Conceitos de fisica-volume_unico

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Material do curso de especialização física Ensino de Ciências e matemática.

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Conceitos de fisica-volume_unico

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE)UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E TECNOLOGIA (EADTec/UFRPE) Conceitos de Física Domingos Sávio Pereira Salazar Volume Único Recife, 2012
  2. 2. Universidade Federal Rural de PernambucoReitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva SantosProdução Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Rafael Lira, Italo Amorim e Everton FelixRevisão Ortográfica: Elias VieiraIlustrações: Igor Leite e Mário FrançaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  3. 3. Sumário Apresentação.................................................................................................................. 4 Conhecendo o Volume.................................................................................................... 5 Capítulo 1 – Mecânica Clássica: Cinemática..................................................................... 7 1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida.................................................................10 1.2 Ordem de Grandeza..................................................................................................12 1.3 Análise Dimensional.................................................................................................14 1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional.................................................................17 1.4.1 Movimento Uniforme......................................................................................22 1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV)...................................................26 Capítulo 2 – Mecânica Clássica: Dinâmica..................................................................... 36 2.1 Princípio da Relatividade de Galileu.........................................................................36 2.2 As Leis de Newton....................................................................................................41 Capítulo 3 – Trabalho e Energia Mecânica..................................................................... 69 3.1 Energia Cinética........................................................................................................69 3.2 Teorema do Trabalho – Energia Cinética..................................................................73 3.3 Tópico Avançado: Produto Escalar............................................................................78 3.4 Energia Potencial......................................................................................................79 3.5 Sistemas Conservativos............................................................................................81 3.6 Potência Média.........................................................................................................83 Conheça o Autor........................................................................................................... 89
  4. 4. Apresentação Caro(a) cursista, Seja bem-vindo(a) à disciplina de Conceitos de Física. Nesta disciplina, vamos estudar conceitos de MecânicaClássica, começando pelo estudo das grandezas físicas. Em seguida, vamos entender como podemos descreverum movimento a partir de uma função posição. O primeiro capítulo também trata de velocidade e aceleração,completando o assunto de cinemática. Depois, passaremos ao estudo da Dinâmica, marcado pelo conceito de Força,onde resolveremos aplicações simples destes princípios. O segundo capítulo trata das consequências da aplicação da Mecânica Clássica ao problema da Gravitação.Vamos estudar o satélite natural da Terra, o sol, nosso sistema solar, a órbita da Terra e curiosidades sobre oUniverso. Bons estudos! Domingos Sávio Pereira Salazar Professor Autor4
  5. 5. Conhecendo o Volume Conceitos de Física – Mecânica Clássica Carga Horária do Volume: 60h/aula. Objetivo da disciplina: Introduzir conceitos de grandeza física, ordem de grandeza, cinemática, dinâmicaqualitativamente para uma formação suficiente dos docentes nos conteúdos de Física na Licenciatura Interdisciplinarem Ciências Naturais. Conteúdo Programático » Grandezas Físicas: A matemática da Natureza; » Cinemática: Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado; » Dinâmica: Causas do Movimento; » Leis de Newton; » Trabalho e Energia; » Leis de Conservação. 5
  6. 6. Conceitos de Física Capítulo 1 O que vamos estudar neste capítulo? Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas: » Grandezas Físicas: A matemática da Natureza » Cinemática: O estudo do movimento unidimensional (Movimento Uniforme e Uniformemente Variado) Metas Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga: » Compreender o papel da Física, sobretudo da Mecânica como estudo do movimento. » Resolver problemas simples que utilizem a matemática para problemas de cinemática.6
  7. 7. Conceitos de FísicaCapítulo 1 – Mecânica Clássica:Cinemática Vamos conversar sobre o assunto? Você já deve ter percebido que as frutas caem das árvores da mesma maneira.Desde quando você era criança até hoje, você nunca deve ter visto uma fruta que caísseda árvore e fizesse algumas piruetas no ar antes de atingir o chão. Nós estamos tãoacostumados com a regularidade da natureza, isto é, com o fato dos fenômenos naturaisse repetirem da mesma maneira, que não paramos para refletir como isto é fantástico.Estou fazendo um convite bem modesto, gostaria apenas que você sentasse um pouco pararefletir comigo sobre este assunto. Você tem anos de experiência neste tema, afinal, desdecriança você brinca com a natureza. Inicialmente, vamos utilizar o termo natureza para representar tudo que vocêpode ver ou tocar. Por exemplo, a escola, as árvores, as ruas, os carros, as pessoas, o sol,a lua e a Terra fazem parte da natureza. Para começarmos nossa conversa, tente lembrarmomentos em que um colega arremessou uma bola em sua direção. Algumas vezes vocêconseguiu desviar, outras vezes você agarrou a bola no ar, mas, se você não é um vidente,como conseguiu fazer isso? Bem, antes de responder a essa pergunta, vou inventar umpersonagem. Sempre que possível, faremos perguntas a ele. O nome dele é Luka, umacriança esperta e bem aventureira. Ele vai nos ajudar a resolver este mistério. E já começarespondendo a nossa pergunta sobre o arremesso da bola: 7
  8. 8. Conceitos de Física É verdade. Não precisamos ser um vidente para adivinhar onde a bola vai cair. Mas precisamos treinar um pouco antes de acertar, certo? Pronto. Vamos utilizar estas duas respostas para aprender duas lições básicas sobre a natureza. Primeiramente, assim como as frutas caem das árvores de maneira muito parecida e as crianças agarram uma bola que viaja pelo ar, existem muitos fenômenos da natureza que acontecem de maneira regular, ou seja, acontecem sempre da mesma maneira. Esta invariância ou regularidade dos fenômenos naturais faz com que as pessoas consigam prever aproximadamente o que acontecerá em certas situações que elas já viram antes. Assim, diante de um fenômeno que você já evidenciou algumas vezes, você conseguiria dar um bom palpite do resultado caso o fenômeno aconteça de novo. Cientes disso, os cientistas começaram a surgir como pessoas que conseguiam explicar certos fenômenos com maior precisão, simplesmente porque eles aconteciam sempre da mesma maneira. Por exemplo, se quando soltamos um corpo ele sempre cai até o chão e este fenômeno sempre se repete quando soltamos um corpo, seria interessante registrar este fato para que pessoas possam usá-lo sempre que precisarem. Claro que este exemplo é muito simples, mas ilustra o funcionamento da ciência, sobretudo da Física. Podemos dizer que: A Física é a ciência que estuda a natureza e tudo que nela existe, através de teorias, ou modelos, que fazem previsões dos fenômenos. Imagine como seria confuso se a natureza não apresentasse esta regularidade que comentamos acima. Por exemplo, suponha que você solte uma maçã da sua mão e ela suba até o teto da sala sem ninguém jogá-la para cima, mas suponha que este fenômeno só acontecesse às vezes. Você nunca saberia o que esperar de uma maçã que cai, já que seu comportamento não seria algo regular. Seu comportamento não obedeceria a nenhum padrão. Se as nossas atividades diárias não tivessem esta regularidade, a Física não poderia surgir da maneira que conhecemos hoje. Não teríamos capacidade de previsão e Luka não conseguiria agarrar nenhuma bola. Vamos resumir nossa conversa até aqui em uma lição: A criação da Física (como conhecemos hoje) deve ter sido possível graças à8
