Exercicios matematica polinomios

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Exercicios matematica polinomios

  1. 1. 1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Exercícios de Matemática Polinômios 1) (ITA-1977) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d) P(0) = 2 e) N.D.A. 2) (UFC-2002) Seja P(x) um polinômio de grau n  1, com coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 - 4i, onde i2 = - 1, calcule P(3 - i ). 3) (ITA-2005) No desenvolvimento de (ax2 - 2bx + c + 1)5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e - 1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a a) - 2 1 b) - 4 1 c) 2 1 d) 1 e) 2 3 4) (Unicamp-1994) Determine o quociente e o resto da divisão de x100 + x + 1 por x2 - 1. 5) (UNICAMP-2009) Seja f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 um polinômio de grau n tal que an ≠ 0 e aj IR para qualquer j entre 0 e n. Seja g(x) = nanxn-1 + (n - 1)an-1xn-2 +...+ 2a2x + a1 o polinômio de grau n - 1 em que os coeficientes a1,a2,...,an são os mesmos empregados na definição de f(x). a) Supondo que n = 2, mostre que g        2 h x = h xfhxf )()(  ,para todo x, hIR, h ≠ 0. b) Supondo que n = 3 e que a3 = 1, determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f(-1) = 0. 6) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 7. a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x). b) Determine P(x). 7) (Fuvest-1991) Considere um polinômio não nulo p(x) tal que (p(x))3 = x2 .p(x) = x.p(x2 ) para todo x real. a) qual é o grau de p(x)? b) Determine p(x). 8) (Fuvest-1993) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é uma constante real e p(x) = x3 - 3x2 + 2x + 2 x2 a.cosx  é um identidade em x, determine: a) O valor da constante a. Justifique b) as raízes da equação p(x) = 0. 9) (Fuvest-1985) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2) ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10) (Fuvest-1985) Dado o polinômio complexo p(z) = z2 + (1+i)2 expresse, na forma a + bi, com a e b reais: a)       i1 2 p b) as raízes do polinômio 11) (Fuvest-1981) O polinômio P é tal que P(x) + x.P(2-x) = x2 + 3 para todo x real. a) Determine P(0), P(1) e P(2). b) Demonstre que o grau de P é 1. 12) (Unifesp-2003) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é a) 10. b) 12. c) 17. d) 25. e) 70. 13) (UFC-2003) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x - 1)·(x + 3)5 é: a) 30 b) 50
  2. 2. 2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br c) 100 d) 120 e) 180 14) (Vunesp-1999) Considere o polinômio p(x) = x3 - mx2 + m2 x - m3 , em que mR. Sabendo-se que 2i é raiz de p (x), determine: a) os valores que m pode assumir; b) dentre os valores de m encontrados em (a), o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x  1) seja 5. 15) (UNIUBE-2001) O resto r(x) da divisão de p(x) = x 2001 por q(x) = x2 -1 é igual a a) x3 b) x c) -x -1 d) x1999 -1 16) (IBMEC-2001) Seja P(x) um polinômio de coeficientes reais com P(1 – i) = 2 + 3i. Logo, P(1 + i) é igual a: a) 1 – i b) 1 + i c) 2 + 3i d) 2 – 3i e) 13 17) (Fuvest-2002) Dado o polinômio p(x) = x2 .(x – 1) (x2 - 4), o gráfico da função y = p(x – 2) é melhor representado por: 18) (Fuvest-1998) P(x) é um polinômio de grau  2 e tal que P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x 2) (x 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x). a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x). 