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libro CONCRETO (cuevas) Document Transcript

  • 1. Aspectos fundamentalesdel concreto reforzado
  • 2. Aspectos fundamentalesdel concreto reforzado CUARTA EDICIÓN Óscar M. González Cuevas Francisco Robles Fernández-Villegas t Profesores de la Universidad Autónoma Metropolitana (Azcapotzalco) E! LlMusA NORIEGA EDITORES MÉXICO España Venezuela Colombia
  • 3. González, Ó s c a r Aspectos fundamentales de con~reto reforzado I Óscar M. G o n z á l e zCuevas. -- 4a. ed. -- M é x i c o : Limusa, 2005.8 0 2 p. : il. ; 2 0 c m . ISBN: 9 6 8 - 18- 6446- 8.Rústica. 1.Concreto armado - Construcciones 2. Concreto preesforzado - Construccionesl. R o b l e s Fernández-Villegas, Francisco, coaut.LC: T A 6 8 1 D e w e y : 624.1771 - dc21 LA PRESENTACl6NY DISPOSIC16N EN CONJUNTO DE ASPECTOS FUNDAMENTALESD E L C O N C R E T O REFORZADO SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O M~TODO, ELECTRÓNICO O MECANICO (INCLUYENW EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACI~N ALMACENAMIENTODE INFORMACI~N), SIN Y CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. Q 2005,E D I T O R I A L LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO N O R I E G A EDITORES BALDERASMÉXICO, 95, D.F. C.P. 06040 m (5)51 -300-700 O (800)7-06-91-00 1 @ (5)5 2-29-03 * 1 limusa@nonega.com.mx wv*noriega.com.rnx CUARTA EDICI~N HECHO EN MÉXICO ISBN 968-18-6446-8 @
  • 4. PrólogoEn 1974 se publicó la primera edición de este libro, con el propósito de mostrar al lector cómo pueden estable-cerse procedimientos de diseño de miembros de concreto reforzado a partir de información fundamental obteni-da por medio de experimentos y experiencias, utilizando conocimientos básicos de mecánica. El libro se originó a partir de una serie de fascículos preparados por los autores de esta edición, con los doc-tores Roger Díaz de Cossío y Juan Casillas G. de L. S contó con el patrocinio del Instituto Mexicano del Cemento ey del Concreto, y fueron publicados por este organismo. Posteriormente, los cuatro autores revisaron y actualiza-ron el material en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México y suscribieron laprimera edición como libro en el año de 1974. Numerosos profesores de la asignatura de Concreto Reforzado, o equivalentes en las escuelas de ingenieríade habla hispana, hicieron llegar a los autores comentarios favorables sobre el libro, así como valiosas observa-ciones para mejorar su contenido. Animados por esto, los autores prepararon una segunda edición en la que seincluyeron los avances de la tecnología del concreto reforzado y en la que se incorporaron, en lo posible, las ob-servaciones recibidas. La segunda edición se publicó en el año de 1985. Por motivo de sus actividades profesionales, los doctores Roger Díaz de Cossío y Juan Casillas G. de L. yano participaron en la elaboración de la segunda edición. Sin embargo, se reconoció ampliamente su intervenciónen la concepción del material original y en la preparación de los fascículos iniciales y de la primera edición. Esmás, el Dr. Casillas revisó una buena parte del material, incluyendo varios de los ejemplos, y aportó valiosos co-mentarios sobre el texto. En el año de 1990, los autores estimaron que era conveniente preparar una nueva edición del libro. En eltexto se utilizan con frecuencia las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructu-ras de Concreto del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal y el Reglamento del American ConcreteInstitute. Ambos reglamentos habían cambiado después de la publicación de la segunda edición, el primero deellos con cambios importantes derivados de las experiencias obtenidas a partir de los sismos que ocurrieron enla Ciudad de México en septiembre de 1985. En 1994 salió a luz la tercera edición. El American Concrete lnstitute publicó nuevas ediciones de su reglamento en los años de 1999 y de 2002,o sea, posteriores a la tercera edición del libro, y desde hace varios años se había venido trabajando en una nue-va edición del Reglamento del D.F. y sus Normas Técnicas Complementarias, los cuales se publicaron durante2004. Los cambios en estos reglamentos y los constantes avances en la tecnología del concreto reforzado hicie-ron recomendable la preparación de esta cuarta edición, con el fin de mantener actualizado el texto. Las modifi-caciones principales que se han hecho desde la primera edición pueden clasificarse en los cuatro grupossiguientes: a) se han adaptado el texto y los ejemplos a los nuevos reglamentos de construcciones; b) se ha intro-ducido el sistema internacional de medidas SI, además del sistema usual MKS; c) se han estado incorporandoavances recientes en la tecnología del concreto reforzado tratando de reflejar los resultados de las investigacio-nes más importantes sobre el tema; d) se ha tomado en cuenta el importante papel de las microcomputadoras en la práctica del diseño de estructuras de concreto. Los cambios que han tenido los reglamentos de construcciones son de distinta índole. Van desde pequeñasmodificaciones derivadas de la experiencia o de investigaciones recientes hasta variaciones importantes en el en-foque de los problemas. Aunque el texto hace énfasis en aspectos fundamentales, de carácter permanente, se ha tratado de reflejar el estado actual de los reglamentos. Parece ser que el sistema de unidades que predomina en la práctica de la ingeniería en casi todos los paí- ses que han usado tradicionalmente el sistema métrico decimal es el metro-kilogramo-segundo (MKS) o Sistema de Ingeniería, por lo cual se conserva en este texto. Sin embargo, la globalización de la tecnología será una fuerza
  • 5. 6 Prólogoimportante para que en un futuro se tiendan a unificar los distintos sistemas de unidades usados actualmente y elsistema SI irá creciendo en popularidad. Por otra parte, las principales revistas técnicas de carácter internacionalincluyen ya el sistema SI en sus artículos, ya sea en forma exclusiva o simultáneamente con el sistema usado tra-dicionalmente, y muchos libros de texto de asignaturas previas a la de Concreto Reforzado, como los de Estáticao los de Mecánica de Materiales, están presentados en sistema SI. Debido a estas consideraciones, se ha juzgadoconveniente incluir ambos sistemas. En el texto aparecen muchas ecuaciones no adimensionales cuyos coeficien-tes cambian al ser traducidas al sistema SI. Para distinguir claramente estas ecuaciones, se han identificado conel mismo número de las ecuaciones en sistema MKS seguido de las letras SI. Aquellas que están en sistema SI apa-recen sombreadas para distinguirlas claramente. El lector deberá observar que en todas las ecuaciones no adi-mensionales, excepto si se establece expresamente de otra manera, los esfuerzos están en kg/cm2 cuando se usael sistema MKS y en N/mm2 cuando se usa el sistema SI. En el Apéndice E se incluye una tabla de equivalenciasentre los dos sistemas. La investigación en el campo del concreto reforzado es abundante a nivel internacional. Regularmente sepresentan los resultados de nuevos estudios sobre este material de construcción. Se ha seleccionado e incorpora-do un buen número de estas investigaciones, procurando su integración al contenido general de la obra y al man-tenimiento de su propósito didáctico. La gran disponibilidad de herramientas de cómputo electrónico, principalmente microcomputadoras, haceconveniente revisar algunos procedimientos de cálculo. Algunos métodos de análisis numérico por tanteos o poraproximaciones sucesivas que resultaban convenientes con calculadoras convencionales, se ven ahora superadospor métodos que se basan en la resolución de ecuaciones o de sistemas de ecuaciones por complicados que sean,ya que pueden programarse una sola vez y resolverse velozmente con computadoras electrónicas. El libro está dirigido a dos tipos de lectores: estudiantes de las carreras de ingeniería y arquitectura, que lopueden utilizar como libro de texto, y profesionales de las mismas carreras, que lo pueden emplear como librode consulta. Para los primeros, se incluyen ejemplos resueltos y se proponen ejercicios para que los resuelvan.Los ejemplos resueltos están presentados en forma semejante a como aparecerían en las hojas de cálculo usadascomúnmente en las oficinas de diseño estructural, aunque con más detalle para mayor claridad. Dentro del tex-to se hacen comentarios a los aspectos más importantes del procedimiento de cálculo. Los profesionales podrán encontrar en el libro el origen de disposiciones reglamentarias recientes, así comoexplicaciones sobre su significado y la manera de utilizarlas. La bibliografía que acompaña cada capítulo les pue-de ayudar para estudiar con más detalle algún aspecto particular del diseño o para resolver problemas más com-plejos que los aquí tratados. Numerosos alumnos han hecho llegar a los autores comentarios favorables sobre el libro en sus edicionesanteriores. Ésta ha sido nuestra mejor recompensa y lo que nos ha impulsado a mantenerlo actualizado. Tambiénse han recibido críticas constructivas y observaciones de varios profesores entre los que se desea mencionar demanera especial a Santiago Loera, quien ha revisado las ediciones anteriores con gran meticulosidad y ha hechoaclaraciones importantes a quien suscribe sobre las disposiciones de las Normas Técnicas Complementarias, aCarlos JavierMendoza y a JoséMaría Riobóo. JesúsCano Licona y Alejandro Grande Vega, ayudantes de profesor del primer autor, participaron de mane-ra importante en la elaboración de los diagramas de interacción que se incluyen en el Apéndice C. La Universi-dad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, institución en la cual colaboró durante varios años el Ing. FranciscoRobles y continúa prestando sus servicios quien suscribe, ha brindado todo el apoyo necesario para la elabora-ción de las tres últimas ediciones. La Editorial LIMUSA ha hecho un trabajo muy profesional en la producción ydistribución de las ediciones anteriores y seguramente lo hará con la presente edición. A todas estas personas e instituciones, nuestro reconocimiento. El Ing. Francisco Robles falleció en 1990 cuando iniciábamos los trabajos de preparación de la tercera edi-ción, por lo que los cambios incluidos en la tercera y en la cuarta edición, respecto a la segunda, son responsa-bilidad exclusiva de quien suscribe este prólogo. Como en otras ocasiones, sea este libro un homenaje a nuestro inolvidable amigo y compañero. Óscar M. González Cuevas Azcapotzalco, D.F., marzo de 2005
  • 6. ContenidoCAP/TULO 1 LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO 13 1.1 El diseño estructural 1.2 Las estructuras de concreto 1.3 Características acción-respuesta de elementos de concreto 1.4 Las acciones 1.5 El análisis de estructuras de concreto reforzado 1.6 El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado 1.7 Diseño por estados límiteCAP~TULO 2 CARACTER(STICASGENERALES DEL CONCRETO Y DEL ACERO 31 2.1 Introducción 2.2 Características esfuerzo-deformación del concreto simple 2.3 Efectos del tiempo en el concreto endurecido 2.4 Fatiga 2.5 Módulos elásticos 2.6 Deformaciones por cambios de temperatura 2.7 Algunas características de los aceros de refuerzoCAP~TULO 3 (NDICESDE RESISTENCIA Y CONTROL DE CALIDAD 53 3.1 Introducción 3.2 índices de resistencia 3.3 Evaluación de datos 3.4 Control de calidadCAP~TULO 4 ELEMENTOS SUJETOS A CARGA AXIAL 65 4.1 Introducción 65 4.2 Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial 65 4.3 Elementos sujetos a tensión axial 70 4.4 Ejemplos de cálculos de resistencia de columnas cortas bajo carga axial 70 5.1 Introducción 5.2 Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a flexión simple
  • 7. 8 Contenido 5.3 Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 5.4 Determinación de la relación balanceada 5.5 Flexión asimétrica 5.6 Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis simplificadoras para cálculos de resistenciasCAP~TULO 6 F L E X I ~ NY CARGA AXlAL 6.1 Introducción 6.2 Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a flexocompresión 6.3 Cálculo de resistencia 6.4 Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano cualquiera 6.5 Elementos sin planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano culaquiera 6.6 FlexotensiónCAP~TULO 7 ELEMENTOS SUJETOS A FUERZA CORTANTE 7.1 Introducción 7.2 Comportamiento y modos de falla 7.3 Mecanismos de falla por cortante 7.4 Efectos de las variables en la carga de agrietamiento 7.5 Efectos de las variables sobre la resistencia 7.6 Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 7.7 EjemplosCAP~TULO 8 RESISTENCIA DE ELEMENTOS SUJETOS A T O R S I ~ N Introducción Sistemas estructurales con efectos importantes de torsión Torsión simple Torsión y flexión Torsión y cortante Superficies de interacción torsión-flexión-cortante Torsión y carga axial Expresiones de los reglamentos para valuar la resistencia a efectos de torsión EjemplosCAP~TULO 9 ADHERENCIA Y ANCLAJE 9.1 Introducción 9.2 Adherencia en anclaje 9.3 Adherencia en flexión
  • 8. Contenido 9 Naturaleza de la adherencia Estudios experimentales de adherencia. Longitudes de anclaje o desarrollo Normas para longitudes de desarrollo Ganchos estándar Desarrollo del acero positivo en los apoyos libres de vigas y en los puntos de inflexión Desarrollo del acero negativo en vigas empotradas y en vigas continuas Empalme de barras Corte y doblado de barras Anclaje del refuerzo transversal EjemplosCAP~TULO 10 AGRIETAMIENTO Introducción Formación y desarrollo de grietas Mecanismos de agrietamiento Expresiones para la predicción de agrietamiento Agrietamiento en losas Anchos permisibles de grietas Sección transformada Recomendaciones sobre agrietamiento de diversos reglamentos EjemplosCAP~TULO 11 DEFLEXIONES 11.1 Introducción 11.2 Deflexiones bajo cargas de servicio de corta duración 11.3 Deflexiones bajo cargas de servicio de larga duración (deflexiones diferidas) 11.4 Deflexiones permisibles 11.5 Ejemplos de cálculos de deflexionesCAP~TULO 12 MÉNSULAS Y VIGAS DE GRAN REMATE 12.1 Introducción 12.2 Ménsulas 12.3 Vigas de gran peralteCAP~TULO 13 EFECTOS DE ESBELTEZ 13.1 Introducción 13.2 Comportamiento y variables principales
  • 9. 10 Contenido 13.3 Métodos de dimensionamiento 13.4 Cálculo de los efectos de esbeltez 13.5 EjemplosCAP~TULO 14 DlMENSlONAMlENTO D VIGAS E 14.1 El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado 14.2 Recomendaciones generales para el dimensionamiento de vigas 14.3 Dimensionamiento de secciones sujetas a flexión 14.4 Dimensionamiento de vigasCAP~TULO 15 DlMENSlONAMlENTO D COLUMNAS E 15.1 Introducción 15.2 Recomendaciones para el dimensionamiento de columnas 15.3 Ayudas de diseño para el dimensionamiento de columnas 15.4 EjemplosCAP~TULO 16 LOSAS EN UNA DIRECCI~N 16.1 Introducción 16.2 Comportamiento y dimensionamiento 16.3 Ejemplo de diseño de una losa con carga uniformemente distribuida 16.4 Cargas concentradas 16.5 Ejemplo de diseño de una losa con carga distribuida y carga concentradaCAP~TULO 17 LOSAS APOYADAS PERIMETRALMENTE 17.1 Introducción 1 7.2 Comportamiento y modos de falla 17.3 Análisis de losas 17.4 Dimensionamiento de losas apoyadas perimetralmente 1 7.5 Ejemplo de diseñoCAP~TULO 18 LONAS PLANAS 18.1 Introducción y definiciones 18.2 Comportamiento y dimensionamiento 18.3 Ejemplo de dimensionamiento por el método de la estructura equivalente (NTC-04)
  • 10. Contenido 11CAP~TULO 19 MÉTODO GENERALIZADO PARA EL DISEÑO LOSAS APOYADAS DE PERIMETRALMENTE Y DE LOSAS PLANAS 19.1 Introducción 19.2 Comportamiento de sistemas de piso. Variables principales 19.3 Método directo 19.4 Ejemplo de diseño con el método directo 19.5 Método de la estructura equivalente 19.6 Ejemplo de diseño con el método de la estructura equivalente 19.7 Comentarios sobre el método de la estructura equivalenteCAP~TULO 20 ASPECTOS PARTICULARES DEL DETALLADO DEL REFUERZO 20.1 Introducción 20.2 Cambios de dirección de las fuerzas internas 20.3 Detalles de esquina 20.4 Detalles especiales en estructuras expuestas a acciones sísmicas 20.5 Ejemplos
  • 11. debe satisfacer una estructura para conside- rar que su comportamiento sea satisfactorio CAP~TUO L 1 en condiciones de servicio? iQué es un cos- to aceptable? iQué vida útil debe preverse? iEs estéticamente aceptable la estructura? Éstas son algunas de las preguntas que el proyectista tiene en mente al diseñar una Las estructuras estructura. El problema no es sencillo y en de concreto su solución usa su intuición y experiencia, basándose en el análisis y en la experimen- tación. Si los problemas de diseño se contem- 1.1 El diseño estructural. 11.2 Las estructu- plan en toda su complejidad, puede afirmar- ras de concreto. 11.3 Características acción-respuesta de elementos de concre- se que no suelen tener solución única, sino to. 11.4 Las acciones. 11.5 El análisis de es- solución razonable. En efecto, la labor del tructuras de concreto reforzado. 11.6 El ingeniero proyectista tiene algo de arte. In- dimensionamiento de elementos de con- dudablemente, el ingeniero debe aprovechar creto reforzado. 11.7 Diseño por estados el cúmulo de información y metodología límite. científica disponible, pero además tiene que tomar en cuenta otros factores que están fuera del campo de las matemáticas y de la física.1.1 El diseño estructural El proceso que sigue el proyectista al diseñar una estructura es análogo al utiliza-Una estructura puede concebirse como un do en el diseño de cualquier otro sistemasistema, es decir, como un conjunto de par- 11.1 -1.7, 1.1 5, 1.20, 1.311. Por lo tanto, sontes o componentes que se combinan en forma aplicables los métodos que aporta la Inge-ordenada para cumplir una función dada. La niería de Sistemas, ya que una de sus fina-función puede ser: salvar un claro, como en lidades es la racionalización del proceso delos puentes; encerrar un espacio, como su- diseño.cede en los distintos tipos de edificios, o E l proceso de diseño de un sistemacontener un empuje, como en los muros principia con la formulación de los objetivosde contención, tanques o silos. La estructura que se pretenden alcanzar y de las restric-debe cumplir la función a la que está desti- ciones que deben tenerse en cuenta. El pro-nada con un grado razonable de seguridad y ceso es cíclico; se parte de consideracionesde manera que tenga un comportamiento generales, que se afinan en aproximacionesadecuado en las condiciones normalesde sucesivas, a medida que se acumula la infor-servicio. Además, deben satisfacerse otros mación sobre el problema.requisitos, tales como mantener el costo En el diseño de estructuras, una vezdentro de límites económicos y satisfacer de- planteado el problema, supuestas ciertasterminadas exigencias estéticas. acciones razonables y definidas las dimen- Un examen de las consideraciones an- siones generales, es necesario ensayar di-teriores hace patente la complejidad del di- versas estructuraciones para resolverlo. Enseño de sistemas estructurales. iQué puede esta fase del diseño es donde la intuición yconsiderarse como seguridad razonable, o la experiencia del ingeniero desempeñan uncomo resistencia adecuada? iQué requisitos papel primordial. La elección del tipo de es-
  • 12. 14 Las estructuras de concretotructuración, sin duda es uno de los factores La fase final del diseño consiste en co-que más afecta el costo de un proyecto. Los municar los resultados del proceso descritorefinamientos posteriores en el dimensiona- a las personas que van a ejecutar la obra. Lamiento de secciones son de mucha menor comunicación de los datos necesarios paraimportancia. la realización del diseño se hace mediante La elección de una forma estructural planos y especificaciones. Este aspecto finaldada implica la elección del material con no debe descuidarse, puesto que el disponerque se piensa realizar la estructura. Al ha- de planos claros y sencillos, y de especifica-cer esta elección, el proyectista debe tener ciones concretas, evita errores y confusionesen cuenta las características de la mano de a los constructores.obra y el equipo disponible, así como tam- Idealmente, el objeto del diseño de unbién el procedimiento de construcción más sistema es la optimización del sistema, esadecuado para el caso. Después de elegir decir, la obtención de la mejor de todas lasprovisionalmente una estructuración, se la soluciones posibles [1.1-1.8, 1.1 5, 1.1 6,idealiza para estudiar los efectos de las 1.1 81. El lograr una solución óptima absolu-acciones o solicitaciones a las que puede ta es prácticamente imposible. Lo que es óp-estar sometida. Esta idealización es necesa- timo en un conjunto de circunstancias, no loria, porque el problema real siempre es es en otro; lo que es óptimo para un indivi-más complejo que lo que es práctico ana- duo, puede no serlo para otra persona. Tallizar. como se dijo anteriormente, no existen solu- El análisis estructural, es decir, la de- ciones únicas, sino solamente razonables.terminación de las fuerzas internas en los Sin embargo, puede ser útil optimizarelementos de la estructura, implica un cono- de acuerdo con determinado criterio, tal co-cimiento de las acciones que actúan sobre la mo el de peso o costo mínimos. Si el criteriomisma y de las dimensiones de dichos ele- puede expresarse analíticamente por mediomentos. Estos datos son imprecisos cuando de una función, generalmente llamada "fun-se inicia el diseño, ya que sólo se conocen ción objetivo" o "función criterio", el pro-en forma aproximada las dimensiones que blema puede resolverse matemáticamente.tendrán los elementos. Éstas influyen tanto Las técnicas de optimización todavíaen el valor del peso propio como en el com- tienen aplicaciones limitadas en el diseño portamiento estructural del conjunto. En un estructural, debido a las dificultades mate- proceso cíclico, el proyectista va ajustando máticas que suelen implicar. Sin embargo, los datos iniciales, a medida que afina el se supone que a medida que aumenten las análisis. Solamente en la fase final de este aplicaciones de la computación electrónica, proceso hace un cálculo numérico relativa- dichas técnicas se irán perfeccionando, de mente preciso. El grado de precisión que tra- modo que cada vez se logre mayor grado ta de obtener en este proceso depende de la de refinamiento. Los procesos de optimiza- importancia de la estructura y de la posibili- ción en el diseño estructural han sido trata- dad de conocer las acciones que realmente dos por Spunt y otros [1.8, 1.1 0, 1.1 61. actuarán sobre ella. Un vicio común es el ex- Para mayor sencillez, en las considera- ceso de minuciosidad cuando la importancia ciones anteriores se han tratado los sistemas del problema no lo amerita, o el conoci- estructurales como sistemas independientes. miento de las acciones solamente es aproxi- De hecho, toda estructura no es sino un sub- mado, y cuando no lo justifica el ahorro que sistema de algún sistema más complejo: un pueda obtenerse gracias al refinamiento en edificio, un complejo industrial, un sistema el análisis. hidráulico, de caminos o de comunicación
  • 13. El diseño estructural 15urbana. En un edificio, por ejemplo, pueden Tabla 1.1 Distribución aproximada del costo de edifi-distinguirse varios subsistemas, además del cios altos en los Estados Unidos de América.estructural: las instalaciones eléctricas, lasde plomería y aire acondicionado, los eleva- Concepto Porcentajedores, los acabados arquitectónicos, la ven-tanería, etc. Excavación y cimientos 1O Según el enfoque de sistemas, en el di- Estructura 25seño del sistema total debe tenerse en cuen- lnstalaciones diversas (electricidad,ta la interacción entre todos los subsistemas. plomería, aire acondicionado) 3ODe esta manera, en el diseño del subsistema Elevadores 1Oestructural deben considerarse no solamente Muros exteriores 12los aspectos de eficiencia estructural, sino Acabados diversos -13también la relación de la estructura con los 1o0demás subsistemas. Por ejemplo, puede sernecesario prever pasos para instalaciones Tabla 1.2 Distribución aproximada del costo de edifi-que impliquen mayor consumo de materia- cios de mediana altura (10 a 12 pisos) en la Ciudad deles que el estrictamente necesario desde el México.punto de vista estructural. Por otra parte, losenfoques globales o de conjunto, implícitos en Concepto Porcentajesla concepción de los edficios como siste- CasoA Caso Bmas, pueden conducir a soluciones de gran Excavación y cimientos 11 5eficiencia en las que los componentes es- Estructura 14 18tructurales del sistema se diseñan de manera Instalaciones diversasque realicen otras funciones, además de las (electricidad, plomería) 25 34estrictamente estructurales. Así, un muro de Elevadores 3 5carga puede ser también un elemento arqui- Fachadas 2O 9tectónico de fachada y servir de elemento ri- Acabados diversos 27 29gidizante. En el diseño de los subsistemas estruc-turales para edificios, debe tenerse en cuen- Si la optimización de sistemas relativa-ta su importancia relativa dentro del sistema mente sencillos, como los sistemas estructu- general. Son ilustrativos los datos de las ta- rales, presenta ciertas dificultades, son aún másblas l.l. l .2, basadas en información pro- y graves los problemas que ofrece la optimiza-porcionada en las referencias 1.23, 1.25 y ción rigurosa de sistemas complejos, como 1.38. el de un edificio o una obra urbana, en los Se desprende de estos datos que la pro- que intervienen gran número de variables, porción del costo total correspondiente a la muchas de ellas de naturaleza psicológica o estructura es relativamente pequeña. Esto in- sociológica y por lo tanto, difícilmente cuan- , dica que en muchas ocasiones no se justifi- tificables. En efecto, la aplicación rigurosa can refinamientos excesivos en el cálculo de los métodos del enfoque de sistemas aún estructural, ya que las posibles economías no es de uso común. de materiales resultan poco significativas. Lo El interés por el enfoque de sistemas es- importante, en efecto, es la optimización del tá produciendo entre los proyectistas un sistema total, como ya se ha indicado, y no cambio de actitud frente al problema de di- la de los subsistemas o componentes consi- seño. Por una parte, se tiende a una raciona- derados individualmente. lización creciente del proceso de diseño, lo
  • 14. 16 Las estructuras de concretoque conduce a manipulaciones matemáticas 1.2 Las estructuras de concretocada vez más refinadas. Por otra, el recono-cimiento de la interdependencia entre los Las estructuras de concreto reforzado tienendiversos subsistemas que integran una obra ciertas características, derivadas de los pro-civil está llevando a un concepto interdisci- cedimientos usados en su construcción, queplinario del diseño. Mientras que antes los las distinguen de las estructuras de otros ma-diversos subsistemas se diseñaban indepen- teriales.dientemente, de manera que la coordina- El concreto se fabrica en estado plástico,ción entre ellos solía ser poco satisfactoria, lo que obliga a utilizar moldes que lo sosten-ahora se tiende cada vez más al trabajo de gan mientras adquiere resistencia suficienteequipo. para que la estructura sea autosoportante. El enfoque de sistemas aporta herramien- Esta característica impone ciertas restriccio-tas de gran utilidad en el diseño. Sin embar- nes, pero al mismo tiempo aporta algunasgo, no debe olvidarse que en el proceso de ventajas. Una de éstas es su "moldeabili-diseño seguirá siendo de gran importancia la dad", propiedad que brinda al proyectistaintuición y la capacidad creativa e innova- gran libertad en la elección de formas. Gra-dora del proyectista. cias a ella, es posible construir estructuras, En épocas recientes se han empezado como los cascarones, que en otro materiala desarrollar los llamados sistemas expertos serían muy difíciles de obtener.para apoyar en el proceso del diseño estruc- Otra característica importante es la faci-tural. Los sistemas expertos son herramien- lidad con que puede lograrse la continuidadtas que se utilizan para resolver problemas en la estructura, con todas las ventajas queun tanto indefinidos, o sea, que no pueden esto supone. Mientras que en estructurasresolverse mediante la aplicación de un al- metálicas el logro de continuidad en las co-goritmo determinístico, que es el caso del nexiones entre los elementos implica seriosdiseño estructural 11.361. Generalmente problemas en el diseño y en la ejecución, enson programas de computadora interactivos las de concreto reforzado el monolitismo esque incorporan la experiencia, el juicio, re- consecuencia natural de las característicasglas empíricas e inclusive la intuición. Se de construcción.diferencian de los programas tradicionales Existen dos procedimientos principalesen que usan y representan elementos de para construir estructuras de concreto. Cuan-conocimiento, y no sólo datos; los procesos do los elementos estructurales se forman enson heurísticos o inferenciales, y no algo- su posición definitiva, se dice que la estruc-rítmicos o repetitivos; están orientados a tura ha sido colada in situ o colada en el lu-procesos simbólicos, y nd a procesos nu- gar. Si se fabrican en un lugar distinto al deméricos. su posición definitiva en la estructura, el E l uso de sistemas expertos para diseño procedimiento recibe el nombre de prefabri-estructural se propuso originalmente por cación.Fenves y Norabhoompipat en 1978. A partir El primer procedimiento obliga a unade entonces se han desarrollado algunos sis- secuencia determinada de operaciones, yatemas que están orientados más a la investi- que para iniciar cada etapa es necesario es-gación que a la práctica comercial del perar a que se haya concluido la anterior. Pordiseño, y que se refieren a marcos tridimen- ejemplo, no puede procederse a la construc-sionales, puentes, armaduras y muros de re- ción de un nivel en un edificio hasta quetención. En la referencia 1.36 se presenta un el nivel inferior haya adquirido la resisten-resumen d e estos sistemas expertos. cia adecuada. Además, es necesario a me-
  • 15. Características acción-respuesta de elementos de concreto 17nudo construir obras falsas muy elaboradas los efectos que dichas solicitaciones produceny transportar el concreto fresco del lugar de en la estructura. En otras palabras, es nece-fabricación a su posición definitiva, opera- sario conocer las características acción-res-ciones que influyen decisivamente en el puesta de la estructura estudiada.costo. Las acciones en una estructura son las Con el segundo procedimiento se eco- solicitaciones a que puede estar sometida.nomiza tanto en la obra falsa como en el Entre éstas se encuentran, por ejemplo, eltransporte del concreto fresco, y se pueden peso propio, las cargas vivas, las presionesrealizar simultáneamente varias etapas de por viento, las aceleraciones por sismo y losconstrucción. Por otra parte, este procedi- asentamientos. La respuesta de una estructu-miento presenta el inconveniente del costo ra, o de un elemento, es su comportamientoadicional de montaje y transporte de los ele- bajo una acción determinada. Puede ex-mentos prefabricados y además, el proble- , presarse como deformación, agrietamiento,ma de desarrollar conexiones efectivas entre durabilidad, vibración. Desde luego, la res-los elementos. puesta es función de las características de la El proyectista debe elegir entre estas dos estructura, o del elemento estructural consi-alternativas, guiándose siempre por las ven- derado.tajas económicas, constructivas y técnicas que Si se conocen las relacionespueden obtenerse en cada caso. Cualquieraque sea la alternativa que escoja, esta elec- ACCIÓN+ ELEMENTOS DE CIERTASción influye de manera importante en el tipo + CARACTER~STICAS RESPUESTAde estructuración que se adopte. Otra característica peculiar de las es- para todas las combinaciones posibles detructuras de concreto reforzado es el agrieta- acciones y características de una estructura,miento, que debe tenerse en cuenta al se contará con una base racional para esta-estudiar su comportamiento bajo condicio- blecer un método de diseño. Éste tendrá pornes de servicio. objeto determinar las características que de- berá tener una estructura para que, al estar sometida a ciertas acciones, su comporta-1.3 Características acción-respuesta miento o respuesta sea aceptable desde los puntos de vista de seguridad frente a la falla de elementos de concreto y utilidad en condiciones de servicio. El problema de la determinación de las1.3.1 Conceptos generales relaciones acción-respuesta para estructuras con cualesquiera características, sometidas aSe ha dicho que el objeto del diseño consis- toda la gama posible de acciones y combi-te en determinar las dimensiones y caracte- naciones de estas acciones, es insoluble, yarísticas de los elementos de una estructura que puede presentarse un número infinitopara que ésta cumpla cierta función con un de combinaciones.grado de seguridad razonable, comportán- Debido a esta situación, fue necesariodose además satisfactoriamente una vez en desarrollar métodos que permitieran basar elcondiciones de servicio. Debido a estos re- estudio de una estructura en conjunto enquisitos, es preciso conocer las relaciones que estudios del comportamiento de sus distin-existen entre las características de los elemen- tas partes o elementos. Estos métodos, Ila-tos de una estructura (dimensiones, refuerzos, mados de análisis, permiten determinar enetc.), las solicitaciones que debe soportar y cada uno de los miembros de una estructu-
  • 16. 18 Las estructuras de concretora, las acciones internas resultantes de la apli- Debe notarse que, para diseñar satisfactoria-cación de las solicitaciones exteriores a la mente no siempre es necesario obtener lasestructura total. Esta consideración reduce el acciones interiores inducidas por las exterio-problema de la determinación de las carac- res. Muchos diseños han sido desarrolladosterísticas acción-respuesta a dimensiones directamente a partir del estudio de modelosmanejables. estructurales. En estos casos, los conjuntos de Para establecer una base racional de acciones exteriores, representativas de aque-diseño, será necesario entonces obtener las llas a las que en realidad estará sometido elcaracterísticas acción-respuesta correspon- prototipo, se aplican a un modelo a escaladientes a las acciones más frecuentes sobre de la estructura por diseñar, y se miden laslos distintos elementos estructurales. Con es- respuestas del mismo. Para satisfacer la con-ta información se puede delimitar el rango dición de seguridad, el modelo a escala de-de las solicitaciones bajo las cuales el ele- be resistir acciones un tanto mayores que lasmento se comportará satisfactoriamente una que se estima deberá soportar la estructuravez en condiciones de servicio. En otras pa- en condiciones de servicio. Para satisfacer lalabras, es necesario establecer las relaciones condición de comportamiento satisfactorioentre los elementos siguientes: bajo estas condiciones de servicio, las res- puestas del modelo a estas acciones deberánAcciones Características estar comprendidas entre los valores consi-interiores del elemento Respuestas derados como límites de tolerancia. S i una de las dos condiciones no se satisface, secarga axial tipo de concreto deformación modifican las características del modelo y seflexión tipo de refuerzo agrietamiento repite el proceso.torsión tamaño durabilidad La primera condición que debe satisfa-cortante forma vibración cer un diseño es que la estructura resultante restricción sea lo suficientemente resistente. En térmi- nos de las características acción-respuesta, Al valuar la respuesta correspondiente se puede definir la resistencia de una estruc-a una acción determinada, es necesario to- tura o elemento a una acción determinadamar en cuenta el modo de aplicación de la como el valor máximo que dicha acciónmisma, ya que este factor ejerce influencia puede alcanzar. Una vez determinada la re-muy importante en dicha respuesta. E de- s sistencia a una cierta acción, se compara estecir, la respuesta de una estructura a una ac- valor máximo con el valor correspondienteción determinada dependerá de s i ésta es bajo las condiciones de servicio. De estainstantánea, de corta duración, sostenida, comparación se origina el concepto de fac-repetida, etc. tor de seguridad o factor de carga. De un En los capítulos siguientes se estudian modo rudimentario, éste puede defini rse co-estas relaciones para las acciones más fre- mo el cociente entre la resistencia y el valorcuentes en el caso de estructuras de concre- estimado de la acción correspondiente ento. La información relativa ha sido obtenida condiciones de servicio.mediante experimento y experiencia adqui- El diseño debe garantizar que la estruc-rida con el tiempo. tura tenga un factor de seguridad razonable. En los procedimientos de diseño, el di- Mediante este factor, se trata de tomar enmensionamiento se lleva a cabo normalmen- cuenta en el diseño la incertidumbre exis-te a partir de las acciones interiores, calculadas tente con respecto a los efectos de ciertaspor medio de un análisis de la estructura. acciones y los valores usados en varias etapas
  • 17. Características acción-respuesta de elementos de concreto 19 y / Probabilidad de falla Cargas P R, P, Resistencias R Figura 1.1 Concepto de probabilidad de falla.del proceso. Entre las principales incertidum- la que se representan las distribuciones debres se pueden mencionar el desconocimien- frecuencias de solicitaciones y resistenciasto de las acciones reales y su distribución, la de un elemento estructural, por ejemplo unavalidez de la hipótesis y simplificaciones uti- viga. S i la acción alcanza el valor P i , y la re-lizadas en el análisis, la diferencia entre el sistencia el valor R 1 , ocurrirá un evento decomportamiento real y el supuesto, y la dis- falla. El área sombreada es una medida de lacrepancia entre los valores reales de las probabilidad de falla de la estructura. La pro-dimensiones y de las propiedades de los ma- babilidad de falla da una medida significativateriales con las especificadas en el diseño. del margen de seguridad real de la estruc- La selección de un factor de seguridad tura. Puede expresarse en términos eco-adecuado no es problema sencillo, debido al nómicos, si se cuenta con los elementosgran número de variables y de condiciones necesarios para estimar el costo de las con-que deben tomarse en cuenta. La dificultad secuencias de la falla. La estimación delprincipal reside en la naturaleza probabilis- costo de la falla, junto con el costo de la es-ta tanto de las acciones que obran sobre las tructura, pueden servir de base para escogerestructuras como de las resistencias de éstas. una solución conveniente con un criterio ra-Este carácter aleatorio de solicitaciones y re- cional que asigne un margen de seguridad,sistencias hace que exista siempre cierta pro- de acuerdo con la importancia de la obra.babilidad de que se presenten combinaciones Obviamente, el factor de seguridad de unade valores en que la acción sea superior a la presa debe ser mayor que el de una bodegaresistencia. Esto se ilustra en la figura 1.l, en de chatarra.
  • 18. 20 Las estructuras de concreto Los criterios modernos de diseño están riencia con estructuras semejantes, cuandotendiendo a enfoques probabilistas como el actúan bajo condiciones similares.descrito [1.17, 1.24, 1.33, 1.341, no obstantelas dificultades que implican. Por una parte,todavía no se tiene suficiente informaciónsobre la variabilidad tanto de las solicita- Para fijar las ideas anteriores, éstas se aplica-ciones que deben considerarse, como de las rán a un caso específico. Considérese el vo-resistencias de los materiales y elementos ladizo mostrado en la figura 1.2 sujeto a lautilizados en las estructuras. Por otra parte, acción de una carga vertical P, que varíaes difícil el problema de asignar precio o va- desde un valor nulo hasta aquel que producelor a las consecuencias de una falla, en térmi- el colapso. La característica acción-respues-nos de posible pérdida de vidas y de costo ta más inmediata es la curva carga-deflexiónde reposición. A pesar de estas dificultades, el presentada también en la figura.enfoque tiene indudable interés y ya existen En términos de esta característica es po-proposiciones para formular reglamentos de sible definir cuatro etapas en el comporta-construcción basados exclusivamente en con- miento del voladizo:ceptos probabilistas. De hecho, ciertos concep-tos probabilistas ya han sido incorporados a a) Una etapa inicial elástica, en la quealgunos reglamentos en relación con la va- las cargas son proporcionales a lasluación de las características de los materiales deformaciones. E frecuente que ba- sy las acciones [1.9, 1.19, 1.24, 1.33, 1.341. jo las condiciones permanentes de A semejanza del problema de resisten- servicio (excluyendo las cargas de cor-cia, para garantizar que una estructura tenga ta duración como viento o sismo), laun comportamiento aceptable bajo condi- estructura se encuentre en esta eta-ciones de servicio, se comparan los valores pa. La carga de servicio se ha marcadode las respuestas (deformaciones, agrieta- en la figura como P y la deforma- ,miento, durabilidad) correspondientes a las ción correspondiente como a. ,acciones estimadas, con ciertos Iímites prees- 6 ) Una etapa intermedia en la que la re-tablecidos que la experiencia ha indicado lación carga-deformación ya no es li-son satisfactorios para el tipo de estructura neal, pero en la que la carga vade que se trata. creciendo. El problema es más difícil que cuando C ) Una etapa plástica, en la que se pro-se trata de valuar la resistencia, ya que las ducen deformaciones relativamentedeformaciones y el agrietamiento son fun- grandes para incrementos pequeñosción de las acciones reales que obran en la o nulos de las cargas. La resistenciaestructura, de la historia de carga y de todas Pr se encuentra en esta etapa. Debi-aquellas variables que influyen en el com- do a la forma de la curva, es difícilportamiento. E l fijar Iímites razonables para establecer cuál es la deformación co- las deformaciones y el agrietamiento de los rrespondiente a la resistencia.distintos tipos de estructuras, es más comple- d) Una etapa inestable, caracterizada jo que establecer un factor de seguridad ra- por una rama descendente hasta el zonable. Los problemas de agrietamiento y colapso, donde a mayores deforma- deformaciones se tratarán con detalle en ca- ciones la carga disminuye. pítulos posteriores. Hasta la fecha, la mejor herramienta que posee el diseñador para De la ilustración se puede definir el fac- establecer Iímites de tolerancia es su expe- tor de seguridad como el cociente Pr/P,. La
  • 19. Las acciones 21 h a> b) c) d) Etapa Etapa Etapa Etapa m L elástica intermedia plástica inestable 3 b Deformación a Figura 1.2 Gráfica carga-deformación.estructura tendrá una resistencia adecuada, El ejemplo anterior muestra claramentesi este factor es mayor que un valor predeter- que es necesario conocer las relaciones ac-minado considerado como aceptable. ción-respuesta correspondientes a una varia- Para investigar s i el comportamiento ción de P, desde un valor nulo hasta el quebajo condiciones de servicio es satisfacto- produce el colapso. Esta información permi-rio, se deberá comparar el valor de la defor- te conocer el grado de seguridad de la es-mación correspondiente a P con ciertos , tructura y estimar el intervalo de carga bajovalores preestablecidos que se estimen to- el cual el voladizo se comportará satisfacto-lerables, de acuerdo con experiencias ante- riamente.riores. Es interesante hacer notar que, en laetapa plástica, a una variación muy pequeña 1.4 Las accionesde la carga corresponde una variación im-portante en la deformación de la estructura. Las principales solicitaciones o accionesPor lo tanto, si las acciones en esta etapa se exteriores a que puede estar sujeta una es-determinan a partir de las deformaciones, tructura son: cargas estáticas debidas a pesoentonces los errores importantes en la esti- propio, a cargas vivas y a cargas permanen-mación de éstas sólo producirán variaciones tes, así como cargas dinámicas impuestasinsignificantes en el valor de la acción. Por por un sismo, por la presión de un viento oel contrario, es difícil predecir en esta etapa por la aplicación repetida de cargas vivas.el valor de la deformación que corresponde- También se consideran como solicitacionesrá a una carga determinada. las deformaciones de la estructura inducidas
  • 20. 22 Las estructuras de concretopor asentamiento, contracción, flujo plástico po de carga tal que, unido a procedimientosy cambios de temperatura. adecuados de diseño y construcción, pro- Al estimar las acciones, es necesario porcione una estructura que se comporte sa-prever las condiciones más desfavorables en tisfactoriamente.que la estructura puede llegar a encontrarse,así como el tiempo que sufrirá estas condi-ciones desfavorables. Para hacer un análisis 1.5 El análisis de estructuras deriguroso sería necesario conocer las variacio- concreto reforzadones probables en la intensidad y distribuciónde las cargas a lo largo de la vida útil de laestructura, cosa difícil de lograr. Para poder analizar una estructura es nece- Al tratar del diseño estructural se ha he- sario idealizarla. Por ejemplo, una idealiza-cho hincapié en el desarrollo de métodos de ción frecuente en el análisis de edificios esanálisis de estructuras, pero se han llevado a considerar la estructura como formada porcabo estudios limitados sobre los valores series de marcos planos en dos direcciones.probables de las cargas que actúan. Es aquí De este modo se reduce el problema real tri-donde se pueden cometer los mayores erro- dimensional a uno de dos dimensiones. Seres y donde nuestro conocimiento es más considera, además, que las propiedades me-exiguo. cánicas de los elementos en cada marco es- La estimación de las cargas debidas al tán concentradas a lo largo de sus ejes. Laspeso propio puede hacerse con relativa pre- acciones se aplican sobre esta estructuracisión: los errores no serán mayores del 20 idealizada.por ciento, si se han evaluado con cuidado Las solicitaciones o acciones exterioreslos volúmenes de los materiales y los pesos inducen acciones interiores (momentos,volumétricos. fuerzas) de intensidad variable. E l propósito En lo que respecta a carga viva, los fundamental del análisis es valuar las accio-errores en la estimación pueden ser del 100 nes interiores en las distintas partes de la es-por ciento o aun mayores. La carga viva está tructura. Para ello es necesario, salvo enespecificada comúnmente en los reglamentos estructuras o elementos isostáticos, conocerde construcción como carga uniformemente o suponer la relación entre fuerza y defor-repartida equivalente, con distintas intensi- mación o, en términos más generales, entredades de acuerdo con el uso considerado, o acción y respuesta.bien, si se trata de puentes o viaductos, como La hipótesis más simple que puede ha-carga móvil idealizada. Estos valores equiva- cerse para relacionar carga y deformación,lentes especificados se basan en estudios es suponer una dependencia lineal; el análi-limitados. Los efectos de las cargas equiva- sis elástico de estructuras parte de esta hipó-lentes en la estructura pueden ser muy dife- tesis.rentes de los efectos de las cargas reales. Otra hipótesis relativamente simple que La estimación de cargas laterales debi- se hace para el análisis de estructuras, es ladas a viento o sismo está sujeta aún a mayor de suponer que las acciones interiores, alincertidumbre. Fácilmente se cometen erro- llegar a cierto valor crítico de la acción, sonres mucho mayores que los anteriores en la independientes de las deformaciones; enestimación de los efectos de estas acciones. esta hipótesis se basa el análisis límite. En él En el estado actual de nuestro conoci- se tratan de obtener los valores de las accio-miento, puede esperarse solamente que, con nes para los cuales la estructura se vuelve unbase en la experiencia, se especifique un ti- mecanismo inestable.
  • 21. El dimensionamiento de elementos de concreto reforzado 23 Existen otros tipos de análisis más refi- El procedimiento consiste en definir lasnados, con hipótesis menos simples que las acciones interiores, correspondientes a las con-anteriores, que se aproximan más a la reali- diciones de servicio, mediante un análisisdad. Debido a su mayor refinamiento, son elástico, y multiplicarlas por un factor de car-más laboriosos, aunque con el empleo de ga, que puede ser constante o variable segúncomputadoras se usarán cada vez más. los distintos elementos, para así obtener las resistencias de dimensionamiento. E l factor de carga puede introducirse también incre-1.6 El dimensionamiento mentando las acciones exteriores y realizando después un análisis elástico de la estructura. de elementos de El dimensionamiento se hace con la hipóte- concreto reforzado sis de comportamiento inelástico. E l procedimiento de dimensionamientoSe entiende por dimensionamiento la deter- plástico puede también aplicarse a los re-minación de las propiedades geométricas de sultados de un análisis Iímite, del cual se ob-los elementos estructurales y de la cantidad tienen directamente las acciones interioresy posición del acero de refuerzo. correspondientes a la carga de falla que con- El procedimiento de dimensionamiento vierte la estructura en un mecanismo. El di-tradicional, basado en esfuerzos de trabajo, mensionamiento a partir de un análisis Iímiteconsiste en determinar los esfuerzos corres- no es todavía la aplicación práctica, debidopondientes a acciones interiores obtenidas a las incertidumbres que se tienen sobre me-de un análisis elástico de la estructura, bajo canismos de colapso, la inestabilidad gene-sus supuestas acciones de servicio. Estos es- ral de la estructura y la capacidad de rotaciónfuerzos se comparan con esfuerzos permisi- de los elementos de la misma.bles, especificados como una fracción de las El análisis Iímite no debe confundirseresistencias del concreto y del acero. Se su- con el criterio general de dimensionamien-pone que así se logra a la par, un comporta- to, denominado de estados Iímite, en el quemiento satisfactorio en condiciones de servicio están basadas las recomendaciones del Co-y un margen razonable de seguridad. mité Euro-Internacional del Concreto [1.19] El factor de seguridad de los elementos y los reglamentos ruso t1.9, 1.321 e inglésde una estructura dimensionados por el mé- [1.22]. El enfoque de estados Iímite no es si-todo de esfuerzos de trabajo no es uniforme, no un formato en el que se consideran todosya que no puede medirse en todos los casos los aspectos del diseño en forma ordenada yel factor de seguridad por la relación entre racional y que permite la fácil incorporaciónlas resistencias de los materiales y los esfuer- de criterios probabilistas. De hecho, se trata dezos permisibles. En otras palabras, la rela- lograr que las características acción-respues-ción entre la resistencia del material y los ta de un elemento estructural o de una es-esfuerzos de trabajo no es siempre igual a la tructura estén dentro de límites que serelación entre la resistencia del elemento y consideran aceptables. Según este método,su solicitación de servicio. una estructura o un elemento estructural de- El procedimiento más comúnmente uti- ja de ser útil cuando alcanza un estado, Ila-lizado en la actualidad es el denominado mado estado Iímite, en el que deja demétodo plástico, de resistencia o de resisten- realizar la función para la cual fue diseñado.cia última, según el cual los elementos o A continuación se presenta con ciertosecciones se dimensionan para que tengan detalle el procedimiento de diseño basadouna resistencia determinada. en el concepto de estados Iímite.
  • 22. 24 Las estructuras de concreto1.7 Diseño por estados Iímite a) Primero se determinan las acciones que obran sobre la estructura, lasLa mayoría de los reglamentos de construc- cuales se clasifican en permanentes,ción actuales, como el del Distrito Federal como la carga muerta; variables, como[1.111, el del Comité Euro-Internacional del la carga viva; y accidentales, como elConcreto [1.191, los Eurocódigos usados en sismo y el viento.los países de la Unión Europea [1.22] y el de b) Se calculan, mediante un análisis es-Canadá [1.271, establecen disposiciones para tructural, los efectos de las accionesel diseño-de estructuras basadas en el con- sobre la estructura, o sea, los valorescepto de estados Iímite. A continuación se de las fuerzas axiales y cortantes y depresentan en forma resumida las disposicio- los momentos flexionantes y torsio-nes al respecto del Reglamento de las Cons- nantes que actúan en distintas sec-trucciones para. el Distrito Federal, y los ciones de la estructura. Estos valorescriterios en los que están basadas. Al final de se denominan acciones o fuerzas in-esta sección se presentan las disposiciones ternas S.del Reglamento del American Concrete Ins- C) Las fuerzas internas se multiplican portitute [1.13], muy usado en América Latina, las factores de carga, F para obtener ,cuales, aunque no están expresadas formal- las llamadas fuerzas internas de dise-mente en términos de estados Iímite, siguen ño. Cuando se usan métodos linealesconceptos semejantes. de análisis estructural, se obtiene el mismo resultado multiplicando las1.7.1 Reglamento del Distrito Federal acciones por los factores de carga antes de hacer el análisis. Más ade-Los criterios de diseño estructural en que se lante se indican los factores de cargabasa este reglamento se presentan con detalle recomendados en el Reglamento delen la referencia 1.29. Se consideran dos cate- Distrito Federal.gorías de estados Iímite: los de falla y los de d) Se calculan las resistencias nominales,servicio. Los de falla corresponden al agota- R de cada elemento de la estructura, y ,miento definitivo de la capacidad de carga de se multiplican por factores reducti-la estructura o de cualquiera de sus miembros, vos, FR,para obtener las llamadas re-o al hecho de que la estructura, sin agotar su sistencias de diseño.capacidad de carga, sufra daños irreversibles e) Se verifica que las resistencias de di-que afecten su resistencia ante nuevas aplica- seño, FR R, sean iguales o mayoresciones de carga. Los estados Iímite de servicio que las fuerzas internas de diseño,tienen lugar cuando la estructura llega a Fc S. Esta verificación, que constituyeestados de deformaciones, agrietamientos, vi- el criterio básico de comprobación debraciones o daños que afecten su correcto la seguridad de una estructura, segúnfuncionamiento, pero no su capacidad para el Reglamento del Distrito Federal,soportar cargas. Para revisar los estados Iímite puede ilustrarse esquemáticamentede falla, o sea, la seguridad de una estructura, como sigue:se debe verificar que la resistencia de cadaelemento estructural y de la estructura en suconjunto, sea mayor que las acciones que ac-túan sobre los elementos o sobre la estructu-ra. Esta verificación se efectúa siguiendo elprocedimiento que se expone a continuación. - Fuerza interna de diseño FC S 5 - Resistencia de diseño FR R
  • 23. Diseño por estados límite 25 A continuación se explica con mayor bable de la carga; b) una intensidad nominaldetalle la forma de llevar a cabo cada una de mínima, ,,x que es aquella cuya probabili-las etapas anteriores. dad de no ser alcanzada es de dos por cien- to, o sea, que es un valor mínimo probable Acciones. Se mencionó que en el Re- de la carga; y c) la intensidad promedio, m,.glamento del Distrito Federal las acciones se Como se ve, las intensidades nominales má-clasifican en permanentes, variables y acci- xima y mínima pueden ser muy diferentes dedentales. Los criterios generales de determi- la intensidad promedio.nación de estas acciones son los siguientes El Reglamento del Distrito Federal uti-t1.29, 1.341. liza estos conceptos de intensidad máxima Las acciones permanentes y variables e intensidad mínima para establecer las ac-tienen distribuciones de frecuencia como la ciones de diseño permanentes y variables.indicada en forma aproximada en la figura En el caso de las permanentes, establece1.3. S i se trazan histogramas del peso volu- determinar un valor máximo probable de sumétrico de diferentes muestras de concreto intensidad tomando en cuenta la variabili-o de las mediciones de la carga viva en un nú- dad de las dimensiones de los elementos,mero grande de edificios, se verá que tienen de los pesos volumétricos y de las otrasuna forma similar a la de esta figura. Se han propiedades relevantes de los materiales,señalado en ella tres valores de las intensi- excepto cuando el efecto de la acción per-dades de las acciones: a) una intensidad no- manente sea favorable a la estabilidad de laminal máxima, xI~, que es aquella cuya estructura, como en muros de gravedad; en-probabilidad de ser excedida es de dos por tonces debe usarse la intensidad mínimaciento, o sea, que es un valor máximo pro- probable. x, = carga nominal mínima m = carga promedio , xM = carga nominal máxima I XM intensidad Figura 1.3 Distribución de frecuencias de las cargas.
