Cálculo de las fuentes de un campo magnético
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Cálculo de las fuentes de un campo magnético Cálculo de las fuentes de un campo magnético Presentation Transcript

  • Cálculo de las fuentes de un campo magnético Contenido [ocultar] 1 Enunciado 2 Valores de las constantes o 2.1 Ecuación volumétrica o 2.2 Condición de salto o 2.3 Expresión del campo 3 Fuentes del campo o 3.1 Densidad volumétrica o 3.2 Densidad superficial 4 Comportamiento asintótico del campo 5 Momento dipolar magnético o 5.1 A partir del campo o 5.2 A partir de las corrientes
  • 1 EnunciadoEn el espacio alrededor de una esfera superconductora existe un campo magnético de la forma 1. Calcule los valores de las constantes C1 y C2. 2. Determine las corrientes que crean este campo. 3. ¿A qué tiende este campo para ? 4. Este campo puede escribirse como el del apartado anterior, más el campo de un dipolo magnético. ¿Cuánto vale su momento dipolar magnético?2 Valores de las constantesLos valores de C1 y C2 los calculamos imponiendo que éste sea un campo magnético. Las ecuaciones que debe verificarnecesariamente son:La primera debe cumplirse en todo volumen y la segunda en toda superficie de discontinuidad, que en este caso essolamente la superficie esférica r = a.2.1 Ecuación volumétricaLa ley de Gauss para el campo magnético se cumple idénticamente en la esfera r < a, por ser nulo el campo en ella.
  • En el exterior de la esfera en cambio, debemos recurrir a la expresión de la divergencia, calculada en coordenadasesféricasHallamos cada término por separado. Para el primeroy para el segundoLa suma de estos dos términos daPara que esta divergencia se anule, debe ser2.2 Condición de saltoLa otra ecuación la da la condición de que la componente normal del campo sea continua en cualquier superficie. Puestoque el campo en el interior de la esfera es nulo, esto implica que la componente normal justo en el exterior de lasuperficie esférica también debe anularse, esto es, el campo debe ser puramente tangencial a la superficie.Imponemos la condición de salto View slide
  • Obsérvese que hay que sustituir el valor de la coordenada r por su valor, a, en la superficie esférica. La coordenada θ, encambio, se deja tal cual, pues en la superficie esférica, la coordenada polar tiene todos los valores posibles, no uno solo.Al hacer el producto escalar, la componente polar del campo no contribuye y queda simplemente la condiciónde donde2.3 Expresión del campoSustituyendo los valores de las constantes obtenemos la expresión del campo en todos los puntos del espacio View slide
  • Justo en la superficie exterior de la esfera este campo se reduce aVemos que, efectivamente, en la superficie de la esfera el campo es puramente tangencial a ella.3 Fuentes del campoUna vez que tenemos el campo, podemos calcular las fuentes que lo producen. Estas son necesariamente vectoriales ypueden ser volumétricas o de superficie. Su expresión viene dada por la ley de Ampère3.1 Densidad volumétricaLa densidad de corriente de volumen es nula en el interior de la esfera, por ser el campo nuloEn el exterior, empleamos la expresión del rotacional en coordenadas esféricas:
  • El 0 de la segunda fila del determinante expresa el que sabemos que ninguna de las cantidades depende de la coordenadaacimutal y por tanto, todas las derivadas respecto a esta variable van a ser nulas.Sustituyendo los valores de las componentes quedaEs decir, no hay densidades de corriente de volumen en ningún punto del espacio.3.2 Densidad superficialPara hallar la densidad superficial de corriente en la superficie de la esfera aplicamos la condición de saltoSustituyendo las expresiones del campo justo fuera de la superficie y justo dentro de ella
  • Tenemos entonces una densidad de corriente en la dirección acimutal, que se anula en los polos de la esfera y es máximaen el ecuador.4 Comportamiento asintótico del campoEn puntos alejados de la esfera, los términos que van como 1 / r3 se hacen despreciables, por lo que el campo se reduce aA partir de las relaciones entre las diferentes bases vectoriales, podemos ver que este campo es simplementeesto es, en puntos alejados de la esfera es simplemente un campo uniforme en la dirección del eje Z.5 Momento dipolar magnético5.1 A partir del campoEl campo exterior completo es igual al que acabamos de hallar más otro término. Podemos escribir la descomposicióncomosiendo el asintóticoy el resto
  • El que este campo decaiga como el cubo de la distancia ya lo identifica como campo dipolar.Si consideramos el campo de un dipolo en la dirección del eje Z,quedaVemos que la expresión es completamente idéntica a la anterior si hacemoslo que nos da el momento dipolarEl momento dipolar va en sentido opuesto al campo asintótico, verificando la regla de la mano derecha respecto a lascorrientes superficiales.
  • 5.2 A partir de las corrientesEl momento dipolar se puede hallar también a partir de las corrientes que fluyen por la superficie de la esfera,cumpliéndoseSustituyendo los diferentes términosAquí hay que tener cuidado a la hora de integrar porque los vectores de la base dependen de la posición. Pasando a labase cartesiana
  • La integral en da un factor 2π, mientras que las integrales en θ cumplenLo que nos da finalmentecoincidente con el valor obtenido anteriormente.