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  • 1. ONDASELECTROMAGNÉTICAS
  • 2. RESUMEN1. DEFINICIÓN DE ONDA.2.ECUACIONES DE MAXWELL3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS4. ENERGÍA DE UNA OEM.5. VECTOR DE POYNTING.6. EL ESPECTROELECTROMAGNÉTICO.
  • 3. 1.ONDAS (1dim.) Expresión matemática Función oscilante ξ(x,t) que verifica una ecuación ∂ 2ξ ( x, t ) ∂ 2ξ ( x, t ) v2 = ∂x 2 ∂t 2 Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -v ξ ( x, t ) = F 1( x − vt ) + F 2( x − vt )
  • 4. 1.2 Solución general Función oscilanteξ ( x, t ) = ξ 0 sen[k ( x − vt ) + ϕ ] Amplitud velocidad onda Fase Nº ondas Longitud de onda λ : distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase. Frecuencia w : nº veces que corta al eje. Periodo T: tiempo en que la vibración se repite. Frente de ondas: puntos alcanzados por la onda a un tiempo fijo.
  • 5. ξ(x,t) λ ξ0 2π K= λ x ϖ = Kv = 2π υ t constante 2π T=ξ(x,t) Τ ϖ ξ0 Velocidad de la onda t λυ = v X constante
  • 6. 1.3 Ondas esféricas Expresión matemática Función oscilante ξ(x,t) que verifica una ecuación ∂ 2ξ ( x, t ) v 2∇ 2ξ ( x, t ) = ∂t 2Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 – Cartesianas ∂x ∂y ∂z – Esféricas 1 ∂ 2 ∂ ∇ = 2 2 r + 1 ∂ sen θ ∂ + 1 ∂2 r ∂r ∂r r 2 sen θ ∂θ ∂θ r 2 sen 2 θ ∂ϕ 2
  • 7. 1.4 Solución general esférica Función oscilante rr [ξ ( x, t ) = ξ 0 sen k r − wt + ϕ ] Amplitud frecuencia onda Fase Vector Nº ondas Si el medio es isótropo sólo depende de r, kr =kr. Frente de ondas esférico.
  • 8. 2.ECUACIONES DE MAXWELL Leyes de Gauss r r Q r r ∫ E ⋅ dS = ε ∫ B ⋅ dS = 0 El flujo del vector E a El flujo del vector B a través de una superficie través de una superficie cerrada es igual a Q/ε cerrada es nulo Ley de Faraday r r r dB r dφB ∫ E ⋅ dl = − ∫ dt ⋅dA fem = − S dt Circulación del vector E SuperficieLa fem inducida en un por una curva cerrada encerradacircuito cerrado es igual a por la curvala variación del flujo de B
  • 9. Ley de Ampère generalizada La circulación del vector H por un circuito cerrado es igual a la corriente externa + corriente desplazamiento r r r ⎛ r dD r ⎞ ∫ H ⋅ dl = ∫ ⎜ J + dt dA ⎟ S⎝ ⎜ ⎟ ⎠Circulación del vector H Superficiepor una curva cerrada encerrada Corriente de por la curva desplazamiento r B0 BT H= = r dI ext r dQlibre µ0 µ J= D= dA dA En el En el “núcleo “alambre magnético”. eléctrico” Tiene cargas en movimiento
  • 10. 2.1 Algunas nocionesmatemáticas Dada una función F(r)=(Fx, Fy, Fz) vectorial r r r r r r r r r ∫ F ⋅ dl = ∫ (∇ × F ) ⋅ dA ∫ F ⋅ dA = ∫ (∇ ⋅ F )dV Vol S Donde se definen las funciones divergencia y rotacional ˆ i ˆ j kˆ r r ∂Fx ∂Fy ∂Fz r r ∂ ∂ ∂ ∇⋅F = + + ∇× F = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Fx Fy Fz
  • 11. 2.2 Forma diferencial delas ecuaciones de Maxwell Leyes de Gauss r r ρ r r ∇⋅E = ∇⋅B = 0 ε No hay fuentes de La divergencia del campo magnético vector E ρ/ε (monopolos) Leyes de Faraday y Ampère r r r r ∂B r r ∂E r ∇× E + =0 ∇ × B − µε = µJ ∂t ∂t
  • 12. 2.3 Ecuaciones de Maxwellen ausencia de fuentes ycorrientes 1 En un material v = µε r r r r ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0 r r r r ∂B r r ∂E ∇× E + =0 ∇ × B − µε =0 ∂t ∂t En el vacío v=c c= 1 µ 0ε 0
  • 13. 3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (planas) Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a campo E y B ortogonales que se propagan en la misma dirección (ej. x) admite soluciones tipo onda.v2 ∂ 2 E ( x, t ) ∂ 2 E ( x, t ) = E ( x, t ) = E0 sen[k ( x − vt )] ∂x 2 ∂t 2v2 ∂ 2 B ( x , t ) ∂ 2 B ( x, t ) = B ( x, t ) = B0 sen[k ( x − vt )] ∂x 2 ∂t 2 No son independientes Satisfacen E0 = cB0 Maxwell
  • 14. Las ondas electromagnéticas planasson transversales, con los campos Ey B perpendiculares entre sí y a ladirección de propagación.
  • 15. 4.ENERGÍA DE UNA OEMDensidad de energía eléctrica ymagnética – Vacío 1 2 - Medio ue = εE 1 ue = ε o E 2 2 2 1 B2 1B 2 um = um = 2 µ 2 µo E0 = cB0Densidad de energía de la OEM r r 1 2 1B 2 2 B E⋅Bu = ue + um = εE + u = εE = 2 = 2 2 µ µ cµ
  • 16. 5. VECTOR DE POYNTING El vector de Poynting apunta en la dirección de propagación de la OEM E Campo eléctrico S B Dirección de propagación Campo magnético r r Definición r E×B r S= S = S o cos 2 (kx − wt ) i ˆ µ ejemplo
  • 17. Está relacionado con la densidad deenergía media de la OEM … r r r E⋅B S u = S0 u= = vµ v 2vcon la potencia de la OEM … dU EB P= = uAv = A dt µy con la intensidad (Potencia/Área) 1 E0 B0 1 I media = = S0 2 µ 2
  • 18. 6. ESPECTROELECTROMAGNÉTICOEl tipo de OEMse clasificasegún sulongitud deonda ( ofrecuencia)

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