19) (ITA-2002) A divisão de um polinômio f(x) por (x - 1)(x - 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x) por x - 1 e x - 2 são, respectivamente, os números a e b, então a2 + b2 vale: a) 13 b) 5 c) 2 d)1 e) 0 20) (Fuvest-1996) Seja p(x) um polinômio divisível por x3. Dividindo p(x) por x1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x3 é: a) 5 b) 3 c) 0 d) 3 e) 5 21) (FUVEST-2009) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x - 1, respectivamente. Assim, o valor de a é a) - 6 b) - 7 c) - 8 d) - 9 e) - 10 22) (UNIFESP-2007) Se 232  xx x = 1x a + 2x b é verdadeira para todo x real, x  1, x  2, então o valor de a.b é a) – 4. b) – 3. c) – 2. d) 2. e) 6. 23) (VUNESP-2008) Seja x um número real positivo. O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em função de x, pelo polinômio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se uma
  3. 3. 3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por: a) x2 – 6x + 8. b) x2 + 14x + 8. c) x2 + 7x + 8. d) x2 – 7x + 8. e) x2 + 6x + 8. 24) (UFC-2007) Os números reais a, b, c e d são tais que, para todo x real, tem-se ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x – 2)(x – 4) – (x + 1)(x2 – 5x + 3). Desse modo, o valor de b + d é: a) –2 b) 0 c) 4 d) 6 e) 10 25) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a - b + c é a) -5. b) -1. c) 1. d) 3. e) 7. 26) (Mack-2006) Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) = 0, Q(1) vale ax4 + 5x2 -ax+4 x2 -4 r(x) Q(x) a) 1 b) -3 c) -5 d) -4 e) 2 27) (UFPB-2006) Considerando as proposições sobre polinômios, assinale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s). ( )Sejam f (x) e g (x) polinômios não-nulos tais que f (2) = g (2) = 0. Se r (x) é o resto da divisão de f (x) por g (x), então r (2) = 0. ( )O polinômio 23)( 3  xxxf tem uma raiz inteira. ( )Se f (x) e g (x) são polinômios de grau 3, então o grau do produto f (x)g (x) é 9. A seqüência correta é: a) VFF b) FVF c) FFV d) VVF e) VFV f) FVV 28) (Vunesp-2006) Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p’(1) = 0, p’(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é: a) x3 - x2 + x + 1. b) x3 - x2 - x + 3. c) x3 - x2 - x - 3. d) x3 - x2 - 2x + 4. e) x3 - x2 - x + 2. 29) (UFV-2005) Éder e Vando, alunos de 7ª série, brincam de modificar polinômios com uma Regra de Três Passos (R3P). No 1º passo, apagam o termo independente; no 2ª passo, multiplicam cada monômio pelo seu grau; e, no 3º passo, subtraem 1 no grau de cada monômio. Pela aplicação da R3P ao polinômio p(x ) = (2x +1)(x -3 ) obtém-se o polinômio: a) 4x -5 b) 2x + 3 c) 4x + 5 d) 4x + 3 e) 2x - 5 30) (Mack-2004) Considere o polinômio P(x), do segundo grau, tal que P(x) - P(x + 1) = x, qualquer que seja x real. Sabendo que P(0) = 0, assinale, dentre as alternativas, o melhor esboço gráfico de y = P(x). a) b) c) d)
  4. 4. 4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br e) 31) (Fuvest-1992) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de um polinômio P(x) por x-1 e por x+1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x2 -1 então R(0) é igual a: a) R1 - R2 b) 21 21 RR RR  c) R1 + R2 d) R1.R2 e) 2 RR 21  32) (Fuvest-1984) Dividindo-se um polinômio p(x) por (x- 1)2 , obtém-se um resto que, dividido por (x-1), dá resto 3. Ache p(1). 33) (Fuvest-1981) O grau dos polinômios f, g e h é 3. O número natural n pode ser o grau do polinômio não nulo f(g+h) se e somente se: a) n = 6 b) n = 9 c) 0  n  6 d) 3  n  9 e) 3  n  6 34) (Mack-2005) Um polinômio p(x) tem resto A, quando dividido por (x - A), e resto B, quando dividido por (x - B), sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível por (x - A).(x - B), então: a) A = B = 0 b) A = B = 1 c) A = 1 e B = -1 d) A = 0 e B = 1 e) A = 1 e B = 0 35) (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio: a) g2 é 9 b) f.g é 7 c) f + h é 6 d) g  h é 1 e) 3. f é 12 36) (UFPA-1998) Considere o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + mx + n, com m, n  R. Sabendo-se que P(x) + 2 é divisível por x + 2 e P(x)2 é divisível por x2, determine os valores de m e n. 37) (Vunesp-1995) Se m é raiz do polinômio real p(x) = x6  (m+1)x5 + 32, determine o resto da divisão de p(x) por x1. 