  9. 9. Conceitos de Físicaregularidade dos fenômenos naturais. Podemos aprender mais uma lição. Esta lição diz respeito ao fato do irmão de Lukaser ruim de bola. Se Luka consegue adivinhar onde a bola vai cair com alguma precisão,foi porque já viu esta mesma bola ser lançada por seus colegas várias vezes. Como ocomportamento da natureza é quase sempre o mesmo para uma mesma situação, isto fazcom que Luka consiga prever sem surpresa o que vai acontecer. O mesmo não seria possívelquando Luka chama seu irmão mais novo para brincar, pois o pequeno ainda não estáacostumado. Este último não treinou o suficiente para agarrar a bola. A natureza só podeser compreendida através de experimentos, ou seja, precisamos fazer uma experiênciapara saber como a natureza se comporta e elaborar nossas teorias. De posse apenas dolivre pensamento, podemos tentar imaginar como um fenômeno acontece, mas só a partirda experiência que podemos comprovar como ele realmente ocorre na prática. Esta é asegunda lição sobre as ciências da natureza: A Física é uma ciência experimental. Isto significa que os cientistas precisam fazerexperiências práticas ou observacionais para entender como a natureza funciona. Essas duas lições são ideias bem simples, mas norteiam todos os fundamentosdas ciências naturais. Você deve estar pensando: se a Física estuda todos os fenômenos danatureza, por que existem outras ciências, como química e biologia? Na verdade, a Físicarealmente se propõe a estudar todos os fenômenos da natureza, mas historicamente houveuma divisão dos fenômenos em classes distintas. A Física ficou responsável pelos fenômenosmais gerais da natureza, do ponto de vista microscópico e macroscópico. Por exemplo, aFísica estuda o movimento dos corpos, a luz, a eletricidade, o magnetismo, o movimentodos fluidos, a temperatura e o calor, as ondas, movimento dos planetas dentre outrosassuntos. As reações químicas e os organismos vivos, para citar um exemplo, ficaram sob aresponsabilidade da química e da biologia, respectivamente, apesar de serem processos eentidades da natureza. Por isso, a Física serve como base para muitos destes estudos e sãocomuns os químicos e biólogos que recorrem ao estudo da Física para interpretar algumassituações que acontecem em suas pesquisas. Essa aparente confusão entre a divisão arbitrária dos assuntos das ciências naturaisé uma ilusão. A divisão só existe nas nossas cabeças, pois fomos treinados a rotular osconhecimentos em grupos distintos. A realidade natural é apenas uma. Por outro lado, adivisão nos serve nos estudos iniciais, para que não misturemos nossas ideias e possamosestudar um pouco de tudo, mas, no campo da pesquisa, o que existe é uma grandeinterdisciplinaridade. Um físico pode fazer um trabalho de matemática, ou criar um modelode biologia ou explicar um complicado processo químico. Neste curso, vamos abandonarum pouco a velha ideia de que a Física é apenas aquele conjunto limitado de assuntos evamos passar a ter uma compreensão mais moderna das ciências naturais como campointerdisciplinar. É verdade que, para atingir este nível, precisamos conversar um pouco maissobre fenômenos naturais bem simples que existem no nosso cotidiano. O primeiro desses assuntos será chamado de Mecânica Clássica. O nome ficaráclaro mais adiante, mas podemos adiantar que nós estudaremos inicialmente o movimento,que é, para algumas pessoas, o que existe de mais fundamental neste mundo complicadoem que vivemos. Além de compreender mais sobre o movimento, este capítulo seráo palco do nosso primeiro contato com a Física. Você vai perceber que a maneira comoabordamos os estudos e nosso jeito de pensar e resolver problemas se repetirão ao longodas demais disciplinas do curso. Também tenho como objetivo criar um ambiente para quevocê experimente um pouco a sensação de pensar como um cientista. Nossa primeira etapaneste processo será uma rápida parada na conceituação de Grandezas Físicas. 9
  10. 10. Conceitos de Física 1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida Até aqui, você entendeu que a Física é a ciência que estuda a natureza e que ela surgiu a partir da observação que os fenômenos naturais são regulares. Além disso, você viu que ela precisa de experimentos para comprovar suas teorias. No entanto, qual a relação entre esses conceitos simples que introduzimos acima e as previsões das teorias da física? Bem, existe uma relação direta. Vamos descobrir esta relação a partir de um exemplo prático. Vamos verificar o que aconteceu hoje na casa de Luka. Sua mãe pediu que ele comprasse frutas. Luka saiu de casa feliz da vida, mas chegou à feira e ficou na dúvida: Luka está certo, sua mãe se esqueceu de especificar os tipos de frutas que ela queria e a quantidade de cada uma delas. Ele está vivendo um dilema parecido com o nosso, pois precisamos explicar e prever fenômenos regulares da natureza, mas ainda não dispomos, assim como ele, de informações suficientes para isso. Existe uma maneira bem conhecida para lidar com o problema que Luka enfrentou na feira. Esta maneira é composta de duas partes, a primeira delas é especificar quais os tipos de frutas que sua mãe gostaria que ele comprasse. A segunda parte é especificar a quantidade de cada fruta ele deve comprar. Por exemplo, a situação seria mais agradável se a mãe pedisse duas maçãs e três laranjas.10
  11. 11. Conceitos de Física Vamos tentar acompanhar como toda essa conversa se encaixa no vocabulário daFísica. Se o conteúdo da sacola de frutas de Luka fosse um objeto que estudamos em Física,diríamos que ela é descrita por duas Grandezas. Uma das grandezas poderia ser chamadade maçãs e, neste caso, teria o valor de “maçãs = 2”. A outra grandeza poderia ser chamadade laranjas e teria o valor de “laranjas = 3”. Estas duas informações seriam suficientes paradescrever a situação. Em Física, uma grandeza é uma propriedade geralmente associada a um objetoque serve para descrevê-lo. Geralmente esta grandeza está associada a um valor numérico(ou categórico, mas deixemos esta observação para outra oportunidade), que dependedo objeto que estamos estudando. Assim como maçãs e laranjas são as grandezas quedescreveram a sacola de frutas de Luka, os valores associados a estas duas grandezas nãosão iguais para todas as sacolas. É claro que sacolas diferentes possuem diferentes valoresde maçãs e laranjas. Mas, se uma sacola possuir os mesmos valores destas duas grandezas,pode-se afirmar que esta sacola deve ter um conteúdo parecido com a de Luka. Você deve ter percebido como a matemática entrou de forma sutil na descriçãoda natureza. Os números surgiram pela necessidade dos homens de contar. Caso eles nãoconseguissem expressar quantidades (e operar matematicamente estas quantidades) tudoseria uma grande confusão. Atribuindo valores numéricos às grandezas do problema, nóspodemos entender o que está acontecendo e, finalmente, chegar a teorias mais precisas.Mas como escolhemos quais grandezas são importantes para explicar uma situação? Bem, em geral esta tarefa é bem intuitiva. Por exemplo, no caso da sacola de frutas,você sabia que o problema de Luka estava justamente em saber o tipo e quantidade de cadafruta que sua mãe gostaria. Por isso, selecionamos grandezas (maçãs e laranjas) capazesde fornecer exatamente a informação necessária. Por exemplo, quando ganhamos ouperdemos “peso”, ficamos de olho na balança da farmácia, pois sabemos que a informaçãoque aparece naquela balança é a grandeza que precisamos medir para entender a situaçãodo nosso “peso” (na verdade, o nome mais formal desta grandeza é massa, que seráestudada ainda neste volume). Assim, quando estudarmos uma pequena bola que se move,nós precisaremos apenas de algumas grandezas para descrever o problema como massa, 11
  12. 12. Conceitos de Física posição, velocidade, etc. O que acontece na prática é que, quando nos pesamos na balança, obtemos um valor em quilogramas (kg). Quando medimos nossa altura com uma fita métrica, obtemos um valor em metros (m) ou centímetros (cm). Cada uma dessas grandezas é medida em unidades diferentes. Diferentemente da sacola de frutas, em que bastava atribuir um número inteiro para cada grandeza, geralmente precisamos especificar quais as unidades de medida das grandezas do nosso cotidiano. Para evitar uma mistura de unidades de medida, os cientistas resolveram especificar qual a unidade padrão de medida para cada grandeza fundamental em física. Estas grandezas fundamentais e suas respectivas unidades de medida formam o chamado Sistema Internacional de Unidades, ou apenas SI. Nesse sistema, por exemplo, posição de um carro é medida em metros (m), já a massa de um saco de arroz é medida em gramas (g), enquanto a duração de uma aula é medida em segundos (s). Existem outras grandezas no sistema, como você pode ver na Tabela 1.1. Neste volume de Mecânica Clássica, nós precisaremos apenas de três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo). Você entenderá o significado das demais grandezas em outros cursos de física básica. Grandeza Unidade Símbolo Coomprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ámpere A Temperatura Termodinâmica Kelvin K Quantidade de Matéria mol mol Intensidade Luminosa candale cd Tabela 1.1. Grandezas fundamentais e unidades de medida do Sistema Internacional. Agora que sabemos o que são grandezas e unidades de medida, podemos estudar uma ferramenta interessante que nos permite manipular os valores numéricos encontrados nessas medidas, chamada Ordem de Grandeza. 1.2 Ordem de Grandeza Luka consegue dizer quantos anos ele tem facilmente. É um número bem pequeno. Certa vez, sua professora falou que os cientistas estimam que nosso Universo tenha 14 bilhões de anos de idade. Então ele pediu para a professora escrever este número no quadro. Ela logo atendeu ao pedido: 14.000.000.000. Luka ficou revoltado com este número.12
