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Matematica de 8º en chile
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Libro con contenido para el estudio de la matemática básica y soluciones a las

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  • 1. Texto derevisióny prácticaTexto derevisióny prácticaBásicoMaría Teresa Dittborn BaezaProfesora de Estado en Matemáticas, Educación Media,Pontifica Universidad Católica de Chile.Magdalena Goldenberg CánepaProfesora de Estado en Matemáticas, Educación Media,Pontifica Universidad Católica de Chile.Agnes Gatica JofréProfesora de Estado en Matemáticas, Universidad de Chile.Verónica Araneda ArandaProfesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile.Magíster en Educación. Universidad Internacional SEK.Carolina Henríquez RivasProfesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile.Magíster en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
  • 2. El Texto de revisión y práctica Matemática 8º básico, es una obra colectiva, creada y diseñada por eldepartamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVACoordinación de proyecto: Eugenia Águila GarayCoordinación área Matemática: Viviana López FusterEdición: Javiera Setz Mena Felipe Márquez Salinas María Andrea Canals Cifuentes Alejandro Sepúlveda Peñaloza Carmen Muñoz CorreaAutoras: María Teresa Dittborn Baeza Magdalena Goldenberg Cánepa Agnes Gatica Jofré Verónica Araneda Aranda Carolina Henríquez RivasCorrección de estilo: Lara Hübner GonzálezDocumentación: Paulina Novoa Venturino Cristián Bustos ChavarríaLa realización gráfica ha sido efectuada bajo la coordinación de: Xenia Venegas ZevallosJefa de diseño área Matemática: Mariela Pineda GálvezDiagramación: Mariela Pineda Gálvez María Elena Nieto FloresProducción: Germán Urrutia GarínQuedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización es-crita de los titulares del “Copyright”, bajo las sancionesestablecidas en las leyes, la reproducción total o parcialde esta obra por cual quier medio o procedimiento, com-prendidos la reprografía y el tratamiento informático, yla distribución en ejemplares de ella mediante alquiler opréstamo público.© 2012, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por WorldColor Chile S.A.ISBN: xxx-xxx-xx-xxxx-xInscripción N°: xxx.xxxSe terminó de imprimir esta 1a edición de xxx.xxxejemplares, en el mes de _________ del año 2012.www.santillana.cl
  • 3. ÍndiceÍndice 3ÍndiceUnidad 3: Geometría•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••78Ángulos opuestos por el vértice y entreparalelas cortadas por una transversal•••••••••••••••••••• 80Ángulos en polígonos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 82Triángulos y sus elementos••••••••••••••••••••••••••••••••• 84Ángulos y segmentos•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 86Transformaciones, reflexiones y rotaciones•••••••••••••• 88Teselaciones•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 90Áreas de triángulos y paralelogramos•••••••••••••••••••• 92Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 94Teorema de Pitágoras y su recíproco•••••••••••••••••••••• 96Área y volumen de prismas rectos••••••••••••••••••••••••• 98Área y volumen de pirámides•••••••••••••••••••••••••••• 100Longitud de la circunferenciay área del círculo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 102Área y volumen de cilindros y de conos•••••••••••••••• 104Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 106Evaluación de síntesis de la unidad 3•••••••••••••••••• 108Unidad 2: Números y álgebra••••••••••••••••••••••••••••42Concepto de potencia••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 44Descomposición de números utilizandopotencias de 10••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 46Multiplicación y división porpotencias de 10••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 48Potencias de 10 con exponente entero•••••••••••••••••• 50Multiplicación y división de potenciasde igual base o de igual exponente••••••••••••••••••••••• 52Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 54Potencias de base fraccionaria o decimalpositiva y exponente natural••••••••••••••••••••••••••••••• 56Multiplicación y división de potencias de base fraccionariao decimal positiva y exponente natural•••••••••••••••••• 58Potencias de base enteray exponente natural•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 60Raíces cuadradas y teorema de Pitágoras•••••••••••••••• 62Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 64Generalización de propiedades y valornumérico de expresiones algebraicas•••••••••••••••••••• 66Reconocimiento y reducción de expresionescon términos semejantes••••••••••••••••••••••••••••••••••• 68Traducción de expresiones del lenguajenatural al simbólico••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 70Ecuaciones de primer grado•••••••••••••••••••••••••••••••• 72Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 74Evaluación de síntesis de la unidad 2••••••••••••••••••••76Unidad 1: Números•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 6Números naturales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 8Descomposición en factores primos,múltiplos y divisores•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 10Operaciones con números naturales••••••••••••••••••••• 12Fracciones•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14Adición y sustracción de fracciones••••••••••••••••••••••• 16Multiplicación y división de fracciones••••••••••••••••••• 18Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20Números decimales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 22Operaciones con números decimales•••••••••••••••••••• 24Operaciones con fraccionesy números decimales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 26Razones y porcentajes como una fraccióno un número decimal•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 28Cálculo de porcentajesy variaciones porcentuales•••••••••••••••••••••••••••••••••• 30Proporciones••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 32Números enteros•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 34Operaciones con números enteros•••••••••••••••••••••••• 36Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 38Evaluación de síntesis de la unidad 1••••••••••••••••••••40Unidad 4: Datos y azar•••••••••••••••••••••••••••••••••••110Gráficos de líneas y barras múltiples•••••••••••••••••••• 112Gráficos circulares••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 114Análisis e interpretación de gráficos•••••••••••••••••••• 116Tablas de frecuencias••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 118Medidas de tendencia central•••••••••••••••••••••••••••• 120Poblaciones y muestras•••••••••••••••••••••••••••••••••••• 122Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 124Espacios muestrales y sucesos••••••••••••••••••••••••••• 126Probabilidad teórica de un suceso•••••••••••••••••••••• 128Sucesos seguros, probablese imposibles••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 130Probabilidades a partirde datos empíricos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 132Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 134Evaluación de síntesis de la unidad 4•••••••••••••••••• 136Unidad 5: Álgebra•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••138Relación entre dos variables•••••••••••••••••••••••••••••• 140Funciones, variables dependientese independientes••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 142Relación de proporcionalidad directa••••••••••••••••••• 144Relación de proporcionalidad inversa•••••••••••••••••• 146Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 148Evaluación de síntesis de la unidad 5•••••••••••••••••• 150Solucionario•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 152
  • 4. Estructura del Texto4Estructura del TextoPáginas de inicioAl comienzo de cada unidadencontrarás dos páginas queincluyen un esquema quete ayudará a organizar loscontenidos que revisarásy practicarás.HabilidadesEn esta sección podrás conocer las habilidades quedesarrollarás con los ejercicios y problemas propuestos.Para recordarEn esta sección te presentamos un resumende los principales contenidos de la unidad.Páginas de desarrolloEjercicios resueltosCada página de desarrollocomienza por ejercicios resueltospaso a paso, que te serviránpara recordar lo que sabes ypodrás usarlos como modelopara desarrollar los ejercicios yproblemas propuestos.Ejercicios y problemas propuestosPodrás encontrar una variedad de ejercicios y problemasque te permitirán revisar lo que sabes y practicarlo.Cada vez que encuentres este recuadroen un ejercicio o problema, te indicaráque es un desafío.Unidad 4 – Datos y azar 1133. En la siguiente tabla se muestran los porcentajesde personas que respondieron la pregunta: “¿Haconsumido alcohol o tabaco el último mes?”,en los años 2000 a 2008.2000 2002 2004 2006 2008Alcohol 54,4 59,6 57,9 58,1 49,8Tabaco 44 43,6 43,6 42,4 41,2Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011.En www.conace.cl.a. Realiza un gráfico de líneas que representeesta información.b. Realiza un gráfico de barras múltiples querepresente esta información.c. En general, ¿más personas consumen tabacoo alcohol?d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo detabaco a lo largo de los años?e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personasque consumió alcohol el último mes?Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puedeobtener de la tabla anterior?A. El consumo de alcohol presentó una mayordisminución que el consumo de tabaco.B. Más personas consumen alcohol que tabaco.C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes depersonas que consumieron tabaco y alcohol.5. En el gráfico se muestran las ventas realizadasen una casa comercial, durante los seis primerosmeses del año 2011. ¿Cuál de las siguientesalternativas es correcta?A. Las ventas mejoraron en febrero.B. Las ventas comenzaron a subir en marzo.C. Las ventas serán mejores en agosto.D. En febrero no hubo ventas.6. El saldo migratorio es la diferencia entre lasinmigraciones y las emigraciones en una regióndeterminada. En el siguiente gráfico se muestranlos valores del saldo migratorio de algunas regionesde Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones nose puede deducir del gráfico?Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultadoen junio de 2011. En www.ine.clA. En la Quinta región de Valparaíso se registraronmás inmigraciones que emigraciones.B. En la Undécima región de Aysén del GeneralCarlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmi-graciones fue similar a la de emigraciones.C. En la Décima región de Los Lagos inmigraronmás hombres que mujeres.D. En la Tercera región de Atacama fueron más lasmujeres que emigraron que las que inmigraron.7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de8º básico con notas bajo 4 en Matemática.Nº de alumnos con notas bajo 4 8º A 8º B1 3 12 0 13 0 14 1 25 2 0a. Realiza un gráfico de barras múltiples querepresente esta información usando unaplanilla de cálculo.b. ¿En qué curso hay más alumnos con notasbajo 4?c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje dealumnos con notas bajo 4?d. ¿En qué curso hay más alumnos con más dedos notas bajo 4?Unidad4800 000Ventas del primer semestre700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 0000EneroFebreroMarzoAbrilMayoJunioJulio15 000III V X XIHombresMujeres5 0000–5 000–10 000–15 00010 000VIII
  • 5. ÍndiceEstructuradelTextoEstructura del Texto 5Páginas de cierrePreparando el SIMCEIncluimos algunas preguntas detipo SIMCE, que te ayudarán aejercitar más y prepararte mejor.Evaluación de síntesisde la unidadEn cada unidad encontrarásestas páginas en las que podrásautoevaluar los aprendizajes quelograste en cada unidad, a travésde diversos tipos de ejerciciosy problemas.SolucionarioAl final de tu texto encontrarás elsolucionario que te permitirá revisarsi tus respuestas son correctas.
  • 6. Unidad 1 – Números61UnidadNúmerosHabilidades• Leer y escribir números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos.• Interpretar y comunicar información relativa a números enteros, fracciones positivas, números decimalespositivos, razones y porcentajes, en contextos diversos.• Formular, verificar conjeturas y resolver problemas que implican descomposición en factores primos ycálculo de múltiplos, factores y divisores de números naturales.• Comparar y ordenar números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos, y ubicarlos en larecta numérica.• Formular y utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y con herramientas tecnológicas con númerosenteros, fracciones positivas y números decimales positivos.• Resolver problemas que involucran la operatoria con números enteros, fracciones positivas y númerosdecimales positivos.• Utilizar las razones para comparar cantidades, calcular porcentajes y variaciones porcentuales en diversoscontextos y usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.• Realizar transformaciones entre fracciones positivas, decimales positivos y porcentajes.• Analizar si un problema tiene solución en el conjunto de los números naturales.• Establecer estrategias para resolver divisiones de números enteros, determinar y verificar la relaciónentre los elementos de una división y extender el algoritmo de la división de los números naturales a losnúmeros enteros.NúmerosResoluciónde problemas Descomposición enfactores primosMúltiplos y divisoresLectura y escrituraOperacionesPorcentaje Variacionesporcentualesmcm y mcdDivisibilidadProporcionesNúmerosnaturalesFraccionesy númerosdecimalesRelaciones de ordeny representación enla recta numéricaNúmerosenterosRazones• Los números sirven para expresar distinto tipode información y pueden usarse para identificar,ordenar o cuantificar.• El conjunto de los números naturales tiene unnúmero infinito de elementos. Se simboliza porN y se representa por: N = {1, 2, 3, 4, … }.• El conjunto de los números enteros estácompuesto por los números naturales, el ceroy los números negativos. Se simboliza por Z y serepresenta por: Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3… }.P ara recordar
  • 7. Unidad 1 – Números 7• En la recta numérica, un número natural, entero,fracción o decimal, es mayor que todos losnúmeros que están a su izquierda y es menorque cualquier número que esté a su derecha.• Cuando se multiplica un número natural porcada uno de los números naturales, se obtienenlos múltiplos del número.• Los divisores de un número natural son aquellosque lo dividen en forma exacta. Aquellos núme-ros mayores que 1 que tienen solo 2 divisoresy distintos entre sí, el 1 y el mismo número, sellaman números primos. Los que tienen más dedos divisores se llaman números compuestos.• Todo número compuesto se puede escribir comomultiplicación de dos o más números primos,esta se llama descomposición en factores primos.• El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor delos múltiplos comunes entre dos o más números.• El máximo común divisor (mcd) es el mayor delos divisores comunes entre dos o más números.• Para ordenar fracciones, se puede utilizar la relaciónab<cdsi y solo si ad < bc.• Para sumar o restar fracciones se puedenamplificar o simplificar para obtener fraccionesequivalentes que tengan igual denominador.Luego se suman o restan los numeradores, segúncorresponda, y se conserva el denominador.• El producto de dos o más fracciones es una fraccióncuyo denominador corresponde al productoentre sus denominadores, y el numerador es elproducto entre sus numeradores.• Para dividir una fracción por otra fracción, semultiplica la primera fracción por el recíprocode la segunda.• Toda fracción se puede transformar en unnúmero decimal, calculando la división entre sunumerador y su denominador.• Para ordenar números decimales se comparaprimero la parte entera de cada número decimaly después uno a uno los dígitos decimalescorrespondientes a cada posición, en la partedecimal, comenzando por la de mayor valor(décimos), hasta que una de ellas sea menor omayor que la otra.• Para sumar y restar números decimales, seordenan de manera que la coma decimal quedeen la misma posición. Luego, se suman o restancomo si fueran números naturales, escribiendoposteriormente la coma donde corresponda enel resultado.• Para multiplicar números decimales, se debenmultiplicar como si fueran números naturales yen el producto escribir la coma según la can-tidad de cifras decimales que tengan en totalambos factores.• En la división de números decimales se puedemultiplicar el dividendo y el divisor por unapotencia de 10, de modo que se obtenga unadivisión equivalente a la original, la que tendráel mismo cociente.• Se llama razón a la comparación por cocienteentre dos cantidades a y b cualesquiera. La razónentre a y b se puede expresar como a : b o bien aby se lee “a es a b”, donde a es el antecedente y b, el consecuente.• El valor de la razón es el cociente entre lascantidades.• El porcentaje es una comparación por cociente enque se compara con 100, por lo que se representacon una fracción cuyo denominador es 100.• Una proporción es una igualdad entre dos o másrazones. La proporción entre las cantidades a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien, ab= cdy se lee “a es a b como c es a d”.• En toda proporción se cumple que: ab= cdsi ysolo si a · d = b · c.• Para sumar números enteros de igual signo, sesuman sus valores absolutos y se conserva el signo.Si son de distinto signo, restamos sus valoresabsolutos y, al resultado, le asignamos el signodel número de mayor valor absoluto.• Para restar dos números enteros, se suma al mi-nuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo:–4 – (–1) = –4 + (+1) = –3.• Para multiplicar o dividir números enteros, sedeben multiplicar o dividir sus valores absolutosy al resultado anteponer el signo + si los facto-res tienen el mismo signo, o el signo – si tienendistinto signo.• Si la división entre dos números enteros esinexacta se procede según el algoritmo de ladivisión: el dividendo es igual al divisor por elcociente más el resto o residuo. El resto es mayorque cero y menor que el valor absoluto del divisor.
  • 8. Unidad 1 – Números8Números naturales1. Escribe con palabras los siguientes números.a. 1 256 879b. 3 709 023c. 12 578 900d. 134 612 004e. 645 876 245f. 2 502 003 603g. 24 657 120 032h. 176 890 116 7542. Escribe el número que corresponda en cada caso.a. Siete millones trescientos cincuenta y cuatromil doscientos nueve.b. Nueve millones doscientos cuatro mil seis.c. Ochocientos ochenta millones ochocientostreinta mil quinientos noventa y seis.d. Tres mil cuatrocientos noventa y cuatromillones siete.e. Mil veintinueve millones setecientos sesentay dos mil novecientos treinta y cinco.f. Sesenta y tres mil doscientos ocho millonescuatrocientos setenta y dos mil ochenta y siete.g. Quinientos setenta y cinco mil trescientosdoce millones ciento sesenta y ocho milcuatrocientos cincuenta.3. Identifica el valor que representa el dígito 1 encada uno de los siguientes números.a. 231 567 d. 83 457 914b. 1 006 435 e. 13 296 703c. 4 456 781 f. 215 369 8024. ¿Cuál es el número cuya descomposición es:3 UMi + 5 UM + 6 C + 4 D + 3 U? Marca laopción correcta.A. 3 050 643 C. 3 005 643B. 3 500 643 D. 3 056 0435. Escribe el número correspondiente a cada una delas siguientes descomposiciones.a. 1 UMi + 6 CM + 4 DM + 6 C + 3 Ub. 3 UMi + 5 CM + 7 DM + 9 UMc. 8 UMi + 7 CM + 5 DM + 9 UM + 4 C + 2 Ud. 9 DMi + 7 UMi + 8 DM + 4 UM + 3 D + 1 Ue. 4 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 3 · 1 000 + 2 · 100f. 7 · 1 000 000 + 9 · 10 000 + 3 · 100 + 4 · 16. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que4 690 730? Marca la opción correcta.A. 4 096 740 C. 4 609 780B. 4 690 703 D. 4 906 700Ejercicios resueltos1. El total recaudado en la Teletón del año 2008 fue $ 22 533 294 849. ¿Cómo se lee el número anterior?El número se puede descomponer de la siguiente manera:22 533 000 000 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones.294 000 se lee doscientos noventa y cuatro mil.849 se lee ochocientos cuarenta y nueve.Por lo tanto, el número 22 533 294 849 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones doscientos noventay cuatro mil ochocientos cuarenta y nueve.2. Escribe el número que corresponde a la siguiente descomposición:8 UMi + 2 CM + 9 DM + 1 UM + 9 D + 5 USi escribimos el valor de cada número, según su posición, obtenemos:8 000 000 + 200 000 + 90 000 + 1 000 + 90 + 5 = 8 291 0953. Los radios aproximados de algunos planetas del sistema solar son: Tierra, 6 371 000 m; Venus, 6 051 800 m;Mercurio, 2 439 700 m y Marte, 3 389 500 m. Ordena los planetas mencionados del más pequeño al más grande.Si comparamos los números considerando el dígito de la unidad de millón, nos damos cuenta de que el númeromás pequeño corresponde al radio de Mercurio, seguido de Marte, Venus y la Tierra.Ejercicios y problemas propuestos
  • 9. Unidad 1 – NúmerosUnidad197. Compara los números y completa usando lossignos >, < o =, según corresponda:a. 134 987 123 988b. 2 347 098 3 247 098c. 4 546 781 4 456 799d. 546 908 213 54 698 213e. 502 547 020 547 502 020f. 1 024 684 213 1 024 684 213g. 23 798 607 321 23 798 670 321h. 156 847 820 001 156 847 001 8208. Construye en cada caso una recta numérica y ubicaen ella los siguientes grupos de números.a. 1 000 000 – 5 000 000 – 7 000 000b. 2 100 000 – 2 300 000 – 2 400 000c. 41 250 000 – 41 500 000 – 41 650 000d. 14 600 000 – 15 000 000 – 15 100 0009. Utilizando los dígitos 0, 1, 3, 4, 6, 7 y 9, sinrepetirlos, determina:a. el número mayor que se puede formar.b. el número menor que se puede formar.c. el número menor de siete cifras que sepuede formar.d. ¿Coinciden los resultados que obtuviste enlas preguntas b y c?, ¿por qué?10. Utilizando los diez dígitos y sin repetirlosdetermina el número mayor que se puedeformar. Luego, responde.a. ¿Cómo se escribe el número que formaste,usando cifras?b. ¿Cómo se escribe con palabras el númeroque formaste?c. ¿Qué valor representa el dígito 5 eneste número?d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la unidadde millón?11. Utilizando los diez dígitos y sin repetirlos,determina el menor número de diez cifras quese puede formar. Luego, responde.a. ¿Cómo se escribe el número que formaste,usando cifras?b. ¿Cómo se escribe con palabras el númeroque formaste?c. ¿Qué valor representa el dígito 8?d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la centenade millón?e. ¿Qué dígito ocupa la posición de la UMMi?12. En una campaña de solidaridad, el colegio SantaTeresa logró recaudar $ 3 567 231, mientras queel colegio Los Alerces reunió $ 3 675 123.a. ¿En qué colegio se reunió más dinero?b. ¿Qué valor representa el dígito 6 en losnúmeros anteriores?13. La siguiente tabla muestra la superficie dealgunos países latinoamericanos.País Superficie (km2)Perú 1 285 215Argentina 2 780 400Bolivia 1 098 581a. Construye una recta numérica donde serepresenten los números de la tabla,redondeados a la centena de mil.b. ¿Cuál de los tres países tiene la mayor superficie?,¿cómo lo supiste?14. La siguiente tabla muestra la distancia entrealgunos planetas y el Sol.Planeta Distancia del Sol (km)Tierra 149 598 262Mercurio 57 909 227Marte 227 943 824Júpiter 778 340 821Venus 108 209 475Fuente: NASA, en: http://solarsystem.nasa.gov/index.cfm.Consultado en julio de 2011.a. ¿Cuál es el planeta más lejano al Sol?, ¿y elmás cercano?b. Ordena los nombres de los planetas deacuerdo a su distancia del Sol, del máscercano al más lejano.15. Un número capicúa es aquel que se lee igual dederecha a izquierda que de izquierda a derecha.Por ejemplo, el 23 632 es un número capicúa.a. Escribe 5 números capicúas de 7 cifras.b. Joaquín piensa en un número capicúa de7 cifras, menor que 2 000 000 y que cumple lassiguientes características: el dígito de las cente-nas es el triple que el de las decenas, el dígitode las decenas es el doble que el de la unidadde millón y el dígito de la unidad de mil es elcuádruple que el de la centena de mil. ¿Cuál esel número pensado por Joaquín?
  • 10. Unidad 1 – Números10Ejercicios y problemas propuestos1. ¿Cuál de los siguientes números no es divisorde 84? Marca la opción correcta.A. 14 C. 21B. 16 D. 282. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de13? Marca la opción correcta.A. 42 C. 75B. 91 D. 693. Escribe, de todas las formas posibles, el número144 como el producto de dos factores.4. Determina los siete primeros múltiplos de lossiguientes números.a. 3 d. 12b. 8 e. 14c. 9 f. 175. Determina todos los divisores de cada uno de lossiguientes números.a. 33 d. 65b. 27 e. 54c. 32 f. 72Ejercicios resueltos1. Determina el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) entre los números 12, 18 y 30.Una estrategia es descomponer los números en sus factores primos:Luego, la descomposición en factores primos de los números 12, 18 y 30 es:12 = 2 · 2 · 3 18 = 2 · 3 · 3 30 = 2 · 3 · 5Para calcular el mcm entre los números 12, 18 y 30 consideramos todos los factores primos que estén en algunade las descomposiciones, en este caso el 2, el 3 y el 5. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite lamayor cantidad de veces cada factor. En el ejercicio planteado, el 2 se repite dos veces, el 3 se repite dos veces yel 5 se repite una vez. Lo que significa que: mcm(12, 18, 30) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.Para calcular el mcd entre los números 12, 18 y 30 consideramos los factores primos que estén en todaslas descomposiciones, en este caso el 2 y el 3. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite la menorcantidad de veces cada factor. En este caso, el 2 se repite una vez y el 3 se repite una vez. Lo que signifca que:mcd(12, 18, 30) = 2 · 3 = 6.2. Un comerciante debe viajar a una ciudad cada 6 días, otro lo hace cada 8 días y un tercer comerciante, cada12 días. Si hoy los tres coincidieron en el terminal de buses, ¿dentro de cuántos días volverán a viajar los tresa la misma ciudad?Este problema equivale a hallar el mínimo común múltiplo entre los números 6, 8 y 12. Representamos losmúltiplos de dichas cantidades de la siguiente manera.Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60,…Observa que el múltiplo de menor valor que es común a 6, 8 y 12 es el 24, lo que significa que en 24 días más lostres comerciantes volverán a viajar a la misma ciudad.Descomposición en factores primos, múltiplos y divisores12 26 23 3118 29 33 3130 215 35 51
  • 11. Unidad 1 – Números 11Unidad16. Escribe, de todas las formas posibles, el número64 como el producto de dos factores distintos.7. Escribe, de todas las formas posibles, el número210 como el producto de tres factores, distintosde 1.8. En la siguiente tabla marca con una X si losnúmeros de la primera columna son divisiblespor 2, 5 o 9, según corresponda.2 5 949758641803153 78026 876157 9029. ¿Cuál de los siguientes números es primo? Marcala opción correcta.A. 15 C. 21B. 17 D. 2610. Escribe todos los números primos entre 20 y 40.11. Escribe el número 14 como la suma de tresnúmeros primos.12. A excepción del 2, ¿por qué no existen otros núme-ros primos que sean pares? Justifica tu respuesta.13. Escribe la descomposición en factores primosde los siguientes números.a. 12 e. 428b. 85 f. 720c. 200 g. 981d. 584 h. 1 20014. Determina el máximo común divisor entre lossiguientes números.a. 9 y 33 e. 15, 40 y 65b. 18 y 27 f. 24, 30 y 54c. 16, 32 y 72 g. 16, 18, 20 y 36d. 12, 24 y 42 h. 9, 12, 24 y 3615. Determina el mínimo común múltiplo entre lossiguientes números.a. 4 y 6 d. 8, 18 y 36b. 8 y 12 e. 12, 15 y 18c. 12, 16 y 24 f. 8, 10, 15 y 2016. Un número se dice “perfecto” si la suma de todossus divisores es igual al doble de dicho número.Por ejemplo, el número 6 es perfecto, pues1 + 2 + 3 + 6 = 12. ¿Cuál de los siguientesnúmeros es perfecto? Marca la opción correcta.A. 24 C. 36B. 28 D. 4817. Laura tiene 8 rosas, 12 tulipanes y 36 claveles.Si desea hacer arreglos florales idénticos:a. ¿cuál es el máximo número de arreglos queLaura puede hacer, usando todas las flores?b. ¿cuántas flores de cada tipo puede ponerLaura en cada arreglo?18. Resuelve los siguientes problemas.a. Daniel piensa embaldosar el piso de su cocinaque mide 250 cm por 350 cm. Para esto,decide comprar baldosas cuadradas. ¿Cuál esel área máxima de cada baldosa de modo quese pueda cubrir totalmente el piso de la cocinasin tener que cortar ninguna?b. Los buses a Valparaíso salen de la estacióncada 15 minutos; los buses a Zapallar, cada40 minutos, y los buses a La Calera, cada20 minutos. Si los tres buses salen a las 21:00 h,¿volverán a salir durante ese día los tres busesa la misma hora? Justifica tu respuesta.c. Maribel tiene dos tipos de perfumes: uno enun frasco de 32 mL y el otro, en uno de 24 mL,ambos llenos. Si decide combinar ambosperfumes, vertiendo la misma cantidad decada uno en diferentes frascos, ¿en cuántosfrascos, como máximo, podría combinarlos perfumes?19. El máximo común divisor de dos númerosdiferentes es 43. ¿Qué números son, si ambostienen dos cifras?20. Determina dos números de tres cifras cuyoproducto es igual a 555 555.21. ¿Cuántos números positivos menores que100 tienen solo tres divisores?, ¿cuáles sonesos números?, ¿qué tienen en común?
  • 12. Unidad 1 – Números12Ejercicios y problemas propuestos1. Calcula en forma mental los siguientes ejercicios.a. 1 500 000 + 2 300 000 =b. 2 350 000 + 13 700 000 =c. 6 850 000 – 2 150 000 =d. 12 560 000 – 6 110 000 =e. 1 500 ∙ 100 =f. 2 400 000 · 60 =g. 12 000 000 : 500 =h. 7 200 000 : 20 =2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.a. 378 654 + 1 789 341 =b. 23 574 560 + 3 670 234 =c. 6 113 027 – 569 974 =d. 7 219 989 – 5 639 946 =e. 4 113 650 + 483 722 – 3 493 751 =f. 2 942 652 – 1 009 450 + 496 005 =3. Resuelve las siguientes multiplicacionesy divisiones.a. 233 008 ∙ 15 =b. 121 ∙ 2 100 =c. 7 120 472 ∙ 381 =d. 6 720 560 : 40 =e. 8 775 000 : 450 =f. 2 122 230 : 654 =g. 2 000 · 45 : 25 =h. 123 · 65 : 5 =i. 23 211 : 9 · 4 =4. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.a. (672 + 15) ∙ 200 =b. 536 341 – 265 · 14 =c. 12 · 64 + 388 : 4 =d. 32 · (326 – 121) + 5 865 =e. 12 487 + 15 543 ∙ 300 – 900 : 300 =f. 10 001 ∙ 200 – 600 ∙ 303 + 92 894 =g. 2 500 : 500 + 704 ∙ 100 – 10 000 : 100 =5. ¿Qué número es cuatro unidades de millón mayorque 450 050 400? Marca la opción correcta.A. 450 050 408B. 450 054 400C. 454 050 400D. 850 050 4006. Si en una adición uno de los sumandos es64 876 210 y la suma es 184 710 227, ¿cuál esel valor del otro sumando? Marca la opcióncorrecta.A. 119 834 017 C. 249 586 347B. 119 834 117 D. 249 586 4377. Si en una adición la suma es 6 987 456 y uno delos sumandos es 1 667 892, ¿cuál es elotro sumando?8. Si en una sustracción la diferencia es 3 567 612 yel sustraendo, 8 091 254, ¿cuál es el minuendo?Ejercicios resueltos1. Fernanda compró un departamento por $ 12 580 600. Si dio un pie de $ 3 850 000 y el resto lo pagará en50 cuotas iguales, sin interés, ¿cuál será el valor de cada cuota?Calculamos el total que Fernanda tendrá que pagar después de haber cancelado el pie:12 580 600 – 3 850 000 = 8 730 600Entonces, Fernanda deberá cancelar $ 8 730 600, en 50 cuotas iguales. Luego, el valor de cada cuota será:8 730 600 : 50 = 174 612Por lo tanto, cada cuota será de $ 174 612.2. Según el último censo realizado en nuestro país, la Región de Valparaíso tenía 321 710 habitantes menosque la del Biobío. Si la población total de la Región del Biobío era de 1 861 562 habitantes, ¿cuántas personasvivían en la Región de Valparaíso?Para calcular la cantidad de habitantes que vivía en la Región de Valparaíso calculamos:1 861 562 – 321 710 = 1 539 852Luego, en la Región de Valparaíso vivían 1 539 852 personas.Operaciones con números naturales
  • 13. Unidad 1 – Números 13Unidad19. Si en una sustracción el minuendo es 7 329 897 yla diferencia, 3 189 675, ¿cuál es el sustraendo?10. Resuelve las siguientes situaciones, utilizandouna calculadora.a. Si en una multiplicación el producto es128 773 120 y uno de los factores es 1 024,¿cuál es el otro factor?b. Si en una división exacta el cociente es 1 907y el divisor 2 806, ¿cuál es el dividendo?c. Si en una división exacta el cociente es 2 011y el dividendo, 1 693 262, ¿cuál es el divisor?11. Si el cociente de la división a : b es c y su resto esd, ¿cuál de las siguientes igualdades es correcta?Marca la opción correcta.A. a = bc + dB. a = cd + bC. b = ad + cD. b = ac + d12. Si en una división el cociente es 290, el divisor es38 y el resto es 24, ¿cuál es el dividendo?13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?A. En una división inexacta el resto siempre esdistinto de cero.B. El divisor es igual al producto entre el dividendoy el cociente, más el resto.C. Si el dividendo es mayor que el divisor, el restosiempre es distinto de cero.D. El dividendo es igual al producto entre eldivisor con el cociente, menos el resto.14. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene el mismoresultado que: 365 214 · (214 874 + 2 654 875)?A. 365 214 · 214 874 + 2 654 875B. 365 214 · 2 654 875 + 214 874C. 365 214 · 214 874 + 365 214 · 2 654 875D. 365 214 + 214 874 · 2 654 87515. ¿Qué propiedad se puede utilizar para responderla pregunta anterior sin hacer ningún cálculo?A. Conmutativa de la adición.B. Asociativa de la multiplicación.C. Distributiva de la multiplicación respectode la adición.D. Elemento neutro de la multiplicación.16. Si en una multiplicación uno de los factores esigual al producto, ¿cuál es el otro factor?17. En la Teletón del año 2008 se reunió en total$ 22 533 294 849, de los cuales $ 17 314 939 820fueron aportes públicos y el resto, de empresas.Usando tu calculadora, determina cuánto dineroen total donaron las empresas.18. En una empresa, 52 800 manzanas son almacena-das en cajas de 44 unidades.a. ¿Cuántas cajas se necesitan para almacenartodas las manzanas?b. Si cada caja se vende a $ 1 200, ¿cuántodinero se obtiene al vender todas las cajas?19. Don Raúl tiene un vehículo que gasta, en promedio,1 L de combustible cada 12 km recorridos.Si un día recorrió 60 km en su vehículo:a. ¿cuántos litros de combustible utilizó?b. ¿cuánto dinero aproximadamente gastóen bencina, sabiendo que el valor del litroes $ 702?20. Resuelve los siguientes problemas.a. Felipe dice que el resultado de la expresión4 500 + 500 ∙ 500 es 2 500 000. Laura dice quees 254 500. ¿Quién dice lo correcto? Explica.b. María es capaz de leer 420 palabras porminuto. Si un día leyó durante media hora enla mañana y tres cuartos de hora en la tarde,¿cuántas palabras pudo leer, en total, ese día?c. En un almacén, 1 kg de pan cuesta $ 790y 1 L de leche, $ 510. Si Ana compró 5 kgde pan y 3 L de leche, ¿cuánto dinerogastó, aproximadamente?d. Si una máquina imprime 6 páginas por minuto,¿cuántas horas se demoraría en imprimir720 páginas?e. Sara compró varias bebidas a $ 350 cada una.Si pagó con un billete de $ 5 000 y recibió$ 1 150 de vuelto, ¿cuántas bebidas compró?f. Para atraer más clientes, una automotorahace un descuento de $ 1 250 000 por cadacamioneta que se cancele al contado. ¿Cuáles el precio que cancelaría Jorge si quisieracomprar una camioneta de $ 8 230 650al contado?g. Para comprar un auto, Martín debe pagar unpie de $ 3 555 800 y el resto, cancelarlo en36 cuotas de $ 149 000. ¿Cuánto tiene quepagar en total por el auto?
  • 14. Unidad 1 – Números141. Escribe con palabras las siguientes fracciones.a. 13 e. 12100b. 57 f. 1 69c. 810 g. 53542d. 1312 h. 318192. ¿Cómo se escribe la fracción “doce séptimos”?Marca la opción correcta.A. 1 27 C. 127B. 12 17 D. 12173. Representa las siguientes fracciones en suforma numérica.a. Tres octavos.b. Siete sextos.c. Doce séptimos.d. Quince décimos.e. Veintinueve diecinueveavos.f. Tres enteros un cuarto.g. Siete enteros quince dieciochoavos.h. Dos enteros trece milésimos.4. Observa la figura y responde.a. ¿Qué fracción del total de globos son azules?Represéntalo con cifras.b. ¿Qué fracción del total de globos son verdes?Escríbelo con palabras.5. Representa los siguientes números mixtos comofracciones impropias.a. 4 37 c. 13 14b. 2 79 d. 718196. En cada caso, determina 3 fracciones equivalentesa cada fracción dada.a. 59 c. 1832b. 1421 d. 3 315Ejercicios y problemas propuestosEjercicios resueltos1. ¿Qué fracción del total de letras del abecedario son vocales?, ¿qué fracción son consonantes?Consideramos las 27 letras del abecedario: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.Del total de letras, solo 5 son vocales (A, E, I, O, U).Por lo tanto, un 527del abecedario son vocales.Si hay 5 vocales, entonces hay 22 consonantes. Esto significa que un 2227del abecedario son consonantes.2. Anita estudió para su prueba 1 12h el día lunes, 1 34h el martes y 1 58h el miércoles. ¿Qué día estudió lamayor cantidad de horas?Para solucionar el problema necesitamos comparar las fracciones dadas. Una estrategia consiste en convertircada número mixto a fracción impropia, a continuación, buscar fracciones equivalentes a las dadas de modoque todas queden con el mismo denominador y, finalmente, comparar los numeradores.Al transformar los números mixtos 112, 134y 158a fracción impropia se obtienen, respectivamente: 32, 74y138. Luego, podemos amplificar la primera fracción por 4 y la segunda, por 2. Así nos queda: 128, 148y 138.En consecuencia, el día que Anita estudió la mayor cantidad de horas fue el martes.Fracciones
  • 15. Unidad 1 – Números 15Unidad17. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreductible?Marca la opción correcta.A. 7354 C. 37111B. 11523 D. 187178. En cada caso, simplifica hasta obtener unafracción irreductible.a. 412 d. 5649b. 1824 e. 11527c. 7254 f. 2 3159. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayorque 56? Marca la opción correcta.A. 12 C. 78B. 34 D. 101210. Compara las siguientes fracciones, utilizando lossignos >, < o =, según corresponda.a. 1656 g. 2 1283b. 4737 h. 761 16c. 4349 i. 8121 48d. 1817 j. 1 152 13e. 3443 k. 3 573 911f. 114156 l. 7 387 616Marca la opción correcta en los ítems 11 y 12.11. ¿Qué fracción está representada por el punto P?2 3PA. 34 C. 2 38B. 78 D. 11412. ¿Cuál de las siguientes fracciones se encuentraubicada entre 2 y 3, en la recta numérica?A. 2517 C. 3511B. 158 D. 13513. En cada caso, representa en una recta numéricalas fracciones dadas.a. 38, 58y 78b. 35, 1 15, 1 35y 15c. 23, 56, 53y 16d. 1 14, 78, 34y 1 18e. 13, 34, 56y 71214. Resuelve los siguientes problemas.a. Mónica y Eduardo fueron al almacén acomprar una bebida. Mónica compró unabotella de 2 12L y Eduardo, una de 2 14L.¿Quién compró más bebida?, ¿por qué?b. Florencia ha completado los 27de su experi-mento del laboratorio. Por otra parte, Sofía hacompletado 15del mismo experimento.¿A cuál de las dos le falta más para terminarel experimento?c. Mariana y Emilio caminan por la misma callepara ir a la escuela. Si comenzaron en el mismopunto y a Emilio le falta 14del camino y aMariana, 15, ¿a quién le falta menos parallegar a la escuela?d. La familia Rosales consume, en una semana,1 12kg de manzanas, 53kg de plátanos,1 15kg de peras y 52kg de naranjas.¿Cuál es la fruta que más consumen?,¿cómo lo supiste?15. ¿Qué fracción de los números enteros positivosmenores que 30 son primos?16. ¿Qué fracción de los números enteros positivosmenores que 2 011 son divisibles por 2?17. La fracción de los números enteros positivosmenores que 2 012 que son divisibles por 5,¿es mayor o menor que 15? Justifica.
  • 16. Unidad 1 – Números161. Calcula mentalmente las siguientes adiciones ysustracciones y escribe el resultado.a. 15+ 35=b. 37– 27=c. 713+ 913+ 113=d. 57– 27+ 47=e. 35+ 810=f. 129– 13=g. 1 – 34=h. 233– 2 =2. Resuelve las siguientes adiciones.a. 47+ 35=b. 76+ 32=c. 13+ 14+ 5 =d. 73+ 89+ 512=e. 2 67+ 512=f. 3 28+ 4 12+ 123+ 2 =3. Resuelve las siguientes sustracciones.a. 2 – 59=b. 94– 13=c. 185– 23– 210=d. 12– 13– 16=e. 3 712– 1 56=f. 1 14– 16– 518=4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.a. (52– 53 )+ 13=b. 37+ 3 – 54=c. 116+ 716+ 1 12=d. 1 –(35– 14 )=e. 1 14–(58+ 14 )=f. (23– 12 )+(14+ 16 )=g. 3 15+ 2 410– 4 – 13=h. 3 67+ 5 12– 2 38+ 1 =Ejercicios y problemas propuestosEjercicios resueltos1. Resuelve: 74+ 96– 15.Calculamos el mcm entre los denominadores y obtenemos: mcm(4, 6, 5) = 60.Amplificamos cada fracción de modo que, en cada caso, se obtenga una fracción equivalente. Luego, nos queda:7 · 154 · 15+ 9 · 106 · 10– 1 · 125 · 12= 10560+ 9060– 1260= 18360= 61202. Un periódico dedica 25de su contenido a información, 38a artículos de opinión y el resto a publicidad.¿Qué fracción corresponde a publicidad?Calculamos la fracción del diario dedicada a información y artículos de opinión:25+ 38= 2 · 85 · 8+ 3 · 58 · 5= 1640+ 1540= 3140Luego, la fracción del diario dedicada a publicidad corresponde a la diferencia entre la unidad y 3140, es decir:1 – 3140= 4040– 3140= 940Por lo tanto, un 940del periódico está dedicado a publicidad.Adición y sustracción de fracciones
  • 17. Unidad 1 – Números 17Unidad1Marca la opción correcta en los ítems 5 al 10.5. Si en una adición uno de los sumandos es 95y lasuma es 136, ¿cuál es el valor del otro sumando?A. 930 C. 10930B. 1130 D. 119306. Si en una sustracción el sustraendo es 12y ladiferencia es 116, ¿cuál es el valor del minuendo?A. 0 C. 716B. 218 D. 9167. Diego tomó 14L de leche en la mañana, 37L enla tarde, y por la noche tomó 12L. ¿Cuánta lechetomó en total durante ese día?A. Menos que 12L.B. Entre 12L y 1 L.C. Entre 1 L y 1 12L.D. Más que 1 12L.8. Del total de flores que hay en un jardín, 16sonrosas, 23son claveles y el resto, lilas. ¿Cuál de lassiguientes afirmaciones es verdadera?A. La tercera parte de las flores son lilas.B. Hay más rosas que claveles.C. Hay más lilas que claveles.D. Hay igual cantidad de lilas que de rosas.9. Si con tres vasos de 15L y dos de 14L se llena unabotella hasta la mitad, ¿cuál es la capacidad dela botella?A. 59L C. 115LB. 109L D. 1110L10. Al sumar dos fracciones propias, el resultado:A. es una fracción propia.B. es una fracción impropia.C. es un número natural.D. no se puede inferir.11. Verónica distribuye su horario de trabajo de lasiguiente manera: el lunes trabaja 6 14h, el martestrabaja 5 12h, el miércoles, 4 34h, el jueves, 3 13hy el viernes trabaja 4 h.a. ¿Cuál es el día en que Verónica trabajamás horas?b. ¿Cuántas horas trabaja Verónica a la semana?c. ¿Cuántas horas más trabaja el miércoles queel jueves?12. Resuelve los siguientes problemas.a. Un CD tiene grabada una canción que dura2 12minutos, otra que dura 3 34minutos, otrade 4 16minutos, y otra de 4 23minutos. ¿Cuántosminutos de música hay grabados en total enel CD?b. Sofía se demora 1 13h en estudiar Matemáticay 34h en hacer su tarea de Lenguaje.Si comenzó a las 16:00 h, ¿habrá terminadode hacer sus deberes a las 18:00 h?, ¿por qué?c. Ana María llega a su casa y lee durante 34h,utiliza 23h en realizar su tarea de Matemática ydedica 12h a escribir. ¿Cuánto tiempo empleóen total?d. Soledad recorre caminando 4 79km el díalunes y 2 38km el martes. ¿Cuántos kilómetrosmás recorrió el lunes que el martes?e. En el interior de una bolsa hay 3 12kg de peras,2 14kg de naranjas y 1 34kg de duraznos. Si lamasa de la bolsa es de 112kg, ¿cuál es la masatotal de la bolsa y las frutas?f. En un programa de radio se ocupa 23deltiempo para transmitir música, 14en la lecturade noticias, 118en llamados del público y elresto en comerciales. ¿Qué fracción del tiempose usa en comerciales?
  • 18. Unidad 1 – Números18Ejercicios y problemas propuestos1. Responde las siguientes preguntas, realizando loscálculos en forma mental.a. ¿Cuánto es 25de 30?b. ¿Cuánto es 112de 36?c. ¿Cuánto es 56de 42?d. ¿Cuánto es la tercera parte de 13?e. ¿Cuánto es la mitad de 35?f. ¿Cuánto es el cuádruple de 73?g. ¿Cuánto es el doble de 194?2. ¿Cuánto es el triple de 527? Marca la opción correcta.A. 159 C. 59B. 1581 D. 5273. ¿Cuánto es la cuarta parte de 87?4. Resuelve cada multiplicación y escribe el resultadocomo una fracción irreductible.a. 4 · 67= h. 54· 47· 815· 72=b. 25· 52= i. 2 12· 110· 3 =c. 116· 104= j. 712· 1 15· 1528· 6 =d. 18· 47= k. 148· 8 · 1 15=e. 25· 106· 38= l. 3 17· 2 38· 1419=f. 3 13· 45· 1516= m. 1 112· 1 113· 7891=g. 2 · 13· 3 · 12= n. 1447· 1 812· 1024=Multiplicación y división de fraccionesEjercicios resueltos1. La distancia aproximada entre Santiago y Puerto Montt es 1 025 km. Si Pedro ha recorrido las 35partes deese trayecto, ¿cuántos kilómetros le faltan para llegar?Una estrategia para determinar la cantidad de kilómetros que faltan es calcular cuántos kilómetros ha avanzadoy luego restar ese valor al total. Observa.Pedro ha recorrido 35de 1 025, es decir: 35· 1 025 = 3 · 1 0255= 3 0755= 615.Lleva recorridos 615 km, por lo tanto le faltan 1 025 – 615 = 410.A Pedro le faltan 410 km para llegar.Otra estrategia para resolver el mismo problema consiste en determinar la fracción del camino que a Pedro lefalta por recorrer y luego calcular ese valor en kilómetros. Observa.Pedro ha recorrido 35del camino, lo que significa que aún le quedan 25del camino por recorrer, o sea:25· 1 025 = 2 · 1 0255= 2 0505= 410Luego, a Pedro le faltan 410 km para llegar.2. ¿Cuántos vasos de 15L de capacidad se pueden llenar completamente con 2 12L de agua?El número de vasos se puede calcular fácilmente dividiendo la cantidad de litros de agua por la capacidadde los vasos. De este modo tenemos:2 12: 15Transformamos el número mixto a fracción impropia.52: 15Multiplicamos por el recíproco del segundo factor.52· 51= 252= 12 12En consecuencia, se pueden llenar completamente 12 vasos y otro vaso quedaría con agua hasta la mitad.
  • 19. Unidad 1 – Números 19Unidad15. Si para el cumpleaños de José compraron 5 bebidasde 1 12L, ¿cuántos litros de bebida se compraronen total? Marca la opción correcta.A. 152L C. 5 LB. 112L D. 6 L6. Resuelve las siguientes divisiones y escribe elresultado como una fracción irreductible.a. 2 : 12=b. 35: 3 =c. 411: 38=d. 57: 2521=e. 1 712: 9 12=f. 3 27: 4621=7. ¿A qué fracción corresponde la mitad de 65?Marca la opción correcta.A. 25 C. 310B. 125 D. 6108. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.a. (34– 13 ):(1 + 12 )=b. (2 + 15 )·(1 + 23 )c. (12– 14 )·(1 12– 15 )=d. 4 + 27: 67=e. 911·(2 37– 1 59 )=f. 136· 2239+ 513=9. Claudio se comió 13de una pizza y le dará asu hermana la mitad de lo que le sobró. ¿Quéfracción de la pizza se comerá la hermanade Claudio? Marca la opción correcta.A. 13 C. 16B. 12 D. 5610. ¿Cuántos minutos corresponden a 14h más 35h?Marca la opción correcta.A. 41 minutos.B. 51 minutos.C. 56 minutos.D. 33 minutos.11. Martín debe leer un libro de 360 páginas. Si ya haleído 49del libro:a. ¿cuántas páginas ha leído?b. ¿cuántas páginas le faltan por leer?12. Pamela se comió el día lunes 14del total de galletasque tenía y el martes se comió 12de lo que lequedaba en la caja.a. ¿Qué fracción de las galletas que teníainicialmente se comió Pamela el martes?b. ¿Qué fracción de las galletas que teníainicialmente se comió en ambos días?c. Si Pamela tenía inicialmente 32 galletas,¿cuántas le quedan después del martes?13. La capacidad total del estanque de combustible delautomóvil de Alejandro es de 35 L. Si solo tiene 25del estanque lleno y decide cargar combustible:a. ¿cuántos litros de bencina debe cargar parallenar el estanque?b. Si el litro de bencina está a $ 724, ¿cuántodeberá pagar Alejandro?14. Resuelve los siguientes problemas.a. Luis reparte 20 kg de harina en bolsas de 25kgcada una. ¿Cuántas bolsas logra llenar?b. Si 23kg de pan valen $ 510, ¿cuánto cuestan 3 kg?c. Miguel tiene una tabla de madera de 5 12mde largo y necesita cortar trozos de 1 34m.¿Cuántos trozos de esa medida puede cortarcomo máximo?d. Antonia gana $ 64 500 semanales, depositaen el banco 14del total, la tercera parte de susueldo lo ocupa para pagar cuentas y el restolo deja para gastar. ¿Cuánto dinero le quedadisponible para gastar?
  • 20. Unidad 1 – Números20Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 26.1. ¿Qué número representa nueve millonestrescientos seis mil ochocientos nueve?A. 9 360 809B. 9 306 809C. 9 306 890D. 9 036 8092. El número 6 040 602 escrito en palabras es:A. seis millones cuatrocientos mil seiscientos dos.B. seis millones cuarenta mil seiscientos veinte.C. seis millones cuarenta mil seiscientos dos.D. seiscientos millones cuarenta mil seiscientos dos.3. 7 CM + 5 DM + 2 C + 4 D + 7 U equivale a:A. 750 247B. 75 247C. 7 500 247D. 752 4704. 108 354 279 aumentado en 5 UMi es igual a:A. 108 354 284B. 108 359 279C. 113 354 279D. 158 354 2795. ¿Cuáles son todos los divisores de 8?A. 1, 8B. 2, 4C. 1, 2, 4, 8D. 2, 4, 86. ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 40?A. 0 C. 2B. 1 D. 37. ¿Qué número es divisible por 3, por 6 y por 9 ala vez?A. 27 C. 54B. 39 D. 458. La descomposición prima del número 108 es:A. 2 · 3 · 3 · 3 C. 4 · 3 · 3 · 3B. 2 · 2 · 3 · 3 · 3 D. 3 · 4 · 99. Si un dólar se puede cambiar por $ 550, ¿cuántosdólares se pueden comprar con $ 100 000?A. Menos de 100 dólares.B. Entre 100 y 200 dólares.C. Entre 200 y 300 dólares.D. Más de 300 dólares.10. Andrés quiere comprarse la camiseta de fútbolde su equipo preferido. Si la camiseta cuesta$ 16 080 y él ahorra $ 2 770 por semana, ¿encuántas semanas podrá comprarse la camiseta?A. En 5 semanas.B. En 6 semanas.C. En 7 semanas.D. En 9 semanas.11. En un colegio deciden construir un gimnasio cuyocosto es $ 15 396 200. La dirección del colegiosolo cuenta con $ 7 450 324. Si para financiar elresto deciden hacer un bingo, ¿cuánto dineronecesitan recaudar?A. $ 7 945 876B. $ 7 945 924C. $ 8 946 876D. $ 8 946 92412. En una campaña de solidaridad el 8º A lograrecaudar $ 1 125 012, el 8º B reúne $ 1 649 003y el 8º C, $ 987 524. ¿Cuánto dinero recaudaronlos tres cursos?A. $ 2 112 536B. $ 2 774 015C. $ 3 761 539D. $ 4 761 53913. Dos canales de televisión comienzan a transmitir elnoticiero a las 21:00 h. Ambos canales transmitencomerciales. Un canal lo hace cada 12 minutosy el otro, cada 18 minutos. ¿A qué hora amboscanales pasan a comerciales al mismo tiempo?A. A las 21:36 hB. A las 21:12 hC. A las 21:18 hD. A las 21:24 h14. ¿Cómo se representa la fracción dieciocho novenos?A. 189 C. 1 89B. 918 D. 18 1915. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la menor?A. 37 C. 923B. 617 D. 817
  • 21. Unidad 1 – Números 21Unidad116. Si p = 59, q = 23y r = 45, ¿cuál o cuáles de lasafirmaciones son verdaderas? I. r > p II. r · p < qIII. pq> rA. I y II C. II y IIIB. I y III D. I, II y III17. Si el precio de 34kg de almendras es $ 930,el precio de un kilogramo es:A. $ 310 C. $ 1 240B. $ 698 D. $ 1 40018. Sandra tiene $ 18 000. Si gasta $ 3 000, ¿qué partede su dinero gastó?A. 16 C. 56B. 19 D. 8919. El estanque de bencina de un automóvil tienecapacidad para 50 L y está completamente lleno.Si en un viaje se gastó 15del estanque, ¿cuántoslitros de combustible le quedan?A. 10 L C. 30 LB. 20 L D. 40 L20. Una torta es repartida de la siguiente manera:14para María y 12para Sofía. ¿Qué parte de latorta no ha sido repartida?A. 14 C. 34B. 12 D. 8921. Ana compró 3 12L de aceite y 2 12kg de pan.El litro de aceite cuesta $ 650 y el kilogramo depan, $ 580. Si pagó su compra con un billete de$ 5 000, ¿cuánto dinero recibió de vuelto?A. $ 1 230 C. $ 3 770B. $ 1 275 D. $ 3 72522. Marcela gastó 34de su dinero en comprar pan.Si le quedan $ 650, ¿cuánto dinero tenía?A. $ 2 600 C. $ 1 300B. $ 1 950 D. $ 86723. En un curso, 57de los estudiantes obtuvo notasobre 5,0 en la prueba de Matemática y 114obtuvonota sobre 6,5. ¿Qué fracción del curso obtuvouna nota mayor que 5,0 y menor o igual a 6,5?A. 47 C. 914B. 621 D. 111424. ¿Entre qué números se encuentra el producto dedos fracciones propias?A. Entre 0 y 1.B. Entre 1 y 10.C. Entre 10 y 100.D. Depende de las fracciones.25. Carlos realizó 59de un trabajo y Andrés, 315delo que hizo Carlos. ¿Qué parte del trabajorealizó Andrés?A. 1524 C. 15B. 3445 D. 1926. ¿Cuál es el perímetro y el área de un cuadrado delado igual a 87cm?A. 327cm y 647cm2B. 327cm y 6449cm2C. 167cm y 647cm2D. 167cm y 6449cm227. Eduardo se compró un automóvil que cuesta$ 5 270 000. Para pagarlo, debe cancelar un piede $ 2 100 000 y 48 cuotas de $ 72 000.a. ¿Cuánto debe pagar Eduardo por el automóvil,en total?b. ¿Cuánto es el interés que debe pagar?28. Mario distribuyó su sueldo de la siguiente manera:usó 14para pagar las cuentas, 25para locomo-ción y alimentación, guardó 210en el banco y elresto lo dejó para gastar. Si le quedaron $ 32 100para gastar, ¿cuál fue el sueldo de Mario?
  • 22. Unidad 1 – Números22Ejercicios y problemas propuestos1. Escribe con palabras cada uno de los siguientesnúmeros decimales.a. 0,2 e. 1,035b. 0,06 f. 13,7c. 0,24 g. 168,9d. 1,6 h. 15,3542. Representa los siguientes números decimalesen su forma numérica.a. Seis décimos.b. Ocho centésimos.c. Dos enteros cinco milésimos.d. Trece enteros siete centésimos.e. Diecinueve milésimos.f. Tres enteros catorce centésimos.g. Cinco enteros trescientos veinticuatro milésimos.Marca la opción correcta en los ítems 3 al 6.3. ¿Cómo se escribe el número decimal tres décimos?A. 3,10 C. 0,3B. 10,3 D. 0,034. ¿Cuál de los siguientes números decimales esmenor que 1,09?A. 1,9 C. 9,01B. 9,1 D. 0,195. ¿Cuál de los siguientes números decimales seubica entre 3,4 y 3,63?A. 3,12 C. 3,49B. 3,36 D. 3,76Ejercicios resueltos1. En la siguiente tabla se muestra la estatura de 5 estudiantes de un curso.Nombre Josefa Agustín Tomás Ana CarmenEstatura (en metros) 1,61 1,73 1,67 1,7 1,68Si la profesora forma en una fila a los niños de menor a mayor estatura, ¿en qué orden deben ir?Para ordenar números decimales lo hacemos comparando la parte entera de los números entre sí y luego lascifras decimales según su posición de izquierda a derecha.En este caso, la parte entera de todos los números decimales es 1, por lo que debemos comparar los dígitos delas posiciones decimales.Si comparamos el dígito de las décimas, notamos que Agustín y Ana tienen estaturas mayores que Josefa,Agustín y Carmen.Al comparar el dígito de las centésimas advertimos que Agustín es más alto que Ana, Carmen es más alta queTomás y este último es más alto que Josefa.Luego, el orden de los niños de menor a mayor estatura es: Josefa, Tomás, Carmen, Ana y Agustín.2. Graneros se encuentra a 12,53 km de Rancagua, Machalí a 8 770 m y Olivar Alto, a 12,08 km. ¿Cuál de lascomunas anteriores está más cerca de Rancagua?, ¿cuál está más lejos?Debemos considerar que la distancia entre Rancagua y Machalí está expresada en metros, mientras que en losotros casos, en kilómetros. Luego, la distancia entre Rancagua y Machalí es igual a 8,77 km.Si comparamos la parte entera de los números decimales nos damos cuenta de que la de menor valor es lacorrespondiente a 8,77, es decir, la comuna más cercana a Rancagua es Machalí.Por otra parte, los números decimales correspondientes a las distancias entre Rancagua y Graneros y entre Ranca-gua y Olivar Alto, tienen igual parte entera, en este caso el 12, por lo que debemos comparar los dígitos de su partedecimal, partiendo por el de las décimas. En este caso observamos que el dígito de las décimas es mayor en elnúmero 12,53. Por consiguiente, la comuna de Graneros es la que se encuentra más lejos de Rancagua.Números decimales
  • 23. Unidad 1 – Números 23Unidad16. ¿Cuál de los siguientes números decimales esel mayor?A. 1,025 C. 1,205B. 1,25 D. 1,0527. Compara los siguientes números decimales,y escribe el signo >, < o =, según corresponda.a. 0,2 0,6b. 0,05 0,8c. 0,0003 0,003d. 1,23 0,24e. 3,56 3,560f. 5,12 5,21g. 29,735 297,35h. 90,901 90,9i. 2 031,265 2 031,6258. ¿Qué número decimal está representado por elpunto L? Marca la opción correcta.12 L 14A. 12,7 C. 13,4B. 13,2 D. 13,79. En cada caso, representa en una recta numéricalos grupos de números dados.a. 0,1 – 0,3 – 0,4 – 0,7b. 3,2 – 3,6 – 2,7 – 2,3c. 1,02 – 1,06 – 1,1 – 1,03d. 5,5 – 10 – 8,5 – 610. Ordena los siguientes grupos de númerosdecimales de menor a mayor.a. 0,25 – 2,205 – 1,52b. 1,578 – 5,187 – 8,175c. 0,1 – 0,001 – 0,01d. 1,994 – 1,94 – 1,949 – 1,499e. 0,251 – 0,2512 – 0,2509 – 0,25115f. 0,196 – 0,169 – 0,691 – 0,916 – 0,96111. Determina el número que se obtiene alaproximar el número decimal 2,34579:a. por truncamiento a la centésima.b. redondeando a la centésima.c. redondeando a la décima.d. por truncamiento a la milésima.e. redondeando a la diezmilésima.12. Redondea cada número decimal según el nivel deaproximación dado.a. 0,358 a la décima.b. 12,5874 a la milésima.c. 132,00685 a la centésima.d. 3 257,951 a la décima.e. 23 748,0991 a la milésima.13. Pablo midió a sus amigos y registró en la siguientetabla los valores obtenidos.Nombre Estatura (en metros)Iván 1,51Adriana 1,43Marcelo 1,49Luciana 1,39a. ¿Quién es el más alto?, ¿y el más bajo?b. Ordena los nombres de los niños y niñas deacuerdo a su estatura, de mayor a menor.c. Si los valores de la tabla se aproximan, redon-deando a la décima, ¿quién tendrá la mismaestatura que Adriana?d. Si los valores de la tabla se aproximan portruncamiento a la décima, ¿quién tendrá lamisma estatura que Adriana?e. Si Pablo mide 1,45 m, ¿es más alto o más bajoque Marcelo? Justifica.14. En una prueba de Matemática, Marcela se sacóun 5,8, Roberto obtuvo un 6,3, Liliana, un 6,6 yMartín un 5,7. ¿Quién obtuvo la nota más alta?15. La siguiente tabla muestra las temperaturasmáximas registradas en algunas ciudades deChile un día de julio.Ciudad Temperatura (ºC)Curicó 6,7Chillán 6,4Punta Arenas 4,8Osorno 8,4a. ¿En qué ciudad se registró la temperatura másalta?, ¿y la más baja?b. Ordena los nombres de las ciudades de acuerdoa su temperatura, de la más baja a la más alta.c. Representa en una recta numérica los númerosde la tabla.
