Sistemas de numeración

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Sistemas de numeración

  1. 1. Sistemas de Numeración
  2. 2. 5 Número y Numeral Idea que se tiene de cantidad. Representación de un número por medio de símbolos. Número: Numeral: V
  3. 3. Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios , que se emplean para representar correctamente los números. Entre estos principios tenemos: 1. Principio de Orden 2. Principio de la Base ¿ Qué es un Sistema de Numeración ? 3. Principio posicional
  4. 4. Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda . Ejemplo: 568 1. Principio de Orden 1er. Orden 2do. Orden 3er. Orden No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha . Observación:
  5. 5. Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad , el cual nos indica la forma como debemos agrupar. Ejemplo: 2. Principio de la Base En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos: 2 3 (6) Grupos Unidades que sobran = 15
  6. 6. ¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ? 4 0 (5) Grupos Unidades que sobran = 20 En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.
  7. 7. La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos: 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A ; B A = 10 B = 11 … Base Sistema Cifras que emplea
  8. 8. Descomposición Polinómica La representación de un Nº (N) en un sistema de base (b), puede realizarse de forma polinómica. Ejemplo: El Nº 784,6 en (base 10) 7∙10 2 + 8∙10 1 + 4∙10 0 + 6 ∙10 -1 Ejemplo: El Nº 101101,11 en (base 2) 1∙2 5 + 0∙2 4 + 1∙2 3 + 1∙2 2 + 0∙2 1 +1∙2 0 +1∙2 -1 +1∙2 -2 32 +0 +8 +4 +0 +1 +1∙1/2 +1∙1/4 = 45+0,5+0,25 = 45,75
  9. 9. Para pasar un nº decimal a binario Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de: “ Divisiones Sucesivas” Ejemplo: 45 (10) A binario 45 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 1 1 0 1 101101 Ejemplo: 132,63 (10) A binario 132 2 66 2 33 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 10000100,101 0,63•2= 1 ,26 0,26•2= 0 ,52 0,52•2= 1 ,04
  10. 10. Hexadecimal (muy empleado en microprocesadores) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 10,11,12,13,14,15 Binario a hexadecimal: Se hacen grupos de 4 bits. Si alguno está incompleto se añaden ceros Hexadecimal a binario: 10111011101 , 101101 0 101 - 1101 - 1101 , 1011 - 01 00 5 D D , B 4 3 4 A F, D 8 0011–0100–1010–1111 , 1101–1000
  11. 11. Pasar de hexadecimal a decimal Ejemplo: El Nº 127F en (base 16) 1∙16 3 + 2∙16 2 + 7∙16 1 + 15 ∙16 0 =4096+512+112+15= = 4735 (10) Ejemplo: Pasar de decimal a hexadecimal 4735 16 295 16 18 16 1 2 7 15 127F 183,54 183 16 11 07 B7 0,54•16= 8 ,64 0,64•16= 10 ,24 0,24•16= 3 ,84 0,8A3 B7,8A3 11∙16 1 +7∙16 0 + 8∙16 -1 +11∙16 -2 +3∙16 -3 = =176+7+0,5+10∙1/256+3∙1/4096= 183,539 (10) B7,8A3
  12. 12. Octal 0,1,2,3,4,5,6,7 Binario a octal: Se hacen grupos de 3 bits. Si alguno está incompleto se añaden ceros Octal a binario: 10111011101 , 10111 0 10-111-011-101 , 101-11 0 2 7 3 5 , 5 6 5 7, 3 6 101–111 , 011–110 4 2 0 1, 1 3 100–010–000–001 , 001–011 El Nº 1274,3 en (base 8) 1∙8 3 + 2∙8 2 + 7∙8 1 + 4∙8 0 + 3∙8 -1 =512+128+56+4+0,375= 700,375 (10) Para pasar de decimal a octal Ej. 426 (10) =652 (8) se hacen divisiones sucesivas entre 8