  13. 13. Conceitos de Física Então ele argumentou com a professora que é uma grande perda de tempo escrevertantos zeros atrás de um número. Ele disse que era melhor alguém inventar um símbolo querepresente logo todo esse número enorme. E ele realmente tem razão. Em Física, existeminúmeras medidas que resultam em números muito grandes, ou muito pequenos, que suasimples representação daria muito trabalho. Vamos dar alguns exemplos: – A velocidade da luz é de 300.000.000 metros por segundo. – A massa da Terra é de aproximadamente 6.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. – A massa de um grão de areia é de aproximadamente 0,00000000035 kg. Note como é complicado escrever esses números. Qualquer erro na quantidadede zeros ou casas decimais pode acarretar em um erro bem grande. Por isso, os cientistasresolveram escrever os números muito grandes ou muito pequenos de uma maneiraespecial, utilizando apenas a álgebra que aprendemos na escola. Funciona da seguintemaneira: toda vez que temos um número muito grande, nós contamos quantos zerosexistem no final do número e reescrevemos estes zeros como uma potência de dez. Porexemplo, 10 = 101 100 = 10 x 10 = 102 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 ... O mesmo raciocínio vale para números muito pequenos. Basta que nos lembremosde como operar casas decimais. Luka ainda não aprendeu este assunto na escola, masvamos refrescar nossa memória: 13
  14. 14. Conceitos de Física ... Veja como aqueles números monstruosos ficam bem agradáveis com esta nova representação: – A velocidade da luz no vácuo é de 3 x 108 metros por segundo. – A massa do planeta Terra é de 6 x 1024 kg. – A massa de um grão de areia é de 0,35 x 10-9 = 3,5 x 10-10 x 10-9 kg. Chamamos a potência de dez que aparece no final desta nova representação de ordem de grandeza do número. Além de representar o número de uma maneira mais rápida, ela serve para podermos operar matematicamente os números de uma maneira simples, além de permitir comparações rápidas entre dois números distintos. Por exemplo, se Luka já conhecesse este assunto, sua professor poderia ter escrito simplesmente: 14 bilhões = 14 x 109 = 1,5 x 1010 É importante que o número que permanece na frente dos zeros seja mantido entre 1 e 10. Por exemplo, nós poderíamos ter deixado o número acima como potência de 10 elevado a 9, mas fizemos um esforço adicional para escrevê-lo como potência de 10 elevado a 10 para que o primeiro fator esteja entre 1 e 10 (neste caso, 1.4). Esta passagem se dá apenas para que o método fique bem definido e todas as pessoas concordem quanto à ordem de grandeza de suas medidas. Além disso, o primeiro fator desta multiplicação, o 1.4, tem um nome especial. Chamamos estes números de algarismos significativos. Neste exemplo, a idade do Universo representada pela professora possui dois algarismos significativos, 1 e 4. 1.3 Análise Dimensional Algumas vezes, nós encontramos e passamos informações confusas do ponto de vista científico. Um exemplo de informação confusa aconteceu quando Luka disse:14
  15. 15. Conceitos de Física A professora logo fez a correção, dizendo que uma maneira certa de representaruma velocidade é dizer: 40 quilômetros por hora. Esta correção que a professora fez equivaleao que chamamos de Análise Dimensional em Física. É um procedimento muito simples quenos protege de eventuais erros científicos, assim como as regras gramaticais nos protegemde erros de português. Neste exemplo, quilômetros por hora não é uma unidade fundamental do sistemainternacional, mas sabemos que velocidade é calculada como comprimento dividido portempo e, por isso, deve ter dimensão de comprimento dividido por tempo, ou seja, km/h.Neste momento, você poderia argumentar que quilômetros e horas não são as unidadesdas grandezas fundamentais comprimento e tempo, segundo o Sistema Internacional deUnidades. Se olharmos a tabela 1.1, comprimento deveria ser representado em metros etempo em segundos. Contudo, o Sistema Internacional serve para que as comunicaçõescientíficas fiquem padronizadas, mas não impede que as pessoas utilizem unidades demedida mais apropriadas para os fenômenos que estão vivenciando. Por exemplo, a velocidade de um carro, quando expressa em km/h, apresentanúmeros que já estamos acostumados e temos uma melhor intuição do que representam.Caso as velocidades fossem escritas em metros por segundo, o que pode acontecer emalgumas situações, podemos não ter uma intuição do que representam. Sabemos que umavelocidade de 108 km/h é muito alta para um carro, mas será que 30 m/s é também uma 15
  16. 16. Conceitos de Física velocidade elevada? Na verdade, elas são iguais. Vamos aprender a fazer a conversão entre unidades ainda neste volume. Diante de grandezas mais sofisticadas podemos cometer erros ou não saber exatamente qual unidade de medida em que devemos representá-las. É possível que estejamos cometendo erros como o de Luka diariamente. A análise dimensional nos ajuda a resolver este problema. No caso de Luka, você sabe a resposta, pois já aprendeu que velocidade é dada por comprimento (ou distância) dividida pelo tempo. Logo, a unidade de medida deveria ser a unidade de comprimento (metros ou quilômetros), dividida pela unidade de tempo (segundos ou horas). Para entender melhor como funciona este processo, vamos estudar uma situação mais complicada. Enquanto estudava fontes de energia na escola, Luka ficou curioso sobre como funciona a eletricidade que chega a sua casa. Seu pai tinha falado que nós gastamos energia elétrica sempre que ligamos alguma luz, usamos algum equipamento elétrico ou eletrônico. Então Luka ficou curioso para descobrir como as pessoas sabem o quanto estamos gastando: Luka sabia que quilogramas eram usados para medir massa e achou que também poderia ser usado para medir energia. Na verdade, a unidade de energia não pode ser encontrada na tabela 1.1. E agora? Bem, lembramos que velocidade é dada pelo comprimento dividido pelo tempo. Como representar energia? Neste volume, ainda não estudaremos energia elétrica, mas vamos adiantar um exemplo que será visto ainda neste módulo. Veremos que existe um tipo de energia mecânica que pode ser calculada como uma combinação de grandezas fundamentais (massa, comprimento e tempo) pela fórmula: Onde m é massa de um corpo e v sua velocidade. A análise dimensional consiste em utilizar a unidade de medida de cada uma das grandezas da fórmula acima:16
  17. 17. Conceitos de Física Ou kg m²/s², ou seja, quilograma metro ao quadrado por segundo ao quadrado, jáque massa é dada em kg e velocidade em m/s. Este é um exemplo de Análise Dimensional,pois a partir de uma dada fórmula, pudemos descobrir quais as unidades de medida dagrandeza em questão. Para facilitar ainda mais a comunicação, os cientistas denominam certas unidadescom nomes especiais. No caso da energia, visto acima, a unidade é o Joule (J), emhomenagem ao renomado Físico britânico James Prescott Joule, do séc. XIX. 1(kg) (m/s)2 = 1 J No caso de Luka, o correto seria dizer que gastou “Joules” de energia, pois estauma unidade de medida para a grandeza energia. Quando chegar o momento certo, vamosestudar outras unidades de medida para a energia que são mais interessantes do ponto devista prático.1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional Nesta seção, entraremos no estudo de um dos assuntos mais antigos da Física:o movimento. Para simplificar nosso estudo, trataremos inicialmente do problemaunidimensional. Isto significa que nosso corpo, ou partícula, pode ser considerado um pontoque se move em uma reta. A cada instante de tempo, o corpo ocupa uma posição diferente,que será representada por um número real. Vamos entender como podemos representarum movimento unidimensional de diferentes maneiras. Antes disso, precisamos de algumasdefinições. Vamos começar pelos conjuntos numéricos. Você já deve ter se acostumado com os diferentes tipos de números que existem namatemática. Estes números são divididos nos chamados conjuntos numéricos e eles foramsurgindo conforme nossa necessidade de representar situações da natureza. Por exemplo,há centenas de anos, um pastor de ovelhas precisava guardar uma pequena pedra dentrode uma bolsa para cada ovelha que ele possuía. Assim, toda vez que ele precisava contar asovelhas, bastava ele tirar as pedras da bolsa e verificar se combinavam com a quantidade deovelhas. Ele não sabia como representar números, mas aprendeu a contar utilizando umarepresentação com as pedras. Diante da necessidade de contar de maneira mais prática,criou-se o conjunto dos números naturais, que servem para contar unidades: Com o desenvolvimento do comércio, alguns comerciantes perceberam que podiamrepresentar seu dinheiro com números naturais. Contudo, surgiram situações em que elesprecisavam representar matematicamente algo desagradável: quando estavam devendodinheiro. Por isso, acredita-se que foram criados os números inteiros, como a união entreos números naturais e os seus simétricos. Posteriormente, a partir da operação da divisão, percebeu-se que um novo conjuntopoderia ser criado a partir da razão entre dois números inteiros, com o denominadordiferente de zero. Estes números foram chamados de números racionais. Uma maneiraformal de representar os números racionais é a seguinte: Uma leitura direta da sentença acima pode ser feita da seguinte forma: Os númerosracionais são formados por todas as divisões possíveis dos números inteiros p e q, com q 17