  • 24. Unidad 1 – Números24Ejercicios y problemas propuestos1. Calcula mentalmente las siguientes operacionescon números decimales.a. 32,5 + 54,5 = e. 1 000 · 3,452 =b. 120,8 – 73,4 = f. 2,213 : 10 =c. 1 235 · 0,1 = g. 120 · 0,5 + 60 : 0,5 =d. 36 874 : 0,01 = h. 0,1 · 4,5 + 100 · 4,51 =2. Resuelve las siguientes adiciones y sustraccionesde números decimales.a. 14,25 + 6,091 =b. 0,3 + 0,8 + 3 =c. 4 – 0,56 =d. 1 – 0,999 =e. 52,4 – 21,875 – 14,02 =f. 20,04 + 250,7 – 6,048 =g. 32,15 – 0,008 + 6,11 =h. 37,1 – (15,473 + 8,01) =i. (18,1 + 0,05) – (0,002 – 0,00065) =3. ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra elvalor de 0,4 · 0,004?A. 0,016 B. 0,0016 C. 0,00016D. 0,0000164. Resuelve las siguientes multiplicaciones ydivisiones de números decimales.a. 3 · 1,28 =b. 0,03 ∙ 1,2 =c. 2,4 : 2 =d. 6,27 : 0,3 =e. 1,256 · 35,1f. 0,0032 : 0,16 =g. 2,7 ∙ 0,9 : 0,03 =h. 37,1 · (0,34 : 1,36) =i. (0,136 · 2) : (1 : 0,25) =j. (0,003 : 0,0005) · 0,46 =k. 27,81 : 3 · 5,1 =Ejercicios resueltos1. Resuelve: 1,51 + 31,2 + 2,654 + 187.Una estrategia para sumar números decimales consiste en escribir los números hacia abajo, alineándolos segúnla coma decimal y luego sumar. Observa.1,5131,22,654+ 187,0222,3642. Si el cabello de una persona crece alrededor de 1,25 cm en un mes, ¿cuánto crece en un año?Si en un mes el cabello crece 1,25 cm, entonces, en un año crece: 1,25 · 12 = 15.Luego, en un año el cabello crece 15 cm.3. Si 1 kg de pan cuesta $ 890 y 1 kg de queso tiene un valor de $ 3 000, ¿cuánto pagó Javier si compró 1,5 kgde pan y 0,75 kg de queso?Si el kilogramo de pan cuesta $ 890 y Javier compró 1,5 kg, entonces pagó en total: 890 · 1,5 = 1 335.Por el pan pagó $ 1 335.A su vez, el kilogramo de queso cuesta $ 3 000 y Javier compró 0,75 kg, entonces, en total pagó:3 000 · 0,75 = 2 250Por el queso pagó $ 2 250.Finalmente, para saber cuánto dinero gastó Javier, basta con sumar el dinero pagado por el queso y el pan:1 335 + 2 250 = 3 585Luego, Javier gastó $ 3 585 en total.Operaciones con números decimales
  • 25. Unidad 1 – Números 25Unidad15. Resuelve los siguientes ejercicios que involucranoperaciones combinadas.a. (2 + 0,75) : 0,5 =b. 2,7 ∙ 9 : 0,03 =c. (3,6 ∙ 0,01) : (0,2 ∙ 0,3) =d. 1 – 0,08 : 0,2 =e. (2 ∙ 0,04 + 6) : 4 =f. 32,5 · 2,1 – 4,352 : 2,56 =Marca la opción correcta en los ítems 6 al 9.6. ¿Cuánto es el triple de 2,42?A. 5,42 C. 6,26B. 6,42 D. 7,267. Sin hacer ningún cálculo, determina qué expresiónes igual a 2,3 · 5,2 + 2,3 · 3,6.A. (2,3 + 5,2) · 3,6B. (5,2 + 3,6) · 2,3C. 2,3 · 5,2 · 3,6D. 2,3 · 2,3 + 5,2 + 3,68. Si el producto de dos números es 0,2 y uno desus factores es 10, ¿cuál es el otro factor?A. 200 C. 0,02B. 20 D. 0,29. Si una cuerda de 8,44 m se corta en 4 trozosde igual medida, ¿cuánto mide cada trozo?A. 2,10 m C. 2,15 mB. 2,11 m D. 2,16 m10. Francisca se demora, en promedio, 2,6 minutosen realizar un ejercicio de Matemática y Salvadortarda 2,9 minutos.a. ¿Cuánto se demora Francisca en responderuna prueba de 24 ejercicios?b. ¿Cuánto se demora Salvador en responder unaprueba de 18 ejercicios?c. Si un día Francisca se demoró 41,6 minutos enresponder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?d. Si un día Salvador se demoró 52,2 minutos enresponder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?e. Otro día, Francisca y Salvador dieron un examende 20 preguntas. ¿Cuál fue la diferencia, enminutos, entre lo que se demoró Francisca y loque tardó Salvador?11. Si Valeria mide 1,67 m y José, 172 cm:a. ¿quién es más alto?b. ¿cuántos metros de diferencia tienen?12. El ancho de un cabello humano mide aproxima-damente 0,08 mm.a. ¿Cuántos cabellos se necesitan para, que alponerlos uno al lado de otro, se ocupe unancho de 1 cm?b. Si una persona tiene en su cabeza alrededorde 200 000 cabellos, ¿qué ancho ocuparían sise ponen todos uno al lado del otro? Expresatu respuesta en metros.13. Resuelve los siguientes problemas.a. El estanque de una estufa de parafina tieneuna capacidad de 5,75 L. Si después de llenarlose consumieron 2,5 L, ¿cuántos litros de parafi-na quedaron en el estanque?b. ¿Cuál es el promedio de notas del primersemestre que obtendrá José en Matemática sisus notas son: 6,5; 6,8; 5,3; 6,4; 4,8; 6,2 y 7,0?c. Una resma de papel mide 8 cm de alto. Si laresma contiene 500 hojas, ¿cuál es el grosor decada hoja?d. ¿Cuántas veces hay que sumarle 1,5 al número0,04 para obtener 6,04?e. Doña Anita tiene 14,9 kg de azúcar. Si usa 4,4 kgy el resto lo envasa en bolsas de 0,5 kg, ¿cuántasbolsas necesita?f. Determina el perímetro y el área de un rectán-gulo de 3,5 cm de ancho y 7,26 cm de largo.g. Si una pulgada es igual a 0,0254 m, ¿cuáles sonlas dimensiones, en pulgadas, de un arco defútbol de 7,32 m de largo por 2,44 m de ancho?h. El promedio de notas de Agustín en Matemática,el primer semestre, fue un 6,3. ¿Qué nota sesacó en la última prueba si sus tres notasanteriores eran: 6,7, 6,8 y 5,5?i. Un médico recetó a su paciente una dosis demedicamento de un comprimido de 3,1 mg,4 veces al día, durante 5 días. ¿Qué cantidadde medicamento tomará el paciente en total?j. Alejandra recorre diariamente 1,5 km desdesu casa al colegio, 1,9 km desde el colegio a lacasa de su abuela y 0,7 km desde la casa de suabuela a la suya. ¿Cuántos kilómetros recorrede lunes a viernes?k. Si 8 panes tienen una masa de 0,86 kg, ¿quémasa tienen 12 panes y medio?l. El perímetro de una piscina rectangular esigual a 38,28 m. Si su largo es 12,6 m, ¿cuál essu ancho?
  • 26. Unidad 1 – Números26Ejercicios y problemas propuestosMarca la opción correcta en los ítems 1 y 2.1. ¿A qué número decimal equivale la fracción 35?A. 3,5 C. 0,35B. 0,6 D. 0,062. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?A. 1110= 0,11 C. 58= 0,625B. 75= 1,4 D. 912= 0,753. En cada caso, escribe las siguientes fracciones ennotación decimal.a. 15 e. 136b. 38 f. 277c. 710 g. 1912d. 1225 h. 3 164. Representa los siguientes números decimalescomo una fracción irreductible.a. 0,2 f. 1,37b. 0,45 g. 0,12c. 1,9 h. 0,438d. 0,3 i. 1,16e. 0,18 j. 23,6745. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculosy, luego, completa la tabla.x y x + y x – y x · y0,7151,21380,635Ejercicios resueltos1. Escribe la fracción 1725en notación decimal.Para escribir la fracción como un número decimal basta con dividir el numerador con el denominador. El cocien-te de esta división corresponde al número decimal buscado. En este caso:17 : 25 = 0,68– 0170– 150200– 2000Luego, la fracción 1725escrita como número decimal es 0,68.2. Escribe los números decimales 0,45 y 4,215 como una fracción irreductible.En el primer caso, dado que el número decimal es finito, este se puede representar como una fracción cuyonumerador es el número decimal, sin la coma, y cuyo denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifrasdecimales tenga el número decimal. En este caso, el número 0,45 tiene 2 cifras decimales, de modo que en eldenominador debe ir el 100. Por lo tanto: 0,45 = 45100. Simplificando la fracción por 5, nos queda: 0,45 = 920.En el segundo caso, el número decimal es infinito periódico. Luego, este se puede representar como una fraccióncuyo numerador es la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y la parte entera del número; y cuyodenominador es el número formado con tantos nueves como cifras tenga el período. En este caso, nos queda:4,215 = 4 215 – 4999= 4 211999Operaciones con fracciones y números decimales
  • 27. Unidad 1 – Números 27Unidad16. ¿Cuál es el valor de la expresión: 1 15+ 0,5 · 925?Marca la opción correcta.A. 75 C. 565B. 710 D. 7111 1257. Resuelve los siguientes ejercicios que involucranoperaciones combinadas.a. 13– 0,25 + 1 =b. 0,14 + 23: 64=c. 0,7 + 4,3 – 125=d. 45– 0,8 · 0,2 + 34=e. 5 – 1 12+ 2,6 =f. 23+ 1,5 : 0,3 =8. En una carrera, Jorge se demoró 9,76 minutos enllegar a la meta, Andrés se demoró 9 34minutos,Carolina, 9 2830minutos y Mariela, 9,72 minutos.a. ¿Quién llegó primero a la meta?b. ¿Quién llegó último a la meta?c. Ordena los nombres de los niños de acuerdo asu orden de llegada, del primer al último lugar.d. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoróJorge usando una fracción irreductible?e. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoróCarolina, usando números decimales?f. ¿Cuántos minutos más tarde llegó Jorgeque Andrés?g. ¿Cuántos minutos antes llegó Marielaque Andrés?h. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre lapersona que llegó primero y la última?9. Responde las siguientes preguntas. Utiliza unacalculadora para realizar los cálculos.a. ¿Entre qué números consecutivos se encuentrael resultado de 0,9999 · 0,99999?b. ¿Entre qué números consecutivos se encuentrael resultado de 1,00001 · 1,00001?c. ¿Entre qué números consecutivos se encuentrael producto de dos números decimales positivosmenores que la unidad?d. El producto de dos números decimales mayoresque la unidad, ¿siempre es mayor que 1?Justifica tu respuesta.10. Realiza las siguientes actividades.a. Usando tu calculadora, realiza los cálculosy completa la siguiente tabla.Cociente2,5 : 1002,5 : 102,5 : 1102,5 : 1100b. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultadode 2,5 : 11 000 000?c. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultadode 2,5 : 100 000 000?d. Usando tu calculadora, realiza los cálculos ycompleta la siguiente tabla.Producto8,63 · 1008,63 · 108,63 · 1108,63 · 1100e. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultadode 8,63 · 1 000 000?f. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultadode 8,63 · 1100 000 000?11. De acuerdo con lo observado en la preguntaanterior, completa las siguientes afirmaciones.a. Dividir un número por 10 000 es lo mismo quemultiplicarlo por la fracción .b. Dividir un número por 11 000es lo mismo quemultiplicarlo por .c. Multiplicar un número por 11 000es lo mismoque dividirlo por .d. Multiplicar un número por 1 000 es lo mismoque dividirlo por la fracción .
  • 28. Unidad 1 – Números281. En una razón, si el consecuente es 20 y el valor dela razón es 8, ¿cuál es el antecedente? Marca laopción correcta.A. 0,4 C. 20B. 2,5 D. 1602. En una razón, si el antecedente es 37y el valor dela razón es 611, ¿cuál es el consecuente?3. En un canasto de frutas hay 3 plátanos, 2 manza-nas, 6 naranjas y 1 pera.a. ¿Cuál es la razón entre el número de manzanasy el total de frutas?b. ¿Qué significado le das a la razón anterior?c. ¿Cuál es la razón entre el número de plátanos yel de naranjas?d. ¿Qué significado le das a la razón anterior?e. Encuentra una razón cuyo valor sea igual al de larazón entre la cantidad de peras y la de plátanos.4. Se organizó una fiesta en la que se ofrecierontres ambientes distintos: salsa, pop y rock.Los asistentes se distribuyeron como se muestraen la siguiente tabla:Preferencia Mujeres HombresSalsa 55 43Pop 34 45Rock 25 37Observa la tabla y escribe la razón entre:a. el número de hombres que gustan de la salsa y el total de asistentes.b. el número de personas que gustan del rock y los hombres que gustan del pop.c. el número de mujeres que gustan del pop ylos hombres que gustan del rock o del pop.Ejercicios resueltos1. Un maestro cocinero utiliza 2 tazas de arroz y 3 tazas de agua para preparar su receta de arroz graneado.¿Cuál es la razón entre el agua y el arroz?, ¿cuál es el significado de la razón que escribiste?Como el número asociado al agua es 3 y el del arroz es 2, la razón solicitada es 3 : 2. Esto significa que en la recetade arroz graneado se utilizan 3 partes de agua por 2 partes de arroz.2. En una bolsa hay 9 fichas rojas, 4 fichas azules, 3 blancas y 2 amarillas. ¿Cuál es la razón entre las fichas blancasy el total de fichas?En total hay 9 + 4 + 3 + 2 = 18 fichas. Luego, la razón entre las fichas blancas y el total es 3 : 18, o bien, 1 : 6.3. Transforma a porcentaje las fracciones 26, 36y 56.Para realizar este cálculo podemos multiplicar cada fracción por 100 y calcular el cociente:26· 100 = 2006≈ 33,33 % 36· 100 = 3006= 50 % 56· 100 = 5006≈ 83,33 %En resumen, tenemos:Razones y porcentajes como una fraccióno un número decimalEjercicios y problemas propuestosFracción Decimal Porcentaje26= 130,3 33,33 %36= 12 0,5 50 % 56 0,83 83,33 %
  • 29. Unidad 1 – Números 29Unidad15. En una prueba de 40 preguntas, Marcelo respondió36 y tuvo 16 correctas. Determina la razón entre:a. el número de preguntas de la prueba ylas contestadas.b. el número de preguntas de la prueba ylas correctas.c. el número de preguntas correctas ylas incorrectas.d. el número de preguntas contestadas y lasno contestadas.e. el número de preguntas no contestadas ylas incorrectas.6. Representa como porcentaje cada fracción.a. 14 c. 57b. 38 d. 467. Representa como porcentaje cada número decimal.a. 0,02 d. 0,28b. 0,9 e. 0,4c. 0,356 f. 2,08. Representa como un número decimal cada uno delos siguientes porcentajes.a. 75 % d. 130 %b. 13 % e. 2 %c. 5 % f. 5,3 %9. Convierte a fracción irreductible cada porcentaje.a. 55 % d. 17 %b. 45 % e. 87 %c. 12 % f. 110 %Marca la opción correcta en los ítems 10 al 13.10. ¿Cuál es el porcentaje equivalente a la fracción 58?A. 625 % C. 62,5 %B. 6,25 % D. 0,625 %11. ¿Cuál de las alternativas muestra al número decimalque corresponde al 35 %?A. 35,0 C. 0,35B. 0,035 D. 0,003512. ¿Qué fracción irreductible es equivalente al 46 %?A. 2350 C. 5023B. 4650 D. 1004613. ¿Cuál es el número decimal correspondienteal 0,2 %?A. 0,2 C. 0,0002B. 0,002 D. 2,014. ¿Qué número decimal representa el 28 %?15. Fabiola gana $ 400 000 al mes, y destina 25desu sueldo a pagar el arriendo de su casa.a. ¿Qué porcentaje del sueldo lo utiliza enel arriendo?b. ¿Cuánto dinero le queda después de pagarel arriendo?c. ¿Qué número decimal representa la parte delsueldo que le queda a Fabiola después depagar el arriendo?16. Javier gana $ 250 000 al mes. Si ha decididoahorrar el 14 % de su sueldo, ¿qué fracción desu sueldo ahorra?17. Para comprar un departamento, se debe cancelarcomo pie el 5 % del valor total. Sergio paga unpie de $ 1 250 000.a. ¿Cuál es la fracción del valor del departamentoque se ha cancelado?b. ¿Qué parte queda por pagar? Exprésala comoun número decimal.18. El número de árboles en una ciudad el 2009era 18 504. El año 2010, para prevenir caídasde árboles viejos, se cortó el 2 % de los árbolesy el 2011 se quemó en un incendio el 5 % de loque quedaba.a. ¿Qué fracción de árboles que habíainicialmente queda en esta ciudad a finesde 2011?b. ¿En qué porcentaje disminuyó el número deárboles del 2009 a 2011? Represéntalo comonúmero decimal.19. En una liquidación se descuenta 110del precioen todos los productos si se cancela en efectivo.En caso contrario, el descuento es de un 0,03 delvalor inicial.a. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si secancela en efectivo?b. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si seutiliza otro medio de pago?
  • 30. Unidad 1 – Números30Ejercicios y problemas propuestos1. Piensa y responde.a. ¿Cuál es el 12 % de 125?b. ¿Cuál es el 8 % de 45?c. ¿Cuál es el 40 % de 500?d. ¿Cuál es la cantidad total sabiendo que su 17 %es 1 235?Marca la opción correcta en los ítems 2 al 4.2. ¿Cuál es el 2,4 % de 134?A. 3,216B. 32,16C. 321D. 321,63. ¿Qué número es el 120 % de 36?A. 43,2B. 432C. 43 200D. 432 0004. ¿Cuál es el 135 % de 162 400?A. 120 296B. 122 456C. 219 240D. 381 6405. Calcula qué porcentaje es:a. 67 de 450.b. 30 de 980.c. 20 de 4 000.d. 25 de 1 000.6. Ana ahorró $ 34 000 que le alcanzaba exactamentepara comprarse un par de botas. Si al llegar ala tienda había un descuento del 23 %, ¿cuántogastó finalmente Ana en sus botas?7. En el último mes, el precio de un litro de lecheha subido $ 120. Si el precio del mes anterior era$ 550, representa el alza del precio de la lechecomo un porcentaje.8. Arturo compró un automóvil nuevo y pagó$ 5 500 000. Él sabe que el automóvil se devalúaun 4,5 % anual.a. ¿Cuánto se devalúa en un año el preciodel automóvil?b. Al finalizar el primer año, ¿cuál es su precio?9. A principios de un mes el precio de la gasolina de95 octanos era de $ 755 el litro. Si aumentó en un23 % el día 12 y luego disminuyó un 5 % el día 26,¿cuál es el precio a fin de mes?10. Una bicicleta se ofrece, con un descuento de un13 %, al precio final de $ 85 000. ¿Cuánto era elvalor inicial de la bicicleta?11. Aumenta cada uno de los siguientes valoresun 22 %.a. 700 e. 25 600b. 35 f. 4c. 270 g. 1 245d. 1 500 h. 135 789Cálculo de porcentajes y variaciones porcentualesEjercicios resueltos1. En un establecimiento educacional hay 6 478 alumnos de los cuales 1 560 son aficionados al tenis. ¿Cuál es elporcentaje de alumnos aficionados al tenis?Para obtener el porcentaje de alumnos aficionados al tenis calculamos:1 5606 478= 0,2408 = 24,08100= 24,08Es decir, el 24,08 % de los alumnos son aficionados al tenis.2. Francisco vio un reloj que deseaba regalar a su padre, cuyo precio era $ 25 000. Cuando fue a comprarlo, suprecio era $ 27 000. ¿En qué porcentaje aumentó el precio del reloj?La variación en el precio es $ 2 000, pues 27 000 – 25 000 = 2 000.Entonces, para determinar qué porcentaje es 2 000 de 25 000, escribimos la razón 2 00025 000y luego la transformamosa porcentaje: 2 00025 000· 100 = 200 00025 000= 20025= 8.Luego, el reloj aumentó en un 8 % respecto del precio inicial.
  • 31. Unidad 1 – Números 31Unidad112. Disminuye en un 8 % los siguientes números.a. 45 f. 450 000b. 990 g. 34 679c. 256 h. 524 645d. 678 i. 852 420e. 3 450 j. 1 247 56713. La variación del precio de un artículo fue lasiguiente: en abril aumentó un 28 %, en mayodisminuyó un 40 % y, finalmente, en junioaumentó un 15 %. ¿En qué porcentaje varió elprecio de este artículo en los tres meses?Marca la opción correcta.A. 11,68 % B. 3 % C. 84 %D. 30 %14. Si Luis compra un automóvil en $ 2 500 000 paravenderlo con un 25 % de ganancia, ¿cuál sería elprecio de venta?15. Sara quiere comprarse unos zapatos cuyo precioes de $ 15 000, pero solo tiene $ 10 000. ¿Qué por-centaje del total representa el dinero que le falta?16. El promedio de notas de Mabel el año pasado fuede 5,5 y este año es de 6,5.a. ¿Cuál es el porcentaje que representa elaumento en el promedio de Mabel?b. ¿Cuál es la fracción que representa estavariación porcentual?c. ¿Cuál es el número decimal que equivale ala fracción anterior?17. Si el lado de un cuadrado aumentó al triple,¿su área aumentó al triple?, ¿en qué porcentajelo hizo?18. Un par de lentes cuesta $ 35 000. Luego, se rebajasu precio en un 25 %.a. ¿Cuál es el precio actual de los lentes?b. Si se vuelven a rebajar en un 5 % cuando sepaga en efectivo, ¿cuál será su precio?c. Si una persona pagó $ 30 000 por los lentes,¿en qué porcentaje disminuyó su valor respectodel precio inicial?19. Irene repartió algunos de sus 50 dulces entresus primos. A Gerardo le dio el 30 % del total y aMaría, el 80 % del resto.a. ¿Con cuántos dulces se quedó Irene?b. ¿Cuál es la variación, en porcentaje, entre loque tenía y lo que se quedó?c. ¿Qué porcentaje representa la cantidad dedulces que tiene finalmente Irene respecto dela cantidad inicial?20. En una ciudad, la población en el año 2008 era de65 342 habitantes y se estima que en los tres añossiguientes su población creció un 14 %. ¿Cuántoshabitantes tendría la ciudad el 2011?21. El precio de una bicicleta era de $ 55 000 enenero y de $ 67 000 en diciembre del mismo año.¿En qué porcentaje aumentó su precio?22. El bambú es la planta que crece más rápido;algunas especies tienen una tasa de crecimientode hasta 1,2 m diarios.a. Si la longitud inicial de un bambú es de 12 m,¿cuál es la variación porcentual en la longitudde un bambú diariamente?b. Si han pasado 5 días desde la última vez quese midió la longitud del bambú, ¿cuánto pudohaber crecido?, ¿cuál es la variación porcentualen la longitud en los últimos 5 días?23. En un año, el precio del arroz aumentó un 25 %en febrero, volvió a aumentar un 15 % en agostoy bajó un 5 % en noviembre. Ese año, ¿en quéporcentaje varió el precio del arroz?24. En una ciudad, el costo del pasaje de bus subióun 5 % en marzo y un 14 % en junio. ¿En quéporcentaje subió el precio del pasaje de busentre febrero y julio?25. Un rectángulo mide 10 cm de base y 7 cm de altura.Si la base aumenta un 5 % y la altura disminuye2 %, ¿en qué porcentaje varía su área?26. Si el a % de a es igual a 9, ¿cuál es el valor de a?27. Si el a % de b es c , ¿cuánto es el 1 % de b,expresado en términos de a y c?
  • 32. Unidad 1 – Números32Ejercicios resueltos1. ¿Para qué valor de x las razones 36xy 248forman una proporción?Para que 36xy 248formen una proporción, el valor de las razones debe ser el mismo número, es decir:36x= 248Además, la igualdad anterior se cumple si y solo si:x · 24 = 36 · 8 Despejamos x y calculamos su valor.x = 36 · 824= 28824= 12Por lo tanto, si x = 12, las razones 36xy 248forman una proporción. 2. Dos números están en la razón 3 : 5 y suman 96. ¿Cuáles son los números?Sean a y b los números que buscamos. En tal caso, se cumple que a + b = 96 y, además, ab= 35. Si aplicamospropiedades de proporciones, nos queda:a + bb= 3 + 55Remplazamos a + b y sumamos.96b= 85Despejamos b y calculamos su valor.b = 5 · 968= 60 Utilizamos el valor de b para calcular a.a = 96 – 60 = 36Por lo tanto, los números buscados son 36 y 60.Ejercicios y problemas propuestos1. Determina en cada caso si las razones forman unaproporción. Explica cómo lo supiste.a. 34y 3612 c. 78y 1416b. 57y 68 d. 317y 9512. ¿Cuánto debe valer x para que 302yx20formenuna proporción?3. Encuentra el valor de x, en cada caso, para quelas siguientes razones formen una proporción.a. 52y x40 c. 143y 42xb. 7xy 39 d. x12y 15904. ¿Cuánto debe valer x para que 20,5y20x formenuna proporción? Marca la opción correcta.A. 80 C. 5B. 20 D. 2,55. ¿Cuánto debe valer x para que2534y45xformenuna proporción?6. La edad de una madre y su hijo están en la razón8 : 3. Si el hijo tiene 12 años, ¿cuántos años tienela madre? Marca la opción correcta.A. 45 años.B. 26 años.C. 24 años.D. 32 años.7. La suma de dos números es 81 y están en larazón 4 : 5. Calcula el valor de cada uno delos números.8. Pedro y Pablo acordaron repartirse el total de$ 312 000, de modo que las partes estén a razón8 : 12. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?9. Pamela y Carlos reunieron $ 130 000. La cantidadque aportó cada uno están en razón 7 : 3, respec-tivamente. ¿Cuánto aportó cada uno?10. El perímetro de un rectángulo es 78 cm y la razónentre las medidas de sus lados es 7 : 6. Calculasu área.11. Tres números están en la razón 2 : 5 : 3 y suman80. ¿Cuáles son los números?Proporciones
  • 33. Unidad 1 – Números 33Unidad112. Tres amigos se reparten $ 74 800 en la razón2 : 4 : 5. ¿Cuánto recibe cada uno?13. Las edades de cuatro primos: Camila, Javier, Luisy Ana, están en la razón 2 : 4 : 5 : 6 y sus edadessuman 85 años. ¿Cuál es la edad de Ana? Marcala opción correcta.A. 20 años.B. 25 años.C. 30 años.D. 32 años.14. Las medidas de los ángulos interiores de untriángulo están en la razón 4 : 18 : 14.a. ¿Cuáles son las medidas de los ángulosinteriores del triángulo?b. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medidade sus ángulos?c. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medidade sus lados?15. Las medidas de los lados de un triángulorectángulo están en la razón 3 : 4 : 5. Si superímetro es 60 cm:a. ¿cuáles son las medidas de los ladosdel triángulo?b. ¿cuál es el área del triángulo?16. Un mapa se ha dibujado de tal manera que 20 kmen la realidad equivalen a 10 cm en el mapa.a. Si la distancia entre dos estaciones de metro es1 km, ¿a qué distancia están en el mapa?b. Si en el mapa, dos ciudades están a 26 cm,¿a que distancia se encuentran en realidad?17. En una feria se vende una reproducción a escalade una pintura en forma rectangular cuyasdimensiones son 0,75 m de ancho y 1,2 m de largo.El ancho de la reproducción mide 0,2 m.a. ¿Cuánto mide el largo de la reproducción?b. ¿En qué porcentaje se disminuyeron lasdimensiones de la pintura?c. ¿Cuál es la razón entre el área de la pinturaoriginal y la reproducción?18. Un automóvil posee un rendimiento de 22,6 km/L.¿Cuántos litros de bencina consumirá en 450 km?19. Si 5 trabajadores cavan una zanja de 10 m en3 horas, ¿cuántos metros cavarán en el mismotiempo 15 trabajadores si lo hacen al mismo ritmo?20. Si 10 ingenieros en informática en 8 días de trabajoproducen 3 programas de animación, ¿cuántosingenieros se necesitan para producir en 4 días losmismos 3 programas de animación, si trabajan almismo ritmo?21. Si 7 trabajadores construyen una máquina en30 días, ¿cuántos trabajadores se necesitaríanpara construir esta máquina en 10 días, si trabajanal mismo ritmo? Marca la opción correcta.A. 43 C. 3B. 21 D. 8922. Si después de un recital se demora 3 días enlimpiar el estadio, con 60 personas trabajando,¿cuántas personas habría que contratar paraque se demoren solo un día, si trabajan almismo ritmo?23. Un barra de metal de 34,5 cm de alto proyectauna sombra de 22,5 cm. ¿Qué altura tiene unedificio que en ese mismo minuto proyecta unasombra de 13,4 m?24. La razón entre la masa de Pedro y la de Juan es de5 : 3, y la diferencia entre sus masas es de 40 kg.¿Cuál es la masa de Pedro?25. Marcelo ha calculado que 10 caballos consumen820 costales de alfalfa en 180 días. Si ahora debealimentar a 25 caballos en 60 días, ¿cuántoscostales de alfalfa requiere?26. En una fábrica de tejidos, 12 operarias confeccionan160 chalecos durante 25 días. Si para un pedidose requiere confeccionar 320 chalecos en 15 días,¿cuántas operarias más se necesitan?27. Una modista cose 10 camisas en 8 h. ¿Cuántashoras tardarán 4 modistas en coser 20 camisas?28. Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3 000al mes, estando encendidas 6 h diarias, ¿qué gastooriginarían 20 ampolletas durante 10 h diarias?29. Para llenar un estanque de 6 000 L en 4 h se abren5 llaves iguales.a. ¿En cuántas horas llenarán un estanque de9 000 L con 6 llaves en iguales condiciones?b. ¿Cuántas llaves se necesitan para llenar esemismo estanque en 2 h?
  • 34. Unidad 1 – Números34Ejercicios y problemas propuestos1. Ordena de mayor a menor los siguientes números:4, –12, 40, –101, –98, 1, 2, 23, –68.2. Ubica en una recta numérica todos los númerosenteros mayores que –10 y menores que 7.3. ¿Cuál es el inverso aditivo de –20?4. ¿Cuál es el inverso aditivo de 1 020?5. ¿Todo número entero negativo es siempre mayorque cero? Justifica.6. ¿El cero es siempre menor que todo número enteropositivo? Justifica.Marca la opción correcta en los ítems 7 al 12.7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?A. En la recta numérica, es mayor el númeroubicado más a la derecha.B. En la recta numérica, los números más cercanosa cero son menores que los más lejanos.C. El inverso aditivo de un número entero x esaquel que sumado con cero resulta el mismo x.D. En la recta numérica, los números positivosestán a la izquierda de los negativos.8. ¿Qué números enteros se encuentran entre–14 y –7?A. –13, –12, –11, –10, –9, –8B. 8, 9, 10, 11, 12, 13C. –6, –5, –4, –3, –2, –1D. –15, –16, –17, –18, –19, –209. Si x, y, z son tres números enteros tales quex < y, y > z y x > z, el orden de menor a mayor es:A. x, y, z C. z, x, yB. z, y, x D. y, x, z10. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene soluciónen los números naturales?A. 1 – x = 3 C. 3 – x = 1B. 3 – 2x = 1 D. 1 + 2x = 311. ¿Cuál es el inverso aditivo del número enteroubicado entre –5 y –3?A. –6 C. 6B. –4 D. 412. ¿Cuál de los siguientes números no es mayorque –11?A. 0 C. –37B. –1 D. 54Ejercicio resuelto1. Roberto registró las temperaturas mínimas de una semana de julio en su ciudad.Día de lasemanaLunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado DomingoTemperaturamínima (ºC)0 –3 –1 –6 –2 4 1Observa los valores de la tabla, luego, ordénalos de menor a mayor y ubica estos números en una rectanumérica. Además, determina el inverso aditivo de cada número.Los números, ordenados de menor a mayor son: –6, –3, –2, –1, 0, 1, 4.Se representan en la recta numérica de la siguiente manera:El inverso aditivo de cada número se muestra en la siguiente tabla:Número 0 –3 –1 –6 –2 4 1Inverso aditivo 0 3 1 6 2 –4 –1Números enteros–6 –4 –3 –2 –1 0 1 4
  • 35. Unidad 1 – Números 35Unidad113. Observa la información y luego responde.a. Representa cada uno de los números de latabla, utilizando números enteros.b. Ubica en la recta numérica los númerosde los carteles anteriores.c. ¿Cuál es la diferencia de altitud entre estosdos lugares? Utiliza la recta numérica anteriorpara responder.14. En un concurso Manuel obtuvo –12 puntos,Josefa, 2 puntos, Mario, –19 puntos y Agustín,12 puntos.a. ¿Quién obtuvo el puntaje más alto?b. ¿Quién obtuvo el puntaje más bajo?c. Representa los puntajes de todos los niñosy niñas en una recta numérica.15. En El Salvador (Chile), la temperatura máxima enun día de junio fue de 21 ºC. Ese día la amplitudtérmica fue de 24 ºC.a. ¿Cuál fue la temperatura mínima que seregistró? Justifica.b. Si a las 10:30 h la temperatura había aumentado7 ºC respecto de la temperatura mínima, ¿cuán-tos grados Celsius se registraron a esa hora?c. Si a las 22:00 h la temperatura habíadescendido 15 ºC respecto de la máxima,¿cuál fue la temperatura a esa hora?16. Romina tenía una deuda de $ 68 500 con suhermana. Ya le pagó $ 33 500 y después lepagó $ 14 000.a. ¿Cuánto le falta para cancelar el total desu deuda?b. Si decidiera cancelar el resto en tres cuotasiguales, ¿cuánto pagaría en cada cuota?17. Un buzo que realiza actividades de investigaciónse encuentra a 75 m bajo el nivel del mar, luegoasciende 20 m y vuelve a descender 15 m.a. ¿A qué profundidad se encuentra ahora?b. Si finalmente remonta a la superficie, subiendo a10 m/min, ¿cuánto tarda en llegar a la superficie?c. Representa en la recta numérica la posicióninicial, los descensos y ascensos del buzo.18. El pronóstico de la temperatura para Cochrane,el día 11 de junio de 2011, según la DirecciónMeteorológica de Chile, se muestra en lasiguiente tabla.a. Según la información de la tabla, ¿qué díase pronosticó la temperatura más baja?, ¿y lamás alta?b. ¿En qué día se pronosticó la mayor amplitudtérmica?c. Ordena de mayor a menor los númeroscorrespondientes a las temperaturas pronostica-das para Cochrane.d. Ubica en una recta numérica los números dela tabla.19. Un termómetro marca –7 ºC a las 7 de la mañana.Luego, la temperatura aumenta 3 ºC cada45 minutos.a. Completa la siguiente tabla, en que se muestrala temperatura registrada por el termómetro ala hora indicada.HoraTemperatura(ºC)7:458:309:1510:0010:45b. ¿Qué temperatura había a las 12:15 h?c. Si la temperatura máxima de ese día fue 26 ºC,¿a qué hora se registró?d. Si la temperatura mínima se registró a las7 de la mañana, ¿cuál fue la amplitud térmicade ese día?La ciudad de Calama se encuentra aproximada-mente a 2 300 m por sobre el nivel del mar.El mar Muerto se encuentra aproximadamente a400 m bajo el nivel del mar. Domingo 12mín. 0 ºCmáx. 2 ºCLunes 13mín. –1 ºCmáx. 4 ºCMartes 14mín. 0 ºCmáx. 3 ºCMiércoles 15mín. 0 ºCmáx. 3 ºCJueves 16mín. –5 ºCmáx. 0 ºC
  • 36. Unidad 1 – Números36Ejercicios y problemas propuestos1. Calcula el valor de –7 + –2 : 2 – –8 – –9 – 5 · –1.2. Calcula el inverso aditivo de la expresión:–[–2 – (–3 + (–1 – (–1) + 2) – 1) – 3]3. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculosy, luego, completa la tabla.x y x – y (x – y) · (–3) x : 2 + y · –3–2 712 –8–6 –2–14 –3–8 –24. ¿Qué número multiplicado por el doble de –5 dacomo resultado 20?Marca la opción correcta en los ítems 5 al 8.5. ¿Cuál es el resto de la división entre –9 y 5?A. –4 C. 1B. –1 D. 46. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposicionesson verdaderas? I. (–8) · (–2) = 16 II. (–18) : 9 > –1III. (–10) – (–2) · 3 < –2A. Solo I C. I y IIB. Solo II D. I y IIIEjercicios resueltos1. Calcula el resultado de (–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3]Para resolver este tipo de ejercicios debemos operar respetando la prioridad en las operaciones: resolvemoslas multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y luego, las adiciones y sustracciones de izquierda aderecha. Si hay paréntesis, resolvemos primero las operaciones encerradas en ellas. Luego:(–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3] Resolvemos lo que está dentro de los corchetes, respetando la prioridad en las operaciones.(–3) · 6 + 5 – (–20) : [–8 + 3](–3) · 6 + 5 – (–20) : [–5] Resolvemos multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.–18 + 5 – (+4) Resolvemos adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.–13 – (+4)–172. Si la suma de tres números enteros consecutivos es –12, determina cuáles son los números y cuál es el mayorde ellos.Si representamos el primer número como x, podemos representar el segundo como: x + 1 y el tercer númerocomo: x + 2, ya que son números consecutivos.Luego, la ecuación que representa la situación es:x + (x + 1) + (x + 2) = –12 3x + 3 = –12 Sumamos –3. 3x = –15 Dividimos por 3. x = –5Entonces, los números son: –5, –4 y –3, ya que: x + 1 = –5 + 1 = –4 y x + 2 = –5 + 2 = –3.El mayor de los números es –3, pues es el que está más a la derecha en la recta numérica.Operaciones con números enteros
  • 37. Unidad 1 – Números 37Unidad17. Si al número –6 se le resta el doble de –5 y alresultado se le suma el triple de 3, se obtiene:A. 13 C. –7B. –13 D. 78. Si la suma de tres números enteros consecutivoses cero, ¿cuál es el mayor de los números?A. –1 C. 2B. 0 D. 19. Aplicando el algoritmo de la división, completa lasiguiente tabla.Dividendo Divisor Cociente Resto–20 1236 –7–24 –5–102 2010. El valor de las acciones de una empresa disminuyó$ 60 diarios durante dos semanas. Inicialmentetenían un valor de $ 1 650 cada una.a. ¿Cuánto costó cada acción al final de laprimera semana?b. ¿Cuánto costó cada una al final de lasegunda semana?11. En un diario mural rectangular de medidas24 cm y 42 cm, se desean pegar fotografíascuadradas de igual tamaño, de manera quese cubra completamente.a. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener ellado de cada fotografía para que cumpla conesta condición?b. ¿Con cuántas fotografías de este tamaño secubre todo el diario mural?12. La tabla muestra las temperaturas mínimas regis-tradas durante algunos días de julio en una ciudad.Lunes –4 ºCMartes 0 ºCMiércoles –2 ºCJueves –5 ºCViernes 1 ºC¿Cuál fue el promedio de las temperaturasmínimas registradas esos días?13. En los cuadrados mágicos, la suma de losnúmeros de cada fila, de cada columna y decada diagonal es la misma. Completa lossiguientes cuadrados mágicos y, luego,responde considerando ambos resultados.9 5–3–11a. ¿Cuál es el mayor de los números presentes en los cuadrados mágicos?b. ¿Cuál es el menor de ellos?c. ¿Cuál es el mayor de los números negativosque se observa en los cuadrados mágicos?d. ¿Cuál es la suma de todos los números queaparecen en el cuadrado mágico de la izquierda?e. ¿Cuál es el producto de todos los números queaparecen en el cuadrado mágico de la derecha?14. En un juego de conocimientos se asignan20 puntos si la respuesta es correcta y se quitan10 puntos si es incorrecta.a. Si un participante respondió correctamente7 preguntas y falló en 4, ¿qué puntaje obtuvo?b. Carlos y Mónica están participando en el juego.Si Carlos consiguió 3 respuestas correctas y6 incorrectas; y Mónica, 2 respuestas correctasy 5 incorrectas, ¿quién obtuvo más puntos?c. Si Samuel consiguió 6 respuestas correctas ysacó un puntaje final de –30 puntos, ¿cuántasrespuestas incorrectas tuvo?d. Si Elena se equivocó en 8 respuestas y sacó unpuntaje final de 60 puntos, ¿cuántas respuestascorrectas tuvo?15. ¿Cuál es la suma de todos los números enterosubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómo lo supiste?16. ¿Cuál es el producto de todos los númerosenteros ubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómolo supiste?17. Observa la siguiente multiplicación.1 · (–2) · 3 · (–4) · … · 2 011 · (–2 012)El resultado de la multiplicación anterior, ¿esmayor o menor que 0?, ¿qué estrategia utilizastepara resolverla?2 –606 –4
  • 38. Unidad 1 – Números38Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 26.1. El precio de una camisa es $ 8 900. Si se aumentaen un 20 %, ¿cuál será el nuevo valor?A. $ 12 800 C. $ 10 680B. $ 1 780 D. $ 7 1202. Al resolver [(–14) : 2 – (–6) · (–3)] · (–2) se obtiene:A. –50 C. 50B. 22 D. –113. El resultado de –[–2 + (–4 – 3) – 1] es:A. –9 C. –4B. 10 D. –104. ¿En cuál de los siguientes grupos los númerosestán ordenados en forma decreciente?A. 13, 8, 1, –2, –6, –7, –11B. 13, 8, 1, –11, –7, –6, –2C. –11, –7, –6, –2, 1, 8, 13D. 1, 8, 13, –2, –6, –7, –115. ¿Cuál es el 30 % de 900?A. 300 C. 30B. 270 D. 276. La fracción 34expresada como porcentaje es:A. 75 % C. 0,75 %B. 25 % D. 2,5 %7. Carlos compra 2 12kg de carne para un asado.Si gasta $ 11 400 en esta compra, ¿cuánto costará0,75 kg de la misma carne?A. $ 5 700 C. $ 8 550B. $ 4 275 D. $ 3 4208. Don Ramiro recibió $ 297 000 por un trabajorealizado en 18 días. ¿Cuánto recibiría en total sitrabajara en las mismas condiciones 50 días?A. $ 165 000B. $ 1 480 000C. $ 1 122 000D. $ 825 0009. Loreto invitó a 50 personas a su fiesta. Si asisteel 58 % de sus invitados, ¿cuántas personas noasistieron a la fiesta?A. 8 C. 21B. 20 D. 2910. En un supermercado se ofrecen tres paquetes detallarines por $ 1 140. ¿Cuánto cuestan 8 paquetes?A. $ 2 900B. $ 3 040C. $ 3 840D. $ 9 12011. Un kilogramo de peras cuesta $ 435. ¿Con cuál delas siguientes expresiones se puede calcular elvalor de n kg de peras?A. 435 + n C. 435 · nB. 435n D. n43512. En la expresión –28 : x = –4, ¿cuál es el valor de x?A. 7 C. 4B. –7 D. –11213. Leandro y Camila se reparten un total de92 láminas en la razón 1 : 3. ¿Cuántas láminas lecorresponden a Camila?A. 23 C. 72B. 31 D. 6914. En la siguiente recta numérica están marcados losnúmeros –8 y –2.Si todos los intervalos tienen igual tamaño,entonces P y R corresponden, respectivamente,a los números:A. –4 y –6B. –6 y –4C. 6 y –4D. 6 y 415. El número decimal 0,8 expresado comoporcentaje es:A. 8 % B. 80 % C. 0,8 %D. 20 %16. De un libro de 540 páginas, Laura ha leído 189.¿Qué porcentaje del libro le queda por leer?A. 35 % B. 70 % C. 30 %D. 65 %–8 P R –2
  • 39. Unidad1Unidad 1 – Números 3917. En la siguiente tabla se muestra el pronóstico dela temperatura para la Península Antártica, segúnla Dirección Meteorológica de Chile, informado eldomingo 12 de junio de 2011.Según la información anterior, ¿qué día tendría latemperatura más baja?A. Lunes. C. Miércoles.B. Martes. D. Jueves.18. En la proporción 2p : 4 = p : x, ¿cuál es el valorde x?A. 2 C. 2pB. 0,5 D. 12p19. ¿Cómo se escribe el número decimal 2,04?A. Dos enteros cuatro décimos.B. Dos enteros cuatro centésimos.C. Dos enteros cuatro milésimos.D. Dos enteros cuarenta centésimos.20. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente aun número decimal infinito semiperiódico?A. 827 C. 736B. 425 D. 551521. Multiplicar un número por 0,025 es igual que:A. dividirlo por 25.B. dividirlo por 40.C. dividirlo por 125D. dividirlo por 400.22. La cuarta parte de 4,52 es:A. 1,12 C. 1,23B. 1,13 D. 1,4223. Si Jaime redondeó el decimal 7,019 y obtuvo 7,02,¿qué nivel de aproximación utilizó?A. A la décima.B. A la centésima.C. A la milésima.D. A la diezmilésima.24. Si 1,5 kg de pan cuesta $ 1 320, ¿cuánto cuestan5,5 kg?A. $ 4 400 C. $ 6 600B. $ 4 840 D. $ 7 26025. Si se deja abierta completamente una llave por23h, se llena un recipiente de 18,5 L. ¿Cuántos litrosentrarían en el recipiente si se deja abierta la llavepor 5 minutos?A. 2,31 L C. 12,3 LB. 6,17 L D. 30,83 L26. Si las notas de Martina son 6,5; 6,2; 5,6 y 5,8, ¿cuáles su promedio?A. 5,9 C. 6,1B. 6,0 D. 6,227. Camilo rindió una prueba de 42 preguntas. A cadarespuesta correcta se le asignaban 3 puntos;a cada incorrecta, –1 punto; y 0 puntos a cadaomitida. Si Camilo contestó 25 preguntascorrectamente y obtuvo 66 puntos en total:a. ¿Cuántas respuestas incorrectas tuvo?b. ¿Cuántos puntos le asignaron en total por lasrespuestas que tuvo incorrectas?c. ¿Cuántas preguntas omitió?28. En un cuadrado cuya área es 64 cm2, la longitudde un par de lados paralelos disminuye en un60 %, ¿cuál es el área de esta nueva figura?Para resolver este problema, Francisco dibujalo siguiente:4,8 cm8 cmLuego, calcula: 8 · 4,8 = 38,4. Entonces,el área del rectángulo es 38,4 cm2.¿Estás de acuerdo con el procedimientorealizado por Francisco?, ¿por qué?Lunes 13mín. –9 ºCmáx. –5 ºCMartes 14mín. –11 ºCmáx. –9 ºCMiércoles 15mín. –12 ºCmáx. –11 ºCJueves 16mín. –13 ºCmáx. –12 ºC
  • 40. Unidad 1 – Números40Evaluación de síntesis de la unidad 1Marca la opción correcta en los ítems 1 al 18.1. ¿Cómo se escribe el número tres millonesseiscientos setenta y dos mil noventa y tres?A. 3 762 093 C. 3 672 093B. 3 672 903 D. 3 762 9032. En el número 25 648 310, ¿qué valor representael dígito 2?A. 20 000 000 C. 20 000B. 2 000 000 D. 203. ¿Cuál de los siguientes números no es primo?A. 143 C. 163B. 113 D. 1814. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?A. 9 368 412 es divisible por 6.B. 1 578 321 es divisible por 9.C. 5 739 064 es divisible por 4.D. 25 610 063 es divisible por 3.5. Para su cumpleaños, Felipe compró 60 vasosplásticos a $ 35 cada uno y 70 platos de torta a$ 51 cada uno. Si pagó con un billete de $ 10 000,¿cuánto vuelto recibió?A. $ 4 230 C. $ 5 670B. $ 4 330 D. $ 5 7606. El pozo a repartir en un juego de azar fue de$ 20 374 512. Si hubo 3 ganadores y todos recibie-ron la misma cantidad de dinero, ¿cuánto dinerose ganó cada uno?A. $ 679 154 C. $ 6 791 504B. $ 6 790 504 D. $ 6 790 1547. Un curso tiene 18 niñas y 27 niños. ¿Qué fraccióndel curso son mujeres?A. 35 C. 23B. 53 D. 258. Carla se comió los 25de los chocolates de unacaja. Si quedan 15 chocolates en la caja, ¿cuántoshabía inicialmente?A. 25 chocolates. C. 50 chocolates.B. 30 chocolates. D. 20 chocolates.9. La suma de 2 89y 23es:A. 2109 C. 21012B. 3 59 D. 2 6910. ¿Cuál de los siguientes números decimales esmayor que 32,7623?A. 31,7622 C. 32,763B. 23,77 D. 32,7622911. Si 1 pulgada equivale a 2,54 cm, aproximadamente,¿cuántos centímetros mide una barra de15,24 pulgadas?A. 6,0 cm C. 17,78 cmB. 12,7 cm D. 38,7 cm12. Si cinco de cada nueve personas tiene Internet ensu casa, ¿cuál es la razón entre las personas quetienen este servicio y las que no lo tienen?A. 5 : 9 C. 4 : 5B. 4 : 9 D. 5 : 413. De un álbum con 360 láminas, Roberto hacompletado el 45 %. ¿Cuántas láminas le faltanpara completar el álbum?A. 45 láminas. C. 198 láminas.B. 162 láminas. D. 315 láminas.14. Si x : y = 2 : 3 y x + y = 40, ¿cuánto es y – x?A. 8 C. 24B. 16 D. 3215. ¿Cuál es el valor de (–6) · 5 – (–4)?A. –34 C. 26B. –26 D. 3416. Si a > 0 y b < 0, ¿cuál de las siguientes relacionessiempre es correcta?A. a + b > 0 B. a – b > 0 C. a · b > 0D. a : b > 017. ¿Cuál es el inverso aditivo de –3?A. –3 C. 1B. 0 D. 318. Respecto del algoritmo de la división, ¿cuál de lassiguientes afirmaciones es correcta?A. En cualquier división el resto es menor que elvalor absoluto del divisor.B. En cualquier división el resto siempre es unnúmero positivo.C. Si el dividendo es un número negativo, enton-ces el resto es menor que 0.D. En cualquier división el dividendo es igual aldivisor por el cociente.
  • 41. Unidad1Unidad 1 – Números 4119. Observa los números de las tarjetas y realiza lassiguientes actividades.2 7 9 0 6 8 1a. Usando los números de las tarjetas, y sinrepetirlos, escribe tres números mayoresque 8 500 000.b. Usando los números de las tarjetas, y sinrepetirlos, escribe tres números de sietecifras menores que 1 400 000.c. Ordena de menor a mayor los números queescribiste en a y b.d. Representa en la recta numérica los númerosque escribiste en a y b, redondeados a launidad de millón.e. ¿Cuál es el número mayor que se puedeformar, utilizando todas las tarjetas y sinrepetirlas? Escríbelo con cifras.f. ¿Qué dígito ocupa la posición de la CM enel número anterior?g. ¿Cuál es el número menor de siete cifras quese puede formar, utilizando todas las tarjetasy sin repetirlas? Escríbelo con palabras.h. ¿Qué valor representa el dígito 6 en elnúmero anterior?20. Obtén la descomposición prima de cada número.a. 162 = c. 2 560 =b. 360 = d. 18 900 =21. Luis tiene 100 bolitas, Diego tiene las 25partesde las bolitas que tiene Luis y Juan tiene los 34delo que tiene Diego.a. ¿Cuántas bolitas tiene Diego?b. ¿Cuántas bolitas tiene Juan?c. ¿Cuántas bolitas más tiene Luis que Juan?d. ¿Cuántas bolitas tienen entre los tres?22. Un granjero decide cercar un potrero rectangularque mide 53,60 m de largo por 42,80 m de ancho,con una corrida de alambre.a. ¿Cuántos metros de alambre necesita?b. Si tenía 456,7 m de alambre, ¿cuánto le sobródespués de cercar el potrero?23. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de 2,31 cmde largo y 195cm de ancho?24. Un curso tiene 24 estudiantes, de los cualesun 75 % son mujeres.a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de mujeresy la de hombres del curso?b. ¿Cuántas mujeres más que hombres hay enel curso?c. Si el año pasado el curso tenía 14 mujeres y6 hombres, ¿en qué porcentaje aumentó elnúmero de estudiantes del curso este añorespecto del anterior?25. El precio de un libro es de $ 8 600. En una ofertase rebajó su precio en un 16 %.a. ¿Cuál es el precio del libro con la rebaja?b. Si Eliseo compró el libro en oferta y pagó conun billete de $ 10 000, ¿cuánto vuelto recibió?c. Un comerciante compró 12 libros en ofertapara luego venderlos en otro lado. Si des-pués vendió cada libro a $ 7 500, ¿cuántaganancia obtuvo?26. Las edades de Luis y Edgar están en la razón 7 : 2.Si Luis tiene 28 años, ¿qué edad tendrá Edgar en3 años más?27. En cada caso, determina el valor de x de modoque las razones formen una proporción.a. 612y x5 c. 64y 18xb. x8y 756 d. 6xy 3312128. En el fútbol, la diferencia de goles corresponde alvalor obtenido al restar la cantidad de los golesconvertidos y los recibidos. Si en una temporadaun equipo convirtió 23 y recibió 41, ¿cuál fue sudiferencia de goles?29. El refrigerador de Sebastián tenía una tempera-tura constante de 18 ºC bajo cero. Luego de uncorte de energía, la temperatura comenzó a subira razón de 3 ºC cada 20 minutos.a. ¿Qué temperatura había en el refrigeradordespués de 1 h del corte de energía?b. ¿Cuántos minutos después del corte, latemperatura del refrigerador era 0 ºC?c. ¿Después de cuánto rato la variación en latemperatura fue de 27 ºC?
  • 42. 2UnidadUnidad 2 – Números y álgebra42Números y álgebraHabilidades• Comprender el concepto de potencia y aplicarlo en diversas situaciones.• Identificar regularidades en la multiplicación y división de potencias.• Verificar procedimientos para multiplicar y dividir potencias de base entera, fraccionaria o decimal positivay exponente natural.• Estimar mentalmente el valor de algunas potencias.• Interpretar información expresada en potencias.• Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propiedades de las potencias.• Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas.• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial, y potencias de base entera,fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros.• Verificar las soluciones de una ecuación de primer grado con una incógnita.• Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan distintas situaciones.• Representar, mediante expresiones algebraicas, situaciones numéricas y geométricas.• Una potencia es la multiplicación de un factorrepetidas veces por sí mismo. Al factor que serepite le llamamos base, y al número de vecesque se repite dicho factor, exponente.an• El valor de la potencia es el producto total quese obtiene al multiplicar la base por sí mismatantas veces como lo indica el exponente. Porconvención, el valor de una potencia de basedistinta de cero y exponente cero es igual a 1. Es decir, si a ≠ 0: a0= 1. Además, se cumple que:1n= 1; a1= a (con a ≠ 0).• Si la base de la potencia es 10 y el exponente espositivo, el valor de la potencia queda expresadocon la cantidad de ceros que indica el exponente.Si la base es 10 y el exponente es negativo, elvalor de la potencia queda expresado con tantascifras decimales como indica el valor absolutodel exponente. Por ejemplo: 108= 100 000 000,10–8= 0,00000001.P ara recordarNúmerosy álgebraPotenciasBaseExponenteValor de lapotenciaCrecimientoexponencialDecrecimientoexponencialCoeficienteVariableExpresiónalgebraicaPlanteoResoluciónTérminossemejantesEcuación deprimer gradoTérminoalgebraicoExponenteBase
  • 43. Unidad 2 – Números y álgebra 43• Esto nos permite expresar grandes cantidadescomo un producto de un número natural y unapotencia de diez.• Para multiplicar una potencia de base 10 y expo-nente natural:– por un número natural, se agrega a la derechadel número tantos ceros como indique elexponente de la potencia.– por un número decimal, se desplaza la comatantos lugares a la derecha como indique elexponente de la potencia. Si no hay cifrassuficientes, se agregan ceros.• Para calcular la raíz cuadrada de un númeropositivo a, puedo buscar un número x cuyocuadrado sea a. Es decir, x2= a, entonces x = √a .• Para calcular el valor de una potencia cuya basees una fracción, se puede calcular el valor de lapotencia del numerador y del denominador. En general:(ab )n=anbn.• Para multiplicar potencias de igual base, se puedeconservar la base y sumar los exponentes.En general: an· am= an + m.• Para multiplicar potencias con igual exponente,se pueden multiplicar las bases y conservar elexponente. En general: an· bn= (a · b)n.• En una potencia que tiene como base unnúmero entero positivo y como exponente unnúmero natural, el resultado es siempre positivo.Ejemplo: 23= 2 · 2 · 2 = 8.• En una potencia que tiene como base un númeroentero negativo, el resultado es:– positivo, si el exponente es un númeronatural par. Ejemplo: (–2)2= (–2) · (–2) = 4.– negativo, si el exponente es un númeronatural impar. Ejemplo:(–2)3= (–2) · (–2) · (–2) = –8.• Para calcular el valor de la potencia de unapotencia, basta con mantener la base ymultiplicar los exponentes. En general, si a esun número entero, n y m son números naturales,entonces: (an)m= an · m.• Un término algebraico es una expresiónmatemática que tiene dos componentes:el coeficiente (o factor numérico) y el factorliteral, compuesto por una o más letras con susrespectivos exponentes. Es decir, correspondea un producto o cociente de números y letras.• Una expresión algebraica es un conjunto de unoo más términos algebraicos unidos medianteoperaciones de suma o resta.• Los términos semejantes de una expresiónalgebraica son todos los que tienen el mismofactor literal, es decir, tienen las mismas letras yademás, cuando incluyen potencias, el mismoexponente para cada una.• Para reducir los términos semejantes de unaexpresión algebraica, se asocian los términosque son semejantes y luego se suman o restan,según corresponda.• En el lenguaje algebraico, cuando se usa unaletra para representar una variable, significa queesta puede tomar distintos valores numéricos.Se debe usar la misma letra cada vez que serefiere a esa variable.• Valorizar una expresión algebraica significaremplazar las variables por valores numéricosy luego calcular su resultado.• Si a los dos lados de una igualdad se suma oresta un mismo número, la igualdad se mantiene.Lo mismo ocurre si se multiplica o divide por unmismo número, distinto de cero.• Una ecuación es una igualdad que contieneun valor desconocido llamado incógnita.Esta incógnita se puede representar medianteuna letra.• La solución de una ecuación es el valor quedebe tomar la incógnita para que la igualdadsea cierta. Resolver una ecuación es encontrareste valor.• Para facilitar la resolución de ecuaciones concoeficientes fraccionarios, conviene amplificarcada término de la ecuación por el mínimo comúnmúltiplo de los denominadores de las fraccionespresentes en la ecuación, y luego, resolverla.• Cuando los coeficientes son números decimales,conviene amplificar cada término de la ecuaciónpor la potencia de 10 que transforme en númeronatural al decimal con más cifras decimales,y resolverla.
  • 44. Unidad 2 – Números y álgebra44Ejercicios resueltos1. En un restaurante se ofrecen desayunos a elección. Las opciones son:Para beber Pan DulceLecheTéCaféJamónQuesoHuevoTortaKuchenGalletas¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?, ¿quéexpresión matemática permite calcularlo? ¿De qué otraforma se podrían determinar todas las posibilidadesde menús?Como para beber se tienen 3 opciones, para el pan3 opciones y para el dulce 3 opciones, entonces la expresiónmatemática que permite calcular todas las posibilidadeses 3 · 3 · 3, que escrito como potencia es 33= 27. Por lo tanto,existen 27 posibles menús.Se podrían determinar mediante un diagrama de árbol.En la figura, se muestra el diagrama de árbol, en el cualse pueden representar las 27 posibilidades de menús.2. ¿Se obtiene el mismo resultado al calcular 34y (3 · 4)? Justifica tu respuesta.No, pues al calcular la potencia, resulta 34= 3 · 3 · 3 · 3 = 81.Luego, (3 · 4), que también se puede escribir como (3 + 3 + 3 + 3), resulta 12.Por lo tanto, 34≠ 3 · 4.Concepto de potencia1. Escribe cada potencia como multiplicación defactores iguales y, luego, calcula su valor.a. 82= h. 27=b. 63= i. 35=c. 45= j. 47= d. 114= k. 65=e. 203= l. 84=f. 1006= m. 503=g. 25= n. 104=2. Escribe las siguientes expresiones utilizandouna potencia o una multiplicación y, luego,calcula su valor.a. 2 · 2 · 2 = e. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =b. 5 + 5 + 5 + 5 = f. 10 + 10 + 10 + 10 =c. 10 · 10 · 10 · 10 = g. 5 · 5 · 5 · 5 =d. 3 + 3 = h. 2 + 2 + 2 + 2 =Marca la opción correcta en los ítems 3 al 6.3. La potencia 26tiene el mismo valor que:I. 43II. 23· 82III. 82A. Solo II C. I y IIIB. Solo III D. I, II y III4. El área de un cuadrado de lado 24cm es:A. 48cm2 C. 216cm2B. 28cm2 D. 416cm25. La arista de un cubo cuyo volumen es36cm3mide:A. 3 cm C. 33cmB. 32cm D. 34cmEjercicios y problemas propuestos
  • 45. Unidad 2 – Números y álgebra 45Unidad26. El valor de la potencia xnes igual a 1 si:I. n = 1II. x = 1III. n = 0, con x ≠ 0.A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III7. Carolina envió a tres compañeras de curso uncorreo solidario, en el cual les pidió que cadauno se lo mande a otras tres personas y cadauna de estas, a otras tres y así sucesivamente.Si todas cumplieron y las últimas personas querecibieron el correo fueron 6 561, ¿cómo repre-sentarías esta situación utilizando potencias?Justifica tu respuesta.8. En un supermercado se venden tres marcasde alimentos para perros. Estos además,pueden ser a base de verduras, carne o pollo,y para cachorros, perros juveniles y adultos.a. ¿Cuántas variedades de alimentos paraperros ofrece el supermercado? Explica.b. ¿Cuál es la potencia que representa lasituación anterior?c. Muestra en un diagrama de árbol todaslas posibilidades.9. Bernardo va a asistir a una fiesta y no sabecómo vestirse. Tiene dos pantalones, uno negroy uno azul, dos tipos de calzado, zapatillas yzapatos, dos poleras, una blanca y una gris,y dos tipos de chalecos, uno con y otrosin botones.a. ¿De cuántas maneras se podría vestirBernardo? Utiliza potencias para resolver.b. Muestra en un diagrama de árbol todaslas posibilidades.10. Una huerta de forma cuadrada, cuyos ladosmiden 16 metros, se ha dividido en cuatro partesiguales de forma cuadrada y, estos sectores asu vez, se han subdividido de la misma manera.¿Cuál es el área de los sectores más pequeños?Muestra cómo lo calculaste.11. Una caja contiene 9 rollos de género, cada unocon 9 metros de género. Expresa la cantidad demetros de género que hay en 9 cajas.12. Una villa está formada por 12 manzanas y cadamanzana tiene 12 casas. ¿Cuántas casas hay en12 villas como la descrita?13. La señora Mónica hace almuerzos caseros paraoficinas. Para entregarlos, ella cuenta con cuatrorepartidores que llevan cuatro cajas cada uno,dentro de las cuales van cuatro almuerzos. Paracumplirconlospedidos,diariamentecadarepartidordebe realizar cuatro viajes. ¿Cuántos almuerzosdebe enviar diariamente la señora Mónica?14. Don Omar ahorra de tal forma que el primermes ahorra $ 5 y luego cada mes ahorra 5 veceslo ahorrado el mes anterior. ¿Cuánto ahorra elséptimo mes?15. Una tienda está liquidando sus productos porel cierre de local, de forma que cada semana sevende la mitad del stock, sin reponer ningúnartículo. ¿Cuántas semanas transcurren hasta quese agotan todos los productos, si en un principiohabía 512 artículos?16. Si el crecimiento diario de cierta bacteria es enbase dos: es decir el día 0 hay 20= 1 bacteria,el día 1 hay 21= 2 bacterias y el día 2 hay 22= 4,como lo muestra el siguiente diagrama.a. ¿Cuántas bacterias hay después de 7 días?b. ¿Cuántas bacterias hay después de 10 días?c. ¿Cuál es la expresión matemática para conocerel número de bacterias después de n días?17. Un tipo de bacterias se duplica cada media hora.Si a las 8:30 h hay una bacteria, ¿cuántas bacteriashabrá a las 14:00 h del mismo día?, ¿y a las 23:30 h?Utiliza potencias para resolver.