  • 24. 26 L s estructuras de concreto a Para acciones variables se establecen Otros reglamentos de construcción uti-cuatro intensidades: lizan criterios similares a los descritos para la determinación de las acciones, pudiendo a) Una intensidad máxima probable que variar los valores de las probabilidades de se utiliza para combinaciones de ac- exceder o de no alcanzar las acciones pro- ciones permanentes y variables, y que bables o los periodos de recurrencia. es la equivalente de XM en la figura 1.3. b) Una intensidad mínima probable Fuerzas internas. Las fuerzas internas, que debe utilizarse cuando el efecto S, se determinan efectuando el análisis de la de la acción sea favorable a la esta- estructura sujeta a las distintas combinacio- bilidad de la estructura; es la equiva- nes de acciones que tengan una probabilidad lente a x, en la figura 1.3, pero el no despreciable de ocurrir simultáneamente. reglamento especifica tomarla, en Por ejemplo, se deberá efectuar el análisis es- general, igual a cero. tructural bajo carga muerta y viva, o bajo C ) Una intensidad media, equivalente a carga muerta, viva y sismo simultáneamente, m que se utiliza para estimar efec- , para determinar cuál es la combinación más tos a largo plazo, como hundimientos desfavorable. Los valores nominales de las car- o deflexiones. gas que se especifican en las Normas Técnicas d ) Una intensidad instantánea, que se Complementarias sobre Criterios y Acciones utiliza en combinación con acciones para el Diseño Estructural de las Edificacio- accidentales, que es el valor máximo nes [1.35], varían según la combinación de probable en el lapso en que pueda acciones que se considere. En las Normas presentarse una acción accidental, Técnicas Complementarias para Diseño y como un sismo. Tiene valores com- Construcción de Estructuras de Concreto del prendidos entre la intensidad media, Reglamento del Distrito Federal [1.30], se per- m y la intensidad máxima, XM; figu- , mite que el análisis de estructuras de con- ra 1.3. Al especificarse esta intensi- creto reforzado se efectúe suponiendo que dad, se reconoce que es muy poco la estructura tiene un comportamiento lineal probable que al presentarse una ac- y elástico, y se permite también, bajo ciertas ción accidental, la acción variable condiciones, utilizar análisis al límite. esté actuando con su intensidad má- xima probable. Factores de carga. Se mencionó más arriba que las cargas nominales se multipli- Por lo que se refiere a las acciones ac- can por factores de carga antes de hacer el cidentales, como viento o sismo, el Regla- análisis estructural. Estos factores son números mento del Distrito Federal se basa en el con los que se incrementan las cargas nomi- criterio de periodo de recurrencia, que se nales máximas o se reducen las mínimas, de define como el tiempo promedio que debe tal manera que con ellos se aumenta o se transcurrir para que la acción exceda un va- disminuye, respectivamente, la probabilidad lor xp que tiene una probabilidad p de ser de que las cargas sean excedidas o no sean al-.excedido en un año cualquiera. El Regla- canzadas. Los factores de carga toman en mento utiliza un periodo de recurrencia de cuenta la posibilidad de que se presenten so- 50 años, que para estructuras con vida útil brecargas y las imprecisiones en los méto- de 50 o 100 años, conduce a probabilidades dos de análisis estructural. La probabilidad de excedencia muy superiores a las de las de que varias acciones existan simultánea- acciones permanentes y variables [1.34]. mente con su máxima intensidad es peque-
  • 25. Diseño por estados límite 27ña, por eso generalmente se especifican fac- La resistencia es también una variabletores de carga menores para acciones com- probabilista. Para estimar la resistencia de mu-binadas. Así, el Reglamento del Distrito chos elementos estructurales, existen méto-Federal [1.35] establece los siguientes facto- dos probados experimentalmente o que hanres de carga: demostrado su validez a través de la expe- riencia. E l valor calculado con estos méto- a) Para combinaciones que incluyan dos se denomina, en este texto, resistencia exclusivamente acciones permanen- nominal, que es un término usado en versio- tes y variables, el factor de carga, Fc, nes anteriores del Reglamento del Distrito será de 1.4, excepto en estructuras Federal. Para elementos estructurales poco que soporten pisos en los que pueda comunes, para los cuales no existen métodos haber normalmente aglomeración de de cálculo incluidos en el Reglamento, debe- personas, o en construcciones que rá recurrirse a métodos teóricos o a la deter- contengan equipo sumamente valio- minación directa de la resistencia en forma so, caso en el cual el factor de carga experimental. El valor de la resistencia nomi- será de 1.5. nal en estos casos será tal, que la probabilidad b) Para combinaciones de acciones que de que no sea alcanzado sea relativamente incluyan una accidental, como vien- pequeña; un valor de dos por ciento es reco- to o sismo, además de las acciones mendable (figura 1.4). Cuando en este texto se permanentes y variables, el factor de emplea el término resistencia, se debe enten- carga, Fc, será de 1 .l. der que es equivalente al término resistencia C) Para acciones cuyo efecto sea favora- nominal. ble a la resistencia o estabilidad de la La mayor parte de este libro, del capítulo estructura, se tomará un factor de 4 al 9 y del 12 al 15, está dedicada a presen- carga, Fc, de 0.9. En estos casos, co- tar métodos para el cálculo de las resisten- mo ya se explicó anteriormente, se cias de elementos estructurales de concreto utiliza la carga nominal mínima. reforzado. En los ejemplos que se presentan d) En la revisión de estados Iímite de se utilizan indistintamente el Reglamento servicio, se tomará un factor de car- del Distrito Federal o el del American Con- ga igual a uno. crete Institute. Las resistencias nominales deben multi- Resistencias. Se entiende por resistencia plicarse por factores reductivos de resisten-la magnitud de una acción, o de una combi- cia, FR, para tomar en cuenta la naturalezanación de acciones, que provocaría la apari- aproximada de las fórmulas utilizadas paración de un estado Iímite de falla en un calcular las resistencias, errores en las dimen-elemento estructural o en una estructura. siones de los elementos, efectos adversosPor ejemplo, la resistencia a flexión de una debidos a procedimientos inadecuados deviga es la magnitud del momento flexionan- colocación y curado del concreto e impor-te que provocaría su falla en flexión; su re- tancia relativa de distintos tipos de miembrossistencia a cortante es la magnitud de la estructurales. E l valor de estos factores de-fuerza cortante que provocaría una falla de pende también del tipo de falla; la reduccióneste tipo del elemento; la resistencia a flexo- es mayor para elementos de falla frágil quecompresión de una columna es la magnitud para elementos de falla dúctil. En capítulosdel momento flexionante y de la carga axial siguientes se indican los factores de resisten-que, combinadas, producen la falla del ele- cia que especifica el Reglamento del Distri-mento. to Federal para distintos tipos de acciones.
  • 26. 28 Las estructuras de concreto Figura 1.4 Distribución de frecuencias de las resistencias. Revisión de la seguridad. La última eta- más generales en vigor en distintas localida-pa del procedimiento consiste en verificar des. No establece, por lo tanto, valores deque para todo estado Iímite de falla, la resis- las cargas que deben ser utilizadas en el di-tencia de diseño exceda a la fuerza interna seño, como sí lo hace el Reglamento delactuante de diseño, o sea, que FR R 2 Fc S. Distrito Federal. Sin embargo, los factoresPor ejemplo, la resistencia de diseño a fle- de carga que se especifican a partir de laxión de una viga debe ser mayor que el mo- edición de 2002, así como los factores demento flexionante de diseño. reducción de resistencia denominados @, es- Por lo que respecta a los estados Iímite tán tomados de los que a su vez especifica lade servicio, el Reglamento del Distrito Fede- American Society of Civil Engineers juntoral especifica calcular la magnitud de las con los valores de las cargas recomendadasrespuestas, tales como deflexiones y vibra- [1.37]. Estas cargas y factores son válidosciones bajo la acción de las cargas nomina- para cualquier tipo de material, lo cual tieneles, sin incrementarlas o disminuirlas con la ventaja de que se pueden usar para cons-factores de carga, y comparar estas magnitu- trucciones compuestas, por ejemplo estruc-des con valores especificados en el mismo turas de concreto y acero. Algunos ejemplosReglamento. En capítulos siguientes de este de cargas factorizadas, que en el Reglamen-libro se presentan métodos para calcular las to ACI se denominan U, son los siguientes:deflexiones y los agrietamientos de elemen-tos estructurales de concreto reforzado. Es- a) Para combinaciones de carga muertatas respuestas son las más importantes para y carga viva,elementos de este material.l . 7.2 Reglamento del American Concrete lnstitute (ACI 3 18-02) Donde D es el valor de la carga muerta, L el valor de la carga viva enEste reglamento está diseñado para ser utili- los pisos intermedios, y Lr el valor dezado como parte integrante de reglamentos la carga viva en azotea.
  • 27. Referencias 29 b) Para combinaciones de carga muer- Finalmente, los requisitos bajo condi- ta, sismo y carga viva, ciones de servicio, que equivalen a la revisión en estados límite de servicio del Reglamen- to del Distrito Federal, se revisan bajo la ac- ción de las cargas nominales del reglamento más general. Donde E es la fuerza sísmica calcula- Los diseños finales que se obtienen da a partir de cargas de servicio. aplicando el Reglamento del Distrito Federal son semejantes a los obtenidos con el Regla- La revisión de la seguridad en el Regla- mento ACI. Sin embargo, no se pueden com-mento ACI se plantea entonces como parar etapa por etapa del diseño. Los factores @ (resistencia nominal) 2 U. de carga del Reglamento ACI son menores que Esta expresión es equivalente a la de los del Distrito Federal, pero los factores deFR R 2 FCS del Reglamento del Distrito Federal. reducción de resistencias del ACI son más E l Reglamento ACI también incluye fac- severos. El Reglamento del Distrito Federaltores de carga para cargas producidas por incluye disposiciones que también son fac-empuje de tierra o de líquidos, para los efec- tores de seguridad, como considerar unatos de cambios de temperatura, asentamientos resistencia reducida del concreto, f,*, o di-diferenciales, flujo plástico y contracción mensiones reducidas para algunos miem-del concreto, viento, lluvia y nieve. bros, lo que no hace el Reglamento ACI. Hay En la referencia 1.33 se presenta un entonces variaciones entre ambos reglamen-ejemplo de cómo pueden obtenerse factores tos sobre la forma de lograr que la resisten-de carga con el formato del reglamento ACI cia de diseño sea igual o mayor que lausando conceptos de enfoques probabilísti- fuerza interna de diseño. Pero ambos se sus-cos de seguridad estructural. tentan en este criterio general de diseño. Referencias1.1 Churchman, C. W. El enfoque de sistemas. Méxi- 1.8 Khan, F. R. "Optimization of Building Structuresí co, Editorial Diana, 1968. en Proceedings 7966 lllinois Structural Enginee-1.2 Hall, A. D. Ingeniería de sistemas. México, CECSA, ring Conference, Structural Engineering in hlo- 1969. dern Building Design, University of lllinois1.3 Chestnut, H. Systems Engineering Method. Nue- Bulletin, 1969. va York, Wiley, 1967. 1.9 Baikov, V. N. y S. G. Strongin. Structural Design.1.4 Neufvilie, R. de, y H . Stafford. Systems Analysis Moscú, MIR Publishers, 1982. for Engineers and Managers. Nueva York, 1.1 0 Khachaturian, N., et al. lntroduction to Structural McGraw Hill, 1971. Optimization. Waterloo, Ontario, Canadá, Water-1.5 Aguilar, R. J . Systems Analysis and Design in Engi- loo University. neering, Architecture, Construction and Planning. 1.ll Reglamento de Construcciones para el Distrito Fede- Englewood Cliffs, N. J.,Prentice-Hall, 1973.1.6 Cárdenas, M. A. Aplicaciones del análisis de sis- ral, Gaceta Oficial del Distrito Federal, No. 8-ter, temas. México. CECSA. 1976. 29 de enero de 2004.1.7 Sta&, R. M. y R. L. ~ i ~ h Mathematjca/Foun- ~ l l ~ . 1.12 Robles F. V., F. "Concreto reforzado", Sección H dations for Design; Civil Engineering Systems. del Manual de Diseño de Obras Civiles. México, Nueva York, McGraw Hill, 1971. Comisión Federal de Electricidad, 1970.
  • 28. 30 Las estructuras de concreto1.1 3 Comité ACI 318. Building Code Requirements for 1.26 Ferry Borges, J. y M. Castanheta. Structural Sa- Structural Concrete (ACI 3 18-02). Detroit, Ame- fety. Lisboa. Laboratorio Nacional de Engenharia rican Concrete Institute, 2002. Civil, 1971.1.14 Comité ACI 318. Commentary on Building Code 1.27 Canadian Standards Association. A23.3-94 De- Requirements for Structural Concrete (ACI 3 18- sign of Concrete Structures. Diciembre 1994. 02), Detroit, American Concrete Institute, 2002. 1.28 Ang, A. y W. Tang. Probability Concepts in Engi-1.1 5 Krick, E. F. Introducción a la ingeniería y al dise- neering Planning and Design. Vol. 1 Nueva York, ño en la ingeniería, 2a. edición. México, Limusa, 1979. 1974. 1.29 Meli, R. "Bases para los criterios de diseño es-1.1 6 Spunt, L. Optimum Structural Design. Engle- tructural del proyecto del Reglamento de Cons- wood Cliffs, N. J., Prentice Hall, 1971 . trucciones para el Distrito Federal". Revista1.1 7 Ghiocel D., y D. Lungu. Wind, Snow, and Tem- Ingeniería, México, junio 1 976. perature Effects Based on Probability. Turnbridge 1.30 Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Wells, Kent, Inglaterra, Abacus Press, 1975. Construcción de Estructuras de Concreto. Gaceta1.1 8 Jauffred, F, F A. Moreno Bonnet y J. Acosta F . . . Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, No. 103-Bis, 6 Métodos de optimización; programación lineal de octubre de 2004. gráfica. México, Representaciones y Servicios de 1.31 Merrit, F. S. Building, Engineering and Systems Ingeniería, 1971. Design. Nueva York, Van Nostrand-Reinhold,1.1 9 CEB - FIP. Model Code for Concrete Structures. 1979. Wexham Springs, Slough, Inglaterra, Cement 1.32 Baikov, V. y E. Sigalov. Reinforced Concrete and Concrete Association, 1978. Structures, 2 vols., Moscú, MIR Publishers,1.20 Asimov, E. M. Introducción al proyecto. México, 1981. Herrero Hnos., 1968. 1.33 Macgregor, J. C.: "Loads and Resistance Factors1.21 Wright, J. R. "Performance Criteria in Building". for Concrete Design", Journal of the American Scientific American, marzo 1971. Concrete Institute, jul io-agosto 1983.1.22 -Eurocódigo 2 - Proyecto de Estructuras de 1.34 Meli, R. Diseño Estructural, México, Limusa, 1985. Hormigón. Asociación Española de Normaliza- 1.35 Normas Técnicas Complementarias sobre Crite- ción y Certificación, Noviembre, 1993. rios y Acciones para e l Diseño Estructural de las1.23 Robertson, L. E. "On Tall Building". En Procee- Edificaciones. Gobierno del Distrito Federal, 2004. dings o f a Symposium on Tall Buildings Held at 1.36 Arockiasamy, M. "Expert Systems-Applications the University o f Southampton, April, 7966. for Structural, Transportation, and Environmental Oxford, Pergamon Press, 1967. Engineering", Boca Ratón, CRC Press, 1993.1.24 - Probabilistic Design o f Reinforced Concrete . 1.37 "Minimum Design Loads for Buildings and Other Buildings, SP-3 1. Detroit, American Concrete Structures" (ASCE 7-98). American Society of Ci- Institute, 1972. vil Engineers, Nueva York, 1998.1.25 Gutiérrez Pérez, M. "Análisis estadístico de cos- 1.38 Riobóo, J. M. "La Ingeniería Estructural: una Es- tos de edificios". Ingeniería Civil. México, No. pecie en Extinción". Ingeniería Civil, México, fe- 159, septiembre 1970. brero 2002.
  • 29. den del peso volumétrico. E l Reglamento de Construcciones del Distrito Federal, por ejemplo, define dos clases de concreto: clase 1, que tiene un peso volumétrico en estado fresco superior a 2.2 ton/m3, y clase 2, cuyo peso volumétrico está comprendido entre Características 1.9 y 2.2 ton/m3. El concreto simple, sin refuerzo, es re- generales del sistente a la compresión, pero es débil en tensión, lo que limita su aplicabilidad como concreto y del acero material estructural. Para resistir tensiones se emplea refuerzo de acero, generalmente en forma de barras, colocado en las zonas don- 2.1 Introducción. /2.2 Características esfuerzo-deformación del concreto sim- de se prevé que se desarrollarán tensiones ple. /2.3 Efectos del tiempo en el concreto bajo las acciones de servicio. El acero res- endurecido. /2.4 Fatiga. /2.5 Módulos tringe el desarrollo de las grietas originadas elásticos. /2.6 Deformaciones por cambios por la poca resistencia a la tensión del con- de temperatura. /2.7 Algunas caracterís- creto. ticas de los aceros de refuerzo. El uso del refuerzo no está limitado a la finalidad anterior. También se emplea en zo- nas de compresión para aumentar la resis- tencia del elemento reforzado, para reducir2.1 Introducción las deformaciones debidas a cargas de larga duración y para proporcionar confinamientoE l concreto es un material pétreo, artificial, lateral al concreto, lo que indirectamenteobtenido de la mezcla, en proporciones de- aumenta su resistencia a la compresión.terminadas, de cemento, agregados y agua. La combinación de concreto simpleE l cemento y el agua forman una pasta que con refuerzo constituye lo que se llama con-rodea a los agregados, constituyendo un ma- creto reforzado.terial heterogéneo. Algunas veces se añaden El concreto presforzado es una modali-ciertas sustancias, llamadas aditivos o adi- dad del concreto reforzado, en la que se creacionantes, que mejoran o modifican algunas un estado de refuerzos de compresión en elpropiedades del concreto. concreto antes de la aplicación de las accio- El peso volumétrico del concreto es ele- nes. De este modo, los esfuerzos de tensiónvado en comparación con el de otros mate- producidos por las acciones quedan contra-riales de construcción, y como los elementos rrestados o reducidos. La manera más comúnestructurales de concreto son generalmente de presforzar consiste en tensar el acero devoluminosos, el peso es una característica refuerzo y anclarlo en los extremos del ele-que debe tomarse en cuenta. Su valor oscila mento.entre 1.9 y 2.5 ton/m3 dependiendo princi- Para dimensionar estructuras de concre-palmente de los agregados pétreos que se to reforzado es necesario utilizar métodosempleen. Algunas de las otras características que permitan combinar el concreto simple ydel concreto se ven influidas por su peso vo- el acero, de tal manera que se aprovechenlumétrico, como se verá más adelante. Por en forma racional y económica las caracte-esta razón, algunos reglamentos de cons- rísticas especiales de cada uno de ellos. Estotrucción establecen disposiciones que depen- implica el conocimiento de estas caracterís-
  • 30. 3 2 Características generales del concreto y del aceroticas; en las páginas siguientes se describi- que puede estar sometido. En el caso másrán algunas de las más importantes. general, sería necesario analizar todas las Existen otras características del concre- combinaciones de acciones a que puede es-to, tales como su durabilidad, permeabili- tar sujeto un elemento.dad, resistencia al fuego, a la abrasión, a la Para esto se han hecho estudios ex-intemperie, etc., que no se tratarán, ya que perimentales sobre el comportamiento delno es necesario su conocimiento detallado concreto sujeto a estados uniaxiales de com-para establecer métodos de dimensionamien- presión y tensión, a estados biaxiales deto. El lector puede consultar a este respecto compresión y tensión, y a estados triaxialesalgún texto de tecnología del concreto, co- de compresión. A partir de estos estudios semo los de Neville [2.2, 2.1 91, Troxell, Davis han obtenido expresiones para determinary Kelly [2.11, Orchard [2.3] o Popovics las deformaciones que producen estados [2.20], recomendados al final de este capítu- combinados de esfuerzos.lo. Un excelente tratamiento del tema sepresenta en el Manual de Tecnología del 2.2.1 Modos de falla y característicasConcreto de la Comisión Federal de Electri- esfuerzo-deformación bajocidad [2.291. compresión axial MODOS DE FALLA2.2 Características esfuerzo- La figura 2.1 muestra un cilindro de concre- deformación del concreto simple to simple ensayado en compresión axial. En cilindros con relación de lado a diámetro igualSe ha indicado que el objeto principal del a dos, como el que se muestra en la figura,estudio del comportamiento del concreto es la falla suele presentarse a través de planosla obtención de las relaciones acción-res- inclinados con respecto a la dirección de lapuesta del material, bajo la gama total de so-licitaciones a que puede quedar sujeto. Estascaracterísticas acción-respuesta pueden des-cribirse claramente mediante curvas esfuer-zo-deformación de especímenes ensayadosbajo distintas condiciones. En este caso, el esfuerzo es comúnmenteuna medida de la acción ejercida en el espé-cimen, y la deformación, una medida de larespuesta. Sin embargo, debe tenerse en cuen-ta que en algunos casos, como por ejemploen asentamientos y contracciones, esta rela-ción se invierte; es decir, las solicitacionesquedan medidas por la deformación y la res-puesta está representada por los esfuerzosrespectivos. Para conocer el comportamiento delconcreto simple es necesario determinar lascurvas esfuerzo-deformación correspon- Figura 2.1 Falla en compresión de un cilindrodientes a los distintos tipos de acciones a de concreto.
  • 31. Características esfuerzo-deformación del concreto simple 33carga. Esta inclinación es debida principal- CURVA T~PICABAJO CARGAmente a la restricción que ofrecen las placas DE CORTA DURACIÓNde apoyo de la máquina contra movimientoslaterales. S i se engrasan los extremos del ci- La curva que se presenta en la figura 2.2lindro para reducir las fricciones, o si el corresponde a un ensaye efectuado en unespécimen es más esbelto, las grietas que se tiempo relativamente corto, del orden deproducen son aproximadamente paralelas a unos cuantos minutos desde la iniciaciónla dirección de aplicación de la carga. Al com- hasta el colapso. Se puede apreciar que elprimir un prisma de concreto en estas condi- concreto no es un material elástico y que lacio.nes, se desarrollan grietas en el sentido parte inicial de estas curvas no es rigurosa-paralelo al de la compresión, porque el con- mente recta. Sin embargo, sin gran errorcreto se expande transversalmente. puede considerarse una porción recta hasta Las grietas se presentan de ordinario en aproximadamente el 40 por ciento de lala pasta y muy frecuentemente entre el agre- carga máxima. Se observa, además, quegado y la pasta. En algunos casos también se la curva llega a un máximo y después tienellega a fracturar el agregado. Este microa- una rama descendente. E l colapso se pro-grietamiento es irreversible y se desarrolla a duce comúnmente a una carga menor quemedida que aumenta la carga, hasta que se la máxima.produce el colapso. En el ensaye de prismas o cilindros de concreto simple, la carga máxima se alcan-CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIÓN za a una deformación unitaria del orden de 0.002, si la longitud de medición es del mismoLas curvas esfuerzo-deformación se obtie- orden de magnitud que el lado del espéci-nen del ensaye de prismas sujetos a carga men. El colapso del prisma, que correspon-axial repartida uniformemente en la sección de al extremo de la rama descendente, setransversal mediante una placa rígida. Los presenta en ensayes de corta duración a de-valores del esfuerzo resultan de dividir la formaciones que varían entre 0.003 y 0.007,carga total aplicada, P, entre el área de la según las condiciones del espécimen y de lasección transversal del prisma, A, y repre- máquina de ensaye.sentan valores promedio obtenidos bajo la Se han propuesto varias ecuaciones parahipótesis de que la distribución de deforma- representar analíticamente la curva esfuerzo-ciones es uniforme y de que las característi- deformación. El problema es complejo porquecas esfuerzo-deformación del concreto son influyen muchas variables, algunas inclusiveconstantes en toda la masa. El valor de la de- ajenas a las propiedades intrínsecas del mate-formación unitaria, %, es la relación entre el rial, como la rigidez relativa de la máquina deacortamiento total, a, y la longitud de medi- ensaye. Aunque para la mayoría de las aplica-ción, t (figura 2.2). ciones prácticas no se requiere una ecuación Puesto que el concreto es un material que represente la gráfica completa, incluyendoheterogéneo, lo anterior es una idealización la rama descendente, dicha ecuación es nece-del fenómeno. Según la distribución de la saria cuando se trata de determinar los esfuerzospasta y del agregado en la masa, los esfuer- de manera rigurosa utilizando técnicas comozos, considerados como la carga soportada la del elemento finito. Por esta razón se hanen un área diferencial, variarán de un punto realizado investigaciones para obtener ecua-a otro de una misma sección. Sin embargo, ciones que consideren a la mayoría de las va-esta variación no es significativa desde el riables significativas. El lector interesado puedepunto de vista del diseño estructural. consultar, por ejemplo, la referencia 2.2 5.
  • 32. 34 Características generales del concreto y del acero Área ( A ) Deformación unitaria e, = ale 81 Figura 2.2 Curva esfuerzo-deformación en compresión axial de un espécimen sujeto a carga de corta duración.EFECTO DE LA EDAD Por lo tanto, el aumento de capacidad de car- ga del concreto depende de las condicionesDebido al proceso continuo de hidratación de curado a través del tiempo.del cemento, el concreto aumenta su capa- La figura 2.3 muestra curvas esfuerzo-cidad de carga con la edad. Este proceso de deformación de cilindros de 15 X 30 cm, fa-hidratación puede ser más o menos efectivo, bricados de un mismo concreto y ensayadossegún sean las condiciones de intercambio a distintas edades. Todos los cilindros fueronde agua con el ambiente, después del colado. curados en las mismas condiciones hasta el e 84 días Figura 2.3 Efecto de la edad al ensayar en la resistencia.
  • 33. Caracteristicas esfuerzo-deformación del concreto simple 35 Edad del concreto en días Figura 2.4 Variación de la resistencia con la edad.día del ensaye. Las curvas se obtuvieron se han desarrollado concretos con resisten-aplicando incrementos de deformación cons- cias mucho mayores, hasta de más de 1000tantes. Se determinan así ramas descendentes kg/cm2, llamados concretos de muy alta re-más extendidas que las obtenidas común- sistencia. Aunque no existe una definiciónmente bajo incrementos constantes de car- precisa, se puede considerar que si su resis-ga. Se puede observar que la deformación tencia sobrepasa los 400 kg/cm2, un concretounitaria para la carga máxima es del orden ya es de muy alta resistencia. Estos concretosde 0.001 5 a 0.0020. se han utilizado en edificios muy altos, El aumento de resistencia con la edad puentes, torres y estructuras especiales. Al-depende también del tipo de cemento, sobre gunos ejemplos conocidos son el Two Uniontodo a edades tempranas. La figura 2.4 mues- Square Building en Seattle, en el que se usótra el aumento de resistencia con la edad pa- un concreto de 1400 kg/cm2, y las Torres dera cilindros de 15 x 30 cm, hechos con Kuala Lumpur, en Malasia. En México se hancemento normal (tipo I), y de alta resistencia construido dos edificios con concretos deinicial (tipo III), que son los dos tipos más em- 600 kg/cm2.pleados en estructuras de concreto reforzado. La forma de la curva esfuerzo-deforma- Después de los primeros tres meses, el ción varía con la resistencia del concreto. Enaumento en resistencia es relativamente pe- la figura 2.5 se muestran curvas de concre-queño. tos cuyas resistencias varían de 250 a 1200 kg/cm2. Se puede ver que conforme aumen-EFECTO DE LA RESISTENCIA ta la resistencia, las gráficas se vuelven más cercanas a una línea recta en la parte inicialLa curva mostrada en la figura 2.2 corres- y sus ramas descendentes se hacen másponde a concretos con una resistencia a la pronunciadas. La deformación última, E,,,compresión comprendida entre 200 y 300 disminuye significativamente, mientras que lakg/cm2, aproximadamente. En fechas recientes deformación correspondiente al esfuerzo má-
  • 34. 36 Características generales del concreto y del acero midió el tiempo necesario para alcanzar la resistencia. Se puede observar que la resistencia de un cilindro en el que la carga máxima se al- canza en centésimas de segundo es aproxi- madamente 50 por ciento mayor que la de uno que alcanzó su carga máxima en 66 se- gundos. Por otra parte, para un cilindro en que la carga máxima se alcanza en 69 minu- tos, la resistencia disminuye aproximadamen- -20 1 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 te en 10 por ciento. Deformación axial En ensayes a velocidad de carga cons- tante, las ramas descendentes de las curvas esfuerzo-deformación no son muy extendi-Figura 2.5 Efecto de la resistencia (Park [2.30]). das, debido a que las características de las máquinas de ensaye hacen que el colapsoximo va siendo mayor. Mientras mayor es la ocurra súbitamente, una vez que se alcanzaresistencia, el comportamiento es más frágil. la carga máxima. En la figura se muestra que las pendien-EFECTO DE LA VELOCIDAD DE CARGA tes de las tangentes iniciales a las curvas cre- cen al aumentar la velocidad. N o es posibleLa figura 2.6 muestra resultados de ensayes determinar en todos los casos la rama des-de cilindros realizados a distintas velocida- cendente. Al igual que en otros tipos de en-des de carga. En este tipo de ensayes se apli- saye, las deformaciones correspondientes acó la carga a una velocidad constante y se las cargas máximas son del orden de 0.002.1.5 - Tiempo para alcanzar el máximo esfuerzo .0.04 seg La figura 2.7 muestra curvas obtenidas ensa- yando cilindros a distintas velocidades de deformación, desde una milésima de defor- mación unitaria por minuto, hasta una milé- sima por cien días. En esta figura, fc~o.ool~ representa la resistencia obtenida cuando la velocidad de deformación unitaria en el en- saye es de 0.001 por minuto. Como puede apreciarse, esta variable tiene un efecto no- table sobre las características de la curva es- fuerzo-deformación, especialmente sobre la carga máxima. Si la velocidad de deformación 1 C v es muy grande, la rama descendente es brus- ca, en tanto que si la deformación se aplica lentamente, la rama descendente es bastante suave. La deformación unitaria correspondien- Figura 2.6 Efecto de la velocidad de carga te a la carga máxima sigue siendo del orden (Hatano [2.4]). de 0.002. Puede observarse que la resisten-
  • 35. Caracteristicas esfuerzo-deformación del concreto simple 37 Figura 2.7 Efecto de la velocidad de deformación (Rüsch [2.51).cia disminuye muy poco con incrementosimportantes en la duración del ensaye. Figura 2.8 Efecto de la relación de esbeltez.EFECTO DE LA ESBELTEZ Y DEL TAMAÑODEL ESPÉCIMEN resistencia baja aumenta con el tamaño del espécimen. La figura 2.9 muestra el efectoEl efecto de la relación de esbeltez sobre la del tamaño de un cilindro en su resistenciaresistencia a la compresión de un prisma se a la compresión.muestra de manera cualitativa en la figura2.8, en la que arbitrariamente se ha tomado 2.2.2 Compresión triaxialcomo 100 por ciento la resistencia de un es-pécimen con relación de esbeltez igual a Los ensayes efectuados en cilindros de con-dos. Como medida de la esbeltez se toma la creto bajo compresión triaxial muestran querelación entre la longitud, medida en direc- la resistencia y la deformación unitaria co-ción de la carga, y el lado menor de un pris-ma, o el diámetro de un cilindro. - Q, Cilindros con relación de esbeltez Para esbelteces mayores que dos, la re- m * S igual a dossistencia baja, hasta llegar al 85 por ciento, 8 120 Laproximadamente, para esbelteces de seis omás. Por el contrario, para especímenes deesbelteces menores que dos, la resistenciaaumenta indefinidamente, y en teoría seríainfinita para un espécimen de altura nula. L En especímenes geométricamente seme- 701 , , , , , , , , , ,jantes pero de distinto tamaño, la resistencia .- m ;u 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100disminuye, dentro de ciertos límites, mien- Di Diámetro (cm)tras mayor sea el espécimen. Esto es debidoa que en materias frágiles, como el concre-to, la probabilidad de que existan zonas de Figura 2.9 Efecto del tamaño.
  • 36. 38 Caracteristicasgenerales del concreto y del acerorrespondiente crecen al aumentar la presión lateral, desde 38 hasta 286 kg/cm2. Se pue-lateral de confinamiento. En estos ensayes, el de observar que el incremento de la resisten-estado triaxial de esfuerzos se crea rodeando cia es función directa del incremento de lael espécimen de aceite a cierta presión y presión de confinamiento. Con presiones deaplicando una carga axial hasta la falla me- confinamiento adecuadas, pueden obtener-diante dispositivos como el ilustrado esque- se resistencias de más de 1000 kg/cm2.máticamente en la figura 2.1 0 (a). El efecto de la presión lateral sobre la En la figura 2.1 0 (b) se presentan curvas resistencia se ilustra en la figura 2.10 (c),esfuerzo-deformación obtenidas de los ensa- donde se presenta una gráfica del esfuerzoyes realizados por Brandtzaeg [2.6]. Corres- axial, fi, necesario para producir la falla delponden a distintas presiones de confinamiento cilindro, contra la presión lateral, f2.Los re- Espécimen (b) a presión I Presión en el aceite f2 (c) Figura 2.10 Compresión triaxial (Brandtzaeg l2.61).
  • 37. Características esfuerzo-deformación del concreto simple 39sultados obtenidos de los ensayes pueden 2.2.3 Tensiónrepresentarse, aproximadamente, por mediode la expresión Es difícil encontrar una manera sencilla y re- producible de determinar la resistencia a tensión uniaxial. Siendo el concreto, bajo esta condición, un material frágil, es necesa-donde f, es la resistencia en compresión rio que la sección transversal del espécimenaxial de un cilindro sin presión confinante. varíe gradualmente, para evitar fallas prema-Es evidente que el efecto del confinamiento turas debidas a concentraciones de esfuerzos.es muy importante; basta que se aplique una La curva esfuerzo-deformación de concretocompresión lateral igual a la cuarta parte de en tensión representada en la figura 2.1 1 sela resistencia uniaxial para que ésta se dupli- obtuvo ensayando un espécimen de secciónque. rectangular, variable a lo largo del mismo. Debe notarse también el incremento Para fijarlo en la máquina de ensaye, se uti-notable en el valor de la deformación unita- lizaron placas pegadas con resina a los extre-ria, correspondiente a la resistencia al incre- mos del espécimen, las que a su vez fueronmentar la presión de confinamiento; con atornilladas a la máquina. Este tipo de ensa-una presión de 38 kg/cm2, la deformación ye requiere mucho cuidado para lograr re-unitaria correspondiente a la carga máxima sultados dignos de confianza.aumenta diez veces con respecto a la de un Para concreto en tensión axial, tanto lascilindro sin confinar. resistencias como las deformaciones corres- Los estudios de Brandtzaeg han sido pondientes son aproximadamente del ordenconfirmados más recientemente por Hobbs de una décima parte de los valores respectivos [2.21], quien obtuvo un coeficiente de 3.7 en compresión axial. Sin embargo, la rela-en vez de 4.1, pero la tendencia general es ción no es lineal para toda la escala de resis-la misma. tencias. Placa pegada con resina Alargamiento e Figura 2.1 1 Curva esfuerzo-deformación en tensión uniaxial.
  • 38. 40 Características generales del concreto y del acero En 1948, Lobo Carneiro [2.71 en Brasil En la expresión (2.2):y, casi simultáneamente Akazawa [2.8] enJapón, idearon un procedimiento de ensaye P = carga máximaindirecto en tensión, que se conoce como elensaye brasileño. En esencia consiste en so- d = diámetro del espécimen & = longitud del espécimenmeter un cilindro a compresión lineal diame-tral, como se muestra en la figura 2.1 2 (a). Lacarga se aplica a través de un material rela- En realidad, el concreto no es elásticotivamente suave, como triplay o corcho. Si el y, además, la resistencia en tensión que sematerial fuera perfectamente elástico, se ori- mide no es la resistencia en tensión uniaxialginarían esfuerzos de tensión uniformemen- como la que se obtendría en el ensaye mos-te distribuidos en la mayor parte del plano trado en la figura 2.1 1. Sin embargo, lo quediametral de carga, como se muestra en la fi- se pretende es tener una medida de la resis-gura 2.12 (b). tencia del concreto a la tensión por medio La resistencia en tensión se calcula con de un ensaye fácil y reproducible por mu-la fórmula: chos operadores en distintas regiones. Esto se logra satisfactoriamente con el ensaye brasileño. Para concretos fabricados con agrega- dos de Santa Fe (Ciudad de México), la rela-deducida de la teoría de la elasticidad (véa- ción entre la resistencia a la compresión dese, por ejemplo, la referencia 2.9). un cilindro y su resistencia a la tensión, ob- 1 Tensión I Com~resión 1 (a) Esquema de ensaye (b) Distribución de esfuerzos relativos f según teoría elástica Figura 2.12 Distribución de esfuerzos y tipo de carga en tensión indirecta.
  • 39. Características esfuerzo-deformación del concreto.simple 41tenida del ensaye brasileño, está dada por del concreto simple. Ésta se determina conlas expresiones frecuencia ensayando un prisma de concreto libremente apoyado, sujeto a una o dos car- gas concentradas. La falla es brusca, con una grieta única que fractura el espécimen. El esfuerzo teórico de tensión en la fibra inferior correspondiente a la rotura se calcu-para concreto clase 1; y la mediante la expresión ((,)=1.2 (2.4) (@ =0.4 E (2.4,SI) en la que f es el módulo de rotura, M es el , momento flexionante correspondiente a lapara concreto clase 2; donde carga máxima aplicada, c es el medio peral- te, e 1 es el momento de inercia de la sección (ftb) = resistencia en tensión del ensaye transversal del prisma. brasileño Al aplicar la expresión (2.5) se supone f, = resistencia a la compresión simple que el concreto es elástico hasta la rotura, de un cilindro de 15 x 30 cm. hipótesis que, como se ha indicado, no es correcta para toda la escala de carga. Para concretos de resistencias mayores Esta prueba proporciona una medida deque 400 kg/cm2, se obtiene una mejor apro- la resistencia del concreto a flexión, o másximación si el coeficiente 1.5 de la ecuación bien, a la tensión debida a la flexión. Nor-2.3 se sustituye por 1.75 malmente, el módulo de rotura es mayor que Estas expresiones son solamente aproxi- la resistencia a la tensión obtenida del ensa-madas y se presentan para dar una idea de ye brasileño.los órdenes de magnitud relativos. Para valo- Se ha observado que el esfuerzo máxi-res bajos de f, la resistencia en tensión es , mo de rotura en flexión depende, entre otrasdel orden de 0.10 f, mientras que para va- , variables, de la resistencia a la compresión,lores altos disminuye a 0.07 f,. de la relación peralte a claro y de las condi- E l conocimiento de la resistencia a la ciones de curado. Debido a que la medicióntensión del concreto es importante para el de deformaciones- es difícil de realizar, nodiseño en tensión diagonal y para otros tipos existen muchos datos experimentales sobrede comportamiento, en donde la tensión es las características esfuerzo-deformación deel fenómeno predominante. prismas sujetos a flexión simple. El módulo de rotura como medida de la2.2.4 Flexión resistencia a la tensión, tiene varias desven- tajas. La principal es que el punto de tensiónPara algunas aplicaciones, tales como pavi- máxima se presenta en la superficie externamentos de concreto, es necesario conocer del espécimen, que está sujeta en forma im-aproximadamente la resistencia a la flexión portante a esfuerzos de contracción origina- dos por cambios en el ambiente. Por esta razón, la dispersión de datos de ensayes de*Las ecuaciones cuyo número está seguido de las letras SIestán en el Sistema Internacional de Medidas. Véase el prólo- módulo de rotura es mayor que la dispersióngo del libro. obtenida en el ensaye brasileño, la que a su
  • 40. 42 Características generales del concreto y del acerovez es mayor que la dispersión de datos de prue- través de dispositivos especiales, para evitarbas en compresión. E difícil establecer rela- s alteraciones de los estados de esfuerzos es-ciones generales entre los valores de fr y f ya , tudiados.que la relación depende del tipo de concreto. La utilización del concreto reforzado en Uno de los comités técnicos del Ameri- estructuras complejas, en las que se encuentracan Concrete lnstitute [2.28] recomienda la sometido a condiciones de esfuerzos combi-siguiente ecuación para calcular la resisten- nados, ha propiciado el estudio de su com-cia a flexión en términos de la resistencia a portamiento en estas condiciones. Así, se hancompresión: llevado a cabo recientemente ensayes bajo esfuerzos de compresión biaxiales o esfuer- zos de compresión en dos ejes y de tensión en el tercer eje [2.22,2.23]. En general, las en-donde w es el peso volumétrico del concre- , volvente~ falla tienen la forma mostrada deto en kg/m3 y g es un factor que puede va- , en la figura 2.13, en donde se indican deriar de 0.04 a 0.07 dependiendo del tipo deconcreto (g, varía de 0.01 2 a 0.021 para w,en kg/m3 y fr y f, en MPa). Un valor usualaproximado es fr = 2 e.2.2.5 Otras condiciones de esfuerzosLa determinación de la resistencia del con-creto simple a un estado de esfuerzo cortantepuro no tiene mucha importancia práctica,porque dicho estado implica siempre la pre-sencia de tensiones principales de la mismamagnitud que el esfuerzo cortante, las cualesoriginan la falla cuando el elemento podríaaún soportar esfuerzos cortantes mayores.Algunos procedimientos indirectos indicanque la resistencia al esfuerzo cortante es delorden del 20 por ciento de la resistencia acompresión. También se han realizado ensayes enconcreto simple sujetando especímenes de di-versos tipos a otras combinaciones de esfuer-zos. Entre éstos cabe mencionar las ensayesefectuados por McHenry [2.101, utilizandocilindros huecos sujetos a una presión interiory a una carga axial longitudinal, en los quese provoca un estado combinado de esfuerzosde tensión y compresión; los llevados a cabopor Bresler [2.11], sometiendo cilindros acombinaciones de esfuerzos de torsión y com- Figura 2.1 3 Envolvente típica de falla parapresión axial, y los de Kupfer, Hilsdorf y concreto sujeto a esfuerzos triaxialesRüsch [2.12] en placas y prismas cargados a (referencia 2.24).
  • 41. Efectos del tiempo en el concreto endurecido 43manera aproximada los incrementos o de- inicial. Si la carga permanece aplicada, la de-crementos, con respecto a la resistencia en formación aumenta con el tiempo, aun cuan-compresión uniaxial 12.241. Es interesante do no se incremente la carga.observar que una presión confinante del Las deformaciones que ocurren con elorden de 10 por ciento de la resistencia tiempo en el concreto se deben esencial-uniaxial, incrementa esta resistencia en mente a dos causas: contracción y flujo plás-aproximadamente 50 por ciento, mientras tico.que un esfuerzo de tensión pequeño, del La figura 2.14 muestra una curva típicaorden de 5 por.ciento de la resistencia a deformación-tiempo de un espécimen de con-compresión uniaxial, reduce ésta en aproxi- creto bajo carga constante. La forma de lamadamente la mitad. curva y las magnitudes relativas son aproxi- madamente las mismas, sea la acción de fle-2.2.6 Criterio de falla xión, compresión, tensión o torsión. En el eje vertical se muestra la deformación, y en elA pesar de los estudios que se han realizado, horizontal el tiempo, ambas variables en es-no se tiene todavía una teoría de falla senci- cala aritmética.lla y que permita predecir con precisión Se puede ver que al aplicar la carga enaceptable la resistencia del concreto simple. un tiempo relativamente pequeño, el con-Se ha intentado hacer adaptaciones, entre creto sufre una deformación inicial, que paraotras, de las teorías de Mohr, de Coulomb, efectos prácticos se puede considerar comode esfuerzos cortantes y de deformaciones instantánea. Si se mantiene la carga, el con-limitativas. K. Newman y J. Newman han creto sigue deformándose, con una veloci-utilizado con buenos resultados criterios de dad de deformación grande al principio, quefalla basados en teorías energéticas, las cua- disminuye gradualmente con el tiempo.les parecen ser más adecuadas para el caso Aunque para efectos prácticos puededel concreto 12.131. considerarse que la curva tiende a ser asintó- En la referencia 2.14 se presenta un re- tica con respecto a una horizontal, se hasumen de varios estudios efectuados para comprobado que la deformación sigue au-determinar la resistencia del concreto bajo mentando aún después de muchos años. Sinestados combinados de esfuerzos. El problema embargo, aproximadamente 90 por cientogeneral de determinar los incrementos de de la deformación total ocurre durante eldeformaciones a lo largo de estos tres ejes primer año de aplicación de la carga.principales cuando se incrementan los es- S i en cierto momento se descarga el es-fuerzos principales ha sido estudiado am- pécimen, se produce una recuperación instan-pliamente por Gerstle y su grupo. (Véase por tánea, seguida de una recuperación lenta. Laejemplo la referencia 2.26.) recuperación nunca es total; siempre queda una deformación permanente. En la figura 2.1 4, la curva de trazo con-2.3 Efectos del tiempo en el tinuo representa las deformaciones de un es- pécimen sujeto a una carga constante, la concreto endurecido cual es retirada después de cierto tiempo. La línea de trazo interrumpido representa las2.3.1 Conceptos generales deformaciones que produce el tiempo en un espécimen sin carga. Las ordenadas de estaCuando se aplica una carga a un espécimen curva son las deformaciones debidas a con-de concreto, éste adquiere una deformación tracción.
  • 42. 44 Caracterjsticas generales del concreto y del acero Para efectos de diseño estructural, no ralmente un concreto de alta resistencia tienebasta con conocer las deformaciones inicia- menos agua que otro de baja resistencia, elles o instantáneas; en muchos casos interesa primero se contraerá menos que el segundo.aún más estimar la magnitud de la deforma- Asimismo, un concreto en ambiente húmedoción total, incluyendo los efectos del tiem- se contraerá menos que en ambiente seco.po. En vigas sujetas a carga constante se han Para la misma relación agua/cemento,observado deflexiones totales de dos a cinco la contracción varía con la cantidad de pas-veces mayores que las medidas inmediata- ta por unidad de volumen. Una mezcla ricamente después de aplicada la carga. en pasta (cemento más agua) se contraerá más que otra pobre.2.3.2 Contracción La contracción tiende a producir esfuer- zos debidos a las restricciones al libre des-Las deformaciones por contracción se deben plazamiento del elemento que existen enesencialmente a cambios en el contenido de general en la realidad. S i el concreto pudie-agua del concreto a lo largo del tiempo. ra encogerse libremente, la contracción noEl agua de la mezcla se va evaporando e hi- produciría ni esfuerzos, ni grietas.drata el cemento. Esto produce cambios Si el curado inicial del concreto se hacevolumétricos en la estructura interna del con- muy cuidadosamente, disminuirá el efectocreto, que a su vez producen deformaciones. de la contracción. Se puede estimar que las Los factores que más afectan la contrac- deformaciones unitarias debidas a contracciónción son la cantidad original de agua en la varían entre 0.0002 y 0.001 0. Normalmen-mezcla y las condiciones ambientales espe- te, la mayor parte de la deformación porcialmente a edades tempranas. Como gene- contracción ocurre en los primeros meses.
  • 43. Efectos del tiempo en el concreto endurecido 452.3.3 Flujo plástico 2.3.4 Efecto de la permanencia de la cargaEl flujo plástico es un fenómeno relacionado Es importante conocer el porcentaje de la re-con la aplicación de una carga. Las teorías sistencia que puede soportar una pieza deque se han desarrollado para explicarlo son concreto en compresión sin fallar, cuando lacomplejas y caen fuera del alcance de este carga se mantiene indefinidamente. En la fi-texto. Pueden consultarse a este respecto las gura 2.1 5 se muestra el efecto de la perma-referencias 2.1 5 y 2.27. Se trata esencialmen- nencia de una carga según los ensayes dete de un fenómeno de deformación bajo car- Rüsch [2.5]. En el eje horizontal se presen-ga continua, debido a un reacomodo interno tan deformaciones unitarias, y en el eje ver-de las partículas que ocurre al mismo tiem- tical valores relativos, fClf,, de los esfuerzospo que la hidratación del cemento. aplicados con respecto a la resistencia en Las deformaciones por flujo plástico son una prueba de corta duración (20 minutosproporcionales al nivel de carga, hasta nive- aproximadamente).les del orden del 50 por ciento de la resis- Se presentan curvas esfuerzo-deforma-tencia. Para niveles mayores la relación ya ción obtenidas de especímenes sujetos a dis-no es proporcional. tintas velocidades de deformación, con lo Como el flujo plástico se debe en gran que se produjeron fallas a diferentes edades.parte a deformaciones de la pasta de cemen- La línea de trazo continuo corresponde a unto, la cantidad de ésta por unidad de volu- espécimen en el que la falla se produjo enmen es una variable importante. 20 minutos. Las curvas de especímenes Ile- En la figura 2.14 se observa que la de- vados a la falla en 100 minutos y siete díasformación debida al flujo plástico aumenta se presentan con trazo discontinuo.con la duración de la carga. También se ha Se muestran además dos envolventes: laobservado que, para un mismo nivel de car- inferior, llamada Iímite de deformación, y laga, las deformaciones disminuyen al aumen- superior, Iímite de falla. La primera muestratar la edad a que ésta se aplica. las deformaciones máximas que se obtienen Otros factores que afectan a las defor- al aplicar indefinidamente distintos porcentajesmaciones por flujo plástico son las propie- de la resistencia, inferiores a un cierto valordades de los materiales constituyentes del crítico. La segunda envolvente indica las de-concreto, las proporciones de la mezcla y la formaciones a la falla, correspondientes a por-humedad ambiente. centajes de carga superiores al valor crítico. Las deformaciones unitarias a largo plazo La intersección entre estas dos envolventesproducidas por el flujo plástico, E ~ I ,se pue- indica, teóricamente, el porcentaje de la re-den estimar a partir de las deformaciones sistencia por debajo del cual el espécimenelásticas instantáneas producidas por un puede soportar la carga indefinidamente.cierto esfuerzo en el concreto, Ecir multipli- En la figura puede observarse que si secando estas últimas por un coeficiente, C ,, carga un espécimen al 80 por ciento de sudenominado coeficiente de flujo plástico, cuyo resistencia de corta duración, se producirá lavalor varía entre 2 y 4, con un valor prome- falla eventualmente a una deformación deldio en condiciones comunes de 2.35. orden de 0.0055. En cambio, si se le sujeta E interesante mencionar que, como el s solamente al 40 por ciento de su resistencia deflujo plástico aumenta con el nivel de carga, corta duración, el espécimen sufrirá una de-este fenómeno tiende a aliviar las zonas de formación del orden de 0.0025 después demáximo esfuerzo y, por lo tanto, a uniformar un tiempo muy largo y mantendrá su carga los esfuerzos en un elemento. indefinidamente.
