Metodo algebraico. MTI. Ana Díaz
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Explicación paso por paso para la solución del Metodo algebraico de la materia Modelos de Optimización

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Metodo algebraico. MTI. Ana Díaz Metodo algebraico. MTI. Ana Díaz Presentation Transcript

  • PROGRAMACIÓN LINEAL
    MÉTODO ALGEBRAICO
  • Método algebraico
    Permite la solución de un problema de programación lineal cuando es necesario resolver casos de “n” variables y se trabaja con espacios n-dimensionales.
    Los espacios vectoriales no tienen limite en cuanto al número de variables.
    Para efectos de representación del problema, se parte de los siguientes supuestos:
    El número de incógnitas es n
    El número de restricciones es m
  • Método algebraico
    Por lo anterior, la función objetivo se representa de la siguiente forma:
    Z=C1X1+C2X2+…+CnXn
    Donde: C1, C2…, Cn son los coeficientes de las incógnitas y por lo tanto datos conocidos.
    Como se tienen m desigualdades es necesario agregar (m) variables de holgura, las cuales deben agregarse a la función objetivo.
  • Método algebraico: Grupo I
    Planteamiento del problema
    1) Max U= 120 x1 + 100 x2
    x1; producir M1
    x2; producir M2
    2) T; 2x1 + 1x2 ≤90
    3) R; 1x1 + 2x2 ≤ 80
    4) C; 1x1 + 1x2 ≤ 50
    Restricciones de no negatividad
    x1≥0 x2 ≥0
  • Método algebraico: Grupo II
    Es necesario transformar las inecuaciones en igualdades. Tomando la inecuación del primer componente se le añade una variable de holgura cuyo valor se desconoce.
    Las variables de holgura pueden interpretarse como el saldo de inventario del componente, su coeficiente de transformación es 1 y cero en la función objetivo.
    Este paso debe hacerse en todas las inecuaciones.
  • Método algebraico: Grupo II
    Añadir variables de holgura:
    12) T; 2x1 + 1x2 + x3 =90
    13) R; 1x1 + 2x2 + x4 = 80
    14) C; 1x1 + 1x2 + x5 = 50
    11) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
  • Método algebraico: Grupo III
    Se debe despejar de cada una de las ecuaciones las variables de holgura y el sistema adquiere la siguiente forma:
    22) x3 =90 - 2x1 - 1x2
    23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2
    24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2
    21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
    En donde:
    X1=0 x3=90
    X2=0 x4=80
    x5=50
  • Método algebraico: Grupo III
    Observando la función objetivo se verifica cual es el producto que nos da el mayor beneficio y se hará la evaluación del mismo.
    Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
    El valor que se escogerá es el menor, en virtud de que se trabaja con recursos escas0s dentro de la empresa.
  • Método algebraico: Grupo IV
    Evaluar a x1 de 22) para obtener la función de producción de M1 y debe dar la producción 32)
    22) x3 =90 - 2x1 - 1x2
    2x1 =90 - 1x2 - x3
    x1 = 90/2 - 1/2 x2 – 1/2x3
    32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3
  • Método algebraico: Grupo IV
    Sustituir la función de producción 32) en 23) para obtener 33)
    23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2
    x4 = 80 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 2x2
    x4 = 80 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 2x2
    33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3
  • Método algebraico: Grupo IV
    Sustituir 32) en 24) para obtener 34)
    24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2
    x5 = 50 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 1x2
    x5 = 50 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 1x2
    34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3
  • Método algebraico: Grupo IV
    Sustituir 32) en 21) para obtener 31)
    21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
    U= 120 (45 - 1/2 x2 – 1/2x3) + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
    U= 5400 - 60 x2 – 60x3+ 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
    31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5
    Interpretación numérica
    Max U= 5400 por la producción de x1
    x1 = 45
    x2= 0
    x3= 0
    x4= 35
    x5= 5
  • Método algebraico: Grupo IV
    Evaluar a x2 de:
    32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3
    1/2 x2 =45
    x2 =45(2)/1
    x2 =90/1 =90
    33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3
    3/2 x2 = 35
    x2 = 35 (2)/3
    x2 = 70/3 = 23.33
    34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3
    1/2 x2 = 5
    x2 = 5 (2)/1
    x2 = 10/1 = 10
  • Método algebraico: Grupo V
    Despejar a x2 de 34) para obtener 44)
    34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3
    1/2 x2 = 5 +1/2x3 - x5
    x2 = (5 +1/2x3 - x5 ) 1/2
    44) x2 = 10 +x3 - 2x5
  • Método algebraico: Grupo V
    Sustituir x2=44) en 32) para obtener 42)
    32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3
    x1 = 45 - 1/2 (10 +x3 - 2x5 )– 1/2x3
    x1 = 45 - 5 -1/2x3 +1x5 – 1/2x3
    42) x1 = 40 -x3 +1x5
  • Método algebraico: Grupo V
    Sustituir x2=44) en 33 para obtener 43)
    33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3
    x4 = 35 - 3/2 (10 +x3 - 2x5 )+ 1/2x3
    x4 = 35 - 15 -3/2x3 + 3x5 + 1/2x3
    43) x4 = 20 -1x3 + 3x5
  • Método algebraico: Grupo V
    Sustituir x2=44 en 31) para obtener 41)
    31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5
    U= 5400 + 40 (10 +x3 - 2x5 )– 60x3+ 0 x4 + 0 x5
    U= 5400 + 400 + 40x3 - 80x5 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5
    U= 5800 – 20x3+ 0 x4 + 0 x5
    Interpretación numérica
    Max U= 5800 por la producción de x1
    x1 = 40
    x2= 10
    x3= 0
    x4= 20
    x5= 0
    Solución óptima