  • 46. Unidad 2 – Números y álgebra461. Escribe los siguientes números como un númeronatural multiplicado por una potencia de 10.a. 247 000b. 6 900 000c. 16 800 000d. 48 000 000 000e. 7 420 000 000 000f. 364 000 000 000 0002. Si la descomposición de un número es 7 · 107,¿cuál es el número? Marca la opción correcta.A. 7 000 000 C. 700 000B. 70 000 000 D. 700 000 0003. Descompón los siguientes números utilizandopotencias de 10.a. 354 g. 5 608 122b. 1 560 h. 1 200 500c. 78 099 i. 17 630 043d. 99 410 j. 223 505 600e. 111 111 k. 8 000 000 450f. 236 870 l. 8 360 004 0014. ¿Cuál es la descomposición en potencias de base10 del número 12 004? Marca la opción correcta.A. 1 · 105+ 2 · 104+ 4 · 100B. 1 · 104+ 2 · 103+ 4 · 101C. 1 · 105+ 2 · 104+ 0 · 103+ 0 · 102+ 0 · 101+ 4 · 100D. 1 · 104+ 2 · 103+ 0 · 102+ 0 · 101+ 4 · 1005. Escribe el número correspondiente acada descomposición.a. 3 · 103+ 5 · 102+ 2 · 100b. 4 · 106+ 3 · 105+ 6 · 101c. 5 · 104+ 5 · 102+ 5 · 100d. 9 · 106+ 8 · 105+ 1 · 101e. 6 · 109+ 1 · 102+ 2 · 100f. 7 · 106+ 3 · 104+ 6 · 103+ 5 · 102+ 2 · 100g. 3 · 109+ 2 · 107+ 5 · 105+ 1 · 102+ 8 · 100h. 7 · 1010+ 5 · 108+ 6 · 104+ 1 · 102i. 1 · 104+ 3 · 103+ 9 · 102+ 7 · 101+ 9 · 100j. 3 · 105+ 3 · 104+ 2 · 103+ 1 · 102+ 1 · 100k. 8 · 107+ 5 · 105+ 6 · 104+ 1 · 102+ 9 · 100l. 8 · 107+ 5 · 106+ 3 · 105+ 3 · 102+ 1 · 101m. 9 · 107+ 4 · 106+ 1 · 103+ 7 · 102+ 6 · 100n. 1 · 108+ 9 · 106+ 9 · 105+ 9 · 102+ 9 · 100Ejercicios resueltos1. Joaquín dice que su pueblo tiene un terreno cuya área es de 1 250 000 m2. Expresa su área utilizando unapotencia de diez.Para expresar el área del pueblo de Joaquín podemos hacer la siguiente descomposición:1 250 000 = 125 · 10 000 = 125 · 104Por lo tanto, el área se puede expresar como 125 · 104m2.2. Iván ha comprado en el supermercado Cuentas Claras algunos productos. Si Iván va a pagar con billetes de$ 10 000 y de $ 1 000, y monedas de $ 100, $ 10 y $ 1 utilizando la menor cantidad de billetes y monedas,¿cómo debería cancelar para no recibir vuelto? Expresa este resultado utilizando potencias de base 10.Para determinar exactamente con cuántos billetes y cuántas monedasdebe cancelar, vamos a descomponer el número 25 723 en términosde 10 000, 1 000, 100, 10 y 1. Entonces, se obtiene:25 723 = 20 000 + 5 000 + 700 + 20 + 3 = 2 · 10 000 + 5 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1Expresado con potencias de 10 es:25 723 = 2 · 104+ 5 · 103+ 7 · 102+ 2 · 101+ 3 · 100Luego, para no recibir vuelto, Iván debe cancelar con: 2 billetes de$ 10 000, 5 billetes de $ 1 000, 7 monedas de $ 100, 2 monedas de$ 10 y 3 monedas de $ 1.Descomposición de números utilizando potencias de 10Ejercicios y problemas propuestosSupermercadoCuentas ClarasBoleta Nº 2 3458 de agosto de 201118:36 h5 · leche entera $ 2 9903 · pasta dental $ 1 2001 · detergente $ 4 5604 · fideos $ 14 2002 · salsa de tomates $ 9047 · sémola con leche $ 2 3171 · detergente 10 kg $ 12 332TOTAL $ 25 723
  • 47. Unidad 2 – Números y álgebra 47Unidad26. Descompón los siguientes números utilizandopotencias de 10.a. Tres millones doscientos mil.b. Quinientos cuarenta y cinco mil nueve.c. Quince millones trescientos cuarenta y tres mildoscientos cuatro.d. Novecientos millones.e. Cuarenta y seis mil quinientos ochenta y siete.f. Ochenta millones.7. Si a= 5 000, b= 100 y c= 60 000, calcula el valorde las siguientes expresiones y escríbelo usandopotencias de 10.a. a + b + cb. a ∙ b + cc. a ∙ b – cd. (a ∙ b) + (c : b)e. c – a + bf. b ∙ b + c + a + (c : b)8. La población de Chile es aproximadamente17 000 000 de habitantes.a. Expresa la cantidad de habitantes de Chile conpotencias de 10.b. Si la población mundial es aproximadamente400 veces más grande, escríbela usandopotencias de 10.9. Las estrellas son enormes bolas de plasmabrillantes y muy calientes. La estrella roja PróximaCentauri se encuentra a unos 40 billones de kiló-metros de la Tierra aproximadamente. ¿Cómo seexpresa esta distancia usando potencias de 10?Marca la opción correcta en los ítems 10 al 12.10. ¿Qué número equivale a la descomposición2 · 105+ 5 · 106+ 1 · 103+ 1 · 104+ 9 · 101?A. 5 211 090B. 2 511 009C. 5 211 009D. 5 121 09011. ¿Cuál es el dígito que está en la posición de lascentenas en 5 · 105+ 8 · 104+ 6 · 103+ 2 · 100?A. 2 C. 6B. 8 D. 012. ¿Cuál es el dígito de la decena de mil en la descom-posición 3 · 106+ 6 · 105+ 1 · 104+ 1 · 102+ 8 · 100?A. 3 C. 0B. 6 D. 113. Compara y completa con los signos <, > o =,según corresponda.a. 12 · 10412 567b. 38 · 101438 · 1012c. 98 000 000 000 98 · 106d. 525 · 10155 250 · 1016e. 423 · 10124 · 1015f. 67 · 10226 700 · 101914. La superficie de Bolivia es aproximadamente11 · 105km2y la de Perú es 1,3 · 106km2.a. Compara las superficies de Perú y Bolivia.¿Cuál es mayor?b. Escribe los números correspondientes acada superficie.15. Averigua cuál es el área de la Luna (en km2)y, luego, expresa este número como unadescomposición utilizando potencias de 10.16. La masa de la Tierra es aproximadamente6 cuatrillones de kilogramos, es decir,6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos.Expresa esta cantidad utilizando potencias de 10.17. La distancia que nos separa de la galaxiaAndrómeda es 24 000 000 000 000 000 000 km,aproximadamente. Expresa esta distanciautilizando potencias de 10.18. La distancia a los confines observablesdel universo es aproximadamente460 000 000 000 000 000 000 000 km.Expresa esta distancia utilizando potenciasde 10.19. Al ordenar de menor a mayor los números 4 · 103,3 · 104, 4 · 102, 402, 30 212, se obtiene:A. 402, 4 · 102, 30 212, 4 · 103, 3 · 104.B. 4 · 102, 402, 3 · 104, 30 212, 4 · 103.C. 4 · 102, 402, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.D. 402, 4 · 102, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.20. En al año 2010 la fundación Teletón organizóel evento “Chile ayuda a Chile” para construirveinte mil viviendas de emergencia e ir en ayudade la gente afectada por el terremoto del 27 defebrero de ese mismo año. La meta era reunirquince mil millones de pesos. Escribe, usandopotencias de 10, la cantidad de viviendas quese querían construir y la meta de dinero a reunir.
  • 48. Unidad 2 – Números y álgebra48Ejercicios resueltos1. ¿Cuál es el resultado de (2,53 · 104) : 107?Primero, debemos resolver el paréntesis, es decir, (2,53 · 104). En este caso, debemos desplazar la coma 4 lugares a laderecha del número 2,53 (pues el exponente de la potencia es 4) y añadir los ceros que falten. Con esto se obtiene:(2,53 · 104) = 25 300Luego, debemos dividir 25 300 por 107, entonces desplazamos la coma 7 lugares a la izquierda, pues el exponentede la potencia es 7. Esto resulta:25 300 : 107= 0,00253Finalmente, (2,53 · 104) : 107= 0,00253.2. La rapidez de la luz es aproximadamente 300 000 km/s. Escribe en notación científica la distancia querecorre la luz en una hora.Primero calculamos cuántos segundos tiene una hora.1 h = 60 min = 60 · 60 s = 3 600 sHacemos una proporción para calcular los kilómetros que recorre en 3 600 s.x3 600= 300 0001= 300 000x = 3 600 · 300 000 = 3,6 · 103· 3 · 105= 1,08 · 109Por lo tanto, la luz recorre 1,08 · 109km en una hora.1. Calcula los productos o cocientes.a. 10 · 109 k. 5 : 101b. 85 · 106 l. 10 : 103c. 100 · 103 m. 784 : 102d. 294 · 102 n. 2 366 : 102e. 354 · 104 ñ. 35 498,456 : 103f. 4 562 · 108 o. 0,9 : 105g. 0,003 · 104 p. 0,5 : 108h. 0,0025 · 1010 q. 35,87 : 103i. 1,26 · 107 r. 456,1 : 103j. 32,45 · 104 s. 0,00059 : 1062. Compara los resultados en cada caso y completacon los signos <, > o =, según corresponda.a. 0,55 ∙ 10455 000 : 102b. 2,5 ∙ 1020,002 ∙ 105c. 0,0047 ∙ 1034 : 101d. 88 000 : 1040,88 ∙ 101e. 0,2 ∙ 1052 000 : 105f. 999 : 1060,0098 ∙ 1093. Calcula y ordena los productos de mayor a menor.a. 2 · 103; 25 · 102; 0,2 · 105b. 1 · 106; 0,01 · 104; 0,0001 · 108c. 0,25 · 104; 0,26 · 103; 25 · 101d. 0,536 · 106; 0,526 · 106; 536 · 106e. 3 · 105; 3,5 · 105; 0,3 · 107f. 0,999 · 105; 999 · 101; 9,99 · 1024. Resuelve las siguientes operaciones.a. (65 · 103) : 105 d. (62 000 : 103) : 102b. (8,5 · 106) : 102 e. (2 · 102) · (3,5 · 104)c. (1 200 : 102) · 106 f. (3,6 · 105) : (0,2 · 102)Marca la opción correcta en los ítems 5 al 11.5. El resultado de (2,8 · 106) : (0,7 · 103) es igual a:I. 4 · 102II. 0,4 · 103III. 0,04 · 105A. Solo I C. Solo II y IIIB. Solo III D. I, II y III6. ¿Cuál es el dígito de la unidad de mil al calcular(0,2356 · 103) · 105?A. 0 C. 5B. 6 D. 27. Para realizar una cirugía, un médico necesita unaaguja de 0,3 mm de diámetro. Esta medida escritaen metros es:A. 0,3 · 103m C. 0,3 : 103mB. 0,3 · 104m D. 0,3 : 104mMultiplicación y división por potencias de 10Ejercicios y problemas propuestos
  • 49. Unidad 2 – Números y álgebra 49Unidad28. El volumen de una piscina es 30 000 L.Si 1 L = 1 000 cm3, entonces el volumen de lapiscina escrito en centímetros cúbicos es:A. 3 · 104cm3 C. 3 · 106cm3B. 3 · 105cm3 D. 3 · 107cm39. El valor de la expresión (1 · 10m) : (0,1 · 10n) esigual a 1 si:I. m = 4, n = 5II. m = 3, n = 1III. m = 6, n = 5A. Solo I C. Solo IIIB. Solo II D. I y III10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que0,02 : 103?A. 4 : 105B. 70 : 106C. 6 : 106D. 0,5 : 10311. Al dividir 3,6 · 1024por 108, se obtiene:A. 3,6 · 103B. 3,6 · 1016C. 3,6 · 1032D. 3,6 · 101212. Rodrigo quiere saber la cantidad de hojas quehay en un tipo de árbol. Si por cada rama hay102hojas y el árbol tiene alrededor de 102ramas:a. ¿cuántas hojas hay en el árbol?b. Nicolás, el hermano de Rodrigo, dice que enotro tipo de árbol hay en total 105hojas y103ramas, ¿cuántas hojas tiene cada rama?c. Si en la plaza donde juegan Rodrigo y Nicoláshay 10 árboles de cada tipo con una cantidadde hojas similares, ¿cuántas hojas de árbolhabría en la plaza?13. Las ganancias que una empresa recibió en el2009 ascienden a $ 2,5 · 107.a. Si el año 2010 las ganancias fueron de un 15 %más que el año 2009, ¿cuánto dinero obtuvieronde ganancias entre el 2009 y 2010? Expresa elresultado como un número natural.b. Si el año 2011 la empresa obtuvo gananciascorrespondientes al 90 % de lo recibido en el2010, ¿cuánto dinero obtuvo de utilidad laempresa ese año? Expresa el resultadoutilizando potencias de 10.14. Se estima que cada habitante produce enpromedio 0,5 kg de basura al día. Si se estimaque los habitantes en Chile en el año 2012 son1,75 · 107, calcula:a. ¿cuántos kilogramos de basura producen loshabitantes chilenos en un día?b. ¿cuántos kilogramos de basura producen enun mes (30 días) los chilenos?c. ¿cuántos kilogramos de basura producirán loschilenos en el 2012?15. Dado un cubo de 20 cm de arista, calcula:a. su área total y expresa el resultado utilizandopotencias de diez.b. su volumen y expresa el resultado utilizandopotencias de diez.16. Lucía observa un prisma recto de base cuadrada.Si su arista basal mide 100 cm y su altura mide500 cm, calcula:a. el área total del prisma y expresa el resultadoutilizando números naturales y potenciasde 10.b. el volumen del prisma y expresa el resultadoutilizando números naturales y potenciasde 10.17. Las hormigas son insectos pequeños que habitanen casi todo tipo de medioambiente. Se estimaque su número es 10 000 billones viviendo sobrela Tierra. Además, su tamaño varía entre 0,75y 52 mm.a. Expresa el número estimado de hormigasusando números naturales y potencias de 10.b. Expresa el menor tamaño que pueden tenerlas hormigas usando números naturales ypotencias de 10.18. Ignacia compró 650 m de cordón rojo, 820 mde cordón verde y 940 m de cordón amarillo.El cordón rojo lo cortó en 10 trozos iguales,el verde en 100 trozos iguales y el amarillo en1 000 trozos iguales.a. ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo,de cordón verde y de cordón amarillo?b. Si quisiera cortar el cordón amarillo en105trozos iguales, ¿cuánto mediría cada trozo?c. ¿Cómo dividirías rápidamente un número poruna potencia de base 10?
  • 50. Unidad 2 – Números y álgebra50Potencias de 10 con exponente entero1. Calcula los siguientes productos o cocientes.a. 25· 10–4 m. 33 · 103b. 82· 10–3 n. 100 · 10–2c. 92 · 10–7 ñ. 504 · 10–3d. 605 · 10–6 o. 951 · 10–3e. 132 · 105 p. 1 354 · 10–5f. 122105 q. 856 324 · 10–6g. 503103 r. 8210–5h. 42104 s. 7410–3i. 60310–4 t. 80210–5j. 15210–5 u. 32210–4k. 700210–6 v. 600310–2l. 800210–5 w. 100210–32. Representa los siguientes números como elproducto de un número natural por una potenciade 10.a. 2,5 k. 123,4b. 4,123 l. 324,25c. 5,58 m. 455,70d. 65,23 n. 860,45e. 0,5 ñ. 1 000,456f. 0,8 o. 1 235,147g. 0,01 p. 2 652,3254h. 0,002 q. 5 354,3654i. 0,000001 r. 23 654,628j. 0,00009 s. 123 895,65843. Remplaza los valores de a y b, realiza los cálculosy, luego, completa la tabla.a b a ∙ b a : b64 10–39 10–616210–230310–760210–420410–5Ejercicios resueltos1. Calcula la expresión (2 ∙ 10–3) : (4 ∙ 104) y luego expresa el resultado como un producto de un número naturalpor una potencia de 10.Primero resolvemos (2 ∙ 10–3) = 2 ∙ 1103= 2 : 103= 0,002.Luego, (4 ∙ 104) = 4 ∙ 10 000 = 40 000.Entonces, 0,002 : 40 000 = 0,00000005.Finalmente, el resultado expresado como producto de un número natural por una potencia de 10 es:0,00000005 = 5 ∙ 10–82. Un micrómetro equivale a una millonésima parte de un metro, o sea, 1 μm = 10–6m. Si una bacteria mide1 μm, ¿cuántas bacterias podemos alinear en un centímetro? Escribe el resultado, usando potencias de 10.Para encontrar la cantidad de bacterias que se pueden alinear en un centímetro, debemos dividir un centímetroen micrómetros. Para esto expresamos ambas unidades en metros de la siguiente manera:1 μm = 10–6m1 cm = 10–2mRealizamos la división10–210–6= 0,01 : 0,000001 = 10 000 = 104Por lo tanto, podemos alinear 10 000 bacterias en un centímetro.Ejercicios y problemas propuestos
  • 51. Unidad 2 – Números y álgebra 51Unidad24. Calcula y expresa el resultado como producto deun número natural por una potencia de 10.a. 5210–4b. 33∙ 10–3c. 122∙ 10–5d. (1 ∙ 104) ∙ (4 ∙ 10–2)e. (8 ∙ 10–2) : (2 ∙ 10–3)f. (25 ∙ 10–4) : (2 ∙ 10–2)g. (4 · 103) · (6 · 10–6)8 · 10–35. En el triángulo EFG, rectángulo en F, que seobserva en la figura, sus catetos miden 30 cm y40 cm. Calcula, expresando los resultados comoproducto de un número natural por una potenciade 10.a. El área del triángulo EFG.b. Expresa el área en m2.c. El perímetro del triángulo EFG.d. Expresa el perímetro en m.6. La distancia aproximada desde Puerto Montt aIquique es de 2 814 km. ¿Cómo se expresa estadistancia en centímetros? Expresa el resultadocomo producto de un número natural por unapotencia de 10.Marca la opción correcta en los ítems 7 al 10.7. La potencia 23tiene el mismo valor que la olas expresiones:I. 2310–1II. (23· 102) · 10–2III. 80 · 10–1A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III8. El número decimal 0,0000007 es igual a:A. 7 · 10–7B. 7 · 107C. 7 · 10–6D. 710–79. ( 8210–3)=A. 64 · 102B. 64 · 10–3C. 64 · 103D. 64 · 10610. Si a = 2 · 10–1y b = 3 · 10–2, se puede afirmar que:I. a + b = 0,23II. a – b = 0,17III. a + b = 23 · 10–2A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. I, II y III11. Observa y, luego, responde:1 km = 1 000 m, 1 m = 100 cma. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permiteconvertir de kilómetros a metros?, ¿cómolo harías?b. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permiteconvertir de centímetros a kilómetros?,¿cómo lo harías?12. El lado del cuadrado EFGH mide 3,5 m. Si lamedida del lado del cuadrado ABCD es el dobleque la del más pequeño, responde:D CA BHEGFa. ¿Cuánto mide el área sombreada? Expresa elresultado utilizando potencias de 10.b. Si expresaras las medidas en cm2, ¿qué poten-cia de 10 permite realizar el procedimiento?Muestra cómo quedaría el resultado queobtuviste en a en cm2.13. Una bacteria de 1 μm de longitud se reproducedividiéndose en diez cada diez horas. ¿Cuántashoras deben pasar para tener una cantidad debacterias que puedan alinearse en 1 cm?EF G
  • 52. Unidad 2 – Números y álgebra521. Escribe como multiplicación de factores igualescada potencia y calcula su valor.a. 34· 3 =b. 46· 42=c. 65· 62=d. 135: 134=e. 68: 38=f. 87: 27=g. 453: 153=2. Completa la siguiente tabla.a b a2b2a2· b2(a · b)23 25 93 112 53. Calcula mentalmente el valor de cada potenciay escribe el resultado.a. 24· 2 =b. 52: 5 =c. 33· 32=d. 133: 13 =e. 26· 36=f. 53: 53=g. 44· 44=h. 1010: 107=4. Escribe las siguientes expresiones utilizando unasola potencia.a. (56: 52) · 5 =b. 46: 42=c. 74· 73=d. (86: 83) · 82=e. (32: 33) · 39=5. Compara los resultados en cada caso y completacon el signo <, > o =, según corresponda.a. 100∙ 10 50∙ 52b. 22: 2 22∙ 2c. 43: 4264: 24d. 3001e. 175: 174172f. 55∙ 5 3 1256. Calcula el valor de las siguientes expresiones.a. (23)2=b. (32)2=c. (52)3=d. (123)2=e. (76)1=7. ¿A qué potencia equivale la expresión:23+ 53+ 62? Marca la opción correcta.A. 132B. 135C. 138D. 605Ejercicios resueltos1. Rosario tiene 8 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas formas diferentes se puede vestir?Si lo expresamos como potencias, Rosario tiene 23poleras, 22pantalones y 21pares de zapatos. Para calculartodas las combinaciones posibles, podemos multiplicar 23· 22· 21y obtenemos 23 + 2 + 1= 26.Luego, Rosario tiene 26formas diferentes para vestirse, que corresponde a 64 tenidas distintas.2. Nicolás construyó una maqueta para presentar su proyecto y le explica a su profesor que 1 cm en la maque-ta corresponde a 22m en la construcción. Si en su maqueta hay un cubo cuya arista mide 49 cm, ¿cuál sería elvolumen del edificio representado por este cubo?La arista del cubo en la maqueta mide 49 cm, lo que se puede representar como 72cm.Si cada centímetro en la maqueta corresponde a 22m en la construcción, entonces la arista en el edificio sepuede calcular multiplicando 72· 22, obteniendo: (7 · 2)2= 142. Lo que significa que mide 142m.Para calcular el volumen del edificio se puede multiplicar 142∙ 142∙ 142= 146, entonces el volumen es 146m3.Multiplicación y división de potencias de igual baseo de igual exponenteEjercicios y problemas propuestos
  • 53. Unidad2Unidad 2 – Números y álgebra 538. Para multiplicar 6 · 4 · 24, se puede descomponercada factor en factores primos. Así, queda(3 · 2) · (22) · (23· 3) y, utilizando las propiedadesde potencias, obtienes 26· 32= 64 · 9 = 576.Usando este procedimiento, calcula:a. 100 · 25 · 16 = c. 18 · 72 · 6 =b. 15 · 75 · 27 = d. 21 · 49 · 28 · 9 =9. Resuelve utilizando potencias. Guíate porel ejemplo.16 · 25 · 9 = 42· 52· 32= (4 · 5 · 3)2= 602= 3 600a. 49 · 25 · 4 = c. 32 · 243 =b. 216 · 125 = d. 27 · 8 · 64 =10. Si la arista de un cubo mide 33cm, expresacomo potencia:a. el área de cada cara del cubo.b. el área total del cubo.c. el volumen del cubo.Marca la opción correcta en los ítems 11 y 12.11. ¿A qué expresión es equivalente el productode 3 · 2 · 81 · 4?A. 23· 35 C. 23· 34B. 24· 35 D. 2 · 3512. ¿Cuál de las siguientes expresiones no esequivalente a 604?A. 3602 C. (62· 100)2B. (4 · 3 · 5)4 D. 12 960 00013. La piscina de un estadio tiene 2 m de profun-didad, 50 m de largo y 21 m de ancho. Si Felipetiene una piscina de 3 m de ancho, 10 m de largoy 2 m de profundidad, ¿cuántas veces más grandees la piscina del estadio que la de Felipe?14. Emiliano puede tomar dos caminos distintos parallegar al colegio. Después de su jornada escolartiene cuatro rutas diferentes para llegar al depar-tamento de su tía Catalina. En la noche, puedeescoger entre ocho caminos para volver a su casa.¿De cuántas maneras distintas puede realizar elrecorrido completo del día? Usa las potenciaspara resolver.15. El casino de una empresa ofrece para la hora dealmuerzo 3 platos distintos, con 3 opciones depostre y 9 sabores de jugos. ¿De cuántas maneraspuedes pedir tu almuerzo en este casino? Usa laspotencias para resolver.16. Calcula el área de un cuadrado de lado 24cm.Luego multiplica por 23cada lado. ¿Cuánto mideel área de este nuevo cuadrado? Expresa elresultado utilizando potencias de base 2.17. El lado de un triángulo equilátero mide 3 cm.Si cada lado aumenta 33veces, ¿cuánto mide elperímetro de este nuevo triángulo en potenciasde base 3?18. El equipo de gimnasia rítmica de un colegio debeelegir su uniforme deportivo para el próximo año.Como propuesta llegaron 2 tipos de zapatillas,8 mallas y 4 faldas. ¿Cuántas combinacionesde ropa pueden formar? Usa las potenciaspara resolver.19. Calcula el volumen de un prisma de baserectangular de altura 43cm, ancho 27cm ylargo 48cm.20. La arista de un cubo mide 25 cm. Si se quintuplica,¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado enpotencias de 5?21. El largo de un un prisma de base rectangularmide 43cm, el alto 42cm y el ancho 4 cm.a. ¿Cuánto mide el volumen del prismaexpresado en potencias de 4?b. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, sicada una de sus aristas aumenta cuatro veces?c. ¿Cuánto disminuye el volumen del prisma sicada arista se divide en 4?22. En un restaurante de comida saludable el menúconsta de 3 tipos diferentes de entradas, 9 tiposde platos de fondo y un número desconocido depostres. Si en total se pueden formar 81 diferentesmenús, ¿cuántos diferentes postres existen en elmenú? Utiliza potencias para resolver.23. Responde y observa lo que sucede al multiplicarsucesivamente 2.a. Calcula 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.b. Observa el dígito que se ubica en la posiciónde las unidades, ¿qué puedes concluir?c. Explica cómo puedes calcular el dígito que seencuentra en la posición de las unidades de 217.d. Calcula el dígito de las unidades de los números219, 221, 230y 232.
  • 54. Unidad 2 – Números y álgebra54Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 25.1. El valor de la potencia 26es igual a:I. 62II. 43III. 82A. Solo IIIB. I y IIC. II y IIID. I, II y III2. 32+ 23– 40– 52+ 22=A. –5B. 45C. 5D. –83. La expresión 210: 27se puede expresar como:A. 217B. 23C. 270D. 434. La expresión 32+ 33es igual a:A. 35B. 65C. 62D. 1515. El resultado de (2 500 : 102) : (0,05 · 102) es:A. 25B. 5C. 50D. 1256. El valor de (0,7)3es:A. 0,00343B. 0,343C. 343D. 0,03437. El producto de (45 000 : 102) por 105es:A. 45 · 107B. 45 · 103C. 45 · 106D. 45 · 1058. El valor de x en la expresión (0,001)x= 1 es:A. 0B. 1C. 2D. 39. El área del cuadrado de la figura es:A. 26cm2B. 29cm2C. 46cm2D. 62cm210. ¿A qué número corresponde la descomposición4 · 107+ 2 · 106+ 4 · 103+ 2 · 104+ 2 · 102?A. 42 240 200B. 42 024 200C. 42 024 020D. 42 204 20011. ¿Cuál es el largo de un rectángulo si su área es25cm2y su ancho es 22cm?A. 27cmB. 22cmC. 23cmD. 210cm12. ¿Cuál es el área de una región rectangular si sulargo es 35cm y su ancho corresponde a un terciode la medida anterior?A. 34cm2B. 310cm2C. 38cm2D. 39cm213. ¿Cuál es el dígito de las centenas en la descom-posición 3 · 107+ 4 · 104+ 1 · 105+ 2 · 103+ 7 · 101?A. 2B. 0C. 7D. 414. Una bacteria se reproduce dividiéndose en 2.Si la división se produce cada 1 hora e inicialmentehabía una sola bacteria, ¿cuál de las siguientesexpresiones representa la cantidad de bacteriasal término de 6 horas?A. 2 · 12B. 2 · 6C. 26D. 212A B23cmCD
  • 55. Unidad2Unidad 2 – Números y álgebra 5515. El ancho y largo de un envase de jugo con formade prisma de base rectangular mide 9 cm y sualto es 16 cm. ¿Cuál de las siguientes expresionesrepresenta la capacidad total del envase?A. (3 · 3 · 4)2cm3B. (9 · 9 · 16)2cm3C. (92· 92· 162) cm3D. (3 · 3 · 4)3cm316. Un tipo de bacteria se duplica cada 6 minutos.¿Cuántas habrá luego de una hora si en uncomienzo había 3 bacterias?A. 512B. 1 024C. 1 536D. 3 07217. Para hacer su árbol familiar, Lucas parte por él,luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos ytatarabuelos. ¿Qué potencia representa lacantidad de tatarabuelos de Lucas?A. 24 B. 25 C. 44D. 2318. La expresión 32· 42· 52es equivalente a:A. 6 · 8 · 10B. 3 · 4 · 5 · 2C. (3 · 4 · 5)2D. (3 + 4 + 5)219. El valor de la potencia 28es:A. 16B. 64C. 128D. 25620. El volumen de un cubo, cuya arista mide128 cm, es:A. 27cm3B. 214cm3C. 218cm3D. 221cm321. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo mide44cm y su ancho es 24cm?A. 27cm2 B. 88cm2 C. 212cm2D. 64cm222. El número 124es:A. Menor que 100.B. Mayor que 100 y menor que 1 000.C. Mayor que 1 000 y menor que 10 000.D. Mayor que 10 000.23. La relación incorrecta es:A. (a : b)n= (an: bn)B. an· bn= (a · b)nC. an+ bn= (a + b)nD. an· am= a(n + m)24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?A. El valor de una potencia de base 10 y cuyoexponente es un número natural, es siempremayor que 1.B. Para multiplicar potencias con igualexponente, se pueden multiplicar las basesy conservar el exponente.C. En una potencia de base 10 con exponentenegativo, el exponente indica la cantidad deceros que acompañan a la unidad.D. Para calcular la potencia de una potencia,se puede conservar la base y multiplicarlos exponentes.25. La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica,¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresadocomo potencia de base 3?A. 36cm3B. 39cm3C. 310cm3D. 312cm326. Una compañía vende cajas de lápices de colorescon 6 unidades. Las cajas vienen agrupadas enbolsas de 6. En las repisas donde se guardan, sepueden almacenar 36 bolsas.a. ¿Qué potencia expresa la cantidad de lápicesque hay en una repisa? ¿Cuántos lápices hay?b. Si en una ciudad hay 216 repisas de la com-pañía que almacenan la misma cantidad debolsas, ¿cuántos lápices hay en la ciudad?c. Si en el país hay 6 ciudades, con 216 repisascada una que almacenan lápices de colores,¿cuántos lápices hay en el país?
  • 56. Unidad 2 – Números y álgebra56Ejercicios resueltos1. Calcula el valor de(47 )6.(47 )6= 47· 47· 47· 47· 47· 47= 4 096117 6492. Un grupo de investigación determinó que una clase de bambú crecía, en metros, según la función f(n) =(54 )n,donde n representa los días trascurridos. Si han pasado 3 días, ¿cuántos metros mide el bambú? Si han pasado5 días, ¿cuántos metros aproximadamente mide el bambú?Si han pasado tres días entonces f(3) =(54 )3= 54· 54· 54= 1,953125. Lo que significa que el bambú mide1,95 m aproximadamente.Si han pasado 5 días entonces f(5) =(54 )5= 54· 54· 54· 54· 54= 3,051758. Lo que significa que el bambú mide3,05 m aproximadamente.Potencias de base fraccionaria o decimal positivay exponente natural1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.a. 23· 23· 23· 23· 23=b. 75· 75· 75· 75=c. 29· 29· 29· 29· 29=d. 133· 133· 133· 133· 133=e. 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 =f. 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 =g. 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 =h. 4,94=i. (67 )5=j. 7,46=k. (52 )3=2. Completa la siguiente tabla, escribiendoel resultado en cada casillero como unasola potencia.a b a · b a : b0,125 0,50,0625 0,250,04 0,2(0,5)5(0,25)23. Calcula las siguientes potencias.a. 15· 15· 15· 15=b. 37· 37· 37· 37· 37=c. 25· 25· 25· 25=4. Calcula las siguientes potencias.a. (12 )2= f. (0,7)2=b. (23 )3= g. (0,8)6=c. (0,1)5= h. (0,8)2=d. (0,5)2= i. (0,4)3=e. (0,3)3= j. (12 )5=5. ¿Cómo se representa el valor de la expresión0,5 · 0,25 · 0,0625 escrita como una solapotencia? Marca la opción correcta.A. (0,5)7B. (0,5)6C. 56D. (0,25)76. Si el diámetro de un átomo de hidrógeno mide0,0000000106 cm, ¿cuántos metros mide suradio? Exprésalo como una multiplicaciónentre un número natural y una potencia de 10.Ejercicios y problemas propuestos
  • 57. Unidad 2 – Números y álgebra 57Unidad27. Compara y completa con el signo <, > o =,según corresponda.a. (19 )0(1,5)0b. (3,2)2(23 )2c. (4,5)3(92 )3d. (5,3)1(2,3)2e. (17 )5(17 )2f. (2,1)4(1,9)38. En un experimento, se pudo observar que unapoblación de bacterias (P) después de aplicarel antídoto decrecía según la expresiónP =(14 )n· M, donde M es la población inicial yn representa los días transcurridos desde que seaplicó el antídoto. ¿Cuántos días deberían pasarpara que la población llegue a ser 0,0625M?9. La arista de un cubo mide 53cm. Si las aristasaumentan(53 )2veces, ¿cuál es el volumen del nuevocubo expresado en una potencia de base 53?10. En un prisma de base rectangular, el largo mide1,23m, el alto mide 1,22m y el ancho, 1,2 m.a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresadoen una potencia de base 1,2?b. ¿Cuánto mide el área total del prisma expresadoen una potencia de base 1,2?c. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, sicada una de sus aristas aumenta cuatro veces?d. ¿Qué sucede con el volumen del prisma sicada arista se divide por 0,2?e. ¿Qué sucede con el volumen del prisma sicada arista se divide por 0,4?Marca la opción correcta en los ítems 11 al 13.11. ¿Cuál de las siguientes expresiones no esequivalente a( 310)4?A. 0,0081B. 8110 000C. 811 000D. ( 9100)212. ¿Cuál es el valor de la potencia (2,22)3?A. 6,66B. 8,88C. 4,9284D. 10,94104813. La cuarta parte de la cuarta parte de la cuartaparte de 40 es:A. 2,5B. 0,25C. 0,625D. 0,01562514. En una tienda se necesita calcular el 50 % del50 % del 50 % del 50 % de $ 20 000.a. Escribe una expresión en la cual uses fraccionespara realizar el cálculo.b. Escribe una expresión en la cual uses decimalespara realizar el cálculo.c. ¿Cuál es el resultado buscado?15. A una fiesta asisten 125 personas, de las cualesel 60 % son mujeres. Del total de las mujeres, tresquintos usa zapatillas y de estas el 60 % baila.a. Escribe una expresión con decimales que tepermita calcular la cantidad de mujeres queestá bailando. ¿Cuántas son?b. Si de los hombres que hay en la fiesta, la mitadtiene el pelo ondulado, y de estos soloel 20 % está sentado, ¿cuántos hombres depelo ondulado están de pie?16. Observa la siguiente secuencia y responde.(35 )1, (35 )2, (35 )3, (35 )4, ...a. ¿Cuál es el sexto término de la secuencia?Escríbelo como potencia.b. Calcula el valor del quinto término dela secuencia.c. Escribe como números decimales los cincoprimeros términos de la secuencia.d. ¿En qué término el número de la secuencia esmenor que 0,05?e. ¿Qué pasará si sigues haciendo este procesosucesivamente? Usa una calculadora paraobtener más términos de la secuencia.f. Inventa otra secuencia donde ocurra la mismo.g. ¿En qué te fijaste para crear otra secuencia?
  • 58. Unidad 2 – Números y álgebra58Ejercicios resueltos1. En un experimento Francisco observó que al dejar caer una pelota de tenis desde una altura de 100 m,cada rebote alcanzaba una altura aproximada de H =(14 )n· 100 metros, donde n representa el númerode rebote, ¿cuántos metros de altura alcanza el tercer rebote?Debemos evaluar la expresión para n = 3, es decir,(14 )3· 100 = 1,5625. Lo que significa que el tercer rebote tiene1,5625 m de altura.2. Simplifica de dos maneras distintas la siguiente expresión:(23 )3·(12 )3·(32 )4·(13 )4Podemos aplicar la propiedad de potencias de igual exponente:(23 )3·(12 )3·(32 )4·(13 )4=(23· 12 )3·(32· 13 )4 =(13 )3·(12 )4= 127· 116= 1432Otra manera de calcular el resultado es aplicando la propiedad de división de potencias:(23 )3·(12 )3·(32 )4·(13 )4= 2333· 123· 3424· 134 = 23· 1 · 34· 133· 23· 24· 34= 124· 33 = 116 · 27= 1432Multiplicación y división de potencias de basefraccionaria o decimal positiva y exponente natural1. Escribe como multiplicación o división de factoresiguales cada potencia y calcula su valor.a. (25 )3· 25= e. 0,39: 0,35=b. (57 )2·(56 )3= f. 0,68: 0,38=c. (43 )2·(43 )6= g. 0,87: 0,27=d. 0,53· 0,53= h. 0,93: 0,33=2. Calcula y completa la siguiente tabla.a b a2b2a2· b2(a · b)20,3 2,47,3 5,2244652343. Calcula el valor de cada potencia, resuelve lasoperaciones y escribe el resultado.a. (0,1)4∙ 0,1 =b. (5,3)2: 5,3 =c. (34 )3·(34 )2=d. 13,23: 13,2 =e. (410)6·(52 )6=f. (0,8)7: (0,2)7=g. [(35 )3]2=h. [(47 )2]4=4. Escribe cada expresión como una sola potenciay calcula su valor.a. (25 )3· 8125=b. (68 )4:(6436)3=c. [(45 )3]3=Ejercicios y problemas propuestos
  • 59. Unidad 2 – Números y álgebra 59Unidad25. Compara los resultados en cada caso y completacon el signo <, > o =, según corresponda.a. 10,30∙ 5,2 (5,2)0∙ (56,2)2b. 2,25: 2,2 2,28∙ 2,2c. (0,4)5: (0,4)4(0,6)5: (0,3)4d. 30,301e. (35 )5:(35 )4(17,4)2f. (0,5)3∙ (0,5) 0,06256. Calcula el valor de cada potencia de una potencia:a. [(27 )3]3=b. ((0,8)2)5=c. [(34 )3]2=d. ([0,2]5)1=e. [(27 )6]1=f. [(47 )3]2=7. Resuelve las siguientes operaciones.a. (72 )2·(72 )3=b. (13 )3:(13 )3=c. (37 )9:(37 )6=d. (25 )7:(25 )5=e. (0,4)2: (0,4) =f. (0,6)2: 0,6 =Marca la opción correcta en los ítems 8 y 9.8. La expresión (1,1)2· 102es igual a:A. 11 C. 10B. 121 D. 1009. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones no esequivalente a(0,62· 33· 10102· 27 )? I. 62103 II. 0,62103III. 0,62· 0,1A. Solo I C. II y IIIB. Solo II D. I y III10. En un triángulo equilátero cada lado mide(13 )2m.a. Si cada lado se multiplica por 13, ¿cuánto mideel perímetro del nuevo triangulo en potenciasde base 13?b. Si cada lado se multiplica por(13 )3, ¿cuántomide el perímetro del nuevo triángulo enpotencias de base 13?c. Si cada lado se multiplica por(13 )5, ¿cuántomide el perímetro del nuevo triángulo enpotencias de base 13?11. En un programa de erradicación de pulgones seutilizan chinitas, por ser su depredador natural.Si inicialmente había 1 000 pulgones y cada díasobrevive el 90 %, ¿cuántos pulgones hay en eldía 3, desde que se comenzó la erradicación?12. Marcela ahorra dinero en el banco y el primermes depositó $ 30 000. Durante 5 meses el bancoaumentó, mensualmente, el 10 % de lo que habíaen la cuenta.a. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcelaal término del primer mes.b. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcelaal término del segundo mes.c. ¿Cuánto dinero tiene Marcela en su cuenta altérmino de los 5 meses?13. Calcula el volumen de un prisma de base rectan-gular cuya altura mide 0,93cm, su ancho 0,92cm ysu largo 0,812cm.14. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalentea(13 )3·(310)3·(57 )3? Marca la opción correcta.A. (1570)3 C. (321)3B. (114)3 D. (15210)2715. La arista de un cubo mide 1,2 cm. Si aumenta1,44 veces, ¿cuál es el volumen del nuevo cuboexpresado en potencia de 1,2?
  • 60. Unidad 2 – Números y álgebra601. Calcula el valor de cada potencia.a. 68=b. 153=c. (−4)6=d. (−8)7=e. (−13)5=f. 45=g. −34=2. Completa la siguiente tabla.a b a2b2a2· b2(a · b)22 –14 –3–6 79 –13. Calcula mentalmente el valor de cada potenciay escribe el resultado.a. 24=b. 53=c. 133=d. (−3)3=e. (−5)2=f. (−13)3=4. Compara los resultados en cada caso y completacon el signo <, > o =, según corresponda.a. 4324b. 175172c. (−30)01d. 100(−10)0e. −2 22f. (−5)53 1255. Calcula el valor de cada potencia de una potencia.a. (23)2=b. ((−3)2)2=c. [(−5)2]3=d. ([−1]2)25=e. ([−7]6)1=6. Javier tiene ahorros que llamaremos $ x, perodesea conseguir un crédito para comprar unautomóvil. Él calcula que cada día tiene quepagar su deuda en potencias de 2, es decir eldía inicial cancela 21= $ 2, el segundo día 22= $ 4,el tercer día 23= $ 8 y así sucesivamente. Si elcálculo lo lleva a darse cuenta de que el día 22 yano tendría ahorros, ¿cuál es una aproximaciónde los ahorros de Javier?Ejercicios resueltos1. Calcula las siguientes potencias 30, 33, (–3)3, –33, 34, (–3)4, –34.30= 133= 3 · 3 · 3 = 27(–3)3= (–3) · (–3) · (–3) = –27–33= – 3 · 3 · 3 = –2734= 3 · 3 · 3 · 3 = 81(–3)4= (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81–34= – 3 · 3 · 3 · 3 = –812. Calcula el valor de la expresión(34 )2· (–7)3(322)3· 14.Aplicamos la propiedad de división de potencias y calculamos.(34 )2· (–7)3(322)3· 14= 32· (–7)3· 2642· 33· 14 = 32· –73· 2624· 33· 2 · 7= –72· 23 = –49 · 23= –983Potencias de base entera y exponente naturalEjercicios y problemas propuestos
  • 61. Unidad 2 – Números y álgebra 61Unidad27. La arista de un cubo mide 9 cm. Si se triplica,¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresadocomo una potencia de base 3?8. Escribe como multiplicación de factores igualescada potencia y calcula su valor.a. −54∙ −5 =b. (−4)2∙ (−2)2=c. (−4)5∙ (−4)2=d. (9)5: 35=e. (−6)8: (−3)8=f. (−8)7: 27=g. 454: 154=9. Calcula mentalmente el valor de cada potencia yescribe el resultado.a. 24∙ 25=b. (−3)3∙ (−3)2=c. (−13)3: (−13) =d. 53: 53=e. (−5)2: (−5) =f. 133: 13 =10. Compara los resultados en cada caso y completacon el signo <, > o =, según corresponda.a. 70∙ (−7) (−8)0∙ 10b. −22: (−2) 22∙ 2c. 43: 4264: 24d. (−30)01e. 175: 174172f. (−25)5∙ (−5) 3 12511. Calcula el valor de las siguientes expresiones.a. (23)2: 4 =b. 93: ((−3)2)2=c. [252] ∙ [(−5)2]3=d. ([−1]2)25: (−1)12=e. (−75) ∙ ([−7]6)1=12. Escribe las siguientes expresiones como unasola potencia.a. (56) ∙ 56=b. ((2)3)2=c. (62) : 6 =d. (−5)16∙ (−5)4=e. (−4)6: (−4)2=f. (−7)2∙ (−73) =13. El directorio de un equipo de fútbol deseaconstruir un estante para presentar sus premios,pero tienen solo un espacio cuyo volumen es de8 388 608 cm3para instalar el estante. Si la alturade este estante es de 256 cm y el ancho mide64 cm, ¿cuánto mide el largo? Realiza los cálculosutilizando potencias.14. La depreciación anual de un computador es de110de su valor. Si el precio inicial del computadores de $ 300 000, determina su valor al cabo de4 años.Marca la opción correcta en los ítems 15 al 18.15. En la secuencia 30, −31, 32, −33, 34… el valor deloctavo término es:A. −35B. (−3)7C. 38D. 3616. ¿Cuál es el valor de [(−12)3: 43] ∙ (−3)2?A. (−3)2B. −30C. 3D. (−3)517. ¿Cuál es el resultado de la expresión: 24· 2223: 2?A. 2B. 4C. 16D. 3218. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 1? I. 323 · 3 II. 10 · 10 · 10 · 10–3III. (–5)3· 554A. Solo IB. Solo IIC. Solo I y IID. I, II y III
  • 62. Unidad 2 – Números y álgebra621. Calcula mentalmente las siguientes raícescuadradas y escribe el resultado.a. √1 =b. √4 =c. √9 =d. √25 =e. √49 =f. √81 =g. √121 =h. √144 =i. √400 =j. √900 =k. √1 000 000 =l. √10 000 =2. Si a, b y c son tres números naturales tales quea2+ b2= c2, determina el número x que faltapara que se cumpla la igualdad.a. a = 30, b = 40, c = xb. a = 60, b = x, c = 100c. a = x, b = 12, c = 15d. a = 9, b = x, c = 15e. a = 25, b = 60, c = xf. a = 15, b = 36, c = xg. a = 12, b = x, c = 20h. a = 27, b = 36, c = xi. a = 50, b = 120, c = xj. a = x, b = 72, c = 78Ejercicios resueltos1. Calcula √16 y justifica.Buscamos un número positivo que elevado a 2 sea 16. Como 42= 4 · 4 = 16, entonces √16 = 4.2. Calcula la medida de la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro es 4 cm. Utiliza una calculadora.Como el perímetro mide 4 cm, entonces la medida de sus lados es 1 cm, pues 4 : 4 = 1. Para calcular su diagonal,usamos el teorema de Pitágoras, es decir, en un triángulo de catetos a y b e hipotenusa c, se cumple quea2+ b2= c2. En este caso tenemos que:12+ 12= x21 + 1 = x22 = x2√2 = xx ≈ 1,41Por lo tanto, la diagonal x mide aproximadamente 1,41 cm.3. Calcula la hipotenusa x del triángulo rectángulo dibujado.Como el triángulo ABC es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, es decir:(BC)2= (AC)2+ (AB)2x2= 62+ 82x2= 36 + 64x2= 100x = √100x = 10BC = 10 cmRaíces cuadradas y teorema de PitágorasEjercicios y problemas propuestosxxBA C1 cm8 cm6 cm1 cm
  • 63. Unidad 2 – Números y álgebra 63Unidad23. Al calcular √16xel resultado es 1 si: I. x = 1 II. x = 4III. x = √16A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III4. Usando calculadora, determina el valoraproximado a las centésimas por redondeode las siguientes raíces cuadradas.a. √5b. √10c. √42d. √12e. √7f. √305. El largo de un rectángulo es el doble del anchoy su perímetro mide 24 cm. ¿Cuánto mide sudiagonal? Utiliza calculadora para responder.6. Don Sergio está diseñando el portón rectangularde una parcela. Para su construcción necesita6 tablones de madera, como se muestra en eldibujo. Si los tablones verticales están a unadistancia de 4 metros, ¿cuánto deben medir lostablones diagonales?3 metros 3 metros7. Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿cuántomide su diagonal? Utiliza calculadora.8. En un rectángulo de ancho 12 cm y diagonal20 cm, calcula:a. la longitud del largo.b. el perímetro.c. el área.9. Utilizando calculadora, responde: ¿resulta lomismo calcular √50 y 5√2 ?, ¿por qué creesque ocurrirá?10. Sin utilizar calculadora, responde: ¿es cierto que√6 es un número entre 2 y 3? Justifica.11. Considera que √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24y calcula.a. √2 · √3 · √5b. 2 · √2 + 3 · √3 + 5 · √5c. √2 + √3 + √2 + 3d. √5 – 2 – √5 – 3 + √5 + √312. Determina si las siguientes igualdades sonverdaderas o falsas. Justifica cada caso, realizandola operación correspondiente.a. √2 + √3 = √2 + 3b. √9 + 16 = √9 + √16c. √169 – 144 = √169 – √144d. √4 · √9 = √4 · 9e. √81 · √121 = √81 · 121f. √256√64= √25664g. √4 · √4 = √4 · 4 = √4213. A partir de la pregunta anterior, ¿qué propiedadpuedes concluir?14. Leonardo y Joaquín se encuentran en las esquinasopuestas de una plaza rectangular. El ancho de laplaza mide 8 m y el largo, 15 m. Si Joaquín quiereir a saludar a Leonardo, ¿cuánto mide el caminomás corto que puede tomar para ir a saludarlo?Marca la opción correcta.A. 8 mB. 15 mC. 17 mD. 23 m15. Paulina quiere poner cerámicas en su pieza rectan-gular. El largo de la pieza mide 3 m y el ancho, 2 m.a. Calcula el área de la pieza de Paulina.b. En el lugar donde Paulina quiere comprar lascerámicas, solo venden baldosas cuadradas.¿Cuántas cerámicas necesita Paulina si compracerámicas para cubrir 2 500 cm2de área?c. ¿Cuánto mide el lado de cada cerámicadel ejercicio anterior?d. Si finalmente Paulina decide comprar96 cerámicas iguales, las cuales cubrenexactamente toda el área de la pieza, ¿cuántoscentímetros miden los lados de estas cerámicas?JoaquínLeonardo
  • 64. Unidad 2 – Números y álgebra64Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 23.1. El número decimal 0,00009 es igual a:A. 9 · 105B. 9 · 10–5C. 9 · 10–4D. 9 · 10–62. (–2)3– 22+ 33– (–4)2=A. 1B. 7C. –1D. 393. (23 )2·(23 )5=A. 32243B. 827C. 1 02459 049D. 1282 1874. Al calcular la expresión 90210–3se obtiene:A. 81 · 105B. 8,1 · 105C. 81 · 10–5D. 81 · 10–15. 27– 23es equivalente a:A. 12 · 10–1B. 12 · 101C. 1,6 · 101D. 3,2 · 1016. (–10)3· (–10)4=A. 10 000 000B. –10C. 1 000 000 000 000D. –10 000 0007. (0,2)2· (0,2)2· 0,2 =A. 0,0032B. 0,00032C. 0,0016D. 0,0000648. (–5)17(–5)14=A. 125B. 1C. –1 250D. –1259. Al calcular la expresión 122· 10–3se obtiene:A. 144B. 1,44C. 0,144D. 14,410. √169 · √16 =A. 7,2B. 52C. 17D. 20811. Si en un triángulo rectángulo, uno de los catetosmide 10 cm y la hipotenusa mide 26 cm, entoncesel perímetro del triángulo es:A. 60 cmB. 24 cmC. 6 240 cmD. 64 cm12. En un terreno de forma rectangular, el largo mide1,255m y el ancho mide 1,252m. ¿Cuál es el áreadel terreno?A. 1,253m2B. 1,2510m2C. 1,257m2D. 1,252m213. Para convertir 2 cm en kilómetros se debe calcular:A. 2 · 105B. 2 · 10–3C. 2 · 10–5D. 2 · 10–214. Para convertir 2 m2en centímetros cuadrados sedebe calcular:A. 2 · 104B. 2 · 102C. 2 · 10–4D. 2 · 10–2
  • 65. Unidad 2 – Números y álgebra 65Unidad215. En una selva, un tipo de planta crece 1,2 mmdiariamente. ¿Cuánto crece al cabo de 10 días?A. 1,210mmB. 1,2 · 10 mmC. 2 · 1,210mmD. 1,2 + 10 mm16. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide23cm?A. 26cm3B. 49cm3C. 46cm3D. 29cm3A partir de la siguiente situación, responde losítems 17 al 20.Un trozo de cordel de 5 m se dividió en 2 trozos iguales.Cada trozo se dividió en 2, luego cada trozo se dividiónuevamente en 2 y cada uno de estos en 2.17. ¿Cuál expresión indica la cantidad de trozos enque se dividió el cordel?A. 24B. 25C. 5 · 24D. 2 · 5418. ¿En cuántas partes se dividió el trozo de cordel?A. 4B. 5C. 8D. 1619. Si todos los trozos del cordel obtenidos son deigual tamaño, ¿cuál es la expresión que indica lalongitud de cada trozo?A. 125B. 124C. 154D. 52420. ¿Cuál es la longitud de cada trozo de cordel?A. 132mB. 116mC. 516mD. 2625mA partir de la siguiente situación, responde los ítems21 al 23.Un cuadrado de 16 cm2es dividido en 16 partes iguales.En el primer cuadrado se pone una lenteja, en elsegundo dos lentejas, en el tercero cuatro lentejas, yasí sucesivamente.21. ¿Cuál es la medida del área de cada cuadradito?A. 1 cmB. 1 cm2C. 4 cm2D. 16 cm22. ¿Cuántas lentejas se deberían poner en elsexto cuadrado?A. 6 lentejas.B. 12 lentejas.C. 32 lentejas.D. 64 lentejas.23. ¿Qué expresión indica la cantidad de lentejas quese deberían poner en el último cuadrado?A. 2 · 4B. 2 · 15C. 24D. 21524. En un centro de investigación, se estudió el rebotede una pelota y, concluyeron que la altura delrebote decrecía según potencias de 0,9, es decir,el primer rebote medía 0,9 m de alto, el segundomedía (0,9)2m, y así sucesivamente. Responde.a. Calcula la medida de la altura que alcanzó lapelota en el tercer rebote.b. ¿Cuántos rebotes debe dar la pelota paraque la altura que alcanza sea menor que 0,5 m?c. Calcula la altura que alcanza la pelota enel cuarto rebote. Escribe tu resultado encentímetros y en milímetros.d. Escribe los resultados obtenidos en c usandonotación científica.
  • 66. Unidad 2 – Números y álgebra661. Completa las siguientes tablas y determina, encada caso, la propiedad que se muestra en ella.a. a b a · b b · a3 52 10a · b = muestra la propiedad.b. a b a + b b + a3 53 10a + b = muestra la propiedad.c. a b c a + (b + c) (a + b) + c3 5 71 10 2a + (b + c) = muestra la propiedad.d. a b c a · (b · c) (a · b) · c3 5 76 10 2a · (b · c) = muestra la propiedad.e. a b c a · (b + c) a · b + a · c3 5 74 10 2a · b + a · c = muestra la propiedad.2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representala propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición? Marca la opción correcta.A. (a · b) + (c · b) = (c · b) + (a · b)B. a + (b · c) = (c · b) + aC. a + (b · c) = (a · b) + (c · b)D. a · (b + c) = ab + acEjercicios resueltos1. Calcula el valor de la expresión 2x2+ 3y sabiendo que x = 0,3 e y = 14.Remplazamos los valores en las variables: 2 · (0,3)2+ 3 · 14Calculamos. 2 · 0,09 + 34= 0,18 + 34Expresamos todos los números usando una misma forma, en este caso, en números decimales: 0,18 + 0,75 = 0,93.Concluimos que el valor de la expresión 2x2+ 3y cuando x = 0,3 e y = 14es 0,93.2. Calcula el valor de la expresión x2– 3y sabiendo que x = –4 e y = –8.Remplazamos los valores en las variables: (–4)2– 3 · (–8) Calculamos. 16 – –24 = 16 + 24 = 40Concluimos que el valor de la expresión x2– 3y cuando x = –4 e y = –8 es 40.Generalización de propiedades y valor numéricode expresiones algebraicasEjercicios y problemas propuestos
  • 67. Unidad 2 – Números y álgebra 67Unidad23. Calcula, completa y responde.a. a b a + b b + a3 10 101 58 0¿Por qué el 0 es el elemento neutro de laadición?b. a b a · b b · a3 11 100 28 0¿Por qué el 1 es el elemento neutro de lamultiplicación?c. ¿Por qué el 0 es el elemento absorbente dela multiplicación?Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.4. El elemento neutro de la adición es el:A. 0 C. aB. 1 D. n5. Si a + b = 0 podemos afirmar que:A. a y b son negativos.B. a y b son opuestos.C. a y b son positivos.D. a y b son números primos.6. Si calculamos 3 · 53 como 3 · 50 + 3 · 3 = 159,estamos aplicando:A. La propiedad conmutativa de la multiplicación.B. La propiedad conmutativa de la adición.C. La propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición.D. La propiedad asociativa de la multiplicacióny de la división.7. Calcula las siguientes expresiones y determinaqué propiedad puedes ocupar para llegar almismo resultado.a. 4 + 100 d. (3 · 9) · 10b. 3 · 45 e. 45 · (2 + 3)c. (32 + 45) + 45 f. 150 · 4 + 150 · 58. Calcula el valor de las siguientes multiplicacionesaplicando la propiedad distributiva de lamultiplicación respecto de la adición. Guíatepor el ejemplo.23 · 5 = (20 + 3) · 5 = 20 · 5 + 3 · 5 = 80 + 15 = 95a. 4 · 63b. 58 · 6c. 18 · 7d. 120 · 5e. 71 · 89. Calcula el valor de las siguientes expresionesalgebraicas, si a = 5, b = 3 y c = 12.a. b + 1 j. c2: 4b. c + 15 k. 3 : bc. 6 + a l. 5c : bd. a + b m. 3a + 8e. c + a n. 12 – 3af. 4c ñ. a2+ 7bg. ba o. 5a – 3b + 5h. 2ac p. 12 – 4c + 2ai. 5b3 q. 3a + b – abc10. Calcula el valor de las expresiones anteriores, sia = –2, b = –1 y c = 4.11. Calcula el valor de las expresiones anteriores, sia = 1 23, b = 12y c = 25.12. Calcula el valor de las expresiones anteriores, sia = 0,2, b = 1,3 y c = 2,2.13. Calcula el valor de las expresiones anteriores, sia = 2,3, b = 34y c = 2.14. Evalúa la expresión a2+ 2ab + b2con los valoresque se indican.a. a = 1, b = 2 d. a = –4, b = 2b. a = 2, b = 3 e. a = 10, b = –6c. a = –2, b = 4 f. a = 12, b = –915. Evalúa la expresión (a + b)2con los valores de lapregunta anterior.16. A partir de las preguntas 14 y 15, ¿qué propiedadpodrías conjeturar?