  • 44. 46 Características generales del concreto y del acero fc - fc 1.0- / Limite de falla E, / t = 20 min 0.6 - I I I I I I l I I l C O 0.002 0.004 0.006 0.008 0.001 O Figura 2.15 Efecto de la permanencia de la carga (Rüsch [2.51). Se puede decir, con cierto grado de se- to. Cuando a un elemento de concreto se leguridad, que el concreto puede tomar inde- aplican compresiones del orden de la mitadfinidamente, sin fallar, cargas hasta del 60 de su resistencia estática, falla después depor ciento de su capacidad. Cargas mayores aproximadamente diez millones de repeti-que 70-80 por ciento, aplicadas de modo ciones de carga. Se ha encontrado tambiénpermanente, acaban siempre por provocar la que si la carga se aplica intercalando perio-falla del espécimen. dos de reposo, el número de ciclos necesario para producir la falla aumenta considerable- mente.2 4 Fatiga . Los estudios experimentales se han he- cho aplicando los ciclos de carga y descargaSe han hecho diversos estudios sobre ele- a velocidades bastante más rápidas que lasmentos de concreto sujetos a repeticiones de que se presentan en la práctica y, por lo tan-carga. Cuando un elemento falla después to, sus resultados en general son conserva-de un número muy grande de repeticiones de dores.carga, se dice que ha fallado por fatiga. Este Se puede estimar que e l concreto sim-tipo de solicitación tiene importancia prácti- ple en compresión, toma diez millones o másca, ya que elementos como vigas de puente, de repeticiones de carga al 5 0 por ciento dedurmientes de ferrocarril o cimentaciones de su resistencia estática. En flexión, el mismomaquinaria están sujetos a muchas repeti- número de aplicaciones puede alcanzarseciones de carga. con ciclos de carga y descarga con valor Se mencionó anteriormente que un ele- máximo del orden de 35-50 p o r ciento de sumento de concreto en compresión no puede resistencia estática. Se han hecho estudiossoportar indefinidamente fracciones de su limitados de fatiga en torsión, que tienen unresistencia estática mayores que 70 por cien- interés práctico menor.
  • 45. Módulos elásticos 47 Para ciertos materiales, como el acero, se minar el módulo tangente inicial de una ma-ha encontrado que, aplicando ciclos de carga nera reproducible, se recurre a veces a apli-y descarga y llevando el esfuerzo máximo has- caciones previas de carga y descarga, conta un cierto valor, existe un límite de este es- objeto de rectificar la curva esfuerzo-defor-fuerzo por debajo del cual se puede soportar mación, y se considera la pendiente de laun número indefinido de ciclos. En concreto, curva así obtenida como el módulo de elas-se han llevado los ensayes hasta diez millones ticidad. E l método para determinar el módu-de aplicaciones de carga, sin que se haya lo tangente en esta forma se describe concomprobado la existencia de límites semejan- detalle en la referencia 2.1 7. El módulo detes. En las referencias 2.1 6 y 2.1 8 se trata am- elasticidad es función principalmente de lapliamente el tema de fatiga en el concreto. resistencia del concreto y de su peso volu- métrico. Se han propuesto varias expresio- nes para predecir el módulo de elasticidad a2.5 Módulos elásticos partir de estas variables. Por ejemplo, el Re- glamento ACI presenta la ecuaciónPara estimar deformaciones debidas a cargasde corta duración, donde se puede admitir uncomportamiento elástico sin errores impor-tantes, es necesario definir un valor del módu- donde Ec es el módulo de elasticidad enlo de elasticidad. Del estudio de las curvas kg/cm2, w es el peso volumétrico del con-esfuerzo-deformación mostradas, resulta ob- creto en ton/m3 y f f Ces la resistencia delvio que el concepto convencional de módulo concreto en kg/cm2. El Reglamento delde elasticidad no tiene sentido en concreto. Distrito Federal, propone las ecuacionesPor lo tanto, es necesario recurrir a definicio-nes arbitrarias basadas en consideracionesempíricas. Así, se puede definir el módulotangente inicial o tangente a un punto deter-minado de la curva esfuerzo-deformacióny elmódulo secante entre dos puntos de la misma. para concreto clase 1 con agregados calizos,Para tomar en cuenta los efectos de cargas delarga duración en una forma simple, se utili- E, = 11,oooJr;I (2.9)zan a veces módulos elásticos menores quelos correspondientes a las definiciones men-cionadas anteriormente. El módulo secante se usa en ensayes de laboratorio para definir la deformabilidad para concreto clase 1 con agregados basálti- de un concreto dado. La ASTM [2.171 reco- tos, y mienda la pendiente de la línea que une los puntos de la curva correspondiente a una deformación de 0.00005 y al 40 por ciento de la carga máxima. Se ha observado que, después de varios ciclos de carga y descarga a esfuerzos relati- para concreto clase 2, que son aplicables úni- vamente pequeños, la relación esfuerzo-defor- camente a concretos fabricados con agregados mación tiende a convertirse en una relación típicos de la Ciudad de México. Las diferen- prácticamente lineal. Como es difícil deter- cias entre los valores reales y los calculados
  • 46. 48 Características generales del concreto y del acerocon estas ecuaciones pueden ser muy gran- cientes pueden ser muy distintos de los men-des. Cuando se requieren estimaciones de cionados.cierta precisión, conviene determinar el mó-dulo de elasticidad del concreto usado enparticular. 2.7 Algunas características de los Para concretos con resistencias a la com-presión mayores que 400 kg/cm2, las NTC aceros de refuerzoespecifican ecuaciones diferentes para esti-mar el módulo de elasticidad. Éstas son: E l acero para reforzar concreto se utiliza en distintas formas. La más común es la barra o varilla que se fabrica tanto de acero lamina- do en caliente como de acero trabajado en frío. En las figuras 2.1 6 y 2.1 7 se muestran curvas de ambos tipos de acero, típicas de barras europeas.para concretos con agregado grueso calizo, y Los diámetros usuales de las barras pro- E,= 8500&+50,000 (2.12) ducidas en México varían de l/4 de pulg a 1 l/2 pulg. (Algunos productores han fabrica- do barras corrugadas de 5/16 de pulg, 5/32 de pulg y 3/16 de pulg.) En otros países se usan diámetros aun mayores.para concretos con agregado grueso basáltico. Todas las barras, con excepción del alam- En algunos análisis elásticos se suelen brón de l/4 de pulg, que generalmente es liso,emplear G, el módulo de elasticidad al es- tienen corrugaciones en la superficie, parafuerzo cortante, y ,u, el coeficiente de Pois- mejorar su adherencia al concreto. La tablason. E l primero se toma comúnmente como 2.1 proporciona datos sobre las característi-fracción del módulo de elasticidad que se cas principales de barras de refuerzo, así co-usa en compresión, del orden de 0.4. Expe- mo la nomenclatura para identificarlas.rimentalmente, se ha determinado que el Generalmente el tipo de acero se carac-segundo varía entre 0.12 y 0.20. Con fre- teriza por el Iímite o esfuerzo de fluencia.cuencia se supone ,u igual a 0.1 8. Este Iímite se aprecia claramente en las curvas esfuerzo-deformación de barras laminadas en caliente como se ve en la figura 2.1 6. E l ace- ro trabajado en frío no tiene un Iímite de2.6 Deformaciones por cambios fluencia bien definido (figura 2.1 7). En este de temperatura caso, el Iímite de fluencia suele definirse tra- zando una paralela a la parte recta de la cur-El concreto está sometido a cambios volumé- va esfuerzo-deformación desde un valor detricos por temperatura. Se han determinado la deformación unitaria de 0.0002; la inter-algunos coeficientes térmicos que oscilan sección de esta paralela con la curva defineentre 0.000007 y 0.00001 1 de deformación el Iímite de fluencia.unitaria por grado centígrado de cambio de En México se cuenta con una variedadtemperatura. Los valores anteriores correspon- relativamente grande de aceros de refuerzo.den a concreto de peso volumétrico normal Las barras laminadas en caliente pueden ob-(del orden de 2.2 ton/m3). Para concretos fa- tenerse con límites de fluencia desde 2300bricados con agregados ligeros, los coefi- hasta 4200 kg/cm2. El acero trabajado en frío
  • 47. Algunas características de los aceros de refuerzo 49 Figura 2.16 Curvas esfuerzo-deformación de aceros laminados en caliente para barras de refuerzo de fabricación europea. "O0 ""Y Figura 2.17 Curvas esfuerzo-deformación de aceros trabajados en frío para barras de refuerzo de fabricación europea.alcanza límites de fluencia de 4000 a 6000 bajado en frío, fabricado en México. En loskg/cm2. En la figura 2.1 8 se representa la países escandinavos se usan barras con Iími-gráfica esfuerzo-deformación de un acero tra- tes de fluencia de hasta 9000 kg/cm2.
  • 48. 50 Características generales del concreto y del aceroTabla 2.1 Diámetros, pesos, áreas y perímetros debarras. Barra Diámetro Peso Área Perímetro Núm. pulg mm kg/m cm2 cmOBSERVACIONESLos diámetros, áreas y pesos se ajustan a las normasdel Organismo Nacional de Normalización y Certifi- Figura 2.1 8 Gráfica esfuerzo-deformación de uncación de la Construcción y Edificación (ONNCCE) acero de alta resistencia, sin Iímite de fluencia(NMX-B-6, NMX-B-294 y NMX-B-457). Según estas definido, de fabricación nacional.normas, el diámetro nominal y el área de una barracorresponden a los que tendría una barra lisa, sin co-rrugaciones, del mismo peso por metro lineal; todas E l espaciamiento de los alambres varía de 5las barras, con excepción de la No. 2, están corru- a 40 cm, y los diámetros de 2 a 7 mm, apro-gadas. ximadamente. En algunos países, en lugar de alambres lisos se usan alambres con al- gún tipo de irregularidad superficial, para Una propiedad importante que debe te- mejorar la adherencia.nerse en cuenta en refuerzos con detalles El acero que se emplea en estructurassoldados es la soldabilidad. La soldadura de presforzadas es de resistencia francamenteaceros trabajados en frío debe hacerse con superior a la de los aceros descritos ante-cuidado. riormente. Su resistencia última varía entre Otra propiedad importante es la facili- 14,000 y 22,000 kg/cm2, y su Iímite de fluen-dad de doblado, que es una medida indi- cia, definido por el esfuerzo correspondienterecta de ductilidad y un índice de su a una deformación permanente de 0.002,trabajabilidad. entre 12,000 y 19,000 kg/cm2. Se ha empezado a generalizar el uso de Como ilustración, en la figura 2.1 9 semallas como refuerzo de losas, muros y al- presentan, atendiendo al grado de calidad,gunos elementos prefabricados. Estas mallas algunas curvas esfuerzo-deformación paraestán formadas por alambres lisos unidos por distintos tipos de acero, y dos curvas esfuer-puntos de soldadura en las intersecciones. El zo-deformación para concreto con una re-acero es del tipo trabajado en frío, con esfuer- sistencia de 250 kg/cm2, correspondientes azos de fluencia del orden de 5000 kg/cm2. cargas de corta y larga duración.
  • 49. Referencias 51 paración de las curvas del acero y del concre- to, se puede inferir que si ambos trabajan en un elemento de concreto reforzado sujeto a com- presión axial, el colapso del conjunto estará regido por la deformación del concreto que, bajo cargas de larga duración, puede ser hasta de 0.010 o 0.012. Para esta deformación, el acero tendría apenas una deformación del or- den correspondiente a su límite de fluencia. Las características de adherencia de los distintos aceros, y su influencia en el diseño, se presentarán en el capítulo de Adherencia. 1 ,Concreto corta duración 1 Para lograr el trabajo en conjunto debe te- nerse una adherencia suficiente entre concre- Concreto larga duración O to y acero, obtenida ya sea mecánicamente 0.01; 0.02; 0.02; 0.03; 0.03; 0.04; 0.04; o.o!o o por medio de la adhesión entre el concre- Deformación unitaria, E to y el acero de refuerzo. Para el diseño se supone que la curva Figura 2.19 Curvas comparativas para acero y esfuerzo-deformación del acero en compre- concreto. sión es idéntica a la curva esfuerzo-deforma- ción en tensión. La curva en compresión es El módulo de elasticidad de los distintos difícil de determinar en el caso de barras,tipos de acero cambia muy poco. De la com- debido a efectos de esbeltez. Referencias2.1 Troxell, G. E., H. E. Davis y J. W. Kelly. Compo- the Arnerican Concrete Institute, Detroit, julio sition and Properties o f Concrete, segunda edi- 1960. ción. Nueva York, McGraw Hill, 1968. 2.6 Richart, F. E., A. Brandtzaeg y R. L. Brown. "A2.2 Neville, A. M. Properties o f Concrete, cuarta edi- Study of the Failure of Concrete under Combined ción. Nueva York, John Wiley, 1996. Compressive Stresses". Bulletin No. 185, Urba-2.3 Orchard, D. F. Concrete Technology (3 volúrne- na, III., University of Illinois, Engineering Experi- nes). Nueva York, Halsted Press. Vol. 1, 1973; ment Station, noviembre 1928. Vol. 2, 1973; Vol. 3, 1976. 2.7 Lobo B. Carneiro, F. L. "ConcreteTensile Strength".2.4 Hatano, T. y H. Tsutsumi. Dynarnical Cornpressi- Boletín RILEM No. 73, marzo 1953. ve Deforrnation and Failure o f Concrete under 2.8 Akazawa, T. "Tension Test Method for Concrete". Earthquake Load. informe No. C 5904 del Labora- Boletín RILEM No. 16, noviembre 1953. torio Técnico del Instituto Central de Investigacio- 2.9 Timoshenko, S. P y J. N. Goodier. Teoría de la . nes de la industria Eléctrica, Tokio, septiembre elasticidad. Bilbao, URMO, 1968. 1968. Véase también el lnforme No. C 5906, por 2.10 McHenry, D. y J. Karni. "Strength of Concrete T Hatano, Tokio, marzo 1960. . under Combined Tensile and Compressive Stres-2.5 Rüsch, H. "Researches Toward a General Flexu- ses". lourna1 of the Arnerican Concrete Institute, ral Theory for Structural Concrete". lournal of Detroit, abril 1958.
  • 50. 52 Características generales del concreto y del acero2.1 1 Bresler, B., y K. S. Pister. "Strength of Concrete 2.21 Hobbs, D.W., y C. D. Pomeroy. The Structural under Combined Stresses". Journal of the Arneri- Engineer. V. 52 No. 5, mayo 1974. can Concrete Institute, Detroit, septiembre 1958. 2.22 Wang Chuan-zhi, Guo Zhen-hai y Zhang-Xiu-2.1 2 Kupfer, H., H. K. Hilsdorf y H. Rüsch. "Behavior of quin. Experimental lnvestigation of Biaxial and Concrete under Biaxial Stresses". Journal of the Triaxial Compressive Concrete Strength, ACI Arnerican Concrete Institute, Detroit, agosto 1969. Materials Journal, Detroit, marzo-abril 1987.2.13 Newman, K., y J. B. Newman. "Failure Theory 2.23 JiangLinhua, Huang Dahai y Xie Nianxiang. Be- and Design Criteria for Plain Concrete". En la havior of Concrete under Triaxial Compressive- Memoria de la lnternational Conference o f Struc- Compressive-Tensile Stresses. ACl Materials ture, Solid Mechanics and Engineering Design Journal, Detroit, marzo-abril 1991. and Civil Engineering Materials. Southampton, 2.24 Kotsovos, M.D. Consideration of Triaxial Stress 1969. Conditions in Design: A Necessity. ACI Structu-2.14 Jordá, R. Resistencia del concreto a esfuerzos ral Journal, Detroit, mayo-junio 1987. combinados, tesis profesional. Puebla, México, 2.25 Carreira, D. J., y Kuang-Han Chu. Stress-Strain Universidad Autónoma de Puebla, 1970. Ralationship for Plain Concrete in Compression.2.1 5 - Syrnposiurn on Creep of Concrete (SP-9). De- . Journal o f the Arnerican Concrete Institute, De- troit. American Concrete Institute, 1964. troit, noviembre-diciembre 1985.2.16 Lloyd, J. P, J. L. Lott y C. E. Kesler. "Fatigue of . 2.26 Stankowski T., y K. H. Gerstle. Simple Formula- Concrete". Bulletin No. 499. Urbana, III., Uni- tion of Concrete Behavior under Multiaxial Load versity of Illinois, Engineering Experiment Sta- Histories. Journal o f the Arnerican Concrete Ins- tion, 1968. titute, Detroit, marzo-abril 1985.2.1 7 - Standard Method o f Test of Static Youngs . 2.27 Neville, A. M., W. H. Dilger y J. J. Brooks. Creep Modulus of Elasticity ond Poissons Ratio i n Corn- o f Plain and Structural Concrete. Londres y Nue- pression of Cylindrical Concrete Specirnens va York, Longman, 1983. (ASTM C 469-65). Filadelfia, American Society 2.28 Comité ACI 209 "Prediction of Creep, Shrinkage for Testing and Materials, 1965. and Temperature Effects in Concrete Structures".2.1 8 Shah, S. P, editor. Fatigue of Concrete Structures . Detroit, 1992. Confirmado en 1997. (SP 7 5 ) . Detroit, American Concrete Institute, 2.29 Mena Ferrer, M., C. J.Mendoza Escobedo, E. Zamu- 1982. dio Cíntora, R. Uribe Afif. Manual de Tecnología del2.1 9 Neville, A.M. Tecnología del concreto (2 volú- Concreto. México, Comisión Federal de Electrici- menes). México, Instituto Mexicano del Cemen- dad, LIMUSA, lnstituto de Ingeniería, 1994. to y del Concreto. 2.30 Park, R. "Design and Behavior of RC Columns In-2.20 Popovics, S. Fundarnentals of Portland Cernent corporating High Strength Materials". Concrete Concrete, Vol. 1: Fresh Concrete. Nueva York, International, American Concrete Institute, no- John Wiley, 1982. viembre, 1998.
  • 51. truirá el prototipo. La resistencia del prototi- po puede predecirse a partir de la resistencia CAP~TUO L 3 medida en el modelo, y utilizando los princi- pios de similitud. En la mayoría de los casos, no es necesario ensayar prototipos o modelos de estructuras que se quieren diseñar. Como se indicó en el capítulo 1, en el proceso de diseño seguido normalmente se analiza una índices de resistencia y estructura y se dimensionan los elementos de manera que puedan resistir las acciones control de calidad internas determinadas en el análisis. Como no es práctico determinar la re- sistencia de cada elemento estructural bajo distintos tipos de solicitaciones, se han rela- cionado características de resistencia y de- formabilidad de elementos estructurales 3.1 Introducción. /3.2 índices de resisten- (vigas, columnas, losas) con las características cia. /3.3 Evaluación de datos. /3.4 Control de ciertos especímenes de control, represen- de calidad. tativos de las propiedades de los materiales. Estas correlaciones han sido establecidas me- diante investigaciones experimentales sobre el comportamiento de miembros y conjuntos3.1 Introducción estructurales, refinándoselas con la obser- vación del comportamiento de estructurasPara poder diseñar es necesario poder esti- reales.mar la resistencia de una estructura. La for- En el capítulo anterior se indicó que tan-ma más directa de obtenerla es realizando to el concreto como el acero tienen caracte-una prueba de carga, ya sea sobre toda la rísticas distintas, según sea su composición yestructura, sobre una parte típica de la mis- su forma de fabricación. Por lo tanto, es nece-ma, o bien, sobre elementos construidos ex sario tener un índice que relacione las carac-profeso para dicha prueba. Aunque este mé- terísticas del material con el comportamientotodo es el que proporciona una información que puede esperarse de él. Dicho índice debemás fidedigna, no es desde luego el más reflejar las propiedades estructurales básicaspráctico en todos los casos. Sin embargo, del material en cuestión. Así, por ejemplo, eldebe utilizarse ese procedimiento cuando se índice de resistencia más característico delplanea construir estructuras de tipos radical- concreto es su resistencia a la compresión, ymente distintos a los comúnmente usados en el del acero, su resistencia a la tensión.la práctica, o formados con elementos es- No es suficiente en todos los casos te-tructurales cuyas propiedades mecánicas no ner un solo índice de resistencia para definirson bien conocidas. También puede resultar cada uno de los materiales que forman elconveniente cuando se piensa fabricar mu- concreto reforzado. Puesto que las relacio-chos elementos o estructuras iguales. nes entre las resistencias de un material ba- Otro procedimiento para obtener el ín- jo distintas acciones o solicitaciones no sondice de resistencia de una estructura consiste constantes para cualquier valor de la resis-en el ensaye de un modelo a escala, fabricado tencia índice, no puede tomarse ésta comocon los mismos materiales con que se cons- representativa de la resistencia del material
  • 52. 54 índices de resistencia y control de calidadbajo cualquier condición de carga. Por ejem- ción será necesario comprobar que la cali-plo, la resistencia en tensión del concreto dad y uniformidad de los materiales es la es-simple no sigue una relación lineal con la pecificada; esto es un problema de controlresistencia a la compresión, para toda la es- de calidad.cala de esta última. Sin embargo, el índice En este capítulo se describen breve-da idea de las cualidades que pueden espe- mente los índices de resistencia que serarse del material. usan comúnmente para el concreto y el Debe ser posible determinar los índices acero. A continuación se ofrecen algunasde resistencia por procedimientos de ensaye nociones sobre los métodos estadísticossencillos y relativamente baratos y que empleados en la evaluación objetiva de da-proporcionen resultados reproducibles. Este tos. Finalmente, se incluye una sección so-último requisito es fundamental. Además, bre control de calidad, donde se aplicanconviene que los índices de resistencia estén algunos de los conceptos estadísticos pre-estandarizados para que sean comparables. sentados a la interpretación de datos sobreEs decir, las características de los ensayes y ensayes de concreto y acero, y se mencio-de los especímenes deben fijarse con la ma- nan brevemente los requisitos de ciertasyor precisión posible, de tal modo que se normas europeas y americanas.reduzcan a un mínimo los efectos de las va-riables secundarias que afectan los resulta-dos de ensayes. La estandarización de los 3.2 índices de resistenciaíndices permite especificar con precisión lacalidad de los materiales que se van a em-plear o que se requerirán. 3.2.1 Concreto Los índices de resistencia no sirven sólopara caracterizar las propiedades de los CONCEPTOS GENERALESmateriales, sino también para controlar lacalidad durante su fabricación. Si un mate- El índice de resistencia más común en el ca-rial fuese perfectamente uniforme, bastaría so del concreto es el obtenido del ensaye deun solo ensaye para definir el índice selec- especímenes a compresión simple. Esto secionado. Pero todos los materiales tienen debe a que este ensaye es relativamentecaracterísticas variables y son esencialmente sencillo, y a que mide una característica fun-heterogéneos. Debido a esto, es necesario damental del concreto. Otro factor queconocer el grado de uniformidad del mate- contribuye en forma importante a su uso con-rial empleado. Esto se hace estudiando la tinuado es el hecho de que, a través de losvariación de los resultados de ensayes de años, se ha correlacionado esta propiedadmuestras representativas. Debe tenerse en con la resistencia de elementos estructuralescuenta que el valor del índice determinado de diversos tipos, sujetos a distintas solicita-en un ensaye tiene implícitas las variaciones ciones.naturales que existen en cualquier proceso El índice mencionado anteriormentede ensaye, ya que todas las mediciones es- evalúa la resistencia del concreto tal comotán sujetas a errores. es producido. Comúnmente se considera es- Una vez establecido el grado de unifor- te índice como indicativo de la resistenciamidad de las propiedades del material, es del concreto en la estructura. Sin embargo,posible especificar racionalmente, a través esta última puede ser muy diferente de la re-del índice de resistencia, la calidad de los sistencia de los especímenes de control, yamateriales requeridos. Durante la construc- que depende de los métodos de transporte,
  • 53. índices de resistencia 55colocación y curado, así como del tipo de En nuestro medio, y en numerosos paí- al que está destinado el concreto ses del mundo, se usan cilindros con una re-en cuestión. Para estimar la resistencia del lación de esbeltez igual a dos. En estructurasconcreto en una estructura pueden ensayarse de concreto reforzado, el espécimen usualespecímenes cilíndricos extraídos mediante es el cilindro de 15 x 30 cm. En estructurastaladros especiales, o pueden efectuarse en- construidas con concreto en masa, donde sesayes no destructivos [3.1, 3.1 O]. emplean agregados de gran tamaño (10 a 15 Idealmente, el índice de resistencia de- cm), se usan cilindros de 30 x 60 cm o debe ser representativo del fenómeno que se 60 X 120 cm. Generalmente, las resistenciasquiere cuantificar. Así, en estructuras de se determinan a los 28 días de edad del con-concreto donde el trabajo predominante sea creto o a la edad en que el concreto vaya ala compresión, la resistencia de un espéci- recibir su carga de servicio. Recientementemen sometido a compresión simple será ín- se han propuesto diversos procedimientosdice satisfactorio. Pero el concreto queda para obtener índices de resistencia a edadessujeto frecuentemente a otras solicitaciones más tempranas con el fin de poder tomaren las que la compresión no es el fenómeno medidas correctivas con mayor oportunidad,esencial. Por ejemplo, en el caso de seccio- en caso necesario [3.2].nes sometidas a fuerza cortante, la caracte- En muchos países de Europa se usan cu-rística predominante es la resistencia a la bos para obtener un índice de resistencia deltensión diagonal. concreto a la compresión. Las dimensiones Por esta razón ha surgido recientemente de los cubos varían entre 10 y 30 cm de la-la tendencia a considerar otros índices de do, según los países. Algunas veces se utili-resistencia. Así se está tratando de desarro- zan también prismas de concreto simple,llar un índice de resistencia a la tensión. En ensayados con la dirección de la carga para-pavimentos de concreto se usa un prisma lela al eje longitudinal del prisma.de concreto simple ensayado en flexión, Tanto cilindros como cubos y prismascomo índice de la resistencia deseable del tienen ventajas y desventajas, pero la ten-concreto. dencia actual parece inclinarse hacia el uso Debe tenerse en cuenta siempre que del cilindro. Inclusive el Eurocódigo de 1993frecuentemente se da demasiada importan- especifica probetas cilíndricas y mencionacia al valor de la resistencia a la compresión el uso de probetas cúbicas como método al-de un espécimen de concreto. S i no se posee ternativo para verificar o no la aceptaciónla debida perspectiva, se puede llegar a pen- del concreto [3.111. Para lograr una pruebasar erróneamente que la resistencia a la , aceptable a la compresión, es necesario quecompresión de un espécimen de concreto las cabezas de la máquina de ensaye esténrepresenta la resistencia del concreto en la totalmente en contacto con las superficiesestructura ante cualquier combinación de del espécimen en ambos extremos, de ma-solicitaciones. nera que la presión ejercida sea lo más uni- forme posible. Esto se logra fácilmente si elRESISTENCIA A LA COMPRESIÓN espécimen es un cubo o un prisma y se ha fabricado en un molde de acero con las ca-No existe una convención aceptada univer- ras pulidas y a escuadra. Las caras del espé-salmente sobre qué tipo de espécimen es el cimen que están en contacto con las delmejor para realizar ensayes en compresión. molde son suficientemente planas para lo-Por lo común se usan especímenes de tres ti- grar una distribución satisfactoria de com-pos: cilindros, cubos y prismas. presiones, sin necesidad de ningún artificio
  • 54. 56 índices de resistencia y control de calidadadicional. Otra ventaja del uso de cubos y son mucho menores que en los cubos, yaprismas es su facilidad de almacenamiento, que las secciones medias del cilindro estánproblema que llega a ser importante cuando menos afectadas por las condiciones en losel número de especímenes es muy grande. extremos. Por otra parte, los cilindros se fabrican Una vez seleccionado el tipo de espéci-por lo general en moldes de acero apoyados men, es necesario fijar con gran detalle lasen una placa en su cara inferior y libres en condiciones de muestreo, fabricación, curadosu parte superior, donde es necesario dar un y ensaye. Entre estas últimas tiene particularacabado manualmente. Éste queda con fre- importancia la velocidad de carga. En nues-cuencia demasiado rugoso para que pueda tro medio, las normas usuales son las delapoyarse directamente la cabeza de la má- Organismo Nacional de Normalización yquina de ensaye. Salvo en casos en que se Certificación de la Construcción y Edifica-ha tenido mucho cuidado y se ha alisado el ción (ONNCCE) (Normas NMX) y las delextremo del concreto fresco con una placa American Society for Testing and Materialsde acero, o bien se ha pulido la superficie (Normas ASTM).rugosa, es necesario dar una preparación a Aun cuando se sigan las especificacio-los extremos del cilindro para poder asegurar nes cuidadosamente y el proceso lo realicenque la presión queda uniformemente distri- operadores experimentados, los resulta-buida y que la dirección de carga es paralela dos que se obtengan no serán uniformes.al eje del cilindro. Esta operación, llamada Siempre existirá dispersión en los datos, comocabeceado y que consiste en aplicar un cier- en cualquier proceso de medición. Estasto material, generalmente azufre o pasta de dispersiones pueden ser inherentes al tipocemento, a los extremos del cilindro para de ensaye, por errores accidentales o por-producir una superficie lisa de apoyo, pro- que no hubo uniformidad en el material en-longa el tiempo necesario para la prepara- sayado.ción del ensaye e introduce una variable Las condiciones del curado influyen enadicional en los resultados: el material y la forma importante en la resistencia aparenteforma del cabeceado. a la compresión de un espécimen de con- Debido a la simetría del espécimen con trol. E l proceso de curado está especificadorespecto a cualquier plano diametral, si el en las normas. Sin embargo, según sea elcontacto entre la máquina y el cilindro es propósito del índice de resistencia, se pue-adecuado, la distribución de compresiones den aplicar condiciones distintas de curado.en la sección transversal de un cilindro es En general, son válidos dos criterios. En elmás uniforme que en la sección transversal primero, empleado para comparar distintosde un cubo o de un prisma. Además, estos concretos a lo largo del tiempo, por un nú-últimos se ensayan con la dirección de la mero determinado de días se especifica uncarga perpendicular a la dirección del cola- curado de laboratorio en un cuarto húmedodo, lo que algunos autores consideran que en que la temperatura y la humedad se man-es poco representativo del trabajo del con- tienen dentro de ciertos límites. Pero si secreto en columnas en una estructura real. quiere tener idea de la resistencia a la com- Otra ventaja importante de los cilin- presión del concreto tal y como está expuestodros sobre los cubos es la disminución del en la estructura, se someten los especímenesefecto de confinamiento y de la restricción al mismo tipo de curado y ambiente al queal desplazamiento lateral debida a la fric- está expuesta la estructura.ción de los extremos contra la máquina. Por En la tabla 3.1, tomada de la referenciasu mayor relación de esbeltez, estos efectos 3.3, se presentan factores de corrección para
  • 55. índices de resistencia 57 Tabla 3.1 Factores de equivalencia para ensayes a la compresión. Factores por los que se deben multiplicar las resistencias de un espécimen para obtener las equivalencias de un cilindro de 15 X 30 cm. Espécimen Dimensiones/cm Variación normal Valor medio aceptable Cilindro Cubo Prismaobtener la resistencia de un cilindro de 15 x creto en tensión originada por flexión. En es-30 cm, a partir de la obtenida con un espé- te caso, los valores que se obtienen son ma-cimen de otra forma o dimensiones, para con- yores que los obtenidos de ensayes encretos fabricados con cemento normal y tensión uniaxial.ensayados a los 28 días. Estos factores dan La resistencia en flexión es mayor en es-una idea de las equivalencias entre diversos ti- pecímenes sujetos a una carga concentradapos de especímenes, a falta de ensayes espe- que en aquellos sometidos a dos cargas si-cíficos para el caso particular de que se trate. métricas, porque en el segundo caso la zona de esfuerzos máximos se presenta en una porción mayor del espécimen, lo que au- menta las probabilidades de que en dichaEl índice de resistencia a la flexión del con- zona se encuentre una región de menor re-creto simple se obtiene del ensaye de vigas sistencia que la promedio.de sección cuadrada, simplemente apoyadasy sujetas a una o dos cargas concentradas.Como en el caso de los índices de resisten-cia a la compresión, se especifica también el En el capítulo anterior se mencionaron lasmodo de muestreo, el curado y las condicio- dificultades que existen para realizar un en-nes del ensaye (Normas NMX y ASTM). saye en tensión uniaxial. El inconveniente La resistencia a la flexión se usa como principal es que el tipo de ensaye es difícilíndice de la resistencia de pavimentos de de realizar y los resultados son poco repro-concreto simple. Como se dijo en el capítu- ducibles. Por lo tanto, este ensaye no satisfa-lo 2, el prisma de concreto simple se emplea ce las características básicas para obtenertambién para medir la resistencia del con- índices de resistencia.
  • 56. 58 índices d resistencia y control d calidad e e Las normas NMX y ASTM proponen una do de uniformidad son la desviación están-prueba indirecta de concreto en tensión Ila- dar y el coeficiente de variación. Mediantemada ensaye brasileño. Esta prueba está ba- un ejemplo se verá cómo se pueden obtenersada en los principios expuestos en la figura estas cantidades y cuál es su significado.2.12. Las condiciones de fabricación y cura- En la tabla 3.2 se muestran los resultadosdo del espécimen son las mismas que las de del ensaye a la compresión de un grupo delos cilindros para pruebas en compresión. 100 cilindros de concreto normal. Los cilin- dros se ensayaron con propósitos de control3.2.2 Acero y representan la variación real de la resisten- cia de un concreto fabricado en planta paraEl índice de resistencia utilizado en el caso una obra determinada, durante un periododel acero, es un esfuerzo de fluencia, fy, de- de dos meses y medio. El concreto del que sefinido como se mencionó en el capítulo an- extrajeron las muestras fue fabricado paraterior. Éste se determina en una prueba de dar una determinada resistencia nominal.tensión, a una velocidad de carga especifi- Para representar gráficamente datos co-cada, midiendo además deformaciones, ge- mo los mostrados en la tabla 3.2, se usa unneralmente en una longitud de 20 cm. El histograma, como el que se presenta en la fi-esfuerzo de fluencia se calcula sobre la base gura 3.1. Éste se construye llevando a escaladel área nominal. en el eje de las ordenadas el número de da- Para aceros con curva esfuerzo-defor- tos comprendidos en intervalos iguales, losmación sin una zona de fluencia definida, que se indican en el eje de las abscisas. Encomo los aceros utilizados para presfuerzo el ejemplo, los datos (valores ffC) agruparon seo los torcidos en frío, se toma a veces como en intervalos de 29 kg/cm2. Así, en la figuraíndice de resistencia el esfuerzo máximo. 3.1 se puede ver que 23 cilindros tuvieron Se acostumbra aceptar que las caracterís- resistencias entre 251 y 27-0 kg/cm2, y enticas del acero a la compresión son las mismas cambio sólo uno tuvo una resistencia entreque a la tensión. Interesa, además, tener una 171 y 1 90 kg/cm2. El promedio de los datosidea de la deformabilidad del acero. Un índice de la tabla 3.2, es decir, la suma de los valo-de esta propiedad es el porcentaje de elonga- res de los datos dividida entre el número deción en 20 cm correspondiente a la fractura. datos, es 247 kg/cm2. Las normas NMX y ASTM también pre- Se puede suponer que si el número desentan pautas para realizar los ensayes es- datos es muy grande y el intervalo que setándar de acero. escoge es suficientemente pequeño, un his- tograma como el ilustrado en la figura 3.1 se acercará a la forma mostrada por la línea de trazo continuo. Un gran número de resulta-3.3 Evaluación de datos dos de mediciones queda representado por medio de distribuciones como las de la figuraTodos los datos que se obtienen de ensayes 3.2, que son simétricas con respecto al pro-están sujetos a variaciones. Para gran núme- medio. Para efectos de control y evaluaciónro de datos, existen ciertas medidas que in- se supone en general que las resistenciasdican la uniformidad del producto que se de concreto y acero se distribuyen simé-está ensayando y el cuidado con que se han tricamente. A veces se presentan distribu-hecho los ensayes. La medida más común de ciones asimétricas, como en la figura 3.3.la tendencia central de un conjunto de datos Las áreas bajo las curvas de la figura 3.2es el promedio, y las más comunes del gra- son iguales, si ambas representan el mismo
  • 57. Evaluación de datos 59 Tabla 3.2 Resistencia de cilindros de concreto (resistencia a los 28 días de cilindros de 15 x 30 cm). Resistencia Resistencia Resistencia Resistencia No. kg/crn2 No. kg/crn2 No. kg/crn2 No. kg/crn2 1 247 26 2 65 51 236 76 204 2 249 27 2 79 52 236 77 208 3 241 28 314 53 211 78 203 4 197 29 3 08 54 261 79 208 5 252 3O 293 55 243 80 198 6 252 31 283 56 243 81 277 7 241 32 239 57 249 82 253 8 197 33 246 58 251 83 253 9 304 34 288 59 261 84 251 10 276 35 3 O0 60 247 85 224 11 249 36 286 61 233 86 2 68 12 322 37 281 62 249 87 271 13 348 38 288 63 249 88 216 14 241 39 277 64 267 89 216 15 249 40 2 68 65 211 90 251 16 194 41 267 66 238 91 203 17 236 42 257 67 253 92 229 18 233 43 267 68 241 93 217 19 208 44 227 69 246 94 227 20 231 45 236 70 246 95 193 21 261 46 257 71 253 96 204 22 304 47 2 73 72 211 97 193 23 288 48 2 68 73 217 98 204 24 308 49 257 74 213 99 187 25 281 5O 2 70 75 224 100 193 -Promedio X = 247 kg/cm2Desviación estándar o = 32.7 kg/cm2Coeficiente de variación V = 32.71247 = 0.132 = 13.2%número de datos. Se puede apreciar que en considerar como el radio de giro de los da-la curva A la mayor parte de los datos está tos con respecto al promedio. En efecto, simás cerca del promedio que en la curva B. se designa como X al valor de un dato cual- Interesa evaluar la dispersión de los quiera, su diferencia con respecto al prome-datos con respecto al promedio. Una medida dio, X, será: (X - X). Estas diferencias setosca de esta dispersión es la diferencia en- llaman desviaciones. Considerando cada va-tre el valor mínimo y el máximo, la que sin lor representado por un área unitaria con-embargo no da idea de la distribución. Para centrada en un punto, el momento demedir la dispersión de datos se utiliza fre- inercia de un valor cualquiera con respectocuentemente la desviación estándar, repre- al valor medio será: 1 (X - X)*,valor que essentada por el símbolo o que se puede , siempre positivo. El área total será igual al
  • 58. 60 índices de resistencia y control de calidad 190 210 230 250 270 290 310 330 350 , I Resistencia Figura 3.1 Histograma de los datos de la tabla 3.2.número de datos, n, y por lo tanto el radio En la tabla 3.2 se muestran los valoresde giro al cuadrado será igual a la suma de del promedio y la desviación estándar de loslos momentos de inercia entre el área total. 100 datos de resistencias de concreto, calcu-El radio de giro al cuadrado, 02,se denomi- lados según lo antes mencionado.na variancia. Finalmente, la desviación es- En la figura 3.1 se han trazado dos Ií-tándar (radio de giro) será neas verticales a una distancia del promedio igual a la desviación estándar. Se puede de- mostrar que en una curva de distribución si- métrica los valores comprendidos entre esas dos líneas representan un porcentaje fijo de los datos de la muestra. Por esta razón, la La desviación estándar tiene las mismas desviación estándar es una buena medidaunidades que los valores originales, kg/cm2 de la dispersión de los datos con respecto alpara el ejemplo. promedio: a mayor desviación estándar, el
  • 59. Control de calidad 61intervalo que comprende el mismo porcen-taje de datos es más grande. Se puede verque la desviación estándar de la curva A dela figura 3.2 es mucho menor que la de lacurva B. Para un número pequeño de datos (30 omenos), en lugar de dividir entre n en laecuación (3.1), se divide entre n- l.* Paramuestras grandes no hay mucha diferencia.En el ejemplo habría sido prácticamenteigual dividir entre 100, que entre 99. Intervalos Para hacer comparaciones válidas entrelas dispersiones de dos conjuntos de datos,deben relacionarse las desviaciones estándar Figura 3.3 Distribución asimétrica.con los valores promedio correspondientes.Así, por ejemplo, una desviación estándar de20 kg/cm2 en un concreto de 150 kg/cm2 otro de 400 kg/cm2. Se define entonces elde resistencia promedio representa una dis- coeficiente de variación, que es el resultadopersión mayor que la misma desviación en de dividir la desviación estándar entre el promedio ,/ Promedio El coeficiente de variación es adimen- sional, se expresa generalmente en tanto por ciento y proporciona una comparación válida entre conjuntos de datos de distintos órdenes de magnitud. Se acostumbra evaluar los resultados de ensayes de concreto tomando como base sus coeficientes de variación. En acero de re- fuerzo la práctica no es tan frecuente, aun- que sería aconsejable. Intervalos 3.4 Control de calidad 3.4.1 Conceptos generales Figura 3.2 Distribuciones simétricas. El control de calidad tiene por objeto verifi- car que los requ isitos especificados para cierto producto se cumplan dentro de tole-*Se demuestra en estadística que dividiendo entre n-1 seobtiene una medida más representativa de la dispersión de rancias previamente establecidas.10s datos en este caso. Véanse por ejemplo las referencias Para estructuras de concreto es necesa-3.4 y 3.5. rio controlar tanto la calidad de los materiales
  • 60. 62 índices de resistencia y control de calidadcomo la ejecución de la obra, especialmen- establecido en el Reglamento ACI para con-te en lo que se refiere a dimensiones, recu- cretos con f, igual o menor que 350 kg/cm2. brimiento~,detalles del refuerzo, etc. En este Para los concretos clase 2, que deben tenercapítulo se describirán solamente los procedi- una resistencia especificada menor que 250mientos de control de calidad del concreto kg/cm2, la resistencia promedio de tresy del acero. muestras concecutivas cualesquiera no debe En el diseño es necesario especificar en ser menor que la resistencia especificadaalguna forma la calidad de los materiales. menos 17 kg/cm2, y la resistencia de cual-Debido a la variabilidad natural de los mis- quier muestra no debe ser inferior a la resis-mos, debe especificarse tanto el valor tencia especificada menos 50 kg/cm2.promedio como un valor que dé idea de la Para comprobar que lo especificado sedispersión. Por ejemplo, pueden especificar- cumple, es necesario llevar a cabo un mues-se el promedio y la desviación estándar, o el treo representativo. Estas muestras se some-promedio y el coeficiente de variación: El ten a ensaye o medición, y los resultadosinconveniente de especificar la desviación deben analizarse estadísticamente. Decidir quéestándar o el coeficiente de variación como requisitos debe reunir una muestra paramedidas de dispersión radica en que se ne- que sea representativa, es un problema com-cesita hacer un buen número de ensayes plejo que depende de la variabilidad delantes de obtener valores confiables de dichas producto y de las condiciones de fabrica-medidas. Por esta razón, la medida de dis- ción. En cada caso se recomienda un proce-persión de resultados suele especificarse de dimiento específico de muestreo.maneras equivalentes, pero más fáciles de apli- De estudios estadísticos y de la experien-car en la práctica. cia obtenida se han llegado a establecer cier- El Reglamento ACI 318-02 establece tos valores de los coeficientes de variaciónque el promedio de las resistencias de tres que indican el tipo de control que se tiene.muestras consecutivas cualesquiera sea porlo menos igual a la resistencia especificada, 3.4.2 Concretoy que la resistencia de ninguna muestra indi-vidual sea menor que la resistencia especifi- Existen diversas opiniones sobre cuáles de-cada menos 35 kg/cm2, si f, es igual o menor ben ser los valores de los coeficientes de va-que 350 kg/cm2, o menor que 0.10 f, s i f, riación que corresponden a un cierto tipo dees mayor que 350 kg/cm2. La resistencia de control [3.1 l. Algunos autores recomiendanuna muestra debe entenderse como el pro- porcentajes determinados para cada tipo demedio de las resistencias de dos cilindros control, en tanto que otros hacen variar es-tomados de la misma mezcla de concreto. tos porcentajes con el valor de la resistenciaPuede suceder ocasionalmente que un con- promedio.creto con buena resistencia y uniformidad La tabla 3.3 permite estimar previamen-no cumpla con estas especificaciones. La te el coeficiente de variación que puede es-probabilidad correspondiente es aproxima- perarse, según sea el procedimiento dedamente de uno en cien. fabricación. Es de notarse que el coeficiente Las Normas Técnicas Complementarias de variación de datos de ensayes continuosdel Reglamento del Distrito Federal de 2004 a lo largo de la fabricación del concreto de-(3.7) señalan para los concretos clase 1 (ver pende mucho del grado de supervisión.la sección 2.1 de este texto), los cuales de- Conviene también tener una idea de laben tener una resistencia especificada igual variación de los datos con el tiempo. Estoo mayor que 250 kg/cm2, el mismo requisito puede lograrse, por ejemplo, obteniendo
  • 61. Control de calidad 63el coeficiente de variación de los últimos cin- Tabla 3.3 Coeficientes de variación del concreto,co ensayes realizados, que pueden ser de uno correspondientes a distintos grados de control en la fa- bricación.0 más especímenes promediados [3.6]. En el caso de que un grupo consecutivo Condiciones de Control Coeficiente mezclado de variaciónde cilindros obtenidos de cierto concreto y colocación V por cientotenga una resistencia menor que la estable-cida, es necesario investigar la resistencia de Agregados secos, gra- De 5- 6 nulometría precisa, re- laboratoriola estructura mediante pruebas de carga, en- lación exacta agualce-sayes de corazones u otros procedimientos mento y temperaturano destructivos [3.1, 3.1 O]. controlada de curado. Supervisión continua. Para diseñar una mezcla de concreto detal modo que no más de un cilindro entre Pesado de todos los Excelente10, o un cilindro entre 20, tenga una resis- materiales, control detencia menor que la resistencia nominal la granulometría y del agua, tomando enprestablecida, se tiene que proporcionar la cuenta la humedad demezcla para una resistencia promedio mayor los agregados en el[3.61. Esto se puede lograr aprovechando la peso de la grava y la arena, y en la canti-experiencia previa. Para una primera aproxi- dad de agua. Supervi-mación puede utilizarse la expresión sión continua. Pesado de todos los Alto 1 0 - 12 materiales, control de la granulometría y de la humedad de los agre- gados. Supervisión con- tinua.en donde: Pesado de los agrega- Muy bueno 13 - 15 dos, control de la gra- fp = resistencia promedio necesaria; nulometría y del agua. f, = resistencia nominal especificada; Supervisión frecuente. t = constante que depende del por- Pesado de los materia- Bueno 1 6 - 18 centaje de datos que pueden ser les. Contenido de agua menores que el valor especifica- verificado a menudo. Verificación de la tra- do y del número de muestras ne- bajabilidad. Supervi- cesario para establecer V; sión intermitente. V = coeficiente de variación previsto según el grado de control, expre- Proporcionamiento por Regular volumen, consideran- sado en forma decimal. do el cambio en volu- men de la arena por la humedad. Cemen- Los valores de t se obtienen de las pro- to pesado. Contenidopiedades de una distribución simétrica [3.61. de agua verificado en la mezcla. Supervi-Para probabilidades de uno entre 10 y de uno sión intermitente.entre 20 de que un espécimen tenga una re-sistencia menor que la especificada, los va- Proporcionamiento por Pobre 25lores de t son 1.28 y l .64, respectivamente, si volumen de todos los materiales. Poca o nin-como base para la variación se consideran guna supervisión.más de 30 datos.
  • 62. 64 índices de resistencia y control de calidad En las Normas Técnicas Complementa- 3.4.3 Acerorias (NTC 04) del Reglamento del DistritoFederal (3.7) se especifica que las mezclas Así como existe mucha información publi-de concreto se diseñen para una resistencia cada sobre la variación de resistencia depromedio en kg/cm2 mayor que la resisten- concreto, existen menos datos semejantescia nominal especificada f,. Aunque estas sobre acero.Normas no presentan ningún método para Algunos estudios indican que los valo-hacer este diseño, puede usarse también la res de fy del acero de barras de refuerzo,ecuación 3.3 y verificar que se cumplan las pueden tener coeficientes de variación delespecificaciones para el control de las mez- orden de 10 a 1 5 por ciento 13.91.clas señaladas anteriormente.3.1 Jones, R. Non-Destructive Testing o f Concrete. 3.7 Normas Técnicas Complementarias para Diseño Cambridge, University Press, 1962. y Construcción de Estructuras de Concreto.3.2 - Accelerated Strength Testing (SP-56). Detroit, . Gaceta Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, 6 de American Concrete Institute, 1978. octubre de 2004.3.3 Comité Européen du Béton. Recommandations 3.8 Wadell, J. J. Practica1 Quality Control for Concre- pratiques unifiées pour le calcul et Iexécution te. Huntington, N. Y., Robert E. Kreiger Publish- des ouvrages en béton armé, tomo l. Madrid, Co- ing Co., 1978. mité Européen du Béton, 1964. 3.9 Robles, F. "Strength Factors: Material and geo-3.4 Benjamin, J. R., y C. A. Cornell. Probability, Sta- metrical Aspects". En ASCE-IABSE lnternational tistics, and Decision for Civil Engineers. Nueva Conference on Planning and Design o f Tal1Build- York, McGraw Hill, 1970. ing~ (Lehigh University) Preprints: Reports Vol.3.5 Moreno, A., y F Jauffred. Elementos de Probabi- . 111-26. Bethlehem, Pennsylvania, agosto 1972. lidad y Estadística. México, Representaciones de 3.10 Comité ACI 228. Nondestructive Tests Methods Ingeniería, 1969. for Evaluation o f Concrete in Structures. Detroit,3.6 Comité ACI 214. Recommended Practice for Eva- American Concrete Institute, 1998. luation o f Strength Tests o f Concrete. Detroit, 3.1 1 -. Eurocódigo 2-Proyecto de Estructuras de Hor- American Concrete Institute, 1977 (confirmado migón. Asociación Española de Normalización y en 1997). Certificación. Noviembre, 1993. Ejercicios3.1 iCuál debe ser la resistencia promedio de un Esfuerzo de Esfuerzo de concreto para que no más de un cilindro entre fluencia fluencia diez tenga una resistencia menor que 200 No. (kg/cm2) No. (kg/cm2) kg/cm2? Supóngase que el coeficiente de varia- 1 4820 13 6450 ción es de 1 8 por ciento. Usar el método del 2 4900 14 5020 Comité ACI 21 4. 3 4420 15 52203.2 Calcular el promedio y el coeficiente de variación 4 4570 16 5100 del siguiente conjunto de esfuerzos de fluencia de 5 4800 17 4700 barras de acero (véase tabla a la derecha). . 6 5650 18 51 503.3 Calcular la resistencia promedio para la que debe 7 51 O0 19 5000 diseñarse una mezcla de concreto, si la resisten- 8 4750 20 4750 cia de diseño, f,, es 250 kg/cm2 y la desviación 9 4470 21 4720 estándar de las resistencias a compresión es de 1O 4550 22 4700 45 kg/cm2. Usar las especificaciones de las NTC 11 4650 23 4850 04 del Reglamento del Distrito Federal. 12 5400 24 5220
  • 63. 4.2 Comportamiento, modos de CAP~TUO L 4 falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial 4.2.1 Conceptos básicos En la figura 4.1 se representan curvas carga- Elementos sujetos deformación unitaria para tres tipos de ele- mentos de concreto sujetos a compresión a carga axial axial. Las curvas son típicas de las que se obtienen de ensayes de columnas relativa- mente cortas. S i las columnas fueran muy esbeltas, la resistencia estaría afectada en 4.1 Introducción. /4.2 Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos forma importante por los efectos de la defle- sujetos a compresión axial. /4.3 Elementos xión lateral debida a excentricidades acci- sujetos a tensión axial. /4.4 Ejemplos de dentales en la aplicación de la carga. Este cálculos de resistencias de columnas cor- problema se trata en el capítulo 13. tas bajo carga axial. La curva A, correspondiente a un espéci- men de concreto simple, representa la carac- terística carga-deformación de una columna con relación de esbeltez mayor que dos pero4.1 Introducción menor que 1 0 o 12. Como en el caso de cil in- dros de control, la carga máxima se alcanzaNo es común que los elementos de concreto cuando se llega a Üna deformación unitariareforzado de estructuras reales se encuen- del orden de 0.002. En el capítulo 2 se descri-tren sujetos únicamente a carga axial. Debido bieron las características carga-deformacióna que casi siempre las estructuras son conti- de prismas de concreto simple sujetos a com-nuas, la carga axial se encuentra actuando presión axial. Se indicó que la resistencia desimultáneamente con momento flexionante; un prisma disminuye al aumentar la relaciónaun en elementos isostáticos, las excentrici- de esbeltez, hasta llegar a un valor mínimodades accidentales en la colocación de la aproximadamente igual a 85 por ciento de lacarga o los pequeños defectos constructivos resistencia de un prisma con relación de es-introducen momentos flexionantes. Por esta beltez igual a dos. Por consiguiente, la resis-razón, los reglamentos de construcción re- tencia de un elemento de concreto simplecomiendan considerar siempre la existencia sujeto a compresión axial puede estimarse co-de momentos flexionantes, aun cuando el aná- mo el producto del 85 por ciento del esfuerzolisis indique que no hay dichos momentos. medido en un cilindro de control (f,), ensa- Sin embargo, el estudio del comporta- yado en las mismas condiciones, por el áreamiento bajo carga axial pura es importante de la sección transversal del elemento. Estepara comprender muchos aspectos del fun- factor de reducción, 0.85, es sólo un prome-cionamiento de diversos tipos de elementos dio de resultados de ensayes en miembros co-de concreto reforzado, y porque el valor de locados verticalmente. Se han encontrado la resistencia a carga axial se utiliza para valores para este factor desde 0.69 hasta 0.95calcular la resistencia de elementos sujetos [4.1 l. En elementos colados horizontalmente,a carga axial combinada con otras acciones. este factor se acerca a la unidad.