  18. 18. Conceitos de Física diferente de zero. Uma característica interessante dos números racionais é que, quando escritos na forma decimal, eles possuem dízima finita ou periódica. Isto significa que sua parte decimal é finita ou se repete infinitamente. Por exemplo, são números racionais: Em ambos os casos, a dízima (parte decimal) é possui fim ou é infinita e se repete. Será que este conjunto dos números racionais corresponde a todos os números que nós conhecemos? Ou ainda existem números que não estão nele? Vamos ver o que aconteceu na aula de matemática de Luka. Quando sua professora disse que a área de um quadrado pode ser calculada apenas multiplicando o lado do quadrado por ele mesmo, todos os colegas de Luka passaram a resolver os exercícios, mas Luka ficou pensativo. A professora perguntou qual era o problema. Luka disse o seguinte: A professora disse que estava correto o raciocínio de Luka e perguntou por que ele ainda estava tão pensativo se tinha entendido o assunto. Então ele disse:18
  19. 19. Conceitos de Física Então, a professora explicou que, neste caso, o lado do quadrado não é um númeromuito conhecido assim. Este número, cujo quadrado é dois, é a chamada raiz quadrada dedois e pode ser representada assim. Luka ficou satisfeito em saber que o número que ele não conseguia adivinhar, o ladodo quadrado cuja área é dois, não era algo que ele conhecia. Luka teve seu primeiro contatocom os números irracionais (I). Este conjunto numérico é curioso, pois é formado apenaspor números cuja dízima é infinita e não periódica. Isto significa que a parte decimal donúmero é formada por uma sequência infinita de algarismos que não possuem um padrãode repetição (ou período). Por exemplo, o número que Luka esta procurando era este: No número acima, representamos apenas o início de sua dízima, que não tem fime não se repete. Diversos outros números também possuem esta característica e, portanto,são classificados como irracionais. Quando unimos todos os números racionais aosirracionais, obtemos um conjunto numérico chamado de números reais ( ). Estes númeroscorrespondem a todos os números que você conhece, exceto por um tipo de númerobem estranho chamado número imaginário, cujo estudo está além dos nossos objetivos.Entenderemos agora a importância dos números reais em Física, a partir da definição deuma reta real. Para estudarmos o movimento, precisamos partir do exemplo mais simplespossível, como o movimento de uma pequena bolinha em uma reta. Esta bolinha queestamos tomando no exemplo é tão pequena que pode ser aproximada por um ponto quechamaremos de ponto material. Em geometria, um ponto é adimensional, o significa dizerque ele não tem tamanho. De posse do nosso ponto material, precisamos descrever suasdiferentes posições. Uma maneira bem simples de descrever as posições de um ponto emuma reta é através do uso dos números reais. Primeiramente, selecionaremos um ponto fixo para chamar de origem do nossoeixo. Este ponto será representado pelo número real zero (0). Como os números reais são 19
  20. 20. Conceitos de Física ordenados, cada ponto desta reta será representado por um número real. Fig 1.1. Reta real e origem. Em seguida, vamos definir um sentido para esta reta real. O sentido positivo será o sentido do movimento que vai da esquerda para a direita nesta reta real. O sentido negativo, naturalmente, será o sentido do movimento que vai da direita para a esquerda desta reta. Vamos representar o sentido positivo com uma flecha, como na Fig. 1.2. Vamos chamar este eixo de eixo x. Precisamos também definir uma unidade de medida para a grandeza comprimento, que é o metro no caso do Sistema Internacional de Unidades. Fig 1.2. Eixo Real “x” Com esta estrutura que acabamos de criar, podemos representar um ponto material se movendo em uma dimensão. Mover-se significa mudar de posição conforme o tempo muda e, neste caso, podemos registrar uma diferente posição do ponto para cada instante de tempo. Vamos ver como funciona as diversas descrições do movimento na prática. Luka será nosso ajudante nesta experiência. Para isso, vamos utilizar um cronômetro para medir diferentes instantes de tempo bem próximos: 0, 1, 2 e 3 segundos. Em cada um dos instantes de tempo, o desafio de Luka é medir a posição (um número real) da nossa bolinha no eixo real. Vamos ao resultado do experimento: – No instante t = 0s, a bola está parada na origem (x = 0m). – No instante t = 1s, a bola está a um metro à direita da origem (x = 1m). – No instante t = 2s, a bola está a dois metros à direita da origem (x = 2m). – No instante t=3s, a bolsa está a um metro à esquerda da origem (x = -1m). Podemos representar este movimento com um gráfico que mostra diferentes fotografias retiradas em diferentes instantes de tempo, como na Fig. 1.3. Fig 1.3. Fotografias de diferentes instantes de tempo de um movimento unidimensional mostram a bolinha em diferentes posições no eixo x.20
  21. 21. Conceitos de Física Antes de analisar este experimento, vamos aprender a representá-lo de outrasmaneiras. Uma representação interessante pode ser obtida a partir de uma simples tabelaque represente o instante de tempo (t) e a posição (x), como na Tabela 1.2. t(s) X(m) 0 0 1 1 2 2 3 -1 Tabela 1.2. Tabela representando a posição de um ponto material para cada instante de tempo. Outra maneira de representarmos o movimento acima é através de um gráficode coordenadas cartesianas. Este tipo de gráfico é muito comum em ciências em geral,sobretudo em Física. Ele consiste de um dois eixos perpendiculares, um horizontal e outrovertical. O eixo horizontal, chamado eixo das abscissas, corresponde a uma das variáveis.Neste caso, o tempo. O eixo vertical, chamado eixo das ordenadas, corresponde à variávelrestante. Neste caso, a posição. O exemplo que estamos estudando está representado noseixos coordenados na Fig. 1.5. A construção de um gráfico deste tipo é bem simples. Paracada instante de tempo, por exemplo, t = 0, você verifica qual o valor da posição, neste caso,x = 0. De posse destes dois dados, você pode localizar este ponto (t, x) no gráfico. Assim,representamos os diferentes pontos (t, x): (0,0), (1,1), (1,2), (3,-1). As linhas pontilhadasservem apenas como guia para uma melhor visualização da construção e não fazem partedo gráfico. Fig. 1.5. Representação do movimento através de um gráfico cartesiano. Como você deve ter percebido, representamos o movimento unidimensional dediferentes maneiras. Estas maneiras de representação são bem conhecidas e funcionampara muitas situações em Física, sempre que precisamos representar uma função. Emmatemática, dizemos que representar o movimento é representar a posição em função dotempo. Representamos a posição em função do tempo por x(t). Isto significa dizer que a 21
  22. 22. Conceitos de Física posição do ponto material depende apenas do instante de tempo em que a medição foi feita. Existem várias funções neste curso que serão representadas por um gráfico cartesiano. Um detalhe curioso é que nós sabemos a posição da nossa bolinha apenas nos instantes em que fizemos medição experimental. Podemos até estimar a posição do objeto em outros instantes, mas seria apenas uma estimativa teórica. Este detalhe sobre a realidade física ser apenas aquilo que verificamos através de medições ainda é um assunto importante das teorias modernas. Vamos voltar nossa atenção para o intervalo de tempo de 0 a 2 segundos do nosso experimento e exemplificar o tipo mais simples de movimento, chamado Movimento Uniforme. 1.4.1 Movimento Uniforme Vamos escolher uma visualização do experimento anterior, ou seja, da posição em função do tempo, para estudar o Movimento Uniforme. Para isso, vamos analisar apenas o intervalo de 0 a 2 segundos. Como não sabemos o que aconteceu com o movimento da bolinha entre os instantes de medição, vamos assumir que ela apenas seguiu “sua tendência de movimento”, representada por uma linha pontilhada colorida entre os pontos que foram medidos. Note que utilizamos um vocabulário informal nesta etapa, mas vamos formalizá-lo ao longo da próxima seção. Neste intervalo, o gráfico cartesiano do movimento é dado na Fig. 1.6. Fig 1.6. Linha colorida mostra o movimento que assumimos para a bolinha, de posse apenas dos pontos que foram medidos (em preto), para o intervalo de 0 a 2 segundos. Este movimento é simples e especial. Simples, pois sua representação no gráfico cartesiano é o mais simples possível: uma linha reta. Vamos entender agora por que ele é especial. Para isso, vamos definir a velocidade média entre os instantes t1 e t2 de um objeto em um intervalo de tempo como a fórmula: A grandeza x(t2) - x(t1), calculada como a diferença entre duas posições, é chamada deslocamento. Vamos calcular a velocidade média para o nosso corpo para diferentes instantes de tempo e listá-las abaixo: – Velocidade Média entre 0 e 1 s:22