  • 68. Unidad 2 – Números y álgebra681. Calcula el valor de las siguientes expresiones,considerando el valor que se asigna a la variable:a. 5a y a + a + a + a + a, si a = 35b. 2m + 3n y m + m + n + n + n, si m = 4 y n = 2c. ab2+ ab2+ a + a + a + a y 2ab2+ 4a, si a = 1y b = 0,3d. a – b – b y a – 2b, si a = 6 y b = 3e. c4y c · c · c · c, si c = –2f. 4ab y ab + ab + ab + ab, si a = 2 y b = 52. Reduce los términos semejantes en lassiguientes expresiones:a. d + d + d + d + d + d =b. b + b + b + b + b =c. x + x + x + x – x – x – x =d. ab + ab + ab + ab =e. cd – cd – cd =f. xyz + xyz =g. 5a + 6a =h. 7b – 2b – b =i. 12x + 5x + 9x – 2x =j. y + 3y – 3y =k. 3f + 12f – 7f + 16f =l. 15h – 10h – 5h =3. Desarrolla cada expresión algebraica. Guíate porel ejemplo.4a + a = a + a + a + a + aa. 5s – s =b. 2d – 3d =c. 4x + 2y =d. 3h – 4j =e. 3a – 2c + a =4. Elimina los paréntesis de las siguientes expresio-nes algebraicas.a. –(x + y) = g. a (m + n) =b. –(x – y) = h. 34(a + 5) =c. –2(x + y) = i. a (3a – 2b + c) =d. –2(x – y) = j. –12 (t – 2s) =e. 6 – 2(x + y) = k. –4 (4x + 3y) =f. 6 – 2(x – y) = l. –5(2s – 3k) =5. Identifica los términos que son semejantes encada caso (si existen).a. 2x, 5y, 5x, y, 5 d. a3, a2, 3a, 3b. 4xy, 7yx, 6xy e. a, 2a2, 2a, a4c. 3ab, 2a2, 4ba, 3b f. tr, t2r, tr2, rtEjercicios resueltos1. Reduce la siguiente expresión: 3a – 5a + 2a + a – 2Para reducir los términos semejantes, asociamos los términos que tienen el mismo factor literal. En este caso, todoslos que tienen a, obteniendo:3a – 5a + 2a + a – 2 = (3a – 5a + 2a + a) – 2 = a – 22. Escribe una expresión equivalente a: –2a (3 + a), sin utilizar paréntesis:Aplicamos la distributividad de la multiplicación respecto de la adición, teniendo especial cuidado con los signos:(–2a) · 3 + (–2a) · a Efectuamos las multiplicaciones.–6a + –2a2–6a – 2a2Recuerda que siempre que multipliques una adición o sustracción por un número negativo, los signos de cadauno de los términos de estas operaciones cambiarán.Reconocimiento y reducción de expresionescon términos semejantesEjercicios y problemas propuestos
  • 69. Unidad 2 – Números y álgebra 69Unidad26. Verifica, remplazando a por 12 y b por 2, si lassiguientes expresiones son o no equivalentes:a. 10by 10 : bb. 3aby 3a : bc. b + 42y b + 4 : 2d. b + 42y (b + 4) : 2e. (b – 5) · 4 y b – 5 · 4f. (b – 5) · 4 y 4 · b – 4 · 5g. (b – 5) · 4 y 4 · (b – 5)h. 30 – 2a y 28ai. 30 – 2a y 30 – a – aj. 30 – 2a y 30 – a + ak. 4a – a y 4l. 4a – a y 3a7. Indica en cada caso si los términos se puedenreducir a uno solo (sin realizar transformaciónde unidades).a. 4 cm2y 2 cmb. 0,5 mm2y 2 mm2c. 17 m2y 3 m2d. 4 cm2y 2 mm2e. 2 km2y 1 000 km28. Describe qué cambio le harías al primer término(si lo requiere) para que sea semejante al segundo.a. –3a y 4ab2b. 11 12x4yy xyc. 7abc y –abc2d. 5ts2y –4t2se. 0,32x5y y 2yx59. Reduce los términos semejantes en las siguientesexpresiones algebraicas.a. 3a + 3a + 4b =b. 12d – 6d + 18b =c. 4h + 5h – 3t + h – 8 =d. b + 3b + 2b2=e. 15a2+ 2a + 7a + 12a2=f. h5+ 15h + 5h =g. a + 2b – b + 6a + 4b =h. 6s – s + 7t – 3s + 12t =i. 2ab + 7ab – 2ab + 2 =j. 4xy – 2yx + 3x + y =k. 6ab2+ 3ab – 2a2b =l. c3b + 3c3+ b3c – c3=m. 12a – 0,5a + 2b – 45a =n. 8h + 2h2– 3h + 4h2=ñ. 2,5ab2– 3a2b + 7b2a =o. df + 0,7 + 5fd + 2 =p. 25x – 2y + 2 =q. k – 1 – 13k – 3h =10. Escribe una expresión equivalente en cada caso.a. 3a + 9a =b. 4z – 8 =c. 2a + 2b – 2c =d. st + sr + sv =Marca la opción correcta en los ítems 11 al 14.11. ¿Cuál de los siguientes términos es semejantea –3x2y?A. –3xy B. –xy2 C. x2yD. y2x12. Al reducir la expresión 5a2– a2se obtiene:A. 5B. 5aC. 4D. 4a213. Una expresión equivalente a 5x– 3x2– (5x– 3x2) es:A. 0B. –6x2C. 10xD. 10x – 6x214. Al reducir la siguiente expresión 4a – 5b – 7a + 5,se obtiene:A. –3a – bB. –3a2– 5b + 5C. –3a2– bD. –3a – 5b + 5
  • 70. Unidad 2 – Números y álgebra70Ejercicios resueltos1. Determina la expresión algebraica que se describe: el doble de un número aumentado en quince veces lasuma del mismo con otro número es igual a la tercera parte de la diferencia de los dos números.“El doble de un número” lo denotamos por 2x.Cuando se dice “aumentado” lo relacionamos con una adición (+).“Quince veces”, quiere decir que hay que multiplicar por 15.“La suma del mismo número con otro”, la escribimos x + y.“Quince veces la suma del mismo con otro número” lo escribimos como 15 · (x + y).“La diferencia entre los dos números” la escribimos como x – y.“La tercera parte de la diferencia entre dos números” la escribimos como x – y3.Ahora escribimos todo en una sola expresión algebraica: 2x + 15(x + y) = x – y3.2. Plantea en forma algebraica el siguiente problema: una herencia es dividida entre tres hijos; el mayor recibióla tercera parte de la herencia; el segundo hijo, la cuarta parte; el menor, la quinta parte; y el resto de la heren-cia, que son $ 100 000, lo recibió una institución de caridad.Podemos llamar h a la herencia, la tercera parte de la herencia la escribimos como h3, la cuarta parte como h4y laquinta parte como h5. Como las partes en que se dividió la herencia deben sumar el total de la herencia, escribimosalgebraicamente: h = h3+ h4+ h5+ 100 000.1. Expresa en lenguaje algebraico cada oración.a. a disminuido en el triple de 5.b. El doble de la suma de a y 8.c. Un número aumentado en 17.d. Un número disminuido en su cuarta parte.e. El doble de un número.f. El triple de un número.g. El doble de un número aumentado en 10.h. El triple de un número disminuido en 4.i. La quinta parte del triple del número.j. La cuarta parte de la suma entre el doblede x y 80.k. La diferencia entre la suma del triple dex y 15, y el doble de x.2. El doble de un número, disminuido en 4, se puederepresentar como:A. 2x + 4B. 2x – 4C. 2 · (x + 4)D. 2 · (x – 4)3. Gabriel compró cuatro helados iguales paracompartir con sus primos. Además, llevó unpaquete de galletas para la once por $ 480.Llevaba $ 2 000 y recibió $ 200 de vuelto.a. Escribe una ecuación que te permita calcularcuánto costaba un helado.b. ¿Qué representa la incógnita de esta ecuación?4. En una caja hay 51 duraznos distribuidos en3 bolsas. La primera tiene 9 duraznos más quela tercera, y la segunda bolsa tiene 6 menos quela tercera.a. Si la tercera bolsa tiene x duraznos, ¿cómorepresentarías los duraznos que hay en laprimera bolsa?, ¿y los de la segunda?b. ¿Qué ecuación te permitiría calcular cuántosduraznos hay en la tercera bolsa?5. La oración: “la diferencia entre un númeroaumentado en quince y su doble es 10” sepuede expresar como:A. x – 15 – 2x = 10 C. x + 15 + 2x = 10B. x + 15 – 2x = 10 D. 2x – 15 – x = 10Traducción de expresiones del lenguaje naturalal simbólicoEjercicios y problemas propuestos
  • 71. Unidad 2 – Números y álgebra 71Unidad26. Escribe, usando el lenguaje algebraico, lossiguientes enunciados.a. El doble de un número aumentado en la terceraparte del mismo número es igual a diez.b. Un número aumentado en seis es iguala siete veces otro número.c. Cuatro veces un número disminuido en laquinta parte del mismo número disminuidoen 3 es igual a la cuarta parte de la suma delnúmero y cuatro.d. El cociente de mil con un número es igual alcociente del número con siete.7. Si al quíntuplo de un número se resta el doble delmismo número, se obtiene 105. ¿Qué expresiónalgebraica representa el problema?8. Laurahace8añosteníaxaños.En6añosmástendrá:A. x – 8 + 6 C. 8 + 6 – xB. x + 8 + 6 D. 8 – x – 69. Escribe el perímetro de las siguientes figurasusando lenguaje algebraico.a. b. 10. Observa la siguiente secuencia.123a. Dibuja dos figuras más de la secuencia.b. Completa la siguiente tabla.11. Plantea una ecuación que permita resolvercada situación.a. Ximena fue a comprar 12kg de pan y 14kg dejamón. Gastó en total $ 1 190. Si el kilogramode pan cuesta $ 820, ¿cuánto cuesta 1 kgde jamón?b. En un supermercado se ofrece el choclocongelado en dos paquetes de distintas masas.El de 0,5 kg cuesta $ 599 y el de 1,5 kg $ 1 399.Patricia revisó los precios y decidió que siescogía llevar los paquetes grandes se ahorraba$ 796 respecto de lo que gastaría llevandolos paquetes chicos. ¿Cuántos kilogramos dechoclo congelado llevó?c. Marcelo le da a su hermano Nicolás la mitadde las naranjas que tiene y media naranja más.Luego, le da a su hermana Paula la mitad de lasnaranjas que le quedan y media naranja más.Si él se queda con una sola naranja, ¿cuántasnaranjas tenía?d. En un rectángulo, la medida del ancho dis-minuido en 5 cm es igual a la mitad del largodisminuido en 3 cm. Si el largo mide 12 cm,¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?e. El doble de la cantidad de dinero que tienePablo disminuida en $ 1 500 es igual a la mismacantidad de dinero aumentada en $ 1 000.¿Cuánto dinero tiene Pablo?f. El veterinario Miguel está a cargo de gatos yperros. Debe darles vitaminas todos los días:dos tabletas a cada gato y tres a cada perro.Si reparte en total veintiuna tabletas devitaminas y tiene el doble de gatos que deperros, ¿cuántos perros tiene a cargo Miguel?g. Andrea, Alejandra y Francisca son tres herma-nas. Andrea tiene 3 años más que Alejandra,y Alejandra tiene 1 año más que Francisca.Si la suma de las edades de las tres hermanases 100, ¿cuántos años tiene Andrea?abcxxy yy ydFigura 1 2 3 4 5Cantidad desegmentos7 12 17Fórmula 7 7 + 5 7 + 10
  • 72. Unidad 2 – Números y álgebra721. Determina cuál o cuáles de las siguientesexpresiones es una ecuación, y determina lacantidad de incógnitas que tiene.a. 2x – 3 + 4x d. 3(y – 2x) + 8b. x = 3 + 4 e. 2x + 4x – 3 = 21 – xc. 7 = 2 · 8 – 9 f. x + y = 38 + 2y2. Para cada una de las siguientes ecuacionesdetermina su grado e identifica la incógnita.a. x2+ 3 = 11 d. x22– 5 = 3b. 2z + 3 = 11 e. 26 = 20 + 3jc. 12y4– 5 = 3 – y f. 2j + 3j = 25 + 10j3. Encuentra el valor de a en cada una de lassiguientes ecuaciones.a. 2a = 0 d. t + 2a = tb. 4 + a = 4 e. 5 – 3a = 5c. a – 7 = 0 f. a + b = b4. Calcula mentalmente el valor de la incógnitade cada ecuación. Verifica si tu respuestaes correcta.a. t + 5 = 45 e. 5 – t = 45b. 5t = 45 f. t5= 45c. –t = 45 + 5 g. 5t = 0d. 45 + 5 = t h. 5t = 55. Determina si cada valor es solución de laecuación que se indica a su derecha.a. x = –0,3 1 – x = 0,7b. x = 5 3x – 78= 2x – 9c. x = –2 12 – x + 7x = 8 + 4xd. x = 12 2 + x6= 7e. x = 32 4(x – 3) = 2xf. x = 1 6 – (x + 1) = 3x – 1Ejercicios resueltos1. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si es correcta la solución encontrada.5x – 12 = 18Aplicando propiedades de las operaciones, podemos obtener el valor de x aplicando una misma operación aambos lados de la igualdad.5x – 12 = 18 / + 12 Sumamos 12 a ambos lados de la igualdad.5x = 30 / : 5 Dividimos por 5 a ambos lados de la igualdad.x = 6Comprobamos:5 · 6 – 12 = 182. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si el valor encontrado es la solución.6 – (x + 2) = 2(x + 1)6 – x – 2 = 2x + 2 Eliminamos paréntesis.6 – x – 2 = 2x + 2 / + –2x – 6 + 2 De este modo, todos los términos que contienen incógnitas quedan al mismo lado de la igualdad.– x – 2x = 2 – 4–3x = –2 / : 3 Dividimos por 3 a ambos lados de la igualdad.x = 23Comprobamos:6 –(23+ 2)= 183–(23+ 63 )= 1032(23+ 1)= 43+ 63= 103 Ecuaciones de primer gradoEjercicios y problemas propuestos
  • 73. Unidad 2 – Números y álgebra 73Unidad26. Completa la ecuación 2x – 4 = para que susolución sea la indicada en cada caso.a. x = 8 d. x = 0,5b. x = –8 e. x = 0c. x = –1 f. x = 527. Resuelve las siguientes ecuaciones.a. x – 8 = 12b. 7 + t = 22c. 30 = 12 + hd. 2 – x = 48e. 100 = 5 – hf. 6x = 72g. 24 = 2xh. 0 = 5xi. x – 2x = 58j. 4x – 6x + 7 = 33k. 50 = 44x – 85 + xl. h – 20 = 6h – 50 – 2hm. 3 + 5(5 + x) = 43n. 4(d – 7) + 2d = 32ñ. 40 = 6(12 – 4r) + 2(r – 3)o. 38 – (x + 7) = 17p. 10 = 26 – 2(p + 8)q. – 4(5 – y) = 0r. 2x + (x + 1) = (12 + x) – 1s. 2(d – 6) = 4(4 – 2d)t. 5 – (x + 4) = 2 – (x + 1)u. 3 + 2x – (x + 7) = x + 2(x – 7)v. 2 + (p – 4) = 5p – (10 + 2p)w. –(x + 4) + 2(x – 5) = 3(x – 6)8. Escribe en lenguaje algebraico los siguientesenunciados y calcula el valor desconocido encada caso.a. Un número aumentado en su mitad menossu doble aumentado en 8, es igual a 0.b. El doble de un número menos su mitad esigual a nueve sextos.c. Un número aumentado en su tercera partemás su doble aumentado en su quinta partees igual a 0.d. El triple de un número aumentado en cincoveces el mismo número y disminuido dosveces el número es igual a veinticuatro.e. Un número natural aumentado en su sucesores igual a treinta y cinco.9. Resuelve los siguientes problemas.a. Para colgar afiches, la profesora calcula elnúmero de chinches que necesita según laexpresión: T = 4a, donde a es el número deafiches que va a colgar. ¿Cuántos chinchesnecesita para colgar 120 afiches?b. Para calcular el precio del pan el vendedorutiliza la siguiente fórmula T = 980P, siendoP la masa del pan (kilogramos) y T el precioque se paga por él. ¿Cuánto debe pagar unapersona que compra 1,5 kg de pan?c. Sabemos que el área de un triángulo se calculaA = b · h2, donde A es el área, b la base y h laaltura. Calcula el área de un triángulo de base4,5 cm y altura 6,2 cm.d. Si el área de un círculo se calcula según lasiguiente expresión: A = 3,14r2, donde A es elárea y r el radio del círculo, calcula el área deun círculo de radio 28 cm.e. A una reunión asistieron 42 personas. Si elnúmero de mujeres era el doble que el dehombres y el número de niños, el triple queel de hombres, ¿cuántas mujeres, hombres yniños había?f. En dos salas de reunión se encuentran en total74 personas. De la primera sala salen oncepersonas que entran a la segunda. Ahora, en lasegunda sala hay dos personas más que en laprimera. ¿Cuántas personas había al principioen cada sala?Marca la opción correcta en los ítems 10 al 12.10. La solución de la ecuación3x + 6 – 3x + 4 ·(2x – 1) = 10 es:A. 0 C. 2B. 1 D. 411. Se tiene la ecuación 4x + 8 = 20. Entonces, el valorde 2x – 6 es:A. 0 C. 8B. 2 D. 2012. Al resolver la ecuación x + 4 = 2(x – 13) + 1 seobtiene el valor de x:A. 912 C. 29B. 232 D. 31
  • 74. Unidad 2 – Números y álgebra74Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 28.1. Si a = –3, ¿qué valor toma la expresión a – 3?A. 0 B. 6 C. –6D. 92. Si a · b · c = 0, ¿qué valor tiene b cuando a = –1y c = 1?A. –1 B. 0 C. 1D. 23. ¿Qué valor tiene a si se cumple que 4a = 0,12?A. 0,003 B. 0,03 C. 0,3D. 34. Si a = 0,2 y b = –2, ¿cuánto es a2+ b2?A. 4,4 B. 4,04 C. –3,6D. –3,065. ¿Cuál de los siguientes términos es semejantea 5x2y?A. 5xy2 B. 2x5y C. 2x2yD. 2xy56. Una expresión equivalente a 2ab – 2 es:A. abB. ab + ab – 2C. 2a + b – 2D. 2 – ab7. Al reducir la expresión 3xy – 2xy + 2y se obtiene:A. xy + 2y B. xy – 2y C. 3xy – xD. 3xy + x8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalentea: –2a – (3b – 7)?A. 2a – 3b + 7B. 2a – 3b – 7C. –2a – 3b + 7D. –2a – 3b – 79. El costo de un paquete de cabritas es $ p y el costode una bebida es $ c. ¿Cuánto se debe pagar porcomprar 6 paquetes de cabritas y 5 bebidas?A. c + p B. 6(p + 5c) C. 5c + pD. 6p + 5c10. En un estacionamiento cobran $ a por cada15 minutos o fracción. ¿Cuál de las siguientesexpresiones representa lo que pagará una personacuyo vehículo estuvo 4 horas estacionado?A. 4a B. 8a C. 15aD. 16a11. Vicente es 4 años menor que Samuel. Si Samueltiene x años, ¿cuál de las siguientes expresionesrepresenta la edad de Vicente hace 4 años?A. x B. x + 4 C. x – 4D. x – 812. Una secuencia se forma restando 5 al doble delnúmero anterior. Si uno de sus términos es 3,el término siguiente es:A. –5 B. 1 C. 4D. 613. El cuadrado de la figura se ha dividido en4 cuadrados iguales. Si el área del cuadradogrande mide 4a2cm2, entonces el lado delcuadrado pequeño mide:A. 2a cm B. a2cm C. a cmD. a4cm14. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa elárea del triángulo de la figura?A. 5x2 B. 6x2 C. 7x2D. 12x22x6x
  • 75. Unidad 2 – Números y álgebra 75Unidad215. Un cuaderno que contiene n páginas se dividiráen 4 secciones de igual número de páginascada una. ¿Cuál de las siguientes expresionesrepresenta el número de páginas que contendrácada sección?A. n4 B. (n – 4) C. n + n + n + nD. n + 416. Considerando que ¥ es una operación matemática,que a es distinto de 0 y de 1 y que e es el elementoneutro de la operación ¥, ¿cuál de las siguientesexpresiones es verdadera?A. a ¥ e = 0 B. e ¥ a = 1 C. e ¥ a = aD. e ¥ a = e17. Si el lado de un cuadrado se triplica, entonces elárea del cuadrado mayor es:A. tres veces el área del cuadrado menor.B. seis veces el área del cuadrado menor.C. nueve veces el área del cuadrado menor.D. doce veces el área del cuadrado menor.18. Si ablápices cuestan $ x, ¿cuánto cuesta un lápizdel mismo tipo?A. x – ab C. ab· xB. abx D. xab19. Si n = 8, el antecesor de (n – 6) es:A. 0 C. 2B. 1 D. 1420. Si 2x = 10, entonces 3x – 5 es igual a:A. 5 C. 15B. 10 D. 2021. Si a es la edad de Alejandra, su edad hace8 años era:A. 8a C. a + 8B. 8 – a D. a – 822. La diferencia entre el doble de un número y1 es 19. ¿Cuál es el número?A. 20 C. 10B. 212 D. 923. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene comosolución x = 2?A. 2x – 4 = 0 C. 5x + 5 = 5B. 2x + 4 = 0 D. 5x – 5 = 024. Si se resta 20 al triple de un número se obtiene 7.¿Cuál es el número?A. 73 C. 9B. 6 D. 2725. En dos salas de un cine ingresan 155 personas.Las que entran a la primera sala correspondena cinco más dos tercios de las que entran a lasegunda sala. Una ecuación que nos permiteseber cuántas personas entraron a la segundasala es:A. 23x + x = 5B. 23x + 5 + x = 155C. 5 + 23x = 155D. 5 + 23+ x = 15526. La frase “La diferencia entre un númeroaumentado en quince y su doble es 10” sepuede expresar como:A. x – 15 – 2x = 10 C. x + 15 + 2x = 10B. x + 15 – 2x = 10 D. 2x – 15 – x = 1027. La medida del largo de un rectángulo es el doblede la medida de su ancho. Si su perímetro es120 cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?A. 10 cm C. 40 cmB. 20 cm D. 60 cm28. Un cuaderno cuesta $ 690 y una caja de lápices$ 1 100. ¿Cuánto cuestan ocho cuadernos y doscajas de lápices?A. $ 5 520 C. $ 7 720B. $ 8 800 D. $ 10 18029. La siguiente expresión representa el valor deX: la diferencia entre la tercera parte de 3n + 3y lamitad de 2n + 2.a. ¿Cuál es la expresión en términos de potenciasque representa a X?b. ¿Cuál es el valor numérico de X para n = 1,n = 2 y n = 3?Fundamenta tus respuestas mostrando todoslos pasos y cálculos realizados.
  • 76. Unidad 2 – Números y álgebra76Marca la opción correcta en los ítems 1 al 13.1. (3,7)6=A. 3676 C. 376106B. 376706 D. 22,22. El casino de una empresa ofrece para la hora dealmuerzo 2 platos distintos, con 4 opciones deagregado, 2 opciones de postre y 4 tipos distintosde jugos. ¿De cuántas maneras se puede pedir elalmuerzo en este casino?A. 23B. 24C. 25D. 263. Al descomponer el número 202 202 con potenciasde 10 se obtiene:A. 2 · 105+ 2 · 104+ 2 · 103+ 2 · 102B. 2 · 105+ 2 · 103+ 2 · 101+ 2 · 100C. 2 · 105+ 2 · 103+ 2 · 102+ 2 · 100D. 2 · 106+ 2 · 104+ 2 · 103+ 2 · 100A partir de la siguiente situación responde losítems 4 y 5.Macarena observa un prisma recto de base cuadrada.Su arista basal mide 500 cm y su altura mide 800 cm.4. El área total del prisma, expresando el resultadocon números naturales y potencias de 10, es:A. 4 · 104cm2B. 5 · 105cm2C. 16 · 105cm2D. 21 · 105cm25. El volumen del prisma, expresando el resultadocon números naturales y potencias de 10, es:A. 2 · 107cm3B. 32 · 107cm3C. 2 · 108cm3D. 32 · 108cm36. Si 1 micrómetro es igual a 10–6m, 3 m es igual a:A. 3 · 106micrómetros.B. 3 · 105micrómetros.C. 3 · 10–5micrómetros.D. 3 · 10–6micrómetros.7. Al calcular (4,9)3: (0,7)3se obtiene:A. 343 C. 0,343B. 1343 D. 3,438. El valor de √16 + √36 – √81 + √169 – 144 esigual a:A. 1 C. 5B. 2 D. 69. Si x = 4 e y = 15, entonces el valor de laexpresión x + x – y – y – y – y – y es:A. 9 C. 7B. 8 D. 21510. Al reducir la expresión cb4+ 3c4+ b4c – c4,se obtiene:A. cb4+ 3c4+ b4c – c4B. 2cb4+ 2c4C. 4cb4+ 4c4D. 2cb4+ 4c411. La expresión algebraica que representa “el doblede un número aumentado en su quinta parte esigual a 35” es:A. 2x + x5= 35B. 2(x + x5 )= 35C. 2x + x5= 35D. 2x5+ x = 3512. Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada díacomió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas galletascomió el segundo día?A. 26B. 20C. 14D. 813. Dos hermanos tienen un negocio y reparten lasganancias de la siguiente manera: el mayor recibeun 40 %, el menor recibe la cuarta parte y el restode la ganancia, que corresponden a $ 35 000, sevuelve a invertir en el negocio. ¿Cuánto dinerorecibe el hermano menor?A. $ 25 000B. $ 40 000C. $ 80 000D. $ 100 000Evaluación de síntesis de la unidad 2
  • 77. Unidad2Unidad 2 – Números y álgebra 7714. Calcula el valor de cada potencia.a. (2,3)3= c. (5,4)4=b. (45 )4= d. (53 )5=15. Escribe el número correspondiente acada descomposición.a. 8 · 104+ 6 · 103+ 4 · 101b. 7 · 105+ 5 · 104+ 2 · 103c. 3 · 106+ 4 · 105+ 1 · 103+ 6 · 102+ 8 · 100d. 2 · 105+ 8 · 104+ 3 · 103+ 1 · 102+ 4 · 10016. Descompón los siguientes números utilizandopotencias de 10.a. 57 830 c. 903 472b. 6 120 080 d. 1 003 78517. Resuelve los siguientes ejercicios.a. (82 · 104) : 103 c. (3 400 : 103) · 105b. (7,2 · 106) : 104 d. (25 000 : 102) : 10318. Representa los siguientes números como elproducto de un número natural por una potenciade 10.a. 1,25 d. 0,04b. 5,823 e. 0,00034c. 0,0007 f. 0,00000919. Escribe como multiplicación o división de factoresiguales cada potencia y calcula su valor.a. (67 )3· 67= d. (0,8)9: (0,8)5=b. (25 )6·(25 )3= e. (1,6)8: (0,4)8=c. (49 )2·(49 )5= f. (2,7)7: (0,3)7=20. Eva compró 10 paquetes de caramelos deanís, 100 paquetes de caramelos de miel y1 000 paquetes de caramelos de frutas. Cadapaquete de caramelos cuesta $ 234. Tambiéncompró 10 bolsas de 0,25 kg de coco rallado,100 sobres de 0,125 kg de chocolate en polvo y1 000 sobres de 0,015 kg de canela molida.a. ¿Cuánto debe pagar por los caramelos de anís?,¿cuánto por los de miel?, ¿y por los de frutas?b. En total, ¿cuántos kilogramos de coco ralladoobtiene?, ¿cuántos kilogramos de chocolate enpolvo?, ¿y cuántos de canela molida?21. Si a, b, c, son tres números naturales tales quea2+ b2= c2, determina el número que falta x paraque se cumpla la igualdad.a. a = 5, b = 12, c = xb. a = 15, b = x, c = 25c. a = x, b = 24, c = 30d. a = 6, b = x, c = 1022. Beatriz compró una planta cuando solo habíacrecido el tallo. Al año siguiente, del tallo brotarontres ramitas, cada una con una flor. Un año después,de cada ramita brotaron otras tres ramitas, cadauna con una flor, y así siguió cada año. ¿Cuántasflores brotaron al séptimo año?23. Completa cada una de las siguientes oraciones:a. El valor de 5a2es , si sabemos quea = 8.b. Si sabemos que 5m = 0, entonces el valor dem es .c. Al sumar 5z y 8z obtenemos la expresión.d. Al aplicar la propiedad distributiva a la expresión5(m + 5 – 3) obtenemos .e. Al escribir 5d como una adición de sumandosiguales obtenemosf. Al escribir d4como una multiplicación defactores iguales obtenemos24. Reduce los términos semejantes en las siguientesexpresiones algebraicas.a. 3a + 4a + 4b b. 7d – 3d + 8b c. 6h + 3h – 7t + 2h– 5 d. 6b + 4b2+ 5b2e. 10a2+ 4a + 3a + 2a2f. 6xy – 3yx + 6x + 3y25. Plantea una ecuación que permita resolvercada situación. Resuélvela y verifica elresultado obtenido.a. En una caja hay el doble de caramelos de mentaque de miel. Si en total hay 48 caramelos,¿cuántos hay de cada sabor?b. La suma de tres números consecutivos es 75.¿Cuáles son los números?
  • 78. 3UnidadUnidad 3 – Geometría78GeometríaHabilidades• Calcular áreas de triángulos, cuadriláteros y otras figuras compuestas por estas.• Utilizar y elaborar estrategias para resolver problemas que involucren áreas.• Resolver problemas relativos a cálculo de ángulos en polígonos.• Resolver problemas relativos a ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.• Efectuar construcciones de triángulos según lados y ángulos dados.• Caracterizar los elementos lineales de triángulos.• Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras y su recíproco.• Construir transformaciones isométricas.• Realizar teselaciones.• Comprender el número π.• Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.• Calcular la longitud de la circunferencia.• Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos, pirámides, cilindros y conos.• Calcular área del círculo y de la superficie de prismas, conos, cilindros y pirámides.Opuestos porel vérticeParalelasPerpendicularesTriángulosTeselacionesPerímetroElementossecundariosTeorema dePitágorasElementosÁngulosPolígonosTransformacionesisométricasEn rectas paralelas cortadaspor una transversalRectasCuerposLongitudGeometríaVolumenEl número πCírculoCircunferenciaÁrea
  • 79. Unidad 3 – Geometría 79• Cuando una recta transversal corta dos rectasparalelas se forman ángulos congruentes,marcados con el mismo color en la figura.L1L2L3• El área de una figura es la medida de su superfi-cie. El área de un cuadrado de lado a es A = a2,de un rectángulo de lados a y b es A = a · b, y deun triángulo de base b y altura h es A = b · h2.• El área de un paralelogramo de altura h y base bes: A = b · h.• Se puede construir un único triángulo si seconocen las medidas de: sus tres lados (LLL),o un lado y los ángulos contiguos a él (ALA), obien, dos lados y el ángulo comprendido entreellos (LAL).• Las alturas de un triángulo son segmentosperpendiculares trazados desde un vértice allado opuesto o a una prolongación de este. Lastres alturas (o sus prolongaciones) se intersecanen un punto llamado ortocentro (H).• Las bisectrices dividen cada ángulo interior deltriángulo en dos ángulos de igual medida. Estasse intersecan en un punto llamado incentro (I).• Las simetrales de un triángulo son rectas per-pendiculares a los lados del triángulo que pasanpor el punto medio del lado. Se intersecan enun punto llamado circuncentro (C).• Las transversales de gravedad son segmentosque unen cada vértice con el punto medio desu lado opuesto. Se cortan en un punto llamadocentro de gravedad o baricentro (G).• El teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulorectángulo, la suma de los cuadrados de lasmedidas de los catetos es igual a la medida dela hipotenusa al cuadrado”.• El recíproco del teorema de Pitágoras dice: “si enun triángulo la suma de los cuadrados de dos delos lados es igual al cuadrado del tercero, enton-ces el triángulo es rectángulo”.• Una circunferencia es el lugar geométrico delos puntos del plano que están a igual distanciade un punto fijo, llamado centro.• El círculo es el lugar geométrico de los puntosdel plano cuya distancia al centro es menor oigual que la longitud del radio.• El número π es la razón entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro. Este número esdecimal infinito no periódico, que truncado asus primeras cifras decimales es 3,1415926535.• La longitud de una circunferencia, de radio r,es: l = 2 · π · r.• El área de un círculo de radio r es: A = π · r2.• Si r es el radio de la base y h la altura, el área deun cilindro está dada por:Acilindro= 2 · π · r · h + 2 · π · r2.• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, elárea del cono es: Acono= π · r2+ π · r · g.• El volumen de un cilindro, de altura h y radio r,es Vcilindro= π · r2· h.• El volumen del cono, de altura h y radio r, es:Vcono= π · r2· h3.• El volumen del prisma recto, de altura h y áreade la base b, es: Vprisma= b · h.• El volumen de la pirámide, de altura h y área dela base b, es: Vprisma= b · h3.• Una transformación isométrica, aplicada a unafigura u objeto, modifica su posición sin alterarsu tamaño ni su forma.• En una traslación se desplazan todos los puntosde la figura, en la misma magnitud, direccióny sentido.• En una reflexión se asocia a cada punto de unafigura otro que está a la misma distancia del ejede simetría.• En una rotación se mueven todos los puntos deuna figura en un ángulo dado, respecto de unpunto fijo, llamado centro de rotación.• Una teselación es una regularidad o patrónde figuras que cubre completamente unasuperficie plana y que cumple con dos requisitos:que no queden espacios y que no se sobrepongano traslapen las figuras. En esta unidad, en lasteselaciones regulares y semirregulares,los polígonos utilizados son todos regulares,y coincide la medida de sus lados.P ara recordar
  • 80. Unidad 3 – Geometría80Ejercicios resueltos1. Encuentra la medida del ángulo α, de la figura 1, si se sabe que el triángulo es equilátero y CF // AB. Podemos prolongar uno de los lados del triángulo convirtiendo la figura 1 en la figura 2.• El ángulo α está formado por los ángulos ECD y elángulo DCF.• El ángulo ECD mide 60º porque es opuesto por el vérticedel ángulo ACB.• El ángulo DCF mide 60º porque es correspondiente entreparalelas al ángulo CAB.• Por lo tanto, la medida del ángulo α es 120º.2. Encuentra las medidas de los ángulos α, β y γ de la figura, considerando que L1// L2// L3.El triángulo de la figura es rectángulo porque la suma de losotros dos ángulos del triángulo es 90º.• La suma de las medidas α y β es 90º porque essuplementario a un ángulo recto.• La medida del ángulo β es 40º por ser correspondientea un ángulo de esa medida.• La medida de α es 50º por ser complementario a β.• La medida de γ es 40º por ser un ángulo alterno interno de β.La respuesta del problema es: α = 50º, β = 40º y γ = 40º.Ángulos opuestos por el vértice y entre paralelas cortadas por una transversalFigura 1αA BCFFigura 2A BFCDEL1L2L340º 50ºαβγ1. Usando la figura responde.αεβσγτ λδa. Nombra 2 pares de ángulos que tenganigual medida.b. Nombra 2 pares de ángulos que sean opuestospor el vértice.c. Los ángulos α y ε, ¿miden lo mismo?, ¿cómose llaman?d. Si α = 110º, ¿cuánto mide λ?e. Nombra otro ángulo que mida 110º.f. Considera ahora que el ángulo β mide lamitad de la medida del ángulo δ. ¿Cuántomide cada uno?2. Encuentra la medida de los ángulos indicados encada caso.a. El triángulo de la figura es isósceles.b. x85º70ºc. xy40ºEjercicios y problemas propuestosL1// L2L1L1L2L2L2L1L1L3L2L4L1// L2L1// L2L3// L4αβ95ºL1// L2
  • 81. Unidad3Unidad 3 – Geometría 81β65ºα55º45ºβα50ºα40º150ºL4L1L1L1L3L4L2L2L3L1// L2L1// L2L1// L2L1// L2L1// L2L2β α50ºL2 L3L4L1L1α35º125ºL1L2L2L1// L2L3// L4L1// L2L3// L4L1// L2L3// L43. Resuelve los siguientes ejercicios.a. b. c. d. e. f. Marca la opción correcta en los ítems 4 y 5.4. ¿Cuál es la medida del ángulo α de la figura?A. 29ºB. 65ºC. 66ºD. 144º5. ¿Cuál es el valor de x según la figura?A. 27ºB. 45ºC. 90ºD. 270º6. Resuelve los siguientes problemas.a. Encuentra la medidade los ángulos β y δ,sabiendo que:)ED //)CB.b. Determina la medidadel ángulo α.c. Encuentra la medida delos ángulos marcadosen la figura.d. ¿Qué tipo de triángulomuestra la figura?e. Una persona que está mirando al oeste giraen un ángulo de 82º para observar un edificio.Si sigue girando en el mismo sentido, ¿cuántodebe girar para mirar directamente al este?f. Pedro camina por la calle Los Abetos, doblapor Los Pinos, con un ángulo de giro de 50º,camina por Los Pinos hasta que llega a laesquina de Los Sauces, que es perpendiculara Los Abetos, ¿con qué ángulo de giro debedoblar ahora para seguir por Los Sauces?g. Don Julio dice que construirá una reja concuatro fierros, formando un paralelogramo.Si con dos de ellos forma un ángulo de 72ºy el siguiente fierro lo pone formando unángulo de 85º con el anterior, ¿está don Juliohaciendo bien su reja? Justifica tu respuesta.α 85º29ºL3L4L1L2L1// L2L3// L4L1// L2CEDδBβ115º85º4x – 50º3x – 40º2x xα 2x + 60ºx + 70ºL1L23x – 40ºx L1L245º135ºL2L1
  • 82. Unidad 3 – Geometría821. Encuentra la medida de los ángulos marcados conletras. Verifica tus resultados con un transportador.a. b. c. d. 2. En la figura, BE y CD son bisectrices. La medidadel ángulo x es:A. 25ºB. 30ºC. 65ºD. 125º3. Resuelve los siguientes ejercicios.a. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores deun hexágono?b. ¿Cuánto mide un ángulo interior de unoctágono regular?c. Si un ángulo interior de un polígono regularmide 140º, ¿cuántos lados tiene ese polígono?d. Si la suma de los ángulos interiores de unpolígono regular es 1 800º, ¿cuántos ladostiene ese polígono?e. ¿Cuántos lados tiene un polígono regularsi la suma de todos sus ángulos interioreses 1 980º?f. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de unpentágono regular?Ejercicios resueltos1. En la figura, AE es bisectriz del BCAB. Además, DE // AB. Encuentra lamedida del BDEA.• La medida del ángulo CAB es 80º, por la suma de ángulos interioresdel triángulo.• La medida del ángulo EAB es 40º, ya que AE es bisectriz. Como losángulos EAB y DEA son alternos internos, la medida del BDEA es 40º.2. En el triángulo ABC, ED es simetral del lado BC. Encuentra la medidadel ángulo α.Recuerda que la simetral es perpendicular al lado, por lo tanto, el ángulo EDBes un ángulo recto.• Así se sabe que el BDEB mide 45º (suma de ángulos internos del triángulo).• Luego, la medida de α es 135º (el ángulo α es suplementario con el BDEB).Ángulos en polígonosEjercicios y problemas propuestosα50º130º120ºαβγεδ110º135º 120º25º30ºβα50º60ºAB // DCAD // BCα β γ50º60º85ºCDBACDEAxB70º 25ºCDEAα B45ºCDEF GAB28º72º
  • 83. Unidad3Unidad 3 – Geometría 834. En cada uno de los siguientes problemasencuentra el valor de x.a. b. c. d. 5. Resuelve los siguientes problemas que involucranángulos exteriores de un polígono.a. Si la suma de los ángulos interiores deun polígono regular es 900º, ¿cuánto midecada ángulo exterior?b. Según la información del dibujo, ¿cuál es elvalor de x?c. Con la información del problema anterior,encuentra la medida de cada ángulo exteriordel cuadrilátero.6. Si un ángulo exterior de un polígono regularmide 45º, ¿cuántos lados tiene el polígono?Marca la opción correcta.A. 3 C. 6B. 4 D. 87. Paula dice que dibujó un polígono regular detal manera que la suma de las medidas de losángulos interiores es 450º.a. ¿Es eso posible? Justifica tu respuesta.b. ¿Qué polígono tiene la suma de sus ángulosinteriores más cercana a 450º?8. Resuelve los siguientes problemas.a. Eugenio está construyendo una repisa con elmodelo que muestra la figura, dondeAB // CD. Si las medidas de BDCB y BADCson iguales, encuentra las medidas de todoslos ángulos de la repisa.b. Javiera quiere construir el modelo de unpolígono regular, para ello clava dos trozos demadera iguales formando un ángulo de 108º.¿Cuántos trozos más de madera necesita?c. Don Juan está diseñando una ventana, quiereque sea un paralelogramo pero no rectangular.Si dibujó uno de los ángulos con una medidade 75º, ¿cuánto miden los otros ángulos?d. Se tiene un triángulo isósceles con ángulosbasales de 80º. ¿Cuánto mide el ángulo formadopor la prolongación de un lado del triángulo yla altura trazada a la base del triángulo?e. Al trazar dos alturas en un triánguloacutángulo, una de las figuras que se formadentro del triángulo es un cuadrilátero. Dibujala situación y determina una posible medidade los dos ángulos que no son rectos enel cuadrilátero.f. Julio quiere construir un triángulo isósceles, debase SR, que cumpla la siguiente condición.La medida del ángulo β debe ser tres veces lamedida del ángulo α. ¿Cuánto deben medirα y β?140º – xx4x6x + 30ºx + 50ºx2x 2x2x2x4x 4x5x 5x6x 6x3x + 90ºx + 50ºx + 30º x + 70ºTS Rαβ36ºCDA B125º
  • 84. Unidad 3 – Geometría84Ejercicios resueltos1. Construye un triángulo con dos lados dados de manera que el ángulo comprendido entre ellos mida 45º.• A los extremos de los segmentos dados se los llama A, B, C y D.• Se mide con el compás el segmento AB y se prolonga en la misma medi-da, el otro extremo se llamará E. Ahora se tiene un segmento EB, sobreese segmento se construye una simetral, de manera que se tendrá unaperpendicular que pasa por A.• Se biseca el ángulo recto que construiste, y se tiene un ángulo de 45º convértice en A.• Sobre el rayo del ángulo de 45º se copia el segmento CD, de tal maneraque el punto D coincida con el punto A.• Se une el punto C con el punto B. Con este último paso se tiene el triángulo ABC construido.2. En el triángulo construido en el ejercicio 1, construye la altura desde el vértice C al lado AB.• Con el compás se dibuja un círculo con centro en C que corte el lado AB en lospuntos A’ y B’.• Con el compás y vértice en A’ se traza un círculo de manera que pase por C. Se repiteeste paso pero ahora con el compás en B’.• Se dibuja un segmento desde C hasta el otro punto donde se intersecaron los círculos.Ese segmento cortará el lado AB en un punto, D. El segmento CD es la altura pedida.Triángulos y sus elementos1. Construye los siguientes triángulos con lascondiciones dadas en cada caso.a. Construye un triángulo con estos tressegmentos que serán sus lados.b. Construye un triángulo equilátero. Elige tú lalongitud de los lados.c. Construye un triángulo isósceles con los ladoscongruentes de 3,5 cm cada uno y la basede 5 cm.d. Dados estos tres segmentos, ¿puedesconstruir un triángulo? Justifica tu respuesta.e. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirtres segmentos, para que se pueda construirun triángulo con ellos?f. Describe tres segmentos con los que no sepueda construir un triángulo. Explica por quéno se puede.2. Resuelve los siguientes problemas.a. En el ejercicio 1 a construiste un triángulo conlos tres lados dados, ¿puedes construir otrotriángulo, con los mismos lados? Justificatu respuesta.b. Con un transportador construye un triángulocuyos ángulos midan 30º, 70º y 80º.c. ¿Es posible construir un triángulo diferenteal construido en b pero con los mismosángulos?, ¿por qué?d. Escribe una conclusión respecto de la cantidadde triángulos que es posible construir dadostres lados y dados tres ángulos.e. Construye un triángulo copiando el lado y losángulos contiguos a él, dados a continuación.f. Construye un triángulo copiando los dos ladosy el ángulo comprendido entre ellos, que semuestran en las siguientes figuras.Ejercicios y problemas propuestos30º 50º2 cm30º2 cm4 cmAEBC45ºA BCA’ B’D
  • 85. Unidad3Unidad 3 – Geometría 853. Construye los siguientes triángulos con loselementos secundarios indicados.a. Dibuja un triángulo acutángulo y construyelas bisectrices de los tres ángulos interiores.¿Qué propiedad tiene el punto donde secortan las bisectrices de un triángulo?Aplica esa propiedad en este dibujo.b. Construye un triángulo ABC con lados quemidan 4 cm, 5 cm y 6 cm y luego construyelas alturas desde cada vértice. ¿Cómo se llamael punto donde se cortaron las tres alturasdel triángulo?c. Construye un triángulo obtusángulo y dos desus alturas. Con respecto al triángulo, ¿dóndeestá ubicado el punto en que se intersecanlas alturas?d. Dibuja un triángulo ABC acutángulo escalenoy construye las simetrales de los tres lados.¿Qué particularidad tiene el punto donde secortaron las tres simetrales? Compruébalo contu compás.e. Dibuja un triángulo acutángulo escaleno yconstruye sus tres transversales de gravedad.¿Cómo se llama el punto donde cortaron lastres transversales de gravedad?4. Construye un triángulo equilátero cuyos ladosmidan 8 cm y realiza los siguientes pasos.a. Construye dos bisectrices, dos alturas y dossimetrales. Describe qué ocurrió.b. Si dibujas dos transversales de gravedad enel mismo triángulo, ¿qué crees que sucede?Compruébalo construyéndolas.c. Construye un triángulo isósceles y ademásla altura, bisectriz, transversal de gravedad ysimetral correspondientes a la base y al ánguloopuesto. ¿Qué sucede? ¿Crees que sucede lomismo con los otros lados? Compruébalo.5. Dibuja un triángulo escaleno.a. Usando el procedimiento de división de trazos,divide el lado mayor en 3 partes iguales y unelos puntos en que quedó dividido ese lado conel vértice opuesto.b. ¿Cuántos triángulos tiene tu figura en total?6. Marca la opción que muestra las medidas de3 segmentos con los que no se puede construirun triángulo.A. 8 cm, 10 cm y 13 cmB. 5 cm, 7 cm y 9 cmC. 3 cm, 4 cm y 5 cmD. 1 cm, 3 cm y 5 cm7. ¿Cuál de las siguientes opciones correspondeal nombre del punto donde se intersecan lasbisectrices de un triángulo?A. Incentro.B. Baricentro.C. Ortocentro.D. Circuncentro.8. Resuelve los siguientes problemas.a. Si se considera la ubicación de tres pobladoscomo puntos en un mapa, estos forman untriángulo. ¿En qué punto se debe construirun hospital para que quede exactamente ala misma distancia de los tres poblados?b. Raúl recortó un cartón en forma triangular.¿En qué punto exacto del triángulo debecolocar la punta de un palillo para equilibrarlo?c. Las ciudades A, B y C están unidas por loscaminos a, b y c, como se muestra en la figura.Se quiere construir un museo de tal maneraque los caminos que vayan desde él a losotros caminos sean lo más cortos posible.¿Qué punto cumple esa condición?CAacbB
  • 86. Unidad 3 – Geometría86Ejercicio resueltoPara este ejercicio y los siguientes necesitas regla, compás y transportador.1. Dado un segmento L, construye la simetral.• En el segmento rotula los puntos A y B.• Abre el compás con la medida de A hasta B y con esta abertura dibujaarcos con vértice en A, por sobre y por debajo del segmento.• Con la misma abertura del compás pero con centro en B, repite elpaso anterior, determinando los puntos C y D.• Une con una recta los puntos C y D. Esa es la simetral, lo puedescomprobar con un transportador.A BLCDÁngulos y segmentos1. Realiza las siguientes construcciones queinvolucran ángulos.a. Dibuja un ángulo de 50º usando untransportador, luego, cópialo usando reglay compás.b. Con el transportador dibuja un ángulo de108º, copiando este ángulo y con segmentosque midan 5 cm cada uno construye unpentágono regular.c. Dibuja un ángulo agudo y construye subisectriz. Comprueba con la ayuda de untransportador que los dos ángulos midanlo mismo.d. Construye un ángulo de 90º y a partir de eseángulo construye uno de 45º.e. Construye un ángulo de 135º usando reglay compás.f. Copiando el ángulo de 135º construye unpolígono regular. ¿Cuántos lados tiene?g. ¿Cómo podrías construir un ángulo de 22,5º?Construye un ángulo con esa medida.h. Construye un cuadrilátero cuyos ánguloscontiguos midan 135º y 45º.i. Construye un triángulo isósceles cuyos ángulosbasales midan 22,5º cada uno. ¿Cuánto mideel tercer ángulo?j. Construye un triángulo rectángulo isósceles.¿Cuánto miden los otros ángulos?k. Construye un cuadrilátero, utilizando unángulo de 135º y segmentos de 4 cm.¿Qué tipo de cuadrilátero es?2. Realiza las siguientes construcciones queinvolucran rectas.a. Dibuja una recta que esté orientada enforma oblicua y construye una recta que seaperpendicular a ella en cualquier punto que nosea el punto medio.b. Dada una recta cualquiera, construye unarecta que sea paralela a esta recta. Escribe lospasos a seguir.c. Dada una recta cualquiera, construye unaparalela a ella que esté a 4 cm de distancia.d. Dibuja un trazo de 10 cm y divídelo en cincotrazos iguales. Comprueba con la regla quelos trazos midan lo mismo.e. Dibuja un trazo de 8 cm y luego construye lasimetral de ese trazo.f. Dibuja un par de rectas paralelas y luego unpar de rectas perpendiculares a las primeras.¿Qué figura obtuviste?g. Sobre una recta construye, con una distancia de5 cm, un ángulo de 45º y otro de 135º, ambos ensentido antihorario, y luego una recta paralela ala primera. ¿Qué figura obtuviste?h. Dibuja un rectángulo de 8 cm de largo y 4 cm deancho. Sobre uno de los segmentos de 8 cmconstruye la simetral. ¿Qué figuras obtuviste?i. Dibuja un segmento, divídelo en tressegmentos congruentes y sobre los puntosdeterminados construye rectas paralelas quesean perpendiculares al primer segmento.Ejercicios y problemas propuestos
  • 87. Unidad3Unidad 3 – Geometría 873. Con lo practicado hasta ahora construye lassiguientes figuras.a. Construye un paralelogramo que tenga doslados de 2 cm y dos lados de 5 cm.b. Construye un paralelogramo que tenga dosángulos contiguos de 40º y 140º y el ladocomún a ellos de 5 cm.c. Construye un paralelogramo sabiendoque sus diagonales miden 8 cm y 5 cmrespectivamente y que forman un ángulo de40º entre ellas.d. Construye un rombo cuyos lados midan 5 cmcada uno y dos de sus ángulos sean de 40º.¿Cuál es la medida de los otros dos ángulos?e. Construye un cuadrado sabiendo que susdiagonales miden 10 cm cada una.f. Construye un rombo cuyas diagonales midan8 cm y 6 cm respectivamente.g. Construye un trapecio isósceles cuya altura sea3 cm y la base de mayor longitud mida 5 cm.h. Construye un paralelogramo que tenga ladoscontiguos de 3 cm y 4 cm y el ángulo entreellos sea de 60º.i. Construye un trapecio rectángulo cuyas basesmidan 5 cm y 2 cm y cuya altura sea 4,5 cm.j. Construye un trapecio de tal manera que unade sus bases mida la mitad de la otra.k. ¿Podrías construir un paralelogramo cuyosángulos contiguos midan 40º y 80º? Justificatu respuesta.l. ¿Cómo puedes construir un ángulo de 60º sinusar transportador? Constrúyelo y utilízalo paraconstruir un hexágono regular de lado 5 cm.m. Construye un paralelogramo cuyos ángulossean 60º y 120º, su largo sea 8 cm y su altura4 cm.n. Construye un triángulo equilátero de lado6 cm, luego construye una paralela a uno de loslados que se interseque con los otros dos ladosen su punto medio. ¿Qué figuras obtuviste?ñ. Construye un cuadrado de lado 3 cm. Sobrela base de este cuadrado, construye otro cuyolado mida 6 cm. Compara sus perímetros ysus áreas.4. En la antigua Grecia había tres construccionesque no pudieron realizar solo con regla y compás.a. Averigua cuáles eran esas construcciones.b. Averigua si se han podido realizar enla actualidad.c. Comparte con tus compañeros la informaciónque obtuviste y compárala con la de ellos.5. Resuelve los siguientes problemas.a. Silvia quiere hacer un poncho con cuatrocuadrados de tela, cuyos lados midan60 cm, pero no sabe cómo dibujar en latela el cuadrado para poder cortarlo.Indica los pasos que debe realizar.b. El alcalde de un pueblo quiere construir unapiscina para la comunidad, que tenga formade rombo de 15 m de lado y en que ladistancia de un vértice al opuesto sea de18 m. ¿Cómo podría hacer el dibujo paraentregárselo a los constructores?c. Felipe tiene un terreno rectangular quedestinará para hacer una chacra. Sin tener quemedir su largo, lo quiere dividir en tres partesde igual longitud. Explica los pasos que puedeseguir para realizar la tarea.d. Con lo que has practicado en esta sección,¿podrías explicar cómo construir un triánguloisósceles? Escribe todos los pasos.e. Don Fernando es un mueblista al que le hanencargado una mesa cuya cubierta es unhexágono regular. Explica los pasos que debeseguir para construirla.f. Un jardinero quiere diseñar espacios en sujardín, que tengan forma de paralelogramos,para poder poner flores. Explica cómo lopuede hacer.g. Tomás es un artesano que tiene unasláminas de cobre, y quiere recortar triángulosequiláteros y cuadrados para hacer aros, comomuestra la figura. Explica cómo puede hacerel molde.