  • 64. 66 Elementos sujetos a carga axial / / - A I Con refuerzo helicoidal sin recubrimiento I I I I I I 1 - .s.y 0.85 ?,A, b Estribos Hélice Concreto Concreto con refuerzo simple longitudinal y transversal Figura 4.1 Curvas carga-deformación unitaria de columnas cortas bajo compresión axial. Si se adiciona refuerzo longitudinal a En unos casos indica la resistencia y enun espécimen de concreto simple y se utili- otros el colapso final que ocurre a una cargaza el refuerzo transversal necesario para generalmente menor que la resistencia. Enmantener las barras longitudinales en su po- este texto se utilizará para indicar el colapsosición durante el colado, la carga máxima se final.obtiene bajo las mismas condiciones que en La característica acción-respuesta de unun prisma de concreto simple, es decir, a una espécimen con refuerzo longitudinal es unadeformación unitaria del orden de 0.002. La curva como la B de la figura 4.1. La resistenciafalla, como en el caso anterior, se produce a adicional sobre la de un prisma de concretouna deformación unitaria de 0.003 o 0.004, simple es debida a la contribución del re-si el ensaye es de corta duración. A esa fuerzo longitudinal en compresión. Se puededeformación, el concreto se agrieta longitu- estimar esta contribución como el productodinalmente, o según planos con una inclina- del área de acero por el esfuerzo de fluen-ción aproximada de 45", dependiendo de las cia, fy. Por lo tanto, la resistencia o cargarestricciones en los extremos del espécimen, máxima que un prisma de concreto con re-y las barras longitudinales se pandean entre fuerzo longitudinal y estribos transversales esestribos, al faltarles el soporte lateral del capaz de alcanzar, está dada por la expresiónconcreto. Conviene hacer hincapié en que el tér-mino "falla" suele usarse de un modo confuso.
  • 65. Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial 67 En ella, Ag representa el área total de mento de concreto reforzado se obtiene deconcreto, sin descontar el área ocupada por la contribución de cuatro factores: el con-las barras. En rigor debe descontarse esta creto del núcleo, el acero longitudinal, elárea, pero como normalmente es pequeña, concreto del recubrimiento y el refuerzo he-elerror que se comete al no hacerlo también licoidal. Estas dos últimas contribuciones noes pequeño. Para porcentajes altos, del orden pueden existir simultáneamente, ya que, comode 5 por ciento o más del área de la sección, se ha visto, el refuerzo helicoidal actúa envale la pena descontar el área de las barras. forma apreciable sólo cuando la deforma- S i el elemento, además de refuerzo lon- ción longitudinal del elemento es igual o$udinal, tiene refuerzo helicoidal continuo mayor que la que produce la caída del recu-a todo lo largo, su comportamiento bajo car- brimiento.ga queda representado por las curvas C de la La contribución a la resistencia aporta-figura 4.1. Inicialmente su comportamiento da por el concreto, tanto el del núcleo comoes similar al de un prisma con estribos, has- el del recubrimiento, puede valuarse como elta llegar al primer máximo, a una deformación producto del 85 por ciento de la resistenciaunitaria del orden de 0.002. Aproximada- de un cilindro de control por el área corres-mente a esta deformación, el recubrimiento de pondiente, y la contribución del acero longi-la hélice o zuncho empieza a desprenderse tudinal, como el producto del esfuerzo dey por tanto, la capacidad de carga del ele- , fluencia por el área de acero (ecuación 4.1).mento disminuye. Al deformarse lateralmen- Para evaluar la contribución del refuerzote el concreto en forma apreciable por el helicoidal, puede utilizarse la informaciónefecto de Poisson, la hélice se alarga, produ- presentada en el capítulo 2 sobre el compor-ciendo como reacción una presión confi- tamiento de prismas de concreto sujetos anante en el núcleo de concreto limitado por compresión triaxial.el zuncho. De acuerdo con las característi- E posible evaluar la contribución de la scas de la hélice, la recuperación en capaci- hélice o espiral en función de las propieda-dad de carga del espécimen será mayor o des mecánicas del acero y del porcentajemenor. Si el confinamiento proporcionado volumétrico de refuerzo helicoidal. Este últi-por el zuncho es suficiente, puede alcanzar- mo se define comose una segunda carga máxima superior a laalcanzada inicialmente, pero a deformaciones volumen del acero en un paso de héliceconsiderablemente mayores, como muestra P = s volumen del núcleo de concreto en unla curva C2. Por el contrario, si el confina- paso de hélicemiento no es suficiente, nunca se alcanzaráuna carga como la del primer máximo (C3). Denominando d al diámetro del núcleo,Si se ensaya un espécimen con hélice y re- centro a centro de la hélice, A, al área delfuerzo longitudinal, pero sin recubrimiento, alambre helicoidal, y S al paso, se tiene la etapa inicial quedará representada por la línea de trazo interrumpido con una pendientemenor que la del espécimen con recubrimien-to, ya que el área de concreto es menor. Laparte final de ambas curvas será igual, pues-to que el espécimen con recubrimiento lo La presión confinante se puede expresarhabrá perdido a estas deformaciones. en función de la tensión del refuerzo helicoi- Se puede considerar, entonces, que la dal, partiendo de las condiciones de equilibrioresistencia en compresión axial de un ele- del cuerpo libre mostrado en la figura 4.2.
  • 66. 68 Elementos sujetos a carga axialPor sencillez, se supone que la hélice está helicoidal sin recubrimiento [4.2]. De acuer-contenida en un plano normal al eje del ele- do con la expresión (2.1), el esfuerzo máximomento. También se supone que el esfuerzo que un espécimen de concreto simple es ca-en la hélice ha alcanzado el límite de fluen- paz de soportar es igual al esfuerzo máximocia, lo cual se ha comprobado experimental- sin presión confinante más 4.1 veces el es-mente. fuerzo confinante, f2. Por consiguiente, la contribución de la hélice será aproximada- mente 4.1 f2 Acl es decir, 2.05 psfyA don- , de Ac es el área del núcleo. La validez de este coeficiente fue com- probada en forma aproximada en la investi- gación ACI sobre columnas [4.1]. En lo sucesivo, el coeficiente 2.05 se redondeará a 2.0. En la demostración anterior se ha medi- do el diámetro, d centro a centro de la héli- , ce. Sin embargo, en los reglamentos de construcción suele medirse entre los paños exteriores, y tanto la cuantía p como el área , del núcleo, A se calculan con base en di- , cho diámetro. Los resultados numéricos va- rían muy poco. Figura 4.2 Diagramas de cuerpo libre de una Se mencionó anteriormente, con refe- sección con hélice. rencia a la figura 4.1, que el segundo máxi- mo de la curva carga-deformación de una columna con refuerzo helicoidal podía ser Del equilibrio de las fuerzas mostradas mayor, igual o menor que el primer máximo.se tiene En la práctica, conviene que sea por lo me- nos ligeramente mayor, ya que de esta manera se desarrolla la curva completa y el ele- mento tiene mayor ductilidad, lo cual es muy conveniente desde el punto de vista estructural. Para que esto suceda, la contri-donde fy represecta el esfuerzo de la hélice, bución de la hélice, 2p, fyAc, debe ser lige-y f2 la presión confinante que actúa en el ramente mayor que la contribución delplano medio del elemento. Usando la defi- recubrimiento de concreto que se despren-nición de p de la ecuación (4.2) resulta , de al alcanzarse el primer máximo. Esta condición puede lograrse haciendo que el porcentaje de refuerzo helicoidal, p sea , suficientemente grande. En la tabla 4.1 se resumen las expresio- nes utilizadas para estimar la resistencia de El efecto de la presión confinante de elementos sujetos a compresión axial. En lasuna hélice es comparable al de la presión secciones siguientes se presenta el cálculode aceite en un ensaye de compresión tria- de las resistencias de columnas con cargaxial, como se ha comprobado experimental- axial de acuerdo con los reglamentos delmente en ensayes de prismas con refuerzo Distrito Federal y del ACI.
  • 67. Comportamiento, modos de falla y resistencia de elementos sujetos a compresión axial 69Tabla 4.1 Resistencia de elementos sujetos a compre- tivos de resistencia, FR, mencionados en lasión axial. sección 1.7.1 de este texto, la Norma Técnica de Concreto especifica que para el cálculo deNotación resistencias se utilice una resistencia reduci- da a la compresión del concreto denomi- área total de la secciónA, = nada f*, cuyo valor es:A, = área del núcleo de concreto confinado por el refuerzo helicoidalp, = resistencia de los cilindros de control de 15 x 30 cm El término f*, toma en cuenta que la re-fy = esfuerzo de. fluencia del acero sistencia del concreto en la estructura es,A, = área de acero del refuerzo longitudinal por lo general, menor que la de los cilindrosp, = cuantía volumétrica de refuerzo helicoidal de control, y que existe una cierta probabili-- dad de que el concreto utilizado no alcance1. Concreto simple la resistencia de diseño f. El factor 0.8 de la , ecuación 4.5 se estableció para que la pro- babilidad de que la resistencia del concreto2. Concreto con refuerzo longitudinal y recubrimiento en la estructura sea menor que f, resulte de 2 por ciento. La ecuación 4.1 se transforma entonces a:3. Concreto simple con refuerzo helicoidal sin re- cubrimiento El término 0.85 f*, se denomina f", en las Normas Técnicas Complementarias. Usan- do esta notación, la resistencia nominal se4. Concreto con refuerzo longitudinal y helicoidal expresa como: con recubrimiento Po = 0.85 f A, + A, fy (Primer máximo) , Po = 0.85 f, A, + A,fy + 2ps fy A, (Segundo La relación de refuerzo helicoidal, p,, máximo) no debe ser menor que: (La resistencia en este caso será el valor máximo f de las dos expresiones anteriores.) ni que 0.1 2 2 (4.8) fv4.2.2 Normas Técnicas Complementarias (NTC-04) del Reglamento del con lo cual se logra que el segundo máximo Distrito Federal de la gráfica carga-deformación sea ligera- mente mayor que el primero (figura 4.1).La resistencia nominal, Pro, se calcula con la También se especifica que el claro libre deecuación general 4.1. Sin embargo, en es- la hélice no sea mayor de 7 cm.ta ecuación es necesario hacer una modifica- La resistencia calculada con la ecua-ción en el valor de f, derivada de la manera en ción 4.7 es la resistencia nominal. La resis-que se incorporan los factores de seguridad tencia de diseño, PRO, O sea, la que debeen estas Normas Técnicas. Además de los usarse para el diseño final de los elementosfactores de carga, F y de los factores reduc- ,, estructurales, se obtiene multiplicando la re-
  • 68. 70 Elementos sujetos a carga axialsistencia nominal por el factor reductivo, FR En cuanto al refuerzo helicoidal, se es-(sección 1.7.1), que para el caso de colum- pecifica que su cuantía no sea menor quenas con carga axial tiene un valor de 0.70para columnas con estribos y de 0.80 paracolumnas con refuerzo helicoidal o con es-tribos que cumplan requisitos especiales encuanto a su separación y diámetro. y que el espaciamiento libre de hélice no sea menor de 2.5 cm ni mayor de 7.5 cm; las barras4.2.3 Reglamento ACI de la hélice deben ser por lo menos del No. 3.La resistencia nominal se calcula tambiéncon la ecuación 4.1, pero este reglamento 4.3 Elementos sujetos a tensión axialespecifica que se debe descontar del área deconcreto, el área transversal de las barraslongitudinales de refuerzo. Por lo tanto, la Debido a que el concreto es un material su-ecuación queda en la forma: mamente débil a esfuerzos de tensión, es muy raro que se utilicen elementos de concreto re- Po = 0.85 f, (Ag- A) , + Asfy (4.9) forzado sujetos a tensión. Sin embargo, en al- gunos casos sucede que elementos que Para calcular la resistencia de diseño, la trabajan normalmente a compresión, tienenresistencia nominal calculada con la ecua- que resistir ocasionalmente fuerzas de ten-ción 4.9 debe multiplicarse por dos factores. sión, como por ejemplo, las diagonales deUno es el factor de reducción de resistencia contraventeo de marcos sujetos a acciones4, que vale 0.70 cuando se usa refuerzo he- sísmicas o de viento.licoidal, y 0.65 cuando se usan estribos. El La resistencia a tensión axial de un ele-segundo factor vale 0.85 para refuerzo heli- mento de concreto reforzado es únicamentecoidal y 0.80 para estribos; este factor se la resistencia del acero de refuerzo, o sea,introduce en el Reglamento ACI con el fin de A,fy, ya que el concreto se agrieta y no con-tomar en cuenta que las columnas reales están tribuye a la resistencia. Debe tenerse ensujetas a una excentricidad mínima, por lo cuenta que, generalmente, la fuerza de ten-que no deben diseñarse columnas con carga sión que puede aplicarse a un elemento estáaxial pura. (En versiones anteriores del Re- determinada por el agrietamiento y no por laglamento ACI se especificaba el valor de la resistencia. Un ejemplo típico es el de losexcentricidad mínima y no se incluía el se- tensores que se usan en puentes y en algunasgundo factor.) La resistencia de diseño se calcu- otras estructuras. El aspecto de agrietamientola entonces con las siguientes ecuaciones: se estudia en el capítulo 10 de este texto. 4.4 Ejemplos de cálculos depara columnas con refuerzo helicoidal,y resistencias de columnas cortas bajo carga axialpara columnas con estribos. Obsérvese que 4.4.1 Utilizando los conceptos básicoslas expresiones comprendidas dentro de losparéntesis rectangulares representan la resis- En el ejemplo 4.1 se ilustra el cálculo de la re-tencia nominal. sistencia a carga axial de una columna rec-
  • 69. Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial 71tangular utilizando los conceptos básicos. En fuerzo longitudinal, p tiene un valor similar ,los datos del problema no se hace referencia a los usados comúnmente en la práctica.a la separación de los estribos, ya que el de- La resistencia se ha calculado usando latalle de colocación de dichos estribos se ecuación 4.1. Como se indicó anteriormente,estudia en el capítulo 15. La cuantía de re- esta ecuación expresa que la resistencia es la
  • 70. 72 Elementos sujetos a carga axialsuma de las contribuciones del concreto y tencia del concreto en la estructura, f*,, re-del acero. En el ejemplo se ha calculado pri- sulta de 200 kg/cm2, y f u c de 170 kg/cm2.mero la resistencia, usando el área total de En las NTC-O4 no se presentan métodosla sección de concreto, Ag, O sea, sin des- para calcular el segundo máximo. Por lo tan-contar el área ocupada por las barras de re- to, en el ejemplo se calculó únicamente la re-fuerzo y, después usando el área neta, que sistencia correspondiente al primer máximo yes el área total menos el área de las barras. se verificó que la relación de refuerzo helicoi-Como se puede ver, los resultados son seme- da1 cumpliese con lo señalado en la ecuaciónjantes. 4.8, con lo cual se garantiza que la resistencia El ejemplo 4.2 ilustra el cálculo de la del segundo máximo sea mayor que la del pri-resistencia de una columna con refuerzo he- mero. La resistencia de diseño, PRO,se obtuvolicoidal. El diámetro y el paso de la hélice multiplicando la resistencia, ,P por el factor ,,cumplen con las recomendaciones del Regla- de reducción, FR, que para este caso vale 0.80mento ACI 3 18-02. Como se ha mencionado (sección 4.2.2). Si no se hubiesen cumplidoanteriormente, la gráfica carga-deformación las restricciones sobre refuerzo helicoidal de lade una columna de este tipo tiene dos máxi- ecuación 4.8, se tendría que haber usado unmos (figura 4.1 ). Para determinar la resistencia valor de 0.70 para el factor FR, que es el queo carga máxima que puede resistir la colum- corresponde a columnas de estribos.na es necesario calcular los dos máximos, yaque la resistencia será el mayor de ellos. 4.4.3 Utilizando el Reglamento ACI 3 18-02 El primer máximo es la suma de las re- 14.41sistencias del área total de la sección de con-creto y del refuerzo longitudinal. Su valor en El procedimiento consiste también en calcu-el ejemplo es de 330 ton. El segundo máximo lar la resistencia correspondiente al primeres la suma de las resistencias del núcleo de máximo únicamente y verificar que el re-concreto confinado por la hélice, del refuer- fuerzo helicoidal cumpla, en este caso, conzo longitudinal y de la resistencia adicional las restricciones de la sección 4.2.3. La re-del núcleo debida al efecto de confinamien- sistencia del primer máximo se calcula conto de la hélice. Su valor en el ejemplo es de la ecuación 4.9, con la que se obtiene el si-388 ton. Esto indica que el segundo máximo guiente valor:es mayor que el primero, o sea, que se desa-rrolla la curva completa carga-deformación. Elárea del núcleo se calculó usando el diáme-tro medido entre los bordes exteriores de la De acuerdo con la sección 4.2.3, el fac-hélice. Para comprobar que la resistencia va- tor de reducción por excentricidad mínimaría muy poco, se puede calcular tomando el vale 0.85 y el factor de reducción, @, resultadiámetro centro a centro de la hélice. de 0.70, por lo que la resistencia de diseño, calculada con la ecuación 4.1 0, es:4.4.2 Utilizando las Normas Técnicas Pá u, , = 0.85 X 0.70 X 324,050 = 192,810 kg Complementarias ( NTC-04) 14.31 = 193 tonEn el ejemplo 4.3 se calcula la resistencia de 4.4.4 Comparación entre las resistenciasla misma columna con refuerzo helicoidal obtenidasdel ejemplo 4.2, usando en esta ocasión lasNormas Técnicas Complementarias (NTC-04) La, resistencia nominal calculada con lasdel Reglamento del Distrito Federal. La resis- NTC-04 resultó menor en este caso que la calcu-
  • 71. Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial 73
  • 72. 74 Elementos sujetos a carga axial
  • 73. Ejemplos de cálculos de resistencias de columnas cortas bajo carga axial 75
  • 74. 76 Elementos sujetos a carga axial
  • 75. Ejercicios 77lada con el Reglamento ACI 31 8-02, mientras de f, y de fy no coinciden totalmente conque las resistencias de diseño resultaron prác- los valores utilizados en la práctica, ya queticamente iguales. Sin embargo, no puede en el ejemplo se han usado valores redondea-concluirse a partir únicamente de unos ejem- dos. Así, el valor de f, de 30 megapascalesplos que un reglamento sea más conservador corresponde a un concreto de 306 kg/cm2, yo menos que el otro. Sería necesario compa- el valor de fy de 420 megapascales corres-rar diseños completos de varias estructuras, ponde a un acero de 4284 kg/cm2 de limitepara llegar a una conclusión de este tipo. de fluencia (ver tabla de equivalencias en Además, recuérdese que las cargas de Apéndice E). Sin embargo, en todos losdiseño y los factores de carga que deben uti- ejemplos de este texto en los que se utilicelizarse según cada uno de los reglamentos el sistema SI, se usarán los valores redondea-son diferentes. dos más cercanos a los valores usados en la práctica o comercialmente. El ejemplo 4.44.4.5 Utilizando el sistema internacional se ha resuelto utilizando los conceptos bási- de medidas SI cos, por lo que los comentarios son los mis- mos que los de la sección 4.4.1.En el ejemplo 4.4 se ilustra la utilización delsistema SI. Cabe hacer notar que los valores Referencias4.1 Investigación ACI sobre columnas. Reporte de la 4.3 Normas Técnicas Complementarias para Diseño y mayoría, F E. Richart; Reporte de la minoría, R.L. . Construcción de Estructuras de Concreto. Gaceta Bertin e lnge Lyse. lourna1 o f the American Con- Oficial del Distrito Federal, Tomo 1, No. 103-Bis, 6 crete Institute. Detroit, febrero 1933. de octubre de 2004.4.2 Richart, F E., et al. The Effect of Eccentric Loads, Pro- . 4.4 Comité ACI 318. Building Code Requirements for tective Shells and Other Variables in Reinforced Con- Structural Concrete (ACI 318-02). Detroit, Ame- crete Columns, Boletín 368. Urbana, III. Engineering rican Concrete Institute, 2002. Experiment Station, University of Illinois, 1951. Ejercicios4.1 Calcular la resistencia a carga axial de una colum- el acero un límite de fluencia de 2800 kg/cm2. El na de estribos de 40 x 70 cm. Considérese que la recubrimiento libre de la hélice es de 3 cm. Usar resistencia del concreto, f,, es de 300 kg/cm2, las Normas Técnicas Complementarias del Re- que el esfuerzo de fluencia del acero, fy,es de glamento del Distrito Federal. 4200 kg/cm2 y que el refuerzo longitudinal está 4.3 Suponiendo que los demás datos son iguales, constituido por diez barras del No. 8. Usar el Re- calcular el refuerzo helicoidal de la columna del glamento ACI 31 8-02. problema anterior, para que cumpla con los re-4.2 Calcular la resistencia a carga axial de una colum- quisitos del Reglamento ACI 31 8-02. Calcular la na circular de 50 cm de diámetro, con refuerzo resistencia correspondiente. helicoidal del No. 3 con 4 cm de paso y ocho ba- 4.4 Calcular la resistencia de un tensor de 30 x 30 cm rras del No.* 8 como refuerzo longitudinal. E l con cuatro barras del No. 6 de 4200 kg/cm2 de concreto tiene una resistencia de 200 kg/cm2, y esfuerzo de fluencia.
  • 76. mente, la flexión se presenta acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resisten- CAP~TUO L 5 cia a flexión puede estimarse con suficiente precisión despreciando el efecto de la fuer- za cortante. En este capítulo se describen el comportamiento de elementos sujetos a fle- xión y el efecto de las principales variables, y se presentan métodos para calcular la re- Flexión simple sistencia. 5.1 Introducción. /5.2 Comportamiento y 5.2 Comportamiento y modos de modos de falla de elementos sujetos a falla de elementos sujetos a flexión simple. /5.3 Resistencia de ele- flexión simple mentos sujetos a flexión simple. /5.4 De- terminación de la relación balanceada. / 5.5 Flexión asimétrica. /5.6 Procedimiento Se ha llevado a cabo gran número de ensa- general y comentarios sobre las hipótesis yes en flexión utilizando vigas simplemente simplificadoras para cálculos de resistencias. apoyadas, sometidas a dos cargas concentra- das de modo simétrico, en las que existe una zona sujeta sólo a momento flexionante (fi- gura 5.1).5.1 Introducción Por simplicidad se describirá exclusiva- mente el comportamiento de un elementoSon frecuentes los elementos estructurales de concreto con refuerzo de tensión. La figu-sujetos a flexión, tales como vigas o losas ra 5.2 muestra la gráfica carga-deflexión deque trabajan en una sola dirección. General- un elemento con un porcentaje de acero +Zona de estudio t Diagrama de momento IIIIIIIIIIIIIIIIIhm, flexionante
  • 77. 80 Flexión simple Carga P t Figura 5.2 Gráfica carga-deflexión de un elemento, con un porcentaje usual de acero de tensión.usual en la práctica. Al empezar a cargar, el tas y un quiebre marcado en la curva carga-comportamiento de la pieza es esencialmente deflexión. A medida que aumenta la longi-elástico y toda la sección contribuye a resistir el tud de las grietas, la zona de compresión semomento exterior. Cuando la tensión en la fi- va reduciendo, hasta que el concreto en es-bra más esforzada de alguna sección excede ta zona es incapaz de tomar la compresión yla resistencia del concreto a la tensión, empie- se aplasta. El primer indicio del aplastamientozan a aparecer grietas. A medida que se incre- es el desprendimiento de escamas en la zonamenta la carga, estas grietas aumentan en de compresión. Cuando esto ocurre, la car-número, en longitud y en abertura. Se puede ga disminuye con mayor o menor rapidez,observar muy claramente la zona de la pieza dependiendo de la rigidez del sistema! desujeta a tensión, en la que se presentan las aplicación de la carga, hasta que se producegrietas, y la zona sujeta a compresión. el colapso final. A partir de la aparición de las primeras Según la cantidad de acero longitudinalgrietas, el comportamiento del espécimen ya con que está reforzada la pieza, éste puedeno es elástico y las deflexiones no son propor- fluir o no antes de que se alcance la carga má-cionales a las cargas. En las regiones agrieta- xima. Cuando el acero fluye, el comportamien-das, el acero toma prácticamente toda la to del miembro es dúctil; es decir, se producentensión. En esta etapa, el esfuerzo en elace- deflexiones considerables antes del colapso fi-ro aumenta hasta que alcanza su valor de nal, como se muestra en la figura 5.2. En estefluencia. Desde el momento en que el acero caso se dice que el elemento es subreforzado.empieza a fluir, la deflexión crece en forma Por otra parte, si la cantidad de acero longitu-considerable, sin que apenas aumente la car- dinal de tensión es grande, éste no fluye antesga. Esto es, la resistencia del elemento es sólo del aplastamiento y se dice entonces que elligeramente mayor que la carga que produce elemento es sobrerreforzado. Puede sucederla fluencia del acero. Los primeros síntomas que el elemento alcance su resistencia precisa-de la fluencia del acero son un incremento mente cuando el acero empieza a fluir. En estenotable en la abertura y longitud de las grie- caso se dice que el elemento es balanceado.
  • 78. Comportamiento y modos de falla de elementos sujetos a flexión simple 81 acero sin un límite de fluencia bien marcado, no tienen más sentido que el de indicar el grado de ductilidad. En este caso la condi- ción balanceada no está claramente definida. En la figura 5.3 se presentan los esquemas de agrietamiento correspondientes a vigas con a) Subreforzada diferentes porcentajes de acero. En el caso de un elemento sobrerreforzado, la zona de aplas- tamiento del concreto es mayor que en el caso de otro subreforzado, y a la falla, las grietas del , primero son de longitud y abertura menores. La figura 5.4 muestra la variación en el , 1 . comportamiento de elementos que tienen dis- ) / / S 1 tintos porcentajes de acero. Cada curva de b) Sobrerreforzada trazo lleno representa la gráfica carga-defle- xión de un elemento reforzado con una can- tidad diferente de acero de tensión, desde Figura 5.3 Agrietamiento en la falla de vigas una viga de concreto simple hasta otra con sujetas a flexión. porcentaje muy alto de acero, del orden del 7 por ciento. Se puede observar de inmedia- Los términos sobrerreforzado y subre- to el efecto de la cantidad y distribución delforzado, aplicados al caso de elementos con acero longitudinal. Carga P Fluencia del acero Acero de tensión únicamente ( - - e - - Acero de tensión y de ¡ I / c Aplastamiento compresión del concreto del concreto --. E~plastamiento Fluencia del acero del concreto ractura del acero inmediatamente C después del agrietamiento del concreto P I Agrietamiento del concreto en tensión Deflexión a Figura 5.4 Gráficas carga-deflexión de elementos con porcentajes variables de acero (sección, f , y fy constantes) sujetos a flexión simple.
  • 79. 82 Flexión simple Un elemento de concreto simple (curva tilidad, pero su resistencia permanece prác-A) alcanza su resistencia y falla al agrietarse ticamente constante, ya que está regida porel concreto en la fibra más tensada, con una la tensión en el acero (curvas D y E).def1exió.n muy pequeña. La falla es repenti- Es importante recalcar que la ductilidadna, de tipo frágil. que se puede lograr con la adición de acero Adicionar refuerzo longitudinal en can- de compresión, no se obtiene si éste no estátidades muy pequeñas, hace que la capaci- adecuadamente restringido por medio de re-dad del miembro aumente al mismo tiempo fuerzo transversal, ya que de otro modo, paraque su deflexión en la falla (curva B). En las compresiones muy altas y cuando hay pocoprimeras etapas de carga, el comportamiento recubrimiento, el acero de compresión pue-es muy parecido al de un elemento de con- de pandearse, lo que causarla un colapsocreto siniple. Una vez agrietado el concreto, la súbita.tensi6n en el acero se incrementa rápida- En la figura 5.4 se ha presentado demente al aumentar la carga, hasta que el re- un modo cualitativo la variación de las ca-fuerzo se fractura. Este tipo de falla ocurre racterísticas carga-deflexión de elementosen elementos con porcentajes muy peque- sujetos a deflexión pura, en función del por-ños de acero, del orden de 0.1 por ciento o centaje de acero, suponiendo que los indicesmeiios. La falla es frágil y se produce a una de resistencia de los materiales, f, y fy, per-deflexión pequeña. manecen constantes. Las caracterfsticas car- Las curvas C y D son tipicas de elemen- ga-deflexión son también función de lastos con porceritajes usuales de acero de ten- propiedades mecánicas de los mciteriales,sión (de 0.5 ; 2 por cientd). Se puede observar i expresadas por sus índices de resistencia.que la resistencia y la deflexión son sustan- Un incremento en el valor del esfuerzo decialmente mayores que en las curvas A y B. fluencia, o en el valor del porcentaje de ace- Si se aumenta apreciablemente el por- ro de tensión, tiende a aumentar la capaci-centaje de acero, el elemento se convierte dad en tensión del elemento. Por otra parte,en sobrekreforzado, como muestra la curva un incremento en el valor de f,aumenta laF. La resistencia aumenta, pero la deflexión a capacidad en compresión. El comporta-la falla disminuye. miento de un elemento depende de la rela- Si además de acero de tensión, existe ción entre su capacidad en tensión y suacero longitudinal en la zona de campresión, capacidad en compresión. Esta relaciónsu efecto en las gráficas carga-deflexión del puede medirse por medio del parámetroelemento se muestra en la figura 5.4 con I - F w = pfylf,, según la notación ACI 3 1 8-04, elneas de trazo interrumpido para dos casos. cual suele llamarse índice de refuerzo. (Se-El efecto principal del acero de compresión gún las NTC-04, el parámetro equivalente eses aumentar hotablemente la ductilidad; la q = f! fylPc.)adición de acero de compresión en cantidad Se pueden definir, entonces, elementossuficiente a un elemento sobrerreforzado subreforzados y sobrkrreforzados para valo-puede hacer que éste se convierta en subre- res bajos y altos de o,respectivamente, tal yforzado, aumentando su ductilidad y resis- como se hizo para valores bajos y altos deltencia, al lograr que el acero de tensión porcentaje de acero.desarrolle su esfuerzo de fluencia. Este efec- Para elementos con refuerzo longitudi-to se muestra cualitativamente en las curvas nal de tehsitin y de comflresión, el fndice de F y C de la figura 5.4. refuerzo es w = (p- $1 fylf, donde p repre- La adiclóii iéfuerzo de cbnipiesión a senta el polcentaje de acero longitudihal enun elemento subreforzado aurrlenta su duc- corhpresión.
  • 80. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 1 3Tabla 5.1 Características de elementos con distintos índices de refuerzo. . .- Curva trjoica Porcentaje de acero fndice de Tipo Grado decorrespondiente de tensión de combresión refuerzo de elemento Modo de falla ductilidadde la figura 5.4 P bi w A Nulo Nulo Nulo Concreto Concreto en Frágil simple tensión B MUY Nulo Muy pequeño Muy Fractur? del POCO dúctil pequeño subreforzado acero, frágil C Normal bajo Nulo Normal bajo Subreforzado ~~IastamientoMuy diictil después de la fluencia D Normal alto Nulo Normal alto Subreforzado Aplastamie;ito ~úctil después de la fluencia E Normal alto Qel orden Normal bajo Subreforzado sub r miento Muy dúctil del de después de la tensión fluencia -,a < L. í F Muy alto Nulo Muy alto Sobrerreforzado Aplastamiqnto Frágil sin fluencia ael acero C Muy alto Del orden Normal bajo Subreforzado ~ p l a s ~ m i & t Dúctil ~ del de después de la tensión fluencia - -. -"i .-li Como resumen de lo expuesto anterior- mismo nivel toincidkri , ,A!. ,(-..,., - , - Pi se ieksikl~mente ,!mente, se ~resenta tabla 5.1, que com- la usan barras con corkligacion adktdada bardplementa la figura 5.4. garantizar la adherenci~entre cohcreto y Otro aspecto importante del comporta- acero.miento de elementos sujetos a flexidn sim-ple, es la distribución de deformaciones enel peralte. Las mediciónes hechas en el labo- 5.3 Resistencig de eleMkhiosratorio indican que en una sección normalal eje de la pieza, la distributión de defor- sujetos a flexión siriiplemaciones longitudinales es aproximadamentelineal para casi todos los niveles de carga,~orhalkíehte miden deformac/uiies ed el seconcreto, en la zona de kampresi&n, y eri La reristehcia de +litñ~htoa sujeitii a i ~ ~ ~ i o f iel acero. La presencie de grietas difikulta !a sidple p&de detethiitidrsk $ $h/f i16 ¡indmedición de deformaciones en el concrkto serie de Kigbtiris sim$liiic$d8i$k> ! li&khs 81 -.r , -en zonas de tensih. A pesar be esto, cuarido comporiimiiihtd Cdlikd y al rhecáriijhd dci p. , *-..se han Lisado br~cedirhientos rfiinucibsós, se ción-respdbsta descritos ahieriorhédte. ~ $ 3ha cokprobado que las deformation6s del hipdtesis que se hacen coh6ndedt$s6n lasconcreto en tensión y del acero colocado al sigliientes:
  • 81. 84 Flexión simple a) L distribución de deformaciones uni- a e) El elemento alcanza su resistencia a tarias en la sección transversal de un una cierta deformación unitaria má- elemento es plana. Esta hipótesis ha xima útil del concreto, E,. En la sec- sido verificada mediante mediciones ción 5.5 se justifica que, para un y es correcta, excepto para longitu- intervalo relativamente amplio del des de medición muy pequeñas y en valor de la deformación unitaria en la la rama descendente de la gráfica fibra extrema en compresión, el mo- carga-deflexión (sección 5.2). mento flexionante permanece cons- b) Se conoce la distribución de esfuer- tante prácticamente. Esto indica la zos en la zona de compresión del validez de esta hipótesis. Los regla- elemento. En la sección 5.5 se estu- mentos recomiendan valores de E,, dia la influencia de esta distribución que varían de 0.003 a 0.004. de esfuerzos en la resistencia. Los re- glamentos de construcción presen- 5.3.2 Hipótesis de algunos reglamentos de tan distribuciones simplistas, con las construcción cuales se obtienen valores de la re- sistencia suficientemente aproxima- En la figura 5.5 se muestran los estados de dos. En la sección 5.3.2 se exponen deformaciones y esfuerzos en la sección las hipótesis de algunos reglamentos. transversal de una viga sujeta a flexión. Se c) No existen corrimientos relativos de puede apreciar que la forma del diagrama consideración entre el acero y el con- de esfuerzos de compresión es similar a la creto que lo rodea. Para concreto re- curva esfuerzo-deformación de un espécikn forzado con barras corrugadas, la ensayado a compresión. El área del diagra- hipótesis es bastante realista. Es decir, ma de esfuerzos de compresión y la posi- se puede suponer que la deforma- ción de la resultante de compresión, pueden ción unitaria es la misma en el acero determinarse a partir de tres parámetros adi- y en el concreto que se encuentra al mensionales, pi, P2 y P3. El parámetro a3 re- mismo nivel (sección 5.2). laciona el esfuerzo máximo en flexión con la d ) El concreto no resiste esfuerzos de resistencia de los cilindros de control. El pa- tensión longitudinales. Despreciar la rámetro pl indica la relación entre el esfuer- magnitud de estos esfuerzos no influ- zo promedio y el esfuerzo máximo en la zona ye apreciablemente en las resisten- de compresión, y el parámetro P2 indica la cias calculadas. pÓsición de la resultante de compresión. El Figura 5.5 Distribuciones de deformaciones y esfuerzos en una sección sujeta a flexión.
  • 82. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 85área del diagrama de compresiones y la posi- tante de compresión sean semejantes a las queción de la resultante pueden definirse también corresponderían a una distribución real.estableciendo expresiones matemáticas quepermiten idealizar el diagrama de esfuerzosde compresión. Se han propuesto numerosos valores El Reglamento del Instituto Americano delpara los parámetros pl, P2 y &, así como di- Concreto (ACI 31 8-02) utiliza las hipótesisversas configuraciones del diagrama de es- simplificadoras que se resumen en la figurafuerzos de compresión. En la referencia 5.1 5.6. En lugar de la distribución real de es-hay un resumen de distintas proposiciones y fuerzos, se propone una distribución rectan-en las referencias 5.5 y 5.6 se presentan al- gular, con una profundidad igual a Pi vecesgunos tratamientos más rigurosos del problema la del eje neutro. Se acepta que el elementode flexión. En fecha reciente se han empeza- alcanza su resistencia a una deformacióndo a utilizar los llamados concretos de muy unitaria máxima útil del concreto en com-alta resistencia, con valores de f, mayores a presión igual a 0.003, con una distribución400 kg/cm2. lnvestigaciones llevadas a cabo lineal de deformaciones unitarias.para determinar las características estructu- El parámetro P1 se hace depender derales de estos concretos indican que los la resistencia nominal f,, de acuerdo con laparámetros mencionados, especialmente a, ecuación mostrada en la figura 5.6. El valorquizá deban revisarse cuando se apliquen a de pl es constante e igual a 0.85 paraestos concretos [5.8, 5.91. f, 1 2 8 0 kg/cm2. Esta variación tiene por Con el objeto de desarrollar métodos sen- objeto tomar en cuenta el cambio en la formacillos de cálculo, los reglamentos de construc- de la curva esfuerzo-deformación del con-ción recurren a hipótesis simplificadoras en las creto al incrementar su resistencia (figuracuales se fija un valor de la deformación unita- 2.5), ya que el área del rectángulo equivalenteria máxima útil del concreto, E,", y donde se debe ser aproximadamente igual al área bajodefinen diagramas idealizados de los esfuerzos la curva esfuerzo-deformación. La hipótesisde compresión, de tal manera que el área del del bloque equivalente de esfuerzos es aplica-diagrama de esfuerzos y la posición de la resul- ble a secciones de cualquier forma I5.2, 5.31. ,, = 0.003 ¿ ,0.85 fc, T f, en kg/cm2 Si f, se expresa en MPa, sustituir 1400 por 140 Figura 5.6 Hipótesis ACI 31 8-02 sobre la distribución de deformaciones y esfuerzos en la zona de compresión.
  • 83. HIPÓTESIS LAS NORMAS TÉCNICAS DE alta resistencia, y para tomar esto en cuentaCOMPLEMENTAP14S (NTC-04) DEL REGLAMENTO ciertos reglamentos especifican cambiar tantoDEL DJSTR~TO EDERAL (MÉXICO) F s i c el esfuerzo uniforme como la profundidad del bloque I5.91. Por ejemplo, el reglamento deLa> Normqs Técnicas Complementarias habían Nueva Zelanda especifica una profupdidadespecificqdp qn bloque equivalente de esfuer- del bloque de y veces la profundidad del ejezos dif~rente del Reglamento ACI. En vez al neutro y un esfuerzo uniforme de a f,, don-de yn esfuei uniforme y una profundidad de y y a tienen los valores;variable di] eje neitro, como en la figura 5.6,se especificaba un esfuerzo variable y unaprofundidad cGnstante del eje neutro. La utili-zación de este bloque equivalente tenía ven-tajas para la elaboración de ayudas de diseñp,como los diagramas de interaccián que se co- El reglamento canadiense contiene unamentan en el capítulo 6. Sin embargo, no pro- disposición semejante con los siguientes va-porcionaba buenos resultados para concretos lores de y y a:de resistencias altas, por lo que se cambió, apartir de 2004, por un bloque muy parecido y = (0.97 - 0.00025 f f c )2 0.67al del Reglamentq ACI. La única diferencia ra- a = (0.85 - 0.0001 5 f,) 2 0.67dica en el uso del parimetro f*,, que se ha de-finido ep /a sección 4.2.2 y que sustituye en En las ecuaciones anteriores, f, está enlas ecuaciqnw cortespqpdientes a f,. E] blo- kg/cm2. Puede verse que para cqncretps de fe-R H ~ e y l t . 1 9 ~uraqflq Iq q&~¡ón d~ las r qistepcias qsual&, los valores obtenidos p nR-TErS igkv$$fg & 19 5.7. , % jpg los diferentes qglament~s muy parecidos. 5.3.3 Procedimientos para determinar la a re~i~tenciaflexión LQS diversos procedimientos consisten en es- tablecer un estado de deformai;ifi~ tal, gue la f", = 0.85 f*, f*, = 0.8 f, 0.65 5 g, = (1 0 5 - i5 140Q ) f, y f*, en kg/cm2, si se expresan en MPa, sustituir a-- - 1400 por 140 Figpra 2.7 Hipótesis de las NTC-04 sobre la distribución de deformaciones r Ir y e?fuerzos en la zona de compresión.
  • 84. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 87sección se encuentre en equilibrio, o sea, Esto significa que el acero está fluyen-que la suma de las fuerzas de compresión que do. Según las hipótesis ACI 318-02, puedeactúan en una sección transversal, sea igual a considerarse que el acero tiene una gráficala suma de las fuerzas de tensión. Una vez esfuerzo-deformación elasto-plástica, por loestablecido dicho estado de equilibrio, se cual, el esfuerzo es igual al esfuerzo de fluen-calcula el momento de todas las fuerzas in- cia fy para cualquier valor de E, mayor queternas con respecto a un eje cualqviera. Este ey. Esta hipótesis equivale a despreciar la zo-momento es la resistencia a flexión de la na de endurecimiento por deformación delsección. E l estado de equilibrio interno pue- acero; por lo tanto, el esfuerzo del acero ende determinarse por medio de tanteos o al- el ejemplo es igual a fyl y la fuerza de ten-gebraicamente. En los siguientes incisos se sión se obtiene multiplicando el área de ace-ilustra la determinación de la resistencia de ro, A por el valor de fy. Resultó, de esta ,diversos tipos de secciones. manera, un valor de T de 63,000 kg. Cuan- En esta sección se presentan ejemplos .do la deformación & es rnenor que eyr el es- ,en los que se usan los Reglamentos ACI y del fuerzo correspondiente puede encontrarseDistrito Federal. El procedimiento que usa por medio de la ecuación f, = E E o bien, , ,las hipótesis generales se ilustra más adelan- directamente en la gráfica esfuerzo-defor-te en la sección 5.5. mación del acero. Si el valor supuesto de la profundidadSECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE del eje neutro, c, hubiese sido correcto, lasARMADAS - REGLAMENTO ACI 3 1 8-92 f y s r z q ~ y T habrían resultado iguales. En ?( ejg+plp no j e y f t q ( 6 i iqf, por Iq (R fuk ng-En el ejemplo 5.1 se calcula la resistencia de ya cesyío ajpsi$r $1 y a l ? ~ gye !$ ,ver59 4e Yuqa sección simplemente ajl)a+. Se copprgsi@nrgsu!to (nayqr qge (9 $e tgnsjdi,ban tres procefiim(enps poslbles. < <. elvalor de c +pkrd $pr menor que e i si: i$ , S El primero c p $qcedimi$nt~de tan- 1 1 -, a(, i ? q im~(jia"(I~sse- ~ u e s pq i E . i q l q tQ ~ ~ ! ~ $5 Z O,teos. C o p prime! ~ , gp la S Q ! CIW , e ~ ~- r J &: pird slsndg vgysr q r ? EY Y g ~ s k a@t~ lgi6 un estado de dFforrnqci~iissque queda /@ tq+i$n ep ejts casadefinido por el vabr&& y (jq ;$p"de lo Ppr (q tqnfh p~gs!q que = TI e! v&rprofundid{q gel i j k ??H!~Q,glameot~ 31 8-p2, t! v a í ~ de, E &¡ c. r ,[$gura 3.6).El valG dq c es tentitívo .e e! sesu? be- 9.093 correcto - ecuacibp: 3~ c ,pue+. ~a/cu~(arspi ,,, l 5l . a par[/: 1%gió arbitrariahnnte. ~nLva~or-razonab l e &! l t 2 t lf. e es S YSee?: C= (7 8 0.45f; xbaprqxir(iadamqpte un t6yCig def1$era)ye; por!o $6 gn el ;je$plq se hizoCOG cm. yiestablecibb el patado de = 2q Una vez enpqntrado e( valor de c cpn eldeiormaciones,se de!grwi?d el e?tqdo dg ptqerz~s psando la hipótesis deia figura 5.6. i 9 pn cual 1 secci6i1 ~st4ka s@ilibri~(:jeF ~ I F el mpmgn!hre!/~fer(tp yjplnd, qn1 u t~: b F,!evaiqr be pi iesuIt6 ein &e ~ a j 11.85. a ~ plica$p la fueiza dp tensiQpILo la qe c k q rpartir del estad; dg e F ~ r f 4 s ; - s B calculfi l? prpsjbn, por e l brazo ds Qar inhrpq, T.(!$,fuqrza de cornprGsi6n C, qqg fue dp 8 6 , 5 9 kg. eqtignde por r e s i s t e n c i ~ ~ f i o ~ i n alassre: leAco~tiriuació;ise iilcLlb 1 defqpafión eq $1 9 u, , < l sisi@ficils sin afettar por los factores dg a(<yp, hsando tri4ngub? sgyejql)fc$ :.. el- diar ,,,. en r<dpcci&n qspe~ific$as taniÓ en e)P-gla- en Sgrama de defsrmacippes uqjtalla;. En $1 rpsnt6ÁJ 31 842 ~ c f r ) ~ JqsNTE-~4.1 Sg $j61pP~o o bbtu"? un "qlqr $9 ~ 4 0 6que es , olitubo de esta panera un m{bentp resisteq- dqyciydr que la deformación de fluencia cy. te de 33.9 ton-m. ~ & & nlas recomkndqci~n~s
  • 85. 88 Flexión simple
  • 86. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 89
  • 87. 90 Flexión simple
  • 88. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 91 ACI, los valores de M, deben reducirse mul- En el tercer procedimiento, el momehto tiplicándolos por el factor 4 para obtener el resistente de la sección propuesta se obtuvo momento resistente de diseño, 4 M,. Para usando la gráfica del Apéndice A. Esta gráfi- el caso de flexión, su valor es de 0.90. El va- ca es la representación de la ecuación de la lor del momento resistente de diseño fue, en figura 5.8; se incluye también una represen- el ejemplo, de 3Q.5 ton-m. tación de la fórmula equivalente que se de- E l segundo procedimiento es aplicable riva de las hipótesis de las NTC-04., únicamente a secciones rectangulares subre- El procedimiento de tanteos tiene la forzadas, con refuerzo de tensión únicamen- ventaja de poder aplicarse fácilmente a sec- te y consiste en el empleo de la ecuación ciones no rectangulares o con refuerzo de deducida en la figura 5.8, que tiene la ven- tensión y compresión. Aunque es posible en taja de proporcionar de modo directo el me- estos casos obtener expresiones analíticas si- mento nominal resistente. guiendo un procedimiento semejante al , 0.85 f, , Por equiljhrio: ,, < a Tpmandq q ~ m e p t a s respecto al aqero de t e p s j ~ n cgrl a M, = C (d - -) = 9.85 f, abd (1 - -1 a 2 2d Sustituyendo a de la ecuación (i)y tomando en cuenta que o = efr fc Figura 5.8 Momento resistente nominal de elementos rectangulares con refuerzo de tensión :: $nicapente, de acuerdo con el Rgglamento ACI 8-Q?. 31
  • 89. 92 Flexión simplemostrado en la figura 5.8, se llega a ecuacio- anteriormente, son sólo aplicables e estas sec-nes muy complicadas o a sistemas de ecua- ciones. En la sección 5.4 se presentan algunosciones simultáneas cuya solución resulta más métodos para determinar si la sección es sub-laboriosa que el procedimiento de tanteos. reforzada o sobrerreforzada. Los procedimientos de obtención de re-sistencia por medio de la ecuación de la figu- SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTEra 5.8 y por medio de la gráfica del Apéndice ARMADAS - NTC-04A son muy sencillos y rápidos. Debe siempreverificarse si la sección es subreforzada, ya En el ejemplo 5.2 se ilustra el cálculo de laque estos procedimientos, como se mencionó resistencia de la misma sección rectangular
  • 90. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 93
  • 91. 94 Flexión simplesegdn las NTC-04, tambien por tres procedi- €cta reducci6t-i tletjktd hacgrg? cuandbmientos. El esfuerzo uniforme, Y , el pard- ,y la dimensión en cuestión sea menol de 20metro fll se calcularon de acuerdo con las cm. En vigas y losas, las dimensiories sujeta4expresiones de la figbra 5.7. como p1resul- a reducci8il son el dncho y k¡ peralte efecti-tó maj/or que 0.85, se u86 este valor. vo del refuerzo del lecho siiperior. En los El procedimiento de tanteos es seme- ejemplos de este texto, para mayor sencillez,jante al empleado en el ejemplo 5.1. El ajus- se supondrá que no es necesario hacer estaste del valor de c para el segundo tanteo se reducciones.hizo aplicando la ecuación: Segirin las NTC-04, el valor del factor de reducción, FR, que debe utilizarse para caltu- T lar la resistencia de diseño de elementos su- C = jetos a flexión es 0.9. 0.85 x f", x b En el segundo procedimiento se dplicó una ecuación equivalente ila deducid4 en . 4 calcular resistencias de acuerdo cdií 1 la fi$lra 5.8, utilizando las hipótesis de la fi-las NfC-04 tiacerse bna kducción de gura 5.7. * ,2 Ch-Í en ciertas dih&siohes de los eleriieritos c,ti.; pata el teicer piockidimiehto se u t i l ~ t ó labstructurales, a no ser que se tomen 6iecau- grlfica ,del A~6n81Eé, que Ijer%ite calcul$r ,. , ,, ,. , c b - Aciones para garantizar que las diriiensidnes 10s riiomeritbi iéiisterittie i i o k i n a i 3 de viga;;le cáltulb se conserven durante el proceso iectangril4res con bdde en las I;ipbtesis deconstructivo. las NTC-04. La pequeña aisctepankia con
  • 92. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 95 al valor calculado segdn el primer Por esta razón, en el segundo tanteo se dis-procedimiento, se debe a la precisión con minuyó la profundidad del eje neutro, con loque se puede leer la gráfica. cual las dos fuerzas quedaron con valores El momento resistente MR M = FR Mn = , lo suficientemente aproximados para finespuede obtenerse directamente a partir de la prácticos. En secciones doblemente arma-cuantía de acero p con la ayuda de las tablas das, la fuerza total de compresión no es di-del Apéndice B. (Las NTC-O4 distinguen en- rectamente proporcional a la profundidadtre Mu, el momento actuante de diseño, y del eje neutro, por lo. que esta profundidad,MR, el momento resistente de diseño. Ideal- para la configuración de deformacionesmente los dos términos deben ser iguales, por unitarias cori.espondiente al equilibrio de lalo que en este texto se utilizarán indistinta- sección, no puede obtenerse estableciendomente.) una relación de proporcionalidad después En este ejemplo queda clarci que la úni- del primer tanteo, como en el caso de sec-ca diferencia entre el Reglamento ACI y las ciones simplemente armadas. Con la confi-NTC es el uso de la resistencia reducida f*, guración final de deformaciones unitarias,en estas ditimas, Todas las ecuatibnes y pro- el acero de compresióri no fluye, y& que E,cedimientos del Réglament~ACI parh fie- es menor que Ex;- mientras que el de tehdón rxi6n se puedbh usar bh las N f C sustituyirido sí fluyé. E n algunas sectiones en 16s que elf l , por f*,. No hay que olvidar, sin embargo, recubrimieiito del acero de compresión esque los factores de carga son diferentes en grahde, pliede suceder que la defoi.maci6nambos reglamentos. tambl&n hay que notar E, resulte de tensión. En estos tasos, el ace-una diferencia en las definiciones de w en el ro de cbm$resión ya no actda como tal sino~églamento ACI y q en las NTC. La primera como reiuerfb de tensión, y su contribuci6nestá definida en términos de f mientras , a la resistencia suele ser muy pequeña. Unaque la segunda lo e s t ~ términos de f",, eh vez obtenida la cónfi uración de dehrma-como puede verse en el recuadro de la grA-fica del Apéndice A. k ciones para la cual a sección estaba en equilibrio, se calcriló el momento flexio- nante, tdmando momentos de primer ordenSECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE con respecto al eje geométrico de la sec-ARMADAS - REGLAMENTO ACI 3 1 8-02 ción. En realidad, para la flexión pura se pueden tomar momentos de primer ordenEn este caso, el procedimiento mbs sencillo con respecto a cualquier eje y se obtiene eles el de tanteos, el cual se ilustra en el ejem- mismo momento flexionante.plo 5.3, Los pasos a seguir son, en forma El momento resistente de diseño se ob-esencial, los mismoi que en el ejemplo 5.1, tuvo multiplicando el momento resistente,con la diferencia de que la fuerza total de M por el factor de reducción, 4, que para ,compresión es la suma de la fuerza de com- este caso vale tambi4n 0.9.presión en el concreto, CI, y de la fuerza de También pueden derivarse ecuacionescompresión en el acero, C2. Para determinar para calcular el momento resistente nomi-C2 es necesario calcular la deformación al nal de secciones rectangulares doblementenivel del acero de compresión, E,, y obte- armadas, equivalentes a la obtenida eh laner, a pPrtir de dicha defórmacibn, bI eifuer- figura 5.8 para secciones con refuerzo dezb en el acero, ,f,. kste eifuerzo pubde ser tensión únicamente. E S ~ O ha hecho ,en la seriien~r igual al de flhencla., ó flgura 5.9 usdndo las hipótesis de¡ XCI. Re: EII bl primer tanteo, la fubria total de iulta necesario distihgulr dos casoS, segúncompresicin resultó mayor que la de tensión. fluya o no fluya el acero de compresión. En
  • 93. 96 Flexión simple
  • 94. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 97
  • 95. 98 Flexión simple
  • 96. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 99
  • 97. 1 00 Flexión simplecualquiera de los dos casos, las ecuaciones E, calculado a partir de este valor de a re-resultantes son válidas siempre que fluya el sultó menor que la hipótesis no fue co-acero de tensión, o sea, que el porcentaje rrecta, por lo que se volvió a calcular a conde refuerzo sea menor o igual al porcenta- la ecuación 6 que corresponde al caso 2. Aje balanceado. El cálculo de porcentaje ba- partir de este nuevo valor de a se calcularonlanceado para secciones doblemente las fuerzas de compresión en el acero y enarmadas se muestra en la figura 5.1 3. Se el concreto, C, y C respectivamente, el ,puede ver que es función de los porcenta- momento nominal, M y el momento de di- ,jes de refuerzo de tensión y de compresión. seño, $ M Las pequeñas diferencias en el . , Puesto que no se sabe de antemano si el resultado con respecto al procedimiento deacero de compresión fluye o no lo hace, tanteos se deben a que en este último noconviene iniciar el cálculo suponiendo que sí coinciden totalmente las fuerzas de com-fluye, o sea, aplicando las ecuaciones del ca- presión y tensión.so l . Lo primero que se hace es calcular elvalor de a con la ecuación 2 de la figura 5.9. SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTEConocido este valor, se calcula E que por , ARMADAS - NTC-O4triángulos semejantes de la figura 5.9 (b) tie-ne el valor: E l procedimiento es igual al ilustrado en el ejemplo 5.3, basta sustituir f, por f*,. Si se emplea el método de ecuaciones, pueden usarse las de la figura 5.9 haciendo la misma sustitución. SECCIONES T SIMPLEMENTE ARMADAS - S i E, es mayor o igual a la hipótesis REGLAMENTO ACI 31 8-02de estar en el caso 1 es correcta y se calculael momento nominal con la ecuación 1 de En el ejemplo 5.4 se ilustra el procedimien-la figura 5.9. S i E, es menor que la hipó- to a seguir. La sección propuesta es similartesis no es correcta y entonces se calcula un a la del ejemplo 5.1, pero con un patín denuevo valor de a con la ecuación 6, y el mo- compresión. La diferencia con respecto almento nominal con la ecuación 7. caso de una sección rectangular estriba en Las ecuaciones para calcular el momen- el cálculo de la fuerza de compresión. En elto resistente nominal de una sección doble- primer tanteo, el eje neutro supuesto estabamente armada son más complicadas que las por debajo del patín; el límite inferior delde una sección con refuerzo de tensión úni- bloque equivalente de esfuerzos tambiéncamente, en especial en caso de que no fluya quedó por debajo del patín. El bloque deel acero de compresión. Por esto, general- esfuerzos, por lo tanto, fue de ancho varia-mente resulta más sencillo el procedimiento ble. En los 10 cm superiores tenía un anchode tanteos. Sin embargo, las ecuaciones son de 110 cm, o sea, el ancho del patín; enmás convenientes para elaborar programas cambio, en la parte inferior, el ancho delde computadora. bloque fue igual al ancho del alma de la vi- En la segunda parte del ejemplo 5.3 se ga. Por esta razón, la fuerza de compresióncalcula el momento resistente por el proce- se calculó en dos partes, como se muestradimiento de ecuaciones. Se determinó en en el ejemplo. En este primer tanteo, laprimer término el valor de a suponiendo fuerza de compresión resultó mayor queque se estaba en el caso 1. Como el valor de la de tensión.