  23. 23. Conceitos de Física – Velocidade Média entre 1 e 2 s: Você pode verificar através do gráfico que a velocidade média para este movimentoilustrado na Fig. 1.6. é sempre 1m/s. Isto significa que o corpo se move sempre com a mesmavelocidade e este movimento é chamado de Movimento Uniforme. Quando um corpoexecuta este movimento, sua velocidade é sempre a mesma. Isto significa que o gráfico daposição em função do tempo é sempre dado por uma reta que pode ser ascendente oudescendente, a depender da velocidade ser positiva ou negativa. Veja cada caso na Fig. 1.7. Fig 1.7. Os três casos de Movimento Uniforme representados em um gráfico cartesiano. Caso o movimento uniforme tenha velocidade positiva, então o corpo segue 23
  24. 24. Conceitos de Física no sentido positivo do eixo real, ou seja, da esquerda para a direita e chamamos este movimento de movimento progressivo. Caso o corpo tenha velocidade negativa, movendo- se da direita para a esquerda, dizemos que o movimento é retrógrado. Seja qual for o tipo de movimento uniforme, podemos afirmar que a posição é sempre uma função linear do tempo, ou seja, pode ser escrita na forma: x(t) = v0 t + x0 Onde v0 é a velocidade e x0 é a posição inicial do movimento uniforme. O nome linear fica claro quando observamos a Fig. 1.7. Sempre que uma função é escrita da forma acima, o gráfico cartesiano é uma linha reta. Sempre que representamos um movimento pela equação da posição em função do tempo, chamamos esta equação de equação horária do movimento. Agora, vamos treinar um pouco os conceitos desta seção através de exercícios resolvidos. Exemplo 1: Um automóvel faz uma viagem de uma cidade A a uma cidade C, passando por uma outra cidade B. A velocidade média do carro entre a cidade A e a cidade B foi de 60 km/h e esta etapa da viagem durou duas horas. Já a velocidade média do carro entre as cidades B e C foi de 80 km/h e esta etapa da viagem durou 3 horas. Calcule a velocidade média do automóvel entre as cidades A e C. Veja a Fig. 1.8. Fig. 1.8. Esquema par ao exemplo 1. Solução: Este exemplo mostra como podemos cometer um erro por não aplicar a definição de uma grandeza da maneira correta. Antes de resolvê-lo corretamente, vamos dar uma olhada na ideia do Luka e tentar descobrir onde está o erro em sua resolução. Luka tentou o seguinte: – Acho que a velocidade média é de 70 km/h, porque é a média entre as duas velocidades: 60 km/h e 80 km/h. Primeiro, vamos verificar se esta velocidade encontrada é realmente a média aritmética das velocidades do problema: Realmente é a média aritmética das velocidades. Mas será que Luka está certo? Vamos ver. Teremos que aplicar a definição da velocidade média da maneira que aprendemos nesta seção: Podemos calcular o intervalo de tempo que durou a viagem facilmente (t2 - t1) = 2horas + 3horas = 5horas. Já o deslocamento entre as cidades não é um dado encontrado no enunciado do problema, mas podemos encontrá-lo. Na viagem entre as cidades A e B, temos24
  25. 25. Conceitos de Física O mesmo pode ser feito para encontrar o deslocamento da etapa 2: Agora, podemos calcular o deslocamento de toda a viagem: deslocamento = deslocamento1 + deslocamento2 = 120km + 240km = 360km Finalmente, vamos calcular a velocidade média por sua fórmula: Note que nossa resposta, que está correta, foi diferente da resposta encontrada porLuka. Velocidade média significa algo bem definido em física e não pode ser substituído pornossa intuição, como fez Luka, que ainda não estudou esse assunto. Exemplo 2: Dado o gráfico cartesiano 1.9., encontre a equação horária domovimento uniforme. Fig. 1.9. Gráfico para o Exemplo 2. Solução: Sempre que temos uma linha reta no gráfico da posição em função dotempo, podemos dizer que o movimento é uniforme e sua equação horária é do tipo: x(t) = v0 t + x0 Precisamos apenas encontrar o valor das constantes v0 e x0 . Precisamos utilizar doispontos do gráfico para isso. Por exemplo, o gráfico passa pelo ponto x(2) = 2, portanto: x(2) = 2v0 + x0 = 2 Além disso, passa pelo eixo x no instante t = 3s. Isto equivale ao ponto x(3) = 0: x(3) = 3v0 + x0 = 0 Assim, ficamos com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas: 2v0 + x0 = 2 3v0 + x0 = 0 Existem alguns métodos de resolução de sistemas lineares. Por exemplo, podemossubtrair as duas equações do sistema linear acima e obter: (2v0 + x0) - (3v0 + x0) = 2 - 0 → - v0 = 2 → v0 = -2m/s 25
  26. 26. Conceitos de Física Finalmente, podemos utilizar este valor da velocidade em uma das equações para encontrar a posição inicial: 2(-2) + x0 = 2 → x0 = 6m A equação horária fica dada por: x(t) = -2t + 6 Exercício 1: Encontre o deslocamento e a velocidade média para os seguintes instantes de tempo no experimento da bolinha que fizemos com Luka, representado na Fig. 1.3. a) t1 = 0s e t2 = 1s b) t1 = 1s e t2 = 2s c) t1 = 2s e t2 = 3s d) t1 = 3s e t2 = 4s e) t1 = 0s e t2 = 4s 1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV) O movimento mais simples que existe é, sem dúvida, o movimento uniforme. Mas sabemos que este tipo de movimento ocorre em casos bem especiais. Na prática, é muito difícil encontrar algo que tenha velocidade sempre constante. Por exemplo, quando estamos em um carro, aumentamos ou diminuímos nossa velocidade de acordo com o tráfego. Portanto, um passeio de carro, em geral, não é um exemplo de movimento uniforme. Então, qual seria o próximo tipo de movimento mais natural para nosso estudo? Vamos encontrar a resposta propondo um experimento bem simples: Luka está em um prédio de cinco andares. Cada andar está aproximadamente 3 metros de distância do andar anterior. Temos cinco pedras parecidas e também temos um cronômetro. Nós pedimos a ele que solte uma pedra do primeiro andar e nós marcaremos o tempo de queda com o cronômetro. Em seguida, pedimos que ele subisse um andar e solte novamente outra pedra para marcarmos o novo tempo de queda. Assim, teremos cinco tempos de queda, um para cada pedra lançada. Os dados obtidos foram representados na Tabela 1.3. : Altura (m) Tempo ( s) 0 0,00 3 0,78 6 1,11 9 1,36 12 1,56 13 1,75 Tabela 1.3. Tempo de queda da pedra para cada lançamento. Agora, vamos desenhar um gráfico cartesiano que representa a altura que a pedra26
  27. 27. Conceitos de Físicacaiu em função do tempo de queda. Perceba que o gráfico não é uma linha reta. Se a“queda livre”, que é o nome comum deste experimento, fosse um exemplo de movimentouniforme, deveríamos ver uma reta na Fig. 1.10. O que observamos é uma ligeira curvaturapara cima neste gráfico, indicando que estamos diante de um novo tipo de movimento. Eque movimento seria esse? É o chamado Movimento Uniformemente Variado (MUV), queserá o tema desta seção. Fig.1.10. Gráfico cartesiano do problema do tempo de queda livre das pedras no prédio. Para analisar o gráfico acima, vamos construir uma tabela de velocidade média dapedra entre os andares. Se o movimento fosse uniforme, a velocidade média deveria serconstante para qualquer intervalo de tempo. Você pode verificar nos cálculos acima que a velocidade média não se manteveconstante. Na verdade, a velocidade média aumenta conforme o corpo cai. Nos primeirostrês metros de queda, a velocidade média é pequena. No entanto, após 12 metros de queda,a velocidade média entre 12m e 15m é bastante elevada. Podemos resumir nossa análise com a definição de uma nova grandeza querepresenta este aumento de velocidade com o tempo. Esta nova grandeza recebe onome de aceleração média. Assim como a velocidade média, ela possui uma fórmula querepresentaremos abaixo: 27
  28. 28. Conceitos de Física Como você deve ter percebido, esta fórmula se parece muito com a fórmula da velocidade média. A diferença é que estamos calculando qual é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, enquanto a velocidade média calculava a taxa de variação da posição. Note também que um caso especial acontece quando calculamos a aceleração de um corpo que está em movimento uniforme: . (Movimento Uniforme) Ou seja, a aceleração média de um corpo que está em movimento uniforme é zero. Outro detalhe importante é encontrar qual a unidade de medida desta nova grandeza. Bem, como a aceleração média é calculada como o quociente entre velocidade (m/s) e tempo (s), então temos: Este procedimento é o que chamamos de análise dimensional, mencionado anteriormente. Agora que sabemos calcular aceleração, vamos definir um movimento uniformemente variado como sendo um movimento cuja aceleração é constante e diferente de zero. Isto significa que a aceleração média para este tipo de movimento terá sempre o mesmo valor, que chamaremos de a0 ou simplesmente de a: Esta é chamada equação horária da velocidade no movimento uniformemente variado (MUV). Podemos simplificar ainda mais a equação considerarmos que o instante inicial t1 = 0s e t2 = t: v(t) = v0 + at Esta fórmula indica que a velocidade aumenta de valor conforme o tempo passa, caso a aceleração seja positiva. Caso a aceleração seja negativa, a velocidade diminui de valor. Além disso, o crescimento da velocidade é linear, ou seja, o gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo é um segmento de reta para o MUV. Mas qual a relação entre o MUV e nosso experimento das pedras? A novidade é que o movimento de queda livre, como em nosso experimento, é um movimento uniformemente variado! Vamos mostrar esta afirmação que fizemos. No caso do movimento uniforme, é simples de ver que o gráfico cartesiano da posição em função do tempo é um segmento de reta. No caso do MUV, não é tão simples obter o gráfico da posição em função do tempo, mas vamos tentar de maneira bem intuitiva. O raciocínio que vamos empregar nesta dedução é um investimento, pois nele está a semente de ideias mais avançadas que são estudas sob o nome de cálculo diferencial. Primeiramente, você deve concordar que o gráfico da velocidade em função do tempo depende do tipo do movimento que estamos estudando. Representaremos na Fig.1.11 este gráfico para o movimento uniforme e o uniformemente variado:28