  • 88. Unidad 3 – Geometría88Ejercicio resuelto1. Aplica una reflexión, respecto del eje de simetría destacado con colorrojo, a la figura que se muestra a continuación.Paso 1: utilizando la escuadra, traza una recta perpendicular al eje desimetría, de manera que pase por el vértice que vas a reflejar.Paso 2: con el compás, copia la distancia entre el vértice y el eje, en la rectatrazada, pero al otro lado del eje, y obtén así la imagen del vértice.Paso 3: repite los pasos 1 y 2 para cada vértice de la figura.Paso 4: une las imágenes de los vértices para formar la imagen de lafigura inicial.Transformaciones, reflexiones y rotacionesCDAB1. Copia estas figuras en papel y, usando regla ycompás, traslada cada figura según el vectordado para cada una.a. b. 2. Copia las figuras en papel y, usando regla ycompás, aplica la reflexión según el eje desimetría dado.a. b. 3. Aplica las transformaciones isométricas.a. Dibuja un triángulo ABC y un punto O,ubicado fuera del triángulo. Usando el puntoO como centro, aplica una rotación con unángulo de 60º en sentido antihorario.b. Dibuja un rectángulo ABCD y un punto Pfuera de él. Usando el punto P como centrode rotación, gira el rectángulo ABCD en unángulo de 90º en sentido horario.c. Construye un triángulo que tenga dos ladosde medidas 4 cm y 7 cm y que el ánguloformado por ellos mida 36º. Luego aplícale unareflexión, usando regla y compás, respecto dellado cuya medida es 7 cm.Marca la opción correcta en los ítems 4 a 7.4. Si el centro de rotación coincide con uno de losvértices de una figura, ¿qué ocurre al aplicar unarotación en 180º?A. Ningún punto de la figura queda fijo.B. Un punto de la figura queda fijo.C. Los vértices de la figura cambian de posición.D. Todos los puntos de la figura cambiande posición.5. La imagen de una circunferencia coincideexactamente con la circunferencia originalal aplicar:A. una traslación cuyo vector de traslacióntiene la misma magnitud que el radio dela circunferencia.B. una rotación cuyo centro de rotación coincidacon el centro de la circunferencia.C. una reflexión cuyo eje de simetría no pase porel centro de la circunferencia.D. todas las anteriores.Ejercicios y problemas propuestos
  • 89. Unidad3Unidad 3 – Geometría 896. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correctarespecto de una traslación?A. Se desplazan todos los puntos de una figurarespecto de un eje de simetría.B. Cambia la posición y forma de la figura inicial.C. Se desplazan todos los puntos de una figurasegún un vector de traslación.D. Se mueven todos los puntos de una figura enun ángulo determinado.7. La imagen de una figura coincide exactamentecon la figura original, si se rotó en:A. 90º, en sentido horario.B. 180º, en sentido antihorario.C. 360º, en sentido horario.D. 540º, en sentido antihorario.8. Determina si las siguientes expresiones sonverdaderas o falsas. Justifica las falsas.a. Para reflejar una figura, es necesario conocer elvector que determina la reflexión.b. Para rotar un triángulo, solo es necesarioconocer el ángulo de rotación.c. Al aplicar una transformación isométrica a unafigura, puede cambiar el tamaño de la figura,pero no su forma.d. Para trasladar una figura, es necesario conocerel vector de traslación.e. Rotar una figura en 180º en sentido antihorarioes equivalente a rotar la misma figura en 180ºen sentido horario.f. La distancia desde cualquier punto de unafigura al eje de simetría es igual a la distanciadesde cualquier punto de su imagen al eje.9. Resuelve los siguientes problemas.a. Dibuja un triángulo ABC, aplícale una rotaciónde 180º en sentido horario, con centro en elvértice A, y luego una reflexión cuyo eje desimetría coincida con el lado B’C’.b. El triángulo ABC se refleja sobre un eje, resul-tando que el punto A’ permanece en la mismaposición que A. ¿Cómo se interpreta eso deacuerdo a la ubicación del eje de simetría?c. El triángulo ABC se refleja sobre un eje L1ysu imagen, el triángulo A’B’C’, se refleja nue-vamente, ahora sobre un eje L2resultando eltriángulo A’’B’’C’’. Si L1y L2son líneas paralelas,¿qué transformación convierte directamenteel triángulo ABC en el triángulo A’’B’’C’’?d. A un cuadrilátero se le aplica una rotación, ensentido horario, de 45º. A la imagen obtenidase le aplica una rotación en 60º, utilizando elmismo centro en sentido antihorario. ¿Quétransformación tiene el mismo efecto sobreel cuadrilátero?10. En cada uno de los siguientes ejercicios,determina el tipo de transformación efectuada.a. b. c. 11. Resuelve el siguiente problema.a. Construye un triángulo cualquiera ABC ytrasládalo según el vector de traslación quese muestra a continuación, obteniendo eltriángulo A’B’C’.b. Copia el triángulo obtenido en el ejercicioanterior y trasládalo nuevamente según elvector dado, obteniendo el triángulo A’’B’’C’’.c. ¿Qué transformación lleva al triángulo ABCal triángulo A’’B’’C’’, sin necesidad del pasopor el triángulo A’B’C’? Si tu respuesta es unatraslación, dibuja el vector correspondiente.CA BCA BACBCABCA BCAB
  • 90. Unidad 3 – Geometría90TeselacionesEjercicios resueltos1. Diseña una figura que sirva como una base para generar una teselación.• Como un rectángulo puede ser base para una teselación, puedes comenzarcon un rectángulo cualquiera.• Copia una semicircunferencia de diámetro igual al ancho del rectángulo aambos lados del rectángulo.• Traza dos segmentos en uno de los lados largos del rectángulo y copialos trazos en el lado opuesto.• De esta manera, obtienes una figura irregular que también sirve comobase para generar una teselación.2. ¿Se puede realizar una teselación semirregular con un triánguloequilátero y un hexágono regular?• Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60º.• Cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120º.• Si yuxtaponemos el hexágono y el triángulo, los ángulos suman 180º, si los reflejamos sobre un eje horizontalse reproduce la figura sumando 360º, por lo tanto, se puede teselar el plano.1. Decide si es posible realizar una teselación concada una de las siguientes figuras. Justificatu respuesta.a. c. b. d. 2. ¿Con cuál de estos polígonos regulares no sepuede teselar un plano, usando solo uno deellos a la vez? Marca la opción correcta.A. Triángulo. B. Cuadrado. C. Pentágono.D. Hexágono.3. Pedro dice que usando dos octágonos regularesy un cuadrado puede teselar el plano.a. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.b. Si ahora deja el mismo octágono, pero elcuadrado lo remplaza por un rectángulo,¿puede teselar el plano? Justifica tu respuesta.4. Se ha teselado un plano con triángulos y hexá-gonos. Describe cómo se genera la teselaciónutilizando las trasformaciones dadas, partiendodel hexágono y del triángulo pintado.a. Reflexiones y traslaciones.b. Rotaciones y traslaciones.c. Rotaciones y reflexiones.Ejercicios y problemas propuestos
  • 91. Unidad3Unidad 3 – Geometría 915. Determina el tipo de teselación en cada caso.a. b. 6. La siguiente figura está formada por unhexágono regular, un triángulo equilátero y doscuadrados. ¿Se puede utilizar esta figura comobase para teselar el plano? Justifica tu respuesta.7. En la casa de Tomás están embaldosando unaterraza como muestra la figura.a. Si en el ancho de la terraza se pueden poner7 de las baldosas verdes, ¿cuántas baldosasgrises se necesitan?b. Si se ocuparon 22 baldosas grises, ¿cuántasbaldosas verdes se usaron?c. Si en el ancho se ocupan x baldosas verdes,¿cuántas baldosas grises se necesitan?8. Marca la opción que nombra una figura que nopuede teselar el plano cuando se la combinacon triángulos.A. Cuadrados.B. Dodecágonos regulares.C. Hexágonos regulares.D. Octágonos regulares.9. Resuelve los siguientes problemas queinvolucran teselaciones.a. Paula quiere formar una teselaciónsemirregular con dodecágonos regulares,cuadrados y un tercer tipo de figura. ¿Cuálpuede ser esa figura?b. ¿Cuántas teselaciones puedes formar contriángulos y cuadrados? Dibújalas.c. Luisa quiere embaldosar la cocina desu casa usando baldosas en forma depentágonos regulares. ¿Puede hacerlo?Justifica tu respuesta.d. Determina las medidas de los ángulosinteriores de un cuadrado, de un hexágonoregular y de un dodecágono. ¿Se puede teselarel plano combinando esos tres polígonos?Justifica tu respuesta.e. Felipe dijo que utilizó estos pentágonos noregulares, que tienen cuatro lados de igualmedida y con ángulos cuyas medidas estánindicadas y que logró teselar el plano. ¿Está enlo correcto? Justifica tu respuesta.f. Lucía quiere empapelar una de las murallas desu pieza combinando los dos cuadriláteros quese muestran a continuación. ¿Lo puede hacer?Justifica tu respuesta.144º108º108º90º90º144º144º72º 72º36º36º72º 72º
  • 92. Unidad 3 – Geometría92Ejercicios resueltos1. Encuentra el área de la figura. Las medidas son: AC = 8 cm, BF = 8 cm,DC = 6 cm, ED = 2 cm y HG = 2 cm.En la figura podemos distinguir un triángulo sobre un rectángulo.• Área del rectángulo: 8 · 6 = 48 cm2• Área del triángulo, base: 8 – 2 – 2 = 4 cm y altura: 8 – 6 = 2 cmÁrea del triángulo: 4 · 22= 4 cm2• Área total: 48 + 4 = 52 cm22. Encuentra una expresión que represente el área pintada del rectángulo.Una posible estrategia es encontrar una expresión del área del rectángulomayor, otra para el rectángulo menor y luego encontrar la diferenciaentre ellas.• Área del rectángulo mayor: 9x · 5 = 45x• Área del rectángulo menor: (9x – 6x) · x = 3x2• Área pintada: 45x – 3x2Áreas de triángulos y paralelogramos6x9x5x1. Encuentra el área de un rectángulo cuyo largo es12,5 cm y su ancho es 6 cm.2. Completa, considerando que l es el largo, a es elancho y A el área de un rectángulo.a. l = 8 cm; a = ; A = 72 cm2b. l = 0,8 m; a = 2,4 m; A =c. l = ; a = 9 cm; A = 36 cm23. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros.a. Rectángulo de lado 5 cm y altura 2,4 cm.b. Rombo de lado 12 cm y altura igual a un terciode la base.c. Paralelogramo de base 6 cm y altura 3,6 cm.d. Trapecio de bases 11,8 cm y 15,2 cm y altura6,5 cm.4. Sobre la base de un cuadrado de lado 3 cm, seconstruye otro más grande. Los lados del primery segundo cuadrado están en la razón 2 : 5.a. ¿Cuál es el área de cada cuadrado?b. ¿En qué razón están sus áreas?c. ¿Cómo se relacionan la razón entre los lados yla razón entre las áreas?5. Resuelve los siguientes problemas.a. Si el largo de un rectángulo es 18 cm y su áreaes 225 cm2, ¿cuál es su ancho?b. Dibuja un rectángulo y un paralelogramoque tengan bases y altura de igual medida.¿Qué puedes decir de sus áreas?c. Dibuja un rectángulo y un triángulo quetengan bases y alturas de igual medidas.¿Qué puedes decir de sus áreas?d. Si un rectángulo tiene el doble del área queotro, y ambos tienen el mismo ancho, ¿quésucede con los largos de ambos rectángulos?e. El lado de un cuadrado mide el doble queel lado de otro cuadrado. Encuentra la razónentre sus áreas.f. ¿Cuáles podrían ser las longitudes de las basesde un trapecio, si se sabe que la altura mide20 cm y su área es 220 cm2?g. ¿Cuáles podrían ser las medidas de lasdiagonales de un rombo si se sabe que suárea mide 18 cm2?Ejercicios y problemas propuestosFEA B CGH D
  • 93. Unidad3Unidad 3 – Geometría 936. Encuentra el área de las siguientes figuras.a. b. c. La figura exterior es un rombo de lado 7,5 cm,los trapecios son congruentes y de altura1 cm. El rombo interior tiene lados que miden5 cm y altura 4 cm. ¿Cuál es el área del rombomás grande?7. Encuentra la expresión que representa el área deestas figuras.a. b. 8. ¿Cuál es el área total de la figura formada porlos dos romboides y dos trapecios isóscelesidénticos que se muestran en la imagen?Marca la opción correcta.A. 84 cm2B. 96 cm2C. 168 cm2D. 104 cm29. Encuentra el área del hexágono sombreado quees parte del rectángulo de la figura.10. ¿Cuál es el área sombreada de la figura? Marca laopción correcta.A. 108 cm2B. 238 cm2C. 538 cm2D. 700 cm211. Resuelve los siguientes problemas.a. Un terreno rectangular tiene un perímetro de70 m. Si el largo del terreno es de 15 m, ¿cuáles su área?b. Una alfombra que mide 2,8 m de largo por1,5 m de ancho está puesta en una pieza de3,5 m de largo por 2 m de ancho. ¿Qué área dela pieza no queda cubierta por la alfombra?c. ¿Cuántas cartulinas de 80 cm por 40 cmcubren un diario mural de 1,2 m por 80 cm?d. Se quiere construir una muralla de ladrillos quemida 6,3 m de largo y que tenga 15 ladrillosde altura. Si cada ladrillo mide 18 cm de largo,¿cuántos ladrillos se necesitan?12. Si ABCD es un rectángulo cuyo largo yancho miden 15 cm y 10 cm, respectivamente,determina el área de la región pintada.13. Un pedazo de alambre de 384 cm de largo secorta en trozos iguales y con cada trozo se haceun cuadrado de 4 cm de lado.a. ¿Cuántos cuadrados se pueden hacercomo máximo?b. ¿Qué área cubren todos estos cuadradossi se ponen uno al lado de otro?14. Con un trozo de cordel de 20 cm se construyendiferentes paralelogramos.a. Uno de esos paralelogramos es un cuadrado,¿cuánto mide su lado?, ¿y su área?b. Nombra dos rectángulos cuyo ancho seamenor al lado del cuadrado del ejercicio anteriory cuyo perímetro sea el dado. Calcula sus áreas ycompáralas con el área del cuadrado.20 cm35 cm4 cm3 cm6 cm2 cm15x13x74x8x12 cm5 cm8 cm3 cm1 cm2 cm3 cm3 cm 7 cm9 cm6x3 cm5 cm5 cm7 cm2 cm2 cm2 cm18 cmA BD C
  • 94. Unidad 3 – Geometría94Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 20.1. ¿Cuál es la medida del ángulo x?A. 52ºB. 62ºC. 128ºD. 138º2. ¿Cuál es la medida del ángulo ECD?A. 50ºB. 85ºC. 90ºD. 95º3. La figura muestra un trapecio. ¿Cuáles son lasmedidas de los ángulos α y β?A. α = 37º, β = 20ºB. α = 53º, β = 70ºC. α = 123º, β = 57ºD. α = 127º, β = 110º4. En la figura, MNQS es un trapecio isóscelesy PQSR es un cuadrado. ¿Cuánto mide elángulo MSQ?A. 125ºB. 135ºC. 145ºD. 155º5. La medida del ángulo interior de un polígonoregular es 11 veces la medida del ángulo exterior.¿Cuántos lados tiene el polígono?A. 10B. 11C. 12D. 156. Las medidas de los ángulos interiores de untriángulo son tres números consecutivos.¿Cuáles son esas tres medidas?A. 60º, 61º, 62ºB. 62º, 63º, 64ºC. 58º, 60º, 61ºD. 59º, 60º, 61º7. ¿Qué transformación isométrica o combinaciónde ellas convierten la figura A en la figura B?A. Una rotación.B. Dos reflexiones.C. Una traslación y una reflexión.D. Una rotación y una traslación.8. El área de un triángulo es 15,5 cm2. ¿Cuál es elárea de otro triángulo si tiene la misma basey el doble de la altura del triángulo anterior?A. 7,25 cm2B. 15,5 cm2 C. 31 cm2D. 62 cm29. ¿Qué se obtiene al aplicar una transformaciónisométrica a una figura?A. Una figura cuya posición es similar a lafigura original.B. Una figura que mantiene el tamaño originaly varía su forma y posición.C. Una figura que mantiene la forma, tamañoy posición original.D. Una figura cuya forma y tamaño son idénticosal original, solo varía su posición.10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?A. El eje de simetría es una recta perpendiculara los trazos que unen cada par depuntos correspondientes.B. Al aplicar una rotación, todos los puntos dela figura se mueven en torno a un punto fijo.C. No es posible teselar una superficie planautilizando un romboide.D. Al aplicar una traslación, todos los puntosde la figura se mueven según un vector.11. Se tiene un rombo cuyas diagonales miden 12 cmy 8 cm. ¿Cuál es el área del rombo?A. 20 cm2B. 24 cm2C. 40 cm2D. 48 cm2A Bx38ºA BCD E35º 130ºα β53º 70ºM SRPN Q
  • 95. Unidad3Unidad 3 – Geometría 9512. ¿Cuál es el área del trapecio isósceles dibujado?A. 130 cm2B. 200 cm2C. 300 cm2D. 400 cm213. El largo de un rectángulo es 5 cm más que elancho. Si su perímetro es 26 cm, ¿cuál es su área?A. 4 cm2B. 9 cm2C. 13 cm2D. 36 cm214. En el dibujo, si L1// L2, ¿cuál es la medida delángulo α?A. 50ºB. 55ºC. 60ºD. 65º15. ¿Cuál es el área de un rectángulo si su largo es60 cm y su ancho es un tercio del largo?A. 80 cm2B. 180 cm2C. 1 200 cm2D. 3 600 cm216. La figura ABCD es un rectángulo cuyo largoAB mide 20 cm y su ancho AD mide 16 cm. Lospuntos P y Q se ubican en la mitad de cada lado.El área del trapecio escaleno PQBD mide:A. 80 cm2B. 100 cm2C. 120 cm2D. 1 600 cm217. El lado del cuadrado mide 3 cm. Además secumple que los segmentos DE, EF, GH, JKy KC miden lo mismo. ¿Cuál es el área de laregión sombreada?A. 4 cm2B. 5 cm2C. 6 cm2D. 9 cm218. Las bases de un trapecio miden 18 cm y 24 cm ysu área es 4,2 cm2. ¿Cuánto mide su altura?A. 0,1 cmB. 0,2 cmC. 1 cmD. 2 cm19. ¿Cuál es el área del rombo de la figura?A. 7,5 cm2B. 15 cm2C. 27 cm2D. 54 cm220. El ancho y el largo de un rectángulo miden 8xy 12x y se sabe que x = 3 cm. ¿Cuál es el áreadel rectángulo?A. 60 cm2B. 96 cm2C. 288 cm2D. 864 cm221. Observa la figura y responde.a. ¿De qué figuras está compuesta esta teselación?b. ¿Esta teselación es regular?, ¿es semirregular?Justifica tu respuesta.c. ¿Es simétrica? Entonces, ¿cuál o cuáles seríansus ejes de simetría?d. ¿Tiene simetría rotacional? Si es así, identificacuál sería el centro y el menor ángulo dela rotación.10 cm10 cm30 cmα115º130ºL1L2AD PQBCADE FKJG H BC6 cm9 cm
  • 96. Unidad 3 – Geometría961. Completa las medidas de la hipotenusa(h) o cateto (c) en los siguientes triángulosrectángulos. Las medidas están en metros.a. c1= 3; c2= 4b. c1= 7; c2= 12c. h = 5; c2= 2d. h = 5; c2= 1e. c1= 3; c2= 5f. h = 10; c2= 8g. c1= 5; c2= 12h. h = 8; c2= 42. Comprueba si los triángulos, cuyas medidas seentregan en metros, son rectángulos.a. 9, 12 y 15b. 7, 24 y 25c. 17, 19 y 26d. 10, 24 y 36e. 4,5; 6 y 7,5f. 1,5; 2 y 2,5g. 1,8; 2,4 y 3h. 12,6; 16,8 y 213. Un cateto y la hipotenusa de un triángulorectángulo miden 8 m y 10 m, respectivamente.¿Cuál es el área del triángulo?4. Resuelve los siguientes problemas.a. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadradocuyo lado mide 5 cm?b. Los lados de un rectángulo son 12 cm y 15 cm,¿cuánto mide la diagonal?c. Los lados de un triángulo isósceles miden8 cm y la base 10 cm. ¿Cuánto mide la alturacorrespondiente a la base del triángulo?d. El perímetro de un cuadrado mide 20 cm.¿Cuánto mide su diagonal?e. En un triángulo rectángulo la razón entre suslados es 3 : 4 : 5, y la hipotenusa mide 20 cm,¿cuál es la medida del perímetro?5. Marca la opción que muestra la medida,en centímetros, de los lados de un triángulorectángulo.A. 1, 2 y 3B. 9, 16 y 25C. 2, 4 y 16D. 9, 12 y 15Ejercicios resueltos1. Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es su área?Se sabe que las diagonales del rombo son perpendiculares y se dimidian(cada una es la simetral de la otra).• Como se muestra en la imagen, se forman 4 triángulos rectángulos cuyoscatetos miden 3 cm y 4 cm.• Para obtener el área de cada triángulo, calculamos: (3 · 4) : 2 = 6. Esto significaque el área de cada uno es 6 cm2.• El área total del rombo será 24 cm2.• En general, el área de un rombo es el semiproducto de sus diagonales.2. Calcula el perímetro del mismo rombo del problema 1.Como se vio en el problema anterior, el rombo se ha dividido en cuatro triángulos rectángulos congruentes.Para calcular el perímetro necesitamos calcular la hipotenusa (h) de uno de esos triángulos.• Por el teorema de Pitágoras sabemos que h2= 32+ 42.• Entonces h2= 25, extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad: h = 5.• Por lo tanto, el perímetro es cuatro veces la hipotenusa que se encontró, es decir:P = 4 · 5 = 20. Luego, el perímetro del rombo es de 20 cm.Teorema de Pitágoras y su recíprocoEjercicios y problemas propuestos
  • 97. Unidad3Unidad 3 – Geometría 976. Resuelve los siguientes problemas. Utiliza unacalculadora para realizar los cálculos.a. Un potrero mide 100 m de largo por 50 mde ancho. Pedro recorre el ancho y el largo yJuan cruza por la diagonal. Aproximadamente,¿cuántos metros de caminata se ahorra Juan?b. Un auto A se dirigió 80 km al norte de unpueblo. Desde el mismo pueblo otro autoB avanzó 60 km al este. ¿A qué distanciaquedaron los autos entre sí?c. ¿Cuál es el área de un triángulo equiláterode lado 6 cm? Deja tu resultado con raíces yluego generaliza tu resultado a un triánguloequilátero de lado a.d. Una escalera de 6 m de largo se apoya en unamuralla a una altura de 5 m desde el suelo.¿A qué distancia desde la base de la murallase encuentra el pie de la escalera?e. Un poste de 10 m de altura se afirmarámediante cables desde la parte más alta hastados puntos ubicados en el suelo, a 3 m y 4 mdel poste. Aproximadamente, ¿cuánto cablese necesita?f. Para tejer chales a telar, Eugenia estáconstruyendo un bastidor de madera, enforma de triángulo isósceles. Si la base debemedir 120 cm y la altura 80 cm, ¿cuántamadera necesita para hacer el triángulo?g. Juan dice que el cateto de un triángulorectángulo mide 10 cm y que el otro mide4 cm menos que la hipotenusa. María diceque eso es imposible. ¿Quién tiene razón?Justifica tu respuesta.7. El frente de una carpa tiene forma de triánguloisósceles, cuya altura es de 1,5 m y su base de2 m. ¿Cuántos metros cuadrados de lona senecesitan para cubrir el frente de la carpa? Marcala opción correcta.A. 3 m2B. 1,5 m2C. 15 m2D. 7,5 m28. ¿Qué polígono regular se puede dividir entriángulos equiláteros? Si el lado de ese polígonomide 5 cm, ¿cuál es su área?9. Calcula el área de las siguientes figuras.a. c. b. d. 10. Resuelve los siguientes problemas.a. Determina el área del siguiente triángulo.b. Calcula el perímetro del siguiente rectángulo.c. Determina el perímetro de la siguiente figuraformada por un cuadrado y un triángulorectángulo isósceles.d. Si cada lado de un hexágono regular mide2 cm, calcula su área. Considera que √3 ≈ 1,73.4 cm6 cm2 cm2 cm1 cm24 cm18 cm24 cm 12 cm6 cm5 cm3 cm1 cm1 cm3 m 3 m5 m2 m1 m2 m 2 m1 cm20 cm29 cm12 cm17 cm8 cm3 cm
  • 98. Unidad 3 – Geometría981. Resuelve los siguientes ejercicios.a. La base de un prisma es un pentágono deárea 90 cm2y la altura mide 15 cm. ¿Cuál es elvolumen del prisma?b. El volumen de un prisma de base rectangulares 24 m3. Si el largo de la base es 4 m y suancho es 3 m, ¿cuál es la altura del prisma?c. Un cubo cuya arista mide 1 m tiene unvolumen de 1 m3. ¿Cuál es su volumenexpresado en cm3?d. ¿Cuántos cubitos de 1 cm de lado caben enun prisma de base cuadrada, si la arista de labase mide 5 cm y la altura mide 10 cm?e. Las dimensiones de un prisma de baserectangular son 3 m, 6 m y 5 m. ¿Cuál essu volumen?f. La altura de un prisma mide 10 cm y su base esun triángulo rectángulo, cuyos catetos miden5 cm y 8 cm. ¿Cuál es su volumen?2. ¿Qué opción muestra la equivalencia de uncentímetro cúbico?A. 10 mm3 B. 100 mm3 C. 1 000 mm3D. 10 000 mm33. Una caja de 20 cm de altura tiene como baseun pentágono regular, como el que se muestraen la figura.a. Calcula el área del pentágono.b. Calcula el volumen de la caja.c. La caja se llena de chocolates lograndoocupar el 90 % del espacio interior. ¿Cuál es elvolumen de los chocolates?d. Si 1 cm3de los chocolates tiene una masa de3,5 g, ¿cuál es la masa total de los chocolatesque están en la caja?e. Si la caja está forrada en papel de regalo, ¿cuáles la cantidad mínima de papel que se necesitapara forrarla?Ejercicios resueltos1. Encuentra el volumen de un prisma recto de base rectangular que tiene 15 cm de largo, 9,6 cm de ancho y4 cm de alto.El volumen de un prisma siempre se puede calcular multiplicando el área de la base por la altura.• En este caso, el área de la base es: 15 · 9,6 = 144 cm2.• Luego multiplicamos el área obtenida por la altura: 144 · 4 = 576 cm3.• El volumen del prisma es 576 cm3.2. Un prisma tiene por base un triángulo equilátero cuyo lado mide 7,44 cm, y la altura del prisma mide 10 cm.¿Cuál es el área total del prisma?La superficie total se calcula sumando las áreas de todas las caras del prisma.• Primero calculamos el área del triángulo, como es equilátero es:(7,442 )2· √3 ≈ 24 cm2.• Luego calculamos el área de una de las caras rectangulares: 7,44 · 10 = 74,4 cm2.• Como son 2 caras triangulares y 3 caras rectangulares, tenemos: 2 · 24 + 3 · 74,4 = 271,2.• La superficie total del prisma mide 271,2 cm2.Área y volumen de prismas rectos5,5 cm8 cmEjercicios y problemas propuestos
  • 99. Unidad3Unidad 3 – Geometría 994. Resuelve los siguientes problemas que involucranvolúmenes de prismas.a. Uno de los primeros computadores electrónicosmedía 15 m de largo, 4 m de ancho y 3 m dealto. Actualmente, un notebook puede medir30 cm de largo, 20 cm de ancho y 2 cm de alto.¿Cuántas veces mayor es el volumen del antiguocomputador respecto del notebook actual?b. Alejandro debe construir un estanquecon forma de prisma rectangular para quecontenga 48 m3de agua. Ha destinado paraello un espacio de 6 m de largo por 2 m deancho. ¿Qué altura debería tener el estanque?c. Un carpintero necesita cortar dados demadera de 3 cm de arista y dispone de unapieza de madera de 12 cm de largo, 9 cmde ancho y 15 cm de alto. ¿Cuántos de esosdados puede obtener como máximo?d. Una sala de un hospital mide 8 m de largo,5 m de ancho y 4 m de alto. Si se le cambia elaire cada 15 minutos, ¿cuántos metros cúbicosde aire se mueven en una hora?5. Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. ¿Cuál esel área del cubo? Marca la opción correcta.A. 4 cm2 B. 10,7 cm2 C. 16 cm2D. 96 cm26. Resuelve los siguientes ejercicios que involucranárea y volumen de prismas.a. Un prisma de base rectangular mide 3 cm deancho, 5 cm de largo y su altura mide 10 cm.¿Cuál es su área total?b. La base de un prisma es un triángulorectángulo, de catetos 3 cm y 4 cm y la alturadel prisma es el doble de la hipotenusa deltriángulo basal. ¿Cuál es su área total?c. ¿Cuál es la área total de un prisma de altura5 cm y cuya base es un hexágono de lado4 cm y apotema aproximado de 3,5 cm?d. El volumen de un prisma de base rectangulares 28 m3. Si su altura mide 5 m, ¿cuál es el áreade su base?e. Un prisma tiene una altura de 8 cm y una basecuadrada de lado x cm. Si su volumen es de288 cm3, ¿cuál es el valor de x?7. Resuelve los siguientes problemas.a. ¿Cuál es la área total de un dormitorio de3 m de largo, 1,5 m de ancho y altura 2 m?b. El rendimiento de un frasco de pinturacorresponde a una superficie de 2 m2. Si se vana pintar cubos cuya arista es de 6 cm, ¿cuántoscubos se alcanzan a pintar con un solo frascode pintura?c. Laura quiere forrar una caja de zapatos conpapel, sin la tapa, donde guarda sus materiales.Si las dimensiones de la caja son 20 cm deancho, 10 cm de alto y 30 cm de largo, ¿cuál esel área de papel que Laura necesita?d. Un prisma de base cuadrada, cuyas dimensionesson 9 cm de arista basal y 15 cm de altura,se corta de tal manera que se obtienen dosprismas idénticos de base triangular. ¿Cuál es elvolumen de cada uno de los prismas nuevos?e. Con el mínimo de papel que se necesita paraenvolver una caja de 10 cm por 8 cm por 4 cm,¿se puede envolver un cubo de arista 9 cm?Calcula cuánto falta o cuánto sobra.f. Jorge está construyendo un modelo de cubocon láminas de acrílico, el cubo tiene aristas de15 cm. La lámina de acrílico mide 1 m de largoy 50 cm de ancho. ¿Cuánto acrílico le sobra?g. Las dimensiones de un pliego de papel quecuesta $ 600 son 1 m y 60 cm. Si los pliegos depapel solo se venden completos, ¿cuánto segasta en envolver 12 cubos de 20 cm de arista?h. Una pequeña piscina tiene una superficie basalde 0,6 m2; cuando se sumerge una pelota, laaltura del agua sube 2 cm. ¿Cuál es el volumende la pelota?i. La figura muestra el corte transversal y lasdimensiones de un abrevadero para animales.Si su largo es 5 m y su profundidad es 80 cm,¿cuántos litros de agua puede contener?j. Si la arista de cada cubo mide 3 cm, ¿cuál esel volumen del cuerpo que se muestra en lafigura?, ¿y cuál su área?1 m60 cm
  • 100. Unidad 3 – Geometría1001. Calcula el volumen de cada pirámide.a. Base cuadrada de lado 6 cm y altura 4 cm.b. Base hexagonal de área 30 cm2y altura de lapirámide 1 m.c. Base en forma de triángulo equilátero de lado6 m y altura de la pirámide 8 m.d. Base en forma de pentágono regular de lado8 cm, apotema de 5,5 cm y altura 10 cm.e. Base en forma de triángulo rectángulo, cuyoscatetos miden 6 cm y 8 cm, y altura 10 cm.2. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de basecuadrada de 6 cm de lado y altura de 10 cm?Marca la opción correcta.A. 40 cm3B. 120 cm3C. 360 cm3D. 600 cm33. La pirámide de Keops, en Egipto, tiene 145 m dealtura, su base es cuadrada con arista basal de231 m y su apotema lateral mide 186 m.a. Calcula el volumen de la pirámide.b. Calcula el área de la pirámide.4. La red, que se muestra en la figura siguiente,corresponde a una pirámide de base cuadrada.Cada lado del cuadrado mide 24 cm y los lados delos triángulos isósceles que no coinciden con losdel cuadrado miden 36 cm.a. Calcula la altura que tendrá la pirámide una vezque esté construida.b. Encuentra el volumen de la pirámide.c. Encuentra el área total de la pirámide.5. Una pirámide de base cuadrada tiene un volumende 120 cm3. Si su altura mide 10 cm, ¿cuánto midela arista basal?Ejercicio resuelto1. Calcula el volumen de una pirámide que está construida sobre una basehexagonal con altura de 7 cm, como se muestra en la figura.• El hexágono está formado por 6 triángulos de base 4 cm y altura 3,46 cm.El área de cada triángulo es:(4 · 3,462 )= 6,92 y el área total del hexágonobasal es: 41,52 cm2.• Luego, multiplicamos el área obtenida por la altura: 41,52 · 7 = 290,64,dividimos este valor por 3 y obtenemos: 96,88 cm3que corresponde alvolumen de la pirámide.2. Calcula el área total de la pirámide del problema anterior.• El área del hexágono es 41,52 cm2, que ya se calculó en el problema anterior.• Cada cara es un triángulo isósceles de base 4 cm y altura 8,53 cm. Luegoel área de cada cara sería:(4 · 8,532 )= 17,06 cm2.• Multiplicamos por 6 para obtener el área de todas las caras laterales, deeste modo obtenemos: 102,36 cm2.• Una vez que sumamos el área del hexágono, obtenemos que el área totales 143,88 cm2.Área y volumen de pirámides3,46 cm7 cm 8,53 cm4 cmEjercicios y problemas propuestos
  • 101. Unidad3Unidad 3 – Geometría 1016. Resuelve los siguientes ejercicios.a. Una pirámide tiene 16 cm2como área de labase y su volumen es de 32 cm3. Determinasu altura.b. La base de una pirámide es un triánguloequilátero de lado 4 cm y de altura 3,5 cm,y su volumen es 21 cm3. ¿Cuál es la altura dela pirámide?c. ¿Cuál es el área total de la siguiente pirámidede base cuadrada? Puedes usar calculadora.d. Si la altura de la pirámide de la figura es de10 cm, ¿cuál es su volumen?e. El volumen de un cubo es 64 cm3. ¿Cuál debeser la altura de una pirámide de igual base eigual volumen?7. Dos pirámides A y B tienen base cuadrada. Lasmedidas de la base y la altura de la pirámide Bson el doble de las correspondientes medidasde la pirámide A. ¿Cuál es la relación entre elvolumen de la pirámide B y el de la pirámide A?Marca la opción correcta.A. Es el doble.B. Es el triple.C. Es cuatro veces mayor.D. Es ocho veces mayor.8. Resuelve los siguientes problemas.a. Un pisapapeles, hecho de bronce, tiene formade pirámide de base cuadrada, de 5 cm delado, y su altura es 6 cm. Si cada centímetrocúbico de bronce tiene 8,9 g de masa, ¿cuál esla masa del pisapapeles?b. ¿Cuánto papel se necesita para cubrir unapirámide de 10 cm de apotema, cuya base esun cuadrado de 8 cm de lado?c. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de basecuadrada de lado 16 cm y apotema lateral10 cm?d. Un cubo metálico de arista 6 cm se funde ycon todo el material se construye una pirámidede base cuadrada de 9 cm. ¿Cuál es la alturade la pirámide?e. Juan está haciendo una escultura de cobre,que consiste en un cubo de 50 cm de arista,sobre el cual se soldará una pirámide de baseigual a una cara del cubo y altura 20 cm.¿Cuánto cobre necesita Juan?f. Si la pirámide A tiene la misma base quela pirámide B, pero tiene el triple de sualtura, ¿qué puedes decir del volumen de lapirámide A respecto del volumen dela pirámide B?g. Ema guarda su plasticina formando un cubode 6 cm de arista, y ahora quiere moldearpirámides de base cuadrada, de modo que laarista basal y la altura de cada pirámide midan3 cm. ¿Cuántas pirámides puede moldear conla plasticina del cubo?h. Se quiere transportar una pirámide de vidrio,de base cuadrada de lado 18 cm y alturade 25 cm, en una caja de igual base y altura.El espacio entre la caja y la pirámide se llenaráde algodón. ¿Qué volumen de algodónse necesita?i. Camila quiere construir una pirámide conalambres y luego forrarla con papel devolantín. Si la base es un cuadrado de lado12 cm y la altura de cada cara es de 8 cm,¿cuánto alambre necesita?, ¿y cuánto papel?5 cm14 cm6 cm5,2 cm
  • 102. Unidad 3 – Geometría1021. En una parcela, una cabra está amarrada aun árbol con una cuerda de modo que puedealcanzar, como máximo, 4 metros a su alrededor.a. Si la cabra camina alrededor del árbol conla cuerda siempre tensa, ¿qué forma tiene elcamino que recorre?b. ¿Qué nombre geométrico recibe la región quedispone la cabra para comer?2. ¿Cuál es el nombre del segmento que unedos puntos de la circunferencia? Marca laopción correcta.A. Radio.B. Secante.C. Cuerda.D. Tangente.3. Observa la siguiente figura y da un ejemplo paracada elemento que se indica.a. Cuerda.b. Diámetro.c. Radio.d. Arco.e. Tangente a la circunferencia.f. Secante a la circunferencia.4. El número π se define como la razón:A. entre la longitud de una circunferencia ysu diámetro.B. entre la longitud de una circunferencia ysu radio.C. entre el diámetro de una circunferencia ysu longitud.D. entre el radio de una circunferencia ysu diámetro.5. Calcula la longitud de la circunferencia en cadacaso. Usa π aproximado a 3,14.a. Radio: 6 cmb. Diámetro: 20 cm6. Considera un círculo de radio r.a. ¿Cómo varía su perímetro si su radio aumentaal doble?b. ¿Cómo varía su perímetro si su radio disminuyea la mitad?7. En la siguiente figura, los cuatro sectorescirculares son idénticos y los centros de lascircunferencias son vértices de un cuadrado delado 8 cm. Calcula el área de la figura.Longitud de la circunferencia y área del círculoEjercicios resueltos1. Encuentra el perímetro de un semicírculo de diámetro 40 cm.• El radio del círculo mide 20 cm, utilizando π ≈ 3,14, se obtiene P = π · 2 · 20 ≈ 125,6 cm.• Como se refiere al semicírculo, se divide por 2, 125,6 : 2 = 62,8 cm, y, para completar el perímetro hay que su-marle el diámetro de 40 cm.• El perímetro total es 62,8 + 40 = 102,8 cm.2. Encuentra el área de un sector circular cuyo ángulo del centro mide 60º y su radio mide 6 cm.• El área del círculo completo es A = π · r2, en este caso se obtendría A ≈ 113 cm2.• Como el ángulo del centro es de 60º, ya que es la sexta parte de 360º, el sector circular pedido es la sextaparte del área del círculo. Luego, el área final es A = 1136≈ 18,83 cm2.Ejercicios y problemas propuestosCFEDGH IOBA
  • 103. Unidad3Unidad 3 – Geometría 1038. Calcula la longitud de los arcos correspondientesa los siguientes ángulos del centro, si el radio dela circunferencia mide 6 m. Usa π aproximadoa 3,14.a. 270ºb. 120ºc. 45º9. Encuentra el área aproximada de cada círculo.Usa π aproximado a 3,14.a. Radio: 5 cm.b. Diámetro: 30 m.c. Radio: 3,8 cm.d. Diámetro: 14 m.10. Responde las siguientes preguntas.a. Si el diámetro de un círculo aumenta al doble,¿en cuánto aumenta su área?b. Si el radio de un círculo aumenta al triple,¿en cuánto aumenta su área?11. Encuentra el radio aproximado de cadacircunferencia, dada el área que encierra cada una.Usa π aproximado a 3,14. Puedes usar calculadora.a. 80 cm2b. 2 m2c. 201 cm2d. 4,5 m212. En cada caso, calcula el área que se encuentraentre las dos figuras. Usa π aproximado a 3,14.a. b. c. 13. ¿Cuál es el área de la siguiente figura formada porun triángulo isósceles y un semicírculo? Usa π ≈ 3y marca la opción correcta.A. 238,5 cm2B. 355,5 cm2C. 360 cm2D. 477 cm214. Resuelve los siguientes problemas. Usa π ≈ 3.a. En una pizzería se fabrican pizzas redondaschicas y grandes, de igual espesor. La superficiede la pizza grande es el doble de la chica.Si el diámetro de la pizza chica es de 24 cm,¿cuál es el diámetro de la pizza grande?b. La cubierta de una mesa redonda tiene unárea aproximada de 2 m2. La señora Teresaquiere tejer un mantel circular que sobresalga20 cm del borde de la mesa. ¿Cuántodebe medir el diámetro de este mantel,aproximado al centímetro?c. Un abanico está formado solo por palitos enlos primeros 15 cm (desde el centro) y en lossiguientes 10 cm los palitos sostienen una telade encaje. Si el abanico se abre en 120º, ¿cuáles el área de la tela?d. Un regador está fijo en la tierra y esparce aguaen el círculo que lo rodea en un radio de 4,6 m.¿Cuál es el área que riega?e. Calcula el área sombreada de la figura que estáentre dos arcos de circunferencia cuyos centrosson vértices opuestos de un cuadrado de lado10 cm.f. La longitud de una circunferencia aumentóde 40π cm a 80π cm. ¿En cuántos centímetrosaumentó su radio?g. Un cuadrado cuyo perímetro es 16 cm tienesus cuatro vértices en una circunferencia. ¿Cuáles el área encerrada por esa circunferencia?8 cm4 cm13 cm18 cm60 m 70 m100 m190 m8 cm 10 cm16 cm
  • 104. Unidad 3 – Geometría1041. Calcula el resultado de los siguientes ejercicios.Usa π ≈ 3,14.a. Si el radio del cilindro A tiene el doble de lamedida del radio del cilindro B, ¿en qué razónestán sus volúmenes si tienen igual altura?b. Encuentra el volumen aproximado del cuerporepresentado en la siguiente figura.c. El radio de la base de un cono mide 4 cm y laaltura del cono es 3 cm. Calcula su área total.d. ¿Cuál es el volumen de un cono si su generatrizmide 13 cm y su altura, 12 cm?2. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su radiobasal mide a y su altura, el doble de su radiobasal? Marca la opción correcta.A. πa3B. 2πa3C. 4πa3D. 8πa33. El volumen de una esfera de radio 3 cm es 113 cm3,aproximadamente. Tres de estas esferas se ponendentro de un cilindro de diámetro basal 6 cm yaltura 18 cm. Usa π ≈ 3, 14 y responde.a. Calcula el volumen del cilindro.b. ¿Cuál es el volumen que queda sin ocupar porlas esferas dentro del cilindro?c. En ese espacio, ¿cabría otra esfera si esta sepudiera derretir?4. Resuelve los siguientes ejercicios.a. Las siguientes figuras representan lascaras de un cilindro. ¿Cuánto mide el largodel rectángulo?b. Un cilindro de metal de 40 cm de diámetro y10 cm de altura se funde para hacer un conodel mismo diámetro basal. ¿Cuál será la alturadel cono?c. Una torta de novios tiene tres pisos, cada unoen forma de cilindro. El primer cilindro tiene40 cm de diámetro, el segundo, 30 cm y eltercero, 20 cm. Todos tienen una altura de12 cm. Encuentra el volumen total de la torta.Usa π ≈ 3,14.d. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono quetiene radio basal 5 cm y volumen 300π cm3?e. ¿Cuántos vasos cilíndricos de 12 cm de alto ydiámetro interno de 6 cm se pueden llenarcon 3,5 litros de agua? Usa π ≈ 3,14.5. Cuando se saca la etiqueta que cubre la caracurva de un tarro de conservas y se estira, seobtiene un rectángulo. Si la altura del tarro esh y su radio basal es r, escribe la relación quehay entre:a. el largo del rectángulo y el radio de la base.b. el ancho del rectángulo y la altura del tarro.Ejercicios resueltos1. Calcula el volumen de un cilindro de diámetro basal 4 cm y altura 6 cm.• El radio de la base mide 2 cm, luego, el área basal es: π · 22≈ 3,14 · 22= 12,56 cm2.• Se multiplica el área basal por la altura: 12,56 · 6 = 75,36. Es decir, el volumen pedido es 75,36 cm3.2. Calcula el volumen de un cono de radio basal 6 m y altura igual al doble del diámetro basal.• En este caso, la altura es igual a 24 m, porque es el doble del diámetro.• El área basal es: π · 62≈ 3,14 · 62= 113,04 m2.• El producto del área basal por la altura es: 113,04 · 24 = 2 712,96 y al dividir por 3, ya que se trata de un cono,se obtiene: 904,32. Es decir, el volumen del cono es 904,32 m3.Área y volumen de cilindros y de conosEjercicios y problemas propuestos18 cm10 cm4 cm20 cm8 cm 8 cm
  • 105. Unidad3Unidad 3 – Geometría 1056. ¿Cuánto mide el radio basal de un cilindro, si suvolumen es 80π cm3y su altura es 5 cm? Marca laopción correcta.A. 4 cmB. 8 cmC. 16 cmD. 20 cm7. Determina si las siguientes expresiones sonverdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.a. La superficie de un cono es un tercio de lasuperficie del cilindro que tiene igual basey altura.b. Se llama generatriz a la altura del cono.c. Un cilindro puede contener el volumen detres conos de igual base y altura.d. El largo del manto de un cilindro es igual aldiámetro de la base.e. El manto de un cono es un triángulo isóscelesde lado igual a la generatriz.f. Si la altura de un cono diminuye a la mitad,su volumen también disminuye a la mitad.g. Si el radio basal de un cilindro aumenta aldoble, su volumen también aumenta al doble.8. Completa la información requerida para cadacono. Aproxima π a 3.a. El radio mide 4 cm, la altura 3 cm. Encuentrala medida de la generatriz, área del manto, áreatotal y volumen.b. El radio mide 7 cm, la generatriz 25 cm.Encuentra la altura, área del manto, área totaly volumen.c. La altura mide 15 cm, la generatriz mide 18 cm.Encuentra el radio, área del manto, área totaly volumen.d. El radio mide 5 cm y el volumen es de 300 cm3.Encuentra la altura, generatriz, área del mantoy área total.e. El radio mide 8 cm, la altura 6 cm. Encuentrala generatriz, área del manto, área totaly volumen.f. La altura mide 2 cm, la generatriz 6 cm.Encuentra el radio, área del manto, área totaly volumen.9. Resuelve los siguientes problemas. Aproxima πa 3,14.a. Se necesita poner etiquetas en la cara curva detarros de conserva de 8 cm de diámetro y 15 cmde altura. Se debe disponer de 2 cm de largoextra para poder pegar cada etiqueta. ¿Cuántoscm2de papel se necesita para cada etiqueta?b. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan parapintar por fuera todas las caras de un estanquecilíndrico de 10 m de diámetro y 15 m dealtura, si cada litro de pintura cubre 4,5 m2?c. En una amasandería, al cernir harina sobre elmesón se formó un cono de 1,8 m de diámetroy 65 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de laharina cernida?d. Si 1 m3puede contener 850 kg de harina,¿cuántos kilogramos de harina hay en el conodel problema anterior?e. Rosa y Luisa fabrican velas de cera. Rosa usaun molde cilíndrico de 5 cm de radio y 20 cmde altura y Luisa usa un molde con forma deprisma de base cuadrada de 10 cm por lado y20 cm de altura. ¿Quién usa menos cera paracada vela? ¿Cuánto menos?f. Una pirámide de base cuadrada de 4 cm dearista basal está inscrita dentro de un conode 6 cm de altura, tal como se muestra en lafigura. Calcula el volumen del cono.g. Un fabricante de conservas necesita decidirqué envase cilíndrico es mejor para suproducto. Si un cilindro es el doble de anchoque el otro pero la mitad del alto, ¿cuál de losdos envases tiene mayor capacidad? Explica.
  • 106. Unidad 3 – Geometría106Marca la opción correcta en los ítems 1 al 20.1. La figura está hecha con tres sectores circulares,cada uno igual a un cuarto de círculo. ¿Cuál es elárea de la figura, si se aproxima a un decimal?Usa π ≈ 3,14.A. 78,5 cm2B. 157,5 cm2C. 235,5 cm2D. 314,5 cm22. La siguiente figura está formada por un semicírculode 21 cm de radio y un triángulo equilátero. ¿Cuáles el perímetro de la figura? Usa π ≈ 227.A. 108 cmB. 132 cmC. 140 cmD. 150 cm3. ¿Cuál es el área total de este cilindro? Usa π ≈ 3.A. 4 500 cm2B. 6 660 cm2C. 13 140 cm2D. 52 020 cm24. Se tienen 8 cubitos de 3 cm de arista. ¿Cuántoscubitos más se necesitan para formar un cubo de9 cm de arista?A. 8B. 18C. 19D. 275. A un cubo de 6 cm de arista se le cortó, desdeun vértice, un cubito, de modo que el volumendel cuerpo es de 189 cm3. ¿Cuánto mide la aristadel cubito?A. 1 cmB. 3 cmC. 9 cmD. 27 cm6. La figura está compuesta por dos cuartos decírculo, de 14 cm de radio y otro cuarto de círculode 21 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro defigura? Usa π ≈ 227.A. 60,5 cmB. 77 cmC. 102,5 cmD. 119 cm7. ¿Cuál es el volumen de esta figura, compuestapor un cilindro y un cono, ambos de 20 cm dediámetro y de 10 cm de altura? Usa π ≈ 3.A. 2 000 cm3B. 3 000 cm3C. 4 000 cm3D. 16 000 cm38. Un estanque de base cuadrada de 20 cm dearista basal tiene agua. Si se agregan 4,2 L,el agua llega a una altura de 12 cm en elestanque. ¿Cuánta agua había antes?A. 350 mLB. 600 mLC. 3 800 mLD. 4 800 mL9. La razón entre los volúmenes de los cubos Ay B es 27 : 8. El volumen del cubo B es 64 cm3.¿Cuánto mide la arista del cubo A?A. 6 cmB. 8 cmC. 72 cmD. 243 cm10. Un octágono regular tiene 96 cm de perímetro.Si la apotema mide 14,5 cm, ¿cuál es el áreadel octágono?A. 696 cm2B. 348 cm2C. 174 cm2D. 87 cm2Preparando el SIMCE12 cm119 cm10 cm
  • 107. Unidad3Unidad 3 – Geometría 10711. ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada?Usa π ≈ 3,14.A. 31,4 cmB. 62,8 cmC. 78,5 cmD. 125,6 cm12. Si un cuadrado mide 400 cm de perímetro, ¿cuáles su área?A. 1 000 cm2B. 1 600 cm2C. 10 000 cm2D. 16 000 cm213. Se recortó un cartón rectangular según semuestra en la figura. ¿Qué área se le recortóal cartón? Usa π ≈ 3,14.A. 122,5 cm2B. 299 cm2C. 269,5 cm2D. 322 cm214. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de basecuadrada de 12 cm de arista basal y 7 cm de altura?A. 222 cm3B. 228 cm3C. 336 cm3D. 344 cm315. ¿Cuál es el área de un círculo si su diámetro mide12 cm? Usa π ≈ 3,14.A. 28,3 cm2B. 113,04 cm2C. 37,7 cm2D. 452 cm216. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de radio 3 cmy altura 7 cm? Usa π ≈ 3,14.A. 126 cm3B. 147 cm3 C. 198 cm3D. 252 cm317. Dado el cubo de 4 cm de arista, de la figura,¿cuánto mide AC, aproximado al centímetro?A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm18. ¿Cuál es el área de la región pintada?A. 16π cm2B. 2π cm2C. 4π cm2D. 8π cm219. ¿Cuál es el área de la figura, si cada arco es uncuarto de circunferencia? Usa π ≈ 3,14.A. 0,785 cm2B. 1 cm2C. 3,14 cm2D. 6,28 cm220. ¿Qué largo debe tener un estanque con forma deprisma de base rectangular, cuyas dimensionesson 3 m de ancho y 1,5 m de alto, para que puedacontener 45 000 L?A. 1 m C. 100 mB. 10 m D. 1 000 m21. La figura representa un poste (CD) sujeto por doscables, AD y DB. Con la información entregada,responde las siguientes preguntas.a. Aproximadamente, ¿a qué distancia seencuentran los extremos inferiores delos cables?b. ¿Cuánto cable se utilizó para sujetar el poste?20 cm28 cm14 cmAC1 cm2 cm45º8 cmDBCA8,49 m6 m8 m
  • 108. Unidad 3 – Geometría108Marca la opción correcta en los ítems 1 al 9.1. La figura consta de cuatro cuartos de círculo, deradio 5 cm. ¿Cuál es la expresión que representael perímetro de la figura, en función de π?A. (10 π + 5) cmB. (10 π + 10) cmC. (20 π + 5) cmD. (20 π + 10) cm2. La siguiente figura está delimitada por cuatrocuartos de círculos idénticos, cuyo radio es 8 cm.¿Cuál es el área sombreada? Usa π ≈ 3.A. 32 cm2B. 64 cm2C. 128 cm2D. 196 cm23. Los arcos de la figura son dos cuartos decircunferencia idénticos. ¿Cuál es el perímetrode la parte sombreada? Usa π ≈ 227.A. 44 cmB. 72 cmC. 88 cmD. 154 cm4. ¿Cuánto mide la base x del trapecio isósceles dela figura?A. 12 cmB. 18 cmC. 20 cmD. 28 cm5. El perímetro de un rombo es 40 cm y una de susdiagonales mide 12 cm. ¿Cuál es la medida de laotra diagonal?A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 16 cm6. El largo de un rectángulo es 2 cm más que elancho. La diagonal del rectángulo mide 10 cm.¿Cuál es el perímetro del rectángulo?A. 22 cmB. 28 cmC. 36 cmD. 44 cm7. ¿Cuál es el volumen de un cono si el diámetrobasal mide 18 cm y su altura 25 cm? Usa π ≈ 3,14.A. 236 cm3B. 1 413 cm3C. 2 120 cm3D. 8 478 cm38. ¿Cuál de estas figuras no tiene simetría rotacional?A. Un triángulo equilátero.B. Un eneágono regular.C. Un trapecio isósceles.D. Un pentágono regular.9. Al aplicar una traslación, se puede hacerque coincida exactamente sobre el originalsi se aplica a:A. una circunferencia.B. un triángulo equilátero.C. una recta.D. un pentágono.10. Resuelve los siguientes ejercicios.a. Si los catetos de un triángulo rectángulomiden 12 cm y 16 cm, ¿cuánto midela hipotenusa?b. Calcula el área sombreada en elsiguiente rectángulo, al que se lerecortó un paralelogramo.c. Encuentra las medidas de los ángulos α y β enel siguiente triángulo.Evaluación de síntesis de la unidad 310 cm15 cm12 cmx7,5 cm8 cm15 cm4 cm50º80ºαβ14 cm
  • 109. Unidad3Unidad 3 – Geometría 109d. Si la siguiente figura corresponde a unparalelogramo, ¿cuál es la medida de losángulos α y β?e. Determina el valor de los cuatro ángulos,utilizando la información de la figura.f. El radio de una circunferencia es 5 cm. Calculala longitud de la circunferencia y el área delcírculo correspondiente, si se aproxima π a 3,14.g. Una pirámide tiene una base cuadrada cuyaarista mide 12 cm y su altura es 8 cm, ¿cuál essu volumen?h. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si eldiámetro de su base es 4 cm y su altura10 cm? Usa π ≈ 3,14.i. Un prisma tiene por base un triánguloequilátero cuyos lados miden 4 cm y su altura6 cm. Calcula el área total.11. Resuelve los siguientes problemas.a. Juanita está entrenándose para correr enpatines en una pista circular de 20 m dediámetro. Si ella dio 20 vueltas a la pista,¿qué distancia recorrió? Usa π ≈ 3,14b. Un cono de metal de radio 4 cm y altura 12 cm,se fundió para hacer un cilindro del mismoradio, usando todo el metal. ¿Cuál es la alturadel cilindro?c. Las medidas de una pecera con forma deprisma de base rectangular son: 80 cm delargo, 60 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿Encuánto tiempo se llena de agua, si el caudalde la llave es 5,5 L por minuto?d. El dibujo muestra las calles A1, A2y A3paralelas, y las calles B1y B2también paralelas.Si Pedro va por B1y dobla por A3, el ángulo enque dobla mide 110º. ¿Cuál es la medida delángulo de giro desde A2a B2?e. Con 8 listones de madera, todos de iguallongitud, se quiere hacer un marco octogonal.¿Cuánto debe medir el ángulo entre doslistones contiguos?f. Se dispone de una escalera para alcanzar unaventana de un edificio que está a 6 m delsuelo. ¿A qué distancia del edificio, en el suelo,debo ubicar la escalera que mide 6,5 m?g. En un casino, usan un dispensador de jugocon forma de prisma de base rectangularque mide 30 cm de largo y 20 cm de ancho,el que ahora está a 45de su capacidad total.Para limpiarlo, decidieron trasladar el jugo aotro dispensador, de 40 cm de largo, 20 cm deancho y 15 cm de alto, que quedó lleno hasta elborde. ¿Cuál es la altura del primer dispensador?h. Para poner la bandera en el patio del colegio,se utilizará un cubo de cemento de 20 cmde arista al que se extrae un cilindro de radio4 cm y una altura de 12 cm, para poner elmástil en él. ¿Cuál es el volumen de hormigónque se necesita?i. Un CD mide 12 cm de diámetro y el diámetrode la zona transparente es de 5 cm, ¿cuál es elárea de la zona no transparente?x – 2078ºβ50 – xA1A2A3B2B1α
  • 110. Unidad 4 – Datos y azar1104UnidadDatos y azarHabilidades• Extraer información de datos organizados en tablas, gráficos de barras múltiples, gráficos de líneasy gráficos circulares.• Representar un conjunto de datos con tablas o gráficos.• Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas o en gráficos de distinto tipo.• Construir distintos tipos de gráficos, en forma manual y con herramientas tecnológicas.• Comparar información proveniente de distintos tipos de gráficos.• Construir tablas de frecuencia con datos no agrupados y agrupados en intervalos.• Resolver problemas interpretando información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupadosen intervalos.• Analizar las características de distintas muestras para inferir las características de una población.• Calcular medidas de tendencia central en forma manual y con herramientas tecnológicas, obtenidasa partir de datos no agrupados y agrupados en intervalos, e interpretar sus valores.• Identificar el espacio muestral de experimentos aleatorios simples, y encontrar su tamaño.• Utilizar el principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de distintos sucesos.• Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento utilizando la regla de Laplace.• Obtener probabilidades de sucesos a partir de datos empíricos.• El gráfico de barras múltiples nos permiterelacionar y comparar las frecuencias de dos omás categorías de datos similares.• El gráfico de líneas se utiliza para mostrar latendencia de una variable en un determinadoperíodo de tiempo.• Un gráfico circular consiste en un círculo divididoen sectores que representan el porcentaje decada categoría de una variable.• La frecuencia absoluta (fi) representa el númerode veces que se repite el i-ésimo valor, o i-ésimointervalo, de la variable en estudio.P ara recordarDatos y azarAnálisis dedatosObtención deinformaciónGráficosEspacio muestralTablas de frecuenciaSucesosTeóricasEmpíricasMedidas de tendencia centralMuestreoExperimentosaleatoriosProbabilidades
  • 111. Unidad 4 – Datos y azar 111• La frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la sumade las frecuencias absolutas observadas hasta eli-ésimo valor de la variable, o hasta el intervalo i.• La frecuencia relativa (hi) del i-ésimo valor dela variable, o del i-ésimo intervalo, correspondea la razón entre la frecuencia absoluta y el totalde datos de la muestra (n). La frecuencia relativaporcentual es la frecuencia relativa expresadaen porcentaje.• La frecuencia relativa acumulada (Hi) se obtienecalculando la suma de las frecuencias relativasobservadas hasta el i-ésimo valor de la variable,o hasta el intervalo i.• La marca de clase corresponde al promedio delos extremos del intervalo.• La media aritmética para datos agrupados sepuede calcular de la siguiente forma:x = suma (marca de clase por la frecuencia absoluta)n• La moda (Mo) corresponde al valor que tieneuna mayor frecuencia absoluta.Para datos agrupados:Mo = Li+fi– fi – 1( fi– fi – 1) + ( fi– fi + 1)· tLi: extremo inferior del intervalo modal (inter- valo que tiene la mayor frecuencia absoluta).fi: frecuencia absoluta del intervalo modal.fi – 1: frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.fi + 1: frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.t: amplitud de los intervalos.• La mediana (Me) de un grupo de datos corres-ponde al valor bajo el cual se encuentra el 50 %de los datos. Con los datos ordenados de formacreciente o decreciente, si el total de datos esimpar, la mediana será el valor central de losdatos, mientras que si el total de datos es par,la mediana será el promedio de los dosvalores centrales.Para datos agrupados:Me = Li+n2– Fi – 1fi· tLi: extremo inferior del intervalo mediano (primer intervalo en el cual la frecuencia absoluta acumulada es mayor a n2).fi: frecuencia absoluta del intervalo mediano.Fi – 1: frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano.• Población es el conjunto de todos los individuos,objetos u observaciones que poseen al menosuna característica en común.• Una muestra es un subconjunto de la población.Si los individuos que componen la poblaciónson muy distintos entre ellos se debe tomar unamuestra de tamaño más grande que en el casode que los individuos que componen la pobla-ción sean similares.• La representatividad de una muestra se refiere ala capacidad de reproducir a pequeña escala lascaracterísticas de la población.• El Censo es un estudio en el que se incluye atoda la población y que permite conocer lacantidad de habitantes y sus características.• El conjunto formado por todos los posiblesresultados de un experimento se llama espaciomuestral (Ω).• La cardinalidad del espacio muestral correspondea la cantidad de elementos contenidos en él.• Un evento o suceso es un subconjunto del espaciomuestral. Si ocurre siempre, se dice que es unsuceso seguro, mientras que si no ocurre nunca,se dice que es un suceso imposible. Se dice pro-bable o posible, cuando existe la probabilidadde que ocurra.• La probabilidad de un suceso o evento se refierea la posibilidad de que este ocurra.• Si en un experimento todos los sucesos tienen lamisma probabilidad de ocurrencia, se dice quelos sucesos son equiprobables.• Regla de Laplace: si en un experimento aleatoriolos sucesos son equiprobables, la probabilidadde un suceso A se calcula de la forma siguiente:P(A) = número de casos favorables al suceso Anúmero de casos totales• El principio multiplicativo señala que si un eventoA puede ocurrir de m maneras distintas y unevento B de n maneras distintas, entonces haym · n maneras de que ocurra A y a continuación B.• La frecuencia relativa de un evento es la razónentre el número de veces que ocurrió y elnúmero de veces que se realizó el experimento.A medida que aumenta el número de repeticionesdel experimento, la frecuencia relativa de unevento se aproxima al valor de su probabilidad.
  • 112. Unidad 4 – Datos y azar1121. Observa el siguiente gráfico:a. ¿Cuántos hombres practican básquetbol?b. ¿Cuántas mujeres no practican ningún deporte?c. ¿Cuál es el deporte que más practican lasmujeres de este colegio?d. ¿Cuál es el que menos practican los hombres?e. ¿Hay más hombres o mujeres que practicandeportes en este colegio?f. ¿Tienen los hombres y mujeres encuestadospreferencias similares acerca de los deportes?2. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad dealumnos de 5º a 8º básico de un colegio, querealizan algún deporte.a. ¿Qué ocurrió en los años 2003 y 2004 enrelación con los hombres?b. ¿Qué ocurrió entre los años 2001 y 2002 enrelación con las mujeres?c. ¿Cuál ha sido la tendencia a lo largo de losaños en ambos sexos?d. ¿Quiénes son más constantes en la práctica dealgún deporte?e. ¿Qué tipo de información puedes obtener deeste gráfico?Ejercicios resueltosEl siguiente gráfico muestra el número de hijos que tienen las familias de los estudiantes de 5º y de 7º básico deun colegio. Responde a partir de la información del gráfico.1. ¿En qué curso no hay familias con 6 hijos? Las barras de color anaranjado correspondena los estudiantes de 5º básico, y como nohay barra de este color en el caso de los6 hijos, entonces no hay familias con 6 hijosen los estudiantes de 5º básico.2. ¿Cuál es el total de familias encuestadas en7º básico?Sumando el número de familias de 7º básicocorrespondiente a cada barra se obtiene:6 + 3 + 8 + 5 + 4 + 3 = 29. Luego, el total de familias encuestadas en 7º básico es 29.3. ¿Qué cantidad de hijos fue la que más se obtuvo como respuesta a la encuesta?Para obtener el total de familias por cada cantidad de hijos, se deben sumar las familias de 5º y las de 7º.Luego se obtiene:Cantidad de hijos 1 2 3 4 5 6Familias 8 + 6 = 14 5 + 3 = 8 3 + 8 = 11 5 + 5 = 10 4 + 4 = 8 3Finalmente, la cantidad de hijos con mayor frecuencia fue 1. Es decir, 14 familias tienen solo un hijo.Gráficos de líneas y barras múltiples10864201 2 3 4 5 65º básico7º básicoNº de hijosNúmero de hijosNºdefamiliasDeportes que practican los alumnos en el colegioFútbolVoleibolBásquetbolTenisNinguno5101520253035404550HombresMujeresAlumnos que realizan deporteAñoNiñosNiñas30035002000200120022003200420052006200720082010501002502001502009Ejercicios y problemas propuestos
  • 113. Unidad 4 – Datos y azar 1133. En la siguiente tabla se muestran los porcentajesde personas que respondieron la pregunta: “¿Haconsumido alcohol o tabaco el último mes?”,en los años 2000 a 2008.2000 2002 2004 2006 2008Alcohol 54,4 59,6 57,9 58,1 49,8Tabaco 44 43,6 43,6 42,4 41,2Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011.En www.conace.cl.a. Realiza un gráfico de líneas que representeesta información.b. Realiza un gráfico de barras múltiples querepresente esta información.c. En general, ¿más personas consumen tabacoo alcohol?d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo detabaco a lo largo de los años?e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personasque consumió alcohol el último mes?Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puedeobtener de la tabla anterior?A. El consumo de alcohol presentó una mayordisminución que el consumo de tabaco.B. Más personas consumen alcohol que tabaco.C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes depersonas que consumieron tabaco y alcohol.5. En el gráfico se muestran las ventas realizadasen una casa comercial, durante los seis primerosmeses del año 2011. ¿Cuál de las siguientesalternativas es correcta?A. Las ventas mejoraron en febrero.B. Las ventas comenzaron a subir en marzo.C. Las ventas serán mejores en agosto.D. En febrero no hubo ventas.6. El saldo migratorio es la diferencia entre lasinmigraciones y las emigraciones en una regióndeterminada. En el siguiente gráfico se muestranlos valores del saldo migratorio de algunas regionesde Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones nose puede deducir del gráfico?Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultadoen junio de 2011. En www.ine.clA. En la Quinta región de Valparaíso se registraronmás inmigraciones que emigraciones.B. En la Undécima región de Aysén del GeneralCarlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmi-graciones fue similar a la de emigraciones.C. En la Décima región de Los Lagos inmigraronmás hombres que mujeres.D. En la Tercera región de Atacama fueron más lasmujeres que emigraron que las que inmigraron.7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de8º básico con notas bajo 4 en Matemática.Nº de alumnos con notas bajo 4 8º A 8º B1 3 12 0 13 0 14 1 25 2 0a. Realiza un gráfico de barras múltiples querepresente esta información usando unaplanilla de cálculo.b. ¿En qué curso hay más alumnos con notasbajo 4?c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje dealumnos con notas bajo 4?d. ¿En qué curso hay más alumnos con más dedos notas bajo 4?Unidad4800 000Ventas del primer semestre700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 0000EneroFebreroMarzoAbrilMayoJunioJulio15 000III V X XIHombresMujeres5 0000–5 000–10 000–15 00010 000VIII
  • 114. Unidad 4 – Datos y azar1141. En el siguiente gráfico se muestran los resultadosde una prueba de Inglés. Observa y respondelas preguntas.a. ¿Cuántos alumnos y alumnas rindieron laprueba de Inglés?b. ¿Cuántos alumnos y alumnas reprobaron laprueba de Inglés?c. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó laprueba de Inglés?d. ¿Qué porcentaje de estudiantes reprobó?e. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector quecorresponde a los reprobados?2. De acuerdo con el siguiente gráfico, respondelas preguntas.a. ¿Qué partido ganó?b. Considera un total de votantes de 600 personasy completa los datos de la tabla.Partido Nº de votos Porcentaje GradosABCDEjercicio resueltoEn un examen de Lenguaje, 110 estudiantes aprobaron el ramo y 10 lo reprobaron. Representa estos resultadosen un gráfico circular, indicando los porcentajes correspondientes.Para encontrar el ángulo del sector circular correspondiente a los que aprobaron, construimos una proporcióncomparando el total de estudiantes con el ángulo del centro de la circunferencia completa (360º), y el total deestudiantes que aprobaron con su respectivo ángulo x.Luego110120=x360. De aquí se obtiene que x =(110 · 360)120= 330.Entonces el ángulo correspondiente a los que aprobaron mide 330º y el correspondiente a los que reprobaron mide(360º – 330º) = 30º. Luego se construye una circunferencia y se determinan los sectores circulares correspondientes alos ángulos encontrados, con la ayuda de un transportador.Ahora, para obtener los porcentajes correspondientes alos estudiantes que aprobaron y a los que reprobaron,construimos una proporción comparando el total deestudiantes con el 100 % y el total de estudiantes queaprobaron con x %.Esto es,110120=x100. De aquí se obtiene quex =(110 · 100)120. 91,7, por lo tanto el porcentajede estudiantes que aprobó el ramo es 91,7 % y el porcentaje que reprobó es de (100 – 91,7) = 8,3 %.Gráficos circulares8,3 %91,7 %Alumnos que aprobaronAlumnos que reprobaron25AprobadosResultados prueba de Inglés 8º básicoReprobados9523 %Partido AResultados de la votaciónPartido BPartido CPartido D12 %35 %30 %Ejercicios y problemas propuestos
  • 115. Unidad 4 – Datos y azar 115Unidad43. En un colegio se realizó una encuesta respecto deltipo de comida que consumen los jóvenes de7º básico a 4º medio.a. Completa la siguiente tabla.Tipo de comida Porcentaje ÁnguloRápida 49 %Vegetariana 23 %Casera 28 %b. Realiza un gráfico circular para representar lainformación anterior.4. El último censo, realizado el año 2002, arrojó lossiguientes resultados respecto de la poblaciónpor grupos de edad:Grupo de edad Porcentaje Ángulo0 – 14 años 25,7 %15 – 59 años 62,9 %60 años y más 11,4 %Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002.Consultado en junio de 2011. En www.ine.cla. Completa la tabla anterior.b. En una planilla de cálculo copia los datosobtenidos y realiza un gráfico circular.5. En el siguiente gráfico se muestra la aprobaciónde los estudiantes al uso del uniforme escolar.¿Cuál es el total de encuestados?A. 36 C. 177B. 141 D. 1006. Respecto del gráfico anterior, el porcentaje dealumnos que desaprueba el uniforme escolar es:A. 100 % C. 79,66 %B. 36 % D. 20,34 %7. Realiza una encuesta en tu curso acerca del mediode transporte utilizado para llegar al colegio.a. Completa la siguiente tabla.Medio de transporte Total estudiantesPúblicoAutomóvilCaminandoTransporte escolarOtrosb. Construye un gráfico circular que representelos resultados que obtuviste.c. ¿Qué medio de transporte es el más utilizado?d. ¿Qué medio de transporte es el menos utilizado?8. En la tabla se muestran los deportes que practicanlos alumnos y alumnas de los octavos básicos deun colegio.Mujeres HombresFútbol 10 47Voleibol 20 38Básquetbol 11 30Tenis 8 18Ninguno 23 10a. Realiza un gráfico circular que represente larelación que existe entre las mujeres y hombresque no practican ningún deporte.b. Realiza un gráfico circular que representela relación entre mujeres y hombres quepractican fútbol.c. ¿Puedes representar en un solo gráfico circularla tendencia que existe para cada deporte enhombres y mujeres? Justifica tu respuesta.d. ¿Qué tipo de gráfico sería el más apropiadopara representar la información de la tabla?e. ¿Qué otras relaciones entre las variables deeste gráfico se pueden representar en ungráfico circular?f. Realiza un gráfico que represente los porcentajesde mujeres y hombres en los octavos básicos.141ApruebanDesaprueban36
  • 116. Unidad 4 – Datos y azar116Ejercicios resueltos1. Los alumnos de 8º básico han votado para elegir el color del polerón de curso que mandarán a hacer. Un 50 %votó por el color azul, un 30 % por el rojo y un 20 % por el verde. ¿Qué gráfico elegirías para representar losresultados de esta votación?Como en esta situación lo que se busca es comparar los porcentajes de preferencia de cada color, sería adecua-do utilizar un gráfico circular.2. Indica las variables y las relaciones que se analizan en cada gráfico.En el primer gráfico se observan dos variables: el sexo (hombres, mujeres) y el grado de sobrepeso de la persona(sobrepeso, obesidad y obesidad mórbida). Es decir, se analiza la relación entre el sexo y el grado de sobrepesocomparando los porcentajes de hombres y mujeres para cada categoría de sobrepeso.En el segundo gráfico se observan 2 variables: las semanas, y los casos de virus respiratorio sincicial. Por lo tanto, sebusca analizar si existe una relación entre la semana del año y el número de personas afectadas por el virus.1. En la siguiente tabla se muestran las temperaturasmáximas y mínimas de un día en 6 ciudades.Ciudad Tº máxima Tº mínimaIquique 21,4 ºC 16,2 ºCAntofagasta 18,2 ºC 14,9 ºCLa Serena 17 ºC 7,9 ºCValparaíso 18 ºC 10,1 ºCConcepción 15,6 ºC 2,7 ºCPunta Arenas 7,7 ºC 2 ºCa. ¿Qué tipo de gráfico utilizarías para representarde la mejor forma la información de la tabla?,¿por qué?b. ¿Qué variables se desean representar?c. ¿Cuáles son las variables independientes ycuáles las dependientes?d. ¿Qué se desea comparar entre estas variables?e. En una planilla de cálculo construye el gráficoque elegiste.f. ¿Podrías utilizar un gráfico circular para repre-sentar la temperatura máxima y mínima de lasseis ciudades? Justifica tu respuesta.g. ¿En qué ciudad se registró la temperaturamás baja?h. ¿En qué ciudad se registró la temperaturamás alta?i. ¿En qué ciudad existe una mayor variación enla temperatura?j. ¿En qué ciudad existe una menor variación enla temperatura?k. Escribe tres conclusiones que se puedan obte-ner de la información representada en la tablay en el gráfico que realizaste.l. Realiza un gráfico que represente la variaciónde temperaturas en cada una de las ciudades.¿Qué gráfico elegiste?, ¿por qué?Análisis e interpretación de gráficosObesidad en jóvenes mayoresde 15 añosNúmero de casos de virus respiratoriosincicial detectados por semana0 010050Sobrepeso1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ObesidadObesidadmórbida10 %20 %30 %40 %50 %HombresMujeresEjercicios y problemas propuestos
  • 117. Unidad 4 – Datos y azar 117Unidad4Unidad 4 – Datos y azarMarca la opción correcta en los ítems 2 al 4.2. Pedro, Juan y Diego están en un tratamiento porsobrepeso. ¿Cuál de las siguientes alternativasrepresentaría mejor la variación del peso de cadauno en los seis meses de tratamiento?A. Gráfico de barras.B. Gráfico de barras agrupadas.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico circular.3. Carolina tiene una tienda de artesanías. Si quieregraficar las ventas realizadas en los últimos 6 mesesdel año, ¿qué tipo de gráfico sería más adecuado?A. Gráfico de barras.B. Gráfico de barras agrupadas.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico circular.4. La profesora de un curso decide realizar un gráficocon el porcentaje de estudiantes que tienen supromedio de notas en distintos intervalos. ¿Quétipo de gráfico sería más adecuado?A. Gráfico de barras.B. Gráfico de barras agrupadas.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico circular.5. La profesora de un curso registró el número deinasistencias de sus alumnos y alumnas duranteel primer semestre.Mes Marzo Abril Mayo Junio JulioInasistencias 7 12 16 19 24a. ¿Qué relación crees que quiere analizar laprofesora con estos datos?b. ¿Qué gráfico crees que es el más adecuadopara analizar estos datos?c. Construye el gráfico que elegiste en b.d. ¿Qué podrías concluir a partir de los datos y delgráfico que construiste?e. ¿A qué crees que se debe la tendencia que sepresenta en los datos?f. ¿Cuántas inasistencias hubo entre marzoy julio?g. Si en el segundo semestre la cantidad deinasistencias fue la mitad que las del primersemestre, ¿cuántas inasistencias hubo elsegundo semestre?6. ¿Para cuál de los siguientes datos no es elgráfico de línea el más apropiado? Marca laopción correcta.A. Cantidad de alumnos que se inscriben cadames del año en un curso de manejo.B. Número de personas que mueren por ciertaenfermedad entre los años 2003 y 2011.C. Porcentaje de alumnos con y sin promediobajo 5 en un curso.D. Cantidad de accidentes de tránsito por mesdel año.7. Observa los siguientes gráficos.a. ¿Qué variables se observan en los gráficos?b. ¿En la mayoría de los cursos hay más hombreso mujeres?c. ¿Cuál de los gráficos no representa la mismainformación que los otros dos?d. ¿Cuál de los tres gráficos representa mejor lainformación que se quiere mostrar?e. Si en el 3º básico hay 36 estudiantes, ¿cuántasmujeres hay?, ¿cuántos hombres?f. Si en el 4º básico hay 40 estudiantes, ¿cuántoshombres hay en el curso?, ¿y cuántas mujeres?HombresMujeres45 %55 %Alumnos y alumnas de 4º básico0 %3º 4º 5º 6º 7º 8º20 %40 %80 %60 %HombresMujeresAlumnos y alumnas por curso0 %20 %40 %80 %60 %HombresMujeres3º 4º 5º 6º 7º 8ºAlumnos y alumnas por curso
  • 118. Unidad 4 – Datos y azar118Tablas de frecuencias1. En el cuadro se muestra la cantidad de mascotasque tienen 14 compañeros de curso.2 2 3 4 1 4 11 2 2 4 4 4 4a. Construye una tabla de frecuencias que incluyafrecuencia absoluta, frecuencia absolutaacumulada, frecuencia relativa y frecuenciarelativa acumulada.b. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantestiene 2 mascotas?c. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantestiene más de 2 mascotas?d. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantestiene a lo más 3 mascotas?e. ¿Cuál es el promedio de mascotas de estegrupo de compañeros y compañeras?f. ¿Cuál valor se repite más en las respuestas delos 14 niños y niñas?2. En la siguiente tabla se muestra el recuento de lasinasistencias de los estudiantes de un curso.Inasistencias 1 2 3 4 5 6Estudiantes 0 2 3 10 12 5a. De los estudiantes que han faltado a clases,¿cuántos tienen menos de cuatro inasistencias?b. ¿Cuántos estudiantes tienen cinco inasistenciaso más?c. ¿Cuántos alumnos y alumnas han faltado aclases seis veces o más?d. ¿Cuántos estudiantes han faltado a clases?e. ¿Cuál es la frecuencia relativa que correspondea 4 inasistencias?f. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada quecorresponde a 5 inasistencias?g. Si en el curso hay 36 estudiantes, ¿cuántosnunca han faltado a clases?h. Si la frecuencia relativa acumuladacorrespondiente a 3 inasistencias es 0,16,¿cómo interpretarías este valor?Ejercicio resueltoLos siguientes datos corresponden a las edades de un grupo de personas. Construye una tabla de frecuencias con5 intervalos a partir de los datos.4 16 10 32 15 48 41 38 22 47 27 39 37 34 32 35 28 26 31 4436 39 7 17 25 29 34 36 38 43 42 35 33 28 24 34 39 45 48 34Como las edades van desde los 4 hasta los 48 años, podemos tomar 5 intervalos de tamaño 10, partiendo desde los0 años hasta los 50. La marca de clase de cada intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y elsuperior de cada intervalo.Para calcular la frecuencia absoluta se cuentan los datos que se encuentran en cada intervalo, y luego se suman lasde cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia absoluta acumulada.Las frecuencias relativas corresponden al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos, en cada caso,y luego se suman las de cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia relativa acumulada.Edad Marca de clase F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada[0, 10) 5 2 2 0,05 0,05[10, 20) 15 4 6 0,1 0,15[20, 30) 25 8 14 0,2 0,35[30, 40) 35 18 32 0,45 0,8[40, 50) 45 8 40 0,2 1Ejercicios y problemas propuestos
  • 119. Unidad 4 – Datos y azar 119Unidad43. En la siguiente tabla de frecuencias se presentanlos promedios de notas de los estudiantes de8º básico de un colegio.NotaFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[1, 2) 1[2, 3) 5[3, 4) 21[4, 5) 33[5, 6) 25[6, 7] 12a. Completa la tabla de frecuencias.b. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menorque 4?c. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menorque 5?d. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio mayoro igual a 6?e. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene promediobajo 6?f. ¿Qué porcentaje de estudiantes tienepromedio mayor o igual a 4?g. Hay tres octavos básicos en el colegio. El 8º Ay el 8º B tienen igual cantidad de estudiantes,y el 8º C tiene un alumno más que el 8º A.¿Cuántos estudiantes tiene cada curso?Marca la opción correcta en los ítems 4 y 5.4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacionesson correctas?I. Los intervalos de una tabla de frecuenciasdeben tener la misma marca de clase.II. Los intervalos de una tabla de frecuenciasdeben tener la misma amplitud.III. El valor de la frecuencia absoluta de cadaintervalo es mayor que la frecuencia absolutadel intervalo anterior.IV. La frecuencia relativa del último intervalo essiempre igual a 1 o a 100 %.A. Solo II B. II y IV C. III y IVD. I y II5. Una tabla de frecuencias con datos agrupadosrepresenta:A. todos los datos en forma ordenada de mayora menor.B. un gran número de datos que se encuentranen intervalos de la misma amplitud.C. todos los datos en forma aleatoria.D. las frecuencias de los distintos intervalos devalores que toma una variable.6. Se realizó una encuesta a un grupo de personas yse les preguntó cuánto calzaban. Las respuestasfueron las siguientes:34 35 37 35 3732 38 38 36 3932 33 39 35 35a. Calcula el promedio de estos datos.b. Agrupa estos datos en intervalos de igualamplitud, considerando que el primer intervaloes [31, 34), y construye una tabla de frecuenciascon estos datos.c. ¿Cuántas personas calzan menos de 37?d. ¿Cuántas personas calzan 37 o más?e. ¿Qué porcentaje de estas personas calza 35?f. ¿Qué porcentaje de estas personas calza38 o menos?7. Los siguientes datos indican la estatura, encentímetros, de un grupo de estudiantes.149 152 160 158 160 158 162 156155 156 154 158 152 152 157 157143 147 150 152 155 155 149 154150 146 159 152 152 144 158 158a. Organiza estos datos en una tabla de frecuencias,en intervalos de tamaño 5. Considera el primerintervalo [143, 148).b. ¿Qué intervalo tiene mayor frecuencia?c. ¿Cuántos estudiantes miden de 153 a157 centímetros?d. ¿Cuántos alumnos y alumnas miden hasta152 centímetros?e. ¿Qué porcentaje de los estudiantes midede 143 a 147 centímetros?f. ¿Qué porcentaje de los alumnos y alumnasmide de 148 a 157 centímetros?