  • 98. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 101 . A,. 1 1 &S 1 p : I .. (a) sección completa --- - m A, mm -3 1 (b) deformaciones unitarias C = A, f, , (c) esfuerzos y fuerzas .. I I I I I I I I I I I I ; As1 ---,,,,,J : T = A fy I , T = As2 fy 2 (d) viga 1 (e) fuerzas en la viga 1 (f) viga 2 (g) fuerzas en la viga 2Caso 1. El acero de compresión fluye (f, = fy) Caso 2. El acero de compresión no fluye (f, < fy)De la fig. (e): Por triángulos semejantes de la fig. (b):A, fy = Asl fyA, = A,1Momento de la viga 1: Las fuerzas de la fig. (c) tienen los siguientes valores:MI = TI ( d - d ) = A1,fy ( d - d ) Momento de la viga 2: Cs = Es E, Als = 0.003 ES 1( - 5) A : (ecuación 3) a a Cc = 0.85 f, a b (ecuación 4)M2 = T2 (d--) = A s 2 fy ( d - T ) 2 T = A fy ,As2= A - A l = A, - A, , SSustituyendo As2: Por equilibrio en la fig. (c) aM2 = (As - A,) fy (d- C, + C, = T = A fy , (ecuación 5)Momento nominal total: Sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 5 yMn = MI + M2 a a poniendo como incógnita:M = A, fy (d- d ) + (A, - A,) fy (d- -) (ecuación 1 ) , 2 (0.85 Pcb)a2 + (0.003ESA, -Asfy)a - (0.003 ESAfs&d)= OEl valor de a se encuentra por equilibrio en la fig. (g): (ecuación 6)4 2 fy = 0.85 f, ab Una vez despejado el valor de a, el momento nominalPuesto que As* = A, - A, puede obtenerse tomando momentos de C y C da- , , dos por las ecuaciones 3 y 4, con respecto a T: (ecuación 2) Mn=C,(d-0.5a)+CS(d-8) (ecuación 7) Figura 5.9 Momento resistente nominal de secciones rectangulares doblemente armadas, de acuerdo con el Reglamento ACI 3 18-02.
  • 99. 1 02 Flexión simple
  • 100. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 103
  • 101. 1 04 Flexión simple
  • 102. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 105 Para el siguiente tanteo se partió de la la sección T completa, mostrada en las figu-base de que el acero de tensión también ras 5.1 0(a) y (b), en dos secciones: la de lasfluía, ya que si se elevaba el eje neutro, la figuras 5.1 0 (c) y (d), que está formada pordeformación unitaria del acero sería aún las alas del patín y un área de acero Asp ne-mayor que en el primer tanteo. Conocida cesaria para equilibrar la fuerza de compresiónentonces la fuerza de tensión, se calculó el correspondiente, y la de las figuras 5.1 0 (e) yvalor de la profundidad del eje neutro supo- (f), formada por el complemento de la zonaniendo que todo el bloque de compresión de compresión y un área de acero Asaigualquedaba dentro del patín, ya que la fuerza al área total, A menos el área Asp. Con las ,de compresión, Ci, del tanteo anterior era ecuaciones 1 y 3 deducidas en la figura 5.1 0mayor que el valor de T. El valor de c obte- pueden calcularse el área de acero Aspl quenido de esta manera resultó de 4 cm, con lo corresponde a la llamada "viga patín", y lacual se verificó la hipótesis de que el bloque profundidad del bloque de esfuerzos, a, dequedaba dentro del patín. Cuando el eje la sección completa. Conocidos estos valo-neutro cae dentro del patín, como en este res, el momento resistente nominal se puedecaso, el comportamiento de la sección es calcular con la ecuación 4 de la figura 5.1 0.igual al de una sección rectangular cuyo an- Obsérvese que en la deducción mostradacho es el del patín. en la figura 5.1 0 se supone que el acero de También puede determinarse el momen- tensión está fluyendo, ya que tanto en el va-to resistente nominal de secciones T mediante lor de Tp de la figura 5.1 0 (d) como en el deecuaciones. Es necesario distinguir dos casos, Ta de la figura 5.1 0 (f), el esfuerzo en el acerosegún que el bloque de esfuerzos de compre- es fy. Por lo tanto, la relación de acero p de-sión caiga totalmente dentro del patín o que be ser menor que la relación balanceada pb.una parte caiga dentro del alma. En la figura (Más adelante, en la figura 5.1 4, se determi-5.1 0 se muestra el procedimiento a seguir y se na el valor de pb para secciones T.)deducen las ecuaciones correspondientes. En la última parte del ejemplo 5.4 se cal- Se supone primero que el bloque de es- cula el momento resistente nominal por elfuerzos de compresión cae totalmente den- procedimiento de ecuaciones. En este ejem-tro del patín y se calcula su profundidad a plo, la profundidad del bloque de esfuerzospartir de la condición de equilibrio de fuer- de compresión resultó menor que el grosor del zas (véase la ecuación i de la figura 5.8). Esto patín, por lo que se usó la ecuación que co-equivale a suponer que la sección funciona rresponde a secciones rectangulares. como una sección rectangular cuyo ancho En el ejemplo 5.5 se resuelve una secciónes el del patín. en la que el bloque de esfuerzos de compre- S i la profundidad del bloque de esfuer- sión cae dentro del alma, o sea, la sección fun- zos, a, resulta menor que el grosor del patín, ciona realmente como sección T. Este ejemplo t, la hipótesis del paso anterior era correcta está resuelto con unidades del sistema SI. y se procede a calcular el momento resisten- te nominal con la ecuación deducida en la SECCIONES T SIMPLEMENTE ARMADAS - figura 5.8. NTC-04 Si, por el contrario, la profundidad del bloque de esfuerzos resulta mayor que el gro- En el ejemplo 5.6, en el que se aplicaron las sor del patín, la hipótesis no era correcta y NTC-04, el eje neutro quedó debajo del le- es necesario deducir otras ecuaciones. Esta cho inferior del patín. Al igual que en el ejem- deducción se hace en el paso 3 de la figura plo 5.4, se hizo un tanteo inicial en el cual 5-10. El procedimiento consiste en dividir resultó que, para la profundidad ensayada,
  • 103. 106 Flexión simpleel acero fluía y que la fuerza de compresión del eje neutro menor, lo que automática-era mayor que la de tensión. Por ello, en el mente garantiza que el acero fluye. Puestosegundo tanteo se supuso una profundidad que la fuerza de compresión desarrollada 0.85 f, 1 1 b T I 1 i-t (a) Viga completa (b) Fuerzas en la viga completa T =A f P SP Y (c)Viga patín (d) Fuerzas en la viga patín (e) Viga alma (f) Fuerzas,en la viga alma Figura 5.10 Momento resistente nominal de secciones T de acuerdo con el Reglamento ACI 31 8-02. , (Continúa en la página siguiente.)
  • 104. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 1071, ~ á l c u l o a suponiendo que todo el bloque de esfuerzos de compresión cae dentro del patín de C = T 0.85 f, ba = A, fy Si a 5 t, se continúa con el paso 2 Si a > t, se continúa con el paso 32. Se calcula el momento resistente nominal como s i se tratase de una sección con refuerzo de tensión Únicamen- te y con un ancho igual al del patín (figura 5.8) M = bd 2 f, , (1 - 0.5901) p fy donde w = - fc3. A continuación se deducen las ecuaciones correspondientes a este caso De las figuras (c) y (d): Cp = Tp Cp = 0.85 f, t (b - b) TP = Asp fy de donde: 0.85 f, t (b - b) A ,, = (ecuación 1) fy De las figuras (e) y (f): C = Ta , C = 0.85 f, ba , T = Asa fy a de donde: Asa fy a= (ecuación 2) 0.85 f, b Asa = As - Asp luego: (As - Asp) fy a= (ecuación 3) 0.85 f, bDe las figuras (d) y (f): t a = Asp fy ( d - -) 2 + (A, - ASp) fy ( d -- 2 ) (ecuación 4)Calculando ASpcon la ecuación 1 y a con la ecuación 3, puede calcularse el momento nominal con la ecuación 4. Figura 5.1 0 (continuación).
  • 105. 1 08 Flexión simple
  • 106. Resistencia de elementos sujetos a flexión simple 109
  • 107. 1 10 Flexión simple
  • 108. Determinación de la relación balanceada 11 1por el patín, Cl, no era suficiente para equili- 5.1 1 . Consiste en obtener por tanteos un es-brar la tensión proporcionada por el acero, tado de deformaciones tal, que la secciónfue necesario considerar una contribución de esté en equilibrio de fuerzas horizontales.la nervadura. La magnitud de esta contribu- Cuando la forma de la zona de compre-ción, C2, se determinó por la diferencia entre sión no se presta a una determinación senci- T y C1, ya que T = C y C = C1 + C2.Conocido lla de sus características (área y centro deel valor de C2, se determinó la profundidad, S, gravedad), conviene dividirla en franjas estre-parte de la nervadura en compresión. El mo- chas paralelas al eje neutro, como se muestramento resistente se calculó tomando momentos en la figura 5.1 1. Las fuerzas de compresión yde las fuerzas de compresión con respecto al de tensión en el acero se calculan de la mis-centro de gravedad del acero. ma manera que en los ejemplos anteriores. En la parte final del ejemplo 5.6 se calcu-la el momento resistente por el procedimien-to de ecuaciones. Nótese que las ecuaciones1 y 3 de la figura 5.1 0 han sido modificadas 5.4 Determinación de la relaciónpara adaptarlas a la hipótesis sobre distribu- balanceadación de esfuerzos de compresión de las NTC(figura 5.7). Como en el caso de las vigas do- 5.4.1 Secciones rectangulares simplementeblemente armadas, la modificación consiste armadasen sustituir f, f*,. por Se mencionó anteriormente que la resistenciaSECCIONES SIMÉTRICAS DE FORMA a flexión de secciones rectangulares simple-CUALQUIERA mente armadas puede determinarse fácilmen- te por medio de la ecuación de la figura 5.8El procedimiento general es el mismo des- o por medio de la gráfica del Ápendice A,crito anteriormente y se ilustra en la figura siempre que la sección sea subreforzada.
  • 109. 112 Flexión simple
  • 110. Determinación de la relación balanceada 11 3
  • 111. 114 Flexión simple
  • 112. Determinación de la relación balanceada 115 0.85 f, T T C2 = resultante de las fuerzas correspondientes a las diversas franjas Esfuerzos Fuerzas I Deformaciones Sección transversal unitarias Figura 5.1 1 Flexión en secciones simétricas de forma cualquiera. (Hipótesis ACI 31 8-02.)Conviene, entonces, disponer de un medio obtiene de un estado de deformaciones uni-sencillo para determinar si la sección es sub- tarias en el cual se alcanzan simultáneamentereforzada, o sea, si su relación de refuerzo, la deformación de aplastamiento del concre-p, es menor que la relación balanceada pb. to, que se supone igual a 0.003, y la defor-También es necesario calcular la relación mación de fluencia del acero de refuerzo. Enbalanceada para fines de diseño, ya que, para la figura 5.12 se han utilizado las hipótesisasegurar una ductilidad adecuada y reducir del Reglamento ACI 31 8-02 para determinarasí el riesgo de fallas frágiles, los reglamen- el bloque equivalente de esfuerzos. El mismotos de construcción especifican usar siempre procedimiento puede emplearse usando lasrelaciones de refuerzo menores que la ba- hipótesis de otros reglamentos. S i se usanlanceada. las NTC, el valor de pb es el siguiente: Para secciones rectangulares simplemen-te armadas, la relación balanceada puede f", 6000P,calcularse con la ecuación P b = f Y +6000 i, Esta ecuación se deduce de la 5.1, si se sustituye f, por f*, y se toma en cuenta que Pc = 0.85 f*,. Esta ecuación se deduce en la figura Hay dos enfoques usados en los regla-5.12. Como puede verse en dicha figura, se mentos para garantizar que las vigas sean
  • 113. 11 6 Flexión simplesubreforzadas. En las NTC se especifica que 5.4.2 Secciones rectangulares doblementela relación de refuerzo, p, no exceda de 90 armadaspor ciento de la relación balanceada p o b .de 75 por ciento si el elemento en cuestión También se mencionó al deducir las ecuacio-forma parte de sistemas que deban resistir nes para calcular la resistencia de seccionesfuerzas sísmicas. En el Reglamento ACI se rectangulares doblemente armadas, en la figuraespecifica que la deformación unitaria del 5.9, que dichas ecuaciones eran válidas siem-acero más cercano a la cara en tensión de la pre que fluyera el acero de tensión, o sea, queviga, E ~ figura 5.1 3, no sea menor que 0.004. , la relación de refuerzo de tensión, p, fuese me-Esta deformación unitaria corresponde a una nor que la relación balanceada pb.Igualmenterelación de refuerzo ligeramente inferior a para fines de diseño es conveniente disponer de0.75 pb. una expresión sencilla para el cálculo de pb.Por triángulos semejantes: 1 Por equilibrio: Despejando pb y sustituyendo c: (ecuación 5.1 ) 1 donde P, = ( 1 .O5- - 1:i0)50.85 (figura 5.5) Figura 5.12 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones rectangulares simplemente armadas (hipótesis ACI 31 8-02).
  • 114. Determinación de la relación balanceada 11 7 La deducción de las ecuaciones corres- cionar una determinada relación de acero depondientes se presenta en la figura 5.14. La compresión p y calcular la relación balancea-ecuación 1 de esta figura permite calcular la da de acero de tensión, pb, con la ecuaciónrelación balanceada de acero de tensión 5.3. Obsérvese que si se usa una relación depara el caso en que no fluye el acero de com- acero de tensión, p menor que pb fluirá ,presión, o sea, el caso 2 de la figura 5.9. La el acero de tensión, pero no necesariamente elutilización de esta ecuación resulta com- de compresión, por lo que se podría estar enplicada en la práctica, porque es necesario el caso 2 de la figura 5.9.determinar previamente el valor de la fuer- La ecuación 5.3 se obtuvo con las hipó-za de compresión en el acero, C,, y para tesis del Reglamento ACI 31 8-02. Si se utili-calcular este valor se requiere obtener el de lizan las NTC, debe sustituirse el término 0.85la profundidad del bloque de compresión f, por el término 0.85 f*,. Estas sustitucio-a. Resulta entonces más conveniente, si ya nes se explican por comparación de las figu-se conoce el valor de a, determinar el valor ras 5.6 y 5.7. La cifra 6000, que sale delde E por triángulos semejantes y compa- , producto E,E,, y por lo tanto tiene unidadesrarlo con para saber s i fluye el acero de de kg/cm2, debe sustituirse por 600 MPa sitensión. se usa el sistema SI. Para el caso en que fluya el acero decompresión, la ecuación se simplifica a 5.4.3 Secciones T Si el bloque de esfuerzos de compresión 0.85P, f, 6000 queda totalmente dentro del patín, la viga funciona como si fuese rectangular con un an- f~ [6000+ fv cho igual al del patín, según se ha explicado anteriormente. Por lo tanto, la relación ba- Esta ecuación sí se usa frecuentemente lanceada pb se determina con la ecuaciónen la práctica para seleccionar relaciones 5.1 tomando como ancho b el del patín. Side acero que aseguren la fluencia del acero de el bloque de esfuerzos de compresión caetensión. El procedimiento consiste en selec- dentro del alma, la relación balanceada Figura 5.1 3 Deformaciones unitarias en una viga subreforzada.
  • 115. 1 18 Flexión simplePor triángulos semejantes: donde p, = ( lio) 1 .O5- - i 0.85 (figura 5.5) 6000 y C, se calcula con la ecuación 3 de la figura 5.9 6000 + f,, Si fluye el acero de compresión, f, = fy y laPor equilibrio: ecuación 1 se simplifica a: (ecuación 5.31Agrupando y sustituyendo el valor de c: (ecuación 1) Figura 5.14 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones rectangulares doblemente armadas (hipótesis ACI 3 1 8-02).
  • 116. Flexión asimétrica 1 19puede calcularse con la siguiente ecuación Cuando las fuerzas de compresión y tensióndeducida en la figura 5.1 5 están en el plano de flexión, la sección no tiene torsión; en cambio, s i están en un pla- 0.85ffC t i b - b) [ no paralelo al de flexión, la sección sí tiene torsión. Por ejemplo, en la figura 5.1 6, que f, bd representa esquemáticamente un tanteo típi- co, las resultantes de compresión y de tensión Obsérvese que en esta ecuación la rela- no están en un plano paralelo al de flexión.ción pb está definida como A,/bld, o sea, está Por lo tanto, generan un momento internocalculada a partir del ancho del alma. Para alrededor del eje determinado por la inter-obtener las ecuaciones correspondientes a las sección del plano de flexión con la secciónNTC y al sistema SI deben hacerse las mis- transversal, que no está equilibrado con unmas modificaciones señaladas para vigas momento externo de la misma magnitud. Pa-doblemente armadas. ra lograr la condición de equilibrio, es nece- Para secciones T y doblemente arma- sario hacer tanteos en los que se varíe tantodas, el Reglamento ACI señala que se debe la profundidad como la inclinación del ejecumplir con el valor mínimo de especifi- neutro. Esto hace que el procedimiento seacado para secciones simplemente armadas, más laborioso que en el caso de flexión si-figura 5.13. métrica. E l segundo caso se ilustra en la figura 5.1 7 . Se trata de obtener el momento nomi-5.5 Flexión asimétrica nal resistente, M de una sección con dos , ejes de simetría, cuando el plano de flexiónEn todos los casos anteriores, las secciones está inclinado con respecto a dichos ejes.transversales son simétricas con respecto a un (La Iínea N - N en la figura señala la intersec-eje vertical y el momento flexionante actúa ción del plano de flexión con la secciónen un plano vertical que pasa por dicho eje. transversal de la viga.) Para esto se proyectaCuando no se cumplen estas condiciones, la el momento M (normal a la línea N-N) sobre ,flexión es asimétrica. Pueden considerarse los ejes X y Y de simetría. Después se supo-dos casos de.flexión asimétrica. El primero ne una posición del eje neutro, se calculande ellos se presenta en secciones que no los valores de las resultantes de compresióntienen ningún eje de simetría. El otro, más y tensión de la manera ya descrita y se calcu-frecuente, es el de secciones que tienen dos lan también los momentos de dichas resul-ejes de simetría, pero en las que el momen- tantes alrededor de los ejes X y Y. Para queto flexionante actúa en un eje distinto de di- se satisfaga el equilibrio de la sección, laschos ejes. resultantes de compresión y de tensión de- El primer caso se ilustra en la figura 5.1 6. ben ser iguales entre sí y además, la rela- ,Para encontrar la resistencia de una sección ción entre los momentos de las resultantesde este tipo, puede usarse el procedimiento de alrededor de los ejes X y Y debe ser igual atanteos descrito anteriormente. Debido a la la relación entre las proyecciones del mo-asimetría de la sección, es necesario verifi- mento M alrededor de los ejes correspon- ,car en cada tanteo que la resultante de fuer- dientes. Para lograr estas dos condiciones dezas de compresión sea igual a la resultante equilibrio es necesario comúnmente hacer un de fuerzas de tensión y, además, que ambas gran número de tanteos variando la profun-resultantes queden en el plano de flexión o didad y la inclinación del eje neutro. (Nóte-estén contenidas en un plano paralelo a él. se que en flexión asimétrica el eje neutro, en
  • 117. 120 Flexión simplePor triángulos semejantes:como c = alP1Tomando el valor de a de la ecuación 3 de la figura 5.1 0:Despejando A, y tomando el valor de ASpde la ecuación 1 de la figura 5.1 0:Definiendo pb - bd - + p16000)] i (ecuación 5.4) 6000 + f, Figura 5.15 Determinación de la relación balanceada, pb, de secciones T (hipótesis ACI 31 8-02).
  • 118. Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis simplificadoras para cálculos de resistencias 12 1 flexión , Eje neutro supuesto Figura 5.16 Primer caso de flexión asimétrica.general, no es perpendicular al plano de fle- 5.6 Procedimiento general yxión. Véase al respecto, por ejemplo, el inci- comentarios sobre las hipótesisso 8.3 de la referencia 5.7.) Un procedimiento aproximado más simplificadoras para cálculos desencillo, consiste en calcular la resistencia resistenciasde la sección alrededor de los ejes de simetríaX y Y, como si se tratase de flexión simétri- En la sección 5.3.2 se indicó que los regla-ca. Estos momentos se denominan Mnx y mentos de construcción hacen hipótesis sim-Mnyr respectivamente. Después se obtiene plificadoras con respecto a la distribución deuna relación entre los momentos internos esfuerzos en la zona de compresión del con-Mx y Mycon la siguiente ecuación propues- creto y el valor de la deformación unitariata en la referencia 5.4 máxima útil del concreto para fines de cálcu- lo de resistencia. En rigor, la resistencia a fle- xión puede determinarse sin necesidad de recurrir a estas hipótesis si se conocen, o se pueden suponer, las curvas esfuerzo-defor- mación del concreto y del acero. La deter- A partir de esta relación entre M y MY, , minación de la resultante de los esfuerzos dey de la relación entre estos momentos, que compresión en el concreto y de su posición,se establece al proyectar el momento M so- , puede hacerse fácilmente dividiendo la zo-bre los ejes X y Y (figura 5.1 7), se pueden na de compresión en franjas, tal como secalcular los valores de M y Myy el valor de , ilustra en el ejemplo que se expone a conti-M,, que es la resistencia a flexión asimétrica. nuación. Este caso se conoce con el nombre de En la figura 5.1 8 se muestra un tanteo tí-flexión biaxial, ya que es equivalente al caso pico para una sección dada, usando las cur-de una sección sujeta a flexión en dos pla- vas esfuerzo-deformación del concreto y delnos perpendiculares simultáneamente. acero de la figura 5.1 9. En este tanteo se su-
  • 119. 122 Flexión simple 4 Plano de flexión M" Figura 5.1 7 Segundo caso de flexión asimétrica (flexión biaxial).puso una deformación unitaria máxima en deformación unitaria en la fibra extrema encompresión de 0.003, y una profundidad del compresión. Puede verse en esta figura queeje neutro de 24 cm (figura 5.1 8 6). La zona el momento flexionante varía muy poco pa-de compresión se dividió en seis franjas y a , ra un intervalo amplio de valores de E Por .,partir de las deformaciones unitarias, se de- esta razón, los reglamentos de construcciónterminaron los esfuerzos en los bordes de suponen un valor fijo de ecu, con lo cualcada franja (figura 5.1 8 c), utilizando la curva se obtiene un valor del momento flexionan-esfuerzo-deformación de la figura 5.1 9 a. Por te suficientemente preciso, sin necesidadejemplo, el esfuerzo de 348 kg/cm2 corres- de hacer varios tanteos con distintos valo-ponde a una deformación unitaria de 0.0020 res de E .,en esta última figura. Las fuerzas de la figura El procedimiento general descrito en esta5.1 8 d se obtuvieron multiplicando los esfuer- sección se ha empleado también para estudiarzos promedio en cada franja por el peralte de la influencia de la forma de la curva esfuer-la franja y por el ancho de la sección. En es- zo-deformación del concreto sobre la resis-te tanteo, la fuerza de tensión resultó mucho tencia a flexión. Se ha podido determinarmenor que la de compresión, por lo que de- que la resistencia varía muy poco siempre quebe hacerse otro tanteo subiendo considera- se usen formas razonables de la curva es-blemente el eje neutro. Cuando se igualen fuerzo-deformación. Esto justifica emplearambas fuerzas, se calculan los momentos de distribuciones sencillas, como los bloquestodas las fuerzas parciales con respecto al rectangulares que aceptan los reglamentoseje geométrico, y el momento que se obtie- más utilizados.ne es el momento flexionante resistente pa- El procedimiento general implica una la-ra el valor supuesto de E ., bor numérica considerable. Sin embargo, re- En la figura 5.20 se muestra una curva sulta relativamente sencillo elaborar programascon los valores del momento flexionante de computadora, e inclusive para máquinas deresistente para distintos valores de la bolsillo programables, y llevarlo a cabo.
  • 120. Procedimiento general y comentarios sobre las hipótesis simplificadoras para cálculos de resistencias 123 ton Sección Distribución supuesta Esfuerzos Fuerzas transversal de deformaciones ikg/cm2) (ton) (a) unitarias (b) (c) (d)Figura 5.18 Determinación de acciones internas por el procedimiento general usando las gráficas esfuerzo-deformación de la figura 5.1 9. 400 N - 300 6 y1 200 kU 1O0 o a) Concreto 6000 5000 - 6 4000 ;b ; 3000 * 2000 1 O00 r l l l l l l l l l l l i l i l l l l l l l l l l l l l i i l l l l i l l i i l i i l l l l l l ~ itl 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024 b) Acero &S Figura 5.19 Gráficas esfuerzo-deformación del concreto y del acero usadas en la figura 5.1 8.
  • 121. 1 24 Flexión simple 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 Deformación unitaria en la fibra extrema en compresión (, E) Figura 5.20 Característica acción-respuesta, M - E,. Referencias5.1 Hognestad, E. "A Study of Combined Bending 5.5 Granholm, H. A. General Flexural Theory o f and Axial Load in Reinforced Concrete Mem- Reinforced Concrete. Nueva York, Wiley, 1965. bers". Boletín 399. Urbana, III., Engineering Ex- 5.6 Rüsch, H. "Researches toward a General Flexural periment Station, University of Illinois, 1951. Theory of Structural Concrete". Journal of the5.2 Whitney, C.S. "Plastic Theory of Reinforced Con- American Concrete Institute. Detroit, julio, 1960. crete ~ e s i ~ n "Transactions ASCE, Vol. 107, . 5.7 Popov, E. P Introducción a la mecánica de sóli- . 1942. dos. México, Limusa, 1976.5.3 Mattock, A.H., L. B. Kriz y E. Hognestad. "Rec- 5.8 Collins, M. P, Mitchell, D., MacGregor, J. G. . tangular Concrete Stress Distribution in Ultimate "Structural Design Considerations for High Strength Design". Journal of the American Con- Strength Concrete". Concrete International. Vol. crete Institute. Detroit, febrero 1961. 15, No. 5, mayo 1993.5.4 -. Strength and Serviceability Criteria for Reinfor- 5.9 Vijaya Rangan, B. "High-Performance High- ced Concrete Bridge Members. Washington, U .S. Strength Concrete: Design Recommendations". Department of Commerce, Bureau of Public Concrete International. Vol. 20, No. 11, noviem- Roads, 1966. bre 1998.
  • 122. Ejercicios 12 5 EjerciciosNota: en 10s e j e r ~ i ~ i 0 S a 5.8, úsense las 5.1 5.4 Calcular la resistencia de la siguiente sección yhipótesis simplificadoras de algún reglamen- determinar en qué lechos de refuerzo fluye elto de construcción a elección del lector. acero.5.1 Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada: 300 kg/cm2 f, = 350 kg/cm2 4200 kg/cm2 3 barras del No. 6 A, = 3 barras del No. 6 5 barras del No. 85.2 Calcular la resistencia a flexión de la sección del ejercicio anterior. Determinar la deformación uni- taria en el acero en el momento de alcanzar la re- 5.5 Calcular la resistencia de la siguiente sección: sistencia.5.3 Calcular el área de acero, A,b, de la siguiente ; sección, correspondiente a la condición balan- ceada. Calcular también la resistencia de la sec- 1 75 I r ción balanceada. 60 cm f, = 250 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2 e ••• e.. e qi C-t Asb f, = 200 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 A, = 8 barras del No. 8
  • 123. 12 6 Flexión simple5.6 Calcular la resistencia de la siguiente sección 5.8 Calcular la resistencia a flexión de la siguiente (usual en algunos tipos de pilotes) y determinar sección usando la ecuación 5.5. si fluye el acero de tensión. Resolver el proble- ma para dos casos. En el primero, supóngase que la fibra extrema en compresión es un vérti- A 40 cm T -/ Plano de flexión ce del triángulo y que el plano de flexión es T D normal a la base. En el segundo, supóngase que la fibra extrema en compresión es una base del 250 kg/cm2 triángulo y que el plano de flexión es normal a 4200 kg/cm2 la base. 10 barras del No. 8 f, = 200 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 5.9 Utilizando el procedimiento general descrito en A, = 3 barras del No. 4 la sección 5.6, calcule el momento flexionante I I resistente de la sección mostrada en la figura 5.18, cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión es de 0.004. Utilice las gráficas esfuerzo-deformación del concreto y del acero de la figura 5.1 9. Compruebe la respuesta5.7 Calcular la resistencia a flexión de la siguiente en la figura 5.20. sección, y determinar qué barras fluyen. p+ Plano en flexión I f, = 200 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 A, = 6 barras del No. 8
  • 124. - distribución del acero de refuerzo, la calidad del concreto, definida por una cierta resisten- CAP~TUO L 6 cia nominal (f,), y la calidad del acero, defi- nida por su esfuerzo de fluencia (fy). Considerando el problema de un modo general, se puede suponer que la carga axial, P, y el momento flexionante, M varían inde- , pendientemente. En la figura 6.la se muestra Flexión y carga axial una representación esquemática de un ele- mento bajo la acción de P y M y en la figura , 6.1 b, un sistema estáticamente equivalente en el que M = Pe. Es importante señalar que en 6.1 Introducción. /6.2 Comportamiento y algunas estructuras, P y M varían en la misma modos de falla de elementos sujetos a fle- xocompresión. /6.3 Cálculo de resistencia./ proporción en una sección transversal dada 6.4 Elementos con dos planos de simetría al variar las condiciones de carga externa. sujetos a carga axial y flexión en un plano Esto equivale a afirmar que la excentricidad, cualquiera. /6.5 Elementos sin planos de e, permanece constante. Sin embargo, en otros simetría sujetos a carga axial y flexión en casos P y M pueden variar en distinta forma, un plano cualquiera. /6.6 Flexotensión. y entonces e no es constante. Un elemento puede alcanzar su resis- tencia bajo innumerables combinaciones de carga axial y momento flexionante. Estas6.1 Introducción combinaciones varían desde una carga axial máxima, Po, de tensión o compresión, y unEn este capítulo se presentan los procedimien- momento nulo, hasta un momento M auna-,tos necesarios para determinar la resistencia do a una carga axial nula. El lugar geométricode elementos de concreto reforzado sujetos a de las combinaciones de carga axial y mo-la acción de carga axial y momento flexionan- mento flexionante con las que un elementote. S consideran aquí únicamente elementos e puede alcanzar su resistencia, se representamuy cortos, en los que no existen problemas gráficamente por medio de un diagrama dede esbeltez. Se supondrán conocidas la geo- interacción. La figura 6.2 muestra uno típicometría del elemento, incluyendo la cantidad y para una sección rectangular con refuerzo Figura 6.1 Elementos equivalentes sujetos a flexocompresión.
  • 125. 1 28 Flexión y carga axial ma proporción, la historia de carga queda representada por una recta desde el origen, con una pendiente igual al cociente P/M = lle. Para las combinaciones de carga representa- das por la recta OA de la figura 6.2, la resis- tencia correspondería a la combinación M , P En la figura se observa también que para . , un mismo momento, Mb, existen dos valo- res de carga axial que hacen que la sección alcance su resistencia. Finalmente, la línea OC representa una historia de carga cual- quiera. El diagrama de interacción de la figura 6.2 corresponde a un elemento definido per- fectamente en su geometría y materiales, y representa el conjunto de valores de accio- nes interiores máximas que el elemento es capaz de soportar. E l conocimiento necesario para llegar a esta representación se ha ido acumulando de investigaciones experimen- tales sobre el comportamiento de elementos de concreto reforzado sujetos a flexión y carga axial. Estos estudios abarcan desde en- sayes en vigas simplemente apoyadas con cargas concentradas simétricas hasta ensa- yes en elementos de concreto reforzado su-Figura 6.2 Diagrama de interacción típico para jetos a compresión axial o a compresión una sección rectangular. excéntrica. También se han llevado a cabo algunos estudios, mucho más reducidos, desimétrico. Cualquier punto en la curva de elementos sujetos a flexotensión. Con basetrazo continuo representa una combinación en esta información, ha sido posible elabo-de momento y carga axial que hace que el rar teorías apoyadas en hipótesis razonables,elemento alcance su resistencia. por medio de las cuales se puede predecir la Puede observarse que s i únicamente se resistencia de un elemento con un grado to-aplicara carga axial de compresión, el valor lerable de precisión. Utilizando cualquieramáximo, o resistencia, correspondería al de estas teorías se pueden obtener diagra-punto Po,. De igual manera, la carga axial mas de interacción, como el mostrado en lamáxima de tensión sería la correspondiente figura 6.2.a Pat. Si la sección se sujetara sólo a momen- En la actualidad se puede predecir la re-to flexionante, el máximo que podría apli- sistencia de un elemento de concreto refor-carse sería el marcado con M Nótese que ; , zado sujeto a flexión y carga axial con unel máximo momento flexionante que la sec- error no mayor del 25 por ciento de la capa-ción es capaz de resistir no es el que corres- cidad real que se obtendría si dicho elementoponde a una carga axial nula. se ensayase hasta la falla. En casos usuales, con Cuando al aumentar la carga externa el flexión en torno a uno de los ejes principa-momento y la carga axial crecen en la mis- les, el error es del orden del 1 por ciento. 0
  • 126. Cálculo de resistencia 129Esta aproximación es satisfactoria para fines En el primer caso la falla se produce porde diseño estructural. aplastamiento del concreto. El acero del lado más comprimido fluye, en tanto que el del lado opuesto no fluye en tensión.6.2 Comportamiento y modos de El segundo modo de falla se produce cuando el acero de un lado fluye en tensión falla de elementos sujetos antes de que se produzca el aplastamiento a flexocompresión del concreto en el lado opuesto, más com- primido. tipo de espécimen usado en investigacio- E l tipo de falla depende esencialmentenes de elementos sujetos a flexocompresión de la relación entre momento y carga axiales semejante al que aparece en la figura 6.3, en el colapso. En el diagrama de interaccióndonde se indican esquemáticamente el re- mostrado en la figura 6.2, el punto D separafuerzo usual y una posible configuración de la zona de fallas en compresión de la de fa-agrietamiento. Generalmente la carga P se llas en tensión; recibe el nombre de puntoaplica a una excentricidad constante. Esto de falla balanceada.hace que toda la zona prismática del espé- Se ha observado que el efecto del re-cimen esté sujeta a una carga axial y a un fuerzo helicoidal sobre la resistencia dismi-momento flexionante que crecen en la misma nuye apreciablemente en cuanto la cargaproporción, hasta el colapso. axial tiene cierta excentricidad, aunque la Existen dos modos principales de falla hélice sigue aumentando la ductilidad delde elementos sujetos a flexocompresión: fa- elemento.lla en compresión y falla en tensión. También en este caso cabe notar que las mediciones de deformaciones han indicado que éstas varían linealmente a lo largo del peralte, es decir, las secciones transversales se mantienen planas antes y después de la deformación. 6.3 Cálculo de resistencia 6.3.1 Determinación del diagrama de interacción En la sección 6.1 se dijo que un diagrama de interacción es la representación gráfica del lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momento flexionante que hacen que un elemento alcance su resistencia. Así, si se cuenta con el diagrama de interacción de un elemento dado, se conocen todas las combinaciones de carga axial y momento que puede soportar. Figura 6.3 Espécimen para ensaye en El diagrama de interacción de un ele- flexo~om~resión agrietamiento típico. con mento puede obtenerse a partir de las hipó-
  • 127. 1 30 Flexión y carga axialtesis descritas en la sección 5.3 para el su deformación máxima útil y el ace-cálculo de la resistencia de elementos sujetos ro su límite de fluencia.a flexión pura. Pueden usarse las hipótesis C) E l punto M que corresponde a mo- ,simplificadoras sobre la forma del diagrama mento sin carga axial, para el cual sede esfuerzos de compresión en el concreto y supone un estado de deformacionessobre la deformación unitaria máxima útil semejante a los obtenidos en el capí-de concreto, o bien, puede aplicarse el pro- tulo 5 para cálculos de resistencia acedimiento general descrito en la sección flexión.5.6. El primer enfoque se ilustra en el ejem- d) Un punto adicional entre los puntosplo 6.1, y el segundo en la figura 6.4. Po, y DI y otros dos puntos entre los El diagrama de interacción se obtiene puntos D y M . ,determinando varios puntos que lo definan.El procedimiento para encontrar un punto En la mayoría de los casos, estos puntoscualquiera es, esencialmente, el mismo usado son suficientes para definir con precisiónen flexión para calcular las fuerzas de com- adecuada el diagrama de interacción. Enpresión y de tensión, una vez supuesta la ocasiones se determinan puntos en la zonaprofundidad del eje neutro. Sin embargo, no de flexotensión. La determinación de estoses necesario hacer varios tanteos hasta igua- puntos se trata en la sección 6.6.lar ambas fuerzas, ya que su diferencia re- El procedimiento con hipótesis simplifi-presenta la fuerza normal, P, y el momento cadoras se ilustra en el ejemplo 6.1, en elcon respecto al eje geométrico representa el que se han usado las hipótesis simplificado-momento flexionante, M, que corresponden ras del Reglamento ACI 31 8-02. Se trata deal estado de deformaciones determinado por calcular el diagrama de interacción de unala profundidad supuesta del eje neutro. Por lo sección con porcentajes iguales de refuerzotanto, para cada estado de deformaciones se de compresión y de tensión, como es usualobtiene un valor de P y uno de M, que defi- en columnas. La sección tiene también dosnen un punto del diagrama de interacción. barras a medio peralte y en el ejemplo se ha Los diagramas de interacción tienen la considerado la contribución de estas barras.forma general mostrada en la figura 6.2. Se El primer punto que se determina es elpuede definir un diagrama en forma aproxi- que corresponde a compresión sin momentomada estimando los siguientes puntos, o (punto Po, de la figura 6.2). Debido a que lapuntos cercanos a ellos: sección es simétrica, el estado de deforma- ciones correspondiente es uniforme, como a) El punto Po,, que corresponde a car- se muestra en el diagrama del ejemplo. Este ga axial de compresión pura, para el caso resulta igual al de una columna sujeta cual se supone un estado de defor- a carga axial pura (capítulo 4), y la resisten- maciones unitarias de compresión cia puede calcularse con la ecuación 4.1, la uniforme (en secciones simétricas). cual expresa que la resistencia total es la su- b) El punto D, que corresponde a la fa- ma de las contribuciones del concreto y del lla balanceada, para el cual se supone acero. En secciones no simétricas, si se su- un estado de deformaciones unitarias pone un estado uniforme de deformaciones definido por E,, en la fibra extrema se obtiene también un momento, por lo que en compresión y por en el acero el punto que se calcula no cae sobre el eje de tensión. Este estado de deforma- de ordenadas del diagrama de interacción. ciones es el que se tiene cuando, si- Sin embargo, tal punto resulta útil, ya que multáneamente, el concreto alcanza por lo general está localizado cerca del eje
  • 128. Cálculo de resistencia 1 31de ordenadas y sirve para determinar gráfi- punto (punto 3), se fijó la profundidad delcamente la intersección del diagrama con el eje neutro, y por triángulos semejantes seeje. A continuación se calcula en el ejemplo determinaron las deformaciones unitarias enel punto correspondiente a la falla balancea- todos los lechos de refuerzo. Por lo demás, elda (punto D en la figura 6.2). El estado de de- procedimiento es igual al del punto anterior.formaciones unitarias se fija de tal manera Con la profundidad del eje neutro supuesta,que la deformación en la fibra extrema en se obtuvo una carga axial de tensión de 22.6compresión es igual a la deformación máxi- ton, la cual es pequeña comparada con la dema útil del concreto (0.003 según el Regla- los dos puntos anteriores. Esto significa quemento ACI 31 8-02), y la deformación en el el punto está ligeramente por debajo de lasacero de tensión más alejado del eje neutro abscisas. Aun cuando la carga axial hubieraes igual a la deformación de fluencia (0.0021 resultado de magnitud considerable, el pun-para acero de 4200 kg/cm2 de esfuerzo de to hubiese servido para determinar el diagra-fluencia). A partir del diagrama de deforma- ma de interacción, ya que todos los puntosciones unitarias se calculan las deformaciones calculados de la manera descrita están sobreunitarias, E en todos los lechos de refuerzo; , dicho diagrama.después se calculan los esfuerzos en el El punto 4 se calculó para tener un pun-acero, que son iguales al esfuerzo de fluencia to intermedio entre el punto correspondientecuando la deformación unitaria es mayor que a compresión pura y el de falla balanceada.la de fluencia, e iguales a €,Es, cuando es me- El estado de deformaciones supuesto es tal,nor, y a continuación se calculan las fuerzas que en el lecho inferior de acero se tieneen los distintos lechos de acero, F,, multipli- una deformación nula. Esto simplifica uncando las áreas de acero por los esfuerzos co- poco los cálculos. Por lo general, el diagra-rrespondientes. Por triángulos semejantes se ma no se aparta mucho de una Iínea recta encalcula la profundidad del eje neutro, c, y a la zona considerada, y con un solo punto espartir de ésta, la profundidad del bloque equi- suficiente para definirlo. Sin embargo, si sevalente ( 0 . 8 5 ~ este caso) y la fuerza de en desea una gran precisión o si se observa quecompresión en el concreto, C,. Para el estado el diagrama dista mucho de ser lineal, puedende deformaciones supuesto, los dos lechos su- calcularse más puntos en esta zona supo-periores de acero trabajan a compresión, y el niendo diagramas de deformaciones unitariaslecho inferior a tensión. La suma algebraica intermedios entre los dos puntos 1 y 2. Si node todas las fuerzas que actúan en la sección, se necesita una gran precisión, los puntos deda el valor de la fuerza normal, P, que resul- carga axial pura y de falla balanceada pue-ta de compresión, y la suma de momentos al- den unirse con una Iínea recta.rededor del eje geométrico es el momento Para definir el diagrama entre los puntosflexionante resistente, M. De esta manera se de falla balanceada y de flexión pura, en elobtiene el punto de falla balanceada. ejemplo se calcularon otros dos puntos su- A continuación se calcula un punto cer- poniendo diagramas de deformaciones unita-cano al punto M, de la figura 6.2, o sea, al rias intermedias. En esta zona del diagramade momento sin carga axial. es necesario, por su gran curvatura, calcular Para obtener el punto M, con precisión, dos puntos como mínimo para definirlo.sería necesario hacer varios tanteos hasta Al final del ejemplo se muestra un dia-igualar las fuerzas de compresión con las de grama dibujado a escala con los valores ob-tensión, como en la determinación de la re- tenidos. Con este diagrama puede conocersesistencia a flexión (capítulo 5); basta con ob- la resistencia de la sección para cualquiertener un punto cercano. En el caso de este combinación de P y M. Para fines de ilustra-
  • 129. 1 32 Flexión y carga axial
  • 130. Cálculo de resistencia 1 33
  • 131. 1 34 Flexión y carga axial
  • 132. Cálculo de resistencia 135
  • 133. 136 Flexión y carga axial
  • 134. Cálculo de resistencia 13 7
  • 135. 1 38 Flexión y carga axial
  • 136. Cálculo de resistencia 139
  • 137. 1 40 Flexión y carga axial
  • 138. Cálculo de resistencia 141ción, al final del ejemplo 6.1 se muestra laobtención de la resistencia de la columnacuando la carga actúa con una excentrici-dad de 30 cm. La carga obtenida de esta manera es laresistencia nominal de la columna usada en elejemplo, Pn. Para obtener la carga de diseño,sería necesario multiplicar la carga anteriorpor el factor de reducción de resistencia, 4.El Reglamento ACI 3 1 8-02 especifica valoresde que dependen del tipo de falla. Si elelemento falla en un punto del diagrama de Figura 6.4 Valores del factor de reducción,interacción que corresponde a falla por $, en la transición entre fallas por compresión Jcompresión, o sea, por arriba del punto D de y fallas por flexión.la figura 6.2, el valor es de 0.70 para refuer-zo helicoidal y 0.65 para otro tipo de refuerzo. También puede aplicarse definiendo las ca-S i el miembro falla en flexión pura o cerca racterísticas geométricas y mecánicas de lade la falla en flexión pura, el valor es de sección por medio de literales, lo cual tiene0.90. Para fallas comprendidas entre los la ventaja de que se obtienen diagramas adi-puntos anteriores, se interpela linealmente. mensionales que sirven para cualquier secciónEn la figura 6.4 se ilustran estas disposicio- de esas características. Esto se ha hecho tan-nes. Para la zona de falla por compresión, el to con las hipótesis del Reglamento ACI 318-valor de la deformación unitaria en el lecho 02 como con las NTC-04 del Reglamento delde acero más cercano a la zona de tensión, Distrito Federal, para obtener diagramas dest (ver figura 5.1 3), es de 0.002, que corres- interacción de uso general. En el Apéndice Cponde a la falla balanceada. Se considera se presentan algunos calculados por el autorque el miembro falla en flexión pura, o cer- t6.21, aplicando las hipótesis del Distrito Fe-ca de la flexión pura, si la deformación es deral, para secciones rectangulares y circula-igual o mayor a 0.005, y la zona de transi- res. Estos diagramas cubren la mayoría deción es la correspondiente a falla en tensión las secciones que se encuentran normal-del diagrama de interacción, o sea, entre los mente y simplifican de manera notable elpuntos M y D de la figura 6.2. En la figura , cálculo de resistencias a flexocompresión Y6.4 se muestran las ecuaciones que corres- flexotensión. Sólo es necesario calcular elponden a la interpolación en la zona de diagrama de una sección dada cuando dichatransición. sección difiere mucho de las que aparecen El procedimiento descrito anteriormente en los diagramas adimensionales disponi-puede aplicarse a secciones de otras formas bles y la precisión que se obtiene interpo-y con diferentes hipótesis simplificadoras. lando no es suficiente. En la referencia 6.1 se proporcionan diagramas de interacción adimensionalesEI valor de 0.002 se obtiene en unidades inglesas dividien- basados en las hipótesis del Reglamento ACIdo el esfuerzo de fluencia del acero, 60,000 psi, entre el rnó- 31 8-77, que son semejantes a las del Regla-dulo de elasticidad del acero de 30 x l o 6 psi. En sistema mento ACI 31 8-02.métrico, el valor es de 0.0021. Los valores son para acerogrado 60 en unidades inglesas y con 4200 kg/cm2 de esfuer- La obtención de diagramas de interac-zo de fluencia en sistema métrico. En la figura 6.4 se ha res- ción adimensionales como los de las referen-petado el valor obtenido con unidades inglesas. cias 6.1 y 6.2 se hace normalmente con la
  • 139. 142 Flexión y carga axialayuda de computadoras. Esto permite calcu- cuando el núcleo no esté confinado y la fallalar fácilmente un gran nlímero de puntos de sea en compresión. En el ejemplo, la falla escada diagrama, por lo que éstos quedan per- en compresión, ya que la interacción de lafectamente definidos. Iínea radial y del diagrama de interacción Otra manera de resolver el problema queda situada ligeramente arriba del puntocon ayuda de computadoras, es disponer de de falla balanceada del diagrama de interac-un programa que trace el diagrama de inter- ción. Por esta razón, y porque no se especi-acción de una sección definida. Ahora que fica el zuncho, se tomó FR = 0.7.se dispone de equipos de buena capacidaden oficinas y hasta en el hogar, este método 6.3.2 Obtención de la resistencia por tanteosresulta más ventajoso. En la referencia 6.5 se utilizando hipótesis simplificadoraspresenta un programa para este fin. El cálculo de resistencias utilizando dia- El procedimiento descrito en la sección ante-gramas de interacción adimensionales se ilus- rior, que consiste en obtener la resistencia atra en el ejemplo 6.2. Se trata de obtener la partir del diagrama de interacción, es apropia-carga excéntrica, P que se puede aplicar a , do cuando se va a determinar la resistencia dela columna circular mostrada, lo que equivale una sección para distintas combinaciones de Pa aplicarle una carga axial, P y un momento ,, y M, o para distintas excentricidades de la car-flexionante, P . El ejemplo está resuelto con , e ga aplicada. Cuando se trata de calcular la re-los diagramas adimensionales del Apéndice C sistencia para una sola combinación de P yy con el sistema SI de unidades. M resulta más conveniente el procedimiento , En primer término se obtuvo la relación de tanteos descrito en esta sección.d/D, que resultó 0.75, por lo que se debe usar Este procedimiento consiste en calcularla gráfica C.17 que corresponde a esta rela- los valores de P y de M para una configuraciónción. De acuerdo con los datos del problema, supuesta de deformaciones unitarias, de laes posible conocer los valores de e/D, y de misma manera que en el ejemplo 6.1. Se de-q. Con el primero se puede escoger la Iínea termina después la excentricidad, e = M/P, yradial correspondiente, y con el segundo, el se compara con la excentricidad de la cargadiagrama de interacción. Para este problema, externa. Si coinciden las dos excentricida-el valor de e/D calculado es muy cercano a la des, el problema está resuelto, y si no coinci-Iínea radial que tiene el valor 0.60, y el valor den, se hacen otros tanteos cambiando lade q nos indica que debemos considerar un dia- configuración de deformaciones unitariasgrama de interacción intermedio entre los di- hasta lograr la coincidencia. Se ve que elbujados para q = 0.4 y q = 0.6, más cercano procedimiento es básicamente el mismo queal segundo que al primero. La intersección de el usado en el capítulo 5 para calcular la re-la radial y el diagrama de interacción define un sistencia en flexión. La diferencia estriba enpunto cuya ordenada, K, tiene un valor de que para flexión se procede a tantear hasta0.1 8. A partir de este valor, se puede calcular que C sea igual a T (lo cual equivale a la con-la carga P como se muestra en el ejemplo. , dición P = O y e = m), mientras que para fle- Y que en el ejemplo se han usado las a xocompresión se tantea hasta que M/P seaNTC-04, debe incluirse, en el cálculo de P ,, igual a la excentricidad buscada.el factor de reducción FR. Las NTC-O4 seña- En el ejemplo 6.3 se ilustra este proce- lan que, para flexocompresión, se tomará un dimiento aplicado a una sección rectangular valor de 0.8 cuando el núcleo esté confina- con refuerzo asimétrico. El ejemplo se ha re- do por un zuncho y también cuando el ele- suelto mediante las hipótesis simplificadoras mento falle en tensión, y un valor de 0.7 del Reglamento ACI 3 18-02. En el primer tan-
  • 140. Cálculo de resistencia 143
  • 141. 1 44 Flexión y carga axialteo, la excentricidad que corresponde a los ya que la deformación unitaria en el lechovalores obtenidos de las acciones internas P de acero más cercano a la cara de tensión esy M es de 31.7 cm, la cual difiere de la excen- E,-2 = 0.00375.tricidad de la carga, que es de 40 cm, comose indica en los datos del problema. Para 6.3.3 Procedimiento generalaumentar la excentricidad, en el segundotanteo se disminuyó la profundidad del eje En las secciones anteriores se ha indicado laneutro, con lo que la excentricidad resul- manera de obtener las acciones internas má-tante coincidió con la excentricidad dada ximas en una sección, utilizando hipótesiscomo dato. La carga que puede resistir la simplificadoras referentes a la deformaciónsección, por consiguiente, es el valor de Pn unitaria máxima útil del concreto y al dia-obtenido en el segundo tanteo, o sea 103.9 grama de esfuerzos de compresión. Es posibleton. La carga de diseño se obtendría multi- emplear también el procedimiento generalplicando este valor de P,, por el factor de re- descrito en la sección 5.6 para el caso deducción @. acuerdo con las ecuaciones de De flexión, el cual es aplicable para cualquierla figura 6.4, para este caso de una columna diagrama esfuerzo-deformación tanto delde estribos, @ sería igual a 0.48 + 83 E~ concreto como del acero. En la figura 6.5 se ilustra la obtención de los valores de Pn y M para una sección deter- , A, = 2 barras No. 6 = 5.8 cm2 A, = 3 barras No. 8 = 15 cm2 Sección transversal Distribución Esfuerzos Fuerzas Brazos Momentos supuesta de (kglcm2) (ton) (cm) (ton-m) deformaciones unitarias (a) (b) (c) (d) ZF = P, = 139.8 ton ZMA = M, = 55.32 ton-m excentricidad = e = M,IP, = 39.5 cm Figura 6.5 Evaluación de acciones interiores.
