mecánica de fluidos

1. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
AMH
ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012
AMH
AFORO EN CANALES CON FLUJO RÁPIDAMENTE VARIADO
Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D. F.
ajc@pumas.ii.unam.mx; alunar@iingen.unam.mx; mbv@pumas.ii.unam.mx
Introducción
En sistemas hidráulicos como los de abastecimiento de agua
potable, riego, drenaje, plantas de tratamiento, etc. se requiere
administrar de manera eficiente el uso del agua para satisfacer
las correspondientes demandas; por ello, es común que en
estos sistemas se requiera cuantificar el caudal que conduce un
canal, de manera relativamente fácil y precisa.
Un método de aforo en canales que comúnmente se emplea en
estos sistemas es el de la Caída Libre; aunque este método se
basa en estudios teóricos y experimentales realizados durante
más de cinco décadas, todavía después del año 2000 se han
publicado trabajos donde se reportan más investigaciones con
respecto a la cuantificación del caudal con estas estructuras
hidráulicas. Por ello, en este trabajo se presentan las
contribuciones de los trabajos más recientes con respecto al
funcionamiento hidráulico de este tipo de estructuras.
Un método alternativo de aforo en canales de algunos sistemas
hidráulicos, el cual es propuesto por los autores del presente
trabajo, consiste en emplear los tirantes conjugados de un salto
hidráulico para calcular el correspondiente caudal. En este
trabajo se presentan las bases y la verificación del método
propuesto; para ello se emplean varias series de mediciones de
laboratorio que están reportadas en prestigiadas revistas de
circulación internacional.
A continuación, primero se presenta el método de la caída
libre, donde se incluye las investigaciones más recientes, y
después el empleo del salto hidráulico para aforar un canal.
libre como estructura de aforo. Desde entonces, se han
publicado gran cantidad de trabajos que se refieren al mismo
fenómeno, lo que demuestra la utilidad e importancia de este
tipo de estructura.
A manera de resumen, a continuación se describen de manera
breve algunas de las principales contribuciones realizadas
durante las pasadas décadas.
Rouse (1936), publicó sus resultados experimentales
obtenidos al estudiar la llamada caída libre en un canal de
sección rectangular y plantilla horizontal con ancho de 0.50 m,
longitud de 5 m, 0.70 m de profundidad y descarga confinada,
es decir, las paredes del canal continuaban aguas abajo de la
sección donde estaba localizada la caída.
Se aclara que en el caso de que las paredes laterales del canal
terminen donde está la caída, se dice que la descarga es no
confinada.
Puesto que las paredes del canal eran de vidrio, se considera a
éstas como lisas. Una de sus principales contribuciones fue
relacionar al tirante justo en la caída con el tirante crítico por
medio de la expresión siguiente
donde
es el tirante que se presenta justo en la caída, en m
(véase la fig 1); y
es el llamado tirante crítico, en m, del
cual no se conoce con precisión su localización.
Al disponer de la medición del tirante , con
se calcula el
tirante crítico, y el gasto unitario se obtiene con la expresión
siguiente
Caída Libre
Se considera que se tiene una caída libre en un canal, cuando
la plantilla del mismo presenta un escalón brusco y
descendente, como se ilustra en la figura 1.
donde es el caudal por unidad de ancho que conduce el
canal, en m2/s.
Al sustituir el tirante crítico de la ec
en la ec
obtiene la expresión para calcular el gasto unitario
función del tirante
Figura 1. Esquema de un canal con caída libre
Las bases de este método de aforo han sido investigadas
ampliamente desde que Rouse (1936), publicó sus estudios y
experimentos que realizó para mostrar la utilidad de la caída
se
en
Con respecto a este sencillo método de aforo en canales, se
han publicado muchos trabajos tanto teóricos como
experimentales, donde uno de los resultados finales es el valor
del coeficiente. Entre los trabajos publicados que han servido
para reconfirmar la expresión
, y también de manera
simultánea la ec
obtenida originalmente por Rouse (1936),
están: Fathy y Shaarawi (1954), Kraijenhoff y Dommerholt
(1977) y Ferro (1999). Sin embargo, no todos los resultados
publicados coinciden; por ejemplo, Ferro (1992) obtuvo de
manera experimental que el cociente de
y
es de 0.76,
pero se aclara que la condición de descarga de los
correspondientes experimentos fue del tipo no confinada.
En otras investigaciones experimentales se ha estudiado el
efecto de la relación ancho de plantilla - tirante en la ley de

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descarga, también la rugosidad de la plantilla del canal y su
pendiente, la forma de la sección transversal, la cual también
puede ser trapecial, circular, triangular, entre otras.