  • 120. Unidad 4 – Datos y azar1201. El tiempo en minutos que demoraron en dar3 vueltas a la cancha 28 estudiantes se registróen el siguiente cuadro.8 12 6 20 15 17 196 14 17 19 16 10 1111 8 9 8 13 15 127 8 14 13 11 10 10a. ¿Cuál es la moda de estos datos?b. ¿Cuál es la mediana de estos datos?c. ¿Cuál es la media de estos datos?d. Escribe estos datos en la columna A de unaplanilla Excel y calcula la media, escribiendo enuna celda “=promedio(a1:a28)”.e. Calcula la mediana, escribiendo en una celda“=mediana(a1:a28)”.f. Calcula la moda, escribiendo en una celda“=moda(a1:a28)”.2. En una competencia de básquetbol, en que sejugaron 7 partidos, el entrenador registró cadavez que encestaron Jorge y Raúl. La siguientetabla muestra estos datos.Partido 1 2 3 4 5 6 7Jorge 3 4 4 3 4 5 12Raúl 5 4 6 11 5 4 6a. ¿Cuántas veces, en promedio, encesta Jorgepor partido?b. ¿Cuántas veces encesta Raúl por partido,en promedio?c. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de vecesque encesta Jorge por partido?d. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de vecesque encesta Raúl por partido?e. Si queremos decidir quién es mejor jugador,¿qué medida es la más adecuada; la media,la moda, o la mediana?, ¿por qué?f. ¿Quién crees tú que es el mejor jugador?Ejercicios resueltos1. En la siguiente tabla se muestra el tiempo en minutos que seis alumnos han utilizado Internet durante tresdías de la semana.Alumnos Julio Felipe Mario Carlos Antonio TomásLunes 60 50 20 45 30 55Miércoles 45 30 50 50 45 50Viernes 15 10 15 25 30 20¿Cuál es la moda del día miércoles?El día miércoles, la cantidad de minutos que más se observa es 50, por lo tanto esta es la moda.2. Encuentra la mediana de la cantidad de minutos que ocuparon los alumnos entre el lunes y el miércolese interprétala.Para calcular la mediana, primero se deben ordenar todos los datos. Se obtiene:10 15 15 20 20 25 30 30 3045 45 45 50 50 50 50 55 60Luego, como el total de datos es par, la mediana corresponderá al promedio entre los dos valores centrales, esdecir, entre 30 y 45. Luego nos queda:30 + 452= 37,5. Finalmente, la mediana de la cantidad de minutos es 37,5.Es decir, el 50 % de las veces que los alumnos se conectaron a Internet ocuparon un tiempo menor a37,5 minutos.Medidas de tendencia centralEjercicios y problemas propuestos
  • 121. Unidad 4 – Datos y azar 121Unidad43. Los siguientes datos son los resultados de la PSUde los estudiantes de un colegio.751 660 570 760 714 793 815800 670 790 490 530 670 660750 751 560 560 800 830 760751 760 450 470 455 540 750660 650 550 655 800 750 670a. Calcula la media de estos datos.b. Determina la mediana de los datos.c. Encuentra la moda de estos datos.d. Construye una tabla de frecuencias con lossiguientes intervalos: (400, 500], (500, 600],(600, 700], (700, 800] y (800, 900].e. Calcula la media del puntaje en la PSU con losdatos de la tabla de frecuencias.f. Calcula la mediana de los puntajes en la PSUcon los datos de la tabla de frecuencias.g. Calcula la moda de los puntajes en la PSU conlos datos de la tabla de frecuencias.4. A partir de una encuesta realizada a un grupode alumnos y alumnas acerca del mes de sunacimiento, se obtuvieron los siguientes datos.Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun.Hombres 5 8 4 9 10 2Mujeres 13 8 8 2 5 13Mes Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.Hombres 7 12 11 17 13 7Mujeres 11 7 9 5 3 2a. ¿Cuántos hombres fueron entrevistados?b. ¿Cuántas mujeres fueron entrevistadas?c. ¿Cuál es el promedio de mujeres nacidascada mes?d. ¿Cuál es el promedio de hombres nacidoscada mes?e. ¿Cuál es la mediana de personas nacidaspor mes?f. Construye una tabla de frecuencias para eltotal de personas nacidas por mes, conlos intervalos: [8, 11), [11, 14), [14, 17), [17, 20)y [20, 23).5. Bruno tiene 5 notas en Matemática, y supromedio es 5,8. Si obtiene un 4,8 y un 6,8:a. ¿cuál es el promedio de este nuevo conjuntode notas?b. ¿existe diferencia entre este nuevo promedioy el anterior?, ¿a qué crees que se debe?6. El promedio de notas de un examen de Lenguajede un grupo de 15 alumnos fue 5,8, pero faltaron3 estudiantes. Luego ellos rindieron este exameny el promedio de todos los alumnos subió a 6.a. ¿Qué nota, en promedio, obtuvieron losestudiantes que faltaron?b. ¿Qué nota debe haber recibido cada uno delos 3 estudiantes para que el promedio entrelos tres sea el que obtuviste en a?7. En el gráfico se muestran las edades de un grupode personas. Construye la tabla de frecuenciascorrespondiente a la información presentadaen el gráfico.A partir de la información del gráfico y de la tabla defrecuencias que construiste, marca la opción correctaen los ítems 8 al 10.8. ¿Cuál es la media de estas edades?A. 16,5 C. 17,5B. 27,4 D. 26,99. ¿Cuál es la mediana de las edades?A. 25 C. 29,3B. 29,2 D. 29,610. ¿Cuál es la moda de las edades del grupode personas?A. 38,2 C. 31,7B. 36,4 D. 33,60[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)2468101214FrecuenciaEdad
  • 122. Unidad 4 – Datos y azar1221. Para las siguientes situaciones indica si se debeconsiderar a toda la población o solo una muestra.a. Se quiere estudiar el uso de cierto bloqueadorsolar en la población chilena.b. En un 8º básico se quiere saber cuáles son lasasignaturas favoritas de los estudiantes.c. Para elegir al presidente de un país, se quieresaber qué candidato es preferido por cada unode los habitantes.d. Los alumnos de un curso realizarán unavotación para elegir el regalo de cumpleañospara su profesora jefe.2. Para las siguientes situaciones indica si se haconsiderado una población o una muestra.a. Se realiza una encuesta telefónica acerca delas marcas favoritas de pasta de dientes.b. Se encuesta a todos los estudiantes de uncolegio para saber si prefieren al candidato Ao B como presidente del centro de alumnos.c. Se encuesta a un grupo de personas dedistintas regiones del país para saber quémarcas de chocolate prefieren.d. Se realiza una votación en un curso para elegiral presidente o presidenta de curso.e. Se encuesta a un grupo de personas de unaciudad para saber qué medio de locomociónpública prefieren.f. Se realiza una encuesta telefónica acerca dellugar preferido para vacacionar.3. A partir de las siguientes muestras indicacuáles serían las causas por las que no sonrepresentativas para un estudio.a. Una encuesta telefónica el sábado en lamañana para saber qué canal de televisiónes el favorito.b. Una encuesta en una estación de trenes parasaber qué medio de transporte interurbanoes el más utilizado.c. Una encuesta a los estudiantes de 8º básico deun colegio para conocer la aprobación de losalumnos y alumnas respecto de la gestióndel director.d. Una encuesta a 20 mujeres chilenas paraconocer cuáles son los equipos de fútbolfavoritos de los chilenos.e. Una encuesta a niños, niñas y jóvenes hasta18 años para conocer la opinión de los chilenosy chilenas acerca de distintas marcas deautomóviles.f. Una encuesta a niños y niñas hasta 12 añospara conocer las preferencias laborales delos chilenos.4. Indica una muestra representativa para lassiguientes situaciones.a. Se quiere saber la opinión de los alumnosacerca del nuevo himno del colegio.b. Se quiere estimar el porcentaje de la poblaciónchilena que utiliza el transporte público.Ejercicios resueltosPara cada una de las siguientes situaciones, indica si se debe considerar una población o una muestra.1. Se realiza una investigación para encontrar el número de personas infectadas con cierto virus en Valdivia.Como en este caso se quiere encontrar el número exacto de personas infectadas con el virus, será necesarioconsiderar a toda la población, ya que en el caso de tomar una muestra podrían existir personas infectadas quequeden fuera de ella.2. Se realiza una investigación sobre los equipos de fútbol que tienen más aceptación entre las mujeres de15 a 50 años en Chile.Para esta investigación basta con tomar una muestra aleatoria y representativa de todas las mujeres de 15 a 50 añosde la población chilena, para luego hacer una estimación a partir de los resultados obtenidos en la muestra.Estudios como este, en que la población que se quiere investigar es muy extensa, resultan muy costosos ytomaría mucho tiempo acceder a todas las personas de la población. Es por esto que se debe seleccionar unamuestra que represente de la mejor manera posible a la población.Poblaciones y muestrasEjercicios y problemas propuestos
  • 123. Unidad 4 – Datos y azar 123Unidad45. De un curso de 20 alumnos se obtuvieron lossiguientes datos.Nombre Estatura(cm)Masa(kg)Nombre Estatura(cm)Masa(kg)Carla 148 55 Esteban 167 69Marcela 152 68 Pedro 168 66Eva 155 52 Gonzalo 168 67María 155 60 Mateo 168 84Valeria 157 62 Jorge 170 75Mónica 158 52 Manuel 172 72Emilia 160 58 Ricardo 175 75Javiera 160 65 José 178 78Irene 164 70 Roberto 178 70Isidora 167 66 Rubén 180 90a. Calcula la media de la masa de los alumnos yalumnas del curso.b. Calcula la media de la estatura de los alumnosy alumnas del curso.c. Calcula la mediana de la masa de los alumnosy alumnas del curso.d. Calcula la mediana de la estatura de los alumnosy alumnas del curso.6. Considera ahora la muestra que corresponde atodos los estudiantes en posiciones impares enla tabla.a. Encuentra el promedio de la masa de losalumnos y alumnas de la muestra.b. ¿Se parece el promedio de la muestra alpromedio del curso completo? ¿Crees que esuna muestra representativa?, ¿por qué?7. Considera la muestra que corresponde solo a lasmujeres del curso.a. Encuentra el promedio de la estatura de lasalumnas de la muestra.b. ¿Se parece el promedio de la muestra alpromedio del curso completo? ¿Crees quees una muestra representativa?, ¿por qué?8. Considera la muestra que incluye solo a Carlay Esteban.a. Encuentra el promedio de la estatura de losestudiantes de la muestra.b. Encuentra el promedio de la masa de losestudiantes de la muestra.c. ¿Se parecen los promedios de la muestra alos del curso completo? ¿Crees que es unamuestra representativa?, ¿por qué?9. Considera ahora la muestra que incluye solo aIsidora y Rubén.a. Encuentra el promedio de la estatura de losestudiantes de la muestra.b. Encuentra el promedio de la masa de losestudiantes de la muestra.c. ¿Se parecen los promedios de la muestra alos del curso completo? ¿Crees que es unamuestra representativa?, ¿por qué?d. ¿Crees que importa el tamaño de la muestraa la hora de inferir acerca de una población?Justifica tu respuesta.Marca la opción correcta en los ítems 10 y 11.10. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la másindicada para recolectar información acercadel consumo de drogas en Chile, en jóvenes de15 a 25 años?A. Una encuesta a todos los alumnos de uncolegio en Santiago.B. Seleccionar una muestra aleatoria de jóvenesde 15 a 25 años de toda la población chilena.C. Una encuesta a toda la población chilena.D. Una muestra aleatoria de todos los habitantesde Chile.11. ¿En cuál de los casos siguientes se requiereconsiderar la población para realizar lainvestigación solicitada?A. Una investigación sobre el auto más vendidoen Santiago.B. Una investigación sobre el canal de televisiónfavorito de los habitantes de Valparaíso.C. Una investigación sobre la aceptación quetiene el entrenador de la selección chilena.D. Se quiere conocer la cantidad de estudiantesde los octavos básicos de un colegio, quetienen dos promedios insuficientes.
  • 124. Unidad 4 – Datos y azar124Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 19.Responde los ítems 1 al 3 a partir de la siguiente tabla.Porcentaje de la población por sexo segúnestado civil o situación conyugal actual.Censo 2002.Estado civil osituación conyugalTotal Hombres MujeresCasado(a) 46,2 47,5 44,8Conviviente 8,9 9,0 8,8Soltero(a) 34,6 37,1 32,2Anulado(a) 0,4 0,3 0,6Separado(a) 4,7 3,9 5,5Viudo(a) 5,2 2,2 8,1Total 100,0 100,0 100,0Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultado enjunio de 2011. En www.ine.cl1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?A. Existe un mayor porcentaje de mujeres solterasque de hombres solteros.B. El 46,2 % de los hombres está casado.C. El 47,5 % de las personas casadas son hombres.D. El 55,2 % de las mujeres no está casada.2. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puedeobtener de la tabla?A. El 4,7 % de la población es separada.B. El 9 % de los hombres son convivientes.C. El 32,2 % de las mujeres están solteras.D. El 3,9 % de las personas separadas son hombres.3. ¿Qué porcentaje de mujeres no están separadas?A. 5,5 % C. 95,3 %B. 94,5 % D. 96,1 %4. Si se quiere representar la mortalidad infantil delos años 2005 a 2010, ¿qué tipo de gráficoes el más adecuado?A. Gráfico de barras.B. Gráfico circular.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico de barras agrupadas.5. Observa el gráfico en el que se muestra la relaciónentre la hora y la temperatura en Santiago un díade otoño.¿Cuál de las siguientes conclusiones no sepuede obtener del gráfico?A. La temperatura más baja se presentó a las7:00 horas.B. Durante el día la temperatura presentó unaamplitud térmica de 15 grados.C. La temperatura fue aumentando con cadahora del día.D. El mayor cambio de temperatura se observóentre las 9 y las 10, y entre las 18 y las 19 horas.6. Consuelo recuerda que su promedio de notas es5,1 y que tiene: 3,3; 4,0; 6,0; 5,5 y 5,8. Sabe que lefalta recordar una nota, ¿qué nota es?A. 5,6 C. 6,5B. 5,4 D. 6,0Responde los ítems 7 al 9 a partir de la tabla.Notas [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]fi 5 15 20 6 47. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la frecuenciarelativa acumulada del intervalo [5, 6)?A. 0,12 C. 0,92B. 0,8 D. 18. ¿Cuál es el promedio de notas?A. 5 C. 3,78B. 4,28 D. 4,7307:008:009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:00510152025Temperatura
  • 125. Unidad 4 – Datos y azar 125Unidad49. La frecuencia absoluta acumulada correspondienteal intervalo [3, 4):A. representa la cantidad de alumnos con notasentre 3 y 4.B. es 0,3.C. es 0,04.D. representa la cantidad de alumnos con notasmenores a 4.10. Dos estudiantes quieren investigar sobre larelación entre el número de calzado de unapersona y su estatura. Si deciden recolectarinformación en su curso, ¿cuál de las siguientesalternativas es correcta?A. La muestra que ellos quieren tomar no essuficiente para su investigación.B. La muestra no es suficiente ni aleatoria paraesta investigación.C. La muestra es aleatoria.D. La muestra no es suficiente pero es aleatoria.Responde los ítems 11 al 15 a partir de la siguientetabla, que representa la cantidad de pan que compradiariamente un grupo de familias.Pan (kg) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6)fi10 15 6 3 111. ¿Cuál es la frecuencia absoluta acumulada delintervalo [4, 5)?A. 3 C. 31B. 34 D. 412. ¿Cuál es la media de la cantidad de pan?A. 1,5 kg C. 2,36 kgB. 1,85 kg D. 2,64 kg13. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de pan?A. 2,5 kg C. 2,71 kgB. 2,17 kg D. 2,36 kg14. ¿Cuál es la moda de la cantidad de pan?A. 2,5 kg C. 2,6 kgB. 2,64 kg D. 2,36 kg15. ¿Qué representa la frecuencia relativa acumuladade [3, 4)?A. El total de familias que compra menos de 4 kg.B. El total de familias que compra 3 kg.C. El porcentaje de familias que compra menosde 4 kg.D. El porcentaje de familias que compra 3 kg.16. El bibliotecario de un colegio registró el númerode libros prestados a 30 personas que visitaronla biblioteca.0 0 2 4 5 3 2 2 2 03 1 6 1 1 1 1 2 3 45 0 0 0 2 2 1 1 2 7¿Cuál es el promedio de libros prestados porpersona que visita la biblioteca?A. 2,625 C. 2,1B. 2 D. 3Responde los ítems 17 al 19 a partir de los datos delproblema anterior.17. ¿Cuál es el promedio de libros prestados porpersona, considerando solo a las personas que sípiden libros prestados?A. 2,625 C. 2,1B. 2 D. 318. ¿Cuál es la moda de libros prestados?A. 0 C. 2B. 1 D. 319. ¿Cuál es la mediana de libros prestados?A. 2 C. 3B. 2,5 D. 3,520. Esteban anotó en la siguiente tabla las edades deun grupo de personas.Intervalo de edades Frecuencia absoluta[0, 10) 8[10, 20) 11[20, 30) 7[30, 40) 3[40, 50) 1a. Completa la tabla de frecuencias.b. ¿Cuál es la moda de las edades?c. ¿Cuál es la mediana de las edades?d. ¿Cuál es el promedio de las edades?e. Construye un gráfico de barras que representelas frecuencias de cada intervalo de edad.f. Construye un gráfico circular que representelas frecuencias de cada intervalo de edad.
  • 126. Unidad 4 – Datos y azar1261. Describe el espacio muestral de los siguientesexperimentos y encuentra su cardinalidad.a. Se lanzan dos monedas.b. A partir de los dígitos 2, 5 y 8 se forman todoslos números de dos dígitos posibles.c. Se debe elegir entre los colores rojo, verde,amarillo y azul, para combinarlos con el blancoo el negro.d. Para un menú se forman todas las combinacio-nes de carne, pescado y cerdo con losacompañamientos: arroz, puré, tallarineso papas fritas.e. De una caja con bolitas azules, blancas y rojasse extraen dos bolitas con reposición.f. Se lanza un dado y una moneda.2. Determina los elementos de cada suceso.a. Experimento: lanzamiento de 2 dados.Suceso: la suma de los valores es par.b. Experimento: lanzamiento de un dado y unamoneda.Suceso: se obtiene una cara y un númeroimpar, respectivamente.c. Experimento: se extraen dos bolitas de unacaja con 7 bolitas azules, 4 verdes, 5 blancasy 1 roja.Suceso: la segunda bolita es roja.d. Experimento: se eligen al azar una consonantey una vocal del abecedario.Suceso: se extrae la letra P.e. Experimento: se lanzan 3 monedas.Suceso: sale al menos un sello.f. Experimento: se eligen al azar dos númerosdel 1 al 10, con reposición.Suceso: los números suman 6.3. Al tirar una moneda y un dado se obtienen lossiguientes resultados:1 2 3 4 5 6Sello (S, 1) (S, 2) (S, 3) (S, 4) (S, 5) (S, 6)Cara (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)a. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral?b. Escribe los elementos del suceso “obtener unacara y un número par”.c. Escribe los elementos del suceso “obtener unsello y un número menor que 4”.d. Escribe los elementos del suceso “obtener unnúmero mayor que 2”.e. Describe un suceso que tenga un elemento.f. Describe un suceso seguro.g. Describe un suceso imposible.Ejercicios resueltos1. En una heladería hay 3 tipos de helados: de manjar, frutilla y vainilla. Además, se pueden combinar con unade las 5 siguientes frutas: piña, plátano, durazno, mango y frambuesa. Si se quiere elegir un helado confrutas, ¿cuántas posibilidades existen?Se tienen 3 posibles sabores de helado para elegir y 5 frutas. Para obtener el total de posibilidades multiplicamos3 · 5 = 15. En total hay 15 posibilidades de elección.2. Ricardo, Isidora, Martín, Esteban y Natalia van a una fiesta. ¿Cuántas parejas de baile, de un niño con unaniña, se pueden formar entre ellos? Describe el espacio muestral.Con un diagrama de árbol podemos representar las posibles parejas.Como hay 2 mujeres y 3 hombres, calculamos la cantidad de parejas posibles multiplicando 2 · 3. Finalmente,son 6 las posibles parejas que se pueden formar para bailar.Espacios muestrales y sucesosIsidoraMartín EstebanRicardoNataliaMartín EstebanRicardoEjercicios y problemas propuestos
  • 127. Unidad 4 – Datos y azar 127Unidad44. En el casino de un colegio los alumnos puedenelegir ensalada de tomate, de zanahoria olechuga, carne de vacuno, pescado o polloy, de acompañamiento, arroz o puré.a. Si se debe elegir una de las carnes, una de lasensaladas y un acompañamiento, ¿cuál es lacardinalidad del espacio muestral?b. Escribe los elementos del suceso A: se eligeensalada de zanahoria.c. Escribe los elementos del suceso B: se eligeensalada de zanahoria y pescado.d. Escribe todos los elementos del suceso “ocurreA o B”.e. Escribe todos los elementos del suceso “ocurreA y B”.f. Escribe todos los elementos del suceso “noocurre ni A ni B”.g. Escribe los elementos del suceso C: se eligepescado o pollo.5. Considera el experimento de lanzar dos dadossimultáneamente. Escribe el espacio muestralcorrespondiente en cada caso.a. Interesa la suma de los valores obtenidos.b. Interesa el producto de los valores obtenidos.c. Interesa si la suma de los valores es par o impar.Marca la opción correcta en los ítems 6 al 10.6. Para un experimento con espacio muestralΩ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se define el sucesoA = {2, 4, 6, 8, 9}. ¿Cuáles son los elementos delsuceso “no ocurre A”?A. {2, 4, 6, 8, 9}B. {0, 1, 3, 5, 7}C. {0, 1, 3, 5, 7, 9}D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}7. Considera el experimento del problema anterior.¿Cuáles son los elementos del suceso “ocurre Ao no ocurre A”?A. {2, 4, 6, 8, 9}B. {0, 1, 3, 5, 7}C. {0, 1, 3, 5, 7, 9}D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}8. ¿Cuántos números de dos dígitos se puedenformar con los dígitos 4, 7, 9, 2 y 3 si sepueden repetir?A. 5 C. 10B. 25 D. 169. ¿Cuántos números de dos dígitos se puedenformar con los números del 0 al 6, si no sepueden repetir?A. 42 C. 49B. 36 D. 3010. Se extraen al azar 2 cartas de una baraja de naipeinglés. Indica en cuál de las siguientes situacionesel espacio muestral del experimento es:Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A}A. Interesa la pinta de ambas cartas.B. Interesa el número o figura que aparece encada carta.C. Interesa si sale o no una figura en cada carta.D. Interesa si la carta es o no un rey.11. Un grupo de 3 mujeres (Javiera, Consuelo yConstanza) y 2 hombres (Gabriel y Santiago)quieren ser los delegados de pastoral del curso.Si se debe elegir a dos estudiantes al azar:a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestraldel experimento?b. ¿cuáles son los elementos del espaciomuestral del experimento?c. ¿cuáles son los elementos del suceso“Constanza es elegida delegada de pastoral”?d. ¿cuáles son los elementos del evento “niConstanza ni Gabriel son elegidos delegadosde pastoral”?e. ¿a qué evento corresponde el conjunto{(Gabriel, Santiago)}?f. ¿a qué evento corresponde el conjunto{(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago)}?12. Considera la situación del ejercicio anterior.Si se debe elegir a un hombre y a una mujer alazar como delegados de pastoral:a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestraldel experimento?b. escribe los elementos del espacio muestral.c. ¿cuáles son los elementos del evento “Gabrieles elegido delegado de pastoral”?d. ¿cuáles son los elementos del suceso “Javierano es elegida delegada de pastoral”?e. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Javiera,Santiago), (Constanza, Santiago), (Consuelo,Santiago)}?f. ¿a qué evento corresponde el conjunto{(Consuelo, Santiago), (Consuelo, Gabriel)?
  • 128. Unidad 4 – Datos y azar1281. Se realiza el experimento de lanzar dos dados deforma simultánea.a. ¿De cuántas formas se puede obtener un 2y un 4? ¿Cuál es la probabilidad de que estesuceso ocurra?b. Se define el suceso A: la suma de los valoreses 5. ¿Cuáles son los elementos de A?, ¿cuál esla probabilidad de que ocurra?c. Se define el suceso B: la suma de los valores esmenor que 7. ¿Cuáles son los elementos de B?,¿cuál es la probabilidad de que ocurra?d. Se define el suceso C: la suma de los valores esimpar. ¿Cuáles son los elementos de C?, ¿cuáles la probabilidad de que ocurra?e. Se define el suceso D: la suma de los valores esmayor que 3. ¿Cuáles son los elementos de D?,¿cuál es la probabilidad de que ocurra?f. Se define el suceso E: el producto de los valo-res obtenidos es múltiplo de 3. ¿Cuáles son loselementos de E?, ¿cuál es la probabilidad deque ocurra?2. Considera el experimento de lanzar 4 monedasde forma simultánea.a. Si interesa la sucesión de caras y sellosobtenida, ¿cuál es el espacio muestral deeste experimento?b. Calcula la probabilidad de cada elemento delespacio muestral.c. ¿Este espacio muestral es equiprobable?,¿por qué?d. Si interesa la cantidad de sellos obtenidos,¿cuál es el espacio muestral del experimento?e. Calcula la probabilidad de cada elemento deeste nuevo espacio muestral.f. ¿Este nuevo espacio muestral es equiprobable?,¿por qué?g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más deun sello?h. ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos detres sellos?3. En una caja hay igual cantidad de bolitas blancas,negras, verdes y azules. Se realiza el experimentode extraer una bolita, devolverla a la caja y luegoextraer una segunda bolita.a. Representa en un diagrama de árbol el espaciomuestral de este experimento.b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero unabolita azul y luego una verde?c. ¿Cuál es la probabilidad de que la primerabolita sea negra?d. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitasextraídas sean del mismo color?Ejercicios resueltos1. Si hacemos girar la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en el color rojo?El círculo de la imagen está dividido en 8 sectores deigual tamaño, de los cuales solo uno está pintado decolor rojo.Luego la probabilidad de que salga rojo es:18= 0,125 = 12,5 %2. Si se lanza un dado de 8 caras con los números del 1 al 8 en sus caras, ¿cuál es la probabilidad de que salgaun número primo?Los números primos que se encuentran entre el 1 y el 8 son: 2, 3, 5, 7. En total son 4 números, es decir, tenemos4 casos favorables.Al lanzar el dado tenemos 8 posibles resultados, es decir, los casos totales son 8.Luego, la probabilidad de que salga un número primo es:48= 0,5 = 50 %.Probabilidad teórica de un sucesoEjercicios y problemas propuestos
  • 129. Unidad 4 – Datos y azar 129Unidad44. Se extraen dos cartas de una baraja de naipeinglés, con reposición.a. Si interesa la pinta de la carta extraída, ¿cuáles el espacio muestral de este experimento?Represéntalo en un diagrama de árbol.b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 cartasde trébol?c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo unacarta de corazones?d. ¿Cuál es la probabilidad de que la primeracarta sea de diamantes?5. Camila tiene 5 poleras y 4 pantalones, todos dedistinto color y 2 pares de zapatillas, unas verdesy otras negras.a. ¿Cuántas opciones de vestimenta tiene?b. Si una de las poleras es roja, ¿cuál es laprobabilidad de que elija la polera roja ylas zapatillas verdes?c. ¿Cuál es la probabilidad de que no elija lapolera roja?6. Teresa tiene en una bolsa 7 bolitas blancas y13 negras, y Jorge tiene en otra bolsa 8 bolitasblancas y 14 negras. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es verdadera?A. La probabilidad de extraer una bolita negrade la bolsa de Teresa es720.B. La probabilidad de obtener una bolita negrade la bolsa de Jorge es822.C. Es más probable obtener una bolita negra dela bolsa de Teresa que de la de Jorge.D. Es más probable obtener una bolita blanca dela bolsa de Teresa que de la de Jorge.7. En una caja se tienen bolitas con los números del0 al 9. Si se extrae al azar una bolita y sin devolverlase extrae otra, ¿cuál es la probabilidad de que conlos números de las bolitas se forme un númeropar y múltiplo de 9?8. Si sacamos una ficha de una bolsa que contienelos números del 1 al 20, ¿cuál es la probabilidadde que salga un número menor que 9?A. 920 C. 25B. 1120 D. 359. Pedro tiene 15 pares de calcetines en su cajón,de los cuales 8 son azules y 3 negros. Si saca delcajón un par de calcetines sin mirar, ¿cuál es laprobabilidad de que no sea negro?A. 815 C. 1215B. 45 D. 111510. Angélica tiene 10 cartas enumeradas del 1 al 10.Si la primera carta que saca sin mirar es un 6 y sindevolverla saca otra, ¿cuál es la probabilidad deque la siguiente carta sea mayor que 6?A. 410 C. 59B. 49 D. 51011. En un curso de 36 alumnos y alumnas, 25 deellos tienen 13 años y el resto 14. Además, hay19 mujeres, de las cuales 9 tienen 14 años. Si seelige un estudiante al azar:a. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga 14 años?c. ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombrede 13 años?d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea unamujer de 13 años?e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea unhombre de 14 años?12. Carolina, Marcela, Diego, Bernardo, Javier y Rominapreparan una fiesta sorpresa para un amigo, ydeciden elegir al azar a 2 personas para quecompren las cosas para comer.a. ¿Cuál es la probabilidad de que Marcela yJavier sean elegidos?b. ¿Cuál es la probabilidad de que Rominasea elegida?c. ¿Cuál es la probabilidad de que Diego nosea elegido?d. Si se eligen una mujer y un hombre al azar,¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?e. Si se eligen una mujer y un hombre al azar,¿cuál es la probabilidad de que Bernardosea elegido?f. Si se eligen dos hombres al azar, ¿cuál es laprobabilidad de que Javier no sea elegido?
  • 130. Unidad 4 – Datos y azar1301. Describe las siguientes situaciones utilizando laspalabras “seguro”, “probable” e “imposible”.a. Habrá un feriado el 25 de diciembre.b. Camila da 5 vueltas a la cancha enmedia hora.c. Una persona no puede vivir 200 años.d. Juan se saca un 7 en la prueba de Matemática.e. Las vacaciones serán en enero y febrero.2. Indica si los siguientes sucesos son seguros,probables o imposibles.a. Sale un 3 al lanzar un dado.b. Se lanzan dos dados y la suma de los valoresobtenidos es 15.c. Se lanza una moneda y sale cara.d. Se saca una bolita negra de una bolsa quetiene 49 bolitas blancas y 1 negra.e. Se saca una bolita roja de una bolsa que tiene10 bolitas rojas.f. Se lanza un dado y una moneda y salendos caras.g. Se extrae una carta de naipe inglés y saleuna carta de trébol roja.3. Nombra 2 ejemplos de sucesos seguros.4. Nombra 2 ejemplos de sucesos probables.5. Nombra 2 ejemplos de sucesos imposibles.6. Para cada una de las siguientes situaciones defineun suceso seguro, uno probable y uno imposible.a. Camila va al colegio y rinde una pruebade Matemática.b. Se lanza un dado no cargado.c. Se lanza una moneda.d. Se lanzan dos dados no cargados.e. Se lanzan tres monedas.f. De una caja con 10 bolitas, de las cuales 1es negra, 2 son blancas, 3 son verdes y 4 sonrojas, se extrae una bolita al azar.g. Se lanzan dos dados y una moneda.h. De un grupo de 5 personas, de las cuales3 son mujeres, se eligen 3 al azar.i. Se elige uno de los 3 colores primarios.j. Se eligen dos letras del abecedario al azary sin reposición.k. Se lanzan dos dados de 6 caras, con losnúmeros 2, 2, 4, 6, 8 y 9 en sus caras.7. María tiene 5 cartas de corazón con números entre5 y 9 (ambos incluidos) boca abajo sobre unamesa. Luego toma una de estas cartas al azar sinmirarla. Indica si los siguientes sucesos son segu-ros, probables o imposibles.a. María saca una carta menor que 10.b. María extrae una carta con un número par.c. María saca una carta con el número 10.d. María extrae una carta con un número menorque 9.e. María extrae una carta con un número menorque 5.Ejercicios resueltos1. Para el experimento aleatorio de lanzar un dado y una moneda, define un suceso seguro, un suceso probabley un suceso imposible.Sean los eventos A: “se obtiene un 7 y una cara”, B: “se obtiene un número par y un sello” y C: “se obtiene unnúmero menor que 10”.El evento A no puede ocurrir, ya que en el dado no aparece el número 7, por lo tanto, su probabilidad es 0 y esun suceso imposible.El evento B sí puede ocurrir, ya que el dado incluye números pares y en la moneda sí aparece un sello. Es decir,es un suceso probable.El evento C siempre ocurre, ya que todos los valores que aparecen en un dado son menores que 10. Por lo tanto,es un suceso seguro y su probabilidad es 1.2. Se tienen en una bolsa cinco papeles con las vocales escritas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la vocal E?Como tenemos cinco vocales y una sola vocal E en la bolsa, la probabilidad es15= 0,2.Sucesos seguros, probables e imposiblesEjercicios y problemas propuestos
  • 131. Unidad 4 – Datos y azar 131Unidad48. Indica si los siguientes sucesos son imposibles,poco probables, probables, muy probables oseguros. Considera como poco probable a unsuceso con probabilidad menor a 14, y comomuy probable a un suceso con probabilidadmayor a 34.a. Al lanzar dos dados la suma de los valoresobtenidos es par.b. Se extrae al azar una letra del abecedario y saleuna vocal.c. De una bolsa con 40 bolitas negras se extraeuna bolita roja.d. De una caja con 20 fichas negras y 4 blancas seextrae una ficha blanca.e. De una bolsa con 10 fichas verdes y 10 rojas seextrae una ficha verde.f. Se lanzan tres monedas y se obtiene al menosuna cara.g. De un estuche con cinco lápices azules, unorojo y uno verde, se extrae al azar un lápiz verde.h. De un curso de 33 estudiantes de los cuales17 son hombres, se elige al azar a un encargadode pastoral que es una mujer.i. Se lanzan dos dados y la suma de los valores esmenor que 14.9. Para el experimento de lanzar 4 monedas al azar,indica cuál de los siguientes sucesos es másprobable que ocurra. Marca la opción correcta.A. Salen 4 caras. C. Salen 4 sellos.B. Salen 3 sellos. D. Salen 2 caras.10. Cristina tiene en su bolsillo cinco monedas de$ 100, tres de $ 500 y dos de $ 50. Determina quétipo de suceso es el que corresponde a elegir unamoneda de $ 100.A. Imposible. C. Seguro.B. Probable. D. Poco probable.11. Indica qué tipo de suceso es el que corresponde aelegir una moneda de $ 10 del bolsillo de Cristina.A. Imposible. C. Seguro.B. Probable. D. Poco probable.12. Considerando la situación anterior, ¿qué tipo desuceso es el que corresponde a extraer 3 monedasque sumen $ 150?A. Imposible. C. Seguro.B. Probable. D. Poco probable.13. En el siguiente gráfico se representan las edadesde un grupo de personas.Si se elige una persona al azar, indica la proba-bilidad de cada situación utilizando la mismaclasificación que en el ejercicio 8.a. La persona elegida tiene menos de 10 años.b. La persona elegida tiene más de 10 años.c. La persona elegida tiene 45 años.d. La persona elegida tiene una edad menor oigual a 30, pero mayor que 20.e. La persona elegida tiene más de 40 años.14. En una caja de 40 bombones, un cuarto son dechocolate amargo y el resto de chocolate dulce.De los dulces hay igual cantidad con relleno defrutilla, manjar y menta. En total, hay 16 rellenosde manjar y 2 bombones de chocolate amargocon relleno de menta.a. Construye una tabla de doble entrada querepresente la situación.b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombónde chocolate amargo relleno de manjar?c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombóncon relleno sabor a frutilla?d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombónde chocolate dulce relleno de manjar?15. A partir de la situación anterior, ¿cuál de lossiguientes sucesos es más probable?A. Extraer un bombón con relleno de frutilla.B. Extraer un bombón amargo con rellenode menta.C. Extraer un bombón dulce con rellenode menta.D. Extraer un bombón de chocolate dulce.(0, 10](10, 20](20, 30](30, 40](40, 50](50, 60]13 %0 %22 %33 %30 %2 %
  • 132. Unidad 4 – Datos y azar1321. Indica si los elementos de cada espacio muestralson o no equiprobables.a. Lanzamiento de una moneda.b. Lanzamiento de dos dados. Interesa si la sumade los valores obtenidos en los dados es paro impar.c. Se extrae una carta de un naipe inglés de52 cartas. Interesa si la carta es o no de trébol.d. Se extrae una bolita al azar de una bolsa con10 bolitas amarillas y 5 verdes. Interesa el colorde la bolita extraída.e. Se elige una carta de naipe inglés. Interesa si lacarta es o no una figura.f. Lanzamiento de 3 monedas. Interesa la canti-dad de sellos obtenida.g. De un curso con 38 estudiantes, de los cuales19 son hombres, se elige uno al azar. Interesasaber si la persona elegida es hombre o mujer.2. Lanza un dado la cantidad de veces queindica la tabla y completa con la cantidad deveces que se obtuvo cada resultado.1 2 3 4 5 610 veces20 veces40 veces50 vecesa. ¿Para qué cantidad de lanzamientos lasfrecuencias relativas de cada valor sonmás parecidas?b. A partir de los resultados de los 10 lanzamientos,¿cuál es la probabilidad de obtener un 3?c. A partir de los resultados de los 50 lanzamientos,¿cuál es la probabilidad de obtener un númeromenor que 5?Ejercicios resueltos1. Al tirar dos dados 300 veces, uno rojo y el otro azul, se obtuvieron los siguientes resultados. ¿Cuál es laprobabilidad de que en un próximo lanzamiento la suma de los valores obtenidos sea 5?Los posibles resultados en los que se obtiene una suma iguala 5 son: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).Los casos favorables serán la cantidad de veces que seobtuvieron estos resultados, es decir:6 + 13 + 16 + 9 = 44Los casos totales son la cantidad de lanzamientos realizados,es decir, 300. Luego, la probabilidad de que en el próximolanzamiento la suma de los valores sea 5 es:44300= 0,147 = 14,7 %2. Emilia le ha pedido a 20 amigos y amigas que elijan un color entre el rojo, azul, verde y amarillo. ¿Cuál es laprobabilidad de que el próximo amigo al que le pregunte prefiera el color rojo?Ingresa los siguientes datos en una planilla de cálculo.Escribe en A7 “=contar.si(A1:D5;”Rojo”)” y aparecerá en la celda el total de veces que se obtuvo el color rojo.Luego en la celda A8 escribe “=A7/20” y presiona enter. El resultado será520= 0,25.Probabilidades a partir de datos empíricos  1 2 3 4 5 61 5 8 10 6 3 92 5 4 13 13 5 83 8 16 9 9 7 124 9 5 7 11 4 115 10 8 15 6 5 56 12 6 11 9 8 8Ejercicios y problemas propuestos
  • 133. Unidad 4 – Datos y azar 133Unidad43. A partir de los resultados que obtuviste al realizar50 lanzamientos de un dado, completa la siguientetabla. Luego, responde.ResultadoFrecuenciarelativaFrecuencia relativaacumulada123456a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 allanzar este mismo dado?b. Si vuelves a lanzar el mismo dado, ¿cuál es laprobabilidad de obtener un 6? ¿Qué valor de latabla te entrega esta probabilidad?c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valormenor que 4? ¿Qué valor de la tabla te entregaesta probabilidad?d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valormenor o igual a 4? ¿Qué valor de la tabla teentrega esta probabilidad?e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valormayor que 1 y menor que 5?f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valormayor que 2?4. Simula 30 lanzamientos de un dado en una planillade cálculo de la siguiente forma:Escribe en la celda A1 “=aleatorio.entre(1;6)” y copiala instrucción en toda la columna hasta la celdaA30. Los números que aparezcan en las celdasserán los resultados obtenidos por el dado.a. Calcula la probabilidad de obtener un 6, usandola planilla de cálculo, escribiendo en la celdaB1 “contar.si(A1:A30;6)” y luego dividiendo estevalor por el total de datos.b. Calcula de esta misma forma la probabilidadde obtener un 4.c. Calcula de esta misma forma la probabilidadde obtener un 1.d. Calcula la probabilidad de sacar un númeromenor que 3 de la siguiente forma: en lasceldas B6 y B7 obtén la cantidad de veces quesalió un 1 y un 2, luego en la celda B8 escribe“=suma(B6;B7)” y divide la cantidad obtenidapor el total de datos.5. Ignacio tiene 50 dulces en una bolsa y saca unosin mirar. Luego anota en una tabla el tipo dedulce que sacó y lo vuelve a poner en la bolsa.Él repite esto 100 veces y obtiene la siguiente tabla.Menta 40Frambuesa 23Limón 23Naranja 14¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?A. Hay 40 dulces de menta en la bolsa.B. Es probable que haya menos dulces de naranjaen la bolsa que de los otros sabores.C. Solo hay cuatro tipos de dulces dentro dela bolsa.D. La cantidad de dulces de limón que hay en labolsa es la misma que la cantidad de dulcesde frambuesa.6. Si Juan ha lanzado una moneda 50 veces y hasalido sello 22 veces, ¿cuál es la probabilidad deque salga cara? Marca la opción correcta.A. 0,22 C. 0,56B. 0,5 D. 0,447. En la siguiente tabla se muestra la cantidad denacimientos de un país en un año, según laedad de la madre y el sexo del recién nacido.Edad de lamadreHombres Mujeres< 15 510 60015 - 19 24 001 23 41920 - 24 32 519 30 95625 - 29 33 219 35 00730 - 34 23 419 24 31235 - 39 15 619 16 99840 - 44 5 015 5 12045 - 49 207 207a. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre delpróximo niño o niña que nazca en este paístenga menos de 15 años?b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximorecién nacido sea mujer?c. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre delpróximo recién nacido hombre tenga más de39 años?
  • 134. Unidad 4 – Datos y azar134Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 20.1. ¿Cuál de los siguientes es un evento seguro?A. Al lanzar un dado sale un número menorque 6.B. Al lanzar una moneda sale una cara.C. Al lanzar dos dados el producto de los valoreses menor que 30.D. Al lanzar dos dados la suma de los valores esmayor que 1.2. ¿Cuál de los siguientes es un evento imposible?A. Al lanzar dos dados la suma de los valoresobtenidos es mayor o igual a 12.B. Al lanzar dos monedas salen 2 caras.C. Al lanzar dos dados el producto de los valoresobtenidos es 27.D. Al lanzar dos dados el producto de los valoresobtenidos es 18.3. Se lanzan 3 dados. Si interesa la cantidad denúmeros pares obtenidos, ¿cuál es el espaciomuestral del experimento?A. Ω = {0, 1, 2, 3}B. Ω = {2, 4, 6}C. Ω = {222, 224, 226, 242, 244, 246, 262, 264, 266, 444, 442, 446, 424, 424, 426, 462, 464, 466, 666, 662, 664, 622, 624, 626, 642, 644, 646}D. Ω = {1, 2, 3}4. Se lanzan 2 monedas. ¿Para cuál de las siguientessituaciones el espacio muestral es Ω = {0, 1, 2}?A. Interesa la sucesión de caras y sellos.B. Interesa el total de sellos obtenidos.C. Interesa si la cantidad de sellos es o no igual ala de caras.D. Interesa si el total de caras es o no mayorque 2.5. Si la probabilidad de que un evento ocurra es0,38, ¿cuál es la probabilidad de que este eventono ocurra?A. 38 % C. 72 %B. 62 % D. 50 %6. En un ramo hay 14 flores: 4 rojas, 8 amarillasy 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacaruna flor roja?A. 28,6 % C. 57,1 %B. 40 % D. 71,4 %7. Se extrajo 20 veces una bolita de una bolsacon bolitas rojas y verdes. Los siguientes sonlos resultados:R R V V R V R R R R V V R R R V V V V R¿Cuál es la probabilidad empírica de que lapróxima bolita sea verde?A. 1120 C. 920B. 919 D. 11198. Si en una caja hay 5 cubos negros, 3 blancos y2 verdes, ¿cuál es la probabilidad de que alextraer uno al azar no sea verde?A. 80 % C. 8 %B. 20 % D. 70 %9. Joaquín y Sergio juegan a las cartas. Si Sergiogana 12 veces, pierde 25 y empata 13, ¿cuál es laprobabilidad de que gane el próximo juego?A. 12 % C. 25 %B. 24 % D. 75 %10. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidadde que al sumar los puntos se obtenga unnúmero primo?A. 49 C. 736B. 512 D. 113611. Entre los estudiantes de un curso se sortea unlibro de astronomía. Si en este curso hay 19 niñasy 21 niños, ¿cuál es la probabilidad de que se logane una niña?A. 0,525 C. 0,21B. 0,19 D. 0,47512. Si elegimos al azar un número del 1 al 20, ¿cuáles la probabilidad de que salga un número parmenor que 12?A. 49 C. 1120B. 310 D. 1413. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos, conrepetición, se pueden formar con los números6, 7, 2, 4 y 1?A. 15 C. 125B. 75 D. 36
  • 135. Unidad 4 – Datos y azar 135Unidad414. Se tienen varios cubos en una caja y se extraen30 cubos, de a uno, con reposición. Se obtuvieronlos siguientes resultados.Azul Amarillo Verde Rojo Naranjo7 3 11 4 5¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?A. Hay solo 11 cubos verdes en la caja.B. Es imposible que haya cubos negros en la caja.C. No se sabe si hay cubos blancos en la caja.D. Es muy probable que haya más cubosamarillos que verdes en la caja.15. En una bolsa hay fichas con todas las vocales yen otra bolsa hay fichas con los números del 1 al15. Si se saca una ficha de cada bolsa, ¿cuál es eltamaño muestral del experimento?A. 20 B. 75 C. 15D. 3516. En el experimento anterior, la probabilidad desacar la vocal E y un número par es:A. 9 % B. 29 % C. 20 %D. 7 %17. ¿Cuántos elementos tiene el suceso delejercicio anterior?A. 9 B. 15 C. 7D. 518. En el experimento del ítem 15, ¿cuál es laprobabilidad de extraer una A o una E y unnúmero primo?A. 0,133 B. 0,187 C. 0,16D. 0,21319. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dadosel producto de los valores sea múltiplo de 4?A. 0,194 B. 0,306 C. 0,417D. 0,33320. ¿En cuál de las siguientes cajas existe mayorprobabilidad de sacar al azar una bola roja?A. Caja A C. Caja CB. Caja B D. Caja D21. Alejandro puede elegir entre los autobuses A, By C para ir desde el colegio a la casa de Paulina.Para ir desde la casa de Paulina hasta su casa,puede elegir entre D, E, F y G. Si un día Alejandrodecide ir a la casa de Paulina después de clasesy luego volver a su casa:a. ¿de cuántas formas puede hacerlo?b. ¿cuál es la probabilidad de que tome elautobús B o el C?c. ¿cuál es la probabilidad de que tome elautobús B y el F?d. ¿cuál es la probabilidad de que no tome elautobús E?e. ¿cuál es la probabilidad de que no tome elautobús C ni el E?22. Andrea clasificó sus películas en la siguientetabla. Si elige una de sus películas al azar:Drama Comedia Terror AcciónDVD 10 15 17 6VHS 3 7 5 1a. ¿cuál es la probabilidad de que sea en VHS?b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de terror?c. ¿cuál es la probabilidad de que sea de comediay esté en VHS?d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea deacción ni esté en VHS?e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni dedrama ni de acción?f. ¿cuál es la probabilidad de que no sea un DVDde comedia?Caja A Caja CCaja B Caja D
  • 136. Unidad 4 – Datos y azar136Marca la opción correcta en los ítems 1 al 9.1. En el siguiente gráfico se muestran los medios detransporte que utilizan los estudiantes para iral colegio. ¿Cuál de las siguientes alternativases correcta?A. El porcentaje de estudiantes que no utilizan labicicleta para ir al colegio es de un 60 %.B. La mayoría de los alumnos y alumnas llegan alcolegio a pie.C. Un 20 % de los estudiantes se va en bicicletaal colegio.D. Más de la mitad de los alumnos y alumnas sevan al colegio en automóvil o en bus.2. Isidora quiere representar en un gráfico larelación que existe entre la cantidad de hombresy mujeres que visitan el museo Bellas Artes cadadía de la semana. ¿Cuál de los siguientes gráficosrepresentaría mejor los datos de Isidora?A. Gráfico circular.B. Gráfico de línea.C. Gráfico de barras múltiples.D. Gráfico de barras.3. Dada la siguiente tabla de datos agrupados, ¿cuáles la moda de los datos?Notas [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]fi7 12 13 9 15A. 6,5 C. 6,8B. 6 D. 6,294. ¿Cuál es la mediana de los datos de latabla anterior?A. 4,5 C. 5,38B. 4,69 D. 4,285. Si la mediana de las edades de un grupo depersonas es 32, ¿cuál de las siguientes alternativases correcta?A. El promedio de las edades es 32 años.B. La persona de mayor edad en el grupo tiene32 años.C. El 50 % de las personas del grupo tienen32 años o menos.D. La edad que más se repite es 32 años.6. Se requiere hacer un estudio para averiguarcuál es el automóvil más vendido en Chile.¿Cuál es la mejor alternativa para obtener lainformación necesaria?A. Una encuesta a las distribuidoras de automóvi-les de la I, III y X región.B. Una encuesta a una muestra aleatoria de distri-buidoras de automóviles de todas las regionesde Chile.C. Una encuesta a toda la población de Chile.D. Una encuesta telefónica a habitantesde Santiago.7. Si se extrae una carta de una baraja de naipeinglés de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad desacar una reina?A. 452 C. 4852B. 1352 D. 128. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestraldel experimento de lanzar dos dados yuna moneda?A. 14 C. 24B. 72 D. 369. ¿Cuál de los siguientes datos es apropiadorepresentar en un gráfico de barras múltiples?A. Relación que existe entre el peso y la estaturade los jóvenes entre 20 y 25 años.B. Cantidad de partidos ganados por los tresmejores tenistas en Chile.C. Mortalidad por enfermedades infecciosas enChile de los años 2005 a 2010.D. Porcentajes de alumnos que prefieren lasasignaturas de Matemática, Lenguaje, CienciasNaturales, Ciencias Sociales, Arte u otra, en3 cursos distintos.Evaluación de síntesis de la unidad 4BusAutoA pieBicicletaTransporte al colegio40 %30 %10 %20 %
  • 137. Unidad4Unidad 4 – Datos y azar 13710. En el siguiente gráfico se muestra la opinión delos chilenos sobre exhibir los partidos de cam-peonato nacional de fútbol solo por un canal deseñal abierta.Fuente: CERC. Consultado en junio de 2011.En www.cerc.cla. ¿Qué opina la mayoría de las personasen Chile?b. ¿A quiénes crees tú que se hizo la encuesta?¿A toda la población o solo a una muestra?,¿por qué?11. Para investigar sobre la relación que existe entreel peso y la estatura de jóvenes de 18 a 29 añosen Chile, ¿cómo obtendrías la información?12. La siguiente tabla muestra las masas de un grupode mujeres de 20 a 30 años.Masa (kg) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90)Frecuenciaabsoluta4 16 32 8 3a. Construye una tabla con las frecuenciasabsolutas acumuladas, frecuencias relativasy frecuencias relativas acumuladas.b. ¿Cuántas mujeres pesan 70 kilogramos o más?c. ¿Cuántas mujeres participaron en la encuesta?d. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a60 kilogramos?e. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa menos de70 kilogramos?f. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a80 kilogramos?g. Calcula el promedio de la masa de estas mujeres.h. Calcula la moda de la masa de este grupode mujeres.i. Calcula la mediana de la masa de las mujeres.13. Para cada experimento indica un evento seguroy uno imposible.a. De una bolsa con bolitas rojas, azules y verdes,se extrae una al azar.b. Se extraen dos cartas de un naipe inglés sinreposición.c. De una caja con bolitas numeradas del 1 al 20,se extraen dos al azar, con reposición.14. En una bolsa hay 7 bolitas verdes y 4 amarillas.¿Cuántas bolitas amarillas debemos agregar paraque la probabilidad de sacar una bolita amarillasea el doble que la de sacar una bolita verde?15. Se van a marcar los libros de una bibliotecautilizando una de las 10 primeras letras delabecedario seguida de uno de los númerosdel 12 al 50.a. Si cada libro se marca con un código distinto,¿cuántos libros se pueden marcar?b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un librode la biblioteca que tenga la letra B y unnúmero par?c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un libro conel número 23 y una vocal?16. José lanza dos dados 150 veces y obtiene lossiguientes resultados:Suma delos valores[2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12]Frecuencia 37 37 20 18 38a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimentode lanzar 2 dados y calcular la suma delos valores?b. ¿Cuál es el tamaño muestral del experimento?c. ¿De qué posibles resultados se obtiene unasuma perteneciente al primer intervalo dela tabla?d. Si José vuelve a lanzar los mismos dados, ¿cuáles la probabilidad de que la suma de los valoresobtenidos sea mayor o igual 8?e. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de losvalores obtenidos sea menor que 10?f. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de losvalores obtenidos no sea mayor o igual que 6y menor que 8?g. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma seamayor o igual que 4?AcuerdoDesacuerdoNo sabe55 %33 %12 %
  • 138. Unidad 5 – Álgebra1385UnidadÁlgebraHabilidades• Identificar situaciones de variación proporcional y no proporcional.• Usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.• Discriminar entre las relaciones proporcionales directas e inversas.• Resolver problemas que involucran variación proporcional directa.• Resolver problemas que involucran variación proporcional inversa.• Reconocer funciones en diversos contextos.• Identificar dominio y recorrido de funciones en diversos contextos.• Resolver problemas que involucran funciones en diversos contextos.• Una ecuación de primer grado con una incógnitaes una igualdad que contiene un valor desco-nocido. Su solución corresponde al valor de laincógnita para que la igualdad sea verdadera.Resolver una ecuación es encontrar este valor.• Para determinar si la solución de una ecuaciónes correcta se remplaza ese número por laincógnita, todas las veces que esté en la ecuación.Si se obtiene una igualdad, la solución escorrecta; pero se debe verificar si es pertinenteal contexto del problema.• Una ecuación de primer grado con dos incóg-nitas se puede interpretar como una relaciónentre dos variables.• Una variable es un elemento que puede tomarcualquier valor de los comprendidos en un con-junto. Se utilizan letras distintas para representarvariables distintas.• Una relación entre dos variables x e y se puederepresentar o modelar por una igualdad tal quea cada valor de x le corresponde un único valorde y. Como el valor de y depende del valor de x,se dice que y es la variable dependiente y x lavariable independiente.• Podemos analizar el comportamiento entre dosvariables por medio de diversos registros, comouna tabla o un gráfico.P ara recordarFuncionesDominioRecorridoVariablesindependientesVariaciones noproporcionalesVariacionesproporcionalesProporcionalidaddirecta y = kxy = kxProporcionalidadinversaVariablesdependientes
  • 139. Unidad 5 – Álgebra 139• Una función es una relación entre dos variablesx e y, de manera que a cada valor de x le corres-ponde un único valor de y.• Una función se puede representar o modelar dediversas formas; por ejemplo, con una ecuación,una tabla de valores o un gráfico.• Para representar una función en un gráfico,los valores de la variable independiente serepresentan sobre el eje horizontal o de lasabscisas, y los valores de la variable dependientese representan sobre el eje vertical o delas ordenadas.• La variable y puede también escribirse comof(x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.• Se llama dominio de una función al conjunto devalores que la variable independiente x puedetomar en la función f. Se expresa por Dom(f ).• Se llama recorrido de una función al conjunto devalores que toma la variable dependiente y, esdecir, todos los valores que resultan al remplazarlos valores del dominio en la función f. Se expresapor Rec(f ).• Un valor constante es una cantidad que tiene unvalor fijo, que no se modifica en una situación dada.• Una razón es una comparación entre dos can-tidades que se realiza por medio de una división.• El valor de la razón es el cociente entre las canti-dades. Dos razones son equivalentes si su valores el mismo.• Una proporción es una igualdad entre dos o másrazones. La proporción entre las cantidades a, b,c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien ab= cdy se lee “a es a b, como c es a d”.• En toda proporción se cumple que ab= cd, si ysolo si a · d = b · c.• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, a %, yse lee “a por ciento”. El porcentaje es una razóncuyo consecuente es 100.• Si el valor de la razón entre dos variables semantiene constante (no cambia) estas variablesson proporcionales.• Dos variables, una independiente x y la otradependiente y, son directamente proporcionales siel valor de la razón yxes constante, es decir, yx= k,donde k es la constante de proporcionalidad.• Una relación de proporcionalidad directa se pue-de representar como una función de la formay = kx. La representación gráfica de esta funciónson puntos que pertenecen a una misma rectaque pasa por el origen en un sistema de coorde-nadas cartesianas. Por ejemplo, el gráfico de lafunción y = x es:• En una función de proporcionalidad directa,si una de las variables aumenta, la otra tambiénaumenta en un mismo factor; y si una de lasvariables disminuye, la otra también disminuyeen un mismo factor.• Dos variables, una independiente x y la otradependiente y, son inversamente proporcionalessi el producto entre ellas se mantiene constante,es decir, x · y = k, donde k es la constante deproporcionalidad.• Una relación de proporcionalidad inversa sepuede representar como una función de laforma y = kx. La representación gráfica deesta función son puntos que forman una curvallamada hipérbola. Por ejemplo, el gráfico de lafunción y = 1xes:• En una relación de proporcionalidad inversa, siuna de las variables aumenta, la otra disminuyeen un mismo factor; y si una de las variablesdisminuye, la otra aumenta en un mismo factor.