  • 142. Cálculo de resistencia 145
  • 143. 1 46 Flexión y carga axial
  • 144. Cálculo de resistencia 147
  • 145. 1 48 Flexión y carga axialminada suponiendo el estado de deformacio- supuesta del eje neutro que, junto con el va-nes unitarias indicado en la figura 6.5b. Las lor de so = 0.003, fija la distribución de de-curvas esfuerzo-deformación del concreto y formaciones unitarias, las que tienen valoresdel acero son las de la figura 5.1 9 (capítulo constantes en secciones paralelas al eje5). Aplicando el procedimiento para distin- neutro supuesto. En este ejemplo, la zonatas configuraciones de deformaciones unita- sujeta a compresión tiene forma trapecial.rias, se obtuvo el diagrama de interacción de Se calculan las fuerzas, los brazos y los mo-la figura 6.6. mentos referidos a los ejes x y y. Se obtienen Debe observarse que, para obtener los entonces valores de P, M y Mypara la posi- ,valores correspondientes a las resistencias, ción supuesta del eje neutro. Si los valoreses necesario hacer tanteos variando la defor- de e = Mx/P y ey = MyIP coinciden con los ,mación máxima en el concreto, pero mante- dados, el problema está resuelto; si no, debeniendo la excentricidad constante, hasta cambiarse la posición del eje neutro y re-obtener un valor máximo de M tal como se , petirse el proceso hasta que se obtenganhizo en la sección 5.6 en el caso de flexión excentricidades que coincidan con las da-simple. De ahí que en la figura 6.6 los dia- das. El cambio en la posición del eje neutrogramas de deformaciones unitarias corres- consistirá en general en una traslación y unapondientes a los distintos puntos del diagrama rotación.de interacción mostrados, tienen diferentes El proceso descrito predice satisfactoria-valores de deformación máxima en com- mente la resistencia, pero es muy laborioso.presión. La convergencia es lenta debido a que los valores de las excentricidades son muy sensi- bles a pequeñas variaciones en la posición del6.4 Elementos con dos planos eje neutro. Sin embargo, para algunos casos de simetría sujetos a carga particulares, se han desarrollado diagramas de interacción, mediante programas para axial y flexión en un plano computadora electrónica. En la referencia 6.4 cualquiera se presentan diagramas para resolver casos de columnas rectangulares y de columnas en for-6.4.1 Solución por tanteos ma de cruz. En la siguiente sección se presen- ta un procedimiento aproximado.El problema consiste en encontrar el valormáximo de la carga axial P que actúa fuerade los planos de simetría, a distancias e y , 6.4.2 Fórmula de Breslerey de ellos. Esta condición es estáticamenteequivalente a considerar el elemento sujeto Bresler [6.3] ha desarrollado una expresióna una carga axial P y a dos momentos flexio- sumamente simple para calcular los valoresnantes, M = Pe, y My= Pey. , máximos de la carga de compresión que ac- Para un elemento de geometría y excen- túa a excentricidades e y ey en secciones ,tricidades dadas, aplicando las hipótesis rectangulares con refuerzo simétrico. La ex-simplificadoras o el procedimiento básico a presión que propone es:partir de características esfuerzo-deforma-ción, por tanteos sucesivos se puede obtenerel valor máximo de la carga P que actúa alas excentricidades dadas. En la figura 6.7 sepresenta un cálculo típico para una posición
  • 146. Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano cualquiera 149 Figura 6.6 Diagrama de interacción para el elemento de la figura 6.5. U + 20.00 + 10 + 22.5 +2.0 + 28.00 O + 25.54 O + 7.16 -+ 22.56 (de todas las barras) -20.00 + 10 -22.5 -2.0 -20.00 O -22.54 O -20.00 - 10 -22.5 -2.0 Fuerzas Brazos Momento Deformaciones (ton) (cm) (ton-m) unitarias (milésimas) ex = 4.42/70.2 = 0.063 m M = 4.42 ton-m M ~ 40.7 ton-m = e = 40.7170.2 = 0.58 mFigura 6.7 Cálculo típico para una posición cualquiera del eje neutro; flexión en dos direcciones.
  • 147. 150 Flexión y carga axial donde 6.4.3 Ecuación de la superficie de falla Pn = carga normal máxima que actúa a Otro enfoque para analizar columnas sujetas excentricidades e y ey; , a carga axial y flexión en dos planos es el P = carga normal máxima a una excen- , propuesto por C.T. Hsu [6.5]. Consiste en re- tricidad e contenida en un plano , presentar la superficie de interacción de la de simetría (e - 0); figura 6.8 por la ecuación: y, Py = carga normal maxima a una excen- tricidad ey contenida en un plano de simetría normal al anterior (e, = O), y Po = carga axial máxima que puede re- sistir el elemento (e, = ey = 0). Puede verse que la ecuación 6.1 reduce donde (ver figura 6.9):el problema a una combinación de solucionesmás simples: dos de flexocompresión en un Pn = carga axial nominal apli-plano de simetría y una de compresión axial. cada Para elementos simétricos, con una carga M Mny ,, , = momentos nominales apli-normal que actúe en un punto cualquiera del cados alrededor de los ejesplano de la sección del elemento, el lugar x y y, respectivamentegeométrico de los valores máximos de carga PO = resistencia nominal a car-axial que el elemento es capaz de resistir es ga axialuna superficie de interacción (figura 6.8) cu- Pnb = resistencia nominal a car-yas trazas con los planos x y y serán los dia- ga axial en la condicióngramas de interacción para flexión en una balanceadadirección que se han mostrado anteriormente. Mnbx, Mnby = momentos nominales re- La expresión propuesta por Bresler re- sistentes alrededor de lospresenta una familia de planos que aproximan ejes x y y, respectivamen-los puntos de la superficie de interacción. te, en la condición balan-Esta expresión es válida para valores de Pn ceada.mayores que 0.1 Po, aproximadamente. Laecuación 6.1 verifica los resultados de los Los valores de Po, Pnb, Mnbx y Mnqyde-ensayes disponibles dentro de 20 por ciento penden de las propiedades de la seccion yde aproximación. pueden calcularse como ya se ha visto en En la figura 6.7 se muestra que, para la este capítulo. S i los mamentos Mnx Mnyse yposición del eje neutro escogida, la carga expresan como la carga axial multiplicadaaxial máxima se encuentra a e = 6.3 cm, , por las excentricidades correspondientes, laey = 58 cm y vale 70.2 ton. Como ilustración única incógnita de la ecuación 6.2 resulta lade la aproximación que da la fórmula de carga axial P la cual puede encontrarse re- ,Bresler, se encontraron los valores de P = 295 , solviendo la ecuación. Aunque la incógnitaton, Py= 78.5 ton y Po = 51 4 ton, usando los queda elevada a la potencia 1.5, la ecuacióndiagramas de interacción de la referencia puede resolverse por tanteos.6.6, utilizando f", = 238 kg/cm2 y fy = 4000 La ecuación 6.2 también puede usarsekg/cm2. Se encontró así Pn = 70.5 ton, valor para diagramas de interacción con flexiónque coincide con el calculado con el proce- en un solo plano haciendo nulos los térmi-dimiento general. nos que corresponden al eje perpendicular.
  • 148. Elementos con dos planos de simetría sujetos a carga axial y flexión en un plano cualquiera 151 I Figura 6.8 Superficie de interacción.Figura 6.9 Parámetros que definen la ecuación de la superficie de falla [6.5].
  • 149. 152 Flexión y carga axialSe han comparado los resultados obtenidos sujeto a una carga de tensión con excentri-con este método con numerosos ensayes y se cidad constante, cuando la carga varía des-ha encontrado una excelente correlación t6.51. de cero hasta llegar a un valor máximo. Las etapas de deformación se muestran en la fi- gura 6.1 0.6.5 Elementos sin planos de Para valores pequeños de la excentrici- dad (figura 6.10a), las deformaciones a lo simetría sujetos a carga axial y largo de la sección son todas de tensión. flexión en un plano cualquiera Una vez que el concreto se agrieta a defor- maciones del orden de 0.0001, la tensiónEn este caso son aplicables tanto el procedi- externa es resistida únicamente por el aceromiento básico como las hipótesis simplifica- de refuerzo. Este estado se representa por ladoras. Aunque es muy complicado resolver distribución de deformaciones 1 de la figuraeste tipo de problemas en una forma gene- 6.1 0a. Al aumentar la carga, manteniendo laral, es posible tratar casos particulares, defi- excentricidad constante, las tensiones en losnidos en geometría y refuerzo, para uno o dos lechos de acero aumentan proporcional-varios planos de flexión. Un caso interesan- mente, hasta que el acero del lado de la car-te es el de columnas en forma de L, las cua- ga alcanza su deformación de fluenciales se emplean con alguna frecuencia en las (distribución 2). Puesto que la excentricidadesquinas de edificios. Estas columnas vienen es fija, al no aumentar la tensión en el aceroresueltas en la referencia 6.4. que fluye, la tensión en el acero de otro le- cho permanece constante. Es decir, la línea que representa la distribución de deforma- ciones gira en torno al punto A, localizado6.6 Flexotensión en el acero menos deformado. Esta etapa continúa hasta que la deformación en la fi-Si bien no es frecuente encontrar elementos bra superior es nula (distribución 3). Entresujetos a flexotensión, existen algunas estruc- los estados 2 y 3, la carga externa no au-turas, por ejemplo algunos depósitos, cuyos menta. Más allá del estado 3 se producen es-elementos están sometidos a este tipo de ac- fuerzos de compresión en la cara opuesta ación. La información experimental sobre fle- la carga y se incrementa el esfuerzo en elxotensión es muy escasa, aunque se ha acero de dicha cara. El incremento en ten-encontrado que con la ecuación 6.2 se obtie- sión en este acero debe ser mayor que lanen resultados que correlacionan bien con compresión resultante en el concreto paraensayes disponibles [6.5]. Sin embargo, es po- que la tensión total aumente. El valor máximosible obtener diagramas de interacción en la de la carga se producirá cuando la deforma-zona de flexotensión usando los procedimien- ción en el concreto alcance su valor máxi-tos expuestos anteriormente para flexocom- mo, so. Esta condición se representa por lapresión, con ciertos efectos particulares que distribución 4 de la figura 6.10a. El incre-se describen con detalle a continuación. mento de carga entre los estados 3 y 4 ge- S i se admiten las hipótesis simplifica- neralmente es pequeño.doras usuales, y se considera una curva es- La figura 6.1 0b muestra las distintas dis-fuerzo-deformación elastoplástica para el tribuciones de deformaciones resultantes alacero, se puede hacer la siguiente descrip- incrementar el valor de la carga, para cargasción cualitativa de la variación de las con- de tensión con excentricidades relativamentediciones de deformación de un elemento grandes. Para una carga pequeña (distribu-
  • 150. Flexotensión 1 53 (a) Excentricidad pequeña (b) Excentricidad grande i nteracción flexotensión Figura 6.10 Condiciones de deformación unitaria en flexotensión en elementos sujetos a carga creciente con excentricidad constante.ción 1) se presentan deformaciones de ten- tes deben aumentar proporcionalmente. Lasián en el lado de la carga, y de compresión diferencia entre estas dos fuerzas es peque-en el lado opuesto. Al aumentar la carga, ña, ya que se trata de excentricidades gran-manteniendo la excentricidad constante, las des. Durante este proceso el eje neutro tiendefuerzas de compresión y de tensión resultan- a moverse hacia la cara en compresión. Se
  • 151. 154 Flexión y carga axialllega así a la distribución de deformaciones es del orden de 30 a 100 veces la deforma-2, en que el acero del lado de tensión alcan- ción máxima de compresión del concreto,za su esfuerzo de fluencia. Al aumentar la para aceros torcidos en frío y aceros lamina-deformación, puesto que la tensión de dicho dos ordinarios, respectivamente.acero permanece constante, el incremento En estos cálculos se desprecia general-en la tensión total se debe a una disminu- mente el endurecimiento debido a la defor-ción en la compresión total de la sección. mación del acero de refuerzo. De tomarsePara que el incremento del momento sea en cuenta, cambiarían ligeramente los valo-proporcional al de la tensión, es necesario res correspondientes de P y M, pero al des-que la distribución de deformaciones cam- preciarlos se obtienen resultados del lado debie, como se muestra en el estado 3 de la fi- la seguridad.gura 6.10b. Este proceso prosigue hasta el En resumen, aplicando rigurosamentepunto en que se alcanza la deformación má- las hipótesis simplificadoras se puede trazarxima útil en compresión del concreto (distri- fácilmente el diagrama de interacción, ha-bución 4). ciendo variar el valor de la carga normal En la figura 6 . 1 0 ~ presenta un dia- se desde un máximo en compresión hasta ungrama típico de interacción para la zona de máximo en tensión. A modo de ejemplo seflexotensión. Se indican en él los puntos co- ha hecho esto para una sección con igualrrespondientes a las distintas distribuciones área de acero en dos caras opuestas, utili-de deformaciones que se han mencionado zando las hipótesis ACI. E l diagrama de in-arriba. teracción correspondiente se muestra en la Si el acero del lado opuesto a la carga figura 6.1 1, donde se consignan también losestá muy cerca de la superficie (lo que ocurre datos de la sección. El diagrama se trazó ob-por relaciones pequeñas de recubrimiento a teniendo parejas de valores (M, P) para dis-peralte), prácticamente no hay diferencia en- tintas distribuciones de deformacionestre los valores de P que se obtienen de los unitarias.estados 2, 3 y 4. Por el contrario, si la rela- Las líneas que representan estos estadosción recubrimiento-peralte es grande, puede de deformación giran todas alrededor delhaber diferencias del orden del diez por punto sobre la fibra superior en la cara deciento entre las tensiones correspondientes a compresión que corresponde a una defor-los estados 2 y 4. mación máxima de compresión del concre- La descripción anterior es simplista, pe- to, = 0.003. Se puede observar que elro de ella se concluye que las hipótesis sim- diagrama de interacción en la zona de flexo-plificadoras son aplicables hasta un estado tensión sigue lógica y continuamente el trazode tensión pura. En este caso, la tensión má- dara flexocompresión, hasta llegar a un va-xima que se puede desarrollar es la que re- lor igual a A,fy para el caso de tensión pura.siste el acero, P = A,fy, ya que el concreto no E l diagrama de la figura 6.1 1 representaresiste las deformaciones correspondientes. entonces el lugar geométrico de los valores De acuerdo con la descripción anterior, máximos de carga normal que puede serla resistencia en flexotensión se alcanza cuan- aplicada a una sección simétrica cuando lado el concreto se aplasta en compresión en excentricidad de la carga con respecto alun lado, al mismo tiempo que las deforma- centr ¡de geométrico de la sección varíaciones en tensión en el lado opuesto sonconsiderables. La posibilidad de una fractu- d;P des e cero (punto 1 ), hasta infinito (punto 3) para una carga de compresión, y desde infi-ra del acero a una carga menor es pequeña, nito nuevamente hasta una excentricidadya que la deformación de fractura del acero nula (punto 5), para una carga de tensión.
  • 152. Ejercicios 1 55 P (ton) compresión 1 A, = 10 cm2 A, = 10 cm2 20 cm Tensión Compresión 4 ---- / - 1 O0 cm 1 5o 5 cm 2 50V10 100 P (ton) tensión l5 20 M (ton-m) Figura 6.1 1 Diagrama de interacción para una sección simétrica (hipótesis ACI). Referencias6.1 Comité ACI 340. Design Handbook: One-Way 6.4 Marín, J. "Ábacos, fórmulas y criterios para el Slabs, Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, cálculo de columnas de edificios de concreto ar- Two-Way Slabs, and Seismic Design in mado". Boletín IMME. Caracas, enero-junio Accordance with the Strength Design Method of 1978. 3 18-95, SP-017, Detroit, 1997. 6.5 Hsu, Cheng-Tzu Thomas. "Analysis and Design6.2 González Cuevas, O., y J. Cano Licona. "Programa of Square and Rectangular Columns by Equation de cómputo para calcular la resistencia de elemen- of Failure Surface". ACI Structural lournal. De- tos de concreto sujetos a flexocompresión". Uni- troit, marzo-abril 1988. versidad Autónoma Metropolitana, México, 2003. 6.6 Meli, R., y M. Rodríguez. Gráficas para diseñar6.3 Bresler, B. "Design Criteria for Reinforced Con- columnas de concreto reforzado. México, crete Columns under Axial Load and Biaxial Instituto de Ingeniería, UNAM, septiembre, Bending". lournal o f the American Concrete Ins- 1980. titute. Detroit, enero 1961. Ejercicios6.1 Utilizando el diagrama de interacción del ejem- puede resistir la sección bajo una carga axial de plo 6.1, calcular la carga que puede resistir la 250 ton. sección mostrada para excentricidades de 60 cm 6.2 Determinar, por el procedimiento de tanteos y y de 5 cm. Calcular también el momento que usando hipótesis simplificadoras, la resistencia
  • 153. 1 56 Flexión y carga axial de la siguiente sección para una excentricidad 6.5 Calcular los momentos de diseño de la siguiente de 20 cm hacia la cara con dos barras. sección en cada uno de los dos planos principa- les de flexión cuando está sometida a una carga axial Última, P, = 300 ton. A, = 6 barras del No. 6 . . . . . a . . . f, = 250 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 A = 16 barras del No. 6 , 25 m...6.3 Determinar el momento que puede resistir la si- guiente sección por el procedimiento de tanteos, usando las hipótesis ACI o Distrito Federal. Veri- 6.6 Calcular la resistencia de diseño de la siguiente ficar el resultado obtenido con las gráficas del sección usando la fórmula de Bresler y la ecua- Apéndice C. ción de la superficie de falla. Plano de ,- flexión f, = 200 kg/cm2 fy = 4200 kg!cm2 --M-- .. A, = 10 barras I I del No. 8 1. c .lC, P, = 300 ton6.4 Calcular la carga axial que puede resistir la si- guiente sección, usando las gráficas del Apéndi- ce C con las hipótesis ACI, si está sometida a un momento de 2 ton-m. f, = 300 kg/cm2 fy = 3500 kg/cm2 IA, = 8 barras del No. 8 f , = 300 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 A, = 10 barras del No. 10
  • 154. Ejercicios 1576.7 Obtener un diagrama de interacción en flexo- compresión de la siguiente sección usando hipó- tesis simplificadoras. A = 4 barras del No. 10 , As2= 2 barras del No. 10 Asg= 6 barras del No. 10 f, = 350 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2
  • 155. éstos están sometidos simultáneamente a momento flexionante, como ocurre en el ca- CAP~TUO L 7 so general, y también cuando, además, existe carga axial. Sin embargo, no se considerará por ahora el efecto de la torsión. Para visualizar el efecto de la fuerza cortante es útil recordar algunos conceptos Elementos sujetos a elementales de la mecánica de los materia- les, ya que, a niveles de carga bajos y antes fuerza cortante de la aparición de las grietas, el comporta- miento del concreto reforzado se asemeja al de un material homogéneo y elástico. E l es- tudio se limitará al caso de elementos en 7.1 Introducción. 17.2 Comportamiento y modos de falla. 17.3 Mecanismos de falla que el estado de esfuerzos puede suponerse por cortante. 17.4 Efectos de las variables como un estado de esfuerzos plano. en la carga de agrietamiento. 17.5 Efectos En un punto cualquiera de un elemento de las variables sobre la resistencia. 17.6 sujeto a este tipo de esfuerzos, los esfuerzos Expresiones para evaluar la resistencia a normales y tangenciales correspondientes a efectos de fuerza cortante. 17.7 Ejemplos. los distintos planos que pueden pasarse por el punto varían en magnitud, al cambiar la orientación del plano de referencia. El estado de esfuerzos en un punto queda definido7.1 Introducción cuando se conocen los esfuerzos normales y tangenciales según dos planos perpendicula-En el capítulo 1 se indicó que para estable- res cualesquiera. Aquellos planos en que sólocer un procedimiento razonable para el di- existen esfuerzos normales se llaman planosmensionamiento de estructuras de concreto, principales y son perpendiculares entre sí. Loses necesario disponer de medios para deter- esfuerzos en estos planos reciben el nombreminar con un grado de precisión satisfacto- de esfuerzos principales y tienen la propiedadrio la resistencia de elementos sujetos a de ser los esfuerzos máximo o mínimo quecualesquiera combinaciones de momento pueden existir en el punto.flexionante, carga axial, fuerza cortante y Considérese una viga elástica sujeta amomento torsionante. El problema plantea- un sistema de cargas concentradas, tal como sedo en su forma general no es fácil de tratar, muestra en la figura 7.1. En las regiones pró-dado el estado actual de nuestros conoci- ximas a un apoyo o a una carga concentrada,mientos, por lo que comúnmente se intenta la viga se encuentra sometida a esfuerzosresolverlo considerando combinaciones par- tangenciales v y a esfuerzos normales f y fy, ,ciales a ciertas acciones. Así, por ejemplo, definidos en direcciones paralelas y perpen-en el capítulo 6 se establecieron procedi- diculares, respectivamente, al eje del ele-mientos para predecir la resistencia de elemen- mento. Los esfuerzos fy se deben a efectostos sujetos a combinaciones de carga axial y locales de las reacciones o de las cargas, y semomento flexionante, haciendo caso omiso desprecian en regiones alejadas de éstas. Losde los efectos de la fuerza cortante y del mo- esfuerzos normales longitudinales, fx, pue-mento torsionante. En este capítulo se estu- den evaluarse dentro del rango elástico deldiará el efecto de la fuerza cortante sobre elemento mediante la fórmula fx = My/l,elementos de concreto reforzado, cuando donde M es el momento flexionante que ac-
  • 156. 1 60 Elementos sujetos a fuerza cortante @ ,, Com resión A Distribución de esfuerzos tangenciales Zona de esfuerzos fy, no despreciables normales longitudinales Distribución de Dirección de esfuerzos esfuerzos principales principales Zona de esfuerzos fy, no despreciables Figura 7.1 Distribución de esfuerzos en una sección de una viga.túa en la sección considerada, y es la distan- Cuando los esfuerzos fy no existen, o secia desde el eje neutro al nivel considerado, desprecian, los esfuerzos principales, ft, se pue-e 1 es el momento de inercia de la sección den calcular a partir de los esfuerzos tangencia-transversal del elemento. En la figura 7.1 se les, v, y normales, fx, mediante la expresiónmuestra una distribución lineal típica de es-fuerzos normales longitudinales. La distribución elástica de esfuerzostangenciales, v, se calcula con la expresiónv = VQ/lb, donde Ves la fuerza cortante en la En esta expresión, los esfuerzos fx y ftsección, Q es el momento estático con res- son positivos cuando son de tensión. El sig-pecto al eje neutro del área de la sección si- no positivo corresponde al esfuerzo principaltuada arriba del nivel considerado, 1 es el máximo, que es el que interesa principalmen-momento de inercia, y b es el ancho de la te en el caso de elementos de concreto, ensección al nivel considerado. S i la sección tanto que el negativo corresponde al esfuer-es rectangular, esta expresión conduce a una zo principal mínimo. En lo sucesivo se traba-distribución parabólica, con un valor máxi- jará exclusivamente con el esfuerzo principalmo a la altura del eje neutro igual a 3 V/2bh. máximo (o de tensión). La inclinación delEsta distribución se muestra también en la plano correspondiente al esfuerzo principalmisma figura. máximo se obtiene mediante la expresión
  • 157. tan 20 = 2v/fx, donde 8 es el ángulo forma- en cualquier punto del elemento. En la figurado por el esfuerzo principal máximo con el 7.2 se ilustra una red típica de esfuerzoseje de la pieza. Es fácil comprobar que en los principales, para el caso de una viga libre-puntos en que existe únicamente esfuerzo mente apoyada sujeta a una carga uniforme.cortante, el esfuerzo principal máximo es Como la resistencia del concreto a es-igual a v, y tiene una inclinación de 45" con fuerzos de tensión es baja, comparada con surespecto al eje horizontal. Igualmente es resistencia a esfuerzos de compresión, o aclaro que el esfuerzo principal de tensión es esfuerzo cortante propiamente dicho, un ele-nulo en la fibra superior, e igual al esfuerzo mento de concreto tenderá a fallar según su-normal en la fibra inferior. En general, en la perficies perpendiculares a las direccioneszona de compresión, el esfuerzo normal, , f de las tensiones principales.reduce el valor del esfuerzo principal máxi- En vigas de concreto, esto hace necesa-mo con respecto al valor correspondiente en rio proporcionar refuerzo de acero para su-el eje neutro, en tanto que en la zona de ten- plir la falta de resistencia a tensión delsión lo aumenta, como se indica en la figura concreto en cualquier zona del elemento.7.1. En esta figura se muestra, además, una El efecto primordial de la fuerza cortan-distribución de las intensidades e inclinacio- te en un elemento de concreto, es el desarro-nes de las tensiones principales en una sec- llo de esfuerzos de tensión inclinados conción típica de una viga. respecto al eje longitudinal del miembro. Son La presencia de una carga axial solamente estos esfuerzos los que pueden originar la fa-modificaría la posición del eje neutro y por lo , lla del elemento a una carga inferior a aquellatanto, la posición de la línea de esfuerzo nor- que produciría una falla en flexión como lasmal nulo o de máximo esfuerzo tangencial. descritas en el capítulo 5. En este capítulo se Una forma conveniente de representar estudia la resistencia de elementos de con-la orientación de los esfuerzos en los distintos creto a esfuerzos de tensión inclinados, tan-puntos de un elemento, consiste en trazar to cuando existe refuerzo especial paralas redes de trayectorias de esfuerzos princi- resistir estos esfuerzos como cuando no existe.pales. Estos diagramas muestran gráficamen- En rigor, no debe hablarse de fallas dete la dirección de los esfuerzos principales esfuerzo cortante, ya que las grietas inclinadas - Trayectorias de esfuerzos de compresión ----- Trayectorias de esfuerzos de tensión Figura 7.2 Trayectorias de esfuerzos en una viga rectangular homogénea.
  • 158. 162 Elementos sujetos a fuerza cortanteque pueden presentarse en zonas de fuerza agrietamiento inclinado y de la contribucióncortante considerable son en realidad grietas de del refuerzo transversal a la resistencia.tensión en planos inclinados. Una falla de es- Los primeros ensayes encaminados a lafuerzo cortante propiamente dicha podría pre- determinación de los efectos de la fuerza cor-sentarse, por ejemplo, en la cara de contacto tante se realizaron hace más de 75 años. Des-de los dos elementos de una viga compuesta, de entonces, y en especial de 1946 a la fecha,formada por un elemento inferior precolado y se han llevado a cabo muchas investigacionesun elemento superior colado en el lugar, donde tendientes a evaluar la influencia de distintosel esfuerzo cortante en dicha cara puede exce- factores, de manera que se dispone en la ac-der la resistencia al deslizamiento relativo de tualidad de una cantidad importante de datoslos dos elementos. Otro caso es el de ménsulas experimentales. Sin embargo, como se verá,de claro muy corto. En el capítulo 12 se estudia son tantas las variables que influyen en la re-este tipo de comportamiento. sistencia de elementos sujetos a fuerza cortan- De lo anterior podría concluirse que te, y sus efectos dependen tanto de launa forma razonable de reforzar las vigas de interacción de las distintas variables, que haconcreto consistiría en colocar barras de ace- sido difícil racionalizar los resultados de lasro siguiendo las trayectorias de los esfuerzos investigaciones y experiencias disponibles,principales de tensión. Esto, sin embargo, es aunque recientemente se han logrado avancespoco práctico, ya que las dificultades cons- muy importantes [7.28].tructivas son obvias. En las secciones siguientes se hará un El comportamiento de un elemento de resumen de los aspectos principales delconcreto reforzado es bastante más comple- comportamiento y modos de falla de ele-jo que lo que se ha descrito aquí, pues la mentos sujetos a fuerza cortante, indicandodistribución de esfuerzos cambia aprecia- los efectos de diversas variables en los me-blemente en el momento en que se exceden canismos de agrietamiento y falla por cor-las tensiones que puede soportar el concreto tante. Además, se presentan algunas de lasy aparecen grietas. La posición en que se expresiones más comunes para evaluar la re-forman estas grietas no puede predecirse sistencia a la fuerza cortante, cuya aplica-con exactitud, ya que existen siempre varia- ción se ilustra con ejemplos.ciones locales en la resistencia del concreto, Para un tratamiento más amplio del pro-que no es un material realmente homogé- blema, incluyendo la propuesta de diversosneo. La presencia de grietas impide idealizar modelos para explicar el comportamiento,de una manera sencilla el funcionamiento consúltense las referencias 7.1, 7.1 1, 7.1 2, 7.1 3de un elemento de concreto reforzado. A es- y 7.1 6. De especial interés son los trabajos de-ta dificultad se añade que el concreto no es sarrollados recientemente por M. P Collins y .un material elástico y que, por tanto, las dis- un grupo de profesores canadienses que hantribuciones de esfuerzos cambian con el nivel elaborado una teoría de falla de elementos dede carga. concreto que toma en cuenta factores impor- Debido entonces a la complejidad del tantes como la presencia de barras de refuerzo,problema, los métodos utilizados en la ac- la formación de grietas, la disminución de la re-tualidad para dimensionar elementos de sistencia a compresión debida a esfuerzos deconcreto sujetos a fuerza cortante se basan tensión perpendiculares y otros de este tipoen el conocimiento experimental de su com- [7.17]. Esta teoría ha sido aplicada al cálculo deportamiento. Los estudios experimentales se la resistencia de vigas sujetas a fuerza cortante, han concentrado principalmente en la deter- obteniéndose una buena correlación con los minación de la resistencia del concreto al resultados experimentales [7.18]. El Reglamen-
  • 159. Comportamiento y modos de falla 1 63 I 1 a) Elemento sujeto a M, P y V, sin refuerzo transversal b) Elemento sujeto a M, P y V, con refuerzo transversal c ) Elemento ancho con refuerzo en dos direcciones sujeto a V,, Vy,M, y My, apoyado perimetralmente o en toda su base (caso esquemático de una losa plana o zapata) Figura 7.3 Tipos de elementos sujetos a fuerza cortante.to Canadiense de Construcciones [7.19] ha elementos de concreto en los cuales la ac-incluido estos métodos en sus disposiciones so- ción de la fuerza cortante es importante. Pa-bre fuerza cortante; sin embargo, los reglamen- ra facilitar la exposición se agrupan lostos ACI y NTC, que son los usados en este texto, elementos en tres tipos distintos, según seno los incorporan, por lo que no se tratan aquí muestra en la figura 7.3.con detalle. Se recomienda consultar la referen-cia 7.29, donde se presenta un excelente resu- a) Vigas o columnas sin refuerzo trans-men de avances recientes. versal en el alma, sujetas a combina- ciones de fuerza cortante, momento flexionante y carga axial.7.2 Comportamiento y modos de falla b) Vigas o columnas con refuerzo trans- versal en el alma, mostrado esque-En esta sección se describen el comporta- máticamente en la figura por estribosmiento bajo carga y los modos de falla de verticales, y sujetas a las mismas
  • 160. 164 Elementos sujetos a fuerza cortante Grieta inclinada formada súbitamente en I I Grieta inclinada formada gradualmente en varias etapas de carga I + b) Falla en compresión por cortanteGrieta inclinada formada gradualmente Figura 7.4 Representación esquemática de los diferentes tipos de falla en elementos en los que predomina la fuerza cortante. combinaciones de carga que los ele- cia entre el comportamiento de un elemento mentos del inciso a. que falle por efecto de fuerza cortante y el de C) Losas y zapatas, reforzadas y apoyadas otro que falle por flexión. Antes de que aparez- en las dos direcciones, sujetas a car- can las primeras grietas en la parte inferior, gas concentradas o a cargas reparti- debidas a flexión, el comportamiento del ele- das. Este tipo de elementos está sujeto mento es esencialmente elástico. Al aumentar a flexión en dos direcciones. las cargas, la fuerza cortante puede originar es- fuerzos principales que excedan la resistencia a7.2.1 Elementos sin refuerzo en el alma tensión del concreto, produciendo grietas incli- nadas a una altura aproximada de medio peral-SECCIONES RECTANGULARES te. Estas grietas pueden aparecer súbitamente en puntos donde no exista una grieta de flexiónConsidérese un elemento sometido a carga en o, muy frecuentemente, pueden presentarse co-la forma mostrada en la figura 7.4a. En los pri- mo continuación de una grieta de flexión quemeros incrementos de carga no existe diferen- gradualmente cambia de inclinación.
  • 161. Comportamiento y modos de falla 1 65 En miembros sujetos a compresión o portante y la resistencia es mayor que la car-tensión axial, las grietas inclinadas se forman ga que formó esta grieta, se dice que el ele-a cargas mayores o menores, respectivamen- mento tuvo una falla en compresión porte, que la carga que produce el agrietamiento cortante o en adherencia por cortante, segúndel mismo miembro sin carga axial. A partir de el caso.este momento, el comportamiento del ele- Desde el punto de vista del comporta-mento difiere en forma importante del corres- miento de una estructura, es muy desventajosopondiente a un miembro que falle por que un elemento alcance su resistencia debidoflexión. La grieta inclinada puede aparecer a uno de estos tipos de falla antes de que sesúbitamente, sin señal previa, y extenderse presente la fluencia del acero longitudinal, yainmediatamente hasta causar el colapso de la que estas fallas se producen rápidamente a de-pieza, como se muestra en la figura 7.4a. En formaciones pequeñas. En consecuencia, la es-este caso la falla se denomina de tensión tructura resulta poco dúctil.diagonal. Por otra parte, puede suceder que La carga que produce las primeras grie-el agrietamiento inclinado se desarrolle gra- tas inclinadas completas se suele denominardualmente y que el colapso de la pieza se carga de agrietamiento inclinado. En general,produzca finalmente por el aplastamiento de una grieta inclinada importante es aquellala zona de compresión en el extremo de la que se extiende a través de casi todo el pe-grieta inclinada, al reducirse considerable- ralte del elemento y se empieza a prolongarmente la zona disponible para soportar los a lo largo del acero de tensión. Varios inves-esfuerzos de compresión originados por fle- tigadores la han definido de acuerdo con xión. En este caso la falla se denomina de distintos criterios basados en la observacióncompresión por cortante (figura 7.4b). La visual del elemento, y, por lo tanto, la cargadiferencia esencial entre ambos tipos de fa- correspondiente está sujeta a variaciones de lla consiste en que, en una falla por tensión orden subjetivo. Sin embargo, esta carga mar- diagonal, el agrietamiento inclinado es sú- ca en general un cambio importante en el bito y causa de inmediato el colapso de la comportamiento del miembro. Cuando la pieza, mientras que en una falla de compre- grieta inclinada se produce súbitamente y sión por cortante, la pieza puede soportar causa el colapso de la pieza, la carga de cargas mayores que la que produce el agrie- agrietamiento es también la resistencia del tamiento inclinado. elemento. Algunos autores establecen otro tipo de falla, denominada generalmente de adherencia SECCIONES N O RECTANGULARES por cortante. Este tipo se caracteriza porque la resistencia se alcanza cuando se presentan ex- La información disponible actualmente so- tensos agrietamientos longitudinales al nivel bre el comportamiento y la resistencia de ele- del acero de tensión, simultáneos con un mentos de sección no rectangular es mucho aplastamiento ligero en la zona de compresión menor que la existente sobre elementos de en el extremo de la grieta inclinada, como se sección rectangular. Se han realizado ensa- muestra en la figura 7 . 4 ~ . yes de laboratorio sobre elementos de sección Desde el punto de vista de resistencia, circular 17.3 y 7.201 con acero longitudinal cuando la falla se produce súbitamente al distribuido en el perímetro de la sección. El aparecer la primera grieta inclinada impor- comportamiento general de estos elementos tante, se dice que el elemento falla en ten- fue similar al descrito anteriormente para ele- sión diagonal. Cuando la falla ocurre después mentos de sección rectangular, excepto que de la aparición de una grieta inclinada im- las grietas inclinadas tendían a formarse de
  • 162. 166 Elementos sujetos a fuerza cortante I a) Barras dobladas I b) Estribos verticales I c) Estribos inclinados I d) Tipos de estribos Figura 7.5 Tipos de esfuerzo.un modo más gradual, debido a la presencia 7.2.2 Elementos con refuerzo en el almade acero longitudinal en todo el peralte dela pieza. El refuerzo transversal, o refuerzo en el alma, En ensayes de elementos de sección I que se utiliza en elementos de concreto parase puede presentar un tipo adicional de fa- aumentar su resistencia a los efectos de lalla: aplastamiento del alma por esfuerzos de fuerza cortante, puede ser de distintos tipos.compresión aproximadamente paralelos a la En algunos casos se aprovecha parte del ace-dirección de grietas inclinadas. Este tipo de ro principal de flexión, doblándolo en zonasfalla sólo se presenta cuando el alma es re- donde ya no es requerido para tomar esfuer-lativamente delgada en comparación con el zos longitudinales, de manera que atravieseancho de la zona de compresión. Por lo de- las regiones donde pueden aparecer grietasmás, el comportamiento es semejante al inclinadas. Estas barras, para que sean efec-descrito anteriormente para secciones rec- tivas, deben anclarse en la zona de compre-tangulares. sión (figura 7.5a). El tipo de refuerzo transversal
  • 163. Comportamiento y modos de falla 1 67de uso más extendido es el estribo (figura las grietas inclinadas sea excesivo, las NTC-7.5b). 04 del Reglamento del Distrito Federal y el En la figura 7.5d se ilustran las formas Reglamento ACI 31 8-02, indican que el aceromás usuales de este tipo de refuerzo. Común- transversal tenga un esfuerzo de fluencia má-mente los estribos son de dos ramas en "U" o ximo de 4200 kg/cm2.cerrados, siendo los cerrados los más frecuen- En los ensayes de laboratorio se ha ob-tes. Sin embargo, en algunos casos se utilizan servado que la resistencia a los efectos de latambién estribos de cuatro ramas. fuerza cortante de un elemento con refuerzoEl tipo de estribo más usual es aquel que tie- transversal, se puede estimar como su resis-ne sus extremos doblados a 135". General- tencia al agrietamiento inclinado más lamente los estribos se colocan en posición contribución del refuerzo transversal. Nor-vertical, pero a veces se colocan inclinados malmente, en un diseño se busca que estacon respecto al eje del elemento con un án- suma sea mayor que la resistencia del ele-gulo que varía entre 30" y 60°, siendo 45" la mento en flexión o flexocompresión, parainclinación más común (figura 7.5~). Ocasio- garantizar que no se presente el colapso pornalmente se utilizan en un mismo elemento efectos de fuerza cortante.combinaciones de los diversos tipos de re- Es importante tener en cuenta que, parafuerzo transversal mencionados arriba. que el refuerzo transversal sea realmente El comportamiento bajo carga de ele- efectivo, debe colocarse a espaciamientosmentos con refuerzo en el alma, es similar al tales, a lo largo del eje de la pieza, que cual-descrito en la sección anterior hasta la apari- quier grieta inclinada potencial que pudieración de las primeras grietas inclinadas. A par- formarse en el elemento sea cruzada cuandotir de este momento, la presencia del refuerzo menos por una barra de refuerzo en el alma.transversal restringe el crecimiento de las grie- Otro efecto importante del refuerzo entas inclinadas. Si se tiene refuerzo transversal el alma es el de incrementar la ductilidad delen cantidades suficientes, las grietas inclina- elemento, al proporcionar confinamiento la-das serán pequeñas y de poca consideración teral al concreto sujeto a compresión. Este y la falla se producirá en flexión, antes o des- efecto es de la misma naturaleza que el efectopués de la fluencia del acero longitudinal. del zuncho en columnas con carga axial, Se ha observado que cualquiera que sea aun cuando no es tan grande como éste, el tipo de refuerzo transversal que se utilice, tanto porque la cuantía del refuerzo de es- éste no contribuye en forma apreciable a re- tribos es menor que la de zunchos, como sistir los esfuerzos inclinados de tensión hasta porque el efecto de confinamiento es me- que se forman las primeras grietas inclinadas nor en una pieza sujeta a flexocompresión en el alma de la pieza; es decir, el refuerzo en que en una sujeta a compresión axial. Este el alma influye muy poco en la magnitud de efecto es de gran importancia en estructu- la carga que produce estas grietas. Pero des- ras que pueden estar sujetas a fuerzas sísmi- pués de la aparición de las grietas, el refuerzo cas, en las que desarrollar una ductilidad transversal se deforma gradualmente al incre- adecuada es tan importante como el garan- mentar la carga, hasta que alcanza su límite tizar la resistencia necesaria. de fluencia. Esta condición limita la contribu- ción de este refuerzo a la resistencia del ele- 7.2.3 Losas planas y zapatas mento. Si el elemento tiene poco refuerzo en el alma, la falla puede producirse por fractura Se han efectuado muchos ensayes de ele- de una o varias de las barras de refuerzo trans- mentos como el mostrado en la figura 7 . 3 ~ ~ versal. Con el objeto de evitar que el ancho de en los que se trata de reproducir el proble-
  • 164. 168 Elementos sujetos a fuerza cortante Falla por penetració C resistencia Agrietamient inclinado B primera fluencia del refuerzo A primeros agrietamientos Figura 7.6 Característica carga-deformación de una zapata.ma de la transmisión por fuerza cortante de los primeros agrietamientos en la carala carga de una losa plana o zapata a una de tensión de la losa.columna. Los elementos ensayados han sido 2-n esta etapa, comprendida entre losen su mayor parte de forma cuadrada o rec- puntos A y B, se alcanza la primeratangular, con la carga concentrada aplicada fluencia del refuerzo horizontal desobre una superficie cuadrada menor, y apo- tensión y el agrietamiento se extien-yados generalmente en todo el perímetro. de por la losa. Simultáneamente pue-Ocasionalmente, con el objeto de simular el den presentarse grietas inclinadasefecto de la reacción del terreno en zapa- que van del acero de tensión hacia latas, se han probado elementos apoyados en periferia de la superficie cargada,toda su superficie sobre camas de resortes. formando una pirámide o cono trun-Sin embargo, el comportamiento general ba- cado alrededor de esta superficie.jo carga y el modo de falla observado han si- 3 - 1 final de esta etapa se alcanza lado los mismos, cualquiera que sea el tipo de resistencia (punto C) y se produce elapoyo: perimetral o en camas de resortes. colapso final por penetración de la La figura 7.6 muestra esquemáticamen- columna a través de la losa, con unate una gráfica carga-deformación al centro superficie de falla en forma de pirá-de uno de estos elementos. En general, si se mide o cono truncado.tiene un elemento relativamente esbelto ydúctil, se pueden desarrollar las tres etapas Dependiendo de la relación entre el cla-mostradas en la figura: ro y el peralte de la losa, o de la relación en- tre el área de la losa y el área de la superficie 1-el origen al punto A. En esta etapa de aplicación de carga y de la cantidad de el comportamiento es aproximada- acero longitudinal de flexión, la falla por per- mente lineal, hasta que se presentan foración puede presentarse antes o después
  • 165. Comportamiento y modos de falla 1 69 I rietas superficiales Grietas de I Superficie de falla Columna - Figura 7.7 Espécimen de ensaye y configuración de agrietamiento en una losa conectada a una columna de borde (adaptada de la referencia 7.21).de que fluya el acero longitudinal. En otras po, son, en general, mayores que para unapalabras, en una losa de poca esbeltez y con viga, debido principalmente al efecto del an-mucho acero longitudinal no se podrán desa- cho del elemento y a que el concreto alrede-rrollar más que las etapas OA y AB de la cur- dor de la superficie cargada está sujeto ava descrita anteriormente. Incluso, puede compresiones normales en dos direcciones,suceder que la columna perfore la losa antes que le proporcionan un cierto confinamien-de que se alcance el punto B, aunque este ca- to lateral.so es poco probable para las dimensiones También se han realizado ensayes enusuales en la práctica. Cuando el colapso por especímenes como el mostrado en la figuraperforación se presenta después de que la lo- 7.7a, que simulan la conexión de una losasa ha sufrido un agrietamiento considerable, y plana o de una zapata con una columna dedespués de que el acero longitudinal ha flui- borde. En este caso, además de carga axial,do, el tipo de falla puede clasificarse como de se transfiere un momento flexionante de laflexión y se caracteriza por una deformación losa a la columna, por lo que el elemento enimportante. Independientemente de la magni- cuestión se encuentra sometido a solicitacio-tud de la deformación a la falla, el colapso fi- nes más severas que cuando sólo existe car-nal se presenta siempre por perforación de la ga axial. Aunque pueden desarrollarse las trescolumna a través de la losa, y la superficie de etapas de carga mencionadas anteriormen- falla tiene la forma de una pirámide o de un te, la configuración de agrietamiento difiere cono truncado. Lo anterior indica que existe debido a la existencia de un borde libre en siempre una etapa previa al colapso final, en la losa. En la figura 7.7b se muestra el esta- la cual se desarrollan grietas inclinadas alre- do típico de agrietamiento al producirse la dedor de la superficie cargada, hasta que se falla en este tipo de elementos [7.21l. Puede forma una superficie de falla. verse que se desarrollan también grietas de tor- Los esfuerzos nominales correspondien- sión originadas por la transferencia de mo- tes a la resistencia de un elemento de este ti- mento flexionante.
