Tema 1 Herramientas Matematicas

Tema 1:

Vectores
Definición de vector 3-d
Módulo de un vector
Vectores unitarios
Suma vectorial
Producto por un escalar
Producto escalar
Base Ortonormal
Producto vectorial
Derivadas
Concepto de derivada
Tabla de derivadas
Derivada de un vector
Integrales
Concepto de integral
Integral definida
Tabla de integrales
Integral de un vector

Vector equipolente: vectores con igual dirección sentido y módulo. A (a x , a y , a z ) B (b x , b y , b z ) Vector libre: Conjunto de infinitos vectores equipolentes a uno dado. Vector: Par ordenado AB

Características de un Vector:
Dirección : Recta en la que está inscrito
(y paralelas).
Sentido : Cada direcc. dos sentidos. Punta de flecha.
Módulo : Distancia del vector en las mismas unidades.
Cálculo del módulo de un Vector:

Ejemplo: Calcula el módulo del vector v = (-3, 2, -1)
Ejemplos Físicos:
CELERIDAD (v)
INTENSIDAD DE LA GRAVEDAD (g)
-1 x y z 2 -3

PROPIEDADES DEL MÓDULO Es definido positivo 2 Escalar con unidades iguales a las del vector 1 El vector elemento neutro tiene módulo neutro 3

Definición: Es un vector de módulo 1 Utilidad: En Física se utilizan para marcar direcciones sin afectar al módulo r x y z Cálculo de unitario:

Ejemplo: Halla el vector unitario que define la dirección del vector v = (-3,0, 4) En primer lugar se calcula el módulo de v x y z r Cálculo de unitario:

Ejemplo Físico:
Ley de Gravitación Universal
Campo eléctrico
Es decir:
Sentido
Módulo o intensidad
Dirección
Los vectores en Física se suelen expresar: x y z r

Definición: Sean los vectores a =(a x , a y , a z ) y b =(b x , b y , b z ) Regla del paralelogramo El vector suma (o resultante) a+b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z )

PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL Propiedad conmutativa 1 El módulo de la suma no es igual a la suma de los módulos 3 Elemento neutro 2

Ejemplos Físicos:
FUERZA RESULTANTE (R)
CAMPO GRAVITATORIO RESULTANTE (g)
Ejemplo: Calcula la resultante de los vectores v = (-3, 2, -1) y w = (2, 2, -2) Comprueba que el módulo de la suma es menor que la suma de los módulos

Definición: Sean el vector v =(v x , v y , v z ) y el escalar k Para k >1 Para k <0
Ejemplo Físico:
Momento Lineal
Fuerza
(2ª ley Newton)
El producto de k por v k v =k(v x , v y , v z )= (kv x , kv y , kv z ) x y z

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR cambia el sentido 2 La dirección del vector resultante no cambia 1 El módulo también se multiplica k veces 3

Definición: Conjunto de 3 vectores unitarios i , j , k , ortogonales entre sí, a partir de los cuales, puede escribirse cualquier vector como una combinación lineal de ellos.

Definición: Sean los vectores a =(a x , a y , a z ) y b =(b x , b y , b z ) Vectores perpendiculares , producto escalar nulo Interpretación geométrica Proyección de a sobre b Permite calcular la componente de un vector en una dirección El producto escalar:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Propiedad conmutativa 1 Propiedad distributiva 2 Propiedad distributiva (escalar) 3 4

TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR DEMOSTRACIÓN ( líneas maestras )

APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR Calcular el ángulo que forman dos vectores entre sí Ejemplo: Calcula el ángulo que forman los vectores v = (-3, 2, -1) y w = (2, 2, -2)

Ejemplo Físico:
Trabajo
¡ES UN ESCALAR!

Definición: Sean los vectores u =(u x , u y , u z ) y v =(v x , v y , v z ) Dirección: Perpendicular al plano que forman u y v Sentido: Queda determinado por la regla de la mano izquierda El vector producto vectorial tiene las siguientes características Módulo:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL Propiedad anticonmutativa 1 Propiedad distributiva 2 Propiedad distributiva (escalar) 3 Vectores paralelos 4

TEOREMA DEL PRODUCTO VECTORIAL DEMOSTRACIÓN (líneas maestras) ¡¡Necesitamos una regla de cálculo! !

REGLA DE CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

Paso 1: Se duplican las dos primeras filas

Paso 2: Los factores de estas diagonales son positivos

Paso 2: Los factores de estas diagonales son negativos

Paso 3: Se suman los factores comunes ¡¡No hace falta aprender la fórmula de memoria, solo calcular! !

EJERCICIO DE CÁLCULO PRODUCTO VECTORIAL

Ejemplos Físicos:
Momento de la Fuerza ( M )
Momento angular o cinético ( L )

Tasa de Variación Media ( TVM ) Nos indica cambios de funciones

Derivada: Nos indica cambios instantáneos de funciones

Tabla de derivadas necesaria para Física de 2ºBT

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS Derivada de la suma 1 Derivada del producto de una k por una función 2 Derivada de la función producto 3 Derivada de la función cociente 4 Regla de la cadena 5

La derivada de un vector es la derivada de una suma, por lo que se deriva componente a componente

Ejemplos Físicos:
Velocidad instantánea ( v =d r /dt)
Aceleración instantánea ( a =d v /dt)

F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que: Un ejemplo: Encuentra la primitiva de la función f(x)=2x-5x 2

Al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida Derivación Integración

Tabla de integrales necesaria para Física de 2ºBT

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES La integral de la suma es la suma de integrales 2 La integral de C veces la función es C veces la integral 1

TEOREMA DE BARROW

Un ejemplo: Encuentra la integral de la función f(x)=2x-5x 2 entre los límites x=3 y x=5

La integral de un vector es la integral de una suma, por lo que se integra componente a componente

Ejemplo Físico:
Trabajo de una fuerza no constante
W=b·h/2 F (N) x (m) 5 5k

http://iescastelar.juntaextremadura.net/vectores_3d/vectores_3d.html
www.lowy-robles.com/37_16.htm
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Tema 1 Herramientas Matematicas

by manikiatrico on Sep 30, 2007

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