Numeros complejos

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Introducción a los números complejos para 1º de bachillerato

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Numeros complejos

  1. 1. Los números complejos Por Manuel Jesús Quidiello
  2. 2. <ul><li>La ecuación x 2 +1=0 carece de soluciones en el cconjunto de los números reales. </li></ul><ul><li>log e (-2) no es un número real. </li></ul><ul><li>Tampoco es un número real (-2)  </li></ul><ul><li>En el siglo XVII se descubrió un nuevo tipo de número denominado: </li></ul><ul><li>“ unidad imaginaria” </li></ul><ul><li>Designada por “ i ” </li></ul><ul><li>Y que corresponde al “valor”: </li></ul>
  3. 3. El conjunto C <ul><li>Los números complejos o imaginarios amplían al conjunto de los números reales. </li></ul>
  4. 4. Representación numérica <ul><li>Un número complejo z  viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real , y se escribe </li></ul><ul><li>a=Re(z) </li></ul><ul><li>El segundo se llama parte imaginaria , y se escribe </li></ul><ul><li>b  Im(z  </li></ul><ul><li>Se denomina representación binómica de un número complejo a la expresión: </li></ul><ul><li>z  a+bi </li></ul>
  5. 5. Representación numérica binómica <ul><li>Esto significa que el número real 6 se pondría en binómica compleja como: </li></ul><ul><li>z = 6+0i o simplemente z = 6 </li></ul><ul><li>Un número complejo en el que a  , se denomina “complejo puro”, como por ejemplo: </li></ul><ul><li>z 1 = 8i z 2 = -12i </li></ul>
  6. 6. Tipos de complejos <ul><li>Opuestos: Aquellos cuya suma resulta igual a cero: </li></ul><ul><li>z   9i  su opuesto será z   9i </li></ul><ul><li>Conjugados: Aquellos cuya parte imaginaria es opuesta y la real es la misma: </li></ul><ul><li>z   9i  su opuesto será z   9i </li></ul>
  7. 7. Representación gráfica <ul><li>El número complejo z  (a,b) representa el punto P (llamado afijo ), cuyas coordenadas son precisamente a y b, representados en los ejes cartesianos y donde el eje x corresponde a la parte real y el eje Y a la parte imaginaria . </li></ul>
  8. 8. Representación numérica polar <ul><li>Un complejo z  i  en coordenadas rectangulares . </li></ul><ul><li>O en polares , esto es, conociendo la distancia al origen ( módulo r ) y el ángulo respecto al eje real o Eje X ( argumento  ) y se expresa: </li></ul><ul><li>Z=r   </li></ul><ul><li>Por tanto: </li></ul><ul><li>z  i es lo mismo que Z=5  53’1º </li></ul>
  9. 9. Paso de rectangulares a polares <ul><li>Si tenemos un complejo  =a+bi, la distancia al centro es el módulo del vector (a,b), o sea, </li></ul><ul><li>Y el ángulo es arco tangente del cociente entre la parte imaginaria y la real </li></ul>Ejemplo: Sea z=3+4i. ¿cuál es su representación polar? Solución:
  10. 10. Paso de polares a rectangulares <ul><li>Si tenemos un complejo  =r  , aplicamos las definiciones básicas de trigonometría para hallar sus coordenadas rectangulares </li></ul>Ejemplo: Sea z=5 53’1º . ¿cuál es su representación binómica? Solución: Se denomina forma trigonométrica si se expresa:
  11. 11. Operaciones con complejos <ul><li>Suma y resta: </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>(3-5i) + (7+2i) = (3+7) + (-5+2)i = 10-3i </li></ul>
  12. 12. Operaciones con complejos <ul><li>Producto: </li></ul><ul><li>Si está en forma binómica: tenemos que recordar que </li></ul><ul><li>y aplicar la propiedad distributiva de los números. </li></ul><ul><li>Ejemplo : (3-5i)+(7+2i)=(3·7) + (3·2i) - (5i·7) - (5i·2i)= </li></ul><ul><li>= 21 + 6i - 35i - 10i 2 = 21 -29i -10(-1)= 21 -29i +10=31-29i </li></ul><ul><li>Si está en forma polar: la razón del producto es el producto de razones y el ángulo es la suma de ángulos. </li></ul><ul><li>Ejemplo : 5 22º · 7 130º =(5·7) (22º+130º) =35 152º </li></ul>
  13. 13. Operaciones con complejos <ul><li>Cociente: </li></ul><ul><li>Si está en forma binómica: </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Si está en forma polar: la razón del cociente es el cociente de razones y el ángulo es la resta de ángulos. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul>
  14. 14. Operaciones con complejos <ul><li>Inverso de un número: </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul>
  15. 15. Operaciones con complejos <ul><li>Potenciación </li></ul><ul><li>En forma binómica: Hay que desarrollar el binomio, teniendo en cuenta las potencias del número imaginario: </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>En forma polar: la razón de la potencia es la potencia de la razón y el ángulo es producto del exponente por el ángulo. </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul>
  16. 16. Operaciones con complejos <ul><li>Radicación en </li></ul><ul><li>forma polar: </li></ul>Ejemplo:

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