En cuanto a la relación ancho - tirante, Ferro (1992) concluye
que esta relación no tiene influencia en la ley de descarga.
Con respecto al efecto de la pendiente de la plantilla del canal
y su rugosidad, Kraijenhoff y Dommerholt (1977) concluyen
que estas variables no influyen en la ley de descarga del canal,
mientras la pendiente de la plantilla sea del tipo subcrítica. El
mayor valor que emplearon para la pendiente de la plantilla en
sus experimentos fue de 0.0025.
A continuación se presentan las expresiones propuestas por
diferentes autores para estimar el caudal en un canal de
sección rectangular, plantilla horizontal, paredes lisas y con
caída libre confinada y no confinada.
La Organización Internacional para Estandarización
recomienda emplear la expresión siguiente (ISO 3847, 1977),
la cual es válida cuando la descarga es confinada
Cuando la descarga no está confinada se recomienda la
expresión siguiente
En la fig 2 se incluye la comparación de los resultados
obtenidos con las expresiones
y
, donde se nota que
desde el punto de vista práctico, no hay diferencias en los
caudales unitarios calculados; en cambio, con la ec
que
corresponde a la condición de descarga no confinada, el
caudal es ligeramente mayor que con la descarga confinada.
Tigrek et al (2008)
Caudal unitario q, en m2/s
1.6
Napa no confinada
ISO 3847 (1977)
1.4
1.2
Ahmad (2003)
1.0
0.8
0.6
Rouse (1936)
0.4
0.2
0.0
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
anterior, con la condición de descarga confinada el caudal es
menor que el obtenido cuando la descarga es no confinada.
Parece ser que el trabajo desarrollado por Tigrek et al (2008),
es la publicación más recientemente con respecto al estudio de
la descarga de un canal rectangular con caída libre. En este
trabajo se estudia nuevamente el efecto de la pendiente de la
plantilla del canal y la rugosidad de la paredes en la ley de
descarga, para condiciones de flujo subcrítico y supercrítico
en el canal. En el trabajo se hace notar que el canal donde se
hicieron los experimentos fue de 1 m de ancho y 12.06 m de
longitud, con descarga no confinada; estas características
indican que se cumple ampliamente con las condiciones
propuestas por la Norma ISO 3847 con respecto a las
características del canal.
Tigrek et al (2008) concluyen que para condiciones de flujo
con régimen subcrítico en el canal, los resultados
experimentales demuestran que no hay efecto de la pendiente
de la plantilla en la ley de descarga, y tampoco de la rugosidad
del canal, lo cual coincide con estudios experimentales
reportados en años anteriores, como por ejemplo los de
Kraijenhoff y Dommerholt (1977).
Sin embargo, Tigrek et al (2008) encontraron que el cociente
del tirante medido justo en la caída y el tirante crítico es
ligeramente menor que el reportado por Rouse (1936), esto es
Al emplear este resultado para estimar el caudal que descarga
un canal con régimen subcrítico, ellos obtienen la expresión
siguiente
En la fig 2 también se incluyen los resultados obtenidos al
emplear la ec
; ahí se nota que con esta última expresión se
obtienen caudales mayores que los obtenidos con cualquiera
de las formulaciones anteriores.
2.0
1.8
AMH
0.5
Tirante ye, en m
Figura 2. Leyes de descarga en una Caída Libre
Ahmad (2003) presenta un análisis teórico - experimental
desarrollado para obtener una expresión que permita calcular
el caudal en un canal se sección rectangular con caída libre. La
expresión obtenida para condiciones de descarga confinada es
la siguiente
En el caso de que la descarga no esté confinada se tiene
En la fig 2 también se incluyen los resultados obtenidos con
las ecs
y
; ahí se nota que para el mismo tirante el
caudal es menor que el calculado con cualquiera de las
expresiones anteriores, y que de manera similar al caso
La comparación de resultados mostrados en la fig 2 da lugar a
que se tenga incertidumbre con respecto a cuál expresión es la
más recomendada para su aplicación. Loa autores del presente
trabajo consideran que la expresión de Rouse (1936), que es
prácticamente la misma expresión recomendada por la norma
ISO 3847, es la más recomendable, pues en años anteriores,
diferentes
investigadores
han
realizado
trabajos
experimentales como los de Rouse, y en sus conclusiones
coinciden con los resultados obtenidos por Rouse (1936). Sin
embargo, estos resultados dan lugar a la posibilidad de hacer
otros experimentos de laboratorio, con tecnología de punta,
que permita volver a validar las expresiones disponibles.