  29. 29. Conceitos de Física Fig.1.11. Perceba a diferença no gráfico da velocidade em função do tempo para o movimento uniforme (a) e o movimento uniformemente variado (b). Ambos são segmentos de reta, mas o gráfico (a) é uma função constante enquanto o gráfico (b) mostra a velocidade mudando com o tempo, indicando que existe uma aceleração. Nosso objetivo agora é descobrir a equação da posição em função do tempo parao MUV. Esta equação, chamada equação horária da posição, deve representar uma curvano plano cartesiano que se assemelhe com os dados experimentais obtidos na Fig. 1.10.Para obter esta equação, vamos utilizar uma estratégia bem geral. A partir da fórmula davelocidade média, vamos escrever: x(t2) - x(t1) = vmédia x (t2 - t1) Ou ainda, podemos simplificar ainda mais a fórmula se adotarmos uma notaçãobem conveniente em Física que é ∆t = (t2 - t1) e ∆x = (x2 - x1), onde ∆ é a letra grega Deltamaiúscula e sempre representa uma variação. Nestes casos, uma variação de tempo e umavariação da posição. Perceba que o deslocamento (diferença das posições) pode ser escritocomo o produto entre a velocidade média e o intervalo de tempo. O interessante é que esteproduto da velocidade pelo intervalo de tempo é exatamente a área de um retângulo nográfico cartesiano da velocidade em função do tempo, como representamos na Fig.12. 29
  30. 30. Conceitos de Física Fig.1.11. O deslocamento pode ser calculado como a área abaixo da curva da velocidade no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo. Desta forma, podemos aplicar esta ideia, de calcular a área sob o gráfico da velocidade em outros tipos de movimento além do movimento uniforme. Por exemplo, podemos calcular a área abaixo da curva da velocidade no caso do MUV. Esta talvez seja o conceito matemático mais difícil de entender no nosso curso e está relacionado a um assunto avançado chamado cálculo integral. Aqui, nosso interesse é bem modesto. Não estudaremos cálculo, mas estamos interessados em calcular a área abaixo da curva da velocidade no nosso caso do movimento uniformemente variado, representado na Fig. 1.12: Fig.1.12. Vamos utilizar o cálculo do deslocamento como a área abaixo da curva da velocidade no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo. De uma maneira geral, para posição inicial x(t1) = x0, velocidade inicial v(t1) = v0, e aceleração a constante, a área da figura pintada é exatamente a área de um trapézio, que pode ser escrita como: Utilizando nossa ideia de que o deslocamento é igual à área, ficamos com: Substituindo a velocidade MUV pela fórmula: v = v0 + a∆t , ficamos com:30
  31. 31. Conceitos de Física Finalmente, inserindo: ∆x = x(t) - x0, resulta na fórmula final: Esta fórmula nos dá a posição de um corpo em função do tempo para o caso deum movimento uniformemente variado. O gráfico cartesiano desta função é uma curvaconhecida como parábola. Sua forma é muito parecida com a Fig. 1.10 que obtemosexperimentalmente, note na Fig. 1.13 um acordo que existe entre os pontos experimentaise nossa fórmula teóricaFig.1.13. O gráfico mostra os pontos obtidos no nosso experimento (em azul) com a curva teórica da posição em função do tempo para o movimento uniformemente variado. É surpreendente o fato de a queda livre ser descrita pelas equações do MUV. Istosignifica que os corpos que caem estão submetidos a uma aceleração constante, fazendocom que sua velocidade na queda aumente com o tempo. O fato surpreendente é que estaaceleração não depende da massa do objeto e é aproximadamente a mesma para qualquerqueda livre realizada próxima à superfície do nosso planeta. O valor desta aceleração,utilizando apropriadamente as unidades de medida desta grandeza, é de aproximadamente: a ~ 9.8 m/s2 Esta aceleração está representada com um sinal positivo para concordar com nossoexperimento, mas é comum definir o sentido positivo do eixo para cima, indicando que umdeslocamento positivo equivale ao corpo subir, enquanto um deslocamento negativo estárelacionado a uma queda. Neste caso, a aceleração teria a mesma magnitude, mas comsinal negativo. Você poderia estar se perguntando o porquê de os corpos caírem com a mesmaaceleração, independentemente de sua massa. Na verdade, esta pergunta é bem difícil deser respondida, mas podemos dizer quer existe um modelo teórico bem antigo que consegueexplicar este fenômeno da queda livre, chamado de Gravitação Universal, que estudaremosainda neste volume. Vamos resolver alguns exemplos sobre Movimento UniformementeVariado antes de passarmos para o próximo assunto. Exemplo 3: Uma maçã cai a partir do repouso de uma altura de 49 metros. Calcule(a) Quanto tempo durou a queda e (b) a velocidade final da maçã imediatamente antes deatingir o solo. 31
  32. 32. Conceitos de Física Solução: Vamos utilizar a fórmula da posição em função do tempo para o MUV. Vamos também aproveitar o exemplo para introduzir um novo eixo coordenado. Como o movimento de queda livre é feito sempre no eixo vertical, vamos chamá-lo de y para diferenciá-lo do eixo x. Além disso, vamos chamar a aceleração da gravidade de g, uma vez que este valor é constante. a) A posição inicial da maçã é de y0 = 49m. A posição final da maçã é y(t) = 0 (que representa a altura do chão). Como a maçã partiu do repouso, isto significa que sua velocidade inicial é zero: v0 = 0. Além disso, como estamos representando o eixo vertical (y) apontando para cima, a aceleração recebe um sinal negativo, indicando que ela aumenta as velocidades para os corpos que caem (e diminui a velocidade dos corpos que sobem). Assim, ficamos com: b) A velocidade da maçã ao atingir o solo pode ser encontrada utilizando a equação horária da velocidade no movimento uniformemente variado. Novamente, a velocidade inicial é zero, indicando que o corpo caiu a partir do repouso. Já a velocidade final, que é a resposta do problema, depende do tempo total de queda, que foi obtido na letra anterior. Assim, temos: v = v0 + at → v = 0 - (9.8 m/s2) (3.16s) ~ - 31 m/s O sinal negativo da velocidade está associado ao sentido positivo do eixo vertical, que é para cima. Assim, uma velocidade negativa significa que o corpo está caindo, como era de se esperar para este problema. Exemplo 4: Uma pedra é lançada para cima com velocidade inicial de 10.00 m/s a partir do chão. Encontre (a) o tempo total de vôo. (b) a altura máxima que ela atinge. (c) Faça um esboço do gráfico da posição em função do tempo desde o lançamento até a pedra tocar o solo novamente. Solução: Vamos utilizar novamente as equações do MUV. Como a pedra foi lançada do chão, sua altura inicial é zero (y0 = 0). A altura final é o que queremos obter. A velocidade inicial é 10 m/s. a) Este problema é um pouco mais complicado, pois precisamos definir qual o instante final do movimento. A altura máxima, como o enunciado pede, é atingida quando a velocidade final é zero. Isto significa que o corpo sobe, fica parado momentaneamente e volta a cair. Neste ponto especial, em que a velocidade é zero, a altura atingida pelo lançamento é máxima. Assim, a partir da equação horária da velocidade, vamos descobrir quanto tempo leva para atingir a velocidade zero. v(t) = v0 + at → 0 = 10 m/s - (9.8 m/s2)t → t ≈ 1.02 s Este é o tempo entre o lançamento da pedra para cima e a altura máxima ser atingida. O tempo de subida é igual ao de descida (você pode verificar a partir das equações). Portanto, o tempo de vôo é dado por: t ~ 2 x 1.02s = 2.04s b) Para calcular a altura máxima, vamos substituir o valor do tempo na fórmula da32