  13. 13. X 2 3 + X 2 2 + X 2 1 + X 2 0 Binario: X 8+ X 4+ X 2+ X 1 Ej. 0 1 1 1 4+2+1 = 7 Ej. 1 0 0 1 8+1 = 9 Ej. 1 1 1 0 8+4+2 = 14 Decimal Binario Hexadecimal Octal 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F
  14. 14. BIN :2 BIN DEC OCT :8 OCT DEC (forma polinómica) HEX :16 HEX Resumen Conversiones BIN OCT Agrupar de 3 en 3 dígitos completando con ceros BIN HEX Agrupar de 4 en 4 dígitos completando con ceros OCT HEX Pasar previamente a decimal ó a binario HEX OCT
  15. 15. - Pasar de binario a decimal Ejercicios: a) 11001 2 b) 1011011011 2 - Pasar de decimal a binario a) 869 10 b) 8426 10 - Pasar de binario a octal a) 111010101 2 b) 11011,01 2 - Pasar de octal a binario a) 106 8 b) 742 8 - Pasar de binario a hexadecimal a) 110001000 2 b) 100010,110 2 - Pasar de hexadecimal a binario a) 86BF 16 b) 2D5E 16 - Pasar de octal a decimal a) 2066 8 b) 14276 8 - Pasar de decimal a octal a) 236 10 b) 52746 10
  16. 16. Para representar números enteros (pos. y neg.) se utilizan dos formas VAS (valor absoluto y signo ) y C-2 (complemento a 2) VAS: Añade un bit a la izquierda para expresar el signo Operaciones matemáticas C-2: Los N os positivos se representan igual que en VAS (bit de signo y nº binario) Para representar los N os negativos se parte de la representación en VAS, y se cambian 0 por 1 y 1 por 0 (complementar) dejando el bit de signo como está y sumando 1. Ej. – 5 en VAS 1 101 1 101 1 010 C-2 +1 1 011 – 14 en VAS 1 1110 1 0001 C-2 +1 1 0010 Nº decimal Bin. Natural VAS 5 101 (+5) 0 101 (-5) 1 101 El opuesto de un nº binario en VAS se obtiene cambiando el bit de signo 14 1110 (+14) 0 1110 (-14) 1 1110 No sirve para sumar nºs negativos pero a simple vista se reconoce mejor el nº
  17. 17. Operaciones matemáticas Regla práctica para hacer el C-2: Empezando por la dcha. (bit menos significativo), hasta el 1º 1 como están A partir de ese 1 , complementar, dejando el bit de signo como está. – 14 en VAS 1 1110 C-2 1 00 10 – 23 en VAS 1 10111 1 0100 1 (C-2) Para Incrementar el nº de bits de un Nº (8,12,ó 16 bits): Incrementar el nº de bits en VAS y luego complementarlo, añadiendo los ceros necesarios a la dcha. del bit de signo. – 18 en VAS 1 1 0010 1 000 1 0010 1 1110 1110 Ó una vez complementado a 2, repetir a la dcha. Del bit de signo este, las veces que sea necesario. – 18 en VAS 1 1 0010 (C-2) 1 0 1110 completar 1 111 0 1110 C-2
  18. 18. Operaciones matemáticas SUMA Y RESTA 0+0=0 0+1=1 1+1=0 y me llevo 1 “ Carry” Ejemplos: 4 +5 15 0100 0101 1001 443 +305 1 1011 1011 1 0011 0001 748 1 0 1110 1100 1 1 1 Parar restar se SUMA al minuendo el C-2 del sustraendo: 37 -22 0 100101 1 010110 C-2 0 100101 1 101010 1 0 001111 1 El 1 obtenido al sumar los Bits de signo se desprecia 22 -37 9 -15 0 010110 1 100101 0 010110 1 011011 C-2 1 110001 1 1 1 1 C-2 1 001111 (-15) Cuando el resultado es neg. (bit signo=1) hay que volver a complementar
  19. 19. Operaciones matemáticas SUMA Y RESTA 0+0=0 0+1=1 1+1=0 y me llevo 1 “ Carry” Ejemplos: 18 -25 -37 0 10010 1 11001 0 10010 1 00111 1 11001 1 1 Si los dos son neg. Se complementan los dos: -15 -22 1 01111 1 10110 C-2 1 1 10001 1 1 01010 1 00111 (-7) 1 -7 1 1 0 11011 C-2 C-2 El 1 obtenido al sumar los Bits de signo se desprecia C-2 VAS: 1 1 00101 (-35) Al complementar se añade un bit mas = que el bit de signo 1

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