  • 166. 1 70 Elementos sujetos a fuerza cortante Un caso intermedio entre los dos pre- libre del elemento después de haberse desa-sentados en esta sección es el de una colum- rrollado una grieta inclinada. Si se suponena interior conectada a una losa que tiene que la fuerza cortante en la longitud a esmomentos flexionantes diferentes a ambos constante e igual a la reacción, desprecian-lados de la columna. El momento flexionan- do, por lo tanto, el efecto del peso propio,te que se transfiere de la losa a la columna los momentos flexionantes varían como sees la diferencia entre los dos momentos fle- muestra en la misma figura.xionantes. La pirámide o cono truncado no Antes de que aparezca la grieta inclina-resulta simétrico, y el grado de asimetría de- da, el comportamiento del miembro es prác-pende de la relación entre la carga axial y el ticamente lineal y, por lo tanto, la tensión enmomento transferido. el acero es sensiblemente proporcional al momento flexionante. Pero una vez que se desarrolla una grieta inclinada, el comporta-7.3 Mecanismos de falla por cortante miento del elemento en la zona agrietada se asemeja al de un arco rebajado. Por equili-Por facilidad de nomenclatura y teniendo en brio, la tensión en el acero entre las seccio-cuenta que en las secciones siguientes interesa nes AA y BB debe ser constante e igual aldistinguir si el elemento transmite la carga en valor correspondiente a la sección de mo-una o varias direcciones, se designará por mento flexionante mayor (BB).miembro a todo elemento con dos dimensio- La presencia de la grieta inclinada pro-nes apreciablemente menores que la tercera y duce cuatro efectos importantes:en el que los esfuerzos se transmiten en una di-rección. E decir, por miembros se entenderá s a ) Reduce la zona disponible para tomarcualquiera de los elementos agrupados bajo esfuerzos de compresión; la compre-los tipos (a) y (b)de la figura 7.3. Los elemen- sión total debe ser tomada íntegra-tos comprendidos en el tipo (c)se tratarán ba- mente en la profundidad y (figura 7.8).jo el encabezado de losas planas y zapatas. b) Produce un aumento súbito en la ten- sión del refuerzo en la sección AA , f7.3.1 Miembros sin refuerzo transversal hasta que ésta alcanza el valor co- rrespondiente a la sección BB.Se ha dicho que en algunas ocasiones el co- C) Reduce el área disponible para to-lapso de un elemento se produce súbitamen- mar la fuerza cortante en la sección.te al presentarse el agrietamiento inclinado, Antes de la aparición de la grieta, lamientras que en otras el miembro es capaz fuerza cortante se distribuye de algu-de soportar cargas apreciablemente mayores na manera a través de todo el peral-que la que produjo dicho agrietamiento. Es- te del elemento, mientras que despuésto puede explicarse de una manera cualitati- del agrietamiento, la mayor parte deva observando que la presencia de una grieta la fuerza cortante tiene que ser resis-inclinada origina un cambio importante en tida por la zona de compresión delel comportamiento del miembro. concreto (fuerza Vi), y sólo una par- Para fijar ideas, y por sencillez en la ex- te pequeña es resistida por la barraplicación, considérese una viga sin refuerzo de tensión (fuerza V2) y por el efecto detransversal, provista de refuerzo longitudinal trabazón entre las rugosidades de lasadecuado y sujeta a una carga concentrada superficies de las dos caras de la grie-situada a una distancia a del apoyo. En la fi- ta (componente vertical de la fuer-gura 7.8 se presenta un diagrama de cuerpo za V3).
  • 167. Mecanismos de falla por cortante 1 71 diagrama de momentos flexionantes 1111111111111111111llllllll~ Figura 7.8 Diagrama de cuerpo libre al aparecer una grieta inclinada. d) Reduce esfuerzos de tensión trans- duales de tensión son importantes, entonces versales a la posición de la grieta la grieta inclinada se estabiliza y el miembro que pueden ser resistidos por el con- es capaz de resistir cargas mayores trabajan- creto (fuerza V4) y que pueden ser do como arco rebajado. Si, por el contrario, significativos. Se ha visto que estos la zona de compresión reducida por la grie- esfuerzos, llamados residuales, no ta inclinada es ya incapaz de tomar la fuer- desaparecen totalmente al formarse za de compresión, se produce una falla por la grieta, ya que las partes a ambos aplastamiento del concreto en la parte supe- lados de ella no se separan totalmen- rior de la grieta inclinada, simultáneamente te, sino que se forman pequeños con la formación de ésta. También es posible puentes que las mantienen unidas y que al formarse la grieta inclinada, la longi- a través de los cuales pueden seguir- tud del acero de refuerzo entre la sección se transmitiendo esfuerzos [7.29]. AA y el-extremo de la pieza sea insuficiente para desarrollar por adherencia la tensión S i al desarrollarse la grieta inclinada, la necesaria y en consecuencia, la falla se pro- ,zona de compresión reducida es capaz toda- ducirá también rápidamente.vía de resistir la compresión resultante, si el En resumen, si al desarrollarse la grietaacero de refuerzo puede tomar el incremen- inclinada la zona disponible para tomar es-to súbito de tensión, y si los esfuerzos resi- fuerzos de compresión es insuficiente, o si
  • 168. 172 Elementos sujetos a fuerza cortanteel acero es incapaz de desarrollar la adhe- mas condiciones, se han observado variacio-rencia requerida para tomar el incremento nes en el valor de la carga de agrietamientode tensión, se produce el colapso del ele- inclinado del orden del 10 por ciento, enmento inmediatamente después de formarse tanto que las cargas de colapso han llegadola grieta inclinada, y la falla es por tensión a diferir entre sí en más del 50 por ciento.diagonal. Si la grieta se estabiliza y el ele- Por esta razón, la mayor parte de los investi-mento es capaz de tomar carga adicional, la gadores concuerdan en considerar la cargafalla será de adherencia por cortante cuan- de agrietamiento en tensión diagonal comodo se agote la capacidad de transmitir ten- la resistencia útil a la acción de fuerza cor-siones por adherencia entre el acero y el tante de un elemento sin refuerzo transver-concreto; o bien, de compresión por cortan- sal, aun sabiendo que en algunos casos late cuando se aplaste el concreto en la zona carga de colapso puede ser mucho mayor.de compresión. Cuando el elemento carecede refuerzo transversal, es frecuente que es- 7.3.2 Miembros con refuerzo transversaltos dos tipos de falla se presenten casi si-multáneamente. En la sección 7.2.2 se indicó ya que la pre- De las consideraciones anteriores se sencia de refuerzo transversal influye muypueden deducir ciertas conclusiones que poco en el valor de la carga de agrietamien-concuerdan con los hechos observados ex- to y en el comportamiento general del ele-perimentalmente. Hasta ahora ha sido impo- mento antes de que se desarrolle la grietasible correlacionar la capacidad adicional inclinada. Pero una vez que se presenta di-de un elemento sobre la carga de agrieta- cha grieta, el refuerzo en el alma contribuyemiento inclinado con las variables prima- eficazmente a incrementar la capacidad derias. Esto es debido a que dicha capacidad carga del elemento, y si este refuerzo se pro-depende en gran parte de la posición y ex- porciona en forma adecuada, puede lograr-tensión de la grieta inclinada, y éstas no se que el colapso se produzca por efecto depueden predecirse de antemano con preci- los esfuerzos longitudinales de flexión y nosión, porque el concreto no es un material por efecto de la fuerza cortante.homogéneo.* Una pequeña variación en la El refuerzo en el alma desempeña unposición o en la extensión de la grieta incli- papel triple después de la aparición de lanada puede cambiar drásticamente la longi- grieta inclinada. Por una parte, restringe eltud de anclaje del acero de tensión y la crecimiento y desarrollo del agrietamientoprofundidad de la zona de compresión y, inclinado, conservando en esa forma unapor lo tanto, la capacidad de carga posterior profundidad mayor para la zona de compre-al agrietamiento inclinado. En pruebas de la- sión. Esto incrementa la capacidad de estaboratorio de especímenes idénticos, colados zona para resistir fuerzas normales y tangen-simultáneamente y ensayados bajo las mis- ciales. Por otra parte, cuando se usa refuer- zo transversal en forma de estribos, éstos* Un avance im~ortante reciente es la Teoría Modificada mejoran la capacidad por adherencia deldel Campo de Compresión de Collins, et al., en la que se miembro, pues tienden a evitar fallas portratan de relacionar las variables mencionadas calculan- desgarramiento al nivel del acero de refuer-do la deformación unitaria longitudinal, ,E al nivel del , zo. Finalmente, el refuerzo en el alma tomarefuerzo de tensión, la cual depende del ángulo de incli-nación de las grietas (que pueden diferir de 45"), de su una porción importante de la fuerza cortanteseparación y de los esfuerzos en el refuerzo 17.28 y externa y cuando el refuerzo forma anillos ,7.291, cerrados, incrementa ligeramente la resisten-
  • 169. Mecanismos de falla por cortante 173 Figura 7.9 Analogía de la armadura.cia de la zona de compresión debido al efec- longitudinal funciona como la cuerda deto de confinamiento. tensión, el refuerzo transversal como las dia- El mecanismo de falla de un elemento gonales de tensión, el concreto de la zonacon refuerzo transversal ha sido difícil de esta- comprimida como la cuerda de compresión,blecer con precisión hasta ahora. Sin embar- y las proporciones de concreto entre lasgo, algunas de las funciones del refuerzo grietas inclinadas como las diagonales detransversal pueden explicarse cualitativamente compresión. Esta idealización se muestra es-acudiendo a la idealización propuesta por Rit- quemáticamente en la figura 7.9a.ter en 1899. Esta idealización, conocida como En el análisis se supone que las grietas la analogía de la armadura, se presenta a con- inclinadas forman un ángulo e y el refuerzotinuación en forma generalizada, ya que algu- transversal un ángulo a con el eje de la pie- nas de las expresiones de dimensionamiento za. Las hipótesis en que se basa el análisis más comunes han sido derivadas de ella. de la armadura son las siguientes: Ritter supuso que una viga con refuerzo transversal, en la cual existen grietas causa- a) La zona comprimida del elemento das por tensiones inclinadas, puede idealizar- toma sólo esfuerzos normales de se como una armadura en la que el refuerzo compresión.
  • 170. 1 74 Elementos sujetos a fuerza cortante b) El refuerzo longitudinal de tensión donde z es el brazo del par resistente. toma Únicamente esfuerzos normales de tensión. Sustituyendo Fc de la ecuación 7.1 y AT C) Todas las tensiones inclinadas son de la ecuación 7.3, en la ecuación 7.2, se tiene resistidas por el refuerzo transversal. d) Las grietas inclinadas se extienden desde el refuerzo longitudinal de vs -= z [ A, f, cos a + - tan 8 tensión hasta el centroide de la zona de compresión. Por lo que la fuerza cortante máxima e) Se desprecia el efecto del peso pro- que puede tomarse con un área Ay de refuer- pio o de cargas distribuidas entre zo transversal es grietas inclinadas consecutivas. En otras palabras, el incremento de mo- mento entre dos secciones distantes s entre sí es igual a Vs, donde Ves la fuerza cortante en la zona entre las Si se admite que las grietas se forman dos secciones consideradas. comúnmente con un ángulo 0 igual a 45" En la figura 7.9b se muestran las fuerzasque actúan en una junta de la cuerda de ten- v=-A (sena +COS a) Ssión de la armadura idealizada. El espacia-miento horizontal entre grietas inclinadas yentre barras o estribos de refuerzo transver- De esta expresión puede deducirse que,sal se designa por s. La fuerza de compre- si la capacidad de carga del elemento depen-sión en la diagonal de concreto se denota de directamente de su resistencia a esfuerzospor Fc, y la de tensión en la diagonal de ace- de tensión inclinados, la carga máxima se ob-ro por Av f, (en que Av es el área del refuer- tiene cuando fluye el acero de refuerzo trans-zo transversal y f, es el esfuerzo a que está versal; esto es, cuando f, = fy. Esto presuponesujeto). que tanto el concreto de la zona de compre- Debido al incremento de momento, sión como el acero de refuerzo longitudinal,AMI existe un incremento en la tensión lon- que forman las cuerdas de compresión y degitudinal igual a AT. tensión de la armadura idealizada, deben ser capaces de soportar los incrementos en las Por equilibrio de fuerzas verticales: fuerzas correspondientes, originados por el desarrollo de las grietas inclinadas. Avfssen a = Fc sen O (7.1) La analogía de la armadura se ha usado durante muchos años, en la forma simple que Por equilibrio defuerzas horizontales: desarrolló Ritter, para estimar la resistencia a fuerza cortante de miembros con refuerzo transversal. Para lograr una correlación acep- table entre los resultados de ensayes y las re- sistencias calculadas con la analogía de la Teniendo en cuenta la hipótesis (e): armadura, lo que se ha hecho es sumar a la resistencia calculada, la que corresponde a un elemento sin refuerzo transversal. Aunque de esta manera se han obtenido expresiones que
  • 171. Mecanismos de falla por cortante 175permiten calcular la resistencia con aproxi- Se ha podido observar por medio demación suficiente para fines prácticos, el pro- perforaciones previas hechas en la losa, quecedimiento adolece de limitaciones teóricas, el agrietamiento inclinado se produce si-por lo que se ha continuado en la búsqueda guiendo una superficie en forma de pirámi-de métodos más racionales para explicar el de truncada, en planos con una inclinacióncomportamiento general bajo la acción de aproximada de 45" con respecto al planofuerza cortante y para derivar de ellos proce- medio de la losa o zapata, a cargas del or-dimientos de diseño. Algunos autores han den de 50 a 70 por ciento de la resistencia.presentado modificaciones a la teoría de la ar- En esta zona los momentos flexionantes sonmadura para tomar en cuenta factores impor- altos y por lo tanto, se requieren cantidades ,tantes como la inclinación de las grietas, la relativamente grandes de acero por flexión,reducción de la resistencia de la diagonal de que usualmente tienen suficiente longitudcompresión de concreto de la figura 7.9 por el de anclaje. Existe también en el plano medioefecto de esfuerzos y deformaciones transver- de la losa o zapata un efecto de confina-sales, la formación de configuraciones de miento triaxial debido al área cargada. Poragrietamiento en forma de abanico cerca de consiguiente, no puede producirse una fallalos apoyos y de cargas concentradas, la trans- irrestricta de tensión diagonal. De lo ante-misión de fuerzas a través de las grietas y otros rior se concluye que la resistencia es siem-de este tipo [7.17, 7.1 8, 7.22, 7.291. Estos tra- pre mayor que la carga que produce elbajos han sido incorporados en algunos regla- primer agrietamiento inclinado. En otras pa-mentos de construcciones, pero todavía no lo labras, el fuerte gradiente de momentos ha-han sido en los reglamentos a los que se hace ce que las grietas inclinadas tiendan areferencia en este texto, por lo que no se pre- producirse en la zona adyacente al área car-sentan aquí con detalle. gada. Pero estas grietas no pueden desarro- llarse súbitamente ni hacia el área cargada,7.3.3 Losas planas y zapatas sin refuerzo debido al confinamiento, ni tampoco a lo lar- transversal go del acero de tensión, porque éste suele existir en cantidades y con longitud suficientes.Los mecanismos de falla por fuerza cortante Los ensayes realizados en especímenesen losas planas y zapatas son cualitativamen- que simulan la acción de una columna so-te del mismo tipo que el descrito anterior- bre una losa o una zapata confirman lo an-mente para miembros sin refuerzo transversal. terior. La resistencia es generalmente del Debido a que los momentos flexionantes orden de dos veces la carga que produce losdisminuyen muy rápidamente del perímetro primeros agrietamientos inclinados alrede-del área cargada hacia los centros de los ta- dor del área cargada, y depende de la zonableros de losa o los extremos de la zapata, las de compresión disponible en el perímetrotensiones máximas antes del agrietamiento se de dicha área.concentran en zonas cercanas a una superfi- También se han hecho aplicaciones decie definida por planos trazados a 45" a partir la analogía de la armadura a este tipo de ele-del perímetro del área cargada (figura 7.6). En mentos [7.23].otras palabras, mientras que en miembros lazona crítica por cortante puede presentarse en 7.3.4 Losas planas y zapatas con refuerzoregiones relativamente grandes a lo largo de transversal SU longitud, en losas planas y zapatas las zo- nas críticas están concentradas alrededor del Se han ensayado losas planas y zapatas conperímetro del área cargada. distintos tipos de refuerzo transversal, como
  • 172. 176 Elementos sujetos a fuerza cortantelos de las figuras 7.1 2, 7.1 4 y 7.1 5, que se perimentalmente se ha encontrado que la re-comentan con detalle más adelante. Se han sistencia a tensión es aproximadamente pro-detectado básicamente dos mecanismos de porcional a la raíz cuadrada de la resistenciafalla. En el primero, la sección crítica se de- a compresión, en el rango usual de resisten-sarrolla en forma similar a la que se presen- cia de concreto de peso normal.ta en losas sin refuerzo, pero se desplazahasta la zona en que el refuerzo deja de ser PORCENTAJE DE ACERO LONGITUDINALefectivo. En el segundo, la resistencia se al-canza cuando fluye el refuerzo transversal. Se ha observado en ensayes de vigas que alPara tener mayor información se pueden aumentar el porcentaje de acero longitudi-consultar las referencias 7.9, 7.1 0 y 7.24. nal aumenta la carga necesaria para produ- cir el agrietamiento inclinado. La influencia de esta variable se explica teniendo en7.4 Efectos de las variables en la cuenta que, para miembros con característi- carga de agrietamiento cas geométricas y mecánicas iguales y en los que sólo varía el porcentaje de acero longi-En esta sección se presentan de una manera tudinal, el agrietamiento debido a flexióncualitativa los efectos de las principales va- bajo una misma carga es mayor cuanto me-riables que influyen en la magnitud de la nor es el porcentaje de acero longitudinal.carga de agrietamiento. Puesto que el fenó- Puesto que las grietas en flexión reducen lameno es muy complejo, debido a la interac- zona disponible para tomar esfuerzos cor-ción de las distintas variables, no puede tantes, éstos aumentan al producirse aqué-expresarse cuantitativamente el efecto indi- llas, incrementándose a su vez los esfuerzosvidual de cada variable sin tener en cuenta de tensión inclinados. Por lo tanto, al au-los efectos de las demás. Las expresiones mentar el agrietamiento en flexión disminu-que indican cuantitativamente los efectos de ye el valor de la carga de agrietamientolas variables se presentarán posteriormente en inclinado.la sección 7.6, en la forma en que se utilizanpara evaluar la resistencia de elementos su- ESBELTEZjetos a fuerza cortante. Se ha comprobado experimentalmente que7.4.1 Miembros sin refuerzo transversal la capacidad al agrietamiento inclinado de un miembro disminuye al aumentar su es-RESISTENCIA DEL CONCRETO A TENSIÓN beltez, entendiendo por esbeltez la relación entre el claro donde existe la fuerza cortan-Puesto que las grietas inclinadas aparecen te y el peralte. Para vigas con cargas concen-cuando se excede la resistencia del concreto tradas, esta relación puede expresarse comoa esfuerzos de tensión, el efecto de esta varia- M/Vd.ble es obvio: a mayor resistencia a tensión, ma- La disminución en el valor de la cargayor es la carga de agrietamiento inclinado. de agrietamiento al aumentar la esbeltez de Como no existe un procedimiento es- un miembro, puede explicarse teniendo entándar para medir la resistencia del concre- cuenta dos aspectos. Primero, mientras mayorto a tensión, se acostumbra correlacionar la sea la esbeltez, para una misma carga, ma-carga que produce el agrietamiento inclina- yor será el agrietamiento por flexión y por lo ,do de un miembro con la raíz cuadrada de tanto, mayores serán las concentraciones dela resistencia del concreto a compresión. Ex- esfuerzos en la parte superior de las grietas
  • 173. Efectos de las variables en la carga de agrietamiento 177al reducirse la sección disponible para tomar normales de compresión o tensión que dis-la fuerza cortante. Estas concentraciones de minuyen o aumentan, respectivamente, elesfuerzos incrementan el valor de los esfuer- valor de la tensión principal para una mismazos de tensión inclinados y propician el de- carga transversal, según se vio en la secciónsarrollo de la grieta en tensión diagonal 7.1.como continuación de la grieta en flexión.Segundo, en elementos poco esbeltos, en los CORTE DE BARRAS LONGITUDINALESque las cargas están cercanas a los apoyos,los esfuerzos normales de compresión fy (fi- Se ha observado que si se corta un cierto nú-gura 7.1) disminuyen el ,valor del esfuerzo mero de barras longitudinales de tensión enprincipal de tensión y aumentan, por lo tan- una zona en la que existe fuerza cortante, lato, la carga necesaria para producir el agrie- carga de agrietamiento inclinado es menortamiento inclinado. que la que se obtiene cuando no se corta De lo anterior puede observarse que ninguna barra. Esto se debe a que en la sec-tanto la esbeltez como el porcentaje de ace- ción de corte se producen concentracionesro longitudinal influyen en el valor de la car- importantes de esfuerzos que provocan grie-ga de agrietamiento inclinado, debido a la tas por flexión, lo que incrementa los esfuer-interacción que existe en el miembro entre zos cortantes en esta zona y origina, enlos efectos de la fuerza cortante y del mo- forma. prematura, el desarrollo de la grietamento flexionante. inclinada como continuación de las grietas por flexión.RELACIÓN A N C H O A PERALTE DE 7.4.2 Miembros con refuerzo transversalEn series limitadas de ensayes se ha observa-do que a mayor relación ancho peralte, ma- Se ha mencionado ya que el refuerzo trans-yor es la carga de agrietamiento por unidad versal influye muy poco en el valor de lade área de la sección transversal del miem- carga de agrietamiento inclinado y en elbro. La razón de este efecto no se explica comportamiento general del miembro antesaún claramente 17.41. de alcanzarse este nivel de carga. Las medi- ciones de deformación realizadas en barras de refuerzo transversal, muestran que los es- fuerzos en dichas barras son prácticamenteExisten indicios de que la carga de agrieta- nulos antes de que aparezca el agrietamien-miento inclinado es menor mientras mayor to inclinado. Las dimensiones de la grietaes el tamaño del miembro [7.81, aunque es- dependen de la cantidad de refuerzo tranS-te efecto se reduce cuando existe refuerzo versal.longitudinal en las caras laterales de las vi- Las otras variables principales, como lagas 17.301. calidad del concreto, el porcentaje de acero longitudinal, la esbeltez, etc., tienen losCARGA AXlAL efectos descritos en la sección anterior.La aplicación de carga axial en un miembro 7.4.3 Losas planas y zapatasaumenta (cuando dicha carga es de compre-sión) o disminuye (cuando es de tensión) la La información disponible sobre la carga decarga de agrietamiento inclinado, ya que la agrietamiento de estos elementos es muy es-carga axial produce directamente esfuerzos casa, ya que sólo recientemente se ha obser-
  • 174. 1 78 Elementos sujetos a fuerza cortantevado que este fenómeno ocurre en ellas en 7.5.2 Miembros con refuerzo transversalforma parecida a como se presenta enmiembros con flexión en una dirección. To- En términos generales, se han aplicado dosdos los estudios que se han realizado sobre criterios para estimar la resistencia de unlos efectos de las distintas variables han es- elemento con refuerzo transversal. Uno detado enfocados hacia la determinación de la ellos considera que la resistencia a fuerzaresistencia a fuerza cortante y no de la car- cortante se obtiene como la suma de lasga de agrietamiento. La influencia de las va- contribuciones del concreto y del refuerzoriables se describirá, relacionándola con la transversal; es decir, que es igual a la cargaresistencia, en la sección 7.5.3. de agrietamiento inclinado más la contribu- ción directa del refuerzo transversal, calcu- lada utilizando la analogía de la armadura7.5 Efectos de las variables sobre o alguna de sus variantes. En cambio, según la resistencia otro criterio predominante hasta hace algu- nos años, se consideraba que, una vez desa-7.5.1 Miembros sin refuerzo transversal rrollada la grieta inclinada, sólo el refuerzo transversal resiste la fuerza cortante.Del mecanismo de falla expuesto en la sec- En la sección 7.3.2 se afirmó que la in-ción 7.3.1 puede concluirse que las varia- formación experimental con que se cuentables que afectan la capacidad de carga en la actualidad indica que el primer criterioposterior al agrietamiento inclinado son permite predecir con una mayor aproxima-principalmente la resistencia a la compresión ción la resistencia de los elementos que fallandel concreto y la resistencia a esfuerzos de por fuerza cortante. En consecuencia, seráadherencia del acero longitudinal. La prime- este criterio el que se seguirá en la presentera es esencial cuando la falla final es en sección.compresión por cortante, en tanto que la se- Los efectos de las variables en la cargagunda, que depende a su vez de la resisten- de agrietamiento han sido descritos ya en lacia a la tensión del concreto y de las sección 7.4.1. Falta tratar solamente el efec-características mecánicas y geométricas del to del refuerzo transversal. Este efecto de-acero de refuerzo longitudinal, es funda- pende en forma importante del valor delmental cuando el colapso se produce por porcentaje y del esfuerzo de fluencia deladherencia. acero transversal utilizado. Se ha dicho que la capacidad de carga Si el porcentaje de refuerzo transversalen exceso de la carga de agrietamiento de es muy bajo, al producirse la grieta inclina-un elemento sin refuerzo transversal no pue- da se incrementa súbitamente el esfuerzode predecirse, ya que ésta es variable aun en las barras de refuerzo transversal que cru-para elementos que pueden considerarse co- zan dicha grieta, excediéndose el esfuerzomo idénticos. En consecuencia, no es posi- de fluencia y originándose inmediatamenteble realizar un estudio sistemático de los una falla súbita en tensión diagonal, sin queefectos de las variables. la carga externa pueda aumentar sobre Desde un punto de vista práctico, se aquella que produjo el agrietamiento incli-acostumbra considerar la carga de agrieta- nado. Éste es, desde luego, un tipo de fallamiento como la carga máxima confiable del inconveniente.miembro, despreciando la capacidad de car- Si el porcentaje de refuerzo transversalga adicional, aun cuando ésta pueda ser 30 es el comúnmente empleado, la carga exter-por ciento mayor. na puede aumentar después de que se pro-
  • 175. Efectos de las variables sobre la resistencia 1 79duce la grieta inclinada, aumentando los es- les y tangenciales. El lado del área cargadafuerzos en el refuerzo transversal y en el tiene un efecto similar al del peralte, pero deconcreto de la zona de compresión, hasta menor importancia. Esto puede explicarseque se alcanza la fluencia del acero trans- considerando que al aumentar dicha dimen-versal. Cualquier incremento adicional en la sión aumenta el área de la sección críticacarga externa aumentará los esfuerzos en la por esfuerzo cortante.zona de compresión, la que eventualmente E l parámetro M/Vd, que en el caso defallará bajo la combinación de esfuerzos miembros es de cierta importancia, no inter-normales por flexión y esfuerzos tangencia- viene aquí, porque la posición de la secciónles por cortante. Este tipo de falla es menos crítica prácticamente está fija.objetable, puesto que la influencia del acero Existen otras variables de importancia.transversal permite apreciar la inminencia Una de ellas es la presencia de perforaciones yde la falla. agujeros de distintas formas en las cercanías Finalmente, si el porcentaje de refuerzo del área cargada. Éstos son frecuentes en latransversal es muy alto, la falla se producirá práctica para permitir el paso de ductos y otrasen la zona de compresión bajo un estado de instalaciones. Otra variable es la forma del áreaesfuerzos combinados, sin que se produzca la cargada. También se ha encontrado que la res-fluencia del acero en el alma del elemento. tricción o desplazamiento en el plano de la lo-Este tipo de falla no es tan súbito como el pri- sa y la velocidad de aplicación de la cargamero, pero es menos dúctil que el segundo. influyen en la resistencia. Algunas de estas va- riables han sido estudiadas y se presentan re-7.5.3 Losas y zapatas comendaciones específicas al respecto en el Reglamento ACI 31 8-02 y en las NTC-04.En este caso influyen en el valor de la resisten- La presencia de refuerzo transversal for-cia algunas de las variables consideradas en el mado por barras no evita el colapso final porcaso de miembros y otras particulares de estos perforación, aunque esta perforacion puedeelementos, debidas a la acción de flexión en presentarse a deformaciones considerablesdos direcciones y a que la posición de la sec- cuando ya se ha desarrollado la capacidadción crítica está dentro de límites muy estrechos. por flexión del elemento. La resistencia del concreto a tensión in- Otra variable importante en el caso defluye de la misma manera que en miembros. losas y zapatas es la presencia de un momen-El efecto de la cantidad de acero de flexión, to flexionante que actúe simultáneamente conque en miembros se expresa en función de la la carga axial. Este caso, ilustrado en la figurarelación acero p, en losas se toma en cuenta a 7.10, es común en columnas perimetrales detravés de su resistencia en flexión. Esto se jus- estructuras a base de losas planas, así comotifica considerando que las losas y zapatas por en las columnas interiores de estos sistemaslo común son subreforzadas, y que, por lo cuando los claros contiguos difieren en longi-tanto, su resistencia a flexión es prácticamen- tud y carga o cuando la estructura está sujetate proporcional a la cantidad de acero. a fuerzas horizontales importantes. También Se ha encontrado que el peralte de la se presenta esta situación en columnas quelosa o zapata en la sección crítica y el lado deben transferir una carga axial y un momen-del área cargada (lado de la columna), influ- to a una zapata. El momento que debe trans-yen en forma importante en la resistencia. La ferirse es resistido en parte por flexión en las influencia del peralte es obvia: a mayor pe- caras AB y CD y en parte por excentricidad de ralte, mayor resistencia, ya que aumenta el la fuerza cortante que actúa en la sección crí- área disponible para tomar esfuerzos norma- tica. Los momentos torsionantes producen es-
  • 176. 180 Elementos sujetos a fuerza cortante (e) d = peralte efectivo Figura 7.10 Efecto de momento flexionante combinado con carga axial.fuerzos cortantes (figura 7.1 Oc), que se suman recomendaciones esenciales del Reglamentoa los correspondientes a la carga axial (figura ACI 318-02 y de las NTC-04 del Reglamento del7.1 Ob). La distribución de esfuerzos cortantes Distrito Federal están basadas en el trabajoresultantes se ilustra en la figura 7.10d. Por del Comité ACI-ASCE 326 y en las revisionestanto, la presencia del momento flexionante hechas posteriormente por ese mismo comité,reduce la resistencia con respecto al caso en ahora con el número 426, presentadas en lasque sólo actúa la carga axial. (El cálculo de referencias 7.1 2 a 7.1 5 y 7.29. En las seccio-estos esfuerzos se expone en el inciso 7.6.1 c). nes 7.6.1 y 7.6.2 se incluyen las recomenda- ciones específicas del Reglamento ACI 318-02 y de las NTC-04, respectivamente.7.6 Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza 7.6.1 Expresiones del reglamento ACI* cortante a) Miembros sin refuerzo transversalEn la mayoría de los reglamentos, los efectosde las variables estudiados anteriormente se El Reglamento ACI 31 8-02 presenta un pro-expresan por medio de fórmulas sencillas, cedimiento simplificado y otro más detalla-con ciertas limitaciones y restricciones. do para calcular la resistencia nominal de Las expresiones propuestas reflejan los * Las constantes que aparecen en las expresiones de estaefectos de las variables principales, dentro de sección y de la siguiente son en muchos casos dimen-los límites de la información experimental. Las sionales. Cuando las ecuaciones están numeradas en la
  • 177. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 181elementos sin refuerzo transversal. Según el El factor (1 + 0.0071 Nu/Ag) cuantifica elprimero, la resistencia a fuerza cortante de efecto de la carga axial de compresión, que,un elemento sujeto únicamente a flexión y como ya se ha mencionado, incrementa la re-cortante puede calcularse con la ecuación sistencia debido a que reduce los esfuerzos de tensión y el agrietamiento en las vigas. Para vigas sujetas a cargas axiales de tensión significativas, el Reglamento ACI o bien, en sistema SI 31 8-02 especifica, en el procedimiento sim- plificado, que toda la fuerza cortante sea re- . sistida por estribos, esto es, que no se 1 v, = 0.ip (7.6 SI) considere la contribución del concreto. Con el procedimiento más detallado del donde Reglamento ACI 3 1 8-02, la resistencia de un miembro sin refuerzo en el alma y sometido V = resistencia nominal, que correspon- , únicamente a flexión y fuerza cortante se de a la carga de agrietamiento. calcula con la siguiente ecuación b = ancho del alma de secciones T o 1, o ancho total si la sección es rectangu- lar. d = peralte efectivo del refuerzo longitu- dinal de tensión. Si el elemento está sujeto además a car-ga axial de compresión, la resistencia se cal- o biencula con la ecuación o bien donde donde Nu = carga axial de compresión que ac- p = relación de acero longitudinal, As/bd. túa sobre el miembro multiplicada As =.área de acero longitudinal. por el factor de carga apropiado. V = fuerza cortante en la sección consi- , Ag = área total de la sección transversal. derada, multiplicada por el factor de carga apropiado.forma usual, con dígitos únicamente, las fuerzas están en Mu= momento flexionante en la secciónkg. los esfuerzos en kg/cm2 y las dimensiones de longi- considerada, multiplicado por eltud y área en cm y cm2. Cuando el número de la ecuación está seguido de factor de carga apropiado. S i Mueslas letras SI, las fuerzas están en N, los esfuerzos en MPa, menor que V d se toma igual a es- , ,Y las dimensiones de longitud y el área en mm y mm2. te producto.
  • 178. 182 Elementos sujetos a fuerza cortante La ecuación 7.8 toma en cuenta dos va- o bienriables mencionadas en la sección 7.4 que tie-nen efecto sobre la carga de agrietamiento: larelación de acero longitudinal, p, y la esbeltezexpresada por el término Vud/Mu. Las resis-tencias calculadas con esta ecuación son ma-yores que las calculadas con el procedimientosimplificado, pero la labor numérica se com- en las que N, tiene signo negativo por ser deplica sustancialmente como se verá en los tensión.ejemplos que se presentan más adelante. En las ecuaciones 7.6 a 7.1 1 el valor de El efecto de una carga axial de compre- fC debe limitarse a 700 kg/cm2 (70 MPa). Estasión se toma en cuenta disminuyendo el valor restricción se establece porque se ha encon-del momento flexionante Mu en la ecuación trado en algunos ensayes que las ecuaciones7.8, sustituyéndolo por el valor M dado por , tienden a sobrestimar la resistencia a fuerza cortante cuando se usan concretos de alta re- sistencia, debido a que en éstos las superfi- cies de agrietamiento resultan menos rugosas que en concretos normales, lo que reduce la carga que resiste por el efecto de trabazóneliminando la restricción VdM ,/ , G 1 y sin entre los agregados [7.25, 7.261.que la resistencia Vc exceda el valor La resistencia de diseño se obtiene, como en el caso de las otras acciones ya estudiadas, multiplicando la resistencia nominal calcula- da con alguna de las ecuaciones anteriores por el factor de resistencia, 4, que para fuer- za cortante debe tener el valor de 0.75. Esta o bien resistencia de diseño, 4 Vc, debe ser igual o mayor que la fuerza cortante que actúa en la sección crítica por cortante, la cual, debido principalmente a los esfuerzos verticales de compresión que existen en los apoyos del ele- mento, no se presenta en la cara del apoyo si- En estas ecuaciones no a una cierta distancia de la misma. De la observación del agrietamiento de gran núme- M = momento flexionante modificado. , ro de ensayes en cortante se ha concluido que N, = carga normal a la sección transver- la grieta inclinada se inicia generalmente a sal, positiva s i es de compresión. una distancia de la cara del apoyo no menor h = peralte total de la sección transversal. que d. Teniendo esto en cuenta, el Reglamen- Ag = área total de la sección transversal. to ACI especifica considerar como sección crítica por cortante, la situada a una distancia Para cargas axiales de tensión importan- d de la cara del apoyo. Sin embargo, para pre-tes, la resistencia puede calcularse con la venir el posible desarrollo de grietas inclina-ecuación das más cercanas al apoyo, no debe reducirse el área de la sección transversal entre la cara del apoyo y la sección crítica. Cuando el apo- yo es de naturaleza tal que no se inducen es-
  • 179. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 183fuerzos de compresión, la sección crítica de- la suma de la resistencia del concreto calcu-be tomarse en el paño de apoyo. lada como se indica en la sección anterior, y En la figura 7.1 1 se ilustra la localización de la contribución a la resistencia del refuer-de la sección crítica para algunos casos típicos. zo en el alma, o seaE los casos (a) y (b) existen esfuerzos vertica- nles de compresión cerca del apoyo y la seccióncrítica se presenta a una distancia d de la caradel apoyo. En el caso de la figura 7.1 1c el ele- dondemento horizontal está colgado del elementovertical que trabaja a tensión; como no hay es- Vn = resistencia nominal de un miembrofuerzos de compresión en el elemento horizon- con refuerzo en el alma.tal, la sección crítica debe considerarse en la V, = resistencia del concreto.cara interior del elemento vertical. En el caso V, = contribución del refuerzo en el alma.de la figura 7.1 1d existe una carga concentra-da cerca del apoyo que hace que el valor de la La contribución del acero en el alma sefuerza cortante dentro de la distancia d sea calcula con base en la analogía de la arma-mucho mayor que en el resto de la viga; la sec- dura presentada en la sección 7.3.2, supo-ción crítica debe tomarse también en la cara niendo que el refuerzo en el alma fluye en ladel apoyo. falla. La expresión que se presenta en el Re- glamento ACI 31 8-02 puede deducirse de la b) Miembros con refuerzo transversal ecuación 7.5 haciendo z = d simplificación , que puede aceptarse teniendo en cuenta laLa resistencia a fuerza cortante de miembros poca precisión con que pueden valuarse loscon refuerzo en el alma se considera igual a efectos de las variables secundarias. Con es- ta simplificación se obtiene ~,f,(sen a + cos a) d v, = (7.1 3) S donde A = área total del refuerzo en el alma en , una distancia S, medida en dirección paralela al refuerzo longitudinal. a = ángulo entre las barras o estribos de refuerzo en el alma y el eje longitu- dinal del miembro. S = separación de estribos o barras do- bladas, medida en dirección parale- la a la del refuerzo longitudinal. En el caso de estribos perpendiculares al refuerzo longitudinal ( a = 90°), la ecua- ción 7.1 3 se reduce aFigura 7.11 Localización de la sección críticapara fuerza cortante en algunos casos típicos (referencia 7.27).
  • 180. 184 Elementos sujetos a fuerza cortante El valor de V en ningún caso debe ser , tivo del elemento. El Reglamento ACI 31 8-mayor de 2 /7;; b d (0.64 /7;; bd en siste- 02 especifica a este respecto que la separa-ma SI), ya que si se tuviese una cantidad ex- ción de estribos perpendiculares al ejecesiva de refuerzo en el alma, no se longitudinal de un elemento no exceda degarantizaría que la resistencia total fuese lasuma de la resistencia del concreto y de la d/2 ni de 60 cm. Cuando V excede de , e bd, estas separaciones deben reducirse a la mitad.contribución del acero. El Reglamento ACI Teniendo en cuenta que el corte de ba-318-02 también especifica que el esfuerzo rras longitudinales en zonas de tensión ori-de fluencia de diseño del refuerzo en el al- gina concentraciones de esfuerzos importantesma no exceda de 4200 kg/cm2. La contribu- que propician el desarrollo de grietas porción del refuerzo a la resistencia nominal tensión diagonal, el Reglamento ACI 318-02debe afectarse del mismo valor de 4, o sea, (sección 12.10.5) impone ciertas limitacio-0.75, para obtener la contribución a la resis- nes a tal práctica. Para que sea admisibletencia de diseño. cortar barras longitudinales en zonas de ten- Además de aumentar la resistencia a sión, debe satisfacerse una de las siguientesfuerza cortante, el refuerzo transversal au- condiciones: a) la fuerza cortante en la zonamenta la ductilidad y proporciona un aviso de corte no es mayor que los dos tercios dede falla que no poseen los elementos sin di- la fuerza cortante permisible, incluyendo elcho refuerzo. Este refuerzo resulta de gran efecto del refuerzo en el alma; b) se propor-valor cuando se presentan fuerzas imprevis- cionan estribos adicionales a lo largo de latas en la estructura, lo que evita fallas catas- barra cortada en un distancia 3d/4, a partirtróficas. Por esta razón, se recomienda en del punto de corte; estos estribos adicionalesgeneral colocar una cantidad mínima de di- deben tener un área no menor que 4.2 bslfycho refuerzo transversal. En este sentido, el y la separación no debe exceder de d/8Bb,Reglamento ACI 31 8-02 recomienda colocar donde Pb es la relación entre el área de ba-un área mínima igual a rras cortadas y el área total, y c) las barras que se continúan tienen un área por lo me- nos del doble de la requerida por flexión en el punto de corte, y el cortante no excede de o bien las tres cuartas partes del permitido. La intención de estas limitaciones es te- ner en cuenta los efectos perjudiciales del corte de barras que han sido observados en ensayes realizados por Ferguson 17.51 y Ba-en cualquier sección en la que la fuerza cor- ron 17.61.tante, afectada por el factor de carga, exce- Se aprecia que estas recomendacionesda de la mitad de la resistencia de diseño del son engorrosas en aplicaciones prácticas. Laconcreto, 4 Vc. Se exceptúan de esta reco- más sencilla de observar es la primera, la cualmendación losas, zapatas y vigas anchas. puede cumplirse prolongando el refuerzo de Los reglamentos limitan también la se- tensión o aumentando los estribos.paración del refuerzo transversal cuando és-te se considera necesario. En general, se trata c) Losas y zapatasde impedir que pueda desarrollarse una grie-ta inclinada a 45" sin que sea interceptada El Reglamento ACI 31 8/02 distingue dos po-por una barra en la zona comprendida entre sibles tipos de falla: como viga y como losa.el refuerzo de tensión y el semiperalte efec- En el primero, la losa se considera como una
  • 181. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 185viga ancha en la cual se puede presentar el misma forma que la columna que transmiteagrietamiento inclinado, en forma similar a o recibe la carga y dista de ella una distan-la descrita anteriormente para miembros, en cia uniforme de dl2; para losas con refuerzouna sección crítica localizada a una distan- en el alma, la sección crítica puede tenercia d del apoyo o de la cara de una carga forma distinta, como se puede ver en la figuraconcentrada. El cálculo de la resistencia pa- 7.1 3. El factor a, tiene un valor de 10 para co-ra este caso es igual al presentado en las sec- lumnas interiores, 7.5 para columnas de bor-ciones 7.6.1 a y 7.6.1 b. de y 5 para columnas de esquina. La falla como losa corresponde a la des- Para columnas cuadradas o de forma nocrita en la sección 7.2.3, o sea, a la penetra- alargada, se ha encontrado que el esfuerzoción de un cono o pirámide truncada en la cortante& en la sección crítica es l/f;;losa. La resistencia de una losa sin esfuerzo (0.32 d/f; sistema SI). En estos casos rige enpara cortante será, en este caso, el menor de generalmente la ecuación 7.1 8. Sin embar-los tres valores siguientes: go, también se ha encontrado que el esfuer- zo cortante disminuye en columnas de forma alargada, en las que rige generalmen- te la ecuación 7.1 6. La ecuación 7.1 7 toma en cuenta que la resistencia disminuye para valores pequeños de la relación dl ,. b Existen varios tipos de refuerzo trans- versal para losas y zapatas cuya función es restringir el agrietamiento potencial que de- fine el cono o pirámide truncada de falla mostrado en la figura 7.6. Esta función es si- milar a la de los estribos o barras dobladas usados en vigas. o bien, en sistema SI: En la figura 7.12 se muestra un tipo de refuerzo que consiste en crucetas formadas por perfiles de acero estructural que se colo- can sobre la columna. Estas crucetas despla- zan la sección de falla alejándola de la columna, como se muestra en la figura 7.1 3, %=( 4, "d + 05 . f i &,d (7.17 SI) con l o cual aumenta el perímetro de dicha sección y como consecuencia, aumenta tam- , bién la resistencia a cortante, al mismo tiempo que disminuye la fuerza cortante en la sec- ción crítica. Otro tipo de refuerzo, más sencillo en El factor pCes la relación entre el lado su procedimiento de construcción, es el mos-largo y el lado corto de la columna que trado en la figura 7.14. Consiste en crucetastransmite la carga a la losa. El término boes el formadas por estribos del mismo tipo queperímetro de la sección crítica, la cual se lo- los usados en vigas [7.10]. Cuando se usacaliza de tal manera que su perímetro sea este refuerzo, la sección de falla se desplazamínimo, pero que no se acerque a la columna en la misma forma indicada en la figura 7.1 3.una distancia menor que dl2. Para losas sin El dimensionamiento del primer tipo derefuerzo en el alma, la sección crítica tiene la refuerzo no se incluye en este texto. El lec-
  • 182. 186 Elementos sujetos a fuerza cortante Figura 7.12 Refuerzo para cortante en losas a base de perfiles estructurales. a) Sin refuerzo 1 e, cv - cl2 b) Refuerzo ligero C) Refuerzo pesado Figura 7.1 3 Localización de la sección crítica.
  • 183. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 187tor puede consultar la referencia 7.9. Para eficacia en algunos ensayes, es el mostradocalcular la resistencia con el refuerzo mos- en la figura 7.1 5. Consiste en pernos con cabe-trado en la figura 7.1 4, se suman las resisten- za soldados en su parte inferior a una placa ocias del concreto, V y del acero, V,, para ,, solera [7.24]. El tallo del perno desempeñaobtener la resistencia total. La primera se el mismo papel que las ramas verticales decalcula con la expresión los estribos del refuerzo anterior y las cabezas sirven de anclajes. La resistencia se calcula V = 0.5 , b, d (7.1 9) también igual que en el caso anterior. Experimentos real izados en los labora- torios de la Portland Cement Association (Skokie, 1 1) indican que se puede tomar en 1. cuenta la reducción de la resistencia a fuerzay la segunda con la ecuación 7.14, sumando cortante producida por la presencia de agu-las resistencias de los cuatro brazos (en colum- jeros en la cercanía de una columna, reducien-nas de borde serán tres brazos y en columnas de do el perímetro b en la longitud interceptada ,esquina, dos brazos). La suma de las resisten- por las dos tangentes a los bordes del aguje-cias V y V no debe considerarse mayor que , ro trazadas desde el centro del área cargada, 1.5&bod, o bien, 0.48flb0d en sistema SI. tal como se muestra en la figura 7.1 6. Según Un tercer tipo de refuerzo en el alma el Reglamento ACI 31 8-02, esta reducción de-para losas, que también ha desmostrado su be tenerse en cuenta sólo cuando la distan- DETALLE DE LOS ESTRIBOS Figura 7.14 Refuerzo para cortante en losas a base de estribos. placas de anclaje área de anclaje 3 10 veces el área del tallo columna interior - 3 213 D t diámetro D solda- 32.5 D crítica Y SECCI~N - A A (b) (c) Figura 7.15 Refuerzos para cortante en losas a base de pernos.
  • 184. 1 88 Elementos sujetos a fuerza cortantecia del agujero al apoyo es menor que diez d) Comentarios sobre las expresionesveces el peralte efectivo. del Reglamento ACI 3 18-02 Al final de la sección 7.5.3 se presentóel caso de losas que, adicionalmente a la La ecuación 7.8 fue propuesta originalmentecarga axial, transferían un momento a la co- por el comité 326 con base en los ensayes rea-lumna. Se dijo que una parte del momento lizados hasta 1963. Se incluyó en el Reglamen-se transfería por flexión y otra parte por mo- to ACI de 1971 y nuevamente en los de 1977mentos torsionantes, que producían esfuer- a 2002. Sin embargo, se le han señalado al-zos cortantes adicionales a los producidos gunas limitaciones importantes que se resu-por la carga axial (figura 7.1 0). El Reglamen- men a continuación.to ACI 31 8-02 especifica que la fracción del El análisis de ensayes posteriores a 1963momento total que se transmite mediante ha mostrado que la ecuación mencionada damomentos torsionantes se calcule multipli- resultados del lado de la inseguridad para ele-cando el momento total por el factor y, de- mentos con relación de acero longitudinal in-finido por la ecuación ferior a 0.01 y valores de Vud/Mu inferiores a 0.5. Se ha propuesto la siguiente ecuación que toma en cuenta estos factores 17.21donde cl es el lado de la columna en la di- o bienrección en que se transmite el momento, yC* en la dirección perpendicular (figura7.1 O). El esfuerzo máximo vi mostrado en lafigura 7.1 0 d no debe exceder los valores de También se ha señalado que el efecto del(Vc/bod) obtenidos con las ecuaciones 7.1 6, término Vud/Mu es poco significativo para vigas7.1 7 o 7.1 8, si se trata de losas sin refuerzo con valores de la relación de esbeltez ald ma-en el alma. Si la losa tiene refuerzo en el alma, yores que dos. Además, una vez que se desarro-el esfuerzo máximo vl no debe exceder el 1la el agrietamiento inclinado se presenta ciertavalor de (Vc + V,)lbod, calculando Vc con la acción de arco en la viga y como consecuenciaecuación 7.1 9 y V con la ecuación 7.14. E l , de esta acción, la distribución de esfuerzos deárea Av de esta ecuación debe ser la de las flexión no corresponde ya al diagrama de mo-ramas de los estribos de todas las vigas ficti- mentos flexionantes, por lo que el significadocias de la figura 7.14. El valor de v l se pue- del término Vud/Mu pierde sentido [7.14].de calcular con la expresión siguiente Por las razones anteriores, y por la dificul- tad operativa de manejar el término Vud/Mu, se ha propuesto sustituir la ecuación del Re- glamento ACI que se utiliza para calcular la resistencia del concreto por la siguiente El parámetro / es un momento polar de ecuación 17.14, 7.1 51inercia modificado que corresponde a la sec-ción crítica. En la figura 7.1 7 se presentan valo-res de este parámetro para columnas interiores,exteriores y de esquina. El significado del térmi-no y, se muestra también en la figura 7.1 7.
  • 185. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 189 7 cargada Área -- Sección crítica Figura 7.16 Reducción en el perímetro de la sección crítica por la p;esencia de un agujero. Secciónb, = c, +d .zo cortante máximo (a) Losa sobre columna interior V 1 I A Eje centroidal r d e la sección crítica l I B - esfuerzo cortante máximo (b) Losa sobre columna de borde con momento perpendicular al borde Figura 7.17 Valores del parámetro / sobre columnas interiores y de borde.
  • 186. 1 90 Elementos sujetos a fuerza cortante - (c) Losa de borde con momento paralelo al borde I b , = cl + 0.5d I D CI1-A . , c L, - L B C J=- ld3 12 + 12 + b,d (4 - Y,) 2 + b2dy/ Id) Losa de esquina Figura 7.1 7 (Continuación) Esta ecuación resulta más fácil de apli- nes especiales cuando una viga secundariacar y los valores calculados con ella con- se une a una viga principal en tal forma q u ecuerdan razonablemente bien con los medidos el lecho inferior de la viga principal diste d e lexperimentalmente. lecho inferior de la viga secundaria menos Otras modificaciones que se han pro- de la mitad del peralte de la viga secundaria.puesto a las normas incluidas en el Regla- En este caso se considera que la viga secun-mento ACI consisten en ecuaciones diferentes daria está colgada de la principal, y d e b e na las actuales para calcular el efecto de car- colocarse estribos que resistan por sí solos l agas de compresión y de tensión t7.201, en la totalidad de la fuerza cortante que transmiteuniformización de criterios para concreto re- la viga secundaria a la principal. Estos estribosforzado y presforzado (que no se comentan deben quedar dentro de una distancia de laen este texto, ya que no incluye concreto mitad de la altura de la viga secundaria a ca-presforzado) y en la inclusión de precaucio- da lado de la intersección de las dos vigas.