Salto hidráulico
El cálculo de cualquiera de los tirantes conjugados de un salto
hidráulico se hace con las conocidas ecuaciones de Bélanger,
cuya aplicación es válida para un canal de sección rectangular
y plantilla horizontal. Estas ecuaciones se obtienen al emplear
la ecuación del Momentum a un volumen de control, donde se
tiene un salto hidráulico, véase la fig 3.
La expresión de Bélanger que se utiliza para calcular el tirante
conjugado mayor es la siguiente

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donde
es el tirante conjugado mayor, en m; , el tirante
conjugado menor; y
el número de Froude asociado al
tirante conjugado menor, el cual se calcula para canales con
sección transversal de forma rectangular como
donde es la llamada velocidad media, en m/s, del flujo en la
sección j , asociada al tirante conjugado menor (ver la fig 3), y
es el gasto por unidad de ancho, en m2/s.
Es interesante notar que las ecs
y
están expresadas
en forma adimensional, y que el número de Froude es función
del caudal y del tirante conjugado menor, por lo que en ambas
expresiones están como variables únicamente los tirantes
conjugados y el caudal por unidad de ancho.
Además, los autores del presente trabajo notaron que en la
deducción de la ec
, se presenta una expresión que
permite calcular el gasto unitario en función de ambos tirantes
conjugados; dicha expresión es la siguiente
Se aclara que esta expresión es la misma ec
pero escrita de manera diferente.
de Bélanger,
Al observar la ec
se propuso revisar su bondad con base
en los conjuntos de los resultados obtenidos en laboratorio que
están reportados en Bradley y Peterka (1957), Hughes y Flack
(1984), Hager y Bremen (1989), Hager et al (1990) y Carollo
et al (2007); los datos empleados corresponden a la terna de
valores dada por el caudal unitario, , y los correspondientes
tirantes conjugados de cada experimento. Esta información se
utilizó para calcular los gastos unitario dado por la ec
.
En la fig 5 se comparan los valores calculados con los
medidos en laboratorio.
Figura 3. Salto hidráulico en un canal horizontal
0.7
0.6
Bradley y Peterka
0.5
q (m²/s) calculado
Este es un tema clásico que se explica con detalle en cualquier
libro de hidráulica de canales; véase por ejemplo, Henderson
(1966), French (1988) ó Chaudhry (2008). La ec
de
Bélanger ha sido ampliamente verificada, véase por ejemplo
Bradley y Peterka (1957) y Hughes y Flack (1984), quienes
reportaron sendos resultados experimentales, los cuales se
incluyen en la fig 4. Sin embargo, se han hecho otros estudios
de laboratorio, como los publicados por Hager y Bremen
(1989), Hager et al (1990) y Carollo et al (2007); en estos
últimos trabajos se hace notar que los tirantes conjugados
mayores calculados con la ec (5) de Bélanger, son más
grandes que los medidos en laboratorio, véase nuevamente la
fig 4; por ello, Carollo et al (2009) proponen la expresión
siguiente para calcular el tirante conjugado mayor
(1957)
0.4
0.3
Hager et al (1990)
0.2
Hughes
y Flack
(1989)
0.1
En la fig 4 se nota que la ec
representa en forma adecuada
las mediciones de Hager y Bremen (1989), Hager et al (1990)
y Carollo et al (2007).
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
q (m²/s) medido
Fig. 5 Comparación de gastos unitarios medidos y calculados
30
Ec. 7 de Carollo et al (2009)
25
con la ec. (13) de Bélanger
Ec 5 de Bélanger
Bradley y
20
yj+1/yj
Carollo et al (2007)
Peterka (1957)
Carollo
Hager et al (1990)
15
Hager y Bremen (1989)
Otra manera de obtener el gasto unitario se basa en emplear la
ec (12), de donde se despeja q para obtener
10
5
Hughes y Flack (1984)
0
0
5
10
15
20
Número de Froude, Frj
Figura 4. Relación de tirantes conjugados y el número de Froude
En la fig 6 se incluye la gráfica de la ec
, donde se nota
que se ajusta de manera adecuada a los valores experimentales
obtenidos por Hager et al (1990) y Carollo et al (2007).

4. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
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2.- Bradley, J. N. and Peterka, A. J. (1957). “The hydraulic
design of stilling basins: hydraulic jumps on a horizontal
apron (basin I)”. Journal of Hydraulic Division, ASCE, Vol.
83, No. 5, October, pp. 1401(1-24).
0.7
0.6
Bradley y Peterka
3.- Chaudhry, M. H. (2008). Open-Channel Flow, Springer,
USA.
(1957)
0.5
q (m²/s) calculado
AMH
4.- Carollo, F. G. Ferro, V. and Pampalone, V. (2007).