  • 140. Unidad 5 – Álgebra140Ejercicios resueltos1. Pablo camina desde su casa al colegio y avanza 2 cuadras cada 5 minutos. Si el colegio queda a 8 cuadras yPablo camina manteniendo el mismo ritmo, ¿cuánto demora en llegar?Podemos hacer una tabla que relacione las cuadras (c) que avanza y el tiempo (t) quedemora en llegar a su colegio.En la tabla observamos que Pablo tarda 15 minutos en llegar.2. En la pregunta anterior, escribe una ecuación que relacione las variables.Como Pablo avanza 2 cuadras en 5 minutos, tarda 2,5 minutos en caminar 1 cuadra.Si llamamos c a las cuadras y t al tiempo, la ecuación que relaciona las cuadras querecorre Pablo y el tiempo que tarda es t = 2,5c.3. En la ecuación 3x + 2y = 4, encuentra los valores de x cuando y vale 1 y 2, y los valores de y cuando x vale 0y 1. Realiza una tabla que registre los valores que obtuviste.Si y = 1, remplazamos 3x + 2 · 1 = 4. Luego, despejamos x:3x = 4 – 2 = 2, entonces x = 23.Si y = 2, remplazamos 3x + 2 · 2 = 4. Luego, despejamos x:3x = 4 – 4 = 0, entonces x = 0.Si x = 0, remplazamos 3 · 0 + 2y = 4. Luego, despejamos y:2y = 4, entonces y = 42= 2.Si x = 1, remplazamos 3 · 1 + 2y = 4. Luego, despejamos y:2y = 4 – 3 = 1, entonces y = 12.Relación entre dos variables1. Cada una de las siguientes tablas muestra larelación entre dos variables. Identifica cuáles sonesas variables y determina la unidad en la que seencuentran definidas, si corresponde.a. c.b. d.2. Si a = 2b:a. completa la tabla.b. despeja b en la ecuación.c. inventa una relación entre dosvariables que pueda cumplircon la ecuación a = 2b.3. Si y = x – 3:a. elabora una tabla donde x tome los valores{2, 4, 7, 10}b. despeja x en la ecuación.c. encuentra el valor de x si y = 12.4. Encuentra cada uno de los valores señalados enlas siguientes ecuaciones con dos variables.a. 5y = 3x• Si x = 0,2 encuentra el valor de y.• Si y = 15 encuentra el valor de x.b. 3x – 2 = y• Si x = –8 encuentra el valor de y.• Si y = 27 encuentra el valor de x.Ejercicios y problemas propuestosc t2 54 108 15x y2310 20 2112a b–80,5137X Y2 –53 47 2Tiempo(h)Velocidad(km/h)5 1006 12012 50Días demarzoVentas($)1 412 0002 320 0003 120 000Pan(kg)Dinero($)1 5 0002 8 2003 5 600
  • 141. Unidad 5 – Álgebra 141Unidad55. Si 4x + 2y = 17, el valor de y si x = 14es:A. y = 4 C. y = 9B. y = 8 D. y = 106. Despeja en las ecuaciones la variable indicada.a. Despeja y en x = –2y.b. Despeja x en y = 7 + x.c. Despeja x en y = 12 – x.d. Despeja y en 2x = 3y.e. Despeja y en x = y2.f. Despeja x en x8= y3.g. Despeja x en x + 5 – y = 0.7. Al despejar la variable x en la ecuación5x + 2y = 2, se obtiene:A. x = 2 + 2y5 C. x = 2 – 2y5B. x = 7 – 2y D. x = 2y – 258. La edad de Alejandro (a) y la edad de su hermanoAndrés (h) se relacionan mediante la ecuacióna – h = 1,5.a. ¿Cómo interpretas esta ecuación?b. Realiza una tabla con las edades de loshermanos en cuatro años distintos.9. Si Andrea es 3 años mayor que Javier, ¿cuál esla ecuación que relaciona sus edades? Marca laopción correcta.A. a – j = 3 C. 3a – j = 1,5B. a – j = 4,5 D. a – 3j = 1,510. La relación que se da entre los asistentes (a) auna obra de teatro y los ingresos de dinero (i)es i = 3 500a.a. Calcula los ingresos si asisten 280 espectadoresa la obra.b. Calcula cuántos espectadores asistieron si losingresos fueron $ 770 000.c. ¿Qué significa el número 3 500 en la ecuación?11. En la pregunta anterior, si el precio de las entradasbaja un 50 %, los ingresos que se obtienen siasisten 280 personas son:A. $ 350 000 C. $ 420 000B. $ 490 000 D. $ 500 00012. El perímetro de un cuadrado se calcula a partir dela fórmula P = 4a, donde P es el perímetro y a lamedida del lado.a. Despeja el valor de a.b. Calcula el perímetro de un cuadrado cuyolado mide 7 cm.c. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadradocuyo perímetro es 36 cm?13. La cantidad de diagonales que se pueden trazardesde un vértice de un polígono de n lados secalcula restando 3 al número de lados del polígono.a. Completa la afirmación: El número de lados de un polígono se puedecalcular sumando 3 al .b. Escribe una ecuación que te permita calcularel número de diagonales (d) por vértice, cono-ciendo el número (n) de lados de un polígono.c. Escribe una ecuación que te permita calcular elnúmero de lados de un polígono, conociendolas diagonales que se pueden trazar desdeun vértice.14. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde unvértice, en un polígono de 7 lados?A. 7 diagonales. C. 10 diagonales.B. 4 diagonales. D. 9 diagonales.15. En la sala de clases de 8º básico se realiza unaprueba. Hay 3 profesores de pie cuidando y encada banco se sientan 2 alumnos.a. Si hay 11 bancos ocupados completamente,¿cuántas personas hay en la sala de clases?b. Realiza una tabla que relacione la cantidad debancos que están ocupados completamenteen la sala si hay 7, 9 y 11 personas en la sala.c. Escribe una ecuación que relacione la canti-dad de personas (p) que hay en la sala con elnúmero de bancos (b).16. Si en la situación anterior se cambia a 4 elnúmero de personas sentadas en cada banco,la ecuación que relaciona la cantidad depersonas (p) con el número de bancos (b) es:A. p = 4b + 3 C. p = 2b + 7B. p = 2b + 4 D. b = 4p + 3
  • 142. Unidad 5 – Álgebra1421. Considera la ecuación a = –2b + 1 y responde:a. ¿Cuántas variables tiene?, ¿cuáles son?b. ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿por qué?c. ¿Cuál es la variable que está descrita enfunción de otra?2. Considera la función de la tabla y responde.a. ¿Cuáles son los elementos que forman eldominio de esta función?b. ¿Cuáles son los elementos que forman elrecorrido de esta función?c. ¿Cuál es la imagen de 3?d. ¿Hay algún elemento en el dominio que tengados imágenes?, ¿cuál?3. Determina si las siguientes relaciones son ono funciones.a. b. 4. Relaciona y completa. Guíate por el ejemplo.Si a = 2b + 7 decimos que a está en función de b.En símbolos: a = f(b), o f(b) = 2b + 7a. Si c = d – 21 decimos que está en funciónde . En símbolos: = f( ) of( ) = .b. Si x = 3y – 15 decimos que está en funciónde . En símbolos: = f( ) of( ) = .c. Si z = 9v decimos que está en función de. En símbolos: = f( ) o f( ) = .Ejercicios resueltos1. Paulina quiere contratar un plan para su teléfono celular. Con el plan que le interesa puede hablar 90 minutospor un cargo fijo de $ 12 990. Además, por cada minuto adicional se cobra un valor de $ 150. Realiza unatabla con lo que tiene que pagar Paulina si habla 1, 2, 3, 4, 5 y 6 minutos adicionales.Minutos 1 2 3 4 5 6Total a pagar 13 140 13 290 13 440 13 590 13 740 13 8902. En el problema anterior, ¿cuál es la variable independiente y cuál, la dependiente?Como el total a pagar cambia según los minutos adicionales que se hablen, los minutos corresponden a la variableindependiente y el total a pagar a la variable dependiente.3. Escribe una función que exprese el dinero que debe pagar Paulina según los minutos adicionales que hable.Primero designamos variables. A los minutos adicionales que hable los llamaremos m y al total que debe pagarlo designamos por p. Como p es la variable dependiente y m la independiente, escribimos p(m).p(1) = 13 140 = 12 990 + 150 · 1 p(4) = 13 590 = 12 990 + 150 · 4p(2) = 13 290 = 13 990 + 150 · 2 p(5) = 13 740 = 12 990 + 150 · 5p(3) = 13 440 = 12 990 + 150 · 3 p(6) = 13 890 = 12 990 + 150 · 6Podemos deducir que la función buscada es p(m) = 12 990 + 150 · mFunciones, variables dependientes e independientesEjercicios y problemas propuestosx y1 32 53 74 5x y2 32 43 54 6x y1 22 33 34 5
  • 143. Unidad 5 – Álgebra 143Unidad55. Escribe en notación de funciones cada una de lassiguientes expresiones con dos variables.a. r = 2t – 5 d. 3m = 5(n – 1)b. v = 3(x + 8) e. 4x + 5y = 2y – 2c. z = 5 – w f. 4 + a = 2b + 56. Sobre la expresión y = 5x + 2, ¿cuál es la afirmaciónfalsa? Marca la opción correcta.A. Esta relación no es función.B. La variable dependiente es y.C. La variable independiente es x.D. y está en función de x.7. Determina si las siguientes relaciones son ono funciones.a. El volumen de un cubo y la longitud de unade sus aristas.b. Un número y su antecesor.c. La edad que cumple una persona en cierto año.d. El tamaño del ser humano y su edad.8. Determina el recorrido de las siguientes funciones,sabiendoquesudominioeselconjunto{0,1,3,7,9}.a. f(x) = 7x c. f(x) = 8b. f(x) = –2x + 3 d. f(x) = 3(x – 5)9. Andrea tiene para vender 70 chocolates.La ganancia que obtiene se puede calcularmediante la función g(c) = 150c – 300, donde crepresenta la cantidad de chocolates vendidos.a. ¿Cuál es el dominio de la función?b. ¿Cuál es el recorrido de la función?c. ¿Cuántos chocolates debe vender Andreacomo mínimo para obtener ganancias?d. ¿Qué puede significar el número 300 en lafunción que representa la ganancia?10. En la pregunta anterior, si Andrea vende todoslos chocolates, ¿cuánto dinero gana? Marca laopción correcta.A. $ 45 000 C. $ 10 500B. $ 21 000 D. $ 10 20011. Determina el recorrido de cada función.a. El recorrido de la función f(x) = x + 8, sabiendoque su dominio son los números pares mayo-res que 5 y menores que 15.b. El recorrido de la función f(x) = x + 63, sabiendoque el dominio está formado por los múltiplosde 3 menores que 30 y mayores o iguales que 15.12. ¿Cuál de las siguientes funciones puede tenercomo dominio el conjunto {0, 1, 2 , 3, 4} y comorecorrido el conjunto {3, 5, 7 , 9, 11}?A. f(x) = 2x + 3 C. f(x) = 11 – xB. f(x) = x2– 32 D. f(x) = – x2+ 11213. En una piscina hay 36 000 L de agua y se empiezaa vaciar a razón de 10 litros por minuto.a. Escribe una función que relacione lacantidad (c) de agua que se evacua y eltiempo (t) que se demora en hacerlo.b. ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?14. Con la información del problema anterior, ¿cuántoslitros se vaciaron en 15 horas?A. 9 000 litros. C. 900 litros.B. 150 litros. D. 1 500 litros.15. A partir de los datos del problema 13, ¿cuántotiempo debe pasar para que quede la mitad deagua en la piscina?A. 1 200 minutos. C. 3 600 minutos.B. 1 800 minutos. D. 4 800 minutos.16. Una secuencia de números se forma considerandola relación N = 2P + 7, donde P es la posición quetiene el número en la secuencia y N es el número.a. ¿Cuál es el número que se encuentra en ellugar 12?b. ¿En qué posición de la secuencia se encuentrael número 43?c. Escribe los primeros 5 números de la sucesión.17. A partir del ejercicio anterior, ¿cuál es la expresiónque representa a los números que se encuentranen las posiciones pares de la secuencia?A. 2N = 2P + 7 C. N = 2P + 9B. N = 4P + 7 D. N = 4P + 918. En la asignatura de Matemática, el profesor divideun trabajo en dos partes: una prueba y una tareagrupal. La nota que va al libro se calcula con elpromedio de la nota de la prueba y la tarea grupal.a. ¿Cuántas variables puedes ver en estasituación? Identifica y escribe las variables, indi-cando si son dependientes o independientes.b. Escribe una función que permita calcular lanota que puede obtener un alumno en eltrabajo de Matemática.c. ¿Qué puedes concluir respecto de la cantidadde variables en una función?
  • 144. Unidad 5 – Álgebra144Ejercicios resueltos1. Si x e y varían en forma directamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.Podemos calcular la constante de proporcionalidad:k = 83Escribimos la función de proporcionalidad directa.y = 83x Remplazamos el valor de x y simplificamos.y = 8 · 93= 24Otra manera de resolverlo es igualando las razones:yx= 83= y9Usamos la propiedad fundamental de las proporciones.3y = 8 · 9 Despejamos el valor de y.y = 8 · 93Simplificamos.y = 242. En un pueblo hay 3 hombres por cada 4 mujeres. Escribe la función que permite determinar la cantidad dehombres en función de la cantidad de mujeres.El dato del problema indica que la razón entre hombres y mujeres es 3 : 4, por lo tanto, podemos usar una funciónde proporcionalidad directa para saber la cantidad de hombres (y) en función de la cantidad de mujeres (x).Sabemos que yx= 34, entonces y(x) = 34x es la función buscada.1. Cristián tiene $ 400 y su hermana Belén, $ 200.Su madre empieza a darles $ 200 mensuales acada uno.a. Completa la tabla con la cantidad de dineroque llevan ahorrado Cristián y Belén.Mes 1 2 3 4 5Cristián 600 800Belén 400b. La cantidad de dinero que tiene Cristián, ¿esproporcional a la que tiene Belén? Justifica.2. ¿Qué situación no corresponde a una relación deproporcionalidad directa? Marca la opción correcta.A. La distancia que recorre un auto en un ciertotiempo cuando va a 60 km/h.B. La diferencia de edad de dos hermanos escinco años.C. Para preparar una taza de arroz se necesitantres tazas de agua.D. Realizar la maqueta de una casa, usandomedidas a escala.3. Si y es 12 cuando x es 6 y x es directamenteproporcional a y, ¿cuál es el valor de x si y es 6?Marca la opción correcta.A. 24 C. 4B. 12 D. 34. Si y = 4 calcula el valor de x en cada caso.a. xy= 53 d. 11549= xyb. x4= y9 e. 16478= yxc. y8= x6 f. 76y= yx5. Si x varía de manera directamente proporcionala y, calcula los valores pedidos, considerando quesi y es 15 entonces x es 6.a. Calcula x si y es 5. e. Calcula y si x es 4.b. Calcula y si x es 3. f. Calcula x si y es 20.c. Calcula x si y es 15. g. Calcula y si x es 30.d. Calcula y si x es 1. h. Calcula x si y es 69.Relación de proporcionalidad directaEjercicios y problemas propuestos
  • 145. Unidad 5 – Álgebra 145Unidad56. En un establo, 3 caballos comen 5 fardos dealfalfa. Si cada caballo come la misma cantidad,¿cuántos fardos de alfalfa comerán 45 caballos?Marca la opción correcta.A. 75 fardos. C. 9 fardos.B. 27 fardos. D. 3 fardos.7. Escribe una función que relacione las variables encada caso.a. a varía directamente con b. Cuando a es 4,b es 5.b. z es directamente proporcional a x. Cuandoz es 18, x es igual a 12.c. r y s son directamente proporcionales y el valorde su razón es 36.8. En un estudio se obtuvo que 1 de cada 3 niñoses obeso, una función de proporcionalidad querelaciona la cantidad de niños (n) con la cantidadde niños obesos (o) es:A. n = o C. n = o3B. o = 3n D. o = n39. Don Pedro vende huevos a $ 110 cada uno y a$ 600 la caja de 6. Sigue los pasos para graficar,usando un computador, la función que modelala ganancia (g) que tiene don Pedro al venderuna cantidad (n) de huevos.1º En un computador, abre una planilla de cálculoy en la celda “A1” escribe “ganancia”.2º En la primera columna, bajo la celda “ganancia”,escribe los valores correspondientes a la ventade los huevos. Esto se puede realizar fácilmen-te, escribiendo 110 en la celda “A2”, el número220 en la celda “A3”; luego, selecciona ambasceldas y con el cursor en la esquina inferior de-recha de la celda “A3” lo arrastras hasta llegar ala celda “A61”.3º Selecciona las celdas escritas y ubica la pestaña“Insertar”, opción gráfico. En las opciones degráficos, busca “Línea”.a. Sigue los mismos pasos para realizar un gráficoa partir de la venta de 10 cajas de 6 huevos(60 huevos). Para ello calcula el valor de cadahuevo al vender una caja de 6 huevos.b. Compara la inclinación de ambos gráficos yrelaciónala con las ganancias que se obtienen.10. El rendimiento de cierto auto en carretera es 11 kmpor litro, lo que se refleja en la siguiente tabla.a. Identifica las variables de la situación.b. Determina cuál es la variable independientey cuál es la dependiente.c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?d. Escribe una función que relacione las variablesdel problema.e. Calcula la distancia que puede recorrerel auto con 2, 11, 30 y 50 litros de bencina.f. Calcula cuántos litros de bencina necesitapara recorrer:• 11 km • 220 km• 1 km • 7 km11. En la pregunta anterior, si el litro de bencinacuesta $ 700, ¿qué costo en bencina tiene viajar154 km? Marca la opción correcta.A. $ 9 600 C. $ 10 000B. $ 9 800 D. $ 10 70012. A partir de las preguntas anteriores, ¿cuál es elcosto aproximado de viajar desde Osorno hastaPuerto Montt si la distancia entre estas ciudadeses de 109 km? Marca la opción correcta.A. $ 4 900 C. $ 7 000B. $ 6 300 D. $ 7 70013. Juan vende helados y gana $ 150 por cada heladoque vende.a. Completa la siguiente tabla:b. Escribe la función de proporcionalidadcorrespondiente a la situación.c. Calcula el valor de la constante de proporcio-nalidad k.d. Interpreta el significado de la constante k.e. Si Juan ganó $ 24 000, ¿cuántos helados vendió?Helados vendidos Ganancia ($)10152030b (L) d (km)1 115 5510 110
  • 146. Unidad 5 – Álgebra146Relación de proporcionalidad inversa1. ¿Cuál de las siguientes situaciones corresponde auna relación de proporcionalidad inversa?A. La diferencia de estatura de dos amigos alir creciendo.B. Comer dos frutas al día.C. Mientras más rápido camino de mi casa alcolegio, menos tiempo me demoro.D. La cantidad de partes de una torta que seobtiene al dividirla por la mitad, luego, cadapedazo por la mitad, y así sucesivamente.2. Si x varía de manera inversamente proporcionala y, calcula los valores pedidos, utilizando algunaestrategia aprendida. Considera que si y es12 entonces x es 6.a. Calcula x si y es 5. e. Calcula x si y es 20.b. Calcula y si x es 3. f. Calcula y si x es 75.c. Calcula x si y es 15. g. Calcula x si y es 90.d. Calcula y si x es 1. h. Calcula y si x es 1 035.3. Dos variables son inversamente proporcionales si:A. su cociente es constante.B. su diferencia es constante.C. su producto es constante.D. su suma es constante.4. Si x = 7 calcula el valor de y en cada caso.a. x · y = 8 c. 3y = 49xb. 3x = 4y d. 81 = 9xy5. Calcula mentalmente cada valor, sabiendo que ves inversamente proporcional a t, y que v es 22cuando t es 10.a. Calcula t si v es 11. d. Calcula v si t es 20.b. Calcula v si t es 24. e. Calcula t si v es 55.c. Calcula t si v es 2,2. f. Calcula v si t es 110.Ejercicios resueltos1. Si x e y varían en forma inversamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.Podemos calcular la constante de proporcionalidad:k = 8 · 3 = 24 Remplazamos en la función de proporcionalidad.y =24x Remplazamos x = 9 y simplificamos.y = 249= 83Otra manera de resolverlo es igualando los productos:9 · y = 8 · 3 Calculamos.9y = 24 Despejamos y y simplificamos.y = 249= 832. Don Fermín quiere hacer una huerta rectangular de 720 m2. Escribe tres posibles dimensiones de la huertade don Fermín.Como la huerta debe ser rectangular y su área será de 720 m2, el producto de las medidasdel largo (l) por el ancho (a) debe ser igual a 720, o sea, l · a = 720, lo que podemosescribir como la función l(a) = 720a. Para encontrar 3 posibles dimensiones, podemosdar valores del ancho, que permitirán encontrar valores del largo. Por ejemplo:Si a = 1, entonces l = 720.Si a = 2, entonces l = 360.Si a = 3, entonces l = 240.Finalmente, podemos registrar los valores en una tabla.Ejercicios y problemas propuestosa (m) l (m)1 7202 3603 240
  • 147. Unidad 5 – Álgebra 147Unidad56. Dos caballos tardan 3 horas en comer unos fardosde alfalfa. Si llegara otro caballo y se les dierade comer la misma cantidad de alfalfa, ¿cuántotiempo demorarán los caballos si todos comenlo mismo? Marca la opción correcta.A. 1 h C. 3 hB. 2 h D. 4 h7. Escribe la función que relaciona las variables encada caso.a. Si a varía inversamente respecto de b, y a = 4cuando b = 5.b. Si z es inversamente proporcional a x, y x = 12cuando z = 18.c. Si y es inversamente proporcional a x, y suconstante de proporcionalidad es 100.d. Si m y n son inversamente proporcionales y suconstante de proporcionalidad es 36.8. Completa la tabla sabiendo que las variables x ey son inversamente proporcionales, y su constan-te de proporcionalidad es 23.x 4 8 32y 7 159. Considera que la cantidad de baldosas (b) paracubrir el piso de un casino depende del tamañode las baldosas, es decir, del área (a) que cubrecada una de ellas.a. Completa la siguiente tabla:b. Escribe una función que relacione las variablesdel problema.c. ¿Cuántas baldosas cuadradas de lado 20 cmse requieren para cubrir el casino?d. Si se utiliza un tipo de baldosa que cubre0,16 m2y cuyo costo unitario es de $ 300,¿cuánto habrá que pagar por las baldosasnecesarias para cubrir el casino?10. Un auto de carrera demora 3 horas en recorrer600 km. Si su velocidad disminuye a la cuarta parte,¿cuánto demora en recorrer la misma distancia?Marca la opción correcta.A. 150 h C. 12 hB. 200 h D. 14 h11. Se requiere organizar 600 sillas en un salónde eventos.a. Si se forman 20 filas con igual cantidad de sillascada una, ¿cuántas sillas hay en cada fila?b. Si las filas tienen 12 sillas cada una, ¿cuántasfilas se pueden formar?c. Escribe la función que relaciona la cantidadde sillas por filas y la cantidad de filas.12. Gabriel, Daniela y Alejandro trabajan cortando elpasto. Cada uno realiza la misma cantidad de tra-bajo. Los tres juntos demoran 4 horas en el jardínde doña Alicia. Si cierto día Alejandro se ausenta,¿cuánto demoran Daniela y Gabriel en cortar elpasto del jardín de doña Alicia?13. Escribe dos ejemplos de variables que se relacionende manera:a. directamente proporcional.b. inversamente proporcional.c. no proporcional.14. Enrique tiene que envasar su producción de jugode manzana. Si lo hace en envases de 12litronecesita 120 envases.a. ¿Cómo varía la cantidad de envases quenecesitará si varía la capacidad de ellos?b. Completa la siguiente tabla.c. Calcula el valor de la constante k.d. Interpreta el significado del valor de laconstante k.e. ¿Cuántos envases de 100 cm3necesitaráEnrique para envasar su producción?f. Si la producción se distribuyó en 50 envasesiguales, ¿cuál es su capacidad?Capacidad delenvase (cm3)Cantidad deenvases120250 240300b a (m2)1 600 0,250,112
  • 148. Unidad 5 – Álgebra148Preparando el SIMCEMarca la opción correcta en los ítems 1 al 21.1. En la ecuación x + 3y = 8, ¿cuál es el valor de xsi y = 2?A. 2 C. 5B. 4 D. 62. Pedro relaciona la cantidad (x) de páginas que leede un libro durante una cantidad (y) de minutos,mediante la expresión x = 3y + 2. ¿Qué tablacumple con esta relación?A. C. B. D. 3. Juan tiene ahorrado $ 2 500 pesos y cada mes sumadre le regala $ 500. Si m representa la cantidadde meses que su madre le ha dado dinero y arepresenta el dinero que tiene ahorrado Juan,entonces la ecuación que relaciona m y a es:A. m = 2 500a C. m = 2 500 + 500aB. m = 500a D. a = 2 500 + 500m4. La fórmula para calcular la longitud de unacircunferencia está dada por P = 2πr. Si el radiode la circunferencia es 8 cm, ¿cuál de los siguientesvalores representa su longitud considerandoπ = 3?A. 96 cm C. 24 cmB. 48 cm D. 6 cmA partir de la siguiente situación responde los ítems5 al 7.Para una exhibición de cine hay 3 500 entradasdisponibles y cada una vale $ 2 500.5. La función que entrega las ganancias (g) pornúmero (x) de entradas vendidas es:A. g(x) = 3 500x C. g(x) = 6 000xB. g(x) = 2 500x D. g(x) = x6. El dominio de la función anterior es el conjuntode los números enteros que están entre:A. 0 y 2 500 C. 0 y 6 000B. 0 y 3 500 D. 0 y 1 0007. El recorrido de la función de las ganancias sonnúmeros enteros que están entre:A. 0 y 2 500 C. 0 y 6 000B. 0 y 3 500 D. 0 y 8 750 0008. Considerando que una impresora imprime12 páginas por minuto, entonces se puedeafirmar que en una hora imprimirá:A. 600 páginas. C. 100 páginas.B. 720 páginas. D. 120 páginas.9. En promedio, el corazón de un adulto palpita8 veces en 6 segundos. La expresión que permitecalcular la cantidad de palpitaciones de un adultoen m segundos es:A. 8m6 C. 68mB. 6m8 D. 86mA partir de la siguiente situación, responde losítems 10 y 11.Para regular el calor, una estufa dispone de los tresniveles de consumo de gas que se muestran enla tabla.Máximo Mediano Mínimo300 g/h 220 g/h 130 g/h10. ¿Cuánto tiempo puede estar encendida la estufacon 500 g de gas en el máximo nivel?A. Entre 40 y 50 minutos.B. Entre 50 y 70 minutos.C. Entre 70 y 90 minutos.D. Entre 90 y 110 minutos.11. ¿Cuántos gramos de gas consume la estufaencendida en el nivel mínimo durante 8 horas?A. Entre 700 y 800 gramos.B. Entre 800 y 900 gramos.C. Entre 900 y 1 000 gramos.D. Entre 1 000 y 1 100 gramos.x y0 21 52 8x y2 05 18 2x y8 211 34 4x y5 18 210 3
  • 149. Unidad 5 – Álgebra 149Unidad512. Fabiola tiene 300 dulces para regalar. ¿Qué funcióndetermina la cantidad (c) de dulces que le quedana Fabiola si regala 2 a cada niño (n) que encuentra?A. c = n – 2 C. c = 300 – 2nB. c = 300 – n D. c = 2 + 300n13. Si la cantidad de arroz que consume una familia almes es proporcional al número de sus integrantes,¿cuánto consume una familia de 5 personas almes, si una de 3 personas consume 1,5 kg?A. 5 kg C. 3,5 kgB. 4 kg D. 2,5 kg14. El gráfico muestra cómo varían dos magnitudesx e y. ¿En cuál de los tramos se produce unavariación directamente proporcional entrelas variables?A. Entre 0 y 1. C. Entre 2 y 3.B. Entre 1 y 2. D. Entre 3 y 4.15. Cinco albañiles construyen una obra en 30 días.¿Cuánto hubiera demorado la construcción de lamisma obra con dos albañiles menos, al mismoritmo de trabajo?A. 50 días. C. 14 días.B. 12 días. D. 18 días.16. Con $ p se compran 8 volantines. ¿Qué expresiónpermite calcular la cantidad de volantines que sepueden comprar con $ r?A. rp· 8 C. r8B. pr· 8 D. p817. ¿Qué nombre recibe la gráfica que se relacionacon una proporcionalidad inversa?A. Parábola. C. Recta.B. Hipérbola. D. Catenaria.18. Si los lados de un rectángulo aumentanproporcionalmente en un factor k, ¿en quéfactor aumenta el área del rectángulo?A. k C. 2kB. k2 D. k219. ¿Cómo se mantiene constante el área de untriángulo rectángulo si la medida de uno de suscatetos disminuye un 50 %?A. Aumentando el otro cateto en un 50 %.B. Aumentando el otro cateto en un 100 %.C. Aumentando el otro cateto en un 150 %.D. Aumentando el otro cateto en un 200 %.20. Dos variables son inversamente proporcionales ysu producto es 5. Si una variable toma el valor 8,la otra toma el valor:A. 58 C. 40B. 85 D. No se puede determinar.21. Dos variables son directamente proporcionales ysu cociente es 10. Si la primera toma el valor 4, lasegunda toma el valor:A. 104 C. 40B. 410 D. No se puede determinar.22. En el siguiente gráfico se muestra la variación delas medidas de los lados de un rectángulo,considerando que su área permanece constante.a. Si el largo del rectángulo es 12 cm, ¿cuál es lamedida de su ancho?b. ¿Qué tipo de proporcionalidad se da entreestas variables?c. Calcula la constante de proporcionalidad yexplica su significado en la situación.
  • 150. Unidad 5 – Álgebra150Marca la opción correcta en los ítems 1 al 13.1. Serelacionaelperímetrodeuntriánguloequiláterocon la medida de uno de sus lados, mediantela ecuación P = 3a, donde P es el perímetro deltriángulo y a la medida del lado. ¿Cuánto mide ellado del triángulo si su perímetro es 54 cm?A. 18 m C. 18 cmB. 162 m D. 162 cm2. En la función y = f(x) = 4x + 1, la afirmacióncorrecta es:A. La variable dependiente es x.B. La variable independiente es y.C. y está en función de x.D. f es la variable independiente.3. Si el dominio de la función g(x) = 2x– 1es {3, 5, 6, 9}, su recorrido es:A. {1, 3, 5, 7} C. {5, 9, 11, 17}B. {3, 5, 7, 9} D. {7, 9, 11, 13}4. Fabián es 5 años mayor que su hermano José. Sidenotamos por f la edad de Fabián y por j la deJosé, la relación de las edades de los hermanos sepuede escribir como:A. 5f = j C. f = j + 5B. f = 5j D. j = f + 55. ¿Cuál de las siguientes relaciones, cuyo dominio esel conjunto de los números naturales, correspondea una función?A. A cada número del dominio se le asocian dosnúmeros mayores que él.B. A cada número del dominio se le asociantodos los números menores que él.C. A cada número del dominio se le asocian suantecesor y sucesor.D. A cada número del dominio se le asociasu sucesor.6. La tabla muestra una relación entre dos variables.¿De qué tipo es?A. Directamente proporcional.B. Inversamente proporcional.C. No proporcional.D. Decrecimiento exponencial.7. Felipe mandó a imprimir un dibujo de 30 cm deancho y 80 cm de largo. ¿Cuál de las siguientesmedidas corresponde a una reducción proporcio-nal del dibujo?A. 20 cm de ancho y 70 cm de largo.B. 60 cm de ancho y 160 cm de largo.C. 15 cm de ancho y 40 cm de largo.D. 6 cm de largo y 16 cm de ancho.8. Mauricio come dos manzanas cada día. ¿Cuántasmanzanas come en 9 días?A. 16 manzanas. C. 18 manzanas.B. 17 manzanas. D. 19 manzanas.9. Una bandeja de huevos dura 20 días si comen3 personas diariamente la misma cantidad cadauno. ¿Cuántos días dura la bandeja si comen6 personas la misma cantidad de huevos?A. 3 días. C. 10 días.B. 6 días. D. 15 días.10. Una fábrica produce juguetes en serie. Si cada4 horas elabora 7 juguetes, ¿cuántos juguetespuede producir en 12 horas?A. 28 juguetes.B. 21 juguetes.C. Aproximadamente 20 juguetes.D. 14 juguetes.11. En la pregunta anterior, si llamamos h a las horasy j a los juguetes, la ecuación que modela lasituación es:A. h = 74j C. 4h = 7jB. 28 = j · h D. 4j = 7h12. La expresión x · y = 3 indica que:A. x e y no son proporcionales.B. x es directamente proporcional a y.C. y es directamente proporcional a x.D. x e y son inversamente proporcionales.13. ¿Qué tipo de relación muestra el gráfico?A. Directamenteproporcional.B. Inversamenteproporcional.C. No proporcional.D. De crecimientoexponencial.Evaluación de síntesis de la unidad 5r s2 14 28 4
  • 151. Unidad5Unidad 5 – Álgebra 15114. Completa las siguientes igualdades considerandolos valores de la tabla:a. f(3) =b. f( ) = 9c. f(21) =d. f( ) = 615. A partir de la pregunta anterior, determina:a. El dominio de la función f(s).b. El recorrido de la función f(s).16. Considera la siguiente secuencia: 22, 24, 26, 28,30, 32… La tabla muestra la relación entre untérmino de la secuencia y el lugar que ocupa.Ubicación en lasecuencia (n)1 2 3 4 5Término (t) 22 24 26a. ¿Por qué esta relación es una función?b. Determina la variable independiente y lavariable dependiente.c. Completa la tabla.d. Encuentra los números de las posiciones 15,25 y x, considerando que f(n) = 20 + 2n.17. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = 5x + 1,sabiendo que su recorrido es el conjunto{1, 11, 21, 31}?18. Determina para cada caso si la afirmación esverdadera o falsa. Justifica las falsas.a. El tiempo que me demoro en digitarun trabajo es inversamente proporcional a lacantidad de páginas que se requiere digitar.b. El monto de la cuenta de luz es inver-samente proporcional a la cantidad de energíaque se consume.c. El tiempo que demora un bus en hacersu recorrido es inversamente proporcional a lacantidad de pasajeros que transporta.d. La distancia que recorre un auto, a unavelocidad constante, es directamente propor-cional al tiempo que se demora en recorrerla.19. En la siguiente tabla, los valores de p y q soninversamente proporcionales. ¿Cuál es el valorde a + b?p 10 5 bq 4 a 1020. Determina en cada caso si las variables soninversamente proporcionales, directamenteproporcionales o si no son proporcionales.a. c.b. d.21. Escribe, en cada caso, la ecuación que representala relación entre las variables. Da un ejemplodonde podrías ocupar esta función.a. Si a varía inversamente con b, y a = 7 cuandob = 49.b. Si z es directamente proporcional a x, y z = 14cuando x = 16.c. Si x varía inversamente con z, y x = 181 cuandoz = 9.22. Considera que x e yson magnitudes directamenteproporcionales y responde.a. Respecto de la tabla de valores siguiente, ¿cuáles la constante de proporcionalidad?x 2 6 18y 4 12 36b. Ahora, respecto de la siguiente tabla de valores,¿cuáles son los valores de r y q?x 20 45 qy r 7 2s f(s)3 48 60,2 921 1x y2 44 166 368 64x y2 34 56 78 9x y2 184 166 148 12x y2 124 66 48 3
  • 152. Solucionario152Unidad 1 NúmerosPáginas 8 y 91. a. Un millón doscientos cincuenta y seis mil ochocientos setenta y nueve.b. Tres millones setecientos nueve mil veintitrés.c. Doce millones quinientos setenta y ocho milnovecientos.d. Ciento treinta y cuatro millones seiscientosdoce mil cuatro.e. Seiscientos cuarenta y cinco millonesochocientos setenta y seis mil doscientoscuarenta y cinco.f. Dos mil quinientos dos millones tres milseiscientos tres.g. Veinticuatro mil seiscientos cincuenta y sietemillones ciento veinte mil treinta y dos.h. Ciento setenta y seis mil ochocientos noventamillones ciento dieciséis mil setecientos cincuenta y cuatro.2. a. 7 354 209 e. 1 029 762 935b. 9 204 006 f. 63 208 472 087c. 880 830 596 g. 575 312 168 450d. 3 494 000 0073. a. 1 000 d. 10b. 1 000 000 e. 10 000 000c. 1 f. 10 000 0004. C5. a. 1 640 603 d. 97 084 031b. 3 579 000 e. 4 503 200c. 8 759 402 f. 7 090 3046. D7. a. > e. <b. < f. =c. > g. <d. > h. >8. a. b. 2 100 0002 000 000 2 300 0002 400 0002 500 000c. 41 200 000 41 500 00041 250 00041 650 000d. 9. a. 9 764 310b. 0 134 679c. 1 034 679d. No, el resultado en d es un número de 7 cifrasmientras que el de c es de 6.10. a. 9 876 543 210b. Nueve mil ochocientos setenta y seis millonesquinientos cuarenta y tres mil doscientos diez.c. 500 000d. El 6.11. a. 1 023 456 789b. Mil veintitrés millones cuatrocientos cincuentay seis mil setecientos ochenta y nueve.c. 80d. El 0.e. El 1.12. a. En el Colegio Los Alerces.b. En el primer número representa 60 000 y en elsegundo, 600 000.13. a. b. Argentina tiene la mayor superficie ya que alcomparar las cifras de la unidad de millón tieneel valor más alto.14. a. De los planetas mencionados el más lejano al Sol es Júpiter y el más cercano es Mercurio.b. Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter.15. a. Por ejemplo: 1 675 761, 3 804 083, 5 976 795, 7 104 017 y 9 856 589.b. El número pensado por Joaquín es el 1 268 621.Páginas 10 y 111. B2. B3. 1 · 144, 2 · 72, 3 · 48, 4 · 36, 6 · 24, 8 · 18, 9 · 16, 12 · 124. a. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21b. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56c. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63d. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84e. 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98f. 17, 34, 51, 68, 85, 102, 1195. a. 1, 3, 11 y 33b. 1, 3, 9 y 27c. 1, 2, 4, 8, 16 y 32d. 1, 5, 13 y 65e. 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54f. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 726. 1 · 64, 2 · 32, 4 · 16Solucionario14 500 000 15 000 00014 600 00015 200 00015 100 0001 100 0002 800 0001 300 0000 5 000 0001 000 0008 000 0007 000 000
  • 153. Solucionario 153Solucionario7. 2 · 3 · 35, 2 · 5 · 21, 2 · 7 · 15, 3 · 5 · 14, 3 · 7 · 10, 5 · 7 · 68. 2 5 9 49 75 X 864 X X 180 X X X 315 X X 3 780 X X X26 876 X157 902 X9. B10. 23, 29, 31, 3711. 14 = 2 + 5 + 712. Porque todos los números pares son divisibles por 2, por lo tanto, no pueden ser números primos.13. a. 2 · 2 · 3 e. 2 · 2 · 107b. 5 · 17 f. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5c. 2 · 2 · 2 · 5 · 5 g. 3 · 3 · 109d. 2 · 2 · 2 · 73 h. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 514. a. 3 e. 5b. 9 f. 6c. 8 g. 2d. 6 h. 315. a. 12 d. 72b. 24 e. 180c. 48 f. 12016. B17. a. 4 arreglos florales.b. 2 rosas, 3 tulipanes y 9 claveles.18. a. El área máxima de cada baldosa es 2 500 cm2.b. Sí, volverán a salir tres buses simultáneamentea las 23:00 h.c. 8 frascos.19. 43 y 8620. 715 y 77721. Cuatro números menores que 100 tienen tres divi-sores, estos son: 4, 9, 25 y 49. Todos estos númerosson cuadrados de números primos.Páginas 12 y 131. a. 3 800 000 e. 150 000b. 16 050 000 f. 144 000 000c. 4 700 000 g. 24 000d. 6 450 000 h. 360 0002. a. 2 167 995 d. 1 580 043b. 27 244 794 e. 1 103 621c. 5 543 053 f. 2 429 2073. a. 3 495 120 f. 3 245b. 254 100 g. 3 600c. 2 712 899 832 h. 1 599d. 168 014 i. 10 316e. 19 5004. a. 137 400 e. 4 675 384b. 532 631 f. 1 911 294c. 865 g. 70 305d. 12 4255. C6. A7. 5 319 5648. 11 658 8669. 4 140 22210. a. 125 755b. 5 351 042c. 84211. A12. 11 04413. A14. C15. C16. 117. Las empresas aportaron $ 5 218 355 029.18. a. 1 200 cajas.b. $ 1 440 00019. a. Consumió 5 L de combustible.b. Gastó $ 3 510 en combustible.20. a. Laura tiene la razón ya que al considerar la prioridad en las operaciones, se obtiene el valor dicho por ella.b. Leyó 31 500 palabras.c. Aproximando a la centena, gastó $ 5 500.d. 2 horas.e. Compró 11 bebidas.f. $ 6 980 650g. Debe pagar $ 8 919 800.Páginas 14 y 151. a. Un tercio.b. Cinco séptimos.c. Ocho décimos.d. Trece doceavos.e. Doce centésimos.f. Un entero seis novenos.g. Cinco enteros treinta y cinco cuarentaidosavos.h. Tres enteros dieciocho diecinueveavos.2. C
  • 154. Solucionario154Solucionario3. a. 38 e. 2919b. 76 f. 3 14c. 127 g. 71518d. 1510 h. 2 131 0004. a. 38b. Dos octavos.5. a. 317 c. 534b. 259 d. 151196. a. Por ejemplo: 1018, 1527y 2036.b. Por ejemplo: 2842, 4263y 5684.c. Por ejemplo: 3664, 5496y 72128.d. Por ejemplo: 9630, 14445y 19260.7. A8. a. 13 c. 43 e. 149b. 34 d. 87 f. 1159. C10. a. < e. < i. <b. > f. > j. <c. > g. < k. <d. < h. = l. =11. D12. D13. a. 0 3815878b. 0 3521 151 3515c. 0 231531656d. 0 3421 141 1878e. 0 131345671214. a. Mónica compró más porque la fracción 2 12 es mayor que 2 14.b. A Sofía le falta más.c. A Mariana le falta menos.d. Consumen más naranjas pues la fracción 52esmayor que las otras.15. El 1029de los números son números primos.16. El 12de los números son divisibles por 2.17. El 4022 011de los números son divisibles por 5. Estafracción es menor que 15.Páginas 16 y 171. a. 45 e. 75b. 17 f. 1c. 1713 g. 14d. 1 h. 1732. a. 4135 d. 13136b. 83 e. 27584c. 6712 f. 5543. a. 139 d. 0b. 2312 e. 74c. 4115 f. 29364. a. 76 e. 38b. 6128 f. 712c. 2 g. 1915d. 1320 h. 447565. B6. D7. C8. D9. C10. D11. a. El lunes.b. En total trabaja 23 56h.
  • 155. Solucionario 155Solucionarioc. Verónica trabaja 1712h más el miércoles queel jueves.12. a. Hay 15 112minutos grabados.b. No, porque se demora en total 2 112h, que esmayor que 2 h.c. En total se demoró 11112h.d. Recorrió 22972km más el lunes que el martes.e. La masa de la bolsa y las frutas es 7 712kg.f. Se usa 136del tiempo en comerciales.Páginas 18 y 191. a. 12 e. 310b. 3 f. 283c. 35 g. 192d. 192. C3. 274. a. 247 h. 43b. 1 i. 34c. 5512 j. 94d. 114 k. 15e. 14 l. 112f. 52 m. 1g. 1 n. 10075. A6. a. 4 d. 35b. 15 e. 16c. 3233 f. 1 127. D8. a. 518 d. 133b. 113 e. 57c. 1340 f. 1881179. A10. B11. a. Ha leído 160 páginas.b. Le faltan 200 páginas.12. a. 38b. 58c. Le quedan 12 galletas.13. a. Debe poner 21 L para llenar el estanque.b. Deberá pagar $ 15 204.14. a. 50 bolsas.b. Tres kilogramos de pan cuestan $ 2 295.c. Puede cortar tres trozos como máximo.d. Le quedan $ 26 875 para gastar.Páginas 20 y 211. B2. C3. A4. C5. C6. C7. C8. B9. B10. B11. A12. C13. A14. A15. B16. D17. C18. A19. D20. A21. B22. A23. C24. A25. D26. B27. a. Debe pagar $ 5 556 000.b. Debe pagar $ 286 000 de interés.28. El sueldo de Mario fue $ 214 000.Páginas 22 y 231. a Dos décimos.b. Seis centésimos.c. Veinticuatro centésimos.d. Un entero seis décimos.e. Un entero treinta cinco milésimos.f. Trece enteros siete décimos.g. Ciento sesenta y ocho enteros nueve décimos.h. Quince enteros trescientos cincuenta y cuatromilésimos.2. a. 0,6 e. 0,019b. 0,08 f. 3,14c. 2,005 g. 5,324d. 13,073. C4. D5. C6. B7. a. < f. <b. < g. <c. < h. >d. > i. <e. =8. C
  • 156. Solucionario156Solucionario9. a. 0 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,2b. c. d. 5,5 6 8,5 1010. a. 0,25 < 1,52 < 2,205b. 1,578 < 5,187 < 8,175c. 0,001 < 0,01 < 0,1d. 1,499 < 1,94 < 1,949 < 1,994e. 0,2509 < 0,251 < 0,25115 < 0,2512f. 0,169 < 0,196 < 0,691 < 0,916 < 0,96111. a. 2,34 d. 2,345b. 2,35 e. 2,3458c. 2,312. a. 0,4 d. 3 258,0b. 12,587 e. 23 748,099c. 132,0113. a. El más alto es Iván, y la más baja, Luciana.b. Iván, Marcelo, Adriana y Luciana.c. Luciana.d. Marcelo.e. Pablo es más bajo, ya que la parte decimal dePablo es 0,45 que es menor que 0,49.14. Liliana obtuvo la nota más alta.15. a. La mayor temperatura se registró en Osorno y la más baja fue en Punta Arenas.b. Punta Arenas, Chillán, Curicó, Osorno.c. 4,54,86,76,4 8,48,5Páginas 24 y 251. a. 87 e. 3 452b. 47,4 f. 0,2213c. 123,5 g. 180d. 3 687 400 h. 451,452. a. 20,341 f. 264,692b. 4,1 g. 38,252c. 3,44 h. 13,617d. 0,001 i. 18,14865e. 16,5053. B4. a. 3,84 g. 81 b. 0,036 h. 9,275c. 1,2 i. 0,068d. 20,9 j. 2,76e. 44,0856 k. 47,277f. 0,025. a. 5,5 c. 0,6 e. 1,52b. 810 d. 0,6 f. 66,556. D7. B8. C9. B10. a 62,4 minutos. d. 18 preguntas.b. 52,2 minutos. e. 6 minutos.c. 16 preguntas.11. a. José es más alto. b. 0,05 m12. a. 125 cabellos. b. 16 m13. a. Quedaron 3,25 L.b. El promedio será 6,1.c. El grosor de cada hoja es de 0,016 cm.d. 4 veces.e. Necesita 21 bolsas.f. El perímetro es 21,52 cm y el área es 25,41 cm2.g. Aproximadamente 288,2 pulgadas de largo por96,1 pulgadas de ancho.h. Si se saca un 6,2 obtiene como promedio un6,3, pero si las notas se redondean a la décimatambién podría sacarse un 6,0; 6,1; 6,3 o 6,4.i. Tomará 62 mg de medicamento.j. Recorre 20,5 km.k. 1,34375 kgl. 6,54 mPáginas 26 y 271. B2. A3. a. 0,2 e. 2,16b. 0,375 f. 3,857142c. 0,7 g. 1,583d. 0,48 h. 3,164. a. 15 f. 13699b. 920 g. 433c. 1910 h. 217495d. 13 i. 76e. 211 j. 11 7194952,3 2,7 3 3,2 3,61 1,02 1,03 1,06 1,1
  • 157. Solucionario 157Solucionario5. x + y x – y x · y0,9 0,5 0,14 1,585 0,835 0,45375 1,26 0,06 0,46. A7. a. 1,083 d. 1,39b. 0,58 e. 6,1c. 2,67 f. 5,38. a. Mariela.b. Carolina.c. Mariela, Andrés, Jorge, Carolina.d. 24425e. 9,93f. Jorge llegó 0,01 minutos más tarde que Andrés.g. Mariela llegó 0,03 minutos antes que Andrés.h. Hubo 0,213 minutos de diferencia.9. a. Entre 0 y 1. c. Entre 0 y 1.b. Entre 1 y 2. d. Sí.10. a. Cociente 0,025 0,25 25250b. 2 500 000c. 0,000000025d. Producto 863 86,3 0,863 0,0863e. 8 630 000f. 0,000000086311. a. 110 000 c. 1 000b. 1 000 d. 11 000Páginas 28 y 291. D2. 11143. a. 1 : 6b. Por cada 6 frutas en el canasto hay 1 manzana.c. 1 : 2d. Por cada 2 naranjas en el canasto hay1 plátano.e. La razón entre las manzanas y naranjas.4. a. 43 : 239b. 62 : 45c. 17 : 415. a. 10 : 9 d. 9 : 1b. 5 : 2 e. 1 : 5c. 4 : 56. a. 25 %b. 37,5 %c. Aproximadamente 71,4 %.d. Aproximadamente 66,7 %.7. a. 2 % d. 28 %b. 90 % e. 40 %c. 35,6 % f. 200 %8. a. 0,75 d. 1,3b. 0,13 e. 0,02c. 0,05 f. 0,0539. a. 1120 d. 17100b. 920 e. 87100c. 325 f. 111010. C11. C12. A13. B14. 0,2815. a. 40 %b. $ 240 000c. 0,616. 75017. a. 120b. 0,9518. a. 9311 000 b. 0,069 19. a. 10 %b. 3 %
  • 158. Solucionario158SolucionarioPáginas 30 y 311. a. 15b. 3,6c. 200d. Aproximadamente 7 265.2. A3. A4. C5. a. Aproximadamente 14,9 %.b. Aproximadamente 3,06 %.c. 0,5 %d. 2,5 %6. $ 26 1807. Aproximadamente 21,8 %.8. a. $ 247 500b. $ 5 252 5009. Aproximadamente $ 882.10. Aproximadamente $ 97 701.11. a. 854 e. 31 232b. 42,7 f. 4,88c. 329,4 g. 1 518,9d. 1 830 h. 165 662,5812. a. 41,4 f. 414 000b. 910,8 g. 31 904,68c. 235,52 h. 482 673,4d. 623,76 i. 784 226,4e. 3 174 j. 1 147 761,6413. A14. $ 3 125 00015. 33,3 %16. a. 18,18 %b. 211c. 0,1817. No, aumenta 9 veces, es decir, un 900 %.18. a. $ 26 250b. $ 24 938c. Aproximadamente disminuyó un 14,3 %.19. a. 7 dulces.b. 86 %c. 14 %20. Tenía 74 490 habitantes.21. Aproximadamente 21,8 %.22. a. 10 %b. Creció 6 m; aumentó un 50 %.23. Aproximadamente aumentó un 36,56 %.24. 19,7 %25. Aumenta un 2,9 %.26. 3027. caPáginas 32 y 331. a. No, los productos cruzados no son iguales.b. No, los productos cruzados no son iguales.c. Sí, los productos cruzados son iguales.d. Sí, los productos cruzados son iguales.2. x = 3003. a. x = 100 c. x = 9b. x = 21 d. x = 24. C5. x = 326. D7. 36 y 458. $ 124 800 y $ 187 2009. Pamela aportó $ 91 000 y Carlos, $ 39 000.10. 378 cm211. 16, 40 y 2412. $ 13 600, $ 27 200 y $ 34 00013. C14. a. 20º, 90º, 70ºb. Triángulo rectángulo.c. Triángulo escaleno.15. a. 15 cm, 20 cm y 25 cmb. 150 cm216. a. 0,5 cmb. 52 km17. a. 32 cmb. Aproximadamente 73 %.c. 2251618. Aproximadamente 19,9 L.19. 30 m20. 20 ingenieros.21. B22. 180 personas.23. Aproximadamente 20,55 m.24. 100 kg25. 684 costales.26. Se necesitan 28 operarias más.27. 4 horas.28. $ 4 00029. a. 5 hb. 10 llaves.Páginas 34 y 351. 40, 23, 4, 2, 1, –12, –68, –98, –1012. –4 50–1–3–9 –8 –7 –6 –5 –2 1 2 43 63. 20
  • 159. Solucionario 159Solucionario4. –1 0205. No, todo número negativo es menor que cero.6. Verdadero, está a la izquierda de todos ellos en larecta numérica.7. A8. A9. C10. A11. D12. C13. a. En el primer caso es 2 300, y en el segundo–400.b. 2 000–500 0 500 1 5001 000 2 500–400 2 300c. 2 700 m14. a. Agustín.b. Mario.c. –20 –12–1902 1215. a. –3 ºCb. 4 ºCc. 6 ºC16. a. $ 21 000b. $ 7 00017. a. 70 m bajo el nivel del mar.b. 7 minutos.c. 18. a. El jueves 16 se pronosticó la temperatura más baja y el lunes 13, la más alta.b. Lunes y jueves.c. 4, 3, 2, 0, –1, –5d. 3 4–5 –1 0 219. a.Hora Temperatura (ºC)7:45 –48:30 –19:15 210:00 510:45 8b. A las 12:15 h la temperatura era 14 ºC.c. La temperatura máxima se registró a las 15:15 h.d. La amplitud térmica fue de 33 ºC.Páginas 36 y 371. 142. –33. x y x – y (x – y) · (–3) x : 2 + y · – 3 –2 –9 7 –21 26 12 –8 20 –60 30–6 –4 –2 6 9–14 –3 –11 33 2–8 –2 –6 18 24. El –2.5. C6. D7. A8. D9. Dividendo Divisor Cociente Resto –20 12 –2 4 36 –7 –5 1 –24 –5 5 1–102 20 –6 1810. a. Al final de la primera semana cada acción costó $ 1 230.b. Luego de dos semanas, el valor de cada acciónfue de $ 810.11. a. Cada fotografía cuadrada debe tener 6 cm de lado.b. El diario mural se cubre completamente con28 fotografías.12. El promedio de temperaturas fue de –2 ºC.13. 9 5 –23–35 –3 2917 –11 –15a. El número mayor es el 29.b. El número menor es el –35.c. El mayor número negativo es el –2.d. La suma de los números del cuadrado mágicode la izquierda es –27.e. El producto de los números del cuadradomágico de la derecha es 0.14. a. Obtuvo 100 puntos.b. Carlos.c. Tuvo 15 respuestas incorrectas.d. Tuvo 7 respuestas correctas. 2 4 –6–8 0 8 6 –4 –2–75 –70 –60–65 –55 –50 –45 –40
  • 160. Solucionario160Solucionario15. La suma es 0, se puede resolver sumando cadanúmero con su inverso aditivo hasta el 2 012.16. El producto de los números es 0, pues el 0 seencuentra entre –2 012 y 2 012 y todo númeromultiplicado por 0, da como resultado 0.17. El resultado es mayor que 0. Una estrategia para re-solver el problema consiste en agrupar los factoresen grupos de 4 números consecutivos, partiendopor el 1. El producto de estos 4 valores es positivopues en cada grupo hay 2 números negativosy 2 positivos. Además, se cumple que el últimonúmero de cada grupo es un múltiplo de 4. Deeste modo podemos afirmar que 2 012 es el últimonúmero de un grupo, pues 2 012 es múltiplo de 4.Luego, al multiplicar los números de cada grupoquedan únicamente números positivos. Por lo queel producto final es positivo.Páginas 38 y 391. C2. C3. B4. A5. B6. A7. D8. D9. C10. B11. C12. A13. D14. B15. B16. D17. D18. A19. B20. C21. B22. B23. B24. B25. A26. B27. a. Tuvo 9 respuestas incorrectas.b. Obtuvo en total –9 puntos debido arespuestas incorrectas.c. Omitió 8 preguntas.28. Francisco respondió incorrectamente pues al disminuir la medida del lado, lo hizo en un 40 %.Para disminuir en un 60 % debe considerar que lalongitud final del lado está dada por: 8 – 60100· 8,que es igual a 3,2. Luego, la medida del lado dismi-nuido es 3,2 cm y el área del rectángulo es: 3,2 cm · 8 cm = 25,6 cm2.Páginas 40 y 411. C2. A3. A4. D5. B6. C7. D8. A9. B10. C11. D12. D13. C14. A15. B16. B17. D18. A19. a. Por ejemplo: 8 610 972, 9 721 068 y 9 061 872.b. Por ejemplo: 1 207 986, 1 079 268, 1 276 809.c. En el primer caso sería: 8 610 972 < 9 061 872< 9 721 068. En el segundo caso sería: 1 079 268 < 1 207 986< 1 276 809.d. Por ejemplo: e. 9 876 210f. El 8.g. Un millón veintiséis mil setecientos ochentay nueve.h. Representa el 6 000.20. a. 2 · 3 · 3 · 3 · 3b. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5c. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5d. 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 721. a. Diego tiene 40 bolitas.b. Juan tiene 30 bolitas.c. Luis tiene 70 bolitas más que Juan.d. Entre los tres suman 170 bolitas.22. a. Necesita 192,8 m de alambre.b. Le sobró 263,9 m de alambre.23. El perímetro del rectángulo es 12,22 cm.24. a. La razón entre mujeres y hombres es 3 : 1.b. Hay 12 mujeres más que hombres en el curso.c. El número de estudiantes aumentó en un 20 %respecto del año anterior.25. a. El precio del libro en oferta es $ 7 224.b. Recibió $ 2 776 de vuelto.c. Su ganancia es de $ 3 312.26. Edgar tendrá 11 años.27. a. 52 b. 1 c. 12 d. 2228. La diferencia de goles fue de –18.29. a. Luego de 1 h, la temperatura era –9 ºC.b. Luego de 120 minutos, la temperatura era 0 ºC.c. Luego de 3 h, la variación fue de 27 ºC.Unidad 2 Números y álgebraPáginas 44 y 451. a. 8 · 8 = 64b. 6 · 6 · 6 = 216c. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024d. 11 · 11 · 11 · 11 = 14 641e. 20 · 20 · 20 = 8 000f. 100 · 100 · 100 · 100 · 100 · 100 = 1 000 000 000 000g. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 320 1 000 000 9 000 00010 000 000
  • 161. Solucionario 161Solucionarioh. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128i. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243j. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16 384k. 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7 776l. 8 · 8 · 8 · 8 = 4 096m. 50 · 50 · 50 = 125 000n. 10 · 10 · 10 · 10 = 10 0002. a. 23= 8 e. 35= 243b. 4 · 5 = 20 f. 4 · 10 = 40c. 104= 10 000 g. 54= 625d. 2 · 3 = 6 h. 4 · 2 = 83. C4. B5. B6. D7. 30+ 31+ 32+ 33+ 34+ 35+ 36+ 37+ 38+ 398. a. 27b. 33c. C = Carne, P = Pollo, V = Verduras, A = Adultos, J = Juveniles, C = CachorrosMarca 1AJCAJCAJCVCPMarca 2AJCAJCAJCVCPMarca 3AJCAJCAJCVCP9. a. De 24maneras, es decir, de 16 maneras.b. Pa = Pantalón azul, Pn = Pantalón negro, Zp = Zapatillas,Z = Zapatos, Pb = Polera blanca, Pg = Polera gris, Cb = Chaleco con botones, Cs = Chaleco sin botones.CsCbCsCbCsCbCsCbPaPbPgPbPgZpZCsCbCsCbCsCbCsCbPnPbPgPbPgZpZ10. 42= 16 m211. 93= 72912. 1 728 casas.13. 256 almuerzos.14. $ 78 12515. Transcurren 10 semanas.16. a. 128 bacterias. c. 2nb. 1 024 bacterias.17. 2 048, a las 14:00 h y 1 073 741 824 a las 23:30 h.Páginas 46 y 471. a. 247 · 103 d. 48 · 109b. 69 · 105 e. 742 · 1010c. 168 · 105 f. 364 · 10122. B3. a. 3 · 102+ 5 · 101+ 4 · 100b. 1 · 103+ 5 · 102+ 6 · 101c. 7 · 104+ 8 · 103+ 9 · 101+ 9 · 100d. 9 · 104+ 9 · 103+ 4 · 102+ 1 · 101e. 1 · 105+ 1 · 104+ 1 · 103+ 1 · 102+ 1 · 101+ 1 · 100f. 2 · 105+ 3 · 104+ 6 · 103+ 8 · 102+ 7 · 101g. 5 · 106+ 6 · 105+ 8 · 103+ 1 · 102+ 2 · 101+ 2 · 100h. 1 · 106+ 2 · 105+ 5 · 102i. 1 · 107+ 7 · 106+ 6 · 105+ 3 · 104+ 4 · 101+ 3 · 100j. 2 · 108+ 2 · 107+ 3 · 106+ 5 · 105+ 5 · 103+ 6 · 102k. 8 · 109+ 4 · 102+ 5 · 101l. 8 · 109+ 3 · 108+ 6 · 107+ 4 · 103+ 1 · 1004. D
  • 162. Solucionario162Solucionario5. a. 3 502 h. 70 500 060 100b. 4 300 060 i. 13 979c. 50 505 j. 332 101d. 9 800 010 k. 80 560 109e. 6 000 000 102 l. 85 300 310f. 7 036 502 m. 94 001 706g. 3 020 500 108 n. 109 900 9096. a. 3 · 106+ 2 · 105b. 5 · 105+ 4 · 104+ 5 · 103+ 9 · 100c. 1 · 107+ 5 · 106+ 3 · 105+ 4 · 104+ 3 · 103+ 2 ·102+ 4 · 100d. 9 · 108e. 4 · 104+ 6 · 103+ 5 · 102+ 8 · 101+ 7 · 100f. 8 · 1077. a. 6 · 104+ 5 · 103+ 1 · 102b. 5 · 105+ 6 · 104c. 4 · 105+ 4 · 104d. 5 · 105+ 6 · 102e. 5 · 104+ 5 · 103+ 1 · 102f. 7 · 104+ 5 · 103+ 6 · 1028. a. 1 · 107+ 7 · 106b. 6 · 109+ 8 · 1089. 4 · 101310. A11. D12. D13. a. > c. > e. <b. > d. < f. >14. a. La de Perú.b. 1 100 000, 1 300 000.15. Aproximadamente 3 · 107+ 7 · 106+ 9 · 105+ 3 · 104+ 6 · 103+ 6 · 102+ 9 · 101+ 5 · 100km2.16. 6 · 102417. 24 · 101818. 46 · 102219. C20. 2 · 104y 15 · 109, respectivamente.Páginas 48 y 491. a. 10 000 000 000 k. 0,5b. 85 000 000 l. 0,01c. 100 000 m. 7,84d. 29 400 n. 23,66e. 3 540 000 ñ. 35,498456f. 456 200 000 000 o. 0,000009g. 30 p. 0,000000005h. 25 000 000 q. 0,03587i. 12 600 000 r. 0,4561j. 324 500 s. 0,000000000592. a. > c. > e. >b. > d. = f. <3. a. 20 000 > 2 500 > 2 000b. 1 000 000 > 10 000 > 100c. 2 500 > 260 > 250d. 536 000 000 > 536 000 > 526 000e. 3 000 000 > 350 000 > 300 000f. 99 900 > 9 990 > 9994. a. 0,65 d. 0,62b. 85 000 e. 7 000 000c. 12 000 000 f. 18 0005. B6. A7. C8. D9. A10. C11. B12. a. 10 000b. 100c. 100 000 del primer tipo de árbol y 1 000 000del segundo. En total hay 1 100 000 hojas.13. a. $ 53 750 000b. 2 · 107+ 5 · 106+ 8 · 105+ 7 · 104+ 5 · 10314. a. 8 750 000 kgb. 262 500 000 kgc. 3 202 500 000 kg, ya que 2012 es un año bisiesto.15. a. 2 · 103+ 4 · 102cm2= 2 400 cm2b. 8 · 103cm3= 8 000 cm316. a. (2 · 105+ 2 · 104) cm2= 220 000 cm2b. 5 · 106cm3= 5 000 000 cm317. a. 1 · 1016= 10 000 000 000 000 000 hormigas.b. 75 : 102= 0,75 mm18. a. Los trozos de cordón rojo miden 65 m, los de cor- dón verde 8,2 m, y los de cordón amarillo 0,94 m.b. 0,0094 mc. Se traslada la coma a la izquierda la cantidadde veces que indica el exponente de la potenciade 10.Páginas 50 y 511. a. 0,0032 m. 33 000b. 0,064 n. 1c. 0,0000092 ñ. 0,504d. 0,000605 o. 0,951e. 13 200 000 p. 0,01354f. 0,00144 q. 0,856324g. 125 r. 6 400 000h. 0,0016 s. 2 401 000i. 2 160 000 000 t. 640 000 000j. 22 500 000 u. 10 240 000k. 490 000 000 000 v. 21 600 000 000l. 64 000 000 000 w. 10 000 000
  • 163. Solucionario 163Solucionario2. a. 25 · 10–1 k. 1 234 · 10–1b. 4 123 · 10–3 l. 32 425 · 10–2c. 558 · 10–2 m. 4 557 · 10–1d. 6 523 · 10–2 n. 86 045 · 10–2e. 5 · 10–1 ñ. 1 000 456 · 10–3f. 8 · 10–1 o. 1 235 147 · 10–3g. 1 · 10–2 p. 26 523 254 · 10–4h. 2 · 10–3 q. 53 543 654 · 10–4i. 1 · 10–6 r. 23 654 628 · 10–3j. 9 · 10–5 s. 1 238 956 584 · 10–43. a b a · b a : b64 10–30,064 64 0009 10–60,000009 9 000 00016210–22,56 25 60030310–70,0027 270 000 000 00060210–40,36 36 000 00020410–51,6 16 000 000 0004. a. 25 · 104 e. 4 · 101b. 27 · 10–3 f. 125 · 10–3c. 144 · 10–5 g. 3 · 100d. 4 · 1025. a. 6 · 102cm2 c. 12 · 101cmb. 6 · 10–2m2 d. 12 · 10–1m6. 2 814 · 105cm7. D8. A9. C10. D11. a. Para convertir kilómetros a metros se multiplica el total de kilómetros por 103.b. Para convertir centímetros a kilómetros semultiplica el total de centímetros por 10–5.12. a. 3 675 · 10–2m2b. 104, el resultado quedaría como 3 675 · 102cm2.13. 40 horas.Páginas 52 y 531. a. 35= 243 e. 28= 256b. 48= 65 536 f. 47= 16 384c. 67= 279 936 g. 33= 27d. 131= 132. a b a2b2a2· b2(a · b)23 2 9 4 36 365 9 25 81 2 025 2 0253 11 9 121 1 089 1 0892 5 4 25 100 1003. a. 32 c. 243 e. 46 656 g. 65 536b. 5 d. 169 f. 1 h. 1 0004. a. 55 c. 77 e. 38b. 44 d. 855. a. < c. < e. <b. < d. = f. >6. a. 64 c. 15 625 e. 117 649b. 81 d. 2 985 9847. A8. a. 40 000 c. 7 776b. 30 375 d. 259 3089. a. 4 900 c. 7 776b. 27 000 d. 13 82410. a. 36cm2 b. 6 · 36cm2c. 39cm311. A12. A13. 35 veces.14. De 26maneras, es decir, de 64 maneras.15. De 34maneras, es decir, de 81 maneras.16. 214cm217. 35cm18. 26combinaciones, es decir, 64 combinaciones.19. 229= 536 870 912 cm320. 59cm321. a. 4 096 cm3= 46cm3b. Aumenta 43veces.c. Disminuye 43veces..22. 323. a. 21es 2, 22es 4, 23es 8, 24es 16, 25es 32, 26es 64, 27es 128 y 28es 256.b. Se repite la secuencia 2, 4, 8, 6 para los dígitosde las unidades.c. El dígito de las unidades de 217es 2, porque 17es 4 · 4 + 1, así que 217tiene el mismo dígito delas unidades que 21.d. La unidad de 219es 8. La unidad de 221es 2.La unidad de 230es 4. La unidad de 232es 6.