  • 187. Expresiones para evaluar la resistencia a efectos de fuerza cortante 191 En relación con el diseño de losas y za- con respecto al propuesto en las referenciaspatas con refuerzo transversal, el procedi- 7.14 y 7.1 5, y también al incluido en versio-miento del ACI, al considerar que el área de nes anteriores de las NTC, para tomar en A v es la de todas las ramas de las vi- cuenta información reciente [7.30]. Este re-gas ficticias de la figura 7.1 4, está suponien- glamento establece que las ecuaciones 7.24do que el refuerzo transversal debe ser y 7.25 se aplican a miembros cuya relaciónsimétrico con respecto a la columna, aun- claro a peralte total no sea menor que cua-que los esfuerzos varíen en cada cara según tro. También establece que si el peralte to-se muestra en la figura 7.1 7. En las NTC no tal es mayor que 70 cm, la resistencia calculadase hace esta suposición, como se verá más se reduzca multiplicándola por el factoradelante, y en algunas referencias se propo- [l-0.004 (h-70)], el cual no deberá tomarsenen también procedimientos alternativos mayor que 1 .O ni menor que 0.8. Esta reduc-[7.31, capítulo 161. ción se basa en recomendaciones presenta- das en la referencia 7.13 que toman en7.6.2 Expresiones de las NTC-04 del Regla- cuenta el efecto del tamaño de la sección, mento del Distrito Federal efecto que se ha analizado anteriormente en este texto. a) Miembros sin refuerzo transversal Las NTC-04 permiten tomar en cuenta la contribución a la resistencia del patín aLa resistencia nominal de estos miembros se compresión en secciones i,1 o L. Esto se lo-calcula con las siguientes ecuaciones, según gra sumando la cantidad t2 al área bd de lasla relación de refuerzo: ecuaciones 7.24 o 7.25, en el caso de vigas . T e 1 y t 2/2 en el caso de vigas L. En estos casos, b representa el ancho del alma, y t el espesor del patín. El efecto de una carga axial de compre- sión se toma en cuenta multiplicando la re- sistencia calculada con las ecuaciones 7.24 o 7.25 por el término [1 + 0.007 (Pu/Ag)], 11 + 0.07 (P,/Ag)I en sistema SI, donde P es , la carga axial multiplicada por el factor de carga y Ag el área gruesa de la sección, siempre que P no exceda de [0.7 f*, Ag + , 2000 A,], L0.7 f*,A6 + 200 A,] en sistema SI. Cuando la carga axial es mayor que este va- lor, lo cual sucede con cargas axiales muy elevadas, la resistencia a cortante se va dis- minuyendo linealmente desde el valor co- rrespondiente al límite anterior hasta un Se puede ver que las ecuaciones 7.24 y valor nulo para la resistencia a compresión7.25 son muy similares a la ecuación 7.23 axial, o sea, para P = Ag f ; + A, fy. , propuesta en las referencias 7.1 4 y 7.1 5. En En el caso de cargas axiales de tensión, lalas primeras se utiliza la resistencia reducida resistencia obtenida con las ecuaciones 7.24 of*cf en vez de fC como en todas las NTC-04. 7.25 se multiplica por el factor [ l + 0.03El valor de p para el cual se cambia de la (Pu/Ag)l, [ l + 0.3 (P,/Ag)l en sistema SI, dondeecuación 7.24.a la 7.25 se ha incrementado P tiene signo negativo por ser de tensión. Se ,
  • 188. 192 Elementos sujetos a fuerza cortanteve que este procedimiento es similar al ex- especifica colocar estribos verticales por lopresado por la ecuación 7.1 1 para el Regla- menos del No. 2.5, espaciados a cada me-mento ACI 3 18-02. dio peralte efectivo, que proporcionen un Cuando existan cargas axiales, el valor área mínima dede la relación de refuerzo, p, que se utilicepara determinar si se usa la ecuación 7.24 ola 7.25, se calcula usando el área de las ba-rras de la capa de refuerzo más próxima a lacara de tensión, o a la cara de compresiónmímima, en secciones rectangulares, o to-mando un área de acero igual a 0.33 A en ,secciones circulares. En estas últimas, bd sesustituirá por Ag: La resistencia de diseño, VcRl se obtiene Cuando V es mayor que V R pero menor , clmultiplicando la resistencia nominal, Vc, por o igual a 1.5 FR bd(0.47 FR bd enun factor de resistencia, FR, igual a 0.80. sistema SI), el espaciamiento de estribos no debe exceder de 0.5 d. Si Vu es mayor que b) Miembros con refuerzo transversal 1.5 FR e bd, el espaciamiento no debe ser mayor que 0.25 d.Los criterios del Reglamento del Distrito Fe- También se presentan en las NTC-04 li-deral son los mismos que los del Reglamen- mitaciones sobre interrupciones y traslapesto ACI. La resistencia es igual a la suma de la del refuerzo longitudinal. Se especifica al res-contribución del concreto y de la contribu- pecto que en tramos comprendidos a un peral-ción del acero. La primera se calcula con las te efectivo de las secciones donde, en zonasecuaciones de la sección anterior y la segun- de tensión, se interrumpa más que 33 porda con las ecuaciones 7.13 y 7.14. Se per- ciento, o traslape más que 50 por ciento delmite usar esas mismas ecuaciones para refuerzo longitudinal, la fuerza cortante má-secciones circulares, sustituyendo d por el xima que puede tomar el concreto se consi-diámetro de la sección. dere de 0.7 VcR. La resistencia de diseño se obtiene mul-tiplicando la resistencia nominal por un fac- c) Losas y zapatastor FRigual a 0.80, o sea, igual al de miembrossin refuerzo transversal. También se especifica revisar dos condicio- No se permite que la resistencia de di-seño total de vigas exceda de 2.5 FR(0.8 FR fl * bd bd en sistema SI), ni la de co- nes: la de viga ancha y la de cortante por penetración. La primera, con los procedi- mientos usuales para vigas, y la segunda, comoceda de 2.0 FR *lumnas o elementos de marcos dúctiles ex- bd (0.64 FR -/fXC bd ensistema SI), ni usar estribos con esfuerzo de se describe a continuación. Se calculan los esfuerzos cortantes má- ximos con la ecuación 7.21 y con los valo-fluencia mayor de 4200 kg/cm2 (420 MPa), res que se proporcionan en la figura 7.1 7.por las razones expuestas en la sección Desde luego, si no hay transmisión de7.6.1 b. momentos, el segundo término del segundo En vigas en las que la carga de diseño, miembro de esta ecuación es nulo. El esfuer- V sea menor que la resistencia del concre- ,, zo cortante máximo calculado de esta ma-to, VcRl y en las que por lo tanto no se reque- nera, como el VAB de las figuras 7.1 7a y b,riría teóricamente refuerzo por cortante, se no debe exceder el menor de los siguientes
  • 189. Ejemplos 193valores, a menos que se coloque refuerzo La diferencia entre V, y VcRserá la fuer-transversal: za V, que debe tomar el refuerzo transversal de cada rama. La separación de los estribos necesarios se calcula con las ecuaciones 7.13 o 7.14 según el caso. Con el procedimiento de las NTC, el re- fuerzo transversal no resulta simétrico alre- dedor de las columnas, como en el caso del Reglamento ACI. La separación de los estri- bos depende de la magnitud de los esfuerzos máximos en cada cara de la columna. El es- fuerzo ,á ,, v calculado como ya se ha descri- to, no debe exceder de 1.3 FR L0.4 FR e en sistema SI]. En el ejemplo 18.1 se ilustra la aplicación de este método en el ca- so de una losa plana. 7 7 Ejemplos .donde y es la relación de lado corto a ladolargo. Aun cuando no se excedan estos valores, Ejemplo 7.1. En este ejemplo se ilustra la de-debe colocarse un esfuerzo mínimo como el terminación de la resistencia a fuerza cor-indicado en la figura 7.1 4, consistente en es- tante de una viga simplemente apoyada, contribos no menores del No. 2 espaciados a no las características de refuerzo y dimensionesmás de d/3 y en una longitud no menor a un mostradas y sujeta a una carga concentradacuarto del claro correspondiente. Estas dispo- en el centro y una carga uniformemente re-siciones son equivalentes a las de las ecua- partida. La revisión se hizo siguiendo los dosciones 7.1 8 y 7.1 6 del Reglamento ACI. criterios previstos en el Reglamento ACI Si se requiere refuerzo en el alma, se pro- 318-02:cede de la siguiente manera. Se supone quelas vigas ficticias indicadas en la figura 7.14 a) Considerando que la contribucióntienen un ancho, b, igual al peralte de la losa, del concreto está dada pord, más el lado de la columna perpendiculara la viga que se esté analizando (b = c + d .La )fuerza cortante en cada rama de las vigas fic-ticias se calcula multiplicando el esfuerzo má-ximo en la cara correspondiente, calculado b) Considerando que la contribucióncon la ecuación 7.21, por la sección trans- del concreto está dada porversal de viga ficticia, bd, de tal manera que V,., = v,~, db. A continuación se calcula la contribución del concreto con la ecuación
  • 190. 194 Elementos sujetos a fuerza cortante Para aplicar el criterio b, según el cual resistencia es ligeramente escasa, mientras quela contribución del concreto a la resistencia según el criterio b, es ampliamente suficien-depende de la interacción entre el momento te. (En el ejemplo los subíndices iy d indi-y la fuerza cortante, fue necesario calcular can izquierda y derecha, respectivamente.)estas acciones en varias secciones de la viga Puede apreciarse que el criterio b impli-(el cálculo correspondiente no se incluye en ca mayor complicación numérica que el a,el ejemplo). Se consideraron secciones a ca- pero permite un mejor aprovechamiento deda metro y secciones con alguna caracterís- los materiales.tica particular. La sección 1, situada a una De acuerdo con las propuestas de mo-distancia del paño del apoyo igual al peralte dificación del Reglamento ACI 31 8-77 for-efectivo (0.67 m), o sea, a 0.77 m del centro muladas en las referencias 7.1 4 y 7.1 5, ladel apoyo, es la sección crítica para cortan- contribución del concreto debe calcularsete, como se indicó en la sección 7.6.1. La con la expresiónsección 4, situada a 2.35 m del apoyo, se en-cuentra a la mitad de la distancia entre el úl-timo de los estribos con separación de 25cm y el primero de los estribos con separa-ción de 30 cm. Puede considerarse que esen esta sección donde cambia la contribu- Aplicando esta expresión a la sección 1ción del acero, debido al cambio en la sepa- del ejemplo resultaración de estribos. En la sección 2, a 1 .Ometro del centro de apoyo, se calcularondos valores de Vc, uno a la izquierda y otroa la derecha, ya que el valor de p, que inter-viene en el cálculo de V cambia en esta ,, = 14, 911 kg = 14.9 tonsección. En todos los cálculos, para mayor senci- valor superior al calculado con el criterio allez, se consideró que el valor del peralte efec- del Reglamento ACI 31 8-02 y menor que eltivo es 0.67 m. Esto no es rigurosamente obtenido al aplicar el criterio b de dicho Re-cierto en las regiones donde el refuerzo Ion- glamento.gitudinal se encuentra en un solo lecho. Es- Según el Reglamento ACI 31 8-02, en elta simplificación influye poco en la precisión lugar de corte de barras longitudinales debede los resultados. Los cálculos para determi- satisfacerse uno de los requisitos reseñadosnar la contribución del concreto según el en la sección 7.6.1 b.criterio b se presentan en forma tabulada en El primero, que exige que la fuerza cor-el ejemplo. También se comparan las resis- tante actuante en la sección de corte no ex-tencias totales, sumas de las contribuciones ceda las dos terceras partes de la fuerzadel concreto y del acero, según las dos alter- cortante resistente no se cumple, ya quenativas examinadas. Las contribuciones tan-to del concreto como del acero han sido V = 18 ton ,afectadas del coeficiente de reducción 4,que según el Reglamento del ACl debe to- ,V = 19.6 ton ,marse igual a 0.75 en el cálculo de la resis-tencia a fuerza cortante (sección 7.6.1 a). Losresultados se muestran gráficamente. Obsér-vese que en la sección 1, según el criterio a, la
  • 191. Ejemplos 195
  • 192. 1 96 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 193. Ejemplos 197
  • 194. 198 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 195. Es fácil comprobar, además, que tampo- distancia del centro delco se cumplen las otras dos condiciones, por apoyo al le. estribo = 15 + 7.5 = 22.5 cmlo que será necesario aumentar el esfuerzo nueve espacios de 15 cm, 135.0transversal adecuadamente. mitad de la distancia al siguiente estribo 10.0 longitud de zona de influencia 167.5 cmEjemplo 7.2. La viga de este ejemplo es de Siguiendo una práctica usual, la posi-sección T y está sometida a momentos positi- ción del primer estribo se determinó suman-vos y negativos. La resistencia a fuerza cortan- do a la mitad del ancho del apoyo la mitadte se determinó aplicando las indicaciones de la separación de los estribos siguientes.de las NTC-04. Los cálculos de la resistencia disponible Por tratarse de una sección T en los , se presentan en forma tabular en el ejemplocálculos de la contribución del concreto a para diversas secciones de interés. Como enla resistencia se tomó como ancho el co- el ejemplo 7.1, los subíndices i y d indican,rrespondiente a la nervadura o alma. Al apli- respectivamente, izquierda y derecha. Entrecar la expresión 7.24, que rige cuando las secciones consideradas pueden mencio-p < 0.015, debe utilizarse el valor de p co- narse las siguientes. Las secciones c, d y hrrespondiente al acero de la sección en estu- son las secciones críticas, situadas a una dis-dio que se encuentre del lado de la tensión. tancia de la cara del apoyo igual a un peral-En el ejemplo esto se tuvo en cuenta para te efectivo; las secciones b, e y g sonel cálculo de la aportación del concreto a secciones que limitan las zonas de estribosla derecha de la sección correspondiente con diferente separación; la sección f corres-al punto de inflexión. Además, teniendo ponde al punto de inflexión. A la izquierdaen cuenta lo señalado en la sección 7.8.1, en de esta sección la viga es rectangular, y elesta porción de la viga en la que el patín es- acero a considerar al determinar p es el deltá en compresión, al aplicar la expre- lecho superior, mientras que a la derecha lasión 7.24 se sumó la cantidad t2 al producto viga se comporta como una viga T y el ace-b . d ro que interesa es el del lecho inferior. Para efectos de la aplicación de la ex- Los resultados del cálculo, que se mues- presión citada cuando se trata de vigas T, el tran en forma gráfica, indican que la resistencia valor de p se determina refiriendo el área de disponible es siempre superior a la requerida. acero al producto bd. Se puede verificar que los requisitos Al definir la zona de influencia de es- mencionados en la sección 7.6.2(b) se cum- tribos con una separación determinada se plen para esta viga. En efecto, el valor de supuso, como en el ejemplo 7.1, que la con- 2.5 FR fi bd resulta de 44.5 ton, el cual tribución del acero, debido al cambio de se- no se excede en ninguna sección. El valor paración de estribos, cambia en una sección de 1.5 FRfi bd es de 26.7 ton y tampo- equidistante entre el último estribo con un co se alcanza. Por lo tanto, se está en el caso espaciamiento dado y el primero de los es- de que V es mayor que VcR pero menor que tribos siguientes con una separación diferen- ? 1.5 FR. f*c bd, y la separación de estribos no te. Así, la zona de influencia de los estribos debe exceder de 0.5d. Esta condición se cum- a 15 cm a la derecha del apoyo se determi- ple, ya que la máxima separación es precisa- nó como sigue: mente de 35 cm, que es igual a 0.5d.
  • 196. 200 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 197. Ejemplos 201
  • 198. 202 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 199. Ejemplos 203
  • 200. 204 Elementos sujetos a fuerza cortanteEjemplo 7.3. En este ejemplo se ilustra la La contribución del concreto a la resis-determinación de la resistencia a fuerza cor- tencia se ha calculado con la ecuación 7.7tante de un elemento en el que actúa tam- SI, que es la que corresponde al procedi-bién una carga axial. Se conoce la magnitud miento simplificado (sección 7.6.la) y la delde la carga axial y se quiere determinar el acero, con la ecuación 7.1 4 (sección 7.6.1 b).valor de la carga P que produce momento La resistencia total nominal es la suma de lasflexionante y fuerza cortante en el elemento resistencias del concreto y del acero (ecua-en cuestión. En el ejemplo se ha usado el ción 7.12). Esta resistencia, afectada por elsistema SI de unidades y el procedimiento factor de reducción 4, se iguala a la fuerzaaproximado del Reglamento ACI para calcu- cortante en la sección crítica para despejarlar la resistencia a fuerza cortante. el valor de la fuerza P. Primeramente se determinaron los diagra- El valor obtenido es la resistencia amas de momento flexionante, fuerza cortante y fuerza cortante. Faltaría verificar s i la resis-fuerza normal. El primero tiene una variación li- tencia del elemento a flexocompresión leneal, con un valor máximo en el empotramien- permite soportar esta carga P. Si su resisten-to del elemento. Los otros dos son constantes a cia a la combinación de momento flexio-lo largo del elemento. El de fuerza cortante y el nante y fuerza normal le permite soportar elde momento flexionante tienen que expresarse momento que le produce la fuerza P de 0.44en términos de la fuerza desconocida P. La sec- x 1 o6 N y la fuerza normal de 3 x 1 o6 N, elción crítica por fuerza cortante se ha localizado elemento fallaría por fuerza cortante, s i no,a una distancia d del paño del empotramiento. fallaría antes por flexocompresión.
  • 201. Ejemplos 205
  • 202. 206 Elementos sujetos a fuerza cortanteEjemplo 7.4 En este ejemplo se ilustra la de- el menor de los valores calculados con lasterminación de la capacidad de carga de ecuaciones 7.26 y 7.27.una zapata aislada de acuerdo con su resis- Como en este caso la relación y entre eltencia a fuerza cortante. La revisión se reali- lado corto y el lado largo de la columna tienezó según las NTC-04. Estas normas, siguiendo un valor de 1, rige la ecuación 7.27 y la re-un criterio semejante al del Reglamento ACI, sistencia se deberá calcular con la expresiónespecifican que se verifique la resistencia se-gún dos condiciones distintas. En la primera condición se revisa la re- Para obtener el valor de la carga PR quesistencia a cortante por penetración en la puede transmitir la columna, se determinósección crítica localizada a medio peralte primero la reacción del suelo, r, que equili-efectivo del perímetro de la columna. En el bra la resistencia, V,. Esto se hizo analizan-ejemplo, como peralte efectivo se tomó un do el cuerpo libre ilustrado en el croquis A.valor promedio entre los correspondientes a E l valor de la fuerza PR se obtuvo multipli-las dos direcciones de armado, definido por cando la reacción, r, por la superficie de lael plano de tangencia entre los dos lechos de zapata, ya que debe existir equilibrio entrevarillas. De acuerdo con lo indicado en la la carga de la columna y la reacción totalsección 7 . 6 . 2 ~la resistencia está dada por ~ del suelo.
  • 203. Ejemplos 207
  • 204. 208 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 205. Ejemplos 209 En la segunda condición se considera la De acuerdo con las NTC-04, la carga deresistencia como si la zapata fuese una viga servicio correspondiente a la capacidad últimacuyo ancho es el ancho total de la zapata. La calculada se determina dividiendo ésta porsección crítica para esta condición se fija el factor de carga apropiado.igual que en vigas, es decir, a un peralte Para una combinación de carga muertaefectivo del paño de la columna. La fuerza y carga viva, este factor es 1.4. Así la cargacortante admisible se calcula con la expre- de servicio resultaríasión 7.24 o la 7.25, según que p sea menoro mayor que 0.01 5, afectando ambas expre- pS - - = - 23.6 ton - PR 33 - -siones del coeficiente FR. En el ejemplo p re- Fc 1.4sultó menor que 0.01 5, de manera que seutilizó la expresión 7.24. Ejemplo 7.5. Se trata de encontrar la resis- La capacidad de la columna se determi- tencia a cortante por penetración de una lo-nó siguiendo un razonamiento semejante al sa plana con refuerzo transversal constituidode la primera condición. Los cuerpos libres por estribos de cuatro ramas, como se mues-considerados se aprecian en el croquis B. tra en los datos del problema. Se supone que La capacidad de la zapata del ejemplo la estructura está sometida únicamente a car-quedó definida por la resistencia como viga. ga vertical. Por claridad, no se muestra el re-Con frecuencia, en otras situaciones el valor fuerzo longitudinal de la losa. Para el cálculocrítico es el correspondiente a la condición se siguieron las indicaciones del Reglamen-de losa. to ACI 31 8-02.
  • 206. 2 10 Elementos sujetos a fuerza cortante
  • 207. Ejemplos 211 La resistencia total es la suma de la con- xima permisible multiplicando por tres latribución del concreto y la contribución del contribución del concreto a la resistencia.refuerzo transversal. La primera se calcula Esta última se determinó con la ecuacióncomo si se tratase de una losa sin refuerzo 7.1 9, considerando una sección crítica loca-transversal, con la diferencia de que la con- lizada a medio peralte del perímetro de latribución del concreto, V se toma igual a ,, columna. En el ejemplo, la resistencia total0.5 e bb,, en lugar del valor dado por lasecuaciones 7.1 6, 7.1 7 o 7.1 8. La sección resultó menor que la máxima admisible. En caso contrario, debe considerarse a la máxi-crítica se localizó a una distancia de medio ma admisible como la resistencia de la losa.peralte del perímetro de la columna. En el ejemplo se ha calculado la longitud La contribución del refuerzo transversal mínima que deben tener los brazos de refuer-se calculó con la ecuación 7.14, que pro- zo. Esto se hizo considerando que la losa pue-porciona la constribución del refuerzo en vi- de fallar en una sección crítica alejada de lagas. Se supone que cada uno de los cuatro columna y que la carga de falla para esta nue-brazos de refuerzo contribuye en igual for- va sección crítica debe ser por lo menos igualma, y por esta razón se ha multiplicado por a la resistencia de la losa reforzada. Siguiendocuatro el segundo miembro de la ecuación este criterio se determinó el perímetro de la7.1 4. sección crítica de manera que la carga de fa- El Reglamento ACI 31 8-02 recomienda lla coincidiese con la resistencia V supo- ,que la resistencia de una losa reforzada no niendo que la contribución del concreto estásea mayor que tres veces la contribución del dada por la ecuación 7.1 9. Los brazos de re-concreto a la resistencia. Siguiendo esta re- fuerzo se prolongaron una distancia de un pe-comendación, se calculó la resistencia má- ralte más allá de la sección crítica.
  • 208. 212 Elementos sujetos a fuerza cortante Referencias7.1 Comité ACI-ASCE 326. "Shear and Diagonal Ten- 7.1 6 Fenwick, R. C., y T. Paulay. "Mechanisms of Shear sion." lourna1o f the Arnerican Concrete Institute. Resistance of Concrete Beams." lourna1 of the Detroit, enero, febrero, marzo 1962. Structural Division, Arnerican Society o f Civil En-7.2 Díaz de Cossío, R. y S. Loera. "Comentario sobre gineers. Nueva York, octubre 1968. un artículo de G.N. Kani." lournal of the Arneri- 7.1 7 Vecchio, F J., y M. P Collins. "The Modified Com- . . can Concrete Institute. Detroit, diciembre 1966. pression-Field Theory for Reinforced Concrete Ele-7.3 Faradji, M.J., y R. Díaz de Cossío. "Tensión diago- ments Subjected to Shear! lourna1o f the American nal en miembros de concreto de sección circular". Concrete Institute. Detroit, marzo-abril 1986. Revista Ingeniería. México, D.F., abril 1965. 7.18 Vecchio, F J., y M. P Collins. "Predicting the Res- . .7.4 Díaz de Cossío, R. "Efecto del tamaño y de la forma ponse of Reinforced Concrete Beams Subjected to de vigas y losas de concreto sobre su resistencia Shear Using Modified Compression Field Theory". a fallas por cortante." Revista Ingeniería. México, ACI Structurallournal. Detroit, mayo-junio 1988. D.F., abril 1962. (Véase también el comentario 7.19 Collins, M. P, y D. Mitchell. "A Rational Approach . sobre la referencia 7.1 en el lournal of the American to Shear Design-The 1984 Canadian Code Provi- Concrete Institute. Detroit, septiembre 1962.) sions." lourna1 of the American Concrete Institute.7.5 Ferguson, P.M., y F.N. Matloob. "Effect of Bar Cut- Detroit, noviembre-diciembre 1986. off on Bond and Shear Strength of Reinforced 7.20 Ghee, A. B., M. J. N. Priestley y T. Paulay. "Seismic Concrete Beams. "lournal o f the Arnerican Con- Shear Strength of Reinforced Concrete Columns." crete Institute. Detroit, julio 1 959. ACI Structural]ournal. Detroit, enero-febrero 1989.7.6 Baron, M.J. "Shear Strength of Reinforced Concrete 7.21 Moehle, J. P "Strength of Slab-Column Edge . Beams at Points of Bar Cutoff." lournal of the Arne- Connections." ACI Structural]ournal. Detroit, enero- rican Concrete Institute. Detroit, enero 1966. febrero 1988.7.7 Moe, J."Shearing Strength of Reinforced Concre- 7.22 MacGregor, J. G. "Reinforced Concrete Mechanics te Slabs and Footings under Concentrated Loads." and Design". Prentice Hall. New Jersey, 1988, Bulletin D 47. Skokie, III., Portland Cement Asso- págs. 182-1 90. ciation, Development Department, abril 1961. 7.23 Alexander, S. D. B., y S. H. Simmonds "Ultimate7.8 Kani, G.N.J. "How Safe Are our Large Reinforced Strength of Slab-Column Connections." ACI Struc- Concrete Beams?"lournal of the Arnerican Con- tural lournal. Detroit, mayo-junio 1987. crete Institute. Detroit, marzo 1967. 7.24 Elgabry, A. A., y A. Ghali. "Design of Stud-Shear7.9 Corley, W.G., y N.M. Hawkins. "Shearhead Rein- Reinforcement for Slabs". ACI Structural journal. forcement for Slabs". lournal o f the American Detroit, mayo-junio 1990. Concrete Institute. Detroit, octubre 1968. 7.25 Roller, J. J. y H. G. Russell. "Shear Strength of High7.1 0 Carpenter, J.E., P.H. Kaar y N.W. Hanson. Co- Strength Concrete Beams with Web Reinforcement! mentario sobre "Proposed Revision of ACI 318- ACI Structural lournal. Detroit, marzo-abril 1990. 63: Building Code Requirements for Reinforced 7.26 Johnson, M. K., y J. A. Ramírez. "Minimum Shear Concrete". lournal o f the Arnerican Concrete Ins- Reinforcement in Beam with Higher Strength titute. Detroit, septiembre 1970. Concrete." ACI Structural lournal. Detroit, julio-7.1 1 Bresler, B., y J.G. MacGregor. "Review of Concre- agosto 1989. te Beams Failing in Shear". lournal of the Structural 7.27 Comité ACI 31 8. "Commentary to Building Code Division, American Society of Civil Engineers. N ue- Requirements for Reinforced Concrete-ACI 318R- va York, febrero 1967. 02". American Concrete Institute. Detroit, 2002.7.1 2 Shear in Reinforced Concrete, Vols. 1 y 2 (SP-42). 7.28 Collins, M.P.; Mitchell, D.; Adebar, P.E.; y Vec- Detroit, American Concrete Institute, 1974. chio, F.]. "A General Shear Design Method". ACI7.1 3 Comité ACI-ASCE 426. "The Shear Strength of Reinfor- Structural lournal, enero-febrero, 1 996. ced Concrete Members." Proceedings of the American 7.29 Comité ACI-ASCE 445. "Recent Approaches to Society of Civil Engineers, Vol. 99, No. ST6, junio Shear Design of Structural Concrete", Informe 1973, y Vol. 100, No. ST8, Nueva York, agosto 1974. ACI 445R-99, American Concrete Institute, De-7.14 MacGregor., J.C., y P Gergely. "Suggested Revi- . troit, noviembre, 1999. sions to ACI Building Code Clauses Dealing with 7.30 Collins, M.P., y Kuchma, D. "How Safe Are our Lar- Shear in Beams." lournal of the Arnerican Con- ge, Lightly Reinforced Concrete Beams, Slabs and crete Institute. Detroit, octubre 1977. Footings?".ACI Structurallournal, julio-agosto, 1999.7.1 5 Comité ACI-ASCE. "Suggested Revisions to Shear 7.31 Fanella, D., y Rabat, B. (Ed.). "Notes on ACI 318- Provisions for Building Code." Detroit, American 02 with Design Applications". Portland Cement Concrete Institute, 1977. Association, Skokie, 2002.
  • 209. Ejercicios 213 Ejercicios7.1 Calcular la resistencia a cortante en la sección 7.4 Calcular la carga PR que puede resistir por cor- A-A de la viga siguiente, utilizando las NTC-04. tante la siguiente zapata de acuerdo con el re- glamento ACI 3 18-02. Estribos verticales del No. 3 @ 30 Estribos inclinados a 45" del No. 3 @ 40 2 fc = 200 kg/cm fy = 3000 kg/cm2 L Barras del No. 6 a 20 cm en ambas direcciones7.2 Trazar el diagrama de resistencia a fuerza cortante de la siguiente viga y compararlo con el diagrama 7.5 Calcular la carga uniformemente repartida, w, de fuerza cortante producido por las cargas exter- que puede soportar por cortante un sistema de nas utilizando el método simplificado del Regla- losa plana con las características siguientes. mento ACI 31 8-02, según el cual V = 0.5 , fi bd. Aplicar las NTC-04. 2 barras No. 10 I I I Estribos No. 3 de dos ramas @ 10 cm a partir del paño de la columna 6007.3 Resolver el ejercicio anterior suponiendo que Vc está dado por la ecuación 7.8.
  • 210. fuerzas cortantes. Esto se debe, en parte, a la importancia relativamente menor que se CAP~TUO L 8 ha concedido a los efectos de torsión y, en parte, a que no se disponía, hasta hace po- co tiempo, de medios para evaluar en forma razonablemente precisa la rigidez torsio- Resistencia de elementos nante de elementos de concreto reforzado, dato necesario para el análisis de estructu- sujetos a torsión ras continuas. La determinación de la resistencia a tor- sión de elementos de concreto ha sido obje- to de numerosas investigaciones recientes. 8.1 Introducción. /8.2 Sistemas estruc- Como resultado, es posible calcular, con su- turales con efectos importantes de torsión. 18.3 Torsión simple. /8.4 Torsión y flexión. ficiente precisión para fines prácticos, la re- /8.5 Torsión y cortante. 18.6 Superficies de sistencia a torsión y a combinaciones de interacción torsión-flexión-cortante. /8.7 torsión, fuerza cortante y momento flexio- Torsión y carga axial. /8.8 Expresiones de nante de los elementos, así como su rigidez los reglamentos para valuar la resistencia a en torsión. Al igual que en el caso de tensión efectos de torsión. /8.9 Ejemplos. diagonal, el conocimiento actual sobre el problema es en gran parte empírico.8.1 Introducción 8.2 Sistemas estructurales con efectosDebido al carácter monolítico de las estruc- importantes de torsiónturas de concreto, es común la existencia deacciones torsionantes que se presentan casi Los ejemplos que se mencionan en esta sec-siempre en combinación con solicitaciones ción tienen como única finalidad ilustrar lade flexión, fuerza cortante y fuerza normal. forma en que se presentan momentos torsio-En muchos casos, los efectos de la torsión nantes en ciertos elementos estructurales.son secundarios en comparación con los de No se estudia con detalle el cálculo de estoslas otras solicitaciones, y por eso suelen des- momentos, para lo cual puede consultarsepreciarse en el diseño. Sin embargo, a veces algún texto de análisis estructural.la torsión puede ser la acción preponderan-te, o al menos tener un efecto lo suficiente- Vigas que soportan marquesinas (figura 8. la)mente importante para no poder ignorarlasin que la estructura sufra daños. El momento de empotramiento de la marquesi- El problema de torsión en estructuras de na se transmite como momento torsionanteconcreto tiene dos aspectos. El primero consis- a la viga, la cual debe estar restringida con-te en la determinación de los momentos tor- tra giro en sus extremos por medio de co- sionantes que actúan sobre los elementos de lumnas u otros elementos rígidos. una estructura, y el segundo en la determi- nación de la resistencia de los elementos. Vigas con muros colocados excéntricamente La determinación de momentos torsio- (figura 8.1 b) nantes es un problema de análisis estructu- ral que no ha recibido la misma atención La carga que transmite el muro a la viga no que el cálculo de momentos flexionantes y coincide con el eje longitudinal de ésta. Di-
  • 211. 216 Resistencia de elementos sujetos a torsión a) Vigas que soportan marquesinas b) Vigas con muros colocados excéntricamente Viga I I I I lt-++-+ La torsión es producida por la losa y las vigas secundarias Corte A-A C) Vigas de borde en sistemas de piso d) Vigas curvas Viga sujeta a torsión Corte A-A e) Marco con vigas fuera del plano de las columnas Figura 8.1 Elementos estructurales sujetos a torsión.cha carga equivale a una que actúa en el eje borde restringe parcialmente a las vigas se-longitudinal, más un momento torsionante, cundarias contra rotación por flexión, o seacomo se indica en la figura. que proporciona un semiempotramiento a las vigas secundarias y recibe, a su vez, porVigas de borde en sistemas de piso (figura 8.1c) condiciones de equilibrio, un momento tor- sionante, como se indica en la figura.En la figura se representa parte de un sistema Casos semejantes al anterior se tienende piso con vigas secundarias perpendicula- en sistemas de piso de vigas y losas, sin vi-res a una viga principal de borde. La viga de gas secundarias, y en el de losas planas con
  • 212. Torsión simple 21 7vigas de borde, en los cuales las losas trans- 8.3 Torsión simplemiten directamente momentos torsionantesa dichas vigas de borde. E l caso de torsión simple es poco frecuente En muchos ensayes de sistemas de piso en la práctica, porque la torsión se presentase ha observado que la falla ocurre por tor- casi siempre acompañada de flexión y fuer-sión de las vigas de borde antes de que se al- za cortante. Sin embargo, para calcular lacance la resistencia en flexión de las losas y resistencia de un elemento sujeto a torsiónde las vigas. Por lo tanto, el caso que se ilus- combinada con flexión y cortante, es conve-tra es de gran importancia práctica. niente conocer previamente el comporta- miento y la resistencia de un elementoVigas curvas (figura 8.1 d ) sujeto a torsión simple.En este caso, la resultante de las cargas exter- 8.3.1 Comportamiento y modos de fallanas no se encuentra en el mismo plano que en vigas de concreto simplelas reacciones en los apoyos, por lo cual sedesarrollan momentos torsionantes en las vi- En una viga de concreto simple, la fallagas. Casos semejantes son los de vigas en bal- ocurre súbitamente para valores pequeñoscón, vigas en esquina y vigas helicoidales. del ángulo de giro; es una falla de tipo frá- gil, similar a la de una viga ensayada a fle-Estructuras reticulares con cargas xión; Para detectar el mecanismo de falla,normales a su plano Hsu (8.3) filmó el ensaye de una viga con una cámara de cine de alta velocidad. LaEstas estructuras se presentan en puentes y proyección en cámara lenta de la películaen cimentaciones de edificios. Al aplicar una reveló el proceso de falla representado es-carga en uno de los elementos de una estruc- quemáticamente en la figura 8.2. En tal pro-tura de este tipo, aparecen torsiones impor- ceso, la falla se inicia al formarse una grietatantes en los elementos perpendiculares. inclinada de tensión en una de las caras ma- yores de la viga. Esta grieta se abre rápida-Marcos con vigas fuera del plano mente y se extiende a las caras menores dede las columnas la viga. La falla ocurre finalmente por aplas- tamiento del concreto en la cara mayorEn algunas ocasiones, por razones arquitec- opuesta.tónicas, las vigas de un marco no están uni- El proceso de falla descrito es similar aldas directamente a las columnas, sino que la de una viga de concreto simple ensayada aunión se efectúa por intermedio de vigas flexión, en la que la grieta de tensión se ini-perpendiculares al marco en cuestión (figura cia en la cara inferior, se extiende después8.1 e). En este caso, el momento flexionante a las caras laterales, y se aplasta el concre-se transmite de la viga del marco a la colum- to de la cara superior. Por consiguiente,na por medio de torsión en el tramo de viga puede afirmarse que la falla por tensiónperpendicular al marco. ocurre por flexión en un plano inclinado a Los ejemplos anteriores no cubren, por 45" con respecto al eje longitudinal de lasupuesto, todos los casos en que la torsión viga [8.3].tiene efectos importantes. La evaluación de En la figura 8.3 se muestra la superficie 10s momentos torsionantes para estos casos de falla. Puede verse que la inclinación deY otros similares se estudia con detalle en las las grietas en las dos caras mayores es apro-referencias 8.1 y 8.2. ximadamente la misma.
  • 213. 2 18 Espejo Cara posterior - Resistencia de elementos sujetos a torsión Cara superior Grieta a) Sección media de una viga sometida a torsión. La b) 1/100 seg después de su aparición, la grieta diagonal cámara puede ver las caras superior y frontal di- se extiende a través de la cara frontal. rectamente; la cara posterior se refleja en u n Ea espejo. aplastado c ) lI5seg después de haber sido observada, la grie- d) 15 seg después de observada la grieta, el concre- ta se extiende y ensancha a través de la cara to se aplasta en la cara posterior, como se ve en superior. el espejo. Figura 8.2 Proceso de falla por torsión de una viga de concreto simple tomada con una cámara de cine con una velocidad de 1200 cuadroslseg [8.31. 8.3.2 Comportamiento y modos de falla si no está combinado con refuerzo transver- en vigas de concreto reforzado sal, no constituye un refuerzo eficiente des- de el punto de vista de la torsión. En vigas El comportamiento, modo de falla y resisten- con refuerzo longitudinal y transversal, el cia de vigas con refuerzo longitudinal única- comportamiento puede dividirse en dos eta-, mente, es similar al de vigas de concreto pas: una anterior al agrietamiento y otra pos- simple. Por lo tanto, el refuerzo longitudinal, terior a él 18.41, El comportamiento anterior Figura 8.3 Superficie de falla de una viga de concreto simple [8.31.
  • 214. Torsión simple 219al agrietamiento es similar al de una viga de tas a flexión y en vigas sujetas a torsión. Enconcreto simple. La gráfica momento torsio- las primeras, los esfuerzos en el refuerzo au-nante-giro es prácticamente lineal en esta mentan gradualmente antes y después deletapa, como se ve en la figura 8.4, y los es- agrietamiento y la pendiente de la gráficafuerzos en el acero longitudinal y transversal carga-deflexión se modifica ligeramente,son muy pequeños. Las primeras grietas de como se ve en la figura 8.5a. Por el contra-torsión se forman en una de las caras mayo- rio, en vigas sujetas a torsión, el estado in-res. Cuando esto ocurre, el momento torsio- terno de equilibrio cambia totalmente alnante, Tagrres igual o ligeramente mayor que formarse la primera grieta. La pendiente deel momento resistente de un elemento de la gráfica momento torsionante-giro cambiaconcreto simple, Trs. bruscamente (figura 8.5b), y el momento ex- terno que era resistido sólo por el concreto, es resistido ahora por el concreto y el acero conjuntamente. Durante este cambio en el estado inter- no de equilibrio ocurre una transferencia de carga del concreto al acero. Como el mo- mento externo permanece constante mien- tras ocurre esta transferencia, la fracción del momento total, que es resistida por el con- creto después del agrietamiento, Tc, es me- nor que el momento de agrietamiento, TagrrFigura 8.4 Gráfica momento torsionante-giro de y, por lo tanto, menor que el momento resis- un elemento con refuerzo transversal sujeto a tente de un elemento de concreto simple de torsión pura. igual sección, Trs. Cuando se agrieta el elemento, el giro, Al finalizar la etapa de transferencia de8 aumenta rápidamente bajo un momento , carga del concreto al acero, el momento tor-constante, Tagrr como indica la rama hori- sionante vuelve a aumentar, pero la rigidezzontal de la figura 8.4. Los esfuerzos en el del elemento es menor que antes del agrieta-refuerzo longitudinal y transversal también miento, como se ve en la figura 8.4. Tanto laaumentan rápidamente [8.4]. La influencia rigidez como el momento resistente, Trl de-del agrietamiento es diferente en vigas suje- penden de los porcentajes de refuerzo longi- al Y al Y Resistencia T, C m C m 8 2 .- X - + al O * C al O 2 Deflexión Giro (a) Viga sujeta a fiexión (b) Viga sujeta a torsión Figura 8.5 Comparación del efecto de agrietamiento en elementos sujetos a flexión y a torsión.
  • 215. 220 Resistencia de elementos sujetos a torsióntudinal y transversal. Después de alcanzar el nantes en sus extremos. Se supone que al apli-momento máximo, Tr, la gráfica momento- car los momentos torsionantes, las seccionesgiro tiene una rama descendente que en los transversales experimentan una rotación y unensayes se desarrolla en segundos t8.41. alabeo. En Teoría de la Elasticidad se demues- Cuando se alcanza la resistencia, T,, el tra que, por condiciones de equilibrio, los es-concreto de la cara mayor del elemento, fuerzos normales fx, fy y fz, y los esfuerzosopuesta a la cara con grietas de tensión, se cortantes, vxy, son nulos, y que los esfuerzosaplasta, y el acero de refuerzo puede estar cortantes vxz y vyZpueden calcularse con lasfluyendo o no, según su porcentaje. De expresionesacuerdo con esto, se distinguen tres tipos deelementos: 1) subreforzados, en los que flu-yen el acero longitudinal y transversal; 2) so-brerreforzados, en los que el concreto seaplasta antes de que fluya el refuerzo, y 3) donde Q> es una función de x y y que se de-parcialmente sobrerreforzados, en los que nomina función de esfuerzos. Esta funciónsólo fluye el refuerzo longitudinal o el trans- debe satisfacer la ecuación diferencialversal.8.3.3 Evaluación de la resistencia de elementos de concreto simple donde G es el módulo de elasticidad en cor-Se han desarrollado varias teorías para cal- tante y 0 es el ángulo que gira la barra porcular la resistencia en torsión de elementos unidad de longitud. Además, por condicio-de concreto simple. A continuación se expo- nes de frontera, la función de esfuerzos, a,nen tres de ellas, a saber: la teoría elástica, debe ser constante a lo largo del borde de lala teoría plástica y la teoría de Hsu. En las sección transversal de la barra. En Teoría dedos primeras se supone que el concreto es la Elasticidad se han encontrado funcionesun material perfectamente elástico o perfec- que satisfacen estas condiciones para dife-tamente plástico, respectivamente, al cual rentes formas de la sección transversal.son aplicables los resultados de las teorías Una vez determinada la función de es-de elasticidad o de plasticidad. La tercera fuerzos, @, el momento resistente de la ba-teoría se desarrolló a partir del comporta- rra puede calcularse, según se demuestramiento y modo de falla descrito en la sec- también en Teoría de la Elasticidad, por me-ción 8.3.1. dio de la expresiónEsta teoría, desarrollada por Saint Venant en1855, permite calcular la resistencia de barras Prandtl señaló en 1902 la semejanzaprismáticas de material elástico con cualquier que existe entre la función de esfuerzos, Q>, ysección transversal sujetas a momentos torsio- las deflexiones, z, que sufre una membrana colocada en el extremo de un tubo hueco en el interior del cual se aplica una presión. El" El desarrollo completo de esta teoría puede consultarse en contorno del tubo hueco es el mismo que elcualquier texto de Teoría de la Elasticidad o de Resistencia deMateriales Avanzada. Véase, por ejemplo, S. Timoshenko y J. N. de la sección transversal de la barra (figuraGoodier, Theory of Elasticity. 8.6). S i 9 es la presión por unidad de área de
  • 216. Torsión simple 22 1la membrana y S la tensión por unidad de de secciones rectangulares, la analogía de lalongitud del borde, por condiciones de equi- membrana indica que el momento resistentelibrio se obtiene la ecuación puede calcularse con la expresión Esta ecuación resulta igual a la ecua- donde K, es un coeficiente que depende deción 8.2, si se sustituye z por y 91s por la forma de la sección transversal y cuyos va-2GB. Por consiguiente, los valores de la fun- lores se presentan en la tabla 8.1; b es el la-ción de esfuerzos, @, pueden obtenerse de do menor del rectángulo, y h el lado mayor.*las deflexiones de la membrana, z, si se Para el caso de secciones circulares, elreemplaza el segundo miembro de la ecua- momento resistente calculado con la teoríación 8.4 por 2GO. El momento torsionante elástica esresistente puede obtenerse reemplazando Q>por z en la ecuación 8.3. Se obtiene donde r es el radio de la sección. La resistencia de secciones 1 T o 1 es la , Esta ecuación indica que el momento suma de las resistencias de los rectángulosresistente es el doble del volumen compren- componentes, ya que el volumen compren-dido entre la membrana y el plano X - Y (fi- dido entre la membrana y la sección trans-gura 8.6). versal es aproximadamente la suma de los volúmenes comprendidos entre la membra- na y cada rectángulo. Tabla 8.1 Valores de las constantes K, y KP Figura 8.6 Analogía de la membrana. También puede demostrarse que el es-fuerzo cortante, ,v ~ , resultante de los es-fuerzos ,v y vy, en cualquier punto de la ,sección transversal, es igual a la pendiente Se mencionó en la sección 2.2.5 de estemáxima de la membrana en ese punto, siem- texto que en un elemento de concreto simplepre que se haga la sustitución del término sujeto a un estado de esfuerzo cortante puro,qls por 2 GO. como el que produce la torsión, se desarrollan Las similitudes anteriores se conocen tensiones principales de la misma magnitudcon el nombre de analogía de la membrana * En elementos sujetos a flexión, el lado b puede ser mayor queY han sido de gran utilidad en el estudio de el lado h; pero en el presente texto, en elementos sujetos a tor-problemas de torsión elástica. Para el caso sión, b es siempre el lado menor y h el lado mayor.
  • 217. 222 Resistencia de elementos sujetos a torsiónque el esfuerzo cortante. Por lo tanto, la falladebe ocurrir cuando el esfuerzo v,d, es iguala la resistencia en tensión del concreto,,,f ylas resistencias de elementos de sección rec- S i se integran ambos miembros para obtenertangular y circular serán, respectivamente, el momento torsionante total: donde A es el área sombreada mostrada en . la figura 8.76, o sea, la comprendida dentro de la Iínea por la que actúa el flujo de cor-Se ha visto que las resistencias experimenta- tante. Esta ecuación indica que el momentoles de elementos de concreto simple son del torsionante que puede resistir una secciónorden de 50 por ciento mayores que las calcu- en cajón es igual al flujo de cortante q mul-ladas con las ecuaciones 8.8 y 8.9. tiplicado por el doble del área comprendida Un caso importante es el de los elemen- dentro de la Iínea de acción del flujo. S i setos con sección transversal en forma de ca- considera que q = T t, como se dijo anterior-jón de pared delgada o de tubo. Como se mente, se puede escribir la ecuación:verá más adelante, la resistencia de seccio-nes macizas puede calcularse a partir de laresistencia de secciones de este tipo. Cuan-do se aplica un momento torsionante a unasección en cajón, se producen esfuerzos Esta ecuación se usará más adelante paracortantes en las paredes, como se indica en calcular la resistencia de vigas de concretola figura 8.7a1 con un sentido tal que equili- reforzado.bran al momento aplicado. En este tipo devigas se puede suponer que los esfuerzoscortantes, T, son uniformes en el ancho de lapared, t, y el producto del esfuerzo por el Esta teoría se aplica a materiales elastoplásti-ancho se denomina flujo de cortante y se re- cos o plásticos. La resistencia en torsión pue-presenta normalmente con la letra q, de tal de calcularse con la analogía del montón demanera que q = T t. El flujo de cortante es arena, que es una extensión de la analogía deuna fuerza por unidad de longitud de la pa- la membrana. La analogía del montón de are-red. Analizando el elemento diferencial na se expone a continuación para un materialmostrado en la figura 8.7b, se puede ver que elastoplástico cuya gráfica esfuerzo-deforma-en una longitud diferencial ds, el flujo de ción se muestra en la figura 8.8. Si el mo-cortante produce un momento alrededor del mento torsionante aplicado al elemento seeje centroidal que vale incrementa hasta que el material alcanza su límite de fluencia, el esfuerzo es constante en toda la zona que fluye. Y que el esfuerzo en a un punto cualquiera es igual a la pendientePero el área (ds) p es el doble del área del de la membrana en ese punto, como se vio enelemento triangular diferencial dAo mostra- la sección anterior al estudiar la analogía de lado en la figura 8.7b. Por lo tanto se puede membrana, dicha pendiente debe ser constan-escribir: te en toda la zona en que fluye el material. Esí-
  • 218. Torsión simple 223 a) Viga en cajón b) Momento resistente del núcleo Figura 8.7 Resistencia a torsión de una viga con sección en cajón.to equivale a que la membrana se vaya inflan- La aplicación de la teoría plástica a ele-do hasta alcanzar la posición límite indicada mentos de concreto reforzado, suponiendocon línea punteada en la figura 8.9. Cuando v , ~ , = ft,, permite obtener los siguientes re-el material fluye en toda la sección transversal sultados:del elemento, la membrana toma una forma Para secciones rectangulares,semejante a un montón de arena con pen-diente uniforme; de aquí el nombre de la ana-logía. El momento torsionante resistente es el para secciones circulares,doble del volumen del montón de arena, sise sustituye 2G8 por qls, como en el caso dela teoría elástica. lA / Según teoría / plástica / Según teoría elástica E Figura 8.8 Gráfica esfuerzo-deformación de un Figura 8.9 Analogía del montón de arena. material elastoplástico.
  • 219. 224 Resistencia de elementos sujetos a torsión El coeficiente K~ depende de la relación puede calcularse a partir de la resistencia aentre el lado mayor y el lado menor del rec- flexión de la sección indicada en la figuratángulo. En la tabla 8.1 se presentan valores 8.1 Oa, la que a su vez puede calcularse conde este coeficiente. Al igual que en teoría la fórmula de flexiónelástica, la resistencia de secciones T 1 o L Ies la suma de las resistencias de los rectán-gulos componentes. Las resistencias experi-mentales de elementos de concreto simple El momento M es la componente T2 queconcuerdan mejor con las calculadas con produce flexión en el plano inclinado; por loteoría plástica que con las calculadas con tanto,teoría elástica, a pesar de que la hipótesisbásica de un comportamiento plástico del M=T2=T,cos 4 5 " = ~ , / & (8.17)material es de dudosa aplicabilidad al con-creto simple sujeto a esfuerzos cortantes o S es el módulo de sección del plano in-esfuerzos de tensión. clinado de falla. La base de este plano es h ~, y la altura es el lado menor, b (figuraC) TEOR~ADE HSU 8.1 Oa). Por lo tanto,La teoría desarrollada por Hsu [8.3] está ba-sada en el mecanismo de falla descrito en lasección 8.3.1, según el cual la falla ocurrepor flexión en la superficie mostrada en la fi- En la ecuación 8.1 6, fr es el módulo degura 8.3. En la teoría, la superficie de falla se rotura, o sea, la resistencia a tensión del con-idealiza por un plano inclinado a 45" con creto simple, medida en un ensaye de flexiónrespecto al eje longitudinal del elemento (fi- (sección 2.2.4). Sustituyendo las ecuacionesgura 8.10a) y se supone que la falla se pro- 8.1 3 y 8.1 4 en la 8.1 2 se obtieneduce por una componente del momentotorsionante, T2, en la figura 8.10b1 que pro-duce flexión en la sección de falla. Por lotanto, la resistencia a torsión del elemento Momento que produce flexión en la sección de falla Sección idealizada de falla por flexión r Figura 8.10 Teoría de Hsu de falla por flexión.
  • 220. Torsión simple 225 En el plano en que se inicia el agrieta- fC y f, puede mejorarse la comparación en-miento existen, además de esfuerzos norma- tre resultados experimentales y calculadosles de tensión, esfuerzos normales de [8.3].compresión perpendiculares a los de tensión La teoría de Hsu también puede aplicarsey de igual magnitud. Experimentalmente se al cálculo de resistencia de secciones circulares.ha observado que para este estado de esfuer- Por un procedimiento análogo al descrito an-zos biaxiales, la resistencia a tensión del teriormente se llega a la expresiónconcreto se reduce en 1 5 por ciento aproxi-madamente. Con base en esto, y por comparacióncon resultados experi