“Hydraulic jumps on rough beds”. Journal of Hydraulic
Engineering, ASCE, Vol. 133, No. 9, September, pp. 989-999.
0.4
5.- Carollo, F. G., Ferro, V. and Pampalone, V. (2009).
“New solution of classical hydraulic jump”. Journal of
Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 135, No. 6, June, pp.
527-531.
0.3
Hager et al (1990)
0.2
Hughes
y Flack
(1989)
6.- Fathy, A. and Shaarawi, M. (1954). “Hydraulics of the
free overfall”. Proc., No. 564, ASCE, Vol. 80, December pp.
1-12.
0.1
Carollo et al (2007)
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
q (m²/s) medido
Fig. 6 Comparación de gastos unitarios medidos y calculados
7.- Ferro, V. (1999). “Theoretical end-depth-discharge
relationship for free overfall”. Journal of Irrigation and
Drainage Engineering, ASCE, Vol. 125, No. 1,
January/February, pp. 40-44.
con la ec. (14) de Carollo
8.- French, R. H. (1985). Open-Channel Hydraulics.
McGraw-Hill Book Company. New York.
En ambas figuras, la 5 y la 6, se nota que los resultados
calculados con las fórmulas de Bélanger y Carollo son
bastante similares cuando el caudal unitario es menor que 0.25
m/s2; esto también se nota en la fig 4, donde se observa que
para números de Froude menores que ocho ambas leyes son
casi iguales; sin embargo, la diferencia entre los modelos
numéricos aumenta de manera lineal con el número de Froude.
Estos resultados permiten establecer el límite de confiabilidad
de ambas expresiones para su aplicación práctica.
9.- Hager, W. H.. and Bremen, R. (1989). “Classical
Hydraulic Jump: sequent depths”. Journal of Hydraulic
Research, Vol. 27, No. 5, pp. 565-585.
Conclusiones y recomendaciones
12.- Hughes, W. C. and Flack, J. E. (1984). “Hydraulic
Jump properties over a rough bed”. Journal of Hydraulic
Engineering, ASCE, Vol. 110, No. 12, December, pp. 17551791.
Se considera que ambos métodos de aforo en canales con flujo
rápidamente variado, son una alternativa adecuada para
cuantificar el caudal en un canal de sección rectangular, pero
se debe tener cuidado de cumplir con ciertas restricciones: con
respecto al empleo del método de la caída libre, es
recomendable tomar en cuenta que se cumplan las
especificaciones propuestas por la norma ISO 3847 para
obtener resultados confiables. En cuanto al empleo de los
tirantes conjugados para el cálculo del gasto, se debe hacer
dentro de los límites ya citados.
Los análisis de los casos presentados en este trabajo, que
forman una pequeña parte del tema del flujo rápidamente
variado, continúan siendo de enorme interés. La comparación
de los resultados experimentales que han sido reportados con
diferencias de más de cinco décadas, dan lugar a que se
continúe con el estudio de estos temas, pero ahora empleando
la nueva tecnología disponible tanto para el trabajo
experimental como en la elaboración, calibración y
verificación de modelos matemáticos.
Referencias
1.- Ahmad, Z. (2003). “Quasi-theoretical end-depth-discharge
relationship for rectangular channels". Journal of Irrigation
and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 129, No. 2, April, pp.
138-141.
10.- Hager, W. H. and Bremen, R. and Kawagoshi, N.
(1990). “Classical Hydraulic Jump: lenght of roller”. Journal
of Hydraulic Research, Vol. 28, No. 5, pp. 591-608.
11.- Henderson, F. M. (1966). Open channel flow.
MacMillan Publishing Co. New York.
13. ISO 3874, (1977). "End Depth method for estimation of
flow in rectangular channels with a free overfall",
International Organization for Standarization, Geneva,
Switzerland.
14.- Kraijenhoff, D. A. and Dommerholt, A. (1977). “Brink
depth method in rectangular channel”. Journal of Irrigation
and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 103, No. 2, June, pp.
171-177.
15.- Rouse, H. (1936). “Discharge characteristics of the free
overfall”. Civil Engineering, ASCE, Vol 6. No. 4, April, pp.
257-260.
16.- Tigrek, S., Firat, C. E. and Ger, A. M. (2008). “Use of
brink depth in discharge measurement”. Journal of Irrigation
and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 134, No. 1, February,
pp. 89-95.
Reconocimientos
Se agradece al personal de la Unidad de Servicios de
Información, del Instituto de Ingeniería, UNAM, por su apoyo
para obtener la mayor parte de las publicaciones que se
incluyen en las referencias del presente trabajo.