e ∂y para (x, y) ∈ D. 2) Considere a fun¸ao f definida por c˜ 1 f (x, y) = x2 − y2 no conjunto D em que a express˜o do 2o membro faz sentido. a a) Determine e represente graficamente o dom´ ınio de f . b) Determine as linhas de n´ de f e esboce-as graficamente. ıvel c) Determine o contradom´ ınio de f . ∂f ∂f d) Determine ∂x e ∂y no ponto (1, 0). 3) Considere o subconjunto de R2 definido por: D = (x, y) : xy > 1 a) Represente-o graficamente e diga se ´ aberto, fechado ou limitado. Identifique a sua e fronteira. b) Dˆ um exemplo de uma sucess˜ de termos em D que convirja para um ponto n˜ e ao ao pertencente a D. 4) Considere a fun¸ao f : D → R definida por: c˜ D = (x, y) : xy > 0 f (x, y) = x log(xy) a) Interprete geometricamente o dom´ ınio D e determine o seu interior, exterior e fron- teira. Diga se D ´ aberto, fechado, limitado. (Justifique a resposta.) e b) A fun¸ao f ´ cont´ c˜ e ınua no seu dom´ ınio? Justifique a resposta. c) Mostre que para qualquer semi-recta S com origem no ponto (0, 0) e contida em D o limite lim f (x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)∈S existe e n˜o depende de S. a 1/2
  10. 10. An´ atica II alise Matem´ 7a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 2 d) Sendo E = (x, y) ∈ R2 : y = e−1/x , calcule, se existir, o limite: lim f (x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)∈E e) Existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y)? Justifique a resposta. 1+ (x − 1)(x − 2) 5) Calcule uma primitiva de . x 2/2
  11. 11. An´ atica II alise Matem´ 8a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 8a Aula Pr´tica a 1) Considere a fun¸˜o f : D → R definida por ca 1 f (x, y) = √ , xy − 1 onde D = {(x, y) : xy > 1). a) Interprete geometricamente o dom´ ınio. b) Justifique que f ´ cont´ e ınua em D. c) Existe algum ponto fronteiro a D ao qual f seja prolong´vel por continuidade? a d) Indique o contradom´ ınio de f . 2) Estude quanto a continuidade a fun¸ao f : R2 → R definida por: ` c˜ ⎧ ⎪x2 se x2 + y 2 < 2y ⎨ f (x, y) = |x| se x2 + y 2 = 2y ⎪ 2 ⎩ y se x2 + y 2 > 2y 3) Seja f : R2 {(0, 0)} → R a fun¸ao dada por: c˜ x2 − y 2 f (x, y) = 1 + x2 + y 2 Calcule, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f (x, y). 4) Repita o exerc´ anterior, com a fun¸˜o ıcio ca x2 − y 2 f (x, y) = 1 + xy · . x2 + y 2 5) Considere a fun¸˜o f : R2 → R dada por: ca ⎧ x+y ⎨ se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) Estude a fun¸ao f quanto a continuidade. c˜ ` 6) Considere a fun¸ao f : R2 → R dada por: c˜ ⎧ ⎪ x 3x2 + y 2 ⎨ se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 ⎪ ⎩0 se (x, y) = (0, 0) Estude a fun¸ao f quanto a continuidade. c˜ ` 1/2
  12. 12. An´ alise Matem´ atica II 8a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 7) Verifique se a fun¸ao f : R2 {(0, 0)} → R definida pela express˜ c˜ ao xy 2 f (x, y) = x2 + y 4 ´ prolong´vel por continuidade ao ponto (0, 0). e a 8) Calcule (ou mostre que n˜o existe) cada um dos seguintes limites: a sen x − sen y a) lim (x,y)→(0,0) x − 2y y2 b) lim (z + 1) sen 3x (x,y,z)→(0,1,1) x 2/2
  13. 13. An´ atica II alise Matem´ 9a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 9a Aula Pr´tica a Nota¸˜o: fv (u) ´ a derivada da fun¸ao f no ponto u, segundo o vector v. ca e c˜ Quanto a defini¸ao de diferenciabilidade: “f ´ diferenci´ ` c˜ e avel em (a, b)” ´ equivalente a: e r1 (x, y) lim =0 (x,y)→(a,b) (x, y) − (a, b) com r1 (x, y) = f (x, y) − f (a, b) + α(x − a) + β(y − b) , ∂f ∂f onde α = (a, b) e β = (a, b). ∂x ∂y 1) Calcule, se existirem, os seguintes limites: sen(x + y) a) lim (x,y)→(0,0) x+y 1 − b) lim e x2 +y 2 +z 2 (x,y,z)→(0,0,0) x2 − 2x − y 2 + 4y − 3 c) lim 1+ (x,y)→(1,2) (x − 1)2 + (y − 2)2 2) Considere a fun¸ao f : D → R2 definida pela express˜ c˜ ao x f (x, y) = log(4 − x2 − y 2 ), x2 + y 2 ınio D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 < 4}. no dom´ a) Represente geometricamente o conjunto D, e diga se ´ aberto, fechado ou limitado. e b) Mostre que f n˜ ´ prolong´ ao e avel por continuidade a nenhum ponto fronteiro a D. 3) Considere a fun¸ao f : R2 → R dada por: c˜ ⎧ 2 ⎨(x2 + y 2 ) sen x se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ınua em R2 . a) Mostre que f ´ cont´ e b) Calcule as derivadas parciais na origem. 4) Seja f : R2 → R a fun¸ao definida por: c˜ x2 + y 2 se x + y > 0 f (x, y) = x+y se x + y ≤ 0 a) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f no ponto (0, 0). b) Determine, se existirem, as derivadas de f segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e (1, −1). 1/2
