Irrational Numbers. The mystery

1,310 views
1,240 views

Published on

https://uoa.academia.edu/DrChalkouMaria

Published in: Science
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,310
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
742
Actions
Shares
0
Downloads
23
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Irrational Numbers. The mystery

  1. 1. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  2. 2. ΟΡΙΣΜΟΙ  Είναι γνωστό, ότι ένας αριθμός είναι άρρητος αν δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα της μορφής μ/ν, όπου μ, ν ακέραιοι με (μ,ν)= 1, και ν διάφορο του μηδενός.  Οι άρρητοι αριθμοί μπορεί να είναι είτε αλγεβρικοί (ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές) όπως π.χ. η √3 (είναι ρίζα της εξίσωσης χ²-3= 0), είτε υπερβατικοί (δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ρητούς συντελεστές της οποίας να είναι ρίζες), όπως π.χ. οι αριθμοί π, e. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  3. 3. ΤΟ 10ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ  Το βιβλίο Χ του Ευκλείδη το οποίο σχετίζεται με τα ασύμμετρα μεγέθη μας προκαλεί δέος λόγω του όγκου αλλά και της δύσκολης μεθοδολογίας του. Θεωρείται -ίσως όχι άδικα- ένα από τα πιο βαθυστόχαστα και δυσκολονόητα μαθηματικά κείμενα στην Ιστορία των Μαθηματικών.  Η πρόθεση να διευκρινιστούν οι γεωμετρικές φόρμες που χρησιμοποίησε ο Ευκλείδης αποτυγχάνει ακόμα και με σύγχρονους υπολογισμούς. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  4. 4. Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ  Σύμφωνα με τον T. Heath οι αρχαίοι Έλληνες άρχισαν να ασχολούνται με τα ασύμμετρα μεγέθη, όταν αυτά προέκυψαν σαν ρίζες Β΄ βαθμίων εξισώσεων.  Σύγχρονοι μελετητές υποστηρίζουν, πως η ανακάλυψη των ασυμμέτρων, η οποία έγινε πριν από το μέσον του 5ου αι. οφείλεται στον Πυθαγόρα. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  5. 5. ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ  Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης θεωρούσαν τη πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ως παραδειγματικά ασύμμετρα μεγέθη, οι δε δυσκολίες που προκύπτουν για τον υπολογισμό της ρίζας του 2 έχουν ιστορία 1000 χρόνων.  Κατά τον Πλάτωνα οι γραμμές ορίζονται ως "μήκη" και τα τετράγωνα τους ως "δυνάμεις". Αυτές οι τελευταίες μπορεί να μην είναι σύμμετρες στο μήκος, αλλά μόνο κατά τα εμβαδά που παράγουν. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  6. 6. ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ΚΑΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ  Κατά τον Θεαίτητο, αν έχουμε δύο γραμμές σύμμετρες σε τετράγωνο, αλλά όχι σε μήκος, τότε και ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός καθώς και ο αρμονικός μέσος τους θα είναι άρρητες γραμμές.  Κατά τον Ευκλείδη, αν θεωρήσουμε δύο γραμμές α, β σύμμετρες μόνο σε τετράγωνο, τότε το άθροισμά τους είναι άλογος (όχι ρητή) και ονομάζεται διωνυμική γραμμή.  Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαφορά τους (αν από τη μεγαλύτερη αφαιρεθεί η μικρότερη), η οποία καλείται αποτομή.  Αν για τις ίδιες γραμμές θεωρήσουμε το γινόμενό τους γ2=α.β, τότε και αυτό είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέσο εμβαδόν.  Επιπλέον η γ είναι ασύμμετρο μέγεθος και ονομάζεται μέση γραμμή. 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor
  7. 7. ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ  Κάτω άραγε από ποιες συνθήκες μία τετραγωνική ρίζα είναι μία διωνυμική ή μία αποτομή;  Αν λυθεί το πρόβλημα αυτό μήπως θα έχουμε το κλειδί για την εξήγηση του νοήματος όλης της θεωρίας του Ευκλείδη; 15/7/2014 Dr. Maria D. Chalkou, State High School Advisor

×