38) (Unitau-1995) Sabe-se que 1, 2 e 3 são raízes de um polinômio do terceiro grau P(x) e que P(0) = 1. logo, P(10) vale: a) 48. b) 24. c) -84. d) 104. e) 34. 39) (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n+2 e o polinômio q tem grau 3n1, sendo n inteiro e positivo. O grau do polinômio p.q é sempre: a) igual ao máximo divisor comum entre 4n+2 e 3n1. b) igual a 7n+1. c) inferior a 7n+1. d) igual a 12n2 +2n+2. e) inferior a 12n2 +2n+2. 40) (Mack-1997) O polinômio P(x) = 3x3 +ax2 +bx+c é divisível por x2 3x+2 e por x2 2x+1. Então a soma dos números reais a, b e c é: a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) zero 41) (Mack-1997) O resto da divisão de um polinômio de P(x) por (x k) é R. Se o resto da divisão de P(x) + R/3 por (x k) é 24, então R vale: a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 42) (Mack-1996) O resto da divisão de um polinômio P(x) por 2x1 é 4; deste modo, o resto da divisão de (x2 x).P(x) por 2x1 é: a) -2 b) - 2 1
  5. 5. 5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br c) 2 1 d) 2 e) 4 43) (ITA-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x2 -x resulta no quociente 6x2 +5x+3 e resto 7x. O resto da divisão de P(x) por 2x+1 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 44) (FGV-1995) Sabe-se que o polinômio f = x4 -x3 -3x2 +x+2 é divisível por x2 -1. Um outro divisor de f é o polinômio: a) x2 - 4 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 2)3 e) (x - 1)2 45) (FEI-1996) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um polinômio de grau 6, e a diferença P(x)-Q(x) é um polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que: a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6. b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau. c) P(x) tem grau 5. d) Q(x) tem grau 4. e) P(x) tem grau 4. 46) (FEI-1994) Se na divisão do polinômio P(x) = x3 + 5x - 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto R(x) que é divisível por x-1, então R(x) vale: a) (x -1) b) 2(x -1) c) 3(x -1) d) 4(x -1) e) 5(x -1) 47) (UFC-2004) Se a expressão 12x b 12x a 14x 52x 2       ,onde a e b são constantes, é verdadeira para todo número real x   2 1 , então o valor de a+b é: a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 48) (Mack-1998) Considerando as divisões de polinômios dados, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 - 8 x + 12 é: P(x) x - 2 4 Q(x) Q(x) x - 6 1 Q1(x) a) 2 x + 2 b) 2 x + 1 c) x + 2 d) 3 x - 2 e) x + 1 49) (UEL-1994) O polinômio x3  x2  14x + 24 é divisível por a) x1 e x+3 b) x2 e x+5 c) x2 e x+4 d) x3 e x+2 e) x+5 e x3 50) (Fatec-1995) Os restos da divisão de um polinômio p por (x1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e 23. O resto da divisão de p por (x1)(x+2) é: a) -23 b) -22x c) x-2 d) 3x+1 e) 8x-7 51) (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio P(x)=(x2 +1)2 pelo polinômio D(x)=(x-1)2 é igual a: a) 2 b) 4 c) 2x-1 d) 4x-2 e) 8x-4 52) (FGV-2004) a) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e AMCN é um losango. Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB = 2AD = 20cm. b) Considere dois polinômios, f(x) e g(x), tais que o grau de f(x) é n + 2 e o grau de g(x) é n - 1. Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x)