  14. 14. An´ alise Matem´ atica II 9a Aula Pr´ atica 1o Semestre 2004/2005 5) Considere a fun¸ao f : R2 → R definida por c˜ f (x, y) = x sen y . Verifique se a fun¸ao ´ diferenci´ c˜ e avel no ponto (1,0), recorrendo a defini¸ao de diferenci- ` c˜ abilidade. 6) Estude a fun¸ao f definida em R3 {(0, 0, 0)} pela express˜ c˜ ao 2 +y 2 +z 2 ) f (x, y, z) = e−1/(x quanto a diferenciabilidade, e calcule as suas derivadas parciais. ` 2/2
  15. 15. An´ alise Matem´ atica II 10a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 10a Aula Pr´tica a Nota¸˜o: Matriz jacobiana de f no ponto u: (J f )(u) ou (J f )u . ca 1) Seja g a fun¸ao definida em R2 por: c˜ x+y se xy > 0 g(x, y) = 0 se xy ≤ 0 ∂g ∂g a) Calcule ∂x (0, 0) e ∂y (0, 0). b) Calcule g(1,1) (0, 0). Que pode concluir quanto a diferenciabilidade de g no ponto ` (0, 0)? 2) Seja f a fun¸ao definida em R2 por: c˜ ⎧ 3 ⎨ x se (x, y) = (0, 0) g(x, y) = x2 + y 2 ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) a) Mostre que f ´ cont´ e ınua em todo o seu dom´ ınio. b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0). ` 3) Prove que a fun¸ao f : R2 → R definida por c˜ ⎧ ⎨xy sen 1 2 + y2 se (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ´ diferenci´ e avel. Mostre que as derivadas parciais n˜ s˜ cont´ ao ao ınuas na origem. 4) Seja F : D → R2 a fun¸ao definida por c˜ xy y2 − x F (x, y) = , , 1 − x2 − y 2 x no dom´ ınio de existˆncia desta express˜o. e a a) Represente geometricamente o dom´ ınio D. b) Determine o dom´ ınio de diferenciabilidade de F . c) Calcule F(1,1) (1, 2). 5) Considere a fun¸ao g : R3 → R3 definida por: c˜ g1 (u, v, w) = eu cos v cos w g2 (u, v, w) = eu cos v sen w g3 (u, v, w) = eu sen v a) Determine o dom´ ınio de diferenciabilidade de g e defina a derivada g (0, 0, 0). 1/2
  16. 16. An´ alise Matem´ atica II 10a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 b) Sendo f uma fun¸ao de R3 em R2 , diferenci´ c˜ avel no ponto (1, 0, 0), mostre que f ◦ g ´ diferenci´vel em (0, 0, 0) e determine (f ◦ g) (0, 0, 0), sabendo que: e a ∂f (1, 0, 0) = (1, 2) ∂x ∂f (1, 0, 0) = (−1, 0) ∂y ∂f (1, 0, 0) = (−1, 3) ∂z 2/2
  17. 17. An´ alise Matem´ atica II 11a Aula Pr´ atica 2o Semestre 2004/2005 11a Aula Pr´tica a 1) Determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´ c˜ afico da fun¸ao f (x, y) = 3x2 − y 2 no ponto c˜ correspondente a (5, 2). Determine as equa¸oes da recta normal a esse plano no mesmo c˜ ponto. 2) Determine as equa¸oes das rectas tangente e normal a curva de equa¸ao x+y −log xy = e c˜ ` c˜ no ponto (x, y) = (1, e). 3) Determine a equa¸ao do plano que ´ tangente ao parabol´ c˜ e oide de equa¸ao z = 2x2 + 3y 2 c˜ e que ´ paralelo ao plano de equa¸ao 4x − 6y − z = 10. e c˜ 4) Para cada um dos seguintes casos, determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´ c˜ afico da fun¸ao f no ponto correspondente ao ponto P do dom´ c˜ ınio de f . Sendo p o polin´ omio cujo gr´fico ´ esse plano, compare o erro que se comete ao aproximar f (Q) por p(Q) com a e a distˆncia entre P e Q. a 1 a) f (x, y) = , P = (4, 3), Q = (3.92, 3.01) x2 + y2 b) f (x, y) = x0.5 y 0.3 , P = (1, 1), Q = (1.05, 0.97) c) f (x, y) = x sen x, P = (0, 0), Q = (0.003, 0, 004) d) f (x, y) = log(xy), P = (1, 2), Q = (1.01, 2.02) 5) Sejam ϕ : R3 → R2 uma fun¸ao diferenci´ c˜ avel em R3 e ψ : R2 → R a fun¸ao definida por c˜ ψ(u, v) = arctg(u2 + v) . Calcule (ψ ◦ ϕ) (0, 0, 0), sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2) e que as coordenadas da derivada de ϕ no ponto (0, 0, 0) s˜ as fun¸oes dadas por: ao c˜ L1 (x, y, z) = 2x + 3y + z L2 (x, y, z) = x − y + z 6) Considere a fun¸ao f definida por c˜ z(x − y)2 f (x, y, z) = (x − y)4 + z 2 no dom´ ınio de existˆncia desta express˜o. e a a) Determine todos os limites (na origem) segundo rectas. b) Mostre que a fun¸ao n˜ tem limite na origem. c˜ ao 7) Considere a fun¸ao F : R3 → R definida por c˜ F (x, y, z) = G(x2 − y 2 , y 2 − z 2 ) , e c˜ avel em R2 . onde G ´ uma fun¸ao real diferenci´ Indique em que pontos F ´ diferenci´vel e mostre que e a yzFx (x, y, z ) + xzFy (x, y, z ) + xyFz (x, y, z ) = 0 para qualquer (x, y, z) ∈ R3 . 1/1

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