  33. 33. Conceitos de Física posição:c) Esboço do Gráfico: Fig. 1.14. Esboço do gráfico do lançamento da pedra do Exemplo 4. Problemas1. Um motorista dirige um carro em linha reta a 80 km/h a partir do ponto A. Após percorrer 8 km/h, o veículo para por falta de gasolina. O motorista caminha 2 km adiante até o posto de abastecimento em 24 minutos. Calcule: a) O intervalo de tempo que o motorista passou dirigindo o carro. b) Transforme em horas o intervalo de tempo que durou a caminhada do motorista até o posto. c) Encontre a velocidade média do motorista desde o instante em que partiu do ponto A até chegar ao posto. (Dica: Utilize a fórmula da velocidade média, calculando o deslocamento total e o intervalo de tempo total)2. Um automóvel percorre uma distância de 150 km desenvolvendo, nos primeiros 120 km, uma velocidade média de 80 km/h e, nos 30 km restantes, uma velocidade média de 60 km/h. a) Qual foi o tempo total da viagem? b) Qual foi a velocidade média do automóvel do percurso total?3. Um atleta treina corrida em uma pista retilínea. Em t1 = 0s, parte do marco zero, corre até o marco 200m, para por certo tempo, volta a correr até o marco 400m e retorna ao marco 100m, quando chega em t2 = 100s. Calcule a velocidade média do atleta entre t1 e t2.4. Um caminhão de carga possui uma velocidade de 10 m/s no instante em que o motorista pisa no acelerador. Isto comunica ao caminhão uma aceleração 33
  34. 34. Conceitos de Física constante, que faz com que sua velocidade aumente de 20 m/s em 5,0s. Considere t = 0 no instante em que o motorista pisa no acelerador. a) Qual a aceleração do caminhão b) Supondo que o caminhão foi mantido com essa aceleração até o instante t = 10s, qual a velocidade atingida nesse instante c) Qual a distância percorrida pelo caminhão desde o início da aceleração até o instante t = 10s. 5. Um veículo está em uma estrada e acelera assim que passa pela placa, cuja posição será x = 0. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s2. No instante t = 0, o veículo se encontra a 5m a frente da placa, movendo a 15 m/s. a) Determine a posição e velocidade do carro em t = 2s. b) Determine a posição do veículo quando sua velocidade for de 25 m/s. c) Faça um esboço do gráfico cartesiano da posição em função do tempo para t > 0. (Dica: Ao desenhar a curva, lembre que este é um movimento uniformemente acelerado). 6. Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s Aproximando a aceleração da gravidade por g ~ 10 m/s2, calcule: a) O tempo gasto pelo corpo para atingir o ponto mais alto da trajetória. b) A altura máxima atingida pelo corpo. 7. Um homem atira uma pedra para cima, em linha reta, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Encontre: a) O tempo que a bola levou para atingir a altura máxima. b) A altura máxima. Gabarito: 1. 2. a) 2h b) 75 km/h. 3. 1 m/s. 4. a) a = 2 m/s2 b) 30 m/s c) 200 m. 5. a) x = 43m e v = 23m/s b) x = 55m. 6. a) 2s b) 20m. 7. a) 1.2s b) 7.3m.34
  35. 35. Conceitos de Física Capítulo 2 O que vamos estudar neste capítulo? Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas:» Conceitos de Força e Massa» Leis de Newton Metas Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga:» Saber a diferença entre peso e massa.» Entender e aplicar as Leis de Newton. 35
  36. 36. Conceitos de Física Capítulo 2 – Mecânica Clássica: Dinâmica Vamos conversar sobre o assunto? Nós estudamos o movimento com o uso de grandezas físicas como posição, velocidade e aceleração. Estas grandezas conseguem descrever o movimento, mas não conseguem explicar suas causas. Chamamos de Dinâmica a parte da mecânica clássica que estuda as causas do movimento. O cientista que mais contribuiu para o desenvolvimento da Dinâmica foi Isaac Newton (1643-1727), que criou as três leis que levam seu nome. Estas leis de Newton, quando utilizadas apropriadamente, conseguem prever o resultado de muitos experimentos. Contudo, Newton não fez todo o trabalho sozinho. Como ele mesmo disse, ele viu mais longe, pois estava apoiado sobre o ombro de gigantes. Vamos estudar brevemente trabalho de um desses gigantes. Um trabalho bastante original em mecânica que começa com um experimento. 2.1 Princípio da Relatividade de Galileu Nossa histórica começa dentro de um navio que navega em alto mar em movimento uniforme. É curioso comprovar se a velocidade do navio é de fato constante. Para isso, precisamos de uma corda bem comprida. Nesta corda, vamos escolher uma unidade de comprimento, em metros, e dar um nó na corda a cada unidade de comprimento. Assim, nossa corda terá diversos nós igualmente espaçados. Depois, lançamos uma extremidade da corda no mar e seguramos o resto da corda. À medida que a extremidade lançada ao mar vai se distanciando do navio, vamos contando quantos nós passam em nossas mãos. Se a corda vai deixando o navio a uma taxa constante de nós por unidade de tempo, então a velocidade do navio é aproximadamente uniforme. Esta técnica para medir velocidade de navios é muito antiga ilustra bem o conceito de movimento uniforme. Vamos levar Luka nesta viagem como um ajudante para nossos experimentos. Sabemos que quando uma pedra é abandonada a partir do alto de um prédio, ela cai em linha reta até o chão e chamamos este movimento de queda livre. No navio, Luka surgiu com uma dúvida bem pertinente:36
  37. 37. Conceitos de FísicaVamos representar a dúvida de Luka na Fig. 2.1.Fig. 2.1. A dúvida de Luka sobre a pedra que cai em um navio em alto mar. A pedra cai em linha reta, como em terra firme (a) ou “fica para trás” (b)? 37
  38. 38. Conceitos de Física Do ponto de vista histórico, este problema foi pensado pela primeira vez por Galileu Galilei (1564-1642), um físico italiano que, dentre outras contribuições, criou o princípio da relatividade. Este princípio foi formulado após a experiência do navio que descrevemos acima. Antes de enunciá-lo, vamos explicar o que acontece no experimento. Quando Luka soltou a pedra do alto do mastro do navio, percebeu que a mesma cai linha reta, um movimento idêntico ao de queda livre. Portanto, a figura que ilustra de maneira mais correta o experimento real é a Fig. 2.1.(a). Em outras palavras, a pedra se comporta como se o navio estivesse parado. Você pode achar isso um pouco confuso, mas é fácil de entender o que acontece e este experimento contém toda a essência da Dinâmica que vamos estudar aqui. Na verdade, a pedra está se movendo com velocidade constante para a direita, assim como o navio também está se movendo com velocidade constante para a direita. No entanto, como o observador (Luka) e a pedra estão se movendo com a mesma velocidade, a pedra parece estar caindo em linha reta do ponto de vista de Luka e de toda a tripulação do navio. Neste experimento, podemos dizer que o navio é o referencial. Sempre que perguntamos alguma informação sobre movimento, seja posição, velocidade ou aceleração, temos que especificar qual o referencial do problema, que é onde o observador está fazendo as medições. As respostas podem ser bem diferentes a depender do referencial que estamos trabalhando. Por exemplo, vimos que para o referencial do navio, a pedra solta do mastro está em queda livre (linha reta), pois o navio e a pedra estão em movimento uniforme. No entanto, para um referencial que está em terra firme, por exemplo, se estivéssemos na praia observando o navio passar, a pedra lançada descreveria uma trajetória curva, como na figura 2.2. Esta trajetória é uma parte de uma curva conhecida como parábola. Fig 2.2. Para o referencial da praia, a pedra descreve uma trajetória curva (ramo de parábola), indicando que a pedra possui uma velocidade inicial constante para a direita. Na Fig. 2.2, representamos em diferentes etapas do movimento do navio e combinamos em uma mesma figura. Como o navio está se movendo em relação ao referencial da praia, a cada intervalo de tempo a pedra cai alguns metros e o navio caminha alguns metros em velocidade uniforme. O movimento de queda livre combinado ao movimento uniforme do navio faz com que a trajetória observada pelo referencial da praia seja este ramo de parábola que ilustramos na figura. Um conceito bastante útil quando tratamos de dois referenciais distintos, como o navio e a praia, é o de referenciais inerciais. A ideia é muito simples: dois referenciais A e B são chamados de inerciais se A, quando observado por B, está parado ou em movimento uniforme. Desta forma, podemos dizer que o navio e a praia são referenciais inerciais, já que o navio está em movimento uniforme em relação à praia. Agora podemos introduzir nosso enunciado do princípio da relatividade de Galileu que resume o experimento do navio: “As leis da mecânica são as mesmas em diferentes referenciais inerciais.”38