  6. 6. 6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br por g(x). O que se pode afirmar a respeito dos graus dos polinômios q(x) e r(x)? 53) (Fatec-2002) O polinômio p = x3 + 2 a x2 - 7x - 2 a , a  R, é divisível por (x - 2). Se o polinômio q = 2ax3 + 3ax2 + bx + 1 é um cubo perfeito, então o valor de b é a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 54) (PUC-PR-2003) Dado o polinômio x4 + x3 - mx2 - nx + 2, determinar m e n para que o mesmo seja divisível por x2 - x - 2. A soma m + n é igual a: a) 6 b) 7 c) 10 d) 9 e) 8 55) (CPCAR-2002) O resto da divisão do polinômio 1xx2x2x)x(p 234  por x + 1 é um número a) ímpar menor que 5 b) par menor que 6 c) primo maior que 5 d) primo menor que 7 56) (UEL-2002) Qual é o resto da divisão de xx)x(p 110  pelo polinômio xx)x(q 2  ? a) - 2x b) - 2 c) x d) - x e) 0 57) (Vunesp-2000) Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x - c), obtemos quociente q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1 e resto p(c) = 3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine a) o valor de c; b) o polinômio p(x). 58) (Mack-2002) Se o polinômio p(x) = x5 + 4ax4 + 3x3 + a3 , a  IR , é divisível por x - a , então 1a2  é: a) 10 b) 1 c) 2 d) 2 e) 26 59) (PUC-RJ-2002) Dado que as raízes do polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + c são 0,1 e -1, calcule p(2). 60) (FGV-2002) Se o polinômio P(x) = x3 - kx2 + 6x - 1 for divisível por (x - 1), ele também será divisível por: a) x2 - 5x + 1 b) x2 - 5x + 3 c) x2 + 5x + 1 d) x2 + 5x + 3 e) x2 - 5x + 5 61) (UFC-2002) O polinômio P(x) = 2x3 - x2 + ax + b, em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto ab é igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 62) (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida por f(x)= 3x 3x 2   , então a expressão 1x f(1)f(x)   , para x1, é equivalente a: a) 3)2(x 3x 2   b) 3)2(x 3x 2   c) 3)2(x 1x 2   d) 3)2(x 1x 2   e) x 1 63) (Vunesp-2002) Considere a função polinomial de 3º grau, p(x) = x3 – 3x + 1. a) Calcule p(–2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico. b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta, quantas raízes reais e quantas raízes complexas (não reais) tem p(x).
  7. 7. 7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 64) (UFPR-1999) Considerando que os polinômios desta questão têm coeficientes reais, é correto afirmar: (01) Se o resto da divisão de um polinômio p(x) por x1 é 5 e por x+1 é 3, então 3p(1) = 5p(1). (02) Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então o polinômio p(x) + q(x) sempre tem grau n. (04) Se p(x) = (x2)5 , então a soma das raízes da equação p(x) = 0 é igual a 10. (08) Se os números complexos 1+i e 2+i são raízes da equação polinomial p(x) = 0, então é possível que o grau da equação seja igual a 2. (16) Se a equação polinomial p(x) = 0 não tem raízes reais, então o gráfico de p(x), em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, não intercepta o eixo das abscissas. Marque como resposta a soma dos itens corretos. 65) (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2  3x + 1, obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto x + 2. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x 1 é: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 66) (Fuvest-1999) O gráfico: Pode representar a função f(x)= a) x (x – 1) b) x2 (x2 – 1) c) x3 (x – 1) d) x (x2 – 1) e) x2 (x – 1)