  • 164. Solucionario164SolucionarioPáginas 54 y 551. C2. A3. B4. C5. B6. B7. C8. A9. A10. B11. C12. D13. B14. C15. A16. D17. A18. C19. D20. D21. C22. D23. C24. C25. D26. a. 64= 1 296 lápices.b. 67= 279 936 lápices.c. 68= 1 679 616 lápices.Páginas 56 y 571. a. 32243 g. 2,48832b. 2 401625 h. 576,4801c. 3259 049 i. 7 77616 807d. 371 293243 j. 164 206,4902e. 1 470,08443 k. 1258f. 457 679,44572. a b a · b a : b 0,125 0,5 0,540,52 0,0625 0,25 0,253 0,2510,04 0,2 0,230,21(0,5)5 (0,25)20,590,513. a. 1625 b. 24316 807 c. 166254. a. 14 e. 0,027 i. 0,064b. 827 f. 0,49 j. 132c. 0,00001 g. 0,262144d. 0,25 h. 0,645. A6. 53 · 10–12m7. a. = c. = e. <b. > d. > f. >8. 2 días.9. (53 )9cm310. a. 1,26m3 b. 2 · 1,24+ 2 · 1,25+ 2 · 1,23m2 c. Aumenta 64 veces.d. Aumenta 125 veces.e. Aumenta 15,625 veces.11. C12. D13. C14. a. (12 )4· 20 000 c. $ 1 250b. (0,5)4· 20 00015. a. (0,6)3· 125 = 27 mujeres.b. 20 hombres.16. a. (35 )6b. 0,07776c. 0,6, 0,36, 0,216, 0,1296, 0,07776d. En el sexto término.e. Los números seguirán disminuyendo.f. Por ejemplo: (23 )1, (23 )2, (23 )3, (23 )4, (23 )5...g. Que la base de las potencias fuera menor que 1.Páginas 58 y 591. a. (25 )4= 16625 e. 0,34= 0,0081b. 5572· 63= 3 12510 584 f. 28= 256c. (43 )8= 65 5366 561 g. 47= 16 384d. 0,56= 0,015625 h. 33= 272. a b a2b2a2· b2(a · b)20,3 2,4 0,09 5,76 0,5184 0,51847,3 5,2 53,29 27,04 1 440,9616 1 440,9616244614491919523425491622564225643. a. 0,00001 d. 174,24 g. 72915 625b. 5,3 e. 1 h. 65 5365 764 801c. 2431 024 f. 16 3844. a. (25 )6= 6415 625 c. (45 )9= 262 1441 953 125b. (34 )10= 59 0491 048 5765. a. < c. < e. <b. < d. = f. =6. a. 51240 353 607 c. 7294 096 e. 64117 649b. 0,107 d. 0,00032 f. 4 096117 649
  • 165. Solucionario 165Solucionario7. a. 16 80732 c. 27343 e. 0,4b. 1 d. 425 f. 0,68. B9. B10. a. (13 )2cm b. (13 )4cm c. (13 )6cm11. Quedan 729 pulgones.12. a. Tiene $ 33 000.b. Tiene $ 36 300.c. Tiene $ 48 315.13. 0,99c 0,387 cm314. B15. 1,29cm3Páginas 60 y 611. a. 1 679 616 d. –2 097 152 f. 1 024b. 3 375 e. –371 293 g. –81c. 4 096 2. a b a2b2a2· b2(a · b)2 2 –1 4 1 4 4 4 –3 16 9 144 144–6 7 36 49 1 764 1 764 9 –1 81 1 81 813. a. 16 c. 2 197 e. 25b. 125 d. –27 f. –2 1974. a. > c. = e. <b. > d. = f. <5. a. 64 c. 15 625 e. 117 649b. 81 d. 16. $ 8 388 6067. 39cm38. a. 55= 3 125 e. 28= 256b. 26= 64 f. –214= –16 384c. (–4)7= –16 384 g. 34= 81d. 35= 2439. a. 512 d. 1b. –243 e. –5c. 169 f. 16910. a. < c. < e. <b. < d. = f. >11. a. 16 d. 1b. 9 e. –1 977 326 743c. 9 765 625 12. a. 512 c. 61 e. (–4)4b. 26 d. (–5)20 f. (–7)513. 29cm14. $ 196 83015. B16. D17. C18. CPáginas 62 y 631. a. 1 e. 7 i. 20b. 2 f. 9 j. 30c. 3 g. 11 k. 1 000d. 5 h. 12 l. 1002. a. 50 e. 65 i. 130b. 80 f. 39 j. 30c. 9 g. 16d. 12 h. 453. D4. a. 2,24 c. 6,48 e. 2,65b. 3,16 d. 3,46 f. 5,485. Aproximadamente 8,94 cm.6. 5 m cada uno.7. 2,82 cm8. a. 16 cm c. 192 cm2b. 56 cm9. Sí, en ambos casos el resultado es igual a 7,071,aproximadamente.10. Sí, como 4 < 6 < 9, se tiene que: √4 < √6 < √9,luego 2 < √6 < 3.11. a. 5,464 c. 5,38b. 19,21 d. 4,2912. a. F d. V f. Vb. F e. V g. Vc. F 13. √a · b = √a · √b14. C15. a. Área 6 m2b. Necesita 24 cerámicas.c. Cada cerámica tiene 50 cm de lado.d. Miden 25 cm.Páginas 64 y 651. B2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. C10. B11. A12. C13. C14. A15. B16. D17. A18. D19. D20. C21. B22. C 23. D24. a. Alcanzó (0,9)3m.b. 7 saltos. En el séptimo salto la altura del rebotees 0,97= 0,478 m.c. Alcanza 65,61 cm, es decir 656,1 mm.d. 6,551 · 101cm 6,561 · 102mm
  • 166. Solucionario166SolucionarioPáginas 66 y 671. a. a b a · b b · a3 5 15 152 10 20 20b · a, conmutativa de la multiplicación.b. a b a + b b + a3 5 8 83 10 13 13b + a, conmutativa de la adición.c. a b c a + (b + c) (a + b) + c3 5 7 15 151 10 2 13 13(a + b) + c, asociativa de la adición.d. a b c a · (b · c) (a · b) · c3 5 7 105 1056 10 2 120 120(a · b) · c, asociativa de la multiplicación.e. a b c a · (b+ c) a · b + a · c3 5 7 36 364 10 2 48 48a · (b + c), distributiva de la multiplicación respectode la adición.2. D3. a. a b a + b b + a3 1 4 40 10 10 101 5 6 68 0 8 8Porque al sumar 0 a un número se obtiene el mismo número.b. a b a · b b · a3 1 3 31 10 10 100 2 0 08 0 0 0Porque al multiplicar un número por 1 se obtieneel mismo número.c. Porque al multiplicar un número por 0 seobtiene 0.4. A5. B6. C7. a. 104, propiedad conmutativa de la adición.b. 135, propiedad conmutativa de la multiplicación.c. 122, propiedad asociativa de la adición.d. 270, propiedad asociativa de la multiplicación.e. 225, propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición.f. 1 350, propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición.8. a. 4 · (60 + 3) = 4 · 60 + 4 · 3 = 240 + 12 = 252b. (50 + 8) · 6 = 50 · 6 + 8 · 6 = 300 + 48 = 348c. (10 + 8) · 7 = 10 · 7 + 8 · 7 = 70 + 56 = 126d. (100 + 20) · 5 = 100 · 5 + 20 · 5 = 500 + 100 = 600e. (70 + 1) · 8 = 70 · 8 + 1 · 8 = 560 + 8 = 5689. a. 4 g. 15 m. 23b. 27 h. 120 n. –3c. 11 i. 135 ñ. 46d. 8 j. 36 o. 21e. 17 k. 1 p. –26f. 48 l. 20 q –16210. a. 0 g. 2 m. 2b. 19 h. –16 n. 18c. 4 i. –5 ñ. –3d. –3 j. 4 o. –2e. 2 k. –3 p. –8f. 16 l. –20 q. –1511. a. 32 g. 56 m. 13b. 775 h. 43 n. 7c. 233 i. 58 ñ. 11318d. 136 j. 125 o. 716e. 3115 k. 6 p. 20615f. 85 l. 4 q. 31612. a. 2,3 g. 0,26 m. 8,6b. 17,2 h. 0,88 n. 11,4c. 6,2 i. 10,985 ñ. 9,14d. 1,5 j. 1,21 o. 2,1e. 2,4 k. 2,308 p. 3,6f. 8,8 l. 8,462 q. 1,328
  • 167. Solucionario 167Solucionario13. a. 1,75 g. 1,725 m. 14,9b. 17 h. 9,2 n. 5,1c. 8,3 i. 2,109375 ñ. 10,54d. 3,05 j. 1 o. 14,25e. 4,3 k. 4 p. 8,6f. 8 l. 13,3 q. 4,214. a. 9 c. 4 e. 16b. 25 d. 4 f. 915. Se obtienen los mismos resultados que en el ejercicio 14.16. (a + b)2= a2+ 2ab + b2Páginas 68 y 691. a. 3 c. 4,18 e. 16b. 14 d. 0 f. 402. a. 6d e. –cd i. 24xb. 5b f. 2xyz j. yc. x g. 11a k. 24fd. 4ab h. 4b l. 03. a. s + s + s + s + s – s b. d + d – d – d – d c. x + x + x + x + y + yd. h + h + h – j – j – j – je. a + a + a – c – c + a4. a. –x – y g. am + anb. –x + y h. 3a4+ 154c. –2x – 2y i. 3a2– 2ab + acd. –2x + 2y j. –12t + 24se. 6 – 2x – 2y k. –16x – 12yf. 6 – 2x + 2y l. –10s + 15k5. a. 2x, 5y, 5x, y, 5 d. a3, a2, 3a, 3b. 4xy, 7yx, 6xy e. a, 2a2, 2a, a4c. 3ab, 2a2, 4ba, 3b f. tr, t2r, tr2, rt6. a. Son equivalentes. g. Son equivalentes.b. Son equivalentes. h. No son equivalentes.c. No son equivalentes. i. Son equivalentes.d. Son equivalentes. j. No son equivalentes.e. No son equivalentes. k. No son equivalentes.f. Son equivalentes. l. Son equivalentes.7. a. No se puede. d. No se puede.b. Se puede. e. Se puede.c. Se puede.8. a. Multiplicarlo por b2.b. Multiplicarlo por x5y2.c. Multiplicarlo por c.d. Multiplicarlo por ts.e. No es necesario hacerle ningún cambio.9. a. 6a + 4b j. 2xy + 3x + yb. 6d + 18b k. 6ab2+ 3ab – 2a2bc. 10h – 3t – 8 l. c3b + 2c3+ b3cd. 4b + 2b2 m. 2b – 4a5e. 27a2+ 9a n. –2,2h + 6h2f. h5+ 20h ñ. 9,5ab2– 3a2bg. 7a + 5b o. 6df – 2,7h. 2s + 19t p. –2x5–2y + 2i. 7ab + 2 q. 2k3–3h – 110. a. Por ejemplo: 12a. c. Porejemplo:2(a+b–c). b. Por ejemplo: 4(z – 2). d. Por ejemplo: s(t+r+v).11. C12. D13. A14. DPáginas 70 y 711. a. a – 3 · 5 e. 2x i. 3x5b. 2(a + 8) f. 3x j. 2x + 804c. x + 17 g. 2x + 10 k. (3x+15)–2xd. x – x4 h. 3x – 42. B3. a. 4x + 480 + 200 = 2 000b. El precio de un helado.4. a. x + 9, x – 6.b. x + 9 + x – 6 + x = 515. B6. a. 2x + x3= 10b. x + 6 = 7yc. 4x – x – 35= x + 44d. 1 000x= x77. 5x – 2x = 1058. B9. a. a + b + c + d b. 2x + 4y10. a.
  • 168. Solucionario168Solucionariob. Figura 1 2 3 4 5Cantidad desegmentos7 12 17 22 27Fórmula 7 7 + 5 7 + 10 7 + 15 7 + 2011. a. x4+ 8202= 1 190b. 599x0,5= 1 399x1,5+ 796c. n2+ 12+ 12 (n – (n2+ 12 ))+ 12+ 1 = nd. a – 5 = 122– 3e. 2p – 1 500 = p + 1 000f. g = 2p, 21 = 2g + 3p (o bien 21 = 4p + 3p)g. a + (a – 3) + (a – 3 – 1) = 100Páginas 72 y 731. a. No es una ecuación.b. Es una ecuación y tiene una incógnita.c. No es una ecuación.d. No es una ecuación.e. Es una ecuación y tiene una incógnita.f. Es una ecuación y tiene dos incógnitas.2. a. Grado: 2, incógnita: x.b. Grado: 1, incógnita: z.c. Grado: 4, incógnita: y.d. Grado: 2, incógnita: x.e. Grado: 1, incógnita: j.f. Grado: 1, incógnita: j.3. a. 0 c. 7 e. 0b. 0 d. 0 f. 04. a. 40 d. 50 g. 0b. 9 e. –40 h. 1c. –50 f. 2255. a. No es solución. d. No es solución.b. Es solución. e. No es solución.c. Es solución. f. No es solución.6. a. 12 c. –6 e. –4b. –20 d. –3 f. 17. a. 20 m. 3b. 15 n. 10 c. 18 ñ. 1311d. –46 o. 14e. –95 p. 0f. 12 q. 5g. 12 r. 5h. 0 s. 145 i. –58 t. Se cumple para cualquier valor de x.j. –13 u. 5k. 3 v. 4l. –703 w. 28. a. x + x2– (2x + 8) = 0 d. 3x + 5x – 2x = 24x = –16 x = 4b. 2x – x2= 96 e. n + n + 1 = 35 x = 1 n = 17c. x + x3–(2x + 15 )= 0 x = –3109. a. 480b. $ 1 470c. 13,95 cm2d. 2 461,76 cm2e. 14 mujeres, 7 hombres y 21 niños.f. En la primera sala había 47 personas y en lasegunda, 27.10. B11. A12. CPáginas 74 y 751. C2. B3. B4. B5. C6. B7. A8. C9. D10. D11. D12. B13. C14. B15. A16. C17. C18. D19. B20. B21. D22. C23. A24. C25. B26. B27. C28. C29. a. 3n + 2– 2n + 1b. 23, 73, 227Páginas 76 y 771. C2. D3. C4. D5. C6. A7. A8. D9. C10. B11. A12. C13. A14. a. 12,167 c. 850,3056b. 256625 d. 3 12524315. a. 86 040 c. 3 401 608b. 752 000 d. 283 10416. a. 5 · 104+ 7 · 103+ 8 · 102+ 3 · 101b. 6 · 106+ 1 · 105+ 2 · 104+ 8 · 101c. 9 · 105+ 3 · 103+ 4 · 102+ 7 · 101+ 2 · 100d. 1 · 106+ 3 · 103+ 7 · 102+ 8 · 101+ 5 · 10017. a. 820 c. 340 000b. 720 d. 0,25
  • 169. Solucionario 169Solucionario18. a. 125 · 10–2 c. 7 · 10–4 e. 34 · 10–5b. 5 823 · 10–3 d. 4 · 10–2 f. 9 · 10–619. a. 6474= 1 2962 401 d. 0,84= 0,4096b. 2959= 5121 953 125 e. 48= 65 536c. 4797= 16 3844 782 969 f. 97= 4 782 97920. a. Por los caramelos de anís debe pagar $ 2 340, $ 23 400 por los de miel y $ 234 000 por los de fruta.b. Obtiene 2,5 kg de coco rallado, 12,5 kg dechocolate y 15 kg de canela molida.21. a. c = 13 c. a = 18b. b = 20 d. b = 822. Hubo 37flores, o sea, 2 187.23. a. 320 d. 5m + 25 – 15b. 0 e. d + d + d + d + dc. 13z f. d · d · d · d24. a. 7a + 4b d. 6b + 9b2b. 4d + 8b e. 12a2+ 7ac. 11h – 7t – 5 f. 3xy + 6x + 3y25. a. Hay 16 caramelos de miel y 32 de menta.b. Los números son 24, 25 y 26.Unidad 3 GeometríaPáginas 80 y 811. a. Por ejemplo: α y λ; β y γ.b. Por ejemplo: α y λ; ε y δ.c. Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas.d. λ = 110ºe. Por ejemplo: δf. β = 60º y δ = 120º2. a. α = β = 42,5ºb. x = 25ºc. x = y = 140º3. a. β = 115º d. α = 40º; β = 140ºb. α = 135º e. α = 90ºc. α = 50º; β = 40º f. α = 70º4. C5. B6. a. β = δ = 30ºb. α = 100ºc. 55º y 125ºd. Rectángulo isósceles.e. 98ºf. 40º o 140ºg. No es correcto, el 2º ángulo debe medir 108º.Páginas 82 y 831. a. α = 60ºb. α = 35º; β = 130º; γ = 85ºc. α = γ = б = 35º; β = 25º; ε = 155ºd. α = 40º; β = 80º2. D3. a. 720º c. 9 lados. e. 13 lados.b. 135º d. 12 lados. f. 108º4. a. x = 70º c. x = 60ºb. x = 20º d. x = 24º5. a. Aproximadamente 51,4º.b. 20ºc. 50º, 70º, 90º y 150º6. D7. a. No, porque no resulta un número entero para el número de lados.b. Un cuadrilátero o un pentágono.8. a. Los ángulos superiores miden 125º y los inferiores 55º.b. Tres trozos más.c. 105º, 105º y 75ºd. 170ºe. Uno de los ángulos es del triángulo y el otro, susuplemento, por ejemplo: 50º y 130º.f. α = 18º, β = 54ºPáginas 84 y 851. a. 3 cm 4 cm5 cmb. c. 5 cm3,5 cm 3,5 cm
  • 170. Solucionario170Solucionariod. No, porque para poder construir un triángulola suma de las longitudes de los lados menoresdebe ser mayor al lado de mayor longitud yeso no se cumple con los segmentos dados.e. La suma de las longitudes de dos de los seg-mentos debe ser siempre mayor a la longituddel tercero.f. 2 cm, 3 cm y 5 cm, no se puede porque eltriángulo no tendría superficie.2. a. No, con esos segmentos solo se puede dibujar un triángulo.b. 80º70º 30ºc. Sí, por ejemplo uno que tenga los mismosángulos pero los lados más pequeños.80º70º 30ºd. Con tres lados dados se puede construir unsolo triángulo o ninguno, con tres ángulosdados, que sumen 180º, se pueden construirinfinitos triángulos.e. 2 cm30º 50ºABCf. 2 cm4 cm30ºA BC3. a. El punto de intersección es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.A BCIb. El punto de intersección de las alturasse llama ortocentro.6 cm4 cm5 cmA BCHc. El punto de intersección se encuentra fueradel triángulo.HACBd. El punto de intersección es el centro de lacircunferencia circunscrita al triángulo.A BOCe. El punto de intersección de las transversales degravedad se llama baricentro.CBAG
  • 171. Solucionario 171Solucionario4. a. y b. En un triángulo equilátero todos sus elementos secundarios coinciden.CA Bc. En el primer caso los elementos secundarioscoinciden, pero si se usan los otros lados loselementos no coinciden.5. a. CBAb. 6 triángulos.6. D7. A8. a. En el punto de intersección de las simetrales del triángulo, cuyos vértices son los poblados.b. En el punto de intersección de las transversalesde gravedad del triángulo.c. El punto de intersección de las bisectricesdel triángulo.Páginas 86 y 871. a. 50ºO ABA’O’B’b. 108ºO AB5 cmc. d. 45ºe. 135ºf. 8 lados.135ºBAOg. Bisecando primero un ángulo de 90º y luegouno de los de 45º.22,5ºA’O’B’
  • 172. Solucionario172Solucionarioh. 135º45ºA BCDi. 135º22,5º 22,5ºA BCj. 45º ABC45º45ºk. Es un rombo.4 cm4 cm4 cm4 cm135º2. a. ABb. Dada una recta cualquiera, se dibujan lospuntos A y B, uno perteneciente a la recta y elotro no. Luego, con el compás centrado en A,se traza un arco de circunferencia que conten-ga a B. La intersección entre el arco y la rectacorresponde al punto C. Finalmente, se trazanarcos con centro en B y C, y radio AB paradeterminar el punto D. La recta que contiene aB y D es paralela a la dada.B DA Cc. Igual a la construcción anterior, pero el puntoB debe estar a 4 cm de la recta que pasa por elpunto A.d. e. AB4 cm4 cmf. Se obtiene un rectángulo.g. Se obtiene un trapecio.45º135º5 cmh. Dos cuadrados de lado 4 cm.D E CA F B
  • 173. Solucionario 173Solucionarioi. A B C D3. a. Por ejemplo:5 cmA BD E2 cmb. A BCD40º 140º5 cmAc. 5 cm8 cmABCD 40ºd. Los otros ángulos miden 140º.A BCD40º5 cm40ºe. ABCD10 cmf. ABCD8 cm6 cmg. Por ejemplo. D CA BAB = 5 cm3 cmh. 60º4 cm3 cmi. DCAB 2 cmAD = 5 cm4,5 cmj. Por ejemplo.DCAB 2,5 cm5 cmk. No, para que sea un paralelogramo sus ángulos contiguos deben sumar 180º.
  • 174. Solucionario174Solucionariol. Podría ser construyendo un triángulo equilátero. 60º 60º60ºm. 60ºDA BCAB = 8 cmED = 4 cm120ºEn. Otro triángulo equilátero, de lado 3 cm y untrapecio isósceles.60º 60º60º6 cmñ. El perímetro aumenta al doble y el áreaaumenta al cuádruple. 3 cm6 cm4. a. La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo.b. Está matemáticamente demostrado que nopueden construirse con regla y compás.5. a. Primero traza un segmento de 60 cm. Luego, en un extremo dibuja una perpendicular, puede usar un compás de pizarra, sobre ella copia los 60 cm. Repite estos pasos al otro extremo del segmento.b. Podría dibujar un segmento que represente los18 m y construir la simetral, que determinarádos puntos, uno sobre y uno bajo el segmentoy a la misma distancia de él, puntos que repre-sentan los otros vértices del rombo.c. Trazar el segmento AC, formando un ánguloagudo con AB, que corresponde al largo delterreno. Luego, en el segmento AC realizar tresdivisiones iguales, con una longitud arbitraria.De este modo se forman los puntos D, E y F.Unir el punto F con el extremo B del largo delterreno y, a partir del segmento FB, trazar dosrectas paralelas que contengan a D y E.La intersección de estas paralelas con el largo(los puntos G y H) forman puntos que dividenel largo en tres partes iguales.ADG HEFBCd. Se dibuja un segmento y su simetral. Se escogeun punto C en la simetral y se trazan rectasdesde los extremos del segmento hasta elpunto C.e. Construyendo seis triángulos equilateroscongruentes.f. Con un compás hecho con un cordel puedeconstruir dos pares de segmentos paralelos,formando un paralelogramo.g. La construcción del triángulo y el cuadrado semuestra en la siguiente figura:Páginas 88 y 891. a. A BCDEF5 cm
  • 175. Solucionario 175Solucionariob. 2. a. b. 3. a. OAA’B’C’BCb . APA’B’D’C’DBCc. 4 cm7 cm36º4. B5. B6. C7. C8. a. Falso, se requiere un eje de simetría.b. Falso, se requiere conocer también el centrode rotación.c. Falso, se mantiene forma y tamaño.d. Verdadero.e. Verdadero.f. Falso. La distancia desde cualquier punto de unafigura al eje de simetría es igual a la distanciadesde la imagen de ese punto al eje.9. a.CBAC’A’B’b. El eje de simetría es una recta que contiene alpunto A.c. Una traslación cuyo vector es perpendiculara las rectas L1y L2y cuyo tamaño es el dobleque la distancia entre L1y L2.d. Una rotación en 15º en sentido antihorario conel mismo centro.10. a. Una reflexión.b. Una rotación.c. Una traslación.11. a. A BCABCb. A’B’C’ABCA’’B’’C’’
  • 176. Solucionario176Solucionarioc. Una traslación.Páginas 90 y 911. Las figuras a. y c. no pueden teselar el plano porquequedan espacios sin cubrir. En el caso de las figurasb. y d., utilizando transformaciones isométricas, sepueden forman figuras que teselan.2. C 3. a. Sí, porque cada ángulo interior del octágono mide 135º de modo que con 2 octágonos y un cuadrado que concurran a un vértice se obtienen 360º.b. No, porque no se podría construir un octágonoregular que combinara con los lados del rectángulo.4. a. La figura pintada se refleja, considerando como eje de simetría una recta horizontal que contenga al vértice inferior del triángulo. Luego, la imagen resultante se traslada hacia la derecha y hacia abajo, cubriendo el plano.b. La figura pintada se rota en 60º, en sentidohorario considerando como centro de rotaciónel centro del hexágono. Luego, la imagenresultante se traslada hacia la derecha y haciaabajo, cubriendo el plano.c. La figura pintada se rota en 180º y con centrode rotación en el vértice derecho del hexágono.Luego, se refleja tomando como eje la rectavertical que pasa por el centro del hexágono.Finalmente se refleja, tomando como eje desimetría el lado inferior de cada hexágono,cubriendo así el plano.5. a. Semirregular.b. Regular.6. Sí, si se traslada la figura, la suma de los ángulosque concurren a un vértice es 360º.7. a. 30 baldosas grises.b. 5 baldosas verdes.c. Se necesitan 4x + 2 baldosas grises.8. D9. a. Un hexágono regular.b. Dos.c. No, porque sus ángulos interiores no sondivisores de 360º.d. Sí, porque al yuxtaponerlos la suma de losángulos que concurren a un vértice es 360º.e. Sí, la teselación que se forma es la siguiente.f. Sí, porque con las dos figuras se puede formarun romboide y con él se puede teselar el plano.A’B’A BC72º 108ºPáginas 92 y 931. 75 cm22. a. a = 9 cmb. A = 1,92 m2c. l = 4 cm3. a. 12 cm2 c. 21,6 cm2b. 48 cm2 d. 87,75 cm24. a. 9 cm2y 56,25 cm2b. 1 : 6,25c. La razón entre las áreas es el cuadrado de larazón entre los lados.5. a. 12,5 cmb. Las áreas son iguales.C C’B B’A A’D D’c. El área del triángulo es la mitad del áreadel rectángulo.CBARP QD
  • 177. Solucionario 177Solucionariod. El largo del rectángulo de mayor área es eldoble que el largo del otro.e. Las áreas entre el cuadrado menor y mayorestán en la razón 1 : 4.f. Cualquier par de números positivos tales quesu suma sea 22, por ejemplo: 10 cm y 12 cm.g. Cualquier par de números positivos tales que suproducto sea 36, por ejemplo: 9 cm y 4 cm.6. a. 18 cm2 c. 45 cm2b. 28 cm27. a. 114,5x2 b. 5,5x8. B9. 44 cm210. C11. a. 300 m2 c. 3 cartulinas.b. 2,8 m2 d. 525 ladrillos.12. 75 cm213. a. 24 cuadrados.b. 384 cm214. a. Su lado mide 5 cm y su área, 25 cm2.b. Por ejemplo: uno de 3 cm de ancho y 7 cmde largo. Su área es 21 cm2, y otro de 4 cm deancho y 6 cm de largo. Su área es 24 cm2. Lasáreas de los rectángulos son menores que ladel cuadrado.Páginas 94 y 951. A2. D3. D4. B5. D6. D7. C8. C9. D10. C11. D12. B13. D14. D15. C16. C17. B18. B19. D20. D21. a. Dodecaedros regulares, hexágonos regulares y cuadrados.b. Semirregular, porque está compuesta por másde un polígono regular.c. Sí, la figura muestra aquellos ejes de simetríarepresentativos.d. Sí, por ejemplo, el centro del dodecaedro como centro de rotación y un ángulo de 60º.Páginas 96 y 971. a. h = 5 m e. h = √34 mb. h = √193 m f. c1= 6 mc. c1= √21 m g. h = 13 md. c1= √24 m h. c1= √48 m2. a. Sí e. Síb. Sí f. Síc. No g. Síd. No h. Sí3. A = 24 m24. a. √50 cm d. √50 cmb. √369 cm e. 48 cmc. √39 cm5. D6. a. Camina aproximadamente 38 m menos.b. A 100 km.c. A = 3 · √27 cm; A = a2·√3 · a24cmd. Aproximadamente a 3,3 m.e. Aproximadamente 21,2 m.f. 320 cmg. Juan tiene razón si el otro cateto mide 10,5 cm.7. B8. El hexágono regular. Su área sería de 752√3 cm2.9. a. 486 cm2 c. 22 m2b. 9 cm2 d. 21 cm210. a. 330 cm2b. 46 cmc. 12 + √18 cmd. Aproximadamente 10,38 cm2.Páginas 98 y 991. a. 1 350 cm3b. 2 mc. 1 000 000 cm3d. 250 cubos.e. 90 m3f. 200 cm32. C3. a. 110 cm2 d. 6 930 gb. 2 200 cm3 e. 1 020 cm2c. 1 980 cm34. a. 150 000 veces. c. 60 dados.b. 4 m d. 640 m35. D6. a. 190 cm2 d. 5,6 m2b. 132 cm2 e. 6 cmc. 204 cm27. a. 27 m2 b. 92 cubos.
  • 178. Solucionario178Solucionarioc. 1 600 cm2 d. 607,5 cm3 e. No, faltan 182 cm2. f. 3 650 cm2g. $ 3 000h. 12 000 cm3i. 3 200 Lj. V = 351 cm3, A = 414 cm2Páginas 100 y 1011. a. 48 cm3 b. 1 000 cm3 c. Aproximadamente 41,6 m3.d. Aproximadamente 366,7 cm3.e. 80 cm32. B3. a. 2 579 115 m3b. 139 293 m2 4. a. Aproximadamente 32 cm.b. Aproximadamente 6 144 cm3.c. Aproximadamente 2 208 cm2.5. 6 cm6. a. 6 cm b. 9 cm c. Aproximadamente 167,2 cm2.d. 52 cm3e. 12 cm7. D8. a. 200 gb. 224 cm2c. 512 cm3d. 8 cme. Aproximadamente 141 667 cm3.f. Es el triple.g. 24 pirámides.h. 5 400 cm3i. 88 cm de alambre y 336 cm2de papel.Páginas 102 y 1031. a. Una circunferencia.b. Círculo.2. C3. a. El segmento GF. d. El arco FG=.b. El segmento HI. e. La recta CD.c. El segmento EO. f. La recta AB.4. A5. a. 37,68 cm b. 62,8 cm6. a. Aumenta al doble. b. Disminuye a la mitad. 7. 214,72 cm28. a. 28,26 m c. 4,71 mb. 12,56 m9. a. 78,5 cm2 c. 45,3416 cm2b. 706,5 m2 d. 153,86 m210. a. Es 4 veces mayor.b. Es 9 veces mayor.11. a. Aproximadamente 5,05 cm. b. Aproximadamente 0,798 m. c. Aproximadamente 8 cm.d. Aproximadamente 1,2 m.12. a. 109,76 cm2 c. 3 420,5 m2b. 150,72 cm2 13. A14. a. Aproximadamente 34 cm. b. Aproximadamente 200 cm. c. 418,7 cm2 d. 66,4424 m2e. 57 cm2f. 20 cmg. Aproximadamente 25,12 cm2.Páginas 104 y 1051. a. Los volúmenes están en la razón 4 : 1. b. 636,4 cm3 c. 113,04 cm2d. 314 cm32. B3. a. 508,68 cm3 c. Sí, una.b. 169,68 cm34. a. 16π cm b. 30 cm c. Aproximadamente 27 318 cm3.d. Aproximadamente 36,3 cm.e. 10 vasos.5. a. largo = 2πr b. ancho = h6. A7. a. Falso, esta relación se cumple para el volumen del cono.b. Falso, la generatriz es el radio del manto.c. Verdadero.d. Falso, es igual a longitud de lacircunferencia basal.e. Falso, es un sector circular cuyo radio esla generatriz.f. Verdadero.g. Falso, se cuadriplica.8. a. generatriz = 5 cm, área del manto = 60 cm2, área total = 108 cm2y volumen = 48 cm3.b. altura = 24 cm, área del manto = 525 cm2,área total = 672 cm2y volumen = 1 176 cm3.
  • 179. Solucionario 179Solucionarioc. radio=√99 cm,áreadelmanto=54·√99 cm2,áreatotal = 297 + 54√99 cm2y volumen = 1 485 cm3.d. altura = 12 cm, generatriz = 13 cm, área delmanto = 195 cm2y área total = 270 cm2.e. generatriz = 10 cm, área del manto = 240 cm2,área total = 432 cm2y volumen = 384 cm3.f. radio = √32 cm, área del manto = 18 · √32 cm2,área total = 96 + 18 · √32 cm2y volumen = 64 cm3.9. a. Aproximadamente 406,8 cm2.b. Se necesitan 140 litros de pintura.c. 0,55107 m3d. Aproximadamente 468,4 kg.e. Rosa usa 430 cm3menos de cera.f. 50,24 cm3g. El que tiene el doble del ancho.Páginas 106 y 1071. C2. D3. A4. C5. B6. D7. C8. B9. A10. A11. B12. C13. A14. C15. B16. C17. B18. D19. B20. B21. a. 14 m b. 18,49 mPáginas 108 y 1091. B2. C3. B4. D5. D6. B7. C8. C9. C10. a. 20 cm f. 31,4 cm, 78,5 cm2b. 90 cm2 g. 384 cm3c. α = 80º y β = 50º h. 125,6 cm3d. α = 102º y β = 78º i. 72 + 8 · √3 cm2e. Los ángulos son 15º, 15º, 165º y 165º.11. a. 1 256 m f. 2,5 mb. 4 cm g. 25 cmc. .26 minutos h. 7 397 cm3d. 70º o 110º i. 93,4 cm2e. 135ºUnidad 4 Datos y azarPáginas 112 y 1131. a. 30b. 25c. Voleibol.d. Tenis.e. Hombres.f. No, los hombres prefieren el fútbol mientrasque las mujeres prefieren el voleibol.2. a. Disminuyó la cantidad de hombres que realizan deporte.b. Aumentó la cantidad de mujeres querealizan deporte.c. Ha aumentado la cantidad de mujeres y dehombres que realizan deporte.d. Las mujeres.e. Se observa la tendencia de la cantidad dehombres y de mujeres que realizan deporte a lo largo de los años.3. a.70,0 %60,0 %50,0 %40,0 %30,0 %20,0 %10,0 %2000 2002 2004 2006 2008AlcoholTabacoConsumo de alcohol y tabacoel último mesAñob.Consumo de alcohol y tabacoel último mesAlcoholTabaco80,0 %60,0 %40,0 %20,0 %2000 2002 2004 2006 2008Añoc. Alcohol.d. Ha disminuido el porcentaje de personasque consumen tabaco.e. Entre el año 2000 y 2002, y entre el 2004y 2006.4. D5. B6. C
  • 180. Solucionario180Solucionario7. a.Cantidaddealumnos8º A8º B432101 2 3 4 5Notas bajo 4 en los cursos8º A y 8º BNotas bajo 4b. En el 8° A.c. En el 8° B.d. En ambos cursos hay igual cantidad dealumnos con más de dos notas bajo 4.Páginas 114 y 1151. a. 120b. 25c. 79,17 %d. 20,83 %e. 75°2. a. El partido B.b. Partido Votos Porcentaje GradosA 180 30 % 108°B 210 35 % 126°C 72 12 % 43,2°D 138 23 % 82,8°3. a. Tipo de comida Porcentaje ÁnguloRápida 49 % 176,4°Vegetariana 23 % 82,8°Casera 28 % 100,8°b. RápidaVegetarianaCasera28 %23 %49 %Preferencias de comida4. a.Grupo de edad Porcentaje Ángulo0 – 14 años 25,7 % 92,52°15 – 59 años 62,9 % 226,44°60 años y más 11,4 % 41,04°b. 0 - 14 años15 - 59 años60 años y más62,90 %11,40 %25,70 %Población por grupos de edad, Censo 20025. C6. D7. a. Por ejemplo:Medio de transporte Total estudiantesPúblico 11Automóvil 14Caminando 4Transporte escolar 2Otros 1
  • 181. Solucionario 181Solucionariob. PúblicoAutomóvilTransporteescolarCaminandoOtrosTransporte utilizado por los estudiantes44 %6 %3 %13 %34 %c. Automóvil.d. Transporte escolar.8. a. HombresMujeres30 %70 %Estudiantes que no realizan deporteb. MujeresHombres82 %18 %Estudiantes que practican fútbolc. No, porque el gráfico circular solo permitegraficar los porcentajes de las categorías deuna variable, y en este caso se quieren graficardos; las preferencias de los hombres y laspreferencias de las mujeres.d. Un gráfico de barras múltiples.e. Los estudiantes que realizan básquetbol, tenis,voleibol, etc.f.MujeresHombres67 %33 %Alumnos y alumnas de 8º básicoPáginas 116 y 1171. a. Un gráfico de barras múltiples, porque se podrían representar las temperaturas máximas y mínimas a la vez, para cada ciudad.b. La temperatura máxima, la temperaturamínima y la ciudad.c. La variable independiente es la ciudad y lasvariables dependientes son la temperaturamáxima y la temperatura mínima.d. Se quiere observar la relación entre lastemperaturas máximas y mínimas, y la ciudad.e. Temperaturas máximas y mínimasregistradas en distintas ciudadesTº máximaTº mínima15ºC20251050IquiqueAntofagastaLaSerenaValparaísoConcepciónPuntaArenasf. No, porque un grafico circular se utiliza pararepresentar los porcentajes correspondientesa las distintas categorías de una variable, y eneste caso hay más de una.g. En Punta Arenas.h. En Iquique.i. En Concepción.j. En Antofagasta.k. Por ejemplo: en Concepción y Punta Arenas seregistró una temperatura mínima menor a 5 °C. Solo en Iquique se registró una temperaturasuperior a los 20 °C. La temperatura mínima registrada en La Serenaes superior a la temperatura máxima registradaen Punta Arenas.
  • 182. Solucionario182Solucionariol. Un gráfico de líneas, porque permite analizarcómo cambia la temperatura en las distintasciudades.Variación de temperatura8101214º C6420IquiqueAntofagastaLaSerenaValparaísoConcepciónPuntaArenas2. B3. C4. D5. a. Quiere analizar cómo cambia la cantidad de inasistencias según el mes del año.b. Un gráfico de líneas.c. Inasistencias del primer semestre202530Cantidaddeinasistencias151050Marzo Abril Mayo Junio Juliod. A medida que avanza el semestre se producenmás inasistencias.e. Por ejemplo, a que en el invierno se danenfermedades respiratorias que generalmenteafectan más a los niños, y por esta razón podrían producirse más inasistencias.f. 78g. 396. C7. a. El sexo y el curso.b. Mujeres.c. El tercer gráfico.d. El gráfico de barras múltiples.e. Hay 18 mujeres y 18 hombres.f. Hay 22 hombres y 18 mujeres.Páginas 118 y 1191. a.Cantidad demascotasFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada1 3 3 0,214 0,2142 4 7 0,286 0,53 1 8 0,071 0,5714 6 14 0,429 1b. 28,6 %c. 50 %d. 57,1 %e. 2,71f. 42. a. 5b. 17c. 5d. 32e. 0,3125f. 0,8438g. 4h. El 16 % de los alumnos que faltaron a clasestuvieron a lo más 3 inasistencias.3. a. NotaFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[1, 2) 1 1 0,010 0,010[2, 3) 5 6 0,052 0,062[3, 4) 21 27 0,216 0,278[4, 5) 33 60 0,340 0,618[5, 6) 25 85 0,258 0,876[6, 7] 12 97 0,124 1b. 27c. 60d. 12e. 87,6 %f. 72,16 %g. EL 8º A y el 8º B tienen 32 alumnos, y el 8º Ctiene 33.4. A5. D6. a. 35,7
  • 183. Solucionario 183Solucionariob. Nº decalzadoFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[31, 34) 3 3 0,2 0,2[34, 37) 6 9 0,4 0,6[37, 40) 6 15 0,4 1c. 9 e. 26,7 %d. 6 f. 86,7 %7. a. AlturaFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[143, 148) 4 4 0,125 0,125[148, 153) 10 14 0,313 0,438[153, 158) 9 23 0,281 0,719[158, 163) 9 32 0,281 1b. [148, 153) e. 12,5 %c. 9 f. 59,4 %d. 14Páginas 120 y 1211. a. 8 d. 12,1b. 11,5 e. 11,5c. 12,1 f. 82. a. 5b. 5,86c. 4d. 5e. La mediana, ya que el promedio se ve muyafectado por valores extremos, y en el caso deJorge se observa que un día encestó 12 veces,mientras que el resto de los días no encestómás de 5 veces.f. Raúl, porque Jorge encestó 4 veces o menos el50 % de las veces, mientras que Raúl encestóhasta 5 veces el 50 % de las veces. Además, elpromedio de veces que encestó Raúl fue 5,86,mientras que el promedio de veces que ences-tó Jorge fue 5.3. a. 674,14b. 670c. 751 d. PuntajePSUMarcade claseFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada(400, 500] 450 4 4 0,114 0,114(500, 600] 550 6 10 0,171 0,285(600, 700] 650 8 18 0,229 0,514(700, 800] 750 15 33 0,429 0,943(800, 900] 850 2 35 0,057 1e. 664,29f. 693,75g. 7354. a. 105b. 86c. 7,17d. 8,75e. Por ejemplo:Personasnacidaspor mesFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[8, 11) 1 1 0,083 0,083[11, 14) 2 3 0,167 0,25[14, 17) 4 7 0,333 0,583[17, 20) 3 10 0,25 0,833[20, 23) 2 12 0,167 1f. 165. a. 5,8b. No, se debe a que el promedio de las dosnotas nuevas también es 5,8.6. a. 7b. 77. EdadMarcade claseFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[0, 10) 5 3 3 0,097 0,097[10, 20) 15 6 9 0,194 0,291[20, 30) 25 7 16 0,225 0,516[30, 40) 35 12 28 0,387 0,903[40, 50) 45 3 31 0,097 18. D9. C10. D
  • 184. Solucionario184SolucionarioPáginas 122 y 1231. a. Muestra. c. Población.b. Población. d. Población.2. a. Muestra. d. Población.b. Población. e. Muestra.c. Muestra. f. Muestra.3. a. La hora de la llamada no es la más adecuada, ya que se perdería información de las personas que no contesten el teléfono.b. La muestra no es representativa ya que lamayoría de las personas que se encuentran enla estación de trenes probablemente usan esetransporte con mayor frecuencia.c. La muestra no es representativa ya que se de-bieran considerar alumnos de todos los cursos.d. La muestra no es representativa ya que tambiénse debieran considerar hombres en la muestra.e. Se debieran considerar personas de edadesmayores ya que la mayoría de los jóvenes notienen mucho conocimiento de automóviles.f. Se debiera considerar una muestra de personasde mayor edad, ya que la mayoría de los niñosno sabe en qué le gustaría trabajar en el futuro.4. a. En la muestra se debieran considerar las mismas cantidades de estudiantes de cada curso del colegio.b. La muestra debiera incluir a personas deambos sexos, de todas las edades y de todaslas regiones del país.5. a. 67,7 kg c. 67,5 kgb. 165 cm d. 167 cm6. a. 65,3 kgb. Sí, es cercano al promedio del curso completo.Es representativa la muestra ya que incluye ahombres y mujeres, de distintas masas y estaturas.7. a. 157,6 cmb. No, no se parece al promedio del curso com-pleto. La muestra no es representativa ya queno incluye hombres, y la estatura cambia entrehombres y mujeres.8. a. 157,5 cmb. 62 kgc. No se parecen a los promedios del cursocompleto. La muestra no es representativa yaque incluye al hombre y a la mujer con menorestatura del curso, por lo que el promedio serámucho menor que el del curso entero.9. a. 173,5 cmb. 78 kgc. No se parecen a los promedios del cursocompleto. La muestra no es representativa yaque incluye al hombre y a la mujer con mayorestatura del curso, por lo que el promedio serámucho mayor que el del curso entero.d. Sí importa. Si el tamaño de la muestra es muypequeño es poco probable que contenga aindividuos con todas las características queincluye la población. Por ejemplo, en esta situa-ción una muestra muy pequeña puede que noincluya a todas las masas y estaturas que hay enel curso.10. B11. DPáginas 124 y 1251. D2. D3. B4. C5. C6. D7. C8. B9. D10. B11. B12. D13. A14. D15. C16. C17. A18. C19. A20. a. Intervalode edadesMarcade claseFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[0, 10) 5 8 8 0,267 0,267[10, 20) 15 11 19 0,367 0,634[20, 30) 25 7 26 0,233 0,867[30, 40) 35 3 29 0,1 0,967[40, 50) 45 1 30 0,033 1b. 14,29c. 16,36d. 17,7e. Cantidad de personas por grupo de edad81012FrecuenciaabsolutaEdad6420[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)
  • 185. Solucionario 185Solucionariof. [0, 10)[10, 20)[30, 40)[20, 30)[40, 50)36,7 %10,0 %23,3 %26,7 %3,3 %Porcentajes de personas según grupos de edadPáginas 126 y 1271. a. Ω = {CC, CS, SC, SS}#Ω = 4b. Ω = {22, 25, 28, 52, 55, 58, 82, 85, 88}#Ω = 9c. Ω = {(blanco, rojo), (blanco, verde), (blanco,amarillo), (blanco, azul), (negro, rojo), (negro,verde), (negro, amarillo), (negro, azul)} #Ω = 8d. Ω = {(carne, arroz), (carne, puré), (carne, tallarines),(carne, papas fritas), (pescado, arroz), (pescado,puré), (pescado, tallarines), (pescado, papas fri-tas), (cerdo, arroz), (cerdo, puré), (cerdo, tallarines),(cerdo, papas fritas)} #Ω = 12e. Ω = {(azul, azul), (azul, blanca), (azul, roja), (blanca,azul), (blanca, blanca), (blanca, roja), (roja, azul),(roja, blanca), (roja, roja)} #Ω = 9f. Ω = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, S),(2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)} #Ω = 122. a. {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}b. {(C, 1), (C, 3), (C, 5)}c. {(azul, roja), (verde, roja), (blanca, roja)}d. {(p, a), (p, e), (p, i), (p, o), (p, u)}e. {(S, S, S), (S, S, C), (S, C, S), (C, S, S), (S, C, C), (C, S, C), (C, C, S)}f. {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}3. a. 12b. {(C, 2), (C, 4), (C, 6)}c. {(S, 1), (S, 2), (S, 3)}d. {(C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6)}e. Obtener un sello y un número menor que 2.f. Obtener un número menor que 7.g. Obtener 2 sellos.4. a. 18b. {(zanahoria, carne de vacuno, arroz), (zanaho-ria, pescado, arroz), (zanahoria, pollo, arroz),(zanahoria, carne de vacuno, puré), (zanahoria,pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}c. {(zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,pescado, puré)}d. {(zanahoria, carne de vacuno, arroz), (zanaho-ria, pescado, arroz), (zanahoria, pollo, arroz),(zanahoria, carne de vacuno, puré), (zanahoria,pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}e. {(zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,pescado, puré)}f. {(tomate, carne de vacuno, arroz), (tomate,pescado, arroz), (tomate, pollo, arroz), (tomate,carne de vacuno, puré), (tomate, pescado,puré), (tomate, pollo, puré), (lechuga, carne devacuno, arroz), (lechuga, pescado, arroz), (lechuga,pollo, arroz), (lechuga, carne de vacuno, puré),(lechuga, pescado, puré), (lechuga, pollo, puré)}g. {(tomate, pescado, arroz), (tomate, pollo, arroz),(tomate, pescado, puré), (tomate, pollo, puré),(lechuga, pescado, arroz), (lechuga, pollo,arroz), (lechuga, pescado, puré), (lechuga, pollo,puré), (zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,pollo, arroz), (zanahoria, pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}5. a. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30,36}c. {par, impar}6. B7. D8. B9. B10. B11. a. 10b. {(Javiera, Consuelo), (Javiera, Constanza),(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago), (Consuelo,Constanza), (Consuelo, Gabriel), (Consuelo,Santiago), (Constanza, Gabriel), (Constanza,Santiago), (Gabriel, Santiago)}c. {(Javiera, Constanza), (Consuelo, Constanza),(Constanza, Santiago), (Constanza, Gabriel)}d. {(Javiera, Consuelo), (Javiera, Santiago),(Consuelo, Santiago)}
  • 186. Solucionario186Solucionarioe. Los delegados elegidos son hombres.f. Salen elegidos Javiera y un hombre.12. a. 6b. {(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago),(Consuelo, Gabriel), (Consuelo, Santiago),(Constanza, Gabriel), (Constanza, Santiago)}c. {(Javiera, Gabriel), (Consuelo, Gabriel),(Constanza, Gabriel)}d. {(Consuelo, Gabriel), (Consuelo, Santiago),(Constanza, Gabriel), (Constanza, Santiago)}e. Santiago es elegido delegado de pastoral.f. Consuelo es elegida delegada de pastoral.Páginas 128 y 1291. a. De dos formas; (2, 4) y (4, 2). Su probabilidad es 0,06.b. {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} 0,11c. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)} 0,417d. {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4),(3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} 0,5e. {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}0,917f. {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),(3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (5, 3), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 0,5562. a. Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CSCC, SCCC, CCSS, CSCS, CSSC, SCSC, SCCS, SSCC, CSSS, SCSS, SSCS, SSSC, SSSS}b. 0,0625c. Sí, porque todos los elementos tienen igualprobabilidad.d. Ω = {0, 1, 2, 3, 4}e. P(0) = 0,0625, P(1) = 0,25, P(2) = 0,375,P(3) = 0,25, P(4) = 0,0625.f. No, porque los elementos tienen distintasprobabilidades.g. 0,6875h. 0,68753. a. BlancaVerdeNegra AzulBlancaVerdeVerdeNegra AzulBlancaNegraVerdeNegra AzulBlancaAzulVerdeNegra AzulBlancab. 0,0625c. 0,25d. 0,254. a. PicasDiamantesCorazones TrébolesPicasDiamantesDiamantesCorazones TrébolesPicasCorazonesDiamantesCorazones TrébolesPicasTrébolesDiamantesCorazones TrébolesPicasb. 0,0625 d. 0,23c. 0,375 5. a. 40 c. 0,8b. 0,16. C7. 0,0558. C9. C10. B11. a. 0,47 c. 0,417 e. 0,944b. 0,306 d. 0,72212. a. 0,07 d. 9b. 0,33 e. 0,33c. 0,67 f. 0,33Páginas 130 y 1311. a. Seguro.b. Probable.c. Seguro.d. Probable.e. Probable.2. a. Probable. e. Seguro.b. Imposible. f. Imposible.c. Probable. g. Imposible.d. Probable.3. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,salen menos de dos caras.En el lanzamiento de un dado sale un númeromayor que 0.
  • 187. Solucionario 187Solucionario4. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,sale un sello.En el lanzamiento de un dado sale un númeromayor que 2.5. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,salen tres caras.En el lanzamiento de un dado sale un númeromayor que 17.6. a. Por ejemplo: suceso seguro: Camila obtiene una nota inferior a 8. Suceso probable: Camila obtiene más de 4 en la prueba. Suceso imposible: Camila obtiene una notanegativa.b. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene unnúmero de un dígito.Suceso probable: se obtiene un 2.Suceso imposible: se obtiene un 27.c. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene unacara o un sello.Suceso probable: se obtiene una cara.Suceso imposible: se obtienen 3 sellos.d. Por ejemplo: suceso seguro: la suma de losvalores obtenidos es mayor que 1. Suceso probable: la suma de los valores obtenidos es 2. Suceso imposible: el producto de los valoresobtenidos es 32.e. Por ejemplo: suceso seguro: se obtienenmenos de 4 caras.Suceso probable: se obtienen 2 caras.Suceso imposible: se obtienen más de 4 sellos.f. Por ejemplo: suceso seguro: no se extrae una bolita amarilla.Suceso probable: no se extrae una bolita verde.Suceso imposible: se extrae una bolita azul.g. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene a lomás un sello.Suceso probable: se obtiene un 3 y un sello.Suceso imposible: se obtienen 2 sellos.h. Por ejemplo: suceso seguro: se elige al menosuna mujer. Suceso probable: se eligen 2 mujeres y un hombre.Suceso imposible: se eligen 3 hombres.i. Por ejemplo: suceso seguro: no se elige el negro.Suceso probable: se elige el rojo.Suceso imposible: se elige el verde.j. Por ejemplo: suceso seguro: no se eligen2 letras iguales.Suceso probable: se elige una L y una O.Suceso imposible: se eligen 2 letras S.k. Por ejemplo: suceso seguro: la suma de losvalores obtenidos es mayor que 3. Suceso probable: la suma de los valores obtenidos es 11. Suceso imposible: la suma de los valores obtenidos es 7.7. a. Seguro. d. Probable.b. Probable. e. Imposible.c. Imposible.8. a. Probable. f. Muy probable.b. Poco probable. g. Poco probable.c. Imposible. h. Probable.d. Poco probable. i. Seguro.e. Probable.9. D10. B11. A12. A13. a. Poco probable. d. Probable.b. Muy probable. e. Poco probable.c. Imposible.14. a. Rellenode manjarRellenode frutillaRellenode mentaTotalChocolateamargo 6 2 2 10Chocolatedulce10 10 10 30Total 16 12 12 40b. 0,15c. 0,3d. 0,2515. DPáginas 132 y 1331. a. Equiprobables. b. Equiprobables. c. No equiprobables. d. No equiprobables.e. No equiprobables.f. No equiprobables.g. Equiprobables.
  • 188. Solucionario188Solucionario2. Por ejemplo:1 2 3 4 5 610 veces 2 2 1 1 1 320 veces 3 2 2 4 5 440 veces 8 6 6 7 5 850 veces 9 8 9 7 8 9a. Para los 50 lanzamientos.b. 0,1c. 0,663. A partir de la solución del ejercicio anterior:ResultadoFrecuenciarelativaFrecuencia relativaacumulada1 0,18 0,182 0,16 0,343 0,18 0,524 0,14 0,665 0,16 0,826 0,18 1a. 0,14b. 0,18, la frecuencia relativa del resultado 6.c. 0,52, la frecuencia relativa acumulada delresultado 3.d. 0,66, la frecuencia relativa acumulada delresultado 4.e. 0,48f. 0,664. Por ejemplo:a. 0,1 c. 0,1b. 0,33 d. 0,25. B6. C7. a. 0,00409b. 0,50389c. 0,03882Páginas 134 y 1351. D2. C3. A4. B5. B6. D7. C8. A9. B10. B11. D12. D13. B14. C15. B16. A17. C18. C19. C20. D21. a. 12 d. 0,75b. 0,667 e. 0,5c. 0,08322. a. 0,25 d. 0,656b. 0,344 e. 0,688c. 0,109 f. 0,766Páginas 136 y 1371. A2. C3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. D10. a. La mayoría está en desacuerdo con que los partidos del campeonato nacional se transmitan por un solo canal de señal abierta.b. A solo una muestra de la población, ya que esmuy costoso acceder a todas las personas deun país.11. Obtendría una muestra de jóvenes con edadesentre 18 y 29 años, de todas las regiones de Chile.12. a. MasaMarcade claseFrecuenciaabsolutaF. absolutaacumuladaFrecuenciarelativaF. relativaacumulada[40, 50) 45 4 4 0,0635 0,0635[50, 60) 55 16 20 0,2540 0,3175[60, 70) 65 32 52 0,5079 0,8254[70, 80) 75 8 60 0,1270 0,9524[80, 90) 85 3 63 0,0476 1b. 11 f. 88,89 %c. 63 g. 63,4 kgd. 25,4 % h. 64 kge. 82,54 % i. 63,59 kg13. a. Por ejemplo: Seguro: no se extrae una bolita negra.Imposible: se extrae una bolita amarilla.b. Por ejemplo:Seguro: no se extrae una carta de trébol roja. Imposible: se extraen dos reyes de corazones.c. Por ejemplo: seguro: la suma de los valores delas bolitas es menor que 41. Imposible: la suma de los valores de las bolitases 53.14. 10 bolitas amarillas.15. a. 390 c. 0,0077b. 0,051
  • 189. Solucionario 189Solucionario16. a. Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}b. 11c. (1, 1), (1, 2), (2, 1).d. 0,3733e. 0,7467f. 0,8667g. 0,7533Unidad 5 ÁlgebraPáginas 140 y 1411. a. Variables: días de marzo y ventas. Sus unidades son los días y pesos, respectivamente.b. Variables: tiempo y velocidad. Sus unidadesson las horas (h) y kilómetros por hora (km/h),respectivamente.c. Variables: pan y dinero. Sus unidades son loskilogramos (kg) y los pesos ($), respectivamente.d. Variables: X e Y.2. a. a b–8 –40,5 0,25 13 6,5 14 7b. b = a2c. Por ejemplo, se puede relacionar los lados deuna cancha de juegos, donde un lado mida lamitad del otro.3. a. x y 2 –1 4 1 7 410 7b. x = y + 3c. x = 154. a. • y = 325 • x = 25b. • y = –26 • x = 2935. B6. a. y = – x2 e. y = 2xb. x = y – 7 f. x = 8y3c. x = 12 – y g. x = y – 5d. y = 2x3 7. C8. a. Que Alejandro tiene un año y medio más de edad que Andrés.b. Por ejemplo:a h 25 23,530,5 2942,5 41 50 48,59. A10. a. Los ingresos son $ 980 000.b. Asistieron 220 espectadores.c. El precio de la entrada a la obra de teatro.11. B12. a. a = P4 c. 9 cmb. 28 cm.13. a. Número de diagonales.b. d = n – 3c. n = d + 314. B15. a. 25 personas.b. Personas Bancos7 29 311 4c. p = 3 + 2b16. APáginas 142 y 1431. a. Dos; a y b.b. a es la variable dependiente, ya que su valorcambia según el valor que tome b.c. La variable a está en función de la variable b.2. a. Los valores de x, es decir: 1, 2, 3 y 4.b. Los valores de y, es decir: 3, 5 y 7.c. 7d. No.
  • 190. Solucionario190Solucionario3. a. No es función.b. Sí es función.4. a. Si c = d – 21 decimos que c está en función de d, en símbolos c = f(d) o f(d) = d – 21.b. Si x = 3y – 15 decimos que x está en funciónde y, en símbolos x = f(y) o f(y) = 3y – 15.c. Si z = 9v decimos que z está en función de v,en símbolos z = f(v) o f(v) = 9v.5. a. r = f(t) = 2t – 5b. v = f(x) = 3x + 24c. z = f(w) = 5 – wd. m = f(n) = 5(n – 1)3e. x = f(y) = –3y – 24f. a = f(b) = 2b + 16. A7. a. Es función. c. No es función.b. Es función. d. No es función.8. a. {0, 7, 21, 49, 63} c. {8}b. {3, 1, –3, –11, –15} d. {–15, –12, –6, 6, 12}9. a. El conjunto de los números enteros entre 0 y 70, ambos incluidos.b. {–300, –150, 0, 150, 300, ... , 10 200}c. 3 chocolates.d. El dinero que gastó Andrea en hacer loschocolates.10. D11. a. {14, 16, 18, 20, 22} b. {7, 8, 9, 10, 11}12. A13. a. c = f(t) = 10tb. El dominio es el conjunto de los números queestán entre 0 y 3 600, ambos incluidos. El recorrido es el conjunto de los números queestán entre 0 y 36 000, ambos incluidos.14. A15. B16. a. 31b. 18c. 9, 11, 13, 15, 1717. B18. a. Hay tres variables: las variables independientes son las notas en la prueba (np) y en la tarea grupal (nt), y la variable dependiente es la nota final (nf ).b. nf = np + nt2Páginas 144 y 1451. a. Mes 1 2 3 4 5Cristián 600 800 1 000 1 200 1 400Belén 400 600 800 1 000 1 200b. No, porque la razón entre el dinero que llevancada mes no es constante.2. B3. D4. a. 203 d. 46049b. 169 e. 7841c. 3 f. 4195. a. 2 e. 10b. 7,5 f. 8c. 6 g. 75d. 2,5 h. 13856. A7. a. Se puede escribir a = 45b o b = 54a.b. Se puede escribir z = 32x o x = 23z.c. Se puede escribir r = 36s o s = 136r.8. D9. Ganancias de don Pedro por huevos a $ 110Cantidad de huevosPesos5 0006 0007 0004 0003 0002 0001 00001 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58Ganancias de don Pedro por huevos a $ 100Cantidad de huevosPesos5 0006 0007 0004 0003 0002 0001 00001 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58
  • 191. Solucionario 191Solucionariob. ��������������������������������������������Se obtienen más ganancias al vender los hue-vos de $ 110, por ende, la inclinación es mayor.10. a. Las variables son los litros de bencina y la distancia.b. La variable independiente es la bencina (b) y lavariable dependiente es la distancia (d).c. La constante es 11.d. d = 11be. 22 km, 121 km, 330 km y 550 km,respectivamente.f. • 1 L • 20 L • 111L • 711L11. B12. C13. a. Helados vendidos Ganancia10 1 50015 2 25020 3 00030 4 500b. Si denotamos por g a las ganancias y por h alos helados obtenemos la función g = 150h.c. 150d. k es el precio de cada helado.e. Juan vendió 160 helados.Páginas 146 y 1471. C2. a. 725 e. 3,6b. 24 f. 0,96c. 245 g. 0,8d. 72 h. 81153. C4. a. 87 c. 73b. 421 d. 1635. a. 20 d. 11b. 556 e. 4c. 100 f. 26. B7. a. a = 20bo b = 20ab. z =216xo x =216zc. y =100x o x =100yd. m =36no n =36m8. x 4 2218 24532y 167 11215 1489. a.b t(m2)1 600 0,254 000 0,1400 1200 2b. b =400tc. 10 000 baldosas.d. $ 750 00010. C11. a. 30 sillas.b. 50 filas.c. Si llamamos s a la cantidad de sillas en cadafila y f a la cantidad de filas, una función querelaciona las variables es s = 600f.12. 6 horas.13. a. Por ejemplo, kilómetros recorridos y horas manejando, a una rapidez constante.b. Por ejemplo, cantidad de obreros y horas quese demoran en terminar un mismo trabajo.c. Por ejemplo, la masa de una persona ysu edad.14. a. Varía de manera inversamente proporcional.b.Capacidad delenvase (cm3)Cantidad deenvases 50 1 200500 120250 240 10 6 000
  • 192. Solucionario192Solucionarioc. 60 000d. k son los litros de jugo de manzana que seprodujeron.e. 600 envases.f. 1 200 cm3Páginas 148 y 1491. A2. C3. D4. B5. B6. B7. D8. B9. A10. D11. D12. C13. D14. A15. A16. A17. B18. B19. B20. A21. B22. a. 2 cmb. Proporcionalidad inversa.c. La constante es 24 y se refiere al áreadel rectángulo.Páginas 150 y 1511. C2. C3. C4. C5. D6. A7. C8. C9. C10. B11. D12. D13. A14. a. 4 c. 1b. 0,2 d. 815. a. {0,2, 3, 8, 21}b. {1, 4, 6, 9}16. a. Por que cada elemento del dominio tiene una sola imagen.b. La variable dependiente es t, y la independientees n.c. Ubicación en lasecuencia (n)1 2 3 4 5 6Término (t) 22 24 26 28 30 32d. f(15) = 50, f(25) = 70, f(x) = 20 + 2x.17. {0, 2, 4, 6}18. a. F, es directamente proporcional, ya que mientras más páginas haya que digitar, más tiempo tomará hacerlo.b. F, es directamente proporcional, ya que mientrasmás energía se consuma, más cara será la cuenta.c. F, esta relación no es proporcional ya que lacantidad de pasajeros no debiera afectar altiempo que se demore el recorrido.d. V19. 1220. a. No proporcional.b. No proporcional.c. No proporcional.d. Inversamente proporcional.21. a. a · b = 343. Por ejemplo: Si una persona quiere repartir 343 frutas, se puede relacionar la cantidad de personas a las que se le reparte la fruta y cantidad de fruta que le toca a cada persona.b. 14x = 16z. Por ejemplo: Si se necesitan 78kg deharina para hacer un pastel, se puede relacionarla cantidad de harina que se necesita parahacer una cierta cantidad de pasteles.c. xz = 1 629. Por ejemplo, se pueden relacionarlas medidas de los lados de un rectángulo deárea igual a 1 629 cm2.22. a. 12b. r = 289, q = 907

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