  39. 39. Conceitos de Física Este enunciado quer dizer que os diferentes fenômenos que envolvem movimentodevem obedecer às mesmas leis, não importando o referencial inercial em que estejam. Porexemplo, se você deixa uma pedra cair a partir do repouso do alto de um prédio e esperaque ela caia em linha reta, então o mesmo tipo de queda livre em linha reta deve acontecercaso você repita o experimento do alto do mastro do navio apresentado anteriormente.Isto acontece de acordo com o princípio da relatividade, pois o navio está em movimentouniforme, fazendo com que ele e a terra firma sejam referenciais inerciais e, portanto,obedecem as mesmas leis da mecânica. O que aconteceria caso o navio estivesse em movimento uniformemente variado?Neste caso, o navio e a terra firme não são mais referenciais inerciais. Estes referenciais,chamados de não inerciais, apresentam leis da mecânica diferentes e, como consequência,os resultados dos experimentos são diferentes. Neste exemplo do navio acelerando, o queobservaríamos de dentro do navio quando soltamos uma pedra a partir do repouso domastro é ilustrado na Fig. 2.3. Perceba que a pedra não cai em linha reta neste caso. Fig. 2.3. A pedra solta do mastro de um navio acelerando não cai em linha reta para os observadores do navio. Como o navio está acelerando (sua velocidade aumenta com o tempo), então elee a terra firme não podem mais ser considerados referenciais inerciais. Logo, não vale oprincípio da relatividade de Galileu e as leis da mecânica passam a ser um pouco estranhasno referencial do navio. Por exemplo, neste referencial os objetos que caem em queda livrepossuem uma trajetória curva. Você não deveria ficar espantado com referenciais não inerciais, eles fazem partedo seu cotidiano. Por exemplo, quando você está dentro de um ônibus em movimentouniforme, você consegue ficar em pé sem fazer o menor esforço. Isto acontece, pois nestecaso o ônibus é um referencial inercial e tudo que você faz normalmente em terra firmevocê conseguiria fazer no ônibus: andar, pular, etc. Contudo, quando o motorista do ônibusresolve frear o veículo bruscamente, ele impõe uma aceleração negativa para diminuir avelocidade do ônibus. Neste intervalo de tempo, o ônibus não está mais em movimentouniforme. Isto faz com que o ônibus e sua casa, por exemplo, sejam referenciais nãoinerciais. Logo, o princípio da relatividade de Galileu não se aplica e as leis da mecânica quepassam a governar o movimento das pessoas dentro do ônibus ficam diferentes. As pessoasnão conseguiriam mais andar e pular da mesma maneira que fazem no chão firme, poisexiste algo que as empurra para frente do ônibus. Esta situação está ilustrada na Fig. 2.4. 39
  40. 40. Conceitos de Física Fig 2.4.1. Ônibus em movimento uniforme, representando um referencial inercial para os passageiros. 2. Após o freio do motorista, uma aceleração surge e o ônibus passa a ser um referencial não inercial. Vamos ver a opinião de Luka sobre esta situação do ônibus:40
  41. 41. Conceitos de Física Esta interpretação faz sentido e pode ser considerada correta. No entanto, seolharmos para os corpos em queda livre, você diria que existe algo empurrando os corpospara baixo e por isso eles caem. Na verdade, não existe muita diferente entre as pessoasserem jogadas para frente do ônibus que freia e os corpos que “são jogados” para baixo emqueda livre. Para ilustrar nosso argumento anterior, imagine que você tenha nascido dentrode uma caixa preta em um ônibus em movimento e nunca tenha saído dela. De repente,o ônibus freia e você é projetado para frente. Para você, que não sabe da existência deum mundo externo para chamar de referencial inercial, aquela força que o empurrou parafrente é uma força da natureza tão importante quanto à força que faz com que os corposcaiam. Para o referencial externo, como as pessoas em um ponto de ônibus, aquela força éimaginária e surgiu apenas pelo fato do ônibus ser um referencial não inercial. Em relaçãoao tempo de vida da mecânica clássica, esta conversa sobre referenciais não inerciaise gravidade é algo bem moderno. Ele é a semente do chamado princípio da relatividadede Einstein, desenvolvido no século passado e capaz de mudar quase tudo que você sabesobre mecânica clássica. Vamos conversar sobre este princípio no final deste volume. Paraentender os argumentos mais modernos, precisamos nos dedicar bastante ao estudo damecânica clássica deste capítulo.2.2 As Leis de Newton Isaac Newton (1643-1727) foi um matemático e físico inglês que deu um formato àfísica que sobrevive até hoje. Newton pensava muito sobre a natureza e percebia a mecânicade forma bem particular. Ele percebeu que precisava de uma ferramenta matemática queainda não tinha sido descoberta para elaborar uma teoria da dinâmica. Como ninguémtinha descoberto ainda esta ferramenta, chamada de cálculo diferencial e integral, Newtonexerceu seu papel de matemático e criou o cálculo. Depois de entender como fazer asoperações matemáticas, Newton criou as leis da mecânica clássica que levam seu nome.Mas que formato especial é este que ele deu a Física que pode ser percebido até hoje? Com o uso do cálculo diferencial, Newton foi capaz de escrever equações cujassoluções indicavam sobre como um dado sistema se comportará no futuro. Esta capacidadede previsão que ele agregou à mecânica sob a forma do cálculo diferencial atingiu diversasáreas da Física e surgiu um sentimento estético nos cientistas de que tudo na naturezapoderia ser previsto como na mecânica. O Universo seria bastante elegante se fosse destamaneira. Esta ideia de que a natureza funciona como um relógio e de que, no futuro,poderíamos prever todos os fenômenos do universo ficou conhecida como determinismoclássico. Esta é a ideia básica da mecânica newtoniana e da física em geral que tratamosanteriormente: a natureza se comporta de maneira regular, repetindo padrões que podemser previstos com alguma precisão caso saibamos as leis que governam os fenômenos. Oproblema é que ainda não explicamos o que é uma lei. Uma lei da física é uma regra que a natureza parece obedecer. Note que tomei ocuidado de escrever “parece”, pois nunca temos certeza se uma dada regra realmente éobedecida pela natureza. O que podemos fazer é inventar uma regra com base em resultadosexperimentais e em nossa livre intuição. Depois, deduzimos resultados matemáticos apartir destas leis e, finalmente, colocamos nossas previsões ao teste experimental. Se esteconjunto de regras, que podemos chamar de teoria, sobreviver ao teste experimental,não podemos dizer que ela está correta, mas, pelo menos, ela não pode ser descartada.Então, até que alguém invente um experimento capaz de provar que a teoria está errada,então ela pode durar mais alguns anos. Conforme a tecnologia permita experimentos maisprecisos, antigas teorias precisam ser reformuladas. Isto não significa que elas estejam 41
  42. 42. Conceitos de Física completamente erradas. Apenas que precisam ser lapidadas para explicar uma nova classe de fenômenos que os teóricos nem imaginavam na época em que criaram. Isto faz com que a ciência esteja evoluindo continuamente. Todo este processo é chamado de método científico. Apesar de o teste experimental ser o principal guia da ciência, ele não é o único. Imagine duas teorias que façam as mesmas previsões experimentais: 1 Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante. 2. Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante devido ao poder do nosso pensamento. Nos dois casos, pode-se calcular que a trajetória dos corpos em queda livre é um ramo de parábola, se o lançamento for diagonal, ou uma linha reta, se o lançamento for vertical. Note que a segunda “teoria” faz uma afirmação muito forte sobre a origem da queda dos corpos que não pode ser testada experimentalmente. Como não podemos testar esta afirmação final, podemos descartá-la e ficar com a primeira teoria, pois ela é a teoria mais simples que explica a queda livre. Chamamos este princípio norteador da ciência de Navalha de Ockham, em homenagem ao seu criador, o filósofo William Ockham (1285- 1349). Já vimos o conceito de Lei da Física e o método científico, vamos explorar o determinismo clássico através das Leis de Newton: Primeira Lei Também conhecida como Lei da Inércia, a primeira lei de Newton pode ser traduzida da seguinte forma: “Todo corpo persiste com velocidade constante, a menos que um agente externo tente mudar seu estado de movimento” Vamos interpretar esta Lei. Inicialmente, para o caso em que a velocidade do corpo é zero, é fácil entender que ele está parado e continuará parado a menos que algum agente (uma pessoa, um carro, etc.) tente empurrá-lo. Se nenhum agente tentar mudar o fato dele estar parado, então ele continuará parado. Esta situação é bem fácil de entender. A situação mais complicada surge quando o corpo já possui uma velocidade constante diferente de zero, em movimento uniforme. A Lei diz que um corpo em movimento uniforme continua com velocidade constante até que algum agente externo tente alterar seu estado de movimento. Ou seja, se você dá um empurrão em uma caixa de sapatos que está no chão, ela deveria assumir uma velocidade constante e continuar com esta velocidade até bater em um objeto. E se você der um empurrão em caixa de sapatos em um campo aberto bem grande, ela percorreria todo o campo com velocidade constante? Na prática, a caixa de sapato não caminha com velocidade constante, pois o próprio chão e o ar fazem o papel de agentes externos que estão “atrapalhando” o movimento da caixa que, de acordo com a Primeira Lei, deveria ser um movimento uniforme. Então, você poderia fazer uma experiência ainda mais ousada. Se você sair do planeta Terra e for para um lugar do espaço bem distante, bem longe de estrelas e outros planetas. Nessa região do espaço, praticamente não existe gravidade, não existe ar ou chão, apenas o vazio (vácuo). Se você chutar uma caixa de sapatos, ela iniciará um movimento com velocidade constante e continuará assim por muito tempo. Se não encontrar um obstáculo (e não for atraída por nenhuma força), ela continuará para sempre o movimento, de acordo com a primeira Lei. Precisamos realmente fazer esta experiência no espaço para verificar a Lei de Newton? Na verdade, podemos simular situações em que a contribuição dos agentes42

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