  8. 8. 8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Gabarito 1) Alternativa: D Note que, se todos os restos das divisões por (x-1), (x-2), (x-3), (x-4) e (x-5) são 1, então P(x) -1 é divisível por (x- 1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Assim, P(x) - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6) = 0, temos -1 = a.5.4.3.2.1, ou seja, temos a = - 120 1 . Daí, P(x) = - 120 1 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1 e portanto, fazendo x = 0, temos P(0) = 2. 2) P(3-i) = 2+4i Resolução: Seja P(x) = anxn + a-n-1xn-1 + ... + a1x + ao, an  0. Temos: o1 1n 1n n n a)3(a...)3(a)3(a)3(P    iiii o1 1n 1n n n a)3(a...)3(a)3(a    iii o1 1n 1n n n a)3(a...)3(a)3(a    iii o1 1n 1n n n a)3(a...)3(a)3(a    iii )3(P i i42  i42 . 3) Alternativa: A (supondo-se coeficientes reais para o polinômio. Caso contrário, não há solução correta.) 4) a) R(x) = x + 2 b) Q(x) = x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1 5) a) Para n = 2, temos f(x) = a2x2 + a1x + a0 e g(x) = 2a2x + a1. Assim, h xfhxf )()(  = h axaxaahxahxa )01 2 201 2 2 ()()(  = h axaxaahaxahaxhaxa 01 2 2011 2 22 2 2 2  = h ahaxah )2.( 122  =2a2        2 h x +a1 = g        2 h x b) f(x) = x3 -x2 -x + 1 6) a) y = 2x + 1 b) P(x) = 3 1 x3 + x2 – 3 1 x + 1 7) Se (p(x))3 = x2 .p(x) então ou p(x) = 0 ou p(x)2 = x2 . Como p(x) é não nulo, então p(x)2 = x2  p(x) = x ou p(x) = -x. E ambos também verificam a condição (p(x))3 = x.p(x2 ). a) grau = 1 b) p(x) = x ou p(x) = -x 8) a) a = 0, considerando-se que os monômios precisam ser da forma .xn com  real e n inteiro, para qualquer x. b) raízes: 0, 1 e 2 9) Alternativa: E 10) a) 4i b) -1+i e 1-i 11) a) P(0) = 3, P(1) = 2 e P(2) = 1. b) Como o grau de x2 + 3 é 2, e o grau de x.P(2-x) > grau de P(x), então o grau de x.P(2-x) é 2. Como o grau de x é 1, o grau de P(2-x) é 2-1 = 1. Assim, o grau de P(x) é 1. 12) Alternativa: C 13) Alternativa: E (x+3)5 = x5 + 5.x4 .3 +10.x3 .32 +10.x2 .33 + 5.x.34 +35 = x5 + 15.x4 +90.x3 .+270.x2 + 405x.+ 243. Daí o termo de grau 3 em (x-1)(x+3)5 será 270x3 - 90x3 = 180x3 . Portanto, o coeficiente do termo de grau 3 deste polinômio é 180. 14) a) m=2 ou m=-2 b) m=2 15) Alternativa: B 16) Alternativa: D 17) Alternativa: A Se p(x) = x2 .(x – 1) (x2 – 4) então p’(x) = p(x–2) = (x– 2)2 .(x-2 - 1) ((x-2)2 – 4) = (x–2)2 .(x–3).(x2 –4x) = x(x–
  9. 9. 9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 2)2 .(x–3).(x–4), ou seja, p’(x) têm raízes em x=0, x=2 (raiz dupla), x=3 e x=4. As únicas alternativas possíveis são (a) e (b). Como p’(1) = 1.(–1)2 .(1–3).(1–4) = 6 então o gráfico de p’(x) é positivo para 0<x<2 e a alternativa correta é a (a) 18) a) R(x) = - x + 3 b) 2 5 19) Alternativa: A 20) Alternativa: A 21) Alternativa: A 22) Alternativa: C 23) Alternativa: E 24) Alternativa: D 25) Alternativa: E 26) Alternativa: C 27) Alternativa: A 28) Alternativa: B 29) Alternativa: A 30) Alternativa: B 31) Alternativa: E 32) p(1) = 3 33) Alternativa: E 34) Alternativa: A 35) Alternativa: B 36) m = –3 e n = –8 37) Resto = 30 38) Alternativa: C 39) Alternativa: B 40) Alternativa: D 41) Alternativa: C 42) Sem alternativa. O resto = –1 43) Alternativa: E 44) Alternativa: C 45) Alternativa: B 46) Alternativa: D 47) Alternativa: C 48) Alternativa: C 49) Alternativa: C 50) Alternativa: E 51) Alternativa: E 52) a) BN = cm 2 415 b) gr(q) = 3 e 0 gr(r) < n - 1 53) Alternativa: A 54) Alternativa: E 55) Alternativa: C 56) Alternativa: B 57) a) c = 2 b) p(x) = 3x4 -8x3 + 5x2 + 3x + 5 58) Alternativa: B 59) p(2) = 6 60) Alternativa: A 61) Alternativa: A 62) Alternativa: A 63) a) p(x) = x3 – 3x + 1 p(–2) = – 8 + 6 + 1  p(–2) = – 1 p(0) = 0 – 0 + 1  p(0) = 1 p(1) = 1 – 3 + 1  p(1) = – 1 p(2) = 8 – 6 + 1  p(2) = 3
  10. 10. 10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br b) Como p(x) é do 3o grau, ele tem 3 raízes complexas. Pelo gráfico de p(x) percebemos que todas as 3 são reais (3 “cortes” no eixo x), portanto nenhuma é imaginária. 64) V – F – V – F – V = 1+4+16 = 21 65) Alternativa: B 66